Государственное образовательное учреждение Тверской

Государственное
образовательное
учреждение
Тверской
областной
институт
усовершенствования учителей
Учебно-методический центр
ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС
"РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА В
ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПАРАМЕТРА"
Выполнила: Потапенко М.С.
учитель математики МОУ СОШ
№29 г. Твери
Руководитель: Долгинцева Л.В.
гл. методист по математике УМЦ
ТОИУУ
Тверь, 2006
2
ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
"РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА В
ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПАРАМЕТРА"
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Решение уравнений и неравенств
с параметрами можно считать
деятельностью, близкой по своему характеру
обусловлено тем, что выбор метода
к исследовательской.
Это
решения, запись ответа предполагают
определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать,
анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные
результаты.
Без сомнения, задачи
с параметрами дают развивающий эффект,
научный подход к решению задач. И в то же время
наша программа не
включает в себя этот важный раздел. С этим противоречием я и столкнулась,
так как в наших школьных учебниках не содержится теоретического материала
о решении заданий с параметрами, всего несколько упражнений, которые идут
со звездочкой и не даются систематически. То есть, возникает противоречие
между
необходимостью
увеличить
объем
информации,
общеобразовательную программу и возможностью
включаемый
в
ее усвоения каждым
учеником. Кроме того, как и каждый учитель, я сталкиваюсь в своей работе с
противоречием между необходимостью изучить материал и отсутствием
мотивации учения школьниками. При изучении темы, которую я выбрала,
мотивация у ребят есть:
 задачи встречаются очень часто на вступительных экзаменах в ВУЗы,
ЕГЭ;
 их решения красивы и компактны.
Среди всех задач с параметрами я выбрала задачи на расположение
корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра.
3
ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОГРАММЫ
Программа может быть реализована в 9-11 классах на уроках повторения
и при подготовке к экзамену, а также на факультативных занятиях.
ЦЕЛЬ КУРСА
1. Создание целостного представления о теме "Расположение корней
квадратного трехчлена".
2. Расширение спектра задач, посильных для учащихся.
ЗАДАЧИ
1. Обобщение, систематизация и углубление знаний по темам
"Квадратные уравнения" и "Задачи с параметрами".
2. Развитие математических способностей.
3. Подготовка к ЕГЭ, вступительным экзаменам.
4. Формирование у учащихся прочных и осознанных навыков,
необходимых для дальнейшего решения задач.
5. Воспитывать способность понимать смысл поставленной задачи,
анализировать, разрабатывать способ
решения,
проводить рассуждения,
обоснования, доказательство своих действий, грамотно записывать решение и
ответ.
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Изучение этого курса позволит:
 расширить и углубить знания раздела "Квадратные уравнения";
 познакомить учащихся с новыми приемами решений заданий с
параметром;
 дать возможность учащимся проверить свой уровень знаний и свои
математические способности.
СОДЕРЖАНИЕ
4
Данный курс является развитием системы ранее приобретенных знаний.
Программа содержит 3 блока, связанных единой идеей. Можно использовать все
блоки или любой из них.
В I-м блоке углубляются и систематизируются ранее полученные знания.
Во II-м блоке классифицируются задачи на расположение корней
квадратного уравнения. Даются геометрические интерпретации ко всем типам
задач и составляются схемы-алгоритмы решения, решаются все типы задач.
III-й блок содержит задачи по данной теме из вступительных экзаменов
и КИМов ЕГЭ.
Первые два блока доступны практически всем ученикам, имеющим
базовый уровень знаний.
III-й блок рассчитан на ребят, проявивших интерес к изучению
математики.
Тематическое планирование
Блок
Наименование тем
Кол-во
часов
Форма контроля
Составление
I
Актуализация знаний
2
опорного
конспекта
II
а) Классификация задач на расположение
1
корней квадратного уравнения;
III
опорного
б) Геометрическая интерпретация;
1
в) Составление алгоритма решения;
1
г) Решение задач;
3
д) Самостоятельная работа.
1
Решение задач
4
Самоконтроль
1
Итого
Составление
14ч.
конспекта
Семинар
Исследовательская
работа
5
I Блок
Актуализация знаний
Параметр - это конкретное число, которое может принимать любые
допустимые значения.
Решать пример с параметром означает дать ответ на бесконечно много
примеров - ровно столько, сколько возможных значений параметра. В ответе
нужно рассказать про все значения параметра, при каких значениях решений
нет, при каких есть и какие именно.
Задачи с параметром мы разбиваем на 2 группы:
I – обычные уравнения, неравенства, системы.
II – задачи, где нужно найти значения параметра, при котором
выполняется какое-нибудь требование.
Алгоритм решения простой.
Решаем задачу, не обращая внимания на параметр, работая с ним, как с
конкретным числом, до тех пор, пока он сам не заставит обратить на себя
внимание!
ПРИМЕРЫ
1.
Линейным или квадратным является уравнение
5b(b – 2)x2 + (5b – 2)x – 16=0 относительно х при: а) в=1 б) в=2 в) в=0.4
г) в=0
2.
Выясните вид уравнения
2ах(х – 1) + х(ах – 12)=3х2 + 8
относительно х при:
а) а = –2 б) а = –6 в) а = 1 г) а=0 и решите
для каждого случая
отдельно.
Уравнение вида mx2+px+q=0,где x – неизвестное, m,p,q – выражения,
зависящие только от параметров и m≠0, называется квадратным уравнением
относительно x. Допустимыми будем считать только те значения параметров,
при которых m,p,q – действительны.
ПРИМЕРЫ
1.Решить уравнение mx2 + 3mx – (m+2)=0
6
1)m=0 корней нет
2) m≠0 x12 =(-3m ± √9m2 + 4m(m + 2))/2m =(-3m ± √13m2 + 8m)/2m
Ответ:1) -8/13<m<0 решений нет
2) m<–8/13, m>0 x12==(-3m ± √13m2 + 8m)/2m
2.Решить уравнение
√с – 2 х2 – (с–1)х + √с - 2 = 0
О.О.У.: с ≥ 2 1) с=2 х=0
2) с>2 х1=(с–2)/ √с–2
х2=1/√с–2
3. Решить уравнение
х/m(х + 1) – 2/(х +2) = (3-m2)/m(х+1)(х+2)
Решение: 1) m≠0, х≠–1, х≠–2
х1= m+1, х2=m–3
Среди полученных корней могут быть и посторонние, а именно те, при
которых (х+1)(х+2)=0
Чтобы выделить их, необходимо узнать, при каких значениях m
полученные корни (или один из них)принимают значения х= –2 или х= –1
х1=m+1= –2 при m= –3 при этом х2= –6
х1=m+1= –1 при m= –2 при этом х2= –5
х2=m–2= –2 при m= 1 при этом х1= 2
х2=m–2= –1 при m= 2 при этом х1= 3
Ответ: 1) m≠ 0, m≠ –3, m≠ 1
m≠ ±2, х1= m+1
х2= m–3
2) m= –3, х = –6
m= –2, х = 5
m= 1, х = 2
7
m = 2, х = 3
3) m=0 уравнение не имеет смысла
Упражнения для самостоятельной работы
1. (k – 5)х2 + 3kх – (k – 5)=0
Ответ: 1) k = 5 х = 0
2) k ≠ 5 х= (–3k ± √13k2 – 40k + 100)/2(k – 5)
2. (х + 2)/(a + 1) = (2х – a – 1)/ (х – 2)
Ответ: 1) a = –1 нет корней
2) a = 3 х=6
3) a ≠ –1
a≠3
х1= a + 3
х2 = a – 1
II.
Задачи на расположение корней
зависимости от параметра
квадратного трехчлена в
могут быть разнообразные: найти значение
параметра, при котором корни положительны, отрицательны, имеют разный
знак, больше или меньше какого-либо числа, принадлежат данному отрезку
или когда отрезок находится между корнями трехчлена.
С первого взгляда, ребятам представляется естественным, найдя корни
квадратичной функции (если они существуют),
сопоставить их с заданной
точкой (или точками). Но этот путь оправдан лишь в тех случаях, когда нам
повезет – дискриминант окажется полным квадратом. Но это бывает редко.
Увидев задачу, ребята быстро идут "напролом", записывая громоздкие корни,
и зарываясь в иррациональные неравенства.
Рациональный путь решения таких задач основан на геометрической
интерпретации условия задачи. Мы как бы переводим условия задачи на
8
графический язык и находим аналитические соотношения, описывающие эту
картинку.
Поэтому ставлю своей целью добиться понимания учениками условия
задач, записи аналитических соотношений.
Считаю, что теоретический
последующей
материал можно подать блочно с
его вариативной доработкой на основе учета учебных
возможностей учащихся.
Пусть дана квадратичная функция f (х) = ах2 + вх +с , где х1 и х2 корни
трехчлена f (х) . Рассматриваются следующие задачи:
1.
х1 и х2 строго меньше данного числа m
f(m)
х1
х2
х1
х0
х0
х2 m
m
f(m)
а<0
D>0
х0 < m
f(m) < 0
а>0
D>0
х0 < m
f(m) > 0
2. Данное число находится между корнями квадратного трехчлена
f(m)
х2
х1
m
х1
m
х2
f(m)
а<0
f(m) > 0
а>0
f(m) < 0
9
3. Оба корня больше некоторого
числа m
f(m)
m х1
х2
х1
m
х0
х0
х2
f(m)
а<0
D>0
х0 > m
f(m) < 0
D>0
х0 > m
f(m) > 0
4. Оба корня лежат на интервале (m, n)
f(m)
f(n)
m х1
х2 n
х1
m
х0
х0
х2 n
f(n)
f(m)
а<0
D>0
х0 Є (m, n)
f(m) < 0
f(n) < 0
а>0
D>0
х0 Є (m, n)
f(m) > 0
f(n) > 0
5. Отрезок [m, n] целиком лежит между корнями х1 и х2
f(m)
f(n)
n
m х2
х1
f(n)
х2
х1
n
f(m)
m
10
а<0
f(m) > 0
f(m) > 0
а>0
f(m) < 0
f(m) < 0
Для
закрепления теоретического материала рассматриваем задачи на
применение данных утверждений.
Задача 1.
(из сборника задач по алгебре
для
8-9
классов М.Л.
Галицкого, А.М. Гольдмана, Л.И. Звавича)
№ 6.170
При каких значениях
а
уравнение х2 – (2а – 1)х +1 = 0 имеет два
различных действительных положительных корня?
1). Для того, чтобы оба корня х1 и х2 были положительны, необходимо и
достаточно чтобы
f(0)
х0 > 0
f(0) > 0
D>0
х0
0
х1
х2
(2а - 1)2 - 4 (1 - а) > 0
4а2 - 4а+1-4+4а > 0
4а2 – 3 > 0
(2а - 1)/2 > 0
2а – 1 > 0
а > 1/2
1- а > 0
а<1
а<1
4а2 - 3 > 0
4а2 - 3 = 0
11
а2 = 3/4
а 1,2 = + √3/2
Ответ: √3/2 < а < 1
Г. 6.171
При каких значениях а уравнение х2 - (2а + 4)х - 5 - 2 а = 0 имеет два
различных
действительных отрицательных числа?
(т.е. условие можно
сформулировать по-другому: когда оба корня уравнения меньше нуля).
f(0)
х0
х1
х2 0
(2а + 4)2 + 4 (5 + 2а) > 0
4а2 + 16а + 16 +20+ 8а > 0
(2а + 4)/2 < 0
а+2 < 0
-5а - 2а > 0
а < -2,5
х0 < 0
f(0) > 0
D>0
4а2 + 24а + 36 > 0
а2 + 6а + 9 > 0
(а+3)2 > 0
а < -2
а < -2
а < -2
а < -2,5
а < -2,5
а < -2,5
Ответ: а < -2,5, а ≠ -3
12
Г. 6.172
При каких значениях а уравнение х2 - (2а - 6)х +3а + 9 = 0 имеет корни
разных знаков? (т.е. число 0 находится между корнями квадратного трехчлена)
0
х1
х2
Задача сводится к решению неравенства f (0) < 0
3а + 9 < 0
3а < -9
а < -3
Г. 6. 174
Найти все значения а, при которых корни уравнения
х2 + (а+1)х – 2а(а-1) = 0 меньше 1.
х1
х2
х0 < 1
f(1) > 0
D>0
1
(а + 1)2 + 8а (а - 1) > 0
а2 + 2а + 1 +8а2 - 8а > 0
-(а + 1)/2 < 1
(-а – 1 -2)/2 < 0
1 + а + 1 – 2а(а-1) > 0
2 + а – 2а2 +2а > 0
13
9а2 - 6а + 1 > 0
(3а – 1) 2 > 0
а ≠ 1/3
-(а - 3)/2 < 0
-а – 3 < 0
а >–3
-2а2 +3а +2 > 0
-1/2 < а < 2
-1/2 < а < 2
2а2 – 3а –2 < 0
2а2 – 3а –2 = 0
D= 9+16= 25
а1 = 2 а2=-1/2
Ответ: -1/2 < а < 2
Г. 6.175
Для каких значений m уравнение 4х2 - 2х + m = 0
имеет корни,
заключенные между –1 и 1?
-1
х1
х2
х0 Є[-1; 1]
f(1) > 0
f(-1) > 0
D>0
1
6+m>0
m > -6
2+m>0
m > -2
4 – 16m > 0
m < 1/4
-1 < 1/4 < 1
Ответ: -2 < m < 1/4
14
ЗАДАЧА 1.
При каких значениях а оба корня уравнения
х2 – 6а +2 – 2а + 9а2 = 0 больше 3?
Решение.
Так как старший коэффициент
положителен, то данному заданию
соответствует следующая геометрическая интерпретация.
х0
3
Оба корня трехчлена будут больше 3, тогда и только тогда, если
х0 > 3
f(3) > 0
D≥0
х0=3а, D = 3ba2 – 4(2 – 2a +9a2) = 3ba2 – 8 + 8a – 3ba2 = 8a – 8
8a – 8 ≥ 0
a≥1
3a > 3
a>1
9 – 18a +2 – 2a + 9a2 > 0
9a2 – 20a +11 > 0
a>1
a<1
a > 11/9
a > 11/9
15
9a2 – 20a +11 = 0
D = 400 – 396 = 4
a1,2 = (20 ± 2)/18;
a1=1, a2=11/9
+
+
1
–
11/9
Ответ: a >11/9
ЗАДАЧА 2.
При каких значениях а оба корня уравнения
х2 –аx +2 = 0 лежат на интервале (0;3).
Решение.
Старший коэффициент положителен. Данной задаче соответствует
следующая геометрическая интерпретация
х0
0 х1
х2 3
Задача эквивалентна следующей системе:
х0 Є(0; 3)
f(0) > 0
f(3) > 0
D≥0
D = a2 – 8 ≥0
(а – 2√2)(а + 2√2) ≥0
+
а – 2√2
х0 =а/2
+
–
а + 2√2
16
f(0)=2> 0
f(3)=9 – 3a +2= 11 – 3a > 0
Получаем:
(а – 2√2)(а + 2√2) ≥0
0<а/2<3
11 – 3а >0
a ≤ - 2√2
a ≥ 2√2
0<а<6
a < 11/3
– 2√2 0
2√2
11/3
6
а
Сравним
11/3>2√2<3
Ответ : 2√2 < а < 11/3
ЗАДАЧА 3.
При каких значениях а один корень уравнения ах2 + x +1 = 0 больше 2, а
другой корень меньше 2?
Решение.
Данная ситуация изображена на рисунке
2
х
Условие задачи может выполняться тогда и только тогда когда
аf(2) <0
17
f(2) = 4а + 2 + 1 = 4а +3
а (4а + 3) <0
а(4а + 3) =0
+
а1=0, а2=-3/4
+
–
-3/4
0
-3/4 < а < 0
Ответ: -3/4 < а < 0
ЗАДАЧА 4.
При каких значениях а оба корня квадратного трехчлена
х2 + 2(р+1)х + 9р – 5
отрицательны?
Решение.
Оба корня отрицательны, если выполняется система неравенств:
х1х2≥0
х1 + х2 < 0
D≥0
D = 4(a +1)2 – 4(9а – 5) = 4а2 + 8а + 4 – 36а + 20 = 4а2 – 28а + 24=
= 4(а – 6)(а – 1)
+
+
1
–
6
а
х1 +х2= - 2(р +1)
х1х2= 9р – 5
Тогда решаем систему
(р – 1)(р – 6) ≥0
(р – 1)(р – 6) ≥0
-2(р+1) < 0
р > -1
9р – 5 >0
р > 5/9
5/9 < р < 1, р ≥ 6
18
Ответ: 5/9 < р < 1, р ≥ 6
ЗАДАЧА 5.
При каких значениях b уравнение bх2 + х + b3=0 имеет два положительных
корня?
Решение.
1 случай
b=0
х=0 – 1 корень не удовлетворяет условию задачи
2 случай
b≠0
х2 + 1/ b х + b2=0 (b≠0)
0
х
Оба корня положительны, если выполняется система неравенств
D ≥0
1/b2 – 4b2 ≥0
х1 + х2 > 0
b2 > 0
х1х2 > 0
1/b < 0
1/b2 – 4b2 = (1 - 4b4)/ b2 = (1 - 2b2) (1 + 2b2)/ b2 ≥0
+
–
√2/2≤ b ≤0
b≠ 0
b <0
-√2/2
(1 - 2b2)/ b2 ≥0
+
0
√2/2
–
19
-√2/2 ≤ b < 0
Ответ: -√2/2 ≤ b < 0
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.При каких а один корень уравнения ах2+х+1=0 больше 2, а другой
корень меньше 2?
Ответ:-3/4<a<0
2.При каких значениях а квадратный трехчлен ах2-7х+4а принимает
отрицательные значения для любых действительных значений х?
Ответ: а<-1,75.
3.При каких значениях р корни уравнения 4х2-(3р+1)х-р-2=0 заключены
в промежутке между -1 и 2 ?
Ответ:-1,5<p<1 5/7
4.Найти все а, при которых квадратный трехчлен р(х)=(а2-1)х2+2(а1)х+1 положителен при всех х .
Ответ: а>1
5. При каких а один из корней уравнения (а 2+а +1)х2+(2а-3)х+а-5=0
больше 1, а другой меньше 1?
Ответ: -2-√11<a<-2+√11
6. При каких а оба корня уравнения х2 + 4aх + (1 - 2a + 4a2)=0 меньше 1?
Ответ: а>1
III.
ЗАДАЧА 1
При каких значениях а неравенство ах2 + (а+1)x – 3 < 0 выполняется при
при всех х<2?
20
Решение.
1 случай
а=0 х – 3 <0. Ясно, что неравенство выполняется при всех х<2 (и даже при
х<3)
2 случай
а>0, ветви направлены вверх. Если D≤0, то
трехчлен принимает
неотрицательные значения.
Рассмотрим случай, когда D>0
ах2 + (а+1)x – 3 < 0
х2 = (а+1)х/а - 3/а < 0
х1
х2
х1х2=-3/а
Значит один из корней х1< 0. Т.е. х1< 0 <2
Но f(х1)=0, т.е. неравенство f(х) < 0 не выполняется для х1< 2
3 случай
а< 0
Если D< 0, то трехчлен отрицателен при всех х, а значит и при х< 2.
Если D≥0, то парабола пересекает ось Ох и та ее часть, которая находится
выше оси Ох должна быть правее точки 2.
х1
х2
Следовательно должна выполняться система
х0 ≥ 2
f(2) ≤ 2
D≥0
21
D=(а+1)2 + 12а = а2 + 2а + 1 + 12а = а2 +14а + 1 ≥0
а2 +14а + 1=0
D=196 – 4 = 192
а1,2 = (-14±√192)/2 = (-14± 8√3)/2
а1,2 = -7±4√3
+
+
-7 – 4√3
–
-7 + 4√3
х0 = - (а+1)/2а ≥2
- (а+1)/2а – 2 ≥0
(-а – 1 – 4а)/2а ≥0
(-5а – 1)/2а ≥0
+
–
-1/5
–
0
а
f(2)= 4а + 2а + 2 – 3 ≤ 0
6а – 1 ≤ 0
а≤ 1/6
a ≤ -7 – 4√3
a ≥ -7 + 4√3
-1/5≤а≤0
a ≤ 1/6
-7 - 4√3
-0,2
-7 + 4√3
0
1/6
а
[-7 + 4√3; 0)
Учитывая, что нам подошел случай а=0, получаем окончательный ответ
[-7 + 4√3; 0]
Ответ: -7 + 4√3≤ а ≤ 0
ЗАДАЧА 2.
Найти все значения а, при которых уравнение (а+1)х2 – 2ах + а – 2 = 0 имеет
два различных положительных корня.
22
1 случай
а = -1
2х – 3 = 0 х=3/2
2 случай
а ≠ -1, тогда уравнение квадратное и равносильно уравнению
х2 – 2ах/(а+1) + (а–2)/(а+1) = 0
Уравнение имеет положительные корни тогда и только тогда, если
D >0
х1 + х2 > 0
х1х2 > 0
D= (2а/(а+1))2 – 4(а – 1)/(а +1) = 4а2/(а+1)2 – 4(а – 2)/(а +1)=
= (4а2 – 4(а – 2)(а + 1)/(а +1)2 = (4(а2 – (а2 – а – 2)))/(а + 1)2 =
= 4(а2 – а2 + а +2)/(а+1)2 = 4(а + 2)/(а +1)2 >0
Если а +2 >0, а >-2, а≠1
х1х2=(а – 2)/(а +1) >0
+
+
–
-1
2
а<-1, а>2
х1 + х2=2а/(а +1) >0
+
+
-1
–
а<-1, а>0
а >-2, а≠1
а< -1, а > 2
а< -1, а > 0
0
23
-2
-1
0
а
2
-2<а<-1, а>2
Ответ: -2<а<-1, а>2
ЗАДАЧА 3.
Найти все значения а, при которых уравнение х2 − 6х +а = 0 имеет два
различных действительных корня, из которых
только один принадлежит
интервалу (1;7).
Решение.
Обозначим f(х) = х2 – 6х +а и заметим, что абсцисса вершины параболы
х0=3, а корни х1 и х2 будут симметричны относительно точки х0=3.
3
х1
0
х2
7
х
Поэтому, если х1<х2, то интервалу (1;7) должна принадлежать только
точка х2 (если х1 Є (1;7), то х1Є (1;3) и тогда х2Є (3;5) и х2Є (1;7), т.е. оба корня
уравнения лежат на интервале (1;7). Следовательно, х1<1 и поэтому f (1) ≤ 0, а
f(7) >0, т.к. х2 < 7
Задача свелась к решению системы неравенств
f(1) ≤ 0
-5 +а ≤ 0
f(7) > 0
7+а > 0
-7 < а ≤5
Ответ: -7 < а ≤5
24
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.При каких значениях параметра а уравнение ах2-4х+а=0 имеет:
а) положительные корни
б) отрицательные корни
в)корень, равный 0
2.Найти d, при которых корни уравнения 2х2+dx+3d=0 меньше 1
3.При каких значениях а оба корня трехчлена х2 2(а-1)х +а2 +1
а) положительны
б) отрицательны
4.При каких а оба корня уравнения х2 –6ах +2-2а+9а2=0 больше 3?
5.При каких а оба корня уравнения х2 –ах=2=0 лежат на интервале
(0;3)?
6. При каких а один корень уравнения ах2 +х+1=0 больше 2, а другой
меньше 2?
7. Найти а ,при которых оба корня уравнения х2+х+а=0 больше а?
8. При каких а оба корня уравнения ах2-(а+1)х+2=0 по модулю меньше
1?
9. При каких а один из корней уравнения (а2+а+1)х2 + (2а-3)х +а-5=0
больше 1 ,а другой меньше 1?
10. Существуют ли такие а, что корни уравнения х2+2х+а=0 различны и
лежат между -1 и 1?
25
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре
8-9.Москва, 2000
2. Г.А. Ястребинецкий. Задачи с параметрами. Москва, 1986
3. П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Задачи с параметрами. Киев, 1992
4. В.В.Ткачук. Математика-абитуриенту,т1.Москва, 1994
5. С.Л.Попцов. Как решать задачи с параметром. Тверь, 1999
6. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Под редакцией
М.И. Сканави, Москва, 2003