вариант 2 - Санкт-Петербургский промышленно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
Среднего профессионального образования
«Санкт-Петербургский промышленно-экономический колледж»
Домашняя контрольная работа
По дисциплине: «Математика»
Студентки заочного отделения
По специальности 080110.51
Суховой Ирины Сергеевны
Гр. 02201
Тел.8 (911)976-03-36
e-mail: karina-spb@list.ru
Санкт-Петербург
2012
ВАРИАНТ 2
1. Вычислить пределы функций:
3х  5  х  1
1. lim
x 3
х2  9


 4 4 0


Домножим
числитель
и
знаменател
ь

 99
0


на 3х  5  х  1


3x  5  x  1
3х  5  х  1 3х  5  х  1
 lim 2

2
x 3
x 3
х  9 3х  5  х  1
х  9 3х  5  х  1
2x  6
2
2
 lim
 lim


x 3
х  3x  3 3х  5  х  1 x3 x  3 3х  5  х  1 3  3 4  4
1

12
5x  2 x 3  3



Разделим числитель и 
5x  2 x 3  3
x3

2. lim


lim


x 

 x  3  4 x 3  2 х 2
3  4x 3  2х 2
3
знаменатель на х

x3
5
3
2 3
2
x  0 20  1
 lim x
x 
3
2 040
2
4
3
x
x
cos3x  1
cos2 1.5x  sin 2 1.5x  sin 2 1.5x  cos2 1.5x 
3. lim

lim

x 0
x 0
2x 2
2x 2
 2 sin 2 1.5x
sin 2 1.5x
sin 1.5x
sin 1.5x
 lim
  lim
  lim
 lim

2
2
x 0
x 0
x 0
x 0
2x
x
x
x
1.5 sin 1.5x
1.5 sin 1.5x
9
sin 1.5x
sin 1.5x
  lim
 lim
  lim
 lim

x 0
x 0
1 .5 x
1 .5 x
4 x  0 1 .5 x x  0 1 . 5 x
9
9
 [По первому замечательному пределу]    1  1  
4
4
 lim









6
x


2
x

2

2

2

2







 

4. lim 
 lim 1 

  lim
1 
  lim
1 


x 
x 
x 
x  
x 
x 
x  
 x 





1
 [По второму замечательному пределу]  е 6  6
е
3x
3x
x
  6 
2

2. Построить график функции, определив вид точек разрыва:

 х  5 при х  3

3
f ( x )  2  при  3  х  0
х

2

 x  1 при х  0
РЕШЕНИЕ
Функция f(x) неэлементарная, определена на всей числовой прямой.
В
точках
х =
-3
и
х = 0 аналитическое выражение функции
изменяется, следовательно в этих точках функция может иметь разрыв.
Исследуем непрерывность функции в этих точках:
а) х = -3
Найдем предел функции слева в точке х = -3 :
f(-3-0) = lim f(x) =
x 30
lim (x +5) = -3+ 5=2
x 30
Найдем предел справа в этой же точке :
3
3

f(-3+0) = lim f(x) = lim  2    2 
1
x  3 0
x 3 0
х
3

отсюда f(-3-0) ≠ f(-3+0). Следовательно, в точке х =-3 функция имеет
неустранимый разрыв 1-го рода (так как пределы конечны)
б) х = 0
Найдем предел функции слева в точке х = 0 :
3
3

2 2
 
f(-0) = lim f(x) = lim

x  0
x  0
х
0

Найдем предел справа в этой же точке :
f(+0) = lim f(x) = lim
x  0
x  0
2
2

2
х 1 0 1
В точке х=0 функция имеет разрыв второго рода (так как предел слева
бесконечен)
Во всех остальных точках числовой прямой функция f(x) непрерывна,
так как все формулы, которыми
она
задана,
определяют
элементарные
функции, которые непрерывны на тех интервалах, на
которых они заданы
Сделаем чертеж:
5
4
3
2
1
x 5
2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3
2
t
3
2
h 1
4
5
6
7
8
9
10
Ответ: Данная функция имеет в точке
х =-3 неустранимый разрыв 1x t  h
го рода, в точке х=0 разрыв второго
рода. В остальных точках она
непрерывна.
3. Найти производные функций:
1) f ( x )  3x 4 
2х
8
х x
/
1 /
2 x
 
  32
 4 2х

/
/
4 /
3


f  x    3x 
 8   3x  
 8  12 x   2 x  x 2  
3


х x




 x2 
5
3
3
1
 3  2 1 2
3
 12 x  2     x  x  12 x 3  2

2
x x 2x x
 2
/
2) f ( x ) 
5  2 cos5x
2  3 cos 2 x
 5  2 cos5x  5  2 cos5x  2  3 cos 2 x   5  2 cos5x 2  3 cos 2 x 
f x   

 
2  3 cos 2x 2
 2  3 cos 2 x 
/
/
/
/
10 sin 5x 2  3 cos 2x   6 sin 2 x 5  2 cos5x 

2  3 cos2x 2
20 sin 5x  30 sin 5x cos 2x  30 sin 2 x  12 sin 2 x cos5x

2  3 cos2x 2

3) f ( x )  3x  4 ctg
x
3
/
/
x
x
x
x
/


f x    3x  4ctg   3x  4 ctg  3x  4  ctg   3x  ln 3  ctg 
3
3
3
3


/
/
3  4 x 
x 3x  4
3

x

 3  ln 3  ctg 
3 3 sin 2 x
2 x
sin
3
3
x
4) f ( x )  (2 x  1) ln x 2  2 
f / x   (2x  1) ln x 2  2   (2 x  1) / ln x 2  2  (2 x  1)ln x 2  2 
/
2x  1x
 2 ln x  2 
2
2
x 2
2
/
 2
/
 2 ln x 2  2  
2 x 2 x  1
x2  2
4. Найти приближенное значение 1,015 , используя дифференциал
5
функции.
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим функцию f(x)=х5
f(x0+x)f(x0)+xf/(x0)
В данном случае х0=1 х=1,015-1=0,015
f(1)=15=1
f/(x)=(x5)/=5x4
f/(1)=514=5
f(1.015) 1+0.0155=1,075
ОТВЕТ: 1,075
5. Выполнить исследование свойств функции по первой и второй
производным и построить график функции f(x)= x3 – 3x2 – 24х +6.
РЕШЕНИЕ
1. Область определения : х (-; +)
вертикальных асимптот нет
2. точки пересечения с осями:
С ОУ: у(0)=6 (0;6)
3. Четность : у(-х) = (x)3  3(x) 2  24 х   6  x 3  3x 2  24x  6 - функция не
является ни четной, ни нечетной
4. Асимптоты. Найдем наклонную асимптоту в виде у =кх + в
y( x )
x 3  3x 2  24 х  6
6

 lim
 lim  x 2  3x  24    
x 
x 
x 
x
x
х

k  lim
Наклонных асимптот нет
5. Возрастание, убывание.
Найдем точки, подозрительные на экстремум:
у'  x 3  3x 2  24 х  6  3х 2  6х  24
/
3х 2  6х  24  0
х 2  2х  8  0
х 1  2
х
y'
х2  4
x <-2
+
х=-2
-2< x< 4
0
-
х=4
0
x >4
+
у
34
1
у(-2)=(-2)3-3(-2)2-24(-2)+6=34
у(4)= 43-342-244+6=-74
(4;-74)– точка минимума
(-2;34) – точка максимума
6. Выпуклость, вогнутость
y' '  3х 2  6х  24   6х  6
/
6х  6  0
х 1
х
y//
у
x <1
-
х=1
0
x >1
+

-20

у(1)=13-312-241+6=-20
(1; -20)– точка перегиба
7. Найдем координаты нескольких точек
x
y
-5 -3
-74 24
-1
26
2
-46
3
-66
5
-64
6
-30
7
34
80
70
60
50
максимум
40
30
20
10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
20
30
перегиб
40
50
60
70
минимум
80
90
100
6. Найти интегралы:


6
3 5
x 5 / 21
 4

4
2
1)   3x  2
 2 dx   3x dx  6  x dx  2  dx  x  6 
 2x  C 
5
 5/ 2 1
x x


3
3
4
 2
 x 5  6     x 3 / 2  2 x  C  x 5 
 2x  C
5
5
x x
 3
2) 

соsx  dx
5  2 sin x 4


5  2 sin x  t 
dt
1 t  41
1


  2 cos xdx  dt     4   
C 3 C
2t
2  4 1
6t

1 
cos xdx   dt 

2 
1
C
3
65  2 sin x 
ctgx  t



1


 dt

2
sin
x
3
0

 0
2
(1  2ctgx )
3
    1  2 t  dt    (1  6 t  12 t 2  8t 3 )dt 
3) 
dx  


2
sin x
t  ctg  1  1

1
x 
4
4
4






 x  2 t  ctg 2  0
0
12
8 

  (1  6 t  12 t  8t )dt    t  3t 2  t 3  t 4   0  (1  3  4  2)  0
3
4 1

1
0
2
3
7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 2y – 3х +x2 =0,
x + у = 2. Сделать чертёж.
РЕШЕНИЕ
Построим фигуры: 2у-3х+х2=0
2у=-х2+3х=-х2+3х-2,25+2,25=-(х-1,5)2+2,25
2
1
3 5
у=   x    - парабола с вершиной в точке х=3/2, у=5/4
2
2 4
х+у=2 – прямая.
Найдем точки пересечения:
2y – 3х +x2 =0
x+у=2
2y =3х -x2
2x + 2у = 4
2x +3х -x2=4
х2-5х+4=0
х1=1 у1=1
х2=4 у2=-2
6
5
4
3
2
1
10
9
8
7
6
5
4
3
3x x x
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
2
2 x
3
4
5
6
7
8
9
Сверху данная фигура ограничена графиком у=(3х-х2)/2, снизу
10
графиком у=2-х, х изменяется от 1 до
4
x x
4
4
4
3x  x 2
x2
x2
3

5

S 
dx   (2  x )dx    x 
 2  x dx    x 
 2 dx 
2
2
2
1
1
12
12


4
4
5  16 64
5 1
9
 5x 2 x 3



 2x  

8   2
6
4
6
4 6
4
 4
1
ОТВЕТ:
9
кв. ед.
4
8. Вычислить объём тела вращения вокруг оси Оу фигуры,
ограниченной линиями: 2у- х=2, у-2=0, у-4=0.
РЕШЕНИЕ
Построим данную фигуру:
8
9
10
10
9
8
7
6
5
4
x 2
3
2
2 x x
2
4 x x
1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
1
2
3
4
5
6
Данные линии не ограничивают
x x x фигуру
4
5
6
7
8
9
10