Lektsii po kursu Topologia 31 01 2023

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
"ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
А.В. Звягин, А.С. Болдырев, М.И. Струков
Лекции по курсу «ТОПОЛОГИЯ»
Учебное пособие
Издательский дом ВГУ
2023
Утверждено научно – методическим советом математического факультета Воронежского государственного университета 23 декабря 2022г., протокол № 0500 – 10.
Р е ц е н з е н т ы:
доктор физико – математических наук М.Ш. Бурлуцкая
доктор физико – математических наук С.В. Корнев
В учебном пособии дано изложение первых понятий общей топологии. Учебное пособие
подготовлено на кафедре алгебры и математических методов гидродинамики математического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендовано для студентов очной формы обучения 1 – го и 2 – го курсов математического факультета Воронежского государственного университета.
Для направлений: 01.03.01 — математика,
01.03.04 — прикладная математика,
01.05.01 — фундаментальная математика и механика,
02.03.01 — математика и компьютерные науки,
10.05.04 — информационно-аналитические системы безопасности
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Элементы теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Топологические пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Окрестности. Предельные, изолированные, внутренние
и граничные точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Аксиомы счетности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.
Аксиомы отделимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.
Непрерывные отображения топологических пространств
7.
Метрические топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . .
8.
Связность и локальная связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.
Компактные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10. Компактность в метрических пространствах . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
14
22
29
33
38
43
51
57
63
67
Введение
Топология — это раздел математики, который изучает свойства геометрических объектов, не меняющихся при «деформации» или при преобразованиях,
подобных деформации. Топология как наука сформировалась в трудах великого французского математика Анри Пуанкаре в конце XIX века. Развитие
топологии идет бурными темпами и в чрезвычайно большом числе направлений. Этот процесс не окончен и в настоящее время. Надо отметить одну важную
черту современного этапа развития топологии — широчайшее проникновение
ее методов во многие разделы современной математики и естествознания,
например, в дифференциальные уравнения, функциональный анализ, классическую механику, теоретическую физику, общую теорию относительности,
математическую экономику, биологию и др. Топологические методы стали
мощным инструментом математического исследования, а язык топологии приобрел универсальное значение. Но в то же время, знакомство с топологией для
начинающего несколько затруднительно, так как для её изучения нужно знать
много фактов из геометрии, алгебры, анализа и других разделов математики,
а также необходимо умение рассуждать.
В данном пособии содержаться первые понятия общей топологии. Пособие
предназначено для студентов вузов, обучающихся по специальности «Математика», а также как дополнительная литература для студентов других
специальностей. Отметим, что в основу учебного пособия положены лекции,
читаемые студентам математического факультета Воронежского государственного университета известными представителями Воронежской математической
школы: Ю.Г. Борисовичем, В.Г. Звягиным, Ю.Е. Гликлихом, Р.С. Адамовой,
Н.М. Близняковым и др.
Авторы выражают искреннюю признательность Римме Сергеевне Адамовой
за ценные советы и замечания, высказанные при ознакомлении с рукописью.
4
1. Элементы теории множеств
Перед тем как начать изложение топологических идей, напомним некоторые
элементарные понятия теории множеств. Всякое математическое определение
выражает определяемое понятие через другие более общие понятия. Понятие
же множества не удается свести к другим понятиям, поскольку более общего
понятия, чем множество, в математике нет. Поэтому вместо определения понятия множества дают его описание и иллюстрируют примерами.
В 1872 г. Георг Кантор (1845—1918), основатель теории множеств, определил
множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей
интуицией или нашей мыслью». Объекты, из которых составлено множество,
он называл элементами этого множества.
Под множеством понимается совокупность некоторых объектов, объединенных некоторым общим признаком.
Пример 1.1. Множество студентов; множество целых чисел Z; множество
натуральных чисел N; множество точек плоскости; множество жителей данного
дома; множество листьев на дереве.
Множества обычно обозначаются прописными буквами A, B, X, Y , а их элементы — строчными a, b, x, y. Запись a ∈ A означает, что a является элементом
множества A. Запись a ∈
/ A или a ∈ A означает, что элемент a не принадлежит
множеству A.
Возможны различные способы задания множества. Один из способов состоит
в простом перечислении его элементов. Так, например, запись A = {a, b, c} указывает, что множество A состоит из элементов a, b, c. Другой способ состоит в
определении множества с помощью некоторого характеристического свойства,
которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному
множеству. Обозначая символом P (a) характеристическое свойство элементов
множества A, множество A задают записью A = {a : P (a)}. Например, множество целых чисел, принадлежащих отрезку [0, 5] можно задать следующим
образом: A = {a : a ∈ Z; 0 ⩽ a ⩽ 5}.
Не всегда заранее известно, что рассматриваемое множество содержит хотя
бы один элемент, поэтому для правомочности рассуждений целесообразно ввести понятие множества, не содержащего ни одного элемента. Такое множество
называется пустым и обозначается ∅.
5
Определение 1.1. Всякое множество, число элементов которого равно
одному из чисел 0, 1, 2, ..., называется конечным. Множества, не являющиеся
конечными, называются бесконечными.
Определение 1.2. Множества A и B, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными и пишут A = B.
На практике для доказательства равенства двух множеств показывают, что
всякий элемент одного множества принадлежит другому, и наоборот.
Если множество A состоит из элементов, принадлежащих множеству X, то
говорят, что A является подмножеством множества X (или A включено в X),
и в этом случае пишут A ⊂ X (или A ⊆ X). Например, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Используют также обозначение X ⊃ A, которое читается так: X содержит A.
Для всякого множества A имеют место вложения ∅ ⊂ A, A ⊆ A. Подмножества множества A, отличные от ∅ и A, называются собственными подмножествами множества A.
Из данных множеств можно конструировать другие множества. Приведем
наиболее важные и необходимые в дальнейшем способы конструирования.
Определение 1.3. Объединением двух множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств
A и B, т.е.
A ∪ B = {a : a ∈ A или a ∈ B}.
Определение 1.4. Пересечением двух множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как A, так и B, т.е.
A ∩ B = {a : a ∈ A и a ∈ B}.
Если A ∩ B = ∅, то множества A и B называются непересекающимися.
Аналогично определяется объединение и пересечение любого (конечного или
бесконечного) набора множеств Aα , α ∈ I, где I — произвольное множество
индексов. А именно, положим
[
Aα = {a : a ∈ Aα хотя бы для одного α ∈ I};
α∈I
\
Aα = {a : a ∈ Aα для всех α ∈ I}.
α∈I
6
Определение 1.5. Разностью двух множеств A и B называется множество,
состоящее из всех элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B, т.е.
A \ B = {a : a ∈ A и a ∈
/ B}.
Если A — подмножество множества X, то множество X \ A называют
дополнением множества A до множества X и обозначают CA.
Определение 1.6. Симметрической разностью двух множеств A и B называется множество
A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A).
Симметрическую разность двух множеств можно определить и вторым способом:
A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Заметим также, если Aα набор подмножеств множества X, то
[ \
\ [
X\
Aα =
X \ Aα ;
X\
Aα =
X \ Aα .
α
α
α
α
Определение 1.7. Декартовым произведением (или просто произведением) A×B множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар вида
(a, b), у которых на первом месте стоит элемент из множества A, а на втором –
из B, т.е.
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
Аналогичным образом дается определение произведения A1 × ... × An любого конечного набора множеств A1 , ..., An как множества всех упорядоченных
наборов из n элементов.
Пример 1.2. Если множества A и B состоят из вещественных чисел, то пару
(a, b), где a ∈ A, b ∈ B, можно рассмотреть как точку плоскости с абсциссой a
и ординатой b. Заметим также, что произведение R × R образует множество
всех точек на плоскости R2 .
Определение 1.8. Пусть X, Y — непустые множества. Отображением
множества X в множество Y называется правило, по которому каждому
элементу из X ставится в соответствие вполне определенный элемент из Y .
7
Отображения обозначают буквами. Для отображения f , действующего из X
в Y , используют символическую запись f : X → Y . Множество X называют
областью определения, а множество Y — областью значений отображения f .
f
Запись a 7→ b означает, что элементу a ∈ X при отображении f : X → Y
f
соответствует элемент b ∈ Y . Помимо записи a 7→ b используют также более
краткую запись a 7→ b, когда ясно, о каком отображении идет речь.
Пусть A — некоторое подмножество множества X. Множество
{y: y = f (a),a ∈ A} называется образом множества A и обозначается f (A).
Образ f (X) области определения X отображения f называют также образом
отображения f и обозначают Imf . Если B — некоторое подмножество множества Y , то множество {f −1 (b) : b ∈ B} называется прообразом (полным
прообразом) множества B и обозначается f −1 (B). Отображения f : X → Y ,
g : X 0 → Y 0 называют равными и пишут f = g, если X = X 0 , Y = Y 0 и
f (x) = g(x) для всякого x ∈ X.
Пример 1.3. Пусть X — некоторое множество. Отображение X → X,
переводящее каждый элемент x ∈ X в себя, называется тождественным (или
единичным) и просто I. Таким образом, I(x) = x, для любых x ∈ X.
Пример 1.4. Пусть X и Y — некоторые множества и y0 — некоторый элемент из Y . Отображение f : X → Y , определенное равенством
f (x) = y0 , для любых x ∈ X, называется постоянным.
Пример 1.5. Пусть X — некоторое непустое множество. Всякое отображение
f : N → X называется последовательностью элементов множества X. Элемент f (n) обозначается xn , а сама последовательность обозначается {x1 , x2 , ...}
или {xn }.
Пример 1.6. Всякое отображение f : X1 ×...×Xn → Y, n ⩾ 2, определенное на
произведении множеств, называется отображением (функцией) n переменных.
Рассмотрим наиболее общие классы отображений. Отображение f : X → Y
называется инъективным (или инъекцией), если для любых двух различных
элементов x1 , x2 ∈ X их образы f (x1 ), f (x2 ) также различны, т.е. из равенства
f (x1 ) = f (x2 ) следует x1 = x2 . Иначе говоря, прообраз f −1 (y) всякого элемента
y ∈ Y должен состоять из одного элемента. Отображение f : X → Y назы8
вается сюръективным (или сюръекцией), если для всякого элемента y ∈ Y
существует элемент x ∈ X такой, что f (x) = y, т.е. f (X) = Y ; иначе говоря,
если прообраз f −1 (y) всякого элемента y ∈ Y не пуст. Отображение f : X → Y
называется биективным (или биекцией), если оно инъективно и сюръективно
одновременно, т.е. если прообраз f −1 (y) всякого элемента y ∈ Y состоит ровно
из одного элемента.
Определение 1.9. Множество A называется эквивалентным или равномощным множеству B, если существует биективное отображение f : A → B.
Если A равномощно множеству B, то и множество B равномощно множеству
A, поэтому употребляют также выражение «множества A и B равномощны».
Если A и B равномощны, то говорят, что они имеют одну и ту же мощность,
и пишут, |A| = |B|.
Два конечных множества имеют одну и ту же мощность, если они состоят
из одного и того же числа элементов. Поэтому понятие мощности множества
можно рассматривать как обобщение понятия числа элементов конечного
множества. Мощность — это то общее, что есть у любых двух равномощных
множеств. Следует отметить, что для бесконечных множеств некоторые свойства мощности отличаются от свойств числа элементов конечных множеств.
Например, если B — подмножество конечного множества A и B 6= A, то
|B| =
6 |A|. Для бесконечных множеств это свойство не имеет места: N 6= 2N, но
|N| = |2N|.
Определение 1.10. Множество называется счетным, если оно равномощно
множеству N натуральных чисел.
Всякое биективное отображение f : A → N задает естественную нумерацию
элементов множества A: элемент a получает номер n = f (a) (пишут an ). Обратно, всякая нумерация множества A числами множества N задает биекцию
A → N. Поэтому множество счетно, если его элементы можно занумеровать
числами натурального ряда.
Пример 1.7. Множество 2N всех четных положительных чисел счетно.
Биекцией f : N → 2N может служить отображение, определенное равенством
f (n) = 2n, для любых n ∈ N.
9
Теорема 1.1. Множество Q рациональных чисел счетно.
Доказательство. Всякое рациональное число однозначно записывается в
виде несократимой дроби pq , q > 0, p ∈ Z, q ∈ N. Назовем сумму |p| + q высотой
рационально числа pq . Ясно, что для всякого q ∈ N число дробей, имеющих высоту n, конечно. Занумеруем все рациональные числа по возрастанию высоты,
1 0
т.е. сначала выпишем единственное число 01 высоты 1, затем все числа −1
1 , 1, 2
высоты 2 и т.д. При этом каждое рациональное число получит некоторые
номер, т.е. будет задано биективное отображение N → Q.
Теорема 1.2. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.
Доказательство. Пусть A — счетное множество и B — его подмножество.
Если B = ∅, то утверждение справедливо. Пусть B 6= ∅. Занумеруем элементы
множества A : a1 , a2 , ... . Пусть an1 , an2 , ... — те из них, которые принадлежат B.
Если среди чисел n1 , n2 , ... есть наибольшее, то B конечно, если наибольшего
нет, то B счетно, так как его члены an1 , an2 , ... занумерованы числами 1, 2... . Теорема 1.3. Всякое бесконечное множество имеет счетное подмножество.
Доказательство. Пусть A — бесконечное множество. Выберем в A какойлибо элемент a1 . В бесконечном множестве A\{a1 } выберем элемент a2 , затем, в
бесконечном множестве A\{a1 , a2 } выберем элемент a3 и т.д. Таким образом мы
построим множество {a1 , a2 , a3 , ...}, которое является счетным подмножеством
множества A.
Последнее утверждение показывает, что счетные множества являются
«самыми маленькими» среди бесконечных множеств.
Теорема 1.4. Объединение конечного или счетного набора счетных множеств есть счетное множество.
Доказательство. Пусть
A1 , A2 , ...
10
(1.1)
— счетные множества. Не ограничивая общности, можно считать, что множества (1.1) попарно не пересекаются, иначе вместо них мы рассмотрели
бы множества A1 , A2 \A1 , A3 \(A1 ∪ A2 ), ... (каждое из которых конечно или
счетно), объединение которых совпадает с объединением множеств (1.1). Все
элементы множеств (1.1) запишем в виде таблицы, поместив в i-й строке
элементы множества Ai . Поскольку множества (1.1) попарно не пересекаются,
то среди этих элементов таблицы нет одинаковых, поэтому элементы таблицы
— это в точности все элементы объединения множеств (1.1). Пронумеруем
элементы таблицы «по диагонаям», т.е. двигаясь в порядке, указанном на
таблице стрелками, начиная с элемента a11 :
A1 : a11 → a12 a13 → a14
. % .
A2 : a21 a22 a23 a24
↓ % .
A3 : a31 a32 a33 a34
.
A4 : a41 a42 a43 a44
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ясно, что каждый элемент таблицы получит определенный номер, т.е. будет
установлена биекция между объединением множеств (1.1) и множеством N. Следствие 1.1. Декартово произведение двух счетных множеств счетно.
Теорема 1.5. (Г. Кантора) Множество действительных чисел интервала
(0, 1) несчетно.
Доказательство. Каждое число из интервала (0, 1) можно записать в виде
бесконечной десятичной дроби, причем не более чем двумя способами. Точнее,
числа вида 10pk , где p, k ∈ N, p < 10k , и только они, допускают два представления: одно — с нулем в периоде, а другое — с девяткой в периоде (например,
0,200 ... = 0,199...). Для чисел, имеющих две различные записи, выберем одну,
не содержащую цифру 9 в периоде. Предположим теперь, что множество чисел
интервала (0, 1) счетно. Занумеруем их:
α1 = 0, a11 a12 a13 ...
α2 = 0, a21 a22 a23 ...
11
(1.2)
α3 = 0, a31 a32 a33 ...
..............................
Здесь aij — произвольные натуральные числа от 0 до 9. Рассмотрим число
β = 0, b1 , b2 , b3 ... ∈ (0, 1), где b1 — любая цифра от 1 до 8, отличная от a11 ,
b2 — любая цифра от 1 до 8, отличная от a22 и т.д. Так как bn 6= ann для
всякого n ∈ N, то число β отлично от каждого из чисел (1.2), т.е. β ∈
/ (0, 1).
Противоречие.
Определение 1.11. Множество называется континуальным или множеством мощности континуума, если оно равномощно множеству всех
действительных чисел интервала (0, 1).
Пример 1.8. Всякий интервал (a, b), множество R действительных чисел и
множество R+ положительных действительных чисел имеют мощность континуума. Биекциями могут служить отображения:
f : (0, 1) → (a, b),
f (x) = a + x(b − a);
1
;
x+1
1
h(x) = x
.
2 +1
g : R+ → (0, 1),
g(x) =
h : R → (0, 1),
Упражнения
1. Пусть X = {a, b, c}. Перечислите все подмножества множества X.
2. Приведите два примера конечных подмножеств множества N и два примера бесконечных подмножеств.
3. Чему равно пересечение множеств (1, 4) и N? Чему равно их объединение?
S 1
4. Чему равно множество A =
[ n , 4]?
n∈N
5. Чему равно множество A =
T
n∈N
(− n1 , 5)?
6. Верно ли что
а. {{1, 2}, {2, 3}} = {1, 2, 3}?
12
б. {{1, 2}} = {1, 2}?
7. Перечислите элементы множества
а. A = {x : x ∈ B, где B = {1, 2}},
б. A = {x : x ⊂ B, где B = {1, 2}}.
8. Докажите, что A ∪ (B\A) = A ∪ B.
9. Пусть A = {1, 2, 3}. Найдите B = R1 \A.
10. Пусть A = {1, 2, 3}. Найдите дополнение множества A до [0, 4].
11. Пусть A = {1, 2, 3}, B = {3, 4}, C = A × B (декартово произведение).
Перечислите элементы множества C.
12. Пусть X = {1, 2}, Y = {3, 4}. Приведите два примера отображения
f : X →Y.
13. Пусть A = (−2, 5), f : R1 → R1 . Найдите образ множества A, если
а. f (x) = x + 3,
б. f (x) = −x,
в. f (x) = x2 .
14. Пусть A = (1, 4), f : R1 → R1 . Найдите прообраз множества A, если
а. f (x) = x + 3,
б. f (x) = −x,
в. f (x) = x2 .
13
2. Топологические пространства
Этот параграф посвящен определению центрального понятия всей топологии, а именно, понятию топологического пространства.
Пусть X — некоторое множество.
Определение 2.1. Топологией на X называется любой набор τ его подмножеств, удовлетворяющий следующим свойствам (аксиомам):
1. Само множество X и пустое множество ∅ принадлежат τ .
2. Объединение любой совокупности множеств из τ принадлежит τ .
3. Пересечение любого конечного числа множеств из τ принадлежит τ .
Определение 2.2. Множество X с заданной на нем топологией τ называется топологическим пространством и обозначается (X, τ ).
Определение 2.3. Множества, принадлежащие системе τ , называются
открытыми множествами в топологическом пространстве (X, τ ).
Таким образом, задать топологическое пространство — это значит задать
некоторое множество X и задать на нем топологию τ , т.е. указать те подмножества, которые считаются в X открытыми.
Ясно, что на одном и том же X можно задавать разные топологии, превращая его тем самым в различные топологические пространства. Тем не менее
мы будем обозначать топологическое пространство, т.е. пару (X, τ ), одной
буквой X, когда ясно, какая топология на нем задана.
Определение 2.4. Множество X\U , являющееся дополнением к открытому множеству U, называется замкнутым множеством топологического
пространства X.
Для замкнутых множеств справедливы следующие свойства:
1. Пустое множество ∅ и всё X замкнуты.
2. Объединение конечного числа замкнутых множеств является замкнутым
множеством.
14
3. Пересечение любого (конечного или бесконечного) числа замкнутых множеств замкнуто.
Следует обратить внимание, что пересечение бесконечного числа открытых
множеств может не быть открытым. Например, зададим на числовой прямой R1
топологию следующим образом: открытыми подмножествами будем считать ∅
— пустое множество, всё R1 , все интервалы (a, b) = {x ∈ R1 ; a < x < b},
где a, b ∈ R1 — произвольные числа (в том числе интервалы вида (−∞, b) и
(a, +∞)) и всевозможные их объединения. Топология, заданная этими множе∞
T
1
ствами, называется обычной топологией на R . Тогда
(−1− n1 , 1+ n1 ) = [−1, 1]
n=1
— замкнутое множество. И так же объединение бесконечного числа замкнутых
∞
S
множеств может не быть замкнутым множеством. Например,
[−1+ n1 , 1− n1 ] =
n=1
(−1, 1) — открытое множество на прямой R1 с той же топологией.
Заметим, что пустое множество ∅ и всё X являются одновременно открытыми и замкнутыми множествами в любой топологии.
Примеры топологических пространств
Пример 2.1. Пусть X — произвольное множество, τ содержит все подмножества множества X.
Эта топология на множестве X называется максимальной или дискретной.
Пример 2.2. Пусть X — произвольное множество, τ состоит из двух множеств X и ∅.
Эта топология называется минимальной на X или тривиальной.
Пример 2.3. Пусть X состоит из двух элементов a и b. Системы
τ1 = {∅, X, {a}, {b}}, τ2 = {∅, X, {a}}, τ3 = {∅, X, {b}} задают топологии на X.
Пример 2.4. Рассмотрим произвольное бесконечное множество X и набор
подмножеств τ , состоящий из пустого подмножества и из всевозможных
15
подмножеств U из X, дополнения которых X\U являются конечными подмножествами. Эта топология называется топологией Зарисского на множестве X.
Пример 2.5. Пусть X = R1 , набор подмножеств τ состоит из ∅ и из всех
подмножеств вида (a, +∞), где a ∈ R1 . Эта топология называется правой
топологией на R1 . Аналогично можно задать и левую топологию на R1 .
Определение 2.5. Пусть на одном и том же множестве X заданы две
топологии τ1 и τ2 (тем самым определены два топологических пространства
(X, τ1 ) и (X, τ2 )). Говорят, что топология τ1 сильнее топологии τ2 (или что
топология τ2 слабее τ1 ), если система множеств τ2 содержится в τ1 (τ2 ⊂ τ1 ).
Если ни одна из топологий τ1 , τ2 не содержит другой, то топологии τ1 , τ2
называют несравнимыми.
В совокупности всех возможных топологий множества X естественным
образом вводится частичная упорядоченность относительно сравнения топологий. В этой совокупности топологий есть максимальный элемент — самая
сильная топология, в которой все множества открыты (пример 2.1), и минимальный — самая слабая топология, в которой открыты только всё X и ∅
(пример 2.2).
Упражнение 2.1. Покажите, что на числовой прямой R1 топология Зарисского слабее обычной топологии.
Для задания на множестве X определенной топологии τ нет необходимости непосредственно указывать все открытые подмножества этой топологии.
Оказывается, что достаточно указать лишь некоторую совокупность открытых
множеств, обладающую определенным свойством и называемую базой этой
топологии.
Определение 2.6. Совокупность β открытых множеств пространства
(X, τ ) называется базой топологии τ , или базой топологического пространства (X, τ ), если всякое непустое открытое множество представимо в виде
объединения некоторой совокупности множеств, принадлежащих β.
Пример 2.6. Совокупность всех одноточечных множеств топологического
16
пространства (X, τ ) с дискретной топологией является базой топологии τ .
Пример 2.7. Совокупность β = {Va,b } всех открытых параллелепипедов
Va,b = {x ∈ Rn ; ai < xi < bi , i = 1, n} где ai , bi , xi — i-е координаты векторов
a = (a1 , ..., an ), b = (b1 , ..., bn ), x = (x1 , ..., xn ), является базой обычной топологии на Rn .
Теорема 2.1. Набор β открытых множеств топологического пространства
(X, τ ) является базой топологии τ тогда и только тогда, когда для всякого
U ∈ τ и любого x ∈ U найдется V ∈ β такое, что x ∈ V ⊂ U .
Доказательство. Пусть β — база. Тогда любое U ∈ τ представимо в виде
объединения множеств Uβ ∈ β, т.е. каждое x ∈ U содержится в некотором Uβ ,
и Uβ ⊂ U .
Обратно, пусть U — открытое множество,
S и для любого x ∈ U найдется
Ux ∈ β такое, что x ∈ Ux ⊂ U . Значит U = Ux , т.е. β — база.
x
Определение 2.7. Семейство
B = {Uβ } подмножеств множества X назыS
вается покрытием X, если
Uβ = X. Если покрытие B = {Uβ } состоит из
β
открытых множеств Uβ топологического пространства (X, τ ), то такое покрытие называется открытым покрытием множества X.
Таким образом, база топологии является открытым покрытием пространства X. Если {Uβ } — некоторое покрытие X, то возникает вопрос: при каких
условиях можно построить топологию на X так, чтобы семейство {Uβ } было
базой этой топологии?
Теорема 2.2. (Критерий базы). Пусть X =
S
Uα . Покрытие β = {Uα }
α
является базой некоторой топологии на X тогда и только тогда, когда для
каждого Uα , каждого Uβ из β и каждого x ∈ Uα ∩ Uβ существует Uγ ∈ β
такое, что x ∈ Uγ ⊂ Uα ∩ Uβ .
Доказательство. Если β = {Uα } — база топологии, то Uα ∩ Uβ — открытое
множество, и по теореме 2.1 для каждого x ∈ Uα ∩ Uβ существует Uγ такое, что
x ∈ Uγ ⊂ Uα ∩ Uβ .
Обратно, если β = {Uα } удовлетворяет условию теоремы, то множества Uα
(всевозможные объединения множеств Uα ) и пустое множество ∅ образуют,
17
как нетрудно проверить, топологию на X, для которой β = {Uα } — база.
Заметим, что в доказательстве, если задано семейство β, удовлетворяющее
условию теоремы, мы указали и способ построения топологии.
Пример 2.8. Пусть X — произвольное линейно-упорядоченное множество1 ,
а β (−) — система всех его полуоткрытых слева интервалов, т.е. множеств
вида (a, b] = {x ∈ X; a < x ⩽ b} и (←, a] = {x ∈ X; x ⩽ a}. Система β (−)
служит базой некоторой топологии. Эта топология называется топологией
полуоткрытых слева интервалов.
Аналогично, система β (+) всех полуоткрытых справа интервалов, т.е. множеств вида [a, b) = {x ∈ X; a ⩽ x < b} и (a, →] = {x ∈ X; x ⩾ a}, служит
базой топологии, называемой топологией полуоткрытых справа интервалов.
Также отметим, что топология может наследоваться.
Теорема 2.3. Если (X, τ ) — топологическое пространство и Y — некоторое
подмножество X, то семейство τY = {U ∩ Y, U ∈ τ } является топологией
на Y .
Доказательство теоремы не представляет сложности. Рекомендуем читателю
проделать его самостоятельно.
Определение 2.8. Топология τY называется индуцированной топологией
на множество Y (с топологического пространства (X, τ )). Топологическое
пространство (Y, τY ) называется подпространством топологического пространства (X, τ ).
Пример 2.9. Топология на N, индуцированная обычной топологией на R1 ,
является дискретной топологией на N.
1
Линейно-упорядоченное множество — это множество, в котором любая пара элементов сравнима, то есть
для любых двух элементов a и b имеет место a ⩽ b или b ⩽ a.
18
Упражнения
1. Пусть X = {a, b, c}, τ1 = {∅, {a}, {a, b}}, τ2 = {∅, X, {a}, {b}},
τ3 = {∅, X, {a, c}}, τ4 = {∅, X, {a, b}, {b, c}}. Проверить, являются ли
τ1 , τ2 , τ3 , τ4 топологиями. Если нет, то указать какие из аксиом не выполнены.
2. Пусть X = {1, 3, 7}. Выписать всевозможные топологии на множестве X.
Сколько можно задать топологий на множестве, состоящем из трех элементов?
3. Пусть X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c}}. Выпишите все открытые
и все замкнутые множества в (X, τ ). Если есть множества, не открытые и
не замкнутые одновременно, то укажите и их.
4. Пусть X = R1 . Опишите топологию Зарисского на X. Приведите два примера открытых и два примера замкнутых множеств в топологии Зарисского (кроме ∅ и X). Чему равно их пересечение и их объединение?
5. Пусть X = N. Опишите топологию Зарисского на X. Приведите два примера открытых множеств и два примера замкнутых множеств в топологии
Зарисского (кроме ∅ и X). Чему равно их пересечение и их объединение?
6. Пусть X = R1 . Опишите правую топологию на X. Приведите два примера открытых множеств и два примера замкнутых множеств в правой
топологии (кроме ∅ и X). Чему равно их пересечение и их объединение?
7. Пусть X = {a, b, c}, τ1 = {∅, X, {a}}, τ2 = {∅, X, {c}}, τ3 = {∅, X, {a, c}}.
Сравните эти топологии друг с другом.
8. Пусть X = R1 . Сравните тривиальную, обычную, правую, левую, дискретную топологии, топологию Зарисского между собой.
9. Пусть X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {2}, {0, 3}}. Является ли (X, τ ) топологическим пространством?
10. Пусть на множестве X имеется две топологии τ1 и τ2 . Покажите, что τ1 ∩
τ2 является топологией на X.
11. Пусть X = R2 — плоскость, l — прямая на плоскости. Открытыми назовем
пустое множество ∅, а также любое подмножество, содержащее прямую l.
19
Докажите, что определенное так семейство подмножеств образует топологию на X.
12. Пусть X = R1 — числовая прямая. В качестве некоторого набора подмножеств множества X рассмотрим ∅, X, а также совокупность всех сонаправленных лучей без начальных точек. Докажите, что данный набор
подмножеств является топологией на X.
13. Пусть (X, τ ) — топологическое пространство. Добавим некоторый элемент
a: Y = {a} ∪ X, τ1 = a ∪ τ . Является ли (Y, τ1 ) топологией?
14. Какая топология на множестве X порождается множеством всех одноэлементных подмножеств {x}, где x ∈ X?
15. Пусть β1 и β2 — базы топологий τ1 и τ2 на множестве X. Доказать, что топология τ1 слабее топологии τ2 тогда и только тогда, когда любое непустое
подмножество, принадлежащее β1 , является объединением подмножеств,
принадлежащих β2 .
16. Показать, что на плоскости R2 множество прямоугольников {(x, y); a1 <
x < b1 , a2 < y < b2 } (a1 < a2 и b1 < b2 ) является базой некоторой топологии
на R2 .
17. Покажите, что топология на Z, индуцированная обычной топологией на
R1 , — дискретная топология на Z.
18. Покажите, что замкнутые множества подпространства Y топологического пространства X — это подмножества вида F ∩ Y , где F — замкнутое
множество в X.
19. Пусть X = R1 , τ — обычная топология, Y = {−2} ∪ [0, 2). Укажите, какие
из перечисленных множеств являются открытыми и какие являются
замкнутыми в подпространстве (Y, τY ):
U1 = {−2}, U2 = {−2, 0}, U3 = {0}, U4 = [0, 1],
U5 = [0, 1), U6 = (0, 1), U7 = [1, 2), U8 = (1, 2),
U9 = {−2} ∪ [0, 1), U10 = {−2} ∪ [0, 1].
20
20. Пусть X = R1 , τ — левая топология, Y = {−2} ∪ [0, 2). Укажите, какие
из перечисленных множеств являются открытыми и какие являются
замкнутыми в подпространстве (Y, τY ):
U1 = {−2}, U2 = {−2, 0}, U3 = {0}, U4 = [0, 1],
U5 = [0, 1), U6 = (0, 1), U7 = [1, 2), U8 = (1, 2),
U9 = {−2} ∪ [0, 1), U10 = {−2} ∪ [0, 1].
21. Пусть X = R1 , τпр — правая топология, Y = [−5, 6]. Приведите три примера открытых и три примера замкнутых множеств в топологическом пространстве (Y, τY ), где τY — индуцированная топология.
22. Пусть X = R1 , τпр — правая топология, Y = [0, 3] ∪ {7}. Приведите три
примера открытых и три примера замкнутых множеств в топологическом
пространстве (Y, τY ), где τY — индуцированная топология.
21
3. Окрестности. Предельные, изолированные, внутренние
и граничные точки
Пусть (X, τ ) — топологическое пространство, x ∈ X — произвольная точка
множества X, A — произвольное подмножество из пространства X.
Определение 3.1. Окрестностью точки x ∈ X называется всякое множество Ω(x) ⊂ X, удовлетворяющее условиям: 1) x ∈ Ω(x); 2) существует U ∈ τ
такое, что x ∈ U ⊂ Ω(x). Открытой окрестностью точки x ∈ X называется
любое открытое множество, содержащее эту точку.
Заметим, что в общем случае окрестность точки не обязательно является
открытым множеством. Однако, в данном курсе топологии нас не будут интересовать окрестности, не являющиеся открытыми множествами. Поэтому, далее
под словами «окрестность точки x» мы будем подразумевать именно открытую
окрестность.
Можно рассматривать совокупность всех окрестностей данной точки x. Эта
совокупность обладает следующими свойствами:
1. объединение любой совокупности окрестностей точки x есть окрестность
точки x;
2. пересечение конечного числа окрестностей точки x — окрестность точки
x;
3. всякое открытое множество, содержащее некоторую окрестность точки x,
является окрестностью точки x.
Используя введенное определение окрестности, нетрудно доказать следующее свойство открытых множеств любого топологического пространства.
Теорема 3.1. Множество A открыто тогда и только тогда, когда каждая
точка x из A имеет окрестность, целиком входящую в A.
Доказательство. Пусть множество открыто. Тогда оно является окрестностью каждой своей точки, т.е. каждая точка множества A входит в A вместе со
своей окрестностью.
Обратно,
пусть каждая точка x ∈ A входит в A вместе с окрестностью U (x).
S
Тогда
U (x) ⊂ A. С другой стороны, A есть объединение всех своих точек, и,
x∈A
22
S
S
так как каждое x ∈ U (x), получаем, что A =
x⊂
U (x). Следовательно,
x∈A
x∈A
S
A=
U (x) и A открыто, как объединение открытых множеств U (x).
x∈A
Окрестности используют для отделения точек друг от друга.
Определение 3.2. Топологическое пространство (X, τ ) называется хаусдорфовым, если для любых двух его различных точек, x и y, найдутся такие
окрестности U (x) и U (y) этих точек, что U (x) ∩ U (y) = ∅.
Упражнение 3.1. Покажите, что топологическое пространство (X, τ ) с
тривиальной топологией не является хаусдорфовым, если оно содержит более
одной точки.
Определение 3.3. Замыканием A множества A ⊂ X называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих A.
Если A замкнуто, то A = A. Замкнутое множество также можно охарактеризовать через понятие предельных точек, определяемое ниже.
Определение 3.4. Точка x ∈ X называется предельной для данного
множества A ⊂ X, если в каждой окрестности U (x) точки x содержится хотя
бы одна точка y ∈ A, отличная от x.
Пример 3.1. Рассмотрим в пространстве R1 с обычной топологией множества
A = {n}, B = { n1 }, n = 1, 2...; C = (0, 1), D = [0, 1]. Множество A не имеет
предельных точек, множество B имеет одну предельную точку 0, предельные
точки множеств C и D заполняют весь отрезок [0, 1].
Теорема 3.2. Множество A ⊂ X замкнуто тогда и только тогда, когда
оно содержит все свои предельные точки.
Доказательство. Пусть множество A замкнуто, x — предельная точка A и
x∈
/ A. Тогда x принадлежит открытому множеству U (x) = X\A, являющемся
окрестностью точки x. Но U (x) ∩ A = ∅, что противоречит тому, что x —
предельная точка.
23
Обратно, пусть A содержит все свои предельные точки. Покажем, что
оно замкнуто, т.е. что его дополнение X\A открыто. Для этого достаточно
показать, что для любой точки x ∈ V существует такая окрестность U (x)
точки x, что U (x) ⊂ V . В предположении противного для некоторой точки
x0 ∈ V и всякой ее окрестности U (xo ) найдется точка y ∈ U (x0 ) такая, что
y ∈
/ V . Тогда y ∈ X\V = A, следовательно, x0 — предельная точка для A, и
значит, x0 ∈ A в противоречие с предположением, что x0 ∈ V = X\A.
Определение 3.5. Множество всех предельных точек множества A называется производным множеством множества A и обозначается A0 .
Теорема 3.3. Для любого множества A ⊂ X множество A ∪ A0 замкнуто.
Доказательство. Покажем, что множество X\(A ∪ A0 ) открыто. Пусть x
— произвольная точка из X\(A ∪ A0 ). Тогда x не предельная точка для A,
поэтому найдется такая ее окрестность U (x), что U (x) ∩ A = ∅. Пусть y ∈ U (x)
— произвольная точка. Тогда для любой окрестность V (y) точки y такой, что
V (y) ⊂ U (x), имеем V (y) ∩ A = ∅, следовательно, y не предельная точка для
A и U (x) ∩ A0 = ∅. Таким образом, U (x) ⊂ X\(A ∪ A0 ); ввиду произвольности
x множество X\(A ∪ A0 ) открыто, следовательно, A ∪ A0 замкнуто.
Докажем основное утверждение о структуре замыкания множества.
Теорема 3.4. A = A ∪ A0 для всякого множества A, A ⊂ X.
Доказательство. По теореме 3.3 множество A∪A0 замкнуто. Следовательно,
по определению замыкания A ⊂ A ∪ A0 . С другой стороны, любое замкнутое
множество, содержащее A, содержит, очевидно, и все предельные точки A, а
следовательно, содержит A0 . Отсюда следует, что A ∪ A0 ⊂ A. Таким образом,
A = A ∪ A0 .
Таким образом, замыкание A множества A представляет собой объединение
множества A с множеством его предельных точек.
Пример 3.2 В пространстве R1 с обычной топологией Z = Z, Q = R1 ,
R1 \Q = R1 , (a, b) = [a, b) = [a, b] = [a, b].
24
Определение 3.6. Точка x ∈ A называется изолированной точкой множества A, если существует окрестность U (x) точки x, не содержащая точек
множества A, отличных от x. Множество называется дискретным, если каждая
его точка изолированная. Множество A называется совершенным, если оно
замкнуто и лишено изолированных точек.
То есть точка x ∈ A является изолированной точкой множества A, если
x ∈ A и x не является предельной точкой множества A.
Приведем важный пример множества, являющегося совершенным. Это множество было предложено создателем классической теории множеств — немецким математиком Г. Кантором, поэтому носит название канторова совершенного множества. Оно сыграло большую роль как в развитии теории множеств,
так и в других разделах математики, в частности, в топологии.
Рассмотрим в R1 с обычной топологией отрезок F0 = [0, 1], являющийся замкнутым множеством. Разделим этот отрезок на три равные части и удалим
из него средний интервал ( 13 , 23 ) длины 13 , а оставшееся замкнутое множество
обозначим через F1 . С каждым из двух оставшихся отрезков мы поступим также: разделим на три равные части и удалим его средний интервал, т.е. из F1
мы удаляем уже два интервала ( 91 , 92 ) и ( 79 , 89 ), имеющие длину 92 ; объединение
оставшихся четырех интервалов обозначим через F2 .
Продолжая этот процесс неограниченно, мы получаем бесконечную последовательность вложенных друг в друга замкнутых множеств
F0 ⊃ F1 ⊃ F2 ⊃ ... ⊃ Fn ⊃ Fn+1 ⊃ ... .
Замкнутое множество F =
∞
T
Fn , являющееся пересечением всех построен-
n=0
ных выше множеств Fn , и называется канторовым совершенным множеством.
Оно является совершенным множеством в обычной топологии на R1 .
Определение 3.7. Точка x ∈ A называется внутренней точкой множества
A, если найдется такая ее окрестность U (x), что U (x) ⊂ A. Множество всех
внутренних точек множества A называется внутренностью A и обозначается
Int A.
Таким образом, если A открыто, то Int A = A.
25
Пример 3.3. Пусть A = [0, 1] — отрезок вещественной прямой R1 с обычной
топологией, тогда Int [0, 1] = (0, 1).
Определение 3.8. Множество Int (X\A) называется внешней открытой
частью (или внешностью) множества A и обозначается ext A.
Упражнение 3.2. Покажите, что A = X\ext A.
Определение 3.9. Точка x ∈ X называется граничной точкой для множества A ⊂ X если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка из A
и хотя бы одна точка из X\A. Множество всех граничных точек множества A
называется границей этого множества и обозначается ∂A.
Другими словами, точка x ∈ X называется граничной точкой множества A
топологического пространства X, если она не является внутренней ни для A,
ни для X\A, т.е.
∂A = X\(IntA ∪ extA).
Пример 3.4. Пусть X = R1 с обычной топологией и A = (0, 1]. Тогда Int
A = (0, 1), X\A = (−∞, 0] ∪ (1, +∞), Int X\A = (−∞, 0) ∪ (1, +∞). Следовательно, ∂A = {0, 1} — множество из двух точек: 0 и 1.
Определение 3.10. Точка x ∈ X называется точкой прикосновения множества A ⊂ X, если любая её окрестность имеет с A непустое пересечение.
Определение 3.11. Пусть A и B — подмножества топологического
пространства X. Множество A называется плотным в множестве B, если
замыкание A содержит B (B ⊂ A), т.е. если каждая точка из B является
точкой прикосновения для A. В том случае, когда B = X, говорят, что A всюду
плотно. Множество A называется нигде не плотным в X, если дополнение к
замыканию A всюду плотно в X, т.е. X\A = X.
Пример 3.5 Множество рациональных чисел всюду плотно в R1 с обычной
топологией, а множество целых чисел нигде не плотно в R1 . Канторово совершенное множество F является нигде не плотным подмножеством числовой
прямой.
26
Упражнения
1. Пусть X = {2, 4, 7}, τ = {∅, X, {2, 4}, {4}, {4, 7}}. Укажите все окрестности точки x = 2, точки y = 4, точки z = 7 в (X, τ ).
2. Пусть X = R1 , τпр — правая топология, A = [3, 6). Является ли точка
x = 4 предельной точкой множества A? Точка y = 7? Укажите множество
всех предельных точек множества A.
3. Пусть X = {−3, 0, 5}, τ = {∅, X, {−3, 0}, {−3, −5}}, A = {0, 5}. Найдите
все предельные точки множества A.
4. Пусть X = R1 , τпр — правая топология, A = (−2, +∞). Является ли точка
x = 4 предельной точкой множества A? Точка y = 7? Укажите множество
всех предельных точек множества A.
5. Пусть X = R1 , τоб — обычная топология, τтр — тривиальная топология,
τдиск — дискретная топология, τz — топология Зарисского, A = [3, 6). Проверить для каждой топологии является ли точка x = 4 предельной точкой
множества A? Точка y = 7? Укажите множество всех предельных точек
множества A в каждой топологии.
6. Пусть X = R1 , τпр — правая топология, A = {−3} ∪ (−1, 4] ∪ {5}. Найти
все изолированные точки множества A.
7. Пусть X = {−3, 0, 5}, τ = {∅, X, {−3, 0}, {−3, −5}}, A = {0, 5}. Найдите
все изолированные точки множества A.
8. Пусть X = R1 , τоб — обычная топология, τтр — тривиальная топология, τпр
— дискретная топология, τz — топология Зарисского, A = {−3} ∪ (−1, 4] ∪
{5}. Найти все изолированные точки множества A в каждой топологии.
9. Пусть X = R1 , τпр — правая топология, A = [3, 6). Является ли точка
x = 4 внутренней точкой множества A? Точка y = 7? Укажите множество
всех внутренних точек множества A.
10. Пусть X = {−3, 0, 5}, τ = {∅, X, {−3, 0}, {−3, −5}}, A = {0, 5}. Найдите
все внутренние точки множества A.
11. Пусть X = R1 , τпр — правая топология, A = (−2, +∞). Является ли точка
x = 4 внутренней точкой множества A? Точка y = 7? Укажите множество
всех внутренних точек множества A.
27
12. Пусть X = R1 , τоб — обычная топология, τтр — тривиальная топология,
τдиск — дискретная топология, τпр — правая топология, τz — топология
Зарисского, A = [3, 6). Проверить для каждой топологии является ли точка
x = 4 внутренней точкой множества A? Точка y = 7? Укажите множество
всех внутренних точек множества A в каждой топологии.
13. Пусть X = {−3, 0, 5}, τ = {∅, X, {−3, 0}, {−3, −5}}, A = {0, 5}. Найдите
все граничные точки множества A.
14. Пусть X = R1 , τпр — правая топология, A = (−2, +∞). Является ли точка
x = 4 граничной точкой множества A? Точка y = 7? Укажите множество
всех граничных точек множества A.
15. Пусть X = R1 , τоб — обычная топология, τтр — тривиальная топология,
τдиск — дискретная топология, τz — топология Зарисского, A = [3, 6). Проверить для каждой топологии является ли точка x = 4 граничной точкой
множества A? Точка y = 7? Укажите множество всех граничных точек
множества A в каждой топологии.
16. Покажите, что подмножество A топологического пространства X тогда и
только тогда всюду плотно в X, когда U ∩ A 6= ∅ для всякого непустого
открытого подмножества U из X.
17. Покажите, что всякое непустое подмножество пространства X с тривиальной топологией всюду плотно в X.
18. Покажите, что всякое бесконечное подмножество пространства X с топологией Зарисского всюду плотно в X.
28
4. Аксиомы счетности
В первом параграфе приведен ряд примеров топологических пространств.
Почти все они обладают рядом необычных, «патологических» свойств (которые, впрочем, оказали большое влияние на развитие топологии). Однако
большинство важных топологических пространств, встречающихся в различных математических проблемах, обладают рядом дополнительных свойств. В
этом параграфе будут описаны свойства, связанные с аксиомами счетности.
Определение 4.1. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, если его топология обладает счетной базой, т.е.
базой состоящей не более чем из счетного числа элементов (см. определение
1.10).
Пример 4.1. Числовая прямая R1 с обычной топологией удовлетворяет
второй аксиоме счетности.
Определение 4.2. Если топологическое пространство X имеет не более
чем счетное подмножество A, замыкание которого совпадает с X, то оно
называется сепарабельным.
То есть сепарабельное пространство — это топологическое пространство,
содержащее счетное всюду плотное множество.
Пример 4.2. Евклидово пространство Rn является сепарабельным пространством. Счетным всюду плотным множеством в нем будет множество всех точек,
имеющих рациональные координаты. Несчетное множество, в котором введена
дискретная топология, является примером несепарабельного пространства.
Теорема 4.1. Топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, сепарабельно.
Доказательство. Пусть X — топологическое пространство и B = {Vn } —
счетная база его топологии. Выберем в каждом из множеств {Vn } ∈ B по
элементу an ∈ Vn и рассмотрим множество A = {a1 , ..., an , ...}. Покажем, что
X = A. Так как A = A ∪ A0 , то достаточно показать, что любая точка множества X\A является предельной точкой множества A. Пусть x — произвольная
29
точка из X\A и U (x) — некоторая ее окрестность. Тогда существует множество
Vk ∈ B такое, что x ∈ Vk и Vk ⊂ U (x), поэтому ak ∈ U (x), при этом ak 6= x.
Следовательно, x ∈ A0 .
Отметим, что обратное утверждение, т.е. что сепарабельное пространство
удовлетворяет второй аксиоме счетности, неверно. Приведем соответствующий
пример.
Пусть X — несчетное множество. Рассмотрим в X топологию Зарисского (X, τz ). В пространстве (X, τz ) всякое бесконечное подмножество плотно,
так как оно пересекается с каждым непустым открытым множеством. Поэтому (X, τz ) — сепарабельно, так как в нем любое счетное множество всюду
плотно. Допустим, что (X, τz ) имеет счетную базу. Возьмем некоторую точку
a ∈ X. Пересечение всех открытых множеств, содержащих a, будет одноточечным множеством, а именно точкой a, поскольку для любой точки b 6= a
множество X\{b} открыто. Следовательно, пересечение последовательности
B1 , B2 , ... всехTбазисных
S множеств, содержащих точку a, также равно a. Но
X\{a} = X\( Bi ) = (X\Bi ). Так как X\Bi конечны, то X\{a} — счетно,
i
i
что противоречит несчетности X. Итак, сепарабельное пространство (X, τz ) не
имеет счетного базиса.
Имеет место следующая теорема, часто используемая в приложениях.
Теорема 4.2. (Линделёф). Если пространство X удовлетворяет второй
аксиоме счетности, то в произвольном его открытом покрытии содержится
счетное подпокрытие.
Доказательство. Пусть β — счетная база топологии на X. Так как всякий
элемент покрытия {Uα } есть объединение множеств из β, то в β можно выделить подсемейство V , тоже покрывающее X и такое, что каждый элемент из V
содержится в некотором элементе семейства {Uα }. Тогда выбрав для каждого
элемента из покрытия V какое-нибудь одно содержащее его множества {Uα },
получим не более чем счетное подпокрытие {Uα }.
Кроме пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности имеются
пространства, удовлетворяющие первой аксиоме счетности. Чтобы сформулировать соответствующее понятие, дадим следующее определение.
30
Определение 4.3. Семейство B(x) = {U (x)} окрестностей точки x называется базой системы окрестностей точки x, если в каждой окрестности
точки x содержится некоторая окрестность из этого семейства.
Определение 4.4. Говорят, что топологическое пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности, если система окрестностей всякой его точки
обладает счетной базой, т.е. базой, состоящей не более чем из счетного числа
окрестностей.
Пример 4.3. Пространство непрерывных функций C[0,1] удовлетворяет
первой аксиоме счетности.
Упражнение 4.1. Докажите, что пространство, удовлетворяющее второй
аксиоме счетности, удовлетворяет и первой аксиоме счетности.
Обратное утверждение неверно, как показывает следующий пример.
Пример 4.4. Всякое несчетное пространство X с дискретной топологией
удовлетворяет первой аксиоме счетности. Действительно, у всякой точки x ∈ X
есть база системы окрестностей, состоящая из одной окрестности U = {x}. Но
такое пространство не удовлетворяет второй аксиоме счетности. Это следует
из теоремы Линделёфа и из того, что покрытие, образованное одноточечными
множествами {x}x∈X , не имеет счетного подпокрытия.
Таким образом, выполнение второй аксиомы счетности является более
сильным условием на топологическое пространство, чем выполнение первой
аксиомы счетности.
Упражнения
1. Пусть X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}}. Приведите пример
базы топологии τ . Проверьте, удовлетворяет ли (X, τ ) второй аксиоме счетности.
2. Пусть (X, τ ) = (R1 , τправ ). Приведите пример базы топологии τ . Проверьте,
удовлетворяет ли (X, τ ) второй аксиоме счетности.
31
3. Пусть N — подпространство (R1 , τоб ). Приведите пример базы индуцированной на N топологии τ .
4. Пусть N — подпространство (R1 , τправ ). Приведите пример базы индуцированной на N топологии τ .
5. Докажите, что если топологическое пространство удовлетворяет второй
аксиоме счетности, то и всякое его подпространство удовлетворяет второй
аксиоме счетности.
6. Убедитесь, что пространство X с дискретной топологией не удовлетворяет
второй аксиоме счетности.
7. Покажите, что пространство X с топологией Зарисского сепарабельно.
8. Докажите, что если топологическое пространство удовлетворяет первой
аксиоме счетности, то и всякое его подпространство также удовлетворяет
первой аксиоме счетности.
32
5. Аксиомы отделимости
Целый ряд «хороших» свойств топологических пространств связан с возможностью отделить одну точку от другой с помощью их окрестностей. Здесь мы
рассмотрим топологические пространства, удовлетворяющие дополнительным
условиям, называемым аксиомами отделимости. Перечислим эти аксиомы в
порядке усиления предъявляемых в них требований к пространствам.
Определение 5.1. (Аксиома Колмогорова) Пространство X называется
T0 — пространством, если из каждых двух различных точек пространства
по крайней мере одна имеет окрестность, не содержащую другую точку. T0 —
пространства называют также колмогоровскими.
Существуют топологические пространства, не являющиеся T0 — пространствами. Приведем пример. Будем считать в Rn открытыми множествами пустое
множество, все Rn и открытые шары с центром в начале координат. Рассмотрим
две точки, отстоящие на одинаковом расстоянии от центра. Тогда не существует
открытого множества, содержащего одну точку и не содержащего другую.
Другим примером, для которого не выполнена аксиома отделимости T0 ,
может служить пространство, состоящее более, чем из одной точки с тривиальной топологией. Отметим, что топологические пространства, не являющиеся
T0 — пространствами, не представляют интереса для исследования.
Определение 5.2. Пространство X называется T1 — пространством, если
каждая точка всякой пары различных точек имеет окрестность, которая не
содержит другой точки этой пары.
Пример 5.1. Числовая прямая с топологией Зарисского является T1 — пространством. Действительно, для x 6= y окрестностью точки x, не содержащей y,
является дополнение R1 \y, а окрестностью точки y, не содержащей x, является
R1 \x.
Пример 5.2. Числовая прямая с обычной топологией является T1 — пространством.
Нетрудно видеть, что пространство, удовлетворяющее T1 , удовлетворяет и
33
T0 , а не удовлетворяющее T0 , не удовлетворяет и T1 . Так что пространство с
тривиальной топологией не удовлетворяет T1 .
Существуют T0 — пространства, не являющиеся T1 — пространствами. К
примеру, числовая прямая с правой топологией. Действительно, пусть x < y.
Тогда, взяв x < a < y, мы получим, что (a, +∞) содержит y (т.е. является его
окрестностью) и не содержит x (отсюда следует выполнение T0 ). Однако, для
любого b < x интервал (b, +∞) содержит и x, и y, т.е. любая окрестность точки
x содержит и y.
Топологические пространства, не удовлетворяющие аксиоме T1 , плохо
устроены с точки зрения классического анализа. Одноточечное множество в
них может быть не замкнуто, а конечное множество может иметь предельные
точки (приведите примеры). В T1 — пространствах такие ситуации уже не
имеют места.
Упражнение 5.1. Покажите, что топологическое пространство тогда и
только тогда является T1 — пространством, когда любое его одноточечное
множество замкнуто.
Теорема 5.1. В каждой окрестности любой предельной точки множества
A в T1 — пространстве X содержится бесконечно много точек из A.
Доказательство. Пусть x — предельная точка множества A и U (x) —
некоторая ее окрестность. Предположим, что множество U (x) ∩ A конечно.
Тогда множество B = (U (x) ∩ A)\{x} замкнуто как объединение конечно числа
замкнутых одноточечных множеств, и, следовательно, множество U1 = U (x)\B
открыто. Таким образом, U1 — окрестность точки x и U1 ∩ A = {x}, что противоречит тому, что x — предельная точка A.
Следствие 5.1. Никакое конечное подмножество T1 — пространства не
имеет предельных точек.
Определение 5.3. (Аксиома Хаусдорфа) Пространство X называется
T2 — пространством, если для любых двух различных точек этого пространства
существуют их непересекающиеся окрестности. В этом случае X называют
также Хаусдорфовым пространством.
34
Существуют T1 — пространства, которые не являются хаусдорфовыми. В
качестве примера можно рассмотреть множество R1 с топологией Зарисского.
Определение 5.4. Окрестностью множества A в топологическом пространстве X называется любое открытое множество U (A) содержащее A.
Определение 5.5. Пространство X называется T3 — пространством, если
любая точка этого пространства и любое замкнутое множество из этого пространства, не содержащее данную точку, имеют непересекающиеся окрестности.
Определение 5.6. Если пространство X является T1 и T3 — пространством,
то оно называется регулярным пространством.
Существуют хаусдорфовы пространства, не являющиеся регулярными.
Например, определим на отрезке [0, 1] топологию следующим образом. Окрестностями любой точки, кроме нулевой, будем считать обычные окрестности,
а окрестностями нуля назовем всевозможные интервалы [0, α) с выброшенными точками n1 , где n = 1, 2, ... (здесь мы пользуемся заданием топологии с
помощью системы окрестностей). Получившееся топологическое пространство
— хаусдорфово. Но оно не является T3 — пространством, так как точка 0 и
замкнутое множество A = { n1 ; n = 1, 2, ...} неотделимы непересекающимися
окрестностями.
Определение 5.7. Пространство X называется T4 — пространством, если
для любых двух непересекающихся замкнутых подмножеств F1 и F2 существуют непересекающиеся окрестности U (F1 ) и U (F2 ).
Определение 5.8. Если пространство X является T1 и T4 — пространством,
то оно называется нормальным пространством.
Существуют примеры регулярных пространств, не являющихся нормальными. Однако следует отметить, что различие между регулярными и
нормальными пространствами довольно тонко, как показывает следующая
теорема А.Н. Тихонова.
35
Теорема 5.2. (Тихонова). Всякое регулярное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности является нормальным.
Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Часто бывает полезно формулируемое в следующей лемме свойство нормальных пространств, которое можно принять за эквивалентное определение
нормального пространства.
Теорема 5.3. (Малая лемма Урысона) T1 — пространство X нормально тогда и только тогда, когда для любого замкнутого множества A ⊂ X
и любой его открытой окрестности U существует открытая окрестность V
множества A такая, что V ⊂ U .
Доказательство. Пусть X — нормальное пространство. Рассмотрим два замкнутых множества: A и B = X\U . Так как пространство нормально, существуют непересекающиеся открытые окрестности V и V1 множеств A и B. Тогда
V ⊂ X\V1 , и, следовательно, V ⊂ X\V1 . Но X\V1 замкнуто, поэтому X\V1 =
X\V1 . Таким образом, V ⊂ X\V1 ⊂ U .
Обратно, пусть выполнено условие леммы и A, B — непересекающиеся
замкнутые множества. Рассмотрим множество U1 = X\B. Тогда A ⊂ U1 и по
условию существует открытая окрестность V1 множества A такая, что V1 ⊂ U .
Положим U2 = X\V1 , получим открытое множество U2 , B ⊂ U2 , причем
V1 ∩ U2 = ∅.
Следствие 5.2. В нормальном пространстве X два непересекающихся
замкнутых множества A и B имеют такие открытые окрестности U1 и U2 , что
U1 ∩ U2 = ∅.
Из нормального пространства, вообще говоря, не следует нормальность его
подпространств. Если же в нормальном пространстве X всякое подпространство нормально, то X называют наследственно нормальным пространством.
Условие наследственной нормальности дает следующая теорема.
Теорема 5.4. (Урысона). Пространство наследственно нормально тогда
и только тогда, когда любые два его отделенных друг от друга множества
имеют непересекающиеся открытые окрестности.
36
Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Упражнения
В следующих задачах 1 — 9 проверить выполнение аксиом отделимости
T0 — T4 для топологических пространств (X, τ ):
1. X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a}, {a, b}}.
2. X = {0, 1, 2}, τ = {∅, X, {0}, {0, 1}, {1}}.
3. X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a, b}, {b, c}, {b}}.
4. X = {−2, 0, 3}, τ = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}}.
5. X = R1 , τоб — топология числовой прямой.
6. X = R1 , τпр — правая топология.
7. X = R1 , τz — топология Зарисского.
8. X = R1 , τтр — тривиальная топология.
9. X = R1 , τдиск — дискретная топология.
В следующих задачах 10 — 13 проверить выполнение аксиом отделимости
T0 — T4 для подпространства (Y, τy ) топологического пространства (X, τ ),
где:
10. (X, τ ) = (R1 , τ пр), Y = [0, 5]
11. (X, τ ) = (R1 , τ об ), Y = [0, 5]
12. (X, τ ) = (R1 , τ пр), Y = {0, 1, 2, 3}
13. (X, τ ) = (R1 , τ об ), Y = {0, 1, 2, 3}
14. Постройте топологию на множестве X = {a, b, c} таким образом, чтобы
топологическое пространство (X, τ ) было T3 — пространством, но не было
T2 — пространством.
15. Покажите, что подпространство Ti — пространства (i = 0,1,2,3) также является Ti — пространством.
37
6. Непрерывные отображения топологических
пространств
Поскольку мы ввели определение окрестности точки в топологическом
пространстве, можем дать определение непрерывного отображения f : X → Y ,
где X и Y — топологические пространства, с топологиями τ и σ, соответственно.
Определение 6.1. Отображение f называется непрерывным в точке x ∈ X,
если для каждой окрестности V ∈ σ точки f (x) существует такая окрестность
U ∈ τ точки x, что f (U ) ⊂ V . Отображение f называется непрерывным на X,
если оно непрерывно в каждой точке из X.
Справедлив следующий полезный критерий непрерывности отображения.
Теорема 6.1. Отображение f : X → Y непрерывно тогда и только тогда, когда для любого открытого множества V ∈ σ пространства Y его
прообраз U = f −1 (V ) принадлежит τ , т.е. является открытым множеством
топологического пространства X.
Доказательство. Пусть f непрерывно, т.е. удовлетворяет определению 6.1.
Выберем открытое множество V в Y . Поскольку V — окрестность каждой своей
точки y = f (x), где x ∈ U = f −1 (V ), то по определению 6.1 каждое x имеет
окрестность Ux такую, что f (Ux ) ⊂ V . Из последнего включения, в частности,
следует, что Ux ⊂ U , так как по определению
U есть множество всех точек x
S
из X, таких, что f (x) ∈ V . Тогда U =
Ux . Действительно, так как каждое x
x∈U
S
принадлежит своему Ux ,
Ux содержит все x, т.е. включает в себя U . С другой
x∈U
стороны, так как все Ux содержится
в U , то и их объединение содержится
в U.
S
S
S
Ux и
Ux ⊂ U следует равенство
Ux = U .
Из двух включений U ⊂
x∈U
x∈U
x∈U
Таким образом, U и есть объединение открытых множеств Ux , то есть оно само
открыто по определению топологии.
Теперь пусть для любого открытого множества V топологического пространства Y (т.е. V ∈ σ) множество U = f −1 (V ) открыто в X (т.е. принадлежит
τ ). Покажем, что выполнено определение 6.1 в каждой точке x ∈ X. Выберем
произвольную окрестность Vf (x) точки f (x) в Y . Это открытое множество и
поэтому Ux = f −1 (Vf (x) ) открыто в X и при этом по построению f (Ux ) = Vf (x) .
38
Итак, для любой окрестности Vf (x) точки f (x) существует окрестность Ux
точки x такая, что f (Ux ) содержится в Vf (x) , т.е. выполнено определение 6.1.
Упражнение 6.1. Докажите, что для того, чтобы отображение f : X → Y
было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз любого замкнутого множества был замкнутым множеством.
Обратим внимание, что образ замкнутого (открытого) множества при непрерывном отображении может быть и незамкнутым (не открытым) множеством.
Например, образом открытого множества (−1, 1) при отображении f (x) = x2
является множество [0, 1), которое открытым не является.
Среди непрерывных отображений топологических пространств важный
подкласс составляют гомеоморфизмы топологических пространств.
Определение 6.2. Отображение f из топологического пространства X в
топологическое пространство Y называется гомеоморфизмом, если выполнены
следующие три условия:
1. f взаимно – однозначно (т.е. для любого y ∈ Y существует x ∈ X такое,
что f (x) = y, и указанное x единственно; в частности существует обратное
отображение f −1 : Y → X);
2. f — непрерывно;
3. отображение f −1 также непрерывно.
Если существует гомеоморфизм f : X → Y , то говорят, что топологические
пространства (X, τ ) и (Y, σ) гомеоморфны друг другу. В этом случае многие топологические свойства пространств X и Y (такие, как связность, компактность,
выполнение для них аксиом счётности и отделимости и т.д.) наследуются при
гомеоморфизме f . То есть, если какое либо свойство выполнено для топологического пространства X, то оно будет иметь место и для всех гомеоморфных ему
пространств. Таким образом, можно говорить, что гомеоморфные пространства
с точки зрения их топологических свойств устроены одинаково. Более того, поставив в соответствие каждому элементу x ∈ X элемент f (x) ∈ Y (с помощью
гомеоморфизмы f ) мы можем считать (X, τ ) и (Y, σ) по сути одним и тем же
топологическим пространством.
39
Понятия гомеоморфизма и гомеоморфности являются центральными для
многих разделов топологии, в которых изучаются характеристики, описывающие гомеоморфные пространства. Поскольку гомеоморфные пространства
устроены одинаково, то их можно не различать, т.е. считать разными экземплярами одного и того же объекта. Существует крылатая фраза, что тополог
(математик, занимающийся топологией) — это человек, не отличающий бублик
от чайной чашки. Это означает, что наиболее общие (топологические) свойства
бублика и чашки одинаковы (они телесны и имеют одну дырку).
На основе критерия непрерывности отображения можно сформулировать
критерий гомеоморфизма:
Теорема 6.2. Для того, чтобы взаимно – однозначное отображение f :
X → Y было гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:
а) образ любого открытого множества из X открыт в Y ,
б) прообраз любого открытого множества из Y открыт в X.
Примеры гомеоморфных пространств и гомеоморфизмов
1. Любые два интервала (a, b) и (c, d) гомеоморфны (на интервалах задается
топология, индуцированная с одной и той же произвольной топологии на
R1 ). Гомеоморфизм между ними устанавливает, например, линейная функd−c
ция y = b−a
(x − a) + c; x ∈ (a, b), y ∈ (c, d).
2. Интервал (a, b) и числовая ось R1 гомеоморфны (топология на (a, b) индуцируется с произвольной топологии на R1 ). Гомеоморфизм между ними
π
устанавливает, например, функция y = tg[ x(x−a)
b−a − 2 ].
3. Интервал (0, +∞) и числовая ось R1 гомеоморфны (топология на (0, +∞)
индуцируется с произвольной топологии на R1 ). Гомеоморфизм между ними устанавливает, например, функция y = ln x.
4. Сфера гомеоморфна поверхности куба (топология на сфере и кубе индуцируется с произвольной топологии на R3 ). Для того, чтобы установить
гомеоморфизм между ними, достаточно поместить их центры в одну точку и произвести из нее центральное проектирование.
40
Упражнения
В задачах 1 — 12 проверить, является ли отображение f непрерывным.
1. f : (R1 , τоб ) → (R1 , τоб ),
f (x) = x + 1.
2. f : (R1 , τоб ) → (R1 , τпр ),
f (x) = 2x.
3. f : (R1 , τпр ) → (R1 , τоб ),
f (x) = 2x.
4. f : (R1 , τпр ) → (R1 , τлев ),
f (x) = −3x.
5. f : (R1 , τоб ) → (R1 , τz ),
f (x) = x + 5.
6. f : (R1 , τоб ) → (R1 , τпр ),
f (x) = x2 .
7. f : (R1 , τлев ) → (R1 , τпр ),
f (x) = x2 .
8. f : (R1 , τпр ) → (R1 , τz ),
f (x) = 2x.
9. f : (R1 , τz ) → (R1 , τпр ),
f (x) = 2x.
10. f : (R1 , τпр ) → (R1 , τлев ),
f (x) = −4x + 1.
11. f : (R1 , τоб ) → (R1 , τz ),
f (x) = 5x.
(
0, если x − рационально,
12. f : (R1 , τоб ) → (R1 , τоб ), f (x) =
1, если x − иррационально.
В задачах 13 — 17 проверить, является ли отображение f гомеоморфизмом.
13. f : (R1 , τоб ) → (R1 , τоб ),
f (x) = 3x − 1.
14. f : ([0, 3], τоб ) → ([0, 6], τоб ),
15. f : (R1 , τпр ) → (R1 , τлев ),
f (x) = 2x.
f (x) = −x.
16. f : (X, τ ) → (Y, σ),
X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a}, {b, c}}
Y = {1, 2, 3}, σ = {∅, Y, {1, 2}, {3}}
f (a) = 3, f (b) = 1, f (c) = 2.
17. f : (R1 , τоб ) → (R1 , τпр ),
f (x) = 2x + 3,
В задачах 18 — 20 проверить, является ли отображение f непрерывным.
41
18. f : (X, τ ) → (Y, σ),
X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a}, {a, b}}
Y = {e, d, h}, σ = {∅, Y, {d}, {h}, {d, h}}
f (a) = d, f (b) = h, f (c) = e.
19. A = {1, 2, 3} — подпространство (R1 , τоб ), B = {3, 4, 5} — подпространство (R1 , τпр ), f : A → B, f (x) = x + 2.
20. f : (R1 , τоб ) → (R1 , τпр ),
f (x) = |x|.
42
7. Метрические топологические пространства
В топологии выработано существенно более широкое понятие пространства,
чем евклидово. Вначале мы сделаем первый шаг и рассмотрим понятие метрического пространства. Напомним, что если X и Y — два множества, то их
произведением X × Y называют множество, состоящие из всех упорядоченных
пар (x, y) x ∈ X, y ∈ Y (см. определение 1.7.).
Определение 7.1. Метрическим пространством называется множество
X вместе с отображением ρ : X × X → R1 , сопоставляющим каждой паре
(x, y) ∈ X × X вещественное число ρ(x, y) и удовлетворяющим свойствам:
1. ρ(x, y) ⩾ 0 для любых x, y ∈ X;
2. ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;
3. ρ(x, y) = ρ(y, x);
4. ρ(x, y) ⩽ ρ(x, z) + ρ(z, y) для любых x, y, z ∈ X.
Отображение ρ называется расстоянием или метрикой пространства X.
Данное метрическое пространство обозначается (X, ρ).
Рассмотрим важный пример метрического пространства — евклидово пространство
Rn = {(x1 , ..., xn ), xi ∈ R, i = 1, ..., n},
состоящее из всех упорядоченных наборов (называемых точками или векторами) n вещественных чисел. Числа xi называются координатами точки (вектора).
Метрика (евклидова метрика) в Rn (n ≥ 1) вводится с помощью отображения:
X
1/2
n
ρ(x, y) =
(xi − yi )2
,
i=1
где x = (x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ) — два произвольных вектора пространства Rn .
Проверим, что это метрика. Свойства метрики 1), 2) и 3), очевидно, выполнены. Проверим свойство 4). Требуется доказать неравенство
X
1/2 X
1/2 X
1/2
n
n
n
2
2
2
(xi − yi )
≤
(xi − zi )
+
(zi − yi )
i=1
i=1
i=1
43
для произвольных вещественных чисел xi , yi , zi , i = 1, ..., n. Доказательство
разбивается на две леммы.
Лемма 7.1. (неравенство Коши – Буняковского). Для любых двух
вещественных чисел xi , yi , i = 1, ..., n, справедливо неравенство
X
1/2 X
1/2
n
n
n
X
2
2
(xi , yi ) ⩽
xi
yi
.
i=1
i=1
i=1
Доказательство. Для произвольного вещественного λ имеем
n
X
2
(xi + λyi ) ⩾ 0, откуда
n
X
i=1
x2i + 2λ
i=1
n
X
2
xi yi + λ
i=1
n
X
yi2 ⩾ 0.
i=1
Рассмотрим левую часть неравенства как полином от λ. Он не может иметь двух
различных вещественных корней, следовательно, дискриминант его не положителен, что и приводит к неравенству
X
2 X
n
n
n
X
2
x i yi ⩽
xi
yi2 .
i=1
i=1
i=1
Лемма 7.2. (неравенство Минковского). Для любой пары вещественных чисел xi , yi , i = 1, ..., n, справедливо неравенство
X
1/2 X
1/2 X
1/2
n
n
n
2
2
2
(xi + yi )
⩽
xi
+
yi
.
i=1
i=1
i=1
Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского:
n
X
2
(xi + yi ) =
n
X
i=1
⩽
n
X
i=1
x2i + 2
X
n
x2i
Извлекая корень
неравенство.
i=1
1/2 X
n
i=1
yi2
i=1
из
(x2i + 2xi yi + yi2 ) ⩽
обеих
1/2
+
n
X
i=1
частей
44
yi2 =
" n
X
i=1
неравенства,
x2i
1/2
+
X
n
yi2
1/2 #2
.
i=1
получаем
требуемое
Закончим проверку свойства 4) метрики. Пользуясь неравенством Минковского, получаем
X
1/2 X
2 1/2
n
n 2
(xi − yi )
=
(xi − zi ) + (zi − yi )
⩽
i=1
i=1
⩽
X
n
(xi − zi )2
1/2
+
i=1
X
n
(zi − yi )2
1/2
.
i=1
Таким образом, ρ — метрика в Rn .
Пример 7.1. Рассмотрим множество всех непрерывных функций на отрезке
[a, b]. Его обычно обозначают C[a,b] . Если x(t), y(t) — две непрерывные функции
из C[a,b] , то положим
ρ(x, y) = max |x(t) − y(t)|.
t∈[a,b]
Множество C[a,b] с описанной выше метрикой называется пространством
непрерывных функций, оно играет важную роль в анализе.
Упражнение 7.1. Проверьте, что функция ρ(x, y) из примера 7.1, действительно является метрикой.
Если (X, ρ) — метрическое пространство и Y ⊂ X — подмножество, то
(Y, ρ) — также метрическое пространство, где ρ : Y × Y → R1 — сужение
отображения ρ на подмножество Y × Y .
Определение 7.2. Говорят, что метрика в Y индуцируется (является
наследственной) метрикой из X, а (Y, ρ) называют подпространством метрического пространства (X, ρ).
В метрическом пространстве (X, ρ) естественно вводятся понятия, обобщающие начальные понятия математического анализа. Пусть каждому числу n
натурального ряда чисел 1, 2, ..., n ставится в соответствие точка xi , i = 1, n метрического пространства (X, ρ). Возникающий при этом ряд точек x1 , x2 , ..., xn ,
рассматриваемый в указанном порядке, называется последовательностью точек метрического пространства (X, ρ) и обозначается {xn }. Говорят, что последовательность {xn } сходится к точке a (имеет предел a), если для всякого ε > 0
45
найдется такое натуральное число n0 (ε), что ρ(xn , a) < ε для всех n ⩾ n0 (ε).
Этот факт часто записывают так:
ρ
xn → a, или проще, xn → a.
Определим понятие непрерывного отображения метрического пространства
(X, ρ1 ) в метрическое пространство (Y, ρ2 ).
Определение 7.3. Пусть f : X → Y — отображение действующее из
множества X в множество Y . Если для любой точки x0 ∈ X и любой схоρ
дящейся к ней в X последовательности {xn } (т.е. → x0 ) последовательность
ρ
образов {f (xn )}сходится в Y к f (x0 ) (т.е. f (xn ) → f (x0 )), то отображение f
называется непрерывным отображением метрического пространства (X, ρ1 )
в метрическое пространство (Y, ρ2 ).
Очевидно, что это определение является обобщением понятия непрерывной
числовой функции. Оно охватывает широкий класс отображений геометрических фигур в евклидовых пространствах.
Эквивалентное определение непрерывного отображения метрических пространств можно дать и на языке ε, δ: отображение f : X → Y непрерывно,
если для любого x0 ∈ X и любого ε > 0 найдется такое δ = δ(ε, x0 ), что
ρ2 (f (x), f (x0 )) < ε, как только ρ1 (x, x0 ) < δ.
Если в этом определении δ не зависит от выбора точки x0 , то отображение
f называется равномерно непрерывным.
Теперь мы подошли к определению гомеоморфизма метрических пространств.
Определение 7.4. Отображение f : X → Y метрических пространств
называется гомеоморфизмом, а пространства X и Y — гомеоморфными, если 1) f — взаимно – однозначно, 2) f — непрерывно, 3) обратное отображениеf −1 — непрерывно.
Заметим, что определение гомеоморфизма метрических и топологических
пространств одинаково. Можно сделать вывод, что между этими пространствами есть связь. Действительно, в метрическом пространстве можно задать топологию.
46
Пусть (X, ρ) — некоторое метрическое пространство с метрикой ρ. На X
естественным образом можно построить топологию. Рассмотрим всевозможные
множества Dε (x) = {y : ρ(x, y) < ε}, где x ∈ X, ε > 0. Множество Dε (x)
называется открытым шаром радиуса ε с центром в точке x.
Совокупность {Dε (x)} всех открытых шаров образует покрытие метрического пространства (X, ρ), для которого выполнен критерий базы (см. теорему
2.2.). Действительно, пусть Dε1 (x1 ) и Dε2 (x2 ) — два открытых шара с непустым
пересечением. Пусть y ∈ Dε1 (x1 ) ∩ Dε2 (x2 ) и δ = min{ε1 − ρ(y, x1 ), ε2 − ρ(y, x2 )}
и z ∈ Dδ (y); тогда
ρ(z, x1 ) ⩽ ρ(z, y) + ρ(y, x1 ) < δ + ρ(y, x1 ) ⩽ ε1 ,
ρ(z, x2 ) ⩽ ρ(z, y) + ρ(y, x2 ) < δ + ρ(y, x2 ) ⩽ ε2 .
Следовательно, z ∈ Dε1 (x1 ) ∩ Dε2 (x2 ), откуда Dδ (y) ⊂ Dε1 (x1 ) ∩ Dε2 (x2 ).
Таким образом, открытыми множествами топологии τρ являются: всевозможные объединения открытых шаров метрического пространства (X, ρ) и
пустое множество ∅. Такую топологию мы далее будем называть метрической
топологией, индуцированной метрикой ρ.
Теорема 7.1. Построенная топология τρ — хаусдорфова.
Доказательство. Пусть x 6= y, в этом случае ρ(x, y) = α > 0 (по свойству
метрики). Взяв ε = α3 , рассмотрим Dε (x) и Dε (y). Легко видеть, что Dε (x) ∩
Dε (y) = ∅. В самом деле, предположив противное, для точки z ∈ Dε (x) ∩ Dε (y)
имели бы
α α 2α
α = ρ(x, y) ⩽ ρ(x, z) + ρ(z, y) < + =
,
3
3
3
что невозможно.
Можно дать другое, эквивалентное определение открытых множеств в
метрическом пространстве.
Определение 7.5. Непустое множество U 6= ∅ открыто, если для всякой
точки x ∈ U найдется открытый шар Dε (x) с центром в x, содержащийся в U .
Рассмотрим отображение f : X → Y метрического пространства (X, ρ1 ) в
метрическое пространство (Y, ρ2 ). Теперь можно дать два определения непрерывности f : как отображения метрических и как отображения топологических
47
пространств. Эти два определения эквивалентны, а именно верна следующая
теорема.
Теорема 7.2. Отображение f : X → Y метрического пространства (X, ρ1 )
в метрическое пространство (Y, ρ2 ) непрерывно (в топологиях, индуцированных метриками) тогда и только тогда, когда для всякого x0 ∈ X и
всякой сходящейся к x0 последовательности {xn } в X последовательность
{f (xn )} сходится в Y к f (x0 ).
Доказательство. Пусть f : X → Y — непрерывное отображение в тополоρ1
гиях X, Y , индуцированных метриками, и пусть xn → x0 . Покажем, что тогда
ρ2
f (xn ) → f (x0 ). Последнее означает, что для всякого ε > 0 найдется натуральное
N = N (ε, x0 ) такое, что ρ2 (f (xn ), f (x0 )) < ε при n > N .
Рассмотрим в Y открытый шар Dε (f (x0 )). Обозначим его Vε . Его прообраз f −1 (Vε ) — открытое множество в X в силу непрерывности f , причем
x0 ∈ f −1 (Vε ). Точка x0 принадлежит f −1 (Vε ) вместе с некоторым шаром Dδ (x0 )
радиуса δ. Существует такой номер N , что xn ∈ Dδ (x0 ) ⊆ f −1 (Vε ) при любом
n > N . Следовательно, отображение f непрерывно как отображение метрических пространств.
Пусть для любой последовательности {xn }, сходящейся к некоторой точке
ρ2
x0 в пространстве X, выполнено условие f (xn ) → f (x0 ). Покажем, что в этом
случае прообраз всякого открытого множества открыт. Пусть V — открытое
множество в Y , U = f −1 (V ). Покажем, что U открыто в пространстве X.
Воспользуемся определением открытого множества. Пусть x ∈ f −1 (V ), тогда
достаточно найти такое ε > 0, чтобы Dε (x) ⊂ f −1 (V ). Предположим, что
такого ε не существует. Тогда существуют такие последовательности {εn },
ρ1
{xn }, что εn → 0, xn ∈ Dεn (x), но xn ∈
/ f −1 (V ). Следовательно, xn → x, откуда
ρ2
f (xn ) → f (x). Заметив, что f (x) принадлежит V вместе с некоторым открытым шаром, заключаем, что f (xn ) ∈ V и xn ∈ f −1 (V ), начиная с некоторого
номера, в противоречие с предположением. Таким образом, отображение f
непрерывно в топологиях пространств X, Y , индуцированных метрикой.
Рассмотрим пространство Rn с метрической топологией τρ .
Пусть x0 = (x01 , ..., x0n ) — центр шара Dr (x0 ), а x = (x1 , ..., xn ) — его произвольная точка. Тогда координаты точки x удовлетворяют неравенству
|x1 − x01 |2 + ... + |xn − x0n |2 < r2 .
48
Шар Dr (x0 ) в Rn часто обозначают Drn (x0 ) и называют открытым n—диском.
Замкнутым шаром (замкнутым n—диском) Drn (x0 ) называется множество точек x, координаты которых удовлетворяют нестрогому неравенству
|x1 − x01 |2 + ... + |xn − x0n |2 ⩽ r2 .
(n-1)-мерная сфера Srn−1 (x0 ) радиуса r с центром в точке x0 определяется как
множество точек x, координаты которых удовлетворяют равенству
|x1 − x01 |2 + ... + |xn − x0n |2 = r2 .
Будем называть сферу Srn−1 (x0 ) краем диска Drn (x0 ) или открытого диска
Drn (x0 ).
Также отметим, что метрика в Rn может быть задана и другими способами,
например,
ρ(x, y) = max {|xi − yi |}.
i=1,...,n
Упражнения
В задачах 1 — 6 проверить, является ли ρ метрикой на R1 . Если является,
указать чему равен открытый шар B4 (5).
1. ρ(x, y) = 2|x − y|.
2. ρ(x, y) = max {|x|, |y|}.
3. ρ(x, y) = min {|x − y|, |x + y|}.
4. ρ(x, y) = max {|x − y|, |x + y|}.
5. ρ(x, y) = |x2 − y 2 |.
6. ρ(x, y) = (x − y)2 .
7. Пусть X — произвольное множество. Докажите, что формула
(
0, если x совпадает с y,
ρ(x, y) =
1, в противном случае,
определяет метрику.
49
8. Проверьте, что для C[a,b] метрику можно определить с помощью формулы:
Zb
|x(t) − y(t)|dt.
ρ(x, y) =
a
9. Докажите, что из условий xn → x0 и xn → y0 следует, что x0 = y0 .
10. Рассмотрим метрическое пространство (X, ρ), где X = R1 × R1 и ρ(x, y) =
= max{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |}. Покажите, что множество {(x1 , x2 ) ∈ X : x21 +
x22 < 1} является открытым.
11. Докажите, что в метрическом пространстве предел сходящейся последовательности единственен.
12. Проверьте, что топология любого метрического пространства удовлетворяет первой аксиоме счетности.
13. Покажите, что топология любого метрического пространства удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа.
50
8. Связность и локальная связность
В самых различных вопросах топологии и ее приложений весьма значительную роль играет понятие связности множеств в топологических пространствах.
Это понятие обобщает интуитивное представление о целостности, неразделенности геометрической фигуры.
Рассмотрим топологическое пространство X и его подмножества A и B.
Определение 8.1. Множества A и B называются отделенными друг от
друга, если A ∩ B = A ∩ B = ∅.
Например, если X = R1 , A = (a, b), B = (b, c) — интервалы, a < b < c, то
A и B отделены, а если A = (a, b], B = (b, c), то A и B не отделены (A∩B = {b}).
Определение 8.2. Пространство X называется несвязным, если его можно
представить как объединение двух непустых отделенных друг от друга множеств. В противном случае пространство X называется связным.
Таким образом, связное пространство невозможно представить как объединение двух непустых, отделенных друг от друга множеств.
Можно говорить о связности (несвязности) подмножества A топологического
пространства X, рассматривая A как топологическое пространство с топологией, индуцированной из X.
Простейшими примерами связных пространств служат: 1) одноточечное пространство X = {∗}; 2) произвольное множество X с тривиальной топологией. Простейшим примером несвязного пространства служит двухточечное пространство X с дискретной топологией.
Дадим еще одно часто употребляемое определение несвязного пространства.
Определение 8.3. Топологическое пространство X называется несвязным,
если его можно представить как объединение двух непустых непересекающихся
открытых множеств.
Докажем эквивалентность определений 8.2 и 8.3.
1. Пусть X несвязно в смысле определения 2. Тогда имеем разложение
X = A ∪ B, где A ∩ B = ∅, A ∩ B = ∅, A, B непусты. Следовательно,
51
A ⊂ X\B, B ⊂ X\A, т.е. A = A, B = B, что означает замкнутость A и B.
Но A = X\B, B = X\A, поэтому A и B открыты, и X несвязно в смысле
определения 8.3.
2. Обратно. Пусть X несвязно в смысле определения 8.3. Тогда X = A ∪
B; A, B непусты, открыты, A ∩ B = ∅. Очевидно, что A и B замкнуты.
Отсюда A ∩ B = ∅, так как A = A; B ∩ A = ∅, так как B = B.
Следующая теорема дает важный пример связного пространства.
Теорема 8.1. Отрезок [a, b] числовой прямой R1 с обычной топологией
связен.
Доказательство. Рассмотрим топологическое пространство X = [a, b] с топологией, индуцированной из R1 . Предположим, что X несвязно: X = U ∪V, U ∩
V = ∅, где U, V непусты и открыты.
Пусть для определенности a ∈ U . По теореме 3.1. существует ε такое, что
[a, a + ε) ⊂ U . Положим x = sup{y : [a, y) ⊂ U }. Если x < b, то x ∈
/ U ⇒x∈V.
По теореме 3.1. существует δ > 0 такое, что (x − δ, x] ⊂ V . Мы пришли к
противоречию. То же самое в случае, если x = b ∈
/ U . Остается только вариант
[a, b] ⊂ U, V = ∅. Следовательно, X = [a, b] — связно.
Пример 8.1. В качестве несвязного множества можно указать множество рациональных чисел Q на числовой прямой. Взяв иррациональное число α ∈ R1 ,
получим U = {x : x ∈ Q, x < α} и V = {x : x ∈ Q, x > α} непустые открытые
непересекающиеся множества, в объединении дающие все Q. Множество всех
иррациональных чисел также несвязно.
Приведем ряд утверждений, помогающих выяснить связность топологических пространств.
Теорема 8.2. Пространство X связно, если любые две его точки «соединяются» некоторым связным подмножеством (лежат в некотором связном
подмножестве).
Доказательство. Предположим противное, представим X в виде объединения X = U ∪ V непустых непересекающихся множеств U и V . Пусть
52
u0 ∈ U, v0 ∈ V — некоторые точки, а L ⊂ X — связное множество, содержащее u0 и v0 . Положим U1 = U ∩ L, V1 = V ∩ L. Множества U1 , V1 непусты
и открыты в L, причем L = U1 ∪V1 , U1 ∩V1 = ∅, что противоречит связности L.
Теорема 8.3. Пусть дано семейство связных в X множеств {Aα }, любые два
S множества которого не отделены друг от друга. Тогда множество
C = Aα связно в X.
α
Доказательство. Предположим противное: Пусть C = D1 ∪ D2 , D1 ∩ D2 =
∅, D1 , D2 непусты и замкнуты в C. В силу связности множеств Aα каждое Aα
содержится в D1 или D2 , и так как D1 , D2 непусты, то существуют множества
Aα1 , Aα2 ∈ {Aα } такие, что Aα1 ⊂ D1 , Aα2 ⊂ D2 . В силу замкнутости в C
множеств D1 , D2 , замыкания в C множеств Aα1 , Aα2 содержаться в D1 , D2 соответственно, что эквивалентно включениям Aα1 ∩ C ⊂ D1 , Aα2 ∩ C ⊂ D2 (здесь
Aα1 , Aα2 — замыкания в X ). Но (Aα1 ∩ C) ∩ Aα2 = Aα1 ∩ (C ∩ Aα2 ) = Aα1 ∩ Aα2 ,
Aα1 ∩ (Aα2 ∩ C) = (Aα1 ∩ C) ∩ Aα2 = Aα1 ∩ Aα2 . Следовательно,
Aα1 ∩ Aα2 = ∅, Aα1 ∩ Aα2 = ∅, что противоречит неотделенности множеств Aα1 , Aα1 .
Теорема 8.4. Пусть f : X → Y — непрерывное отображение топологических пространств. Если X связно, то f (X) связно в Y .
Доказательство. Допустим противное: f (X) = U1 ∩ V1 , где U1 ∪ V1 = ∅;
U1 , V1 открыты в f (X), U1 6= ∅, V1 6= ∅. Открытость U1 , V1 в f (X) означает, что существуют множества U и V открытые в Y и такие, что
U ∩ f (X) = U1 , V ∩ f (X) = V1 . Очевидно, что X = f −1 (U1 ) ∪ f −1 (V1 ),
f −1 (U1 ) ∩ f −1 (V1 ) = ∅ и f −1 (U1 ) 6= ∅, f −1 (V1 ) 6= ∅. Кроме того, множества
f −1 (U1 ), f −1 (V1 ) открыты, так как f −1 (U1 ) = f −1 (U ), f −1 (V1 ) = f −1 (V ) и f
непрерывно. Таким образом, X несвязно, что противоречит предположению.
Если пространство несвязно, то естественно попытаться разложить его на
связные куски. Опишем это разложение. Пусть x ∈ X — точка топологического
пространства X. Рассмотрим наибольшее связное множество, содержащее точку x : Lx = ∪Ax , где все Ax являются связными множествами, содержащими
точку x. Множество Lx замкнуто, так как замыкание Lx связного множества
Lx связно и поэтому Lx ⊂ Lx , т.е. Lx = Lx .
53
Определение 8.4. Множество Lx называется связной компонентой точки
x в топологическом пространстве X.
Пусть x, y ∈ X, x 6= y. Рассмотрим множества Lx , Ly . В силу их замкнутости
и максимальности имеем две возможности: 1) либо Lx = Ly ; 2) либо Lx ∩Ly = ∅.
Во втором случае Lx отделено от Ly , так как Lx ∩ Ly = ∅, Ly ∩ Lx = ∅. В
очевидном равенстве X = ∪Lx , где объединение берем по всем x ∈ X, выбросим
повторяющиеся компоненты.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 8.5. Всякое топологическое пространство можно представить в
виде объединения своих связных компонент, являющихся замкнутыми и не
пересекающимися множествами.
Наряду с понятием связности важную роль играет понятие линейной связности. Чтобы его сформулировать дадим следующее определение.
Определение 8.5. Путем, соединяющим две точки a и b топологического
пространства X называется непрерывное отображение S : [0, 1] → X, где
S(0) = a и S(1) = b.
Ясно, что образ пути S([0, 1]) — связное множество.
Определение 8.6. Пространство X называется линейно связным, если
любые две его точки можно соединить путем.
Из теоремы 8.2 следует, что линейно связное пространство обязательно
связно. Обратное неверно.
Пример 8.2. Рассмотрим подмножество R2
"
#
∞ [
1
1
X = [(0, 0), (1, 0)]
,0 ,
,1
∪ (0, 1),
n
n
n=1
где [a, b] означает отрезок, соединяющий в R2 точки a и b. X связно, но не
линейно связно (точку (0,1) нельзя соединить путем ни с какой другой точкой
54
из множества X).
Пример 8.3. Множество A ⊂ Rn называется выпуклым, если для любых
двух точек x, y ∈ A весь отрезок {tx + (1 − t)y; t ∈ [0, 1]} содержится в
A. Всякое выпуклое множество линейно связно. В частности Rn и Br (x) —
линейно связны.
Наряду с понятием связности и линейной связности в ряде вопросов существенную роль играет понятие так называемой локальной связности.
Определение 8.7. Пространство X называется локально связным в точке
x0 ∈ X, если в любой окрестности точки x0 содержится ее связная окрестность.
Определение 8.8. Пространство X называется локально связным, если
оно локально – связно в каждой своей точке.
Легко привести пример локально связного, но не связного пространства
(например, два открытых, непересекающихся шара в Rn ). Однако существуют
связные пространства, не являющиеся локально связными ни в одной своей
точке.
Упражнения
В задачах 1 — 7 проверить, является ли связным множество A в топологическом пространстве (X, τ ).
1. A = (0, 2) ∪ (4, 6),
(X, τ ) = (R1 , τоб ).
2. A = [0, 2] ∪ [4, 6],
(X, τ ) = (R1 , τоб ).
3. A = (0, 2) ∪ (4, 6),
(X, τ ) = (R1 , τпр ).
4. A = (0, 2) ∪ (4, 6),
(X, τ ) = (R1 , τz ).
5. A = [1, 3],
(X, τ ) = (R1 , τдискр ).
6. A = [1, 3] ∪ {7},
(X, τ ) = (R1 , τтрив ).
55
7. A = [1, 3] ∪ {7},
(X, τ ) = (R1 , τоб ).
В задачах 8 — 10 проверить, является ли связным топологическое пространство (X, τ ).
8. X = {a, b, c},
τ = {∅, X, {a}, {a, b}}.
9. X = {a, b, c},
τ = {∅, X, {a}, {b, c}}.
10. X = {a, b, c},
τ = {∅, X, {a, b}, {b, c}, {b}}.
11. Покажите, что топологическое пространство (X, τ ) с топологией Зарисского связно.
12. Покажите, что если подмножества A, B топологического пространства X
связны и A ∩ B 6= ∅, то подмножество A ∪ B связно.
13. Приведите пример двух связных множеств в R2 , пересечение которых
несвязно.
14. Покажите, что если подмножество A топологического пространства X
связно и x — предельная точка A, то множество A ∪ x связно. Покажите, что замыкание A связно.
15. Покажите, что связные компоненты топологического пространства — замкнутые множества.
16. Покажите, что если топологическое пространство имеет конечное число
связных компонент, то они открыты.
56
9. Компактные пространства
Перейдем к изучению весьма важных классов топологических пространств,
характеризующихся свойствами их открытых покрытий. Напомним определение покрытия топологического пространства.
Определение 9.1. Пусть X — топологическое пространство. Семейство
подмножеств
S {Uα } называется покрытием топологического пространства X,
Uα . Покрытие, состоящее из открытых множеств пространства
если X =
α
X, называется открытым покрытием. Аналогично, покрытие, состоящее из
замкнутых множеств пространства X, называется замкнутым покрытием.
Если некоторая часть {Uαi } покрытия {Uα } сама образует покрытие пространства X, то {Uαi } называется подпокрытием покрытия {Uα }. Покрытие
{Uα } называется конечным, если оно состоит из конечного числа множеств.
Определение 9.2. Топологическое пространство X называется компактным или компактом, если любое его открытое покрытие содержит конечное
подпокрытие.
Заметим, что можно говорить о компактности множества A в топологическом пространстве X, если рассматривать A как топологическое пространство
с топологией, индуцированной из X.
Пример 9.1. Пространство X c тривиальной топологией всегда компактно.
Пример 9.2. Пространство с дискретной топологией компактно в том и
только в том случае, когда оно состоит из конечного числа точек.
Пример 9.3. Замкнутый шар в пространстве Rn — компактное множество,
а вот все пространство Rn не является компактным множеством, так как
из покрытия Rn открытыми шарами с центром в начале координат любого
радиуса нельзя выделить никакого конечного покрытия.
57
Теорема 9.1. Если подпространства X1 , ..., Xn некоторого топологическоn
S
го пространства X компактны, то их объединение Y =
Xi тоже комi=1
пактно.
Определение 9.3. Назовем некоторую систему подмножеств {Aα } множеn
T
ства X центрированной, если любое конечное пересечение
Ai членов этой
i=1
системы не пусто.
Теорема 9.2. Для того, чтобы топологическое пространство X было компактным необходимо и достаточно, чтобы каждая центрированная система
его замкнутых подмножеств имела непустое пересечение.
Для доказательства этой теоремы напомним соотношения двойственности из
теории множеств. Пусть {Aα } — система подмножеств множества X, тогда
[ \
\ [
X\
Aα =
X\Aα ; X\
Aα =
X\Aα .
α
α
α
α
Доказательство теоремы 9.2. Необходимость. Пусть X — компактное пространство, и пусть {Fα } центрированная система его замкнутых T
подмножеств.
Предположим противное, т.е. что пересечение всех Fα пусто, т.е. Fα = ∅. Поα
ложим Gα = X\Fα . Тогда {Gα } система открытых подмножеств пространства
X. Покажем, что эта система является покрытием X. В самом деле,
[
[
\
Gα = (X\Fα ) = X\( Fα ) = X.
α
α
α
Так как X компактно, то из открытого покрытия {Gα } можно выделить конечn
S
ное подпокрытие {Gi , i = 1, ..., n}. Таким образом X = Gi , но тогда
i=1
n
[
i=1
Fi =
n
\
(X\Gi ) = X\(
i=1
n
[
Gi ) = ∅,
i=1
что противоречит условию центрированности системы {Fα }. Таким образом
доказано, что в компактном пространстве пересечение любой центрированной
системы замкнутых подмножеств не пусто. Необходимость доказана.
Достаточность. Предположим, нам дано, что в топологическом пространстве X пересечение любой центрированной системы замкнутых подмножеств не
58
пусто. Покажем, что X компакт. Пусть {Gα } любое открытое покрытие множества X. Положим Fα = X\Gα . Тогда {Fα } система замкнутых подмножеств
пространства X. Заметим, что
[
\
\
Fα = (X\Gα ) = X\( Gα ) = ∅
α
α
α
и, следовательно, система {Fα } не может быть центрированной. Это означает,
что в этой системе есть набор множеств {F1 , ..., Fn }, состоящий из конечного
n
T
числа элементов этой системы, пересечение Fi которых не пусто. Тогда сиi=1
стема {Gi , i = 1, ..., n} образует покрытие множества X. В самом деле,
n
[
Gi =
i=1
n
\
(X\Fi ) = X\(
i=1
n
\
Fi ) = X.
i=1
Таким образом, из произвольного открытого покрытия {Gα } пространства X
выделено открытое подпокрытие {Gi } i = 1, ..., n т.е. X — компакт. Достаточность доказана.
Приведем наиболее часто употребляемые свойства компактных пространств.
Теорема 9.3. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно.
Доказательство. Пусть F замкнутое подмножество компактного пространства X и {Vα }α∈A произвольное открытое в F покрытие множества F . Тогда
существуют открытые в X множества Uα такие, что Uα ∩ F = Vα , α ∈ A. Система {X\F, Uα }α∈A — открытое покрытие множества X. В силу компактности
X из этой системы можно выбрать конечную подсистему {X\F, U1 , ..., U2 }.
Тогда конечная подсистема {V1 , ..., Vn }, где Vi = Ui ∩ F, i = 1, ..., n является
открытым в F подпокрытием покрытия {Vα }. А это значит, что F компактно.
Теорема 9.4. Пусть K ⊂ X, X — компактно, y ∈
/ K. Тогда существуют
открытые множества U и V такие, что K ⊂ U , y ∈ V и U ∩ V = ∅.
Доказательство. Для любой точки x ∈ X существуют открытые множества
Ux и Vx , для которых
S x ∈ Ux , y ∈ Vx и Ux ∩ Vx = ∅. В силу компактности K,
из того, что K ⊂ Ux , вытекает, что существуют точки x1 , ..., xn такие, что
x
59
K⊂
n
S
Uxi . Остается положить U =
i=1
n
S
Uxi ; V =
i=1
n
T
V xi .
i=1
Теорема 9.5. Компактное множество замкнуто в любом содержащем его
хаусдорфовом пространстве.
Доказательство. Пусть K — компактное множество в хаусдорфовом пространстве X. Покажем, что X\K открыто. Это и будет означать, что K замкнуто.
Пусть y ∈ X\K. Тогда для любой точки x ∈ K существует окрестность Ux точки x и окрестность Vy точки y такие, что Ux ∩ Vy = ∅.
Окрестности Ux ∩ K, (x ∈ K), образуют открытое покрытие множества
K. В силу компактности K из него можно выделить конечное подпокрытие
Ux1 ∩ K, Ux2 ∩ K, ..., Uxn ∩ K. Положим V = Vy1 ∩ Vy2 ∩ . . . ∩ Vyn . Тогда V —
n
S
окрестность точки y, не пересекающаяся с Uxi , а значит и с K. Таким обраi=1
зом, каждая точка множества X\K входит в него с некоторой окрестностью.
Это и означает, что множество X\K открыто, следовательно K замкнуто. Теорема 9.6. Если (X, τ ) — компактное хаусдорфово пространство, то оно
нормально, т.е. удовлетворяет аксиомам отделимости T0 – T4 .
Доказательство. Пусть F1 , F2 — замкнутые непересекающиеся подмножества X. В силу теоремы 9.3. F1 и F2 компактны. Для каждой y ∈ F2 найдем
открытые непересекающиеся множества Uy , Vy такие, что F1 ⊂ Uy , y ∈ Vy .
n
S
S
Имеем: F2 ⊂
Vy . Следовательно найдутся y1 , ..., yn такие, что F2 ⊂
Vyi .
y
Положим G1 =
i=1
n
T
Uyi и G2 =
i=1
n
S
Vyi . Эти множества открыты и непересекаются,
i=1
тем самым, мы проверили аксиому T4 .
60
Теорема 9.7. (А.Н. Тихонова) Топологическое произведение2 X = ΠXα
α
любой системы Xα компактных пространств компактно.
Мы не будем здесь останавливаться на доказательстве этой теоремы. Оно
достаточно техническое.
Теорема 9.8. Непрерывный образ компактного пространства есть компактное пространство.
Доказательство. Пусть X — компактное пространство, и пусть
f : X → Y — непрерывное отображение X на Y . Рассмотрим какое – нибудь покрытие {Vα } пространства Y открытыми множествами и положим
Uα = f −1 (Vα ). Множества Uα открыты, как прообразы открытых множеств
при непрерывном отображении и образуют покрытие X. Из этого покрытия,
в силу компактности X, можно выбрать конечное подпокрытие U1 , U2 , ..., Un .
Тогда множества V1 , V2 , ..., Vn , где Vi = f (U1 ), покрывают все Y . Это означает,
что Y — компакт.
Теорема 9.9. Взаимно – однозначное и непрерывное отображение ϕ компакта X на компакт Y есть гомеоморфизм.
Доказательство. Так как ϕ : X → Y взаимно-однозначно, то существует
обратное отображение ϕ−1 : Y → X. Необходимо только показать непрерывность обратного отображения ϕ−1 . Для этого покажем, что прообраз при
отображении ϕ−1 любого замкнутого множества F ⊆ X будет замкнут в Y .
Итак, (ϕ−1 )−1 (F ) = ϕ(F ). В силу теоремы 9.3 замкнутое множество F ⊆ X
является компактном и в силу теоремы 9.8 его образ ϕ(F ) также является
компактом в Y , а следовательно, замкнутым множеством в Y . А это означает
непрерывность отображения ϕ−1 .
2
Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабженное топологией произведение (или тихоновской топологией). Тихоновская топология на X — это наиболее грубая топология (т.е.
топология с наименьшим числом открытых множеств), для которой все проекции pα : X → Xα — непрерывны. Открытые множества этой топологии - всевозможные объединения множеств вида Π Ui , где каждое
a
Ui является открытым подмножеством Xi и Ui 6= Xi только для конечного числа индексов. В частности,
открытые множества произведения конечного числа пространств — это просто объединение произведений
открытых множеств исходных топологических пространств. Данная топология была впервые исследована
советским математиком А.Н. Тихоновым в 1926 году.
61
Примеры компактных множеств
Пример 9.4. Хорошо известно еще из курса математического анализа, что
любой замкнутый конечный отрезок [a, b] в R1 с обычной топологией является
компактом.
Теорема 9.10. (Гейне – Бореля) Отрезок [a, b] в R1 с обычной топологией компактен.
S
Доказательство. Предположим, что [a, b] ⊂
Uα и из открытого покрытия
α
Uα нельзя выбрать конечное подпокрытие. Разделим отрезок пополам и обозначим через [a1 , b1 ] тот, который нельзя покрыть конечным числом множеств Uα .
И т.д. На n–ом шаге получим отрезок [an , bn ], длина которого равна (b − a)2−n .
По теореме о вложенных отрезках3 существует точка c, принадлежащая всем
[an , bn ]. По условию c ∈ Uα0 при некотором α0 . Следовательно, существует
такое m, что [am , bm ] ⊂ Uα0 . Противоречие.
Пример 9.5. Замкнутый параллелепипед [a1 , b1 ] × ... × [an , bn ] в пространстве
R по теореме 9.7. также является компактом.
n
Пример 9.6. Любое замкнутое и ограниченное подмножество пространства
R является компактом. В самом деле, в силу своей ограниченности это
подмножество содержится в каком-то параллелепипеде и оно является компактом как замкнутое подмножество компакта. В частности, единичная сфера
S n = {x : x ∈ Rn ; ||x|| = 1} пространства Rn , n = 1, 2..., является компактом.
Но тогда, n-мерный тор T n = S 1 × ... × S 1 также является компактом.
|
{z
}
n
n
Следует отметить, что замкнутые ограниченные множества в бесконечномерных пространствах могут не быть компактами.
Упражнения
3
Теорема о вложенных отрезках или принцип непрерывности Кантора. Для всякой системы
вложенных отрезков [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ... существует хотя бы одна точка, принадлежащая всем
отрезкам данной системы. Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю ( lim (bn − an ) = 0),
n→∞
то c — единственная общая точка всех отрезков данной системы.
62
10. Компактность в метрических пространствах
Наряду с понятием компактности в метрическом пространстве понятие
относительной компактности является важным свойством подмножеств бесконечномерных пространств. Ниже это понятие обсуждается с различных точек
зрения.
Определение 10.1. Множество X метрического пространства (M, ρ)
называется относительно компактным, если его замыкание X компактно в
M.
С этим определением тесно связано следующее.
Определение 10.2. Множество X метрического пространства (M, ρ)
называется секвенциально компактным, если всякая последовательность его
элементов содержит сходящуюся в M подпоследовательность.
Теорема 10.1. Секвенциально компактное множество метрического пространства ограничено.
Доказательство. Предположим, что множество X метрического пространства M секвенциально компактно, но не ограничено. Пусть x1 — произвольная
точка X и
B(x1 , 1) = {x : x ∈ M ; ||x − x1 || ≤ 1}
шар пространства M с центром в точке x1 радиуса один. Так как X неограничено, то найдется точка x2 ∈ X, лежащая вне шара B(x1 , 1). Положим,
r2 = ρ(x1 , x2 ) + 1. Так как X не ограничено, то найдется точка x3 ∈ X такая,
что x3 ∈
/ B(x1 , r2 ) = {x ∈ M ; ||x − x1 || ⩽ r2 }. Положим, r3 = ρ(x1 , x3 ) + 1 и т.д.
Получим последовательность {xn } ⊆ X такую, что ρ(xi , xj ) ⩾ 1 при i 6= j и,
следовательно, не содержащую ни одной сходящейся подпоследовательности,
что противоречит секвенциальной компактности множества X.
Лемма 10.1. Если X — секвенциально компактное множество метрического пространства M , то X также секвенциально компактно.
Доказательство. Итак, пусть {xn } — произвольная последовательность из
X. Если она содержит бесконечную подпоследовательность из X, то в силу
63
секвенциальной компактности X из этой подпоследовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. И лемма в этом случае доказана.
Если же последовательность {xn } не содержит бесконечную подпоследовательность из X, то, без ограничения общности, можно считать, что она полностью
состоит из элементов X\X. Тогда для каждого n найдется элемент yn ∈ X
такой, что ρ(yn , xn ) < n1 . Но из последовательности {yn } можно выделить
сходящуюся подпоследовательность {yni }. Тогда соответствующая подпоследовательность {xni } будет также сходиться, что и завершает доказательство
секвенциальной компактности X.
Лемма 10.2. Пусть X — секвенциально компактное подмножество метрического пространства M . Тогда для любого ε > 0 существует конечное
множество точек Aε = {xi }, xi ∈ X, таких, что шары B(xi , ε) с центром в
xi и радиуса ε покрывают все X.
Доказательство. Предположим, что это не так, т.е. для некоторого ε0
найдутся точки x1 , x2 , ..., xn , ... в X такие, что ρ(xn , xn+p ) ⩾ ε0 для всех n и
p. Но тогда из такой последовательности нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность, что противоречит секвенциальной компактности X. Таким
образом, конечные множества Aε = {xi } существуют для каждого ε > 0.
Множества Aε = {xi } предыдущей леммы называют конечной ε-сетью
множества X. Отметим, что из леммы 10.2 следует утверждение леммы 10.1.
Теорема 10.2. Множество X метрического пространства M относительно
компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно.
Доказательство. Пусть X — относительно компактное множество метрического пространства M . Покажем, что X секвенциально компактное множество.
Пусть Y = {xn } — произвольная последовательность элементов множества X.
Надо из этой последовательности выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Если в этой последовательность есть бесконечное число одинаковых элементов,
то, ясно, что они и образуют сходящуюся подпоследовательность. Теперь предположим, что в последовательности Y нет бесконечного числа одинаковых элементов и надо из нее выбрать сходящуюся подпоследовательность. Предположим, что этого сделать нельзя. Это означает, что последовательность Y = {xn }
не имеет предельных точек в компакте X, что в свою очередь означает, что Y
64
является замкнутым в X и, следовательно, компактным множеством в X.
Теперь заметим, что каждая точка xn ∈ Y изолирована в Y , т.е. для каждой
точки xn ∈ Y существует окрестность Ω(xn ) в X такая, что Ω(xn ) ∩ Y = {xn }.
Тогда открытые в Y окрестности U (xn ) = Ω(xn ) ∩ Y образуют бесконечное
покрытие последовательности Y , из которого нельзя выбрать конечное подпокрытие, что противоречит компактности Y . Теорема в одну сторону доказана.
Обратно. Пусть X секвенциально компактно. Нам надо показать, что X относительно компактно, т.е. что X — компакт. Для этого вначале заметим, что
по лемме 10.1, если X секвенциально компактно, то и его замыкание X также
секвенциально компактно.
Пусть теперь {Uα } произвольное открытое покрытие X. Предположим, что
из него нельзя выделить конечное подпокрытие. Согласно лемме 10.2. для любого ε > 0 существует конечная ε−сеть Aε = {xi }, xi ∈ X множества X.
Возьмем последовательность εn → 0 при n → ∞. Тогда в любой конечной ε1 сети A1 найдется элемент xi такой, что замкнутое множество X ∩B(xi , ε1 ) = X1
не покрывается никакой конечной подсистемой из {Uα }. Отметим, что множество X1 замкнуто, секвенциально компактно и его диаметр не больше 2ε1 . Применив аналогичные рассуждения и к X1 , построим множество X2 ⊆ X1 с теми
же свойствами и диаметром 2ε2 < 2ε1 и так далее. В результате получим систему {Xn } замкнутых секвенциально компактных множеств Xn+1 ⊆ Xn , диаметры которых стремятся к нулю, причем ни одно Xn нельзя покрыть конечной
подсистемой из {Uα }.
∞
T
Xn 6= ∅. Для этого заметим, что среди Xn имеется бесДокажем, что
n=1
конечно много попарно различных. Поэтому достаточно рассмотреть случай,
когда все Xn различны между собой.
Пусть xn ∈ Xn \Xn+1 . Последовательность {xn } представляет собой бесконечное множество различных точек из X. В силу секвенциальной компактности
X она должна иметь хотя бы одну предельную точку. Обозначим ее x0 . Так как
Xn содержит все точки xn , xn+1 , ... и Xn — замкнуто, то x0 ∈ Xn . Следователь∞
∞
T
T
но, x0 ∈
Xn и
Xn 6= ∅. Так как {Uα } открытое покрытие X, то x0 ∈ Uβ
n=1
n=1
для некоторого его элемента Uβ . В силу открытости Uβ существует ε > 0 такое,
что B(x0 , ε) ⊂ Uβ . Взяв n настолько большим, что диаметр Xn был меньше ε,
получим включение Xn ⊆ B(x0 , ε) ⊂ Uβ . Это противоречит тому, что Xn не
покрывается конечным числом элементов покрытия Uα . Теорема доказана и в
65
обратную сторону.
Таким образом, относительно компактные множества и секвенциально
компактные множества в силу теоремы 10.2 это одно и тоже.
Следствие 10.1. Подмножество X метрического пространства M компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно и замкнуто.
Для компактных множеств можно доказать аналог теоремы о вложенных
шарах полного метрического пространства, причем полнота метрического пространства здесь не предполагается. А именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 10.3. (Кантора) Пусть дана последовательность
K1 ⊃ K2 ⊃ ... ⊃ Kn ⊃ ...
непустых компактных множеств метрического пространства M . Тогда пе∞
T
ресечение K = Ki не пусто.
i=1
Доказательство. Выберем в каждом множестве Ki по точек xi . Получим
последовательность {xi } ⊆ K1 . Так как K1 компактно, то из последовательности {xi } можно выбрать сходящуюся подпоследовательность xij . Пусть
x0 = lim xij . Так как при любом фиксированном n начиная с номера ij > n все
j
члены этой последовательности принадлежат Kn и Kn замкнуто, то x0 ∈ Kn .
∞
T
Но тогда x0 ∈ Ki .
i=1
Упражнения
66
Список литературы
[1] Близняков Н.М. Элементы теории множеств / Н.М. Близняков. — Воронеж: Полиграфический центр ВГУ, 2008. –– 46 с.
[2] Борисович Ю.Г. Топология. Методические указания / Ю.Г. Борисович,
В.Г. Звягин, Ю.Г. Соловьев. — Москва: издательство Московского университета, 1982. — 96 с.
[3] Борисович Ю.Г. Введение в топологию / Ю.Г. Борисович, Н.М. Близняков,
Я.Н. Израилевич, Т.Н. Фоменко. — Москва: ЛЕНАНД, 2015. — 448 с.
[4] Гликлих
Ю.Е.
Топология
и
дифференциальная
геометрия / Ю.Е. Гликлих. — Воронеж: Лаборатория оперативной полиграфии
ВГУ, 2000. — 72 с.
[5] Звягин В.Г. Лекции по курсу «Современные методы геометрии и анализа» Часть I / В.Г. Звягин. — Воронеж: Полиграфический центр ВГУ,
2010. — 49 с.
67
Учебное издание
Звягин Андрей Викторович
Болдырев Александр Сергеевич
Струков Михаил Игоревич
Лекции по курсу «ТОПОЛОГИЯ»
Учебное пособие
Издано в авторской редакции
Компьютерная верстка М.И. Струков
Подписано в печать ???2023. Формат ????????
Усл. печ. л. ???. Тираж 50 экз. Заказ ???
Издательский дом ВГУ
394018, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10
Отпечатано c готового оригинал-макета
в типографии Издательского дома ВГУ
394018, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3