Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Лабораторный практикум по теории графов Тема: Основные понятия теории графов. Неориентированные графы Лабораторная работа 1 № 1. Дан граф G(V, E) (рис. 1): e3 V3 V4 e5 e1 V1 e4 e2 V2 e6 e7 Рисунок 1. Исходный граф Определить: 1) Множество вершин V и множество ребер E . 2) Пары смежных вершин. 3) Инцидентность ребра вершинам. 4) Пары смежных ребер. 5) Степени вершин. 6) Параллельные ребра. 7) Наличие петель. 8) Количество вершин нечетной степени. № 2. Построить неизоморфные графы с пятью вершинами и ребрами, i 0,10 . 1 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Лабораторная работа 2 № 1. Дан граф G V, E . e3 V1 V2 e1 e4 e2 e5 V3 V4 e7 e6 V5 Найти: 1) Множество вершин V и множество дуг E . 2) Пары смежных вершин. 3) Положительная инцидентность дуг вершинам. Отрицательная инцидентность дуг вершинам. 4) Наличие петель. 5) Наличие строго параллельных дуг. 6) Наличие нестрого параллельных дуг. 7) Пары смежных дуг. 8) Положительные и отрицательные степени вершин. Степень вершин V V V . 9) Количество вершин нечетной степени. № 2. Дан граф G2 V, E . V5 V1 G2 : e3 e1 V4 e7 e6 e4 V6 V3 V2 e2 e5 2 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Найти: 1) Множество вершин V и множество дуг E . 2) Пары смежных вершин. 3) Положительная инцидентность дуг вершинам. Отрицательная инцидентность дуг вершинам. 4) Наличие петель. 5) Наличие строго параллельных дуг. 6) Наличие нестрого параллельных дуг. 7) Пары смежных дуг. 8) Положительные и отрицательные степени вершин. Степень вершин V V V . 9) Количество вершин нечетной степени. 3 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Тема: Метрические характеристики графов. Матрицы смежности и инцидентности Лабораторная работа 3 № 1. Построить матрицу смежности B и матрицу инцидентности A для графов: а) e1 V2 V1 e2 e8 e6 e3 e4 V3 e5 e7 V4 V6 e9 e10 V3 e11 б) e1 e2 V1 V2 e3 e4 V7 V4 V3 e6 e5 V6 V5 e7 в) e3 V3 e5 e1 V1 V4 e4 e2 V2 e6 e7 Замечание: Если в графе отсутствуют петли и кратные ребра, то для доказательства изоморфизма достаточно сравнить их матрицы смежности или инцидентности. 4 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов № 2. Дан граф G V, E . e3 V1 V2 e1 e4 e5 e2 V3 V4 e7 e6 V5 Найти: 1) A – матрицу инцидентности. 2) B – матрицу смежности. № 3. Дан граф G2 V, E . V5 V1 G2 : e3 e1 V4 e7 e6 e4 V6 V3 V2 e2 e5 Найти: 1) A – матрицу инцидентности (граф из лабораторной № 2). 2) B – матрицу смежности (граф из лабораторной № 2). № 4. Даны матрица инцидентности и матрица смежности для графа. Составить схему графа. A1 V1 V2 V3 V4 V5 V6 e1 1 1 0 0 0 0 e2 1 0 1 0 0 0 e3 1 0 1 0 0 0 e4 0 1 1 0 0 0 e5 0 0 2 0 0 0 e6 0 0 0 1 0 1 e7 0 0 0 1 0 1 e8 0 0 0 0 1 1 e9 0 0 0 1 1 0 B1 5 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V1 0 1 2 0 0 0 V2 1 0 1 0 0 0 V3 2 1 1 0 0 0 V4 0 0 0 0 1 2 V5 0 0 0 1 0 1 V6 0 0 0 2 1 0 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов № 5. Дана матрица инцидентности A2 . Построить: 1) схему графа. 2) матрицу смежности B2 . A2 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 V1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 V2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 V3 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 V4 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 V5 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 V6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V7 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 V8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 № 6. Дан граф. V4 V1 V5 V3 V2 Найти: 1) Расстояние между различными вершинами (кратчайшая простая цепь, т.е. все вершины различны, все веса за 1 берем), d Vi ,V j ? (i j ) . 2) Эксцентриситет каждой вершины l Vi max d Vi ,V j . 3) Диаметр графа d G max l V . 4) Радиус графа r G min l V . 5) Определить центральные вершины графа l Vi r G . 6) Определить центр графа. 7) Найти число маршрутов длины 2 для всех вершин графа (т.е. B 2 ). 8) Найти число маршрутов длины 3 для всех вершин графа (т.е. B 3 ). 9) Определить список смежности для графа G . Vi V V V V V 6 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов № 7. Дан граф. V2 V1 V3 V4 V6 V5 V7 Найти: 1) Расстояние между различными вершинами (кратчайшая простая цепь, т.е. все вершины различны, все веса за 1 берем), d Vi ,V j ? (i j ) . 2) Эксцентриситет каждой вершины l Vi max d Vi ,V j . 3) Диаметр графа d G max l V . 4) Радиус графа r G min l V . 5) Определить центральные вершины графа l Vi r G . 6) Определить центр графа. 7) Найти число маршрутов длины 2 для всех вершин графа (т.е. B 2 ). 8) Найти число маршрутов длины 3 для всех вершин графа (т.е. B 3 ). 9) Определить список смежности для графа G . Vi V V V V V № 8. Дан граф. V5 V1 V2 V8 V6 V4 V3 V7 7 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Найти: 1) Расстояние между различными вершинами (кратчайшая простая цепь, т.е. все вершины различны, все веса за 1 берем), d Vi ,V j ? (i j ) . 2) Эксцентриситет каждой вершины l Vi max d Vi ,V j . 3) Диаметр графа d G max l V . 4) Радиус графа r G min l V . 5) Определить центральные вершины графа l Vi r G . 6) Определить центр графа. 7) Найти число маршрутов длины 2 для всех вершин графа (т.е. B 2 ). 8) Определить список смежности для графа G . Vi V V V V V 8 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Тема: Алгоритм Краскала Лабораторная работа 4 № 1. Дан граф G . 8 V2 2 V3 5 V1 4 7 3 V4 5 6 3 V6 V8 4 V5 7 V9 2 V7 Для графа построить по алгоритму Краскала: 1) покрывающее дерево по нумерации; 2) минимальное покрывающее дерево и найти вес wTmin полученного дерева; 3) максимальное покрывающее дерево и найти вес wTmax полученного дерева. № 2. Дан граф G . V1 V6 V2 8 1 7 3 V5 V3 3 7 1 V4 V7 4 2 Для графа построить по алгоритму Краскала: 1) покрывающее дерево по нумерации; 2) минимальное покрывающее дерево и найти вес wTmin полученного дерева; 3) максимальное покрывающее дерево и найти вес wTmax полученного дерева. № 3. Дан граф G . 9 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов 1 V1 V2 7 7 1 4 6 V3 V4 8 Для графа построить по алгоритму Краскала: 1) покрывающее дерево по нумерации; 2) минимальное покрывающее дерево и найти вес wTmin полученного дерева; 3) максимальное покрывающее дерево и найти вес wTmax полученного дерева. 10 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Тема: Алгоритм Прима Лабораторная работа 5 № 1. Дан граф G . V2 5 V1 V5 5 6 8 14 4 12 V4 10 7 9 V3 V6 Построить минимальное покрывающее дерево по алгоритму Прима и посчитать вес дерева wTmin . № 2. Дан граф G . 1 V1 V2 6 4 8 V6 3 V7 7 2 5 V5 V3 V4 2 Построить максимальное покрывающее дерево по алгоритму Прима и посчитать вес дерева wTmax . № 3. Дан граф G . 11 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов 1 V1 9 V2 3 4 8 5 V3 5 4 10 12 V4 V6 V5 1 4 5 3 5 V6 4 1 V7 V9 4 Построить минимальное покрывающее дерево по алгоритму Прима и найти его вес wTmin . № 4. Дан граф G . 2 1 V1 8 4 V4 V2 2 V5 V3 4 4 4 8 8 2 V6 3 Построить максимальное и минимальное дерево по алгоритму Прима и для каждого посчитать веса wTmax и wTmin . Изобразить результаты в виде деревьев с весами. 12 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Тема: Алгоритм Дейкстры Лабораторная работа 6 № 1. Дан граф G . 9 V1 7 11 V3 6 V2 6 6 4 8 V5 13 V6 7 5 V4 6 Используя Алгоритм Дейкстры найти минимальный путь и длину: 1) от вершины V1 до вершины V4 ; 2) от вершины V3 до вершины V6 ; 3) от вершины V1 до вершины V6 . № 2. Дан граф G . 2 7 V1 V3 2 9 13 V4 V2 1 3 3 5 V5 11 V6 5 Используя Алгоритм Дейкстры найти минимальный путь и длину: 1) от вершины V2 до вершины V4 ; 2) от вершины V1 до вершины V5 ; 3) от вершины V1 до вершины V4 . № 3. Дан граф G . 13 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов V1 7 2 V2 9 V4 3 V3 3 5 V5 11 V6 5 Используя Алгоритм Дейкстры найти минимальный путь и длину: 1) от вершины V1 до вершины V4 ; 2) от вершины V1 до вершины V6 ; 3) от вершины V2 до вершины V6 . 14 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Тема: Поиск эйлерова цикла Лабораторная работа 7 № 1. Построить эйлеров цикл в графе, начиная с вершин V1 , V3 , V4 . V1 V5 V2 V4 V3 V6 № 2. Построить эйлеров цикл в графе, начиная с вершины V1 . V1 V5 V3 V7 V6 V4 V2 № 3. Построить эйлеров цикл в графе, начиная с вершины V8 . V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 № 4. Построить эйлеров цикл в графе, начиная с вершины V1 . 15 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов V4 V3 V5 V6 V1 V9 V2 V7 V8 № 5. Построить эйлеров цикл в графе, начиная с вершины V4 . V1 V2 V7 V3 V6 V4 V5 16 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Тема: Гамильтоновы графы Лабораторная работа 8 № 1. Дан граф G1 V, E . b a c d e Из вершины V2 найти всевозможные гамильтоновы циклы. № 2. Дан граф G1 V, E . b a c e d Найти количество гамильтоновых циклов из вершины V2 и указать их. № 3. Дан граф G1 V, E . b a c d e Найти количество гамильтоновых циклов из вершины V3 и указать их. 17 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов № 4. Дан граф G1 V, E . a b c f e d Из вершины V1 найти всевозможные гамильтоновы циклы. 18 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Тема: Алгоритм Уоршалла-Флойда. Задача транзитивного замыкания Лабораторная работа 9 № 1. Используя алгоритм Уоршалла-Флойда, найти минимальное расстояние между всеми парами вершин. 1 V1 2 V2 3 V3 1 4 V4 V5 5 № 2. Используя алгоритм Уоршалла-Флойда, найти минимальное расстояние между всеми парами вершин. 1 V1 V2 3 1 2 V3 V4 3 № 3. Используя алгоритм Уоршалла-Флойда, найти минимальное расстояние между всеми парами вершин. 3 V1 V2 2 1 1 4 V3 № 4. Построить транзитивное замыкание для графа и найти матрицу связности графа. 19 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов V1 V2 V3 V5 V4 № 5. Построить транзитивное замыкание для графа и найти матрицу связности графа. V1 V2 V4 V3 № 6. Построить транзитивное замыкание для графа и найти матрицу связности графа. V1 V2 V5 V3 V4 20 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Тема: Условие существования потока в графе. Поиск увеличивающей цепи Лабораторная работа 10 № 1. Дан граф G1 V, E . V2 1,1 V1 1,1 0,1 G1 0,3 0,3 V4 1,1 V3 1) Проверить условие существования потока из вершины V1 в вершину V4 . 2) Найти увеличивающую цепь, если возможно, и увеличить поток. № 2. Дан граф G1 V, E . 2,3 V2 4,6 V1 2, 4 G1 2, 4 V3 4,8 V4 V5 6,8 1) Проверить условие существования потока из вершины V1 в вершину V5 . 2) Найти увеличивающую цепь, если возможно, и увеличить поток. № 3. Дан граф G1 V, E . V2 2, 4 V1 2,6 2, 4 5,7 V3 V5 7,10 2, 4 21 4,8 V7 0, 2 V6 0, 2 V4 G1 3,5 2,5 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов 1) Проверить условие существования потока из вершины V1 в вершину V7 . 2) Найти увеличивающую цепь, если возможно, и увеличить поток. 22 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Тема: Поиск максимального потока в графе. Стоимость потока минимальной стоимости Лабораторная работа 11 № 1. Дан граф G1 V, E . G1 a 0,1,3 s 0, 2, 4 0, 2,3 0, 2, 4 0,3, 2 b t 0,1,3 0,3,6 0, 4,8 c Найти: 1) максимальный поток K max на графе; 2) поток минимальной стоимости для k 2 , k 5 . Узнать стоимость передачи. Изобразить итоговые графы. № 2. Дан граф G1 V, E . G1 a 0,3,3 s 0, 4,5 0,1,5 0,1,3 b 0, 4,6 0, 2,5 d 0,3,8 t 0,3,6 c Найти: 1) максимальный поток K max на графе; 2) поток минимальной стоимости для k 2 , k 5 . Узнать стоимость передачи. Изобразить итоговые графы. 23 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов № 3. Дан граф G1 V, E . b G1 0,3,8 0, 2, 4 0, 2, 4 s 0, 2,5 0, 4,8 a 0,3,1 t d 0,7,1 0, 4,9 c Найти: 1) максимальный поток K max на графе; 2) поток минимальной стоимости для k 2 , k 5 . Узнать стоимости. Изобразить итоговые графы. 24 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Тема: Задача почтальона для орграфа Лабораторная работа 12 № 1. Дан граф G1 V, E . V1 G1 5 V4 1 3 V5 2 3 2 V2 1 V3 Построить оптимальный маршрут почтальона из вершины V3 . № 2. Дан граф G1 V, E G1 V1 2 3 V2 3 2 V4 2 2 V3 V5 1 Построить оптимальный маршрут почтальона из вершины V5 . № 3. Дан граф G1 V, E . G1 2 V1 2 1 V3 V2 4 1 1 1 V4 3 V6 V5 2 Построить оптимальный маршрут почтальона из вершины V2 . 25 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов № 4. Дан граф G1 V, E . G1 1 V1 2 V4 1 V2 4 5 3 2 V3 V5 5 Построить оптимальный маршрут почтальона из вершины V1 . 26 1 V6 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Вопросы для самопроверки и обсуждений по темам 1. Найти эксцентриситет, диаметр и радиус графа. 2. Составить матрицу смежности и матрицу инцидентности для графа. 3. Построить минимальное (максимальное) покрывающее дерево для графа, используя алгоритм Краскала. 4. Построить минимальное (максимальное) покрывающее дерево для графа, используя алгоритм Прима. 5. Найти Эйлеров цикл в графе. 6. Найти кратчайший путь и длину между заданными вершинами, Дейкстры. используя алгоритм 7. Найти минимальное расстояние между всеми парами вершин по алгоритму УоршаллаФлойда. 8. Построить транзитивное замыкание и найти матрицу связности (достижимости) для графа. Представить решение через промежуточные матрицы. 9. Найти гамильтоновы циклы в графе из заданной вершины, используя алгоритм поиска гамильтонова цикла в графе. 10. Найти поток минимальной стоимости, состоящий из k (например, 5) единиц. (При решении обязательно указывать промежуточные графы и увеличивающие цепи. В ответе изобразить результирующий граф и указать минимальную стоимость потока.) 11. Построить оптимальный маршрут почтальона из заданной вершины. (В решении построить симметричный граф, указать потоки минимальной стоимости. В ответе указать результирующий граф и оптимальный маршрут почтальона.) 12. Найти максимальный поток на графе. (Увеличивать поток с указанием увеличивающей цепи и количеством единиц, передаваемых по увеличивающей цепи. На каждом шаге изображать новый граф с последующей нумерацией графа.) В ответе указать максимальный поток и результирующий граф. 27 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Тестирование по теории графов 1. Как будет выглядеть матрица инцидентности для графа: 1 4 2 2 5 3 1 2 4 3 5 Ответ: □ V1 V2 V3 V4 V5 (V1,V2) (V1,V3) (V1,V4) (V1,V5) (V2,V4) (V4,V5) 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 V1 V2 V3 V4 V5 (V1,V2) (V1,V3) (V1,V4) (V1,V5) (V2,V4) (V4,V5) 4 2 5 1 0 0 4 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 5 0 2 3 0 0 0 1 0 3 V1 V2 V3 V4 V5 V1 0 -1 -1 -1 -1 V2 1 0 0 -1 0 V3 1 0 0 0 0 V4 1 1 0 0 -1 V5 1 0 0 1 0 V1 V2 V3 V4 V5 V1 0 1 1 1 1 V2 1 0 0 1 0 V3 1 0 0 0 0 V4 1 1 0 0 1 V5 1 0 0 1 0 □ □ □ 28 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов 2. Как будет выглядеть матрица весов для графа: 1 2 2 5 3 3 6 1 4 5 4 Ответ: □ V1 V2 V3 V4 V5 □ V1 V2 V3 V4 V5 V1 V2 V3 V4 V5 0 2 5 3 0 2 0 0 1 0 5 0 0 6 0 3 1 6 0 4 0 0 0 4 0 V1 V 2 V3 V4 V5 0 2 5 3 ∞ 2 0 ∞ 1 ∞ 5 ∞ 0 6 ∞ 3 1 6 0 4 ∞ ∞ ∞ 4 0 □ V1 V2 V3 V4 V5 □ V1 V2 V3 V4 V5 V1 V2 V3 V4 V5 0 2 5 3 ∞ -2 0 ∞ 1 ∞ -5 ∞ 0 6 ∞ -3 -1 -6 0 4 ∞ ∞ ∞ -4 0 V1 V2 V3 V 4 V5 1 -2 -5 -3 ∞ 2 1 ∞ -1 ∞ 5 ∞ 1 -6 ∞ 3 1 6 1 -4 ∞ ∞ ∞ 4 1 29 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов 3. Маршрут в графе можно задать: Ответ: □ только последовательностью ребер; □ только последовательностью вершин; □ и последовательностью ребер и последовательностью вершин; □ ни последовательностью ребер, ни последовательностью вершин. 4. Какие из графов являются связными? A B x2 С x4 x1 x3 x1 x4 x5 x2 x4 x3 x2 x1 x3 Ответ: □ A и B □C □A □ B. 5. Выберете правильные утверждения. Неориентированное дерево есть: Ответ: □ связный граф, содержащий n вершин и n 1 ребер; □ связный граф, содержащий n вершин и n 1 ребер, и не имеющий циклов; □ граф, в котором любые две вершины соединены двумя цепями; □ любое подмножество n 1 неориентированных ребер и n вершин. 6. Для графа, представленного на рисунке, число маршрутов длины 2 для всех вершин равно: V1 V4 V5 V2 □ 0 1 0 1 1 V3 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 Ответ: □ 14; □ 3 1 1 3 3 1 0 2 1 2 3 1 3 0 1 0 2 0 2 2 □ 2 7 2 6 7 1 2 1 2 3 30 7 4 7 2 5 2 7 2 6 7 6 2 6 0 2 7 5 7 2 4 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов 7. Какие из утверждений справедливы? Ответ: □ В конечном графе число вершин нечетной степени нечетно. □ В неориентированном графе число вершин четной степени четно. □ В конечном графе число вершин нечетной степени четно. □ В орграфе число вершин четной степени четно. 8. Алгоритм Краскала может быть применен для: Ответ: □ построения цикла; □ поиска минимального дерева; □ поиска кратчайшего пути между вершинами; □ поиска радиуса графа. 9. При построении минимального покрывающего дерева по алгоритму Краскала используются: Ответ: □ букет; □ матрица инцидентности; □ матрица смежности; □ матрица весов. 10. При построении минимального покрывающего дерева по алгоритму Прима используются: Ответ: □ матрица инцидентности; □ множество ребер, упорядоченное по возрастанию весов; □ множество ребер, упорядоченное по убыванию весов; □ матрица весов. 11. Сколько существует попарно неизоморфных неорграфов (без петель и кратных дуг) с 4 вершинами и 2 ребрами. Ответ: □3 □4 □5 □2 31 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов 12. Какая из приведённых ниже матриц является матрицей смежности орграфа Ответ: 1 2 3 4 0 0 1 0 1 0 1 1 □ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 □ 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 □ 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 □ 1 1 0 1 0 1 1 0 13. Найдите путь наименьшей длины между вершинами a и h по алгоритму Дейкстры b 1 2 a d 2 3 1 c e 2 g 1 2 3 f 1 h 2 4 Ответ: abdfh abdefh abcdefh abcdegh 14. Выберете правильное утверждение. Планарным графом называется граф, который Ответ: □ можно изобразить на плоскости так, чтобы все пересечения ребер являлись вершинами графа; □ нельзя изобразить на плоскости так, чтобы все пересечения ребер являлись вершинами графа; □ можно изобразить в пространстве так, чтобы все пересечения ребер являлись вершинами графа; □ нельзя изобразить в пространстве так, чтобы все пересечения ребер являлись вершинами графа. 32 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов 15. Для поиска пути в задаче Почтальона используется алгоритм: Ответ: □ Прима; □ Краскала; □ Уоршалла - Флойда; □ поиска эйлерова цикла. 33 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Ответы для третьей главы Ответы для лабораторного практикума Лабораторная работа 1 № 1. 1. V v1 , v2 , v3 , v4 vi , i 1,4 , E e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 e j , j 1,7 . 2. а) v1 и v2 ; б) v1 и v3 ; в) v2 и v2 ; г) v2 и v3 ; д) v2 и v4 ; е) v3 и v4 . 3. Ребро e1 инцидентно вершинам v1 и v3 . Ребро e2 инцидентно вершинам v1 и v2 . Ребро e3 инцидентно вершинам v3 и v4 . Ребро e4 инцидентно вершинам v2 и v4 . Ребро e5 инцидентно вершинам v2 и v3 . Ребро e6 инцидентно вершине v2 . Ребро e7 инцидентно вершинам v1 и v2 . 4. Смежные ребра: а) e1 и e2 ; б) e1 и e3 ; в) e1 и e5 ; г) e1 и e7 ; д) e2 и e4 ; е) e2 и e5 ; ж) e2 и e6 ; з) e2 и e7 ; и) e3 и e4 ; к) e3 и e5 ; л) e4 и e5 ; м) e4 и e6 ; н) e5 и e6 ; о) e5 и e7 ; п) e6 и e7 ; р) 4 e4 и e7 . 5. v1 3 ; v2 6 ; v3 3 ; v4 2 ; vi 14 . 6. Ребра e2 и e7 являются i 1 параллельными. 7. e6 – петля. 8. Две вершины нечетной степени: v1 и v3 . № 2. 0) E : 1) E e1 : 2) E e1 , e2 : 3) E e j , j 1,3 : 4) E e j , j 1,4 : 34 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов 5) E e j , j 1,5 : 6) E e j , j 1,6 : 7) E e j , j 1,7 : 8) E e j , j 1,8 : 9) E e j , j 1,9 : 10) E e j , j 1,10 : 35 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Лабораторная работа 2 № 1. а) Найти графы, они перенесены в лаб 3 A B V1 V2 V3 V4 V5 V6 e1 1 1 0 0 0 0 e2 1 1 0 0 0 0 e3 1 0 0 1 0 0 e4 0 1 0 0 0 1 e5 0 1 0 1 0 0 e6 0 1 1 0 0 0 e7 1 0 0 0 0 1 e8 1 0 1 0 0 0 e9 0 0 0 1 0 1 e10 e11 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V1 0 2 1 1 0 1 V2 2 0 1 1 0 1 V3 1 1 0 0 1 0 V4 1 1 0 0 0 1 V5 0 0 1 0 1 0 V6 1 1 0 1 0 0 б) A B V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 e1 2 0 0 0 0 0 0 e2 1 1 0 0 0 0 0 e3 0 1 1 0 0 0 0 e4 1 0 1 0 0 0 0 e5 0 0 0 1 0 1 0 e6 0 0 0 1 1 0 0 e7 0 0 0 0 1 1 0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V1 1 1 1 0 0 0 0 V2 1 0 1 0 0 0 0 V3 1 1 0 0 0 0 0 V4 0 0 0 0 1 1 0 V5 0 0 0 1 0 1 0 V6 0 0 0 1 1 0 0 V7 0 0 0 0 0 0 0 в) 36 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов V1 V A 2 V3 V4 B e1 1 0 1 0 e2 1 1 0 0 e3 0 0 1 1 e4 0 1 0 1 e5 0 1 1 0 e6 0 2 0 0 e7 1 1 0 0 V1 V2 V3 V4 V1 0 2 1 0 V2 2 1 1 1 V3 1 1 0 1 V4 0 1 1 0 № 2. 1) V v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , E e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 . 2) v1 смежна с v2 ; v2 смежна с v3 ; v3 смежна с v3 ; v3 смежна с v4 ; v3 смежна с v2 ; v4 смежна с v1 . 3) e1 положительно инцидентна с v4 и отрицательно инцидентна с v1 ; e2 положительно инцидентна с v4 и отрицательно инцидентна с v1 ; e3 положительно инцидентна с v1 и отрицательно инцидентна с v2 ; e4 положительно инцидентна с v3 и отрицательно инцидентна с v2 ; e5 положительно инцидентна с v2 и отрицательно инцидентна с v3 ; e6 положительно инцидентна с v3 и отрицательно инцидентна с v3 ; e7 положительно инцидентна с v3 и отрицательно инцидентна с v4 . 4) Петля e6 . 5) Дуги e1 и e2 являются строго параллельными. 6) Дуги e4 и e5 являются не строго параллельными. 7) Дуга e1 смежна с e3 ; e2 с e3 ; e3 с e5 ; e4 с e5 ; e5 с e4 ; e5 с e6 ; e5 с e7 ; e6 с e4 ; e6 с e7 ; e7 с e1 ; e7 с e2 . 8) v1 1 , v2 1 , v3 3 , v4 2 , v5 0 ; v1 2 , v2 2 , v3 2 , v4 1 , v5 0 ; v1 3 , v2 3 , v3 5 , v4 3 , v5 0 . 9) Количество вершин нечетной степени равно 4. 10) e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 V1 1 1 1 0 0 0 0 V2 0 0 1 1 1 0 0 A1 V3 0 0 0 1 1 2 1 V4 1 1 0 0 0 0 1 V5 0 0 0 0 0 0 0 11) B1 V1 V2 V3 V4 V5 V1 0 1 0 0 0 V2 0 0 1 0 0 V3 0 1 1 1 0 V4 2 0 0 0 0 V5 0 0 0 0 0 37 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов № 3. 1) V v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , E v1 , v2 , v2 , v3 , v3 , v1 , v2 , v3 , v3 , v3 , v5 , v6 , v6 , v5 . 2) v1 смежна с v2 ; v2 смежна с v3 ; v3 смежна с v1 и v3 ; v5 смежна с v6 ; v6 смежна с v5 . 3) e1 положительно инцидентна с v1 и отрицательно инцидентна с v2 ; e2 положительно инцидентна с v2 и отрицательно инцидентна с v3 ; e3 положительно инцидентна с v3 и отрицательно инцидентна с v1 ; e4 положительно инцидентна с v2 и отрицательно инцидентна с v3 ; e5 положительно инцидентна с v3 и отрицательно инцидентна с v3 ; e6 положительно инцидентна с v5 и отрицательно инцидентна с v6 ; e7 положительно инцидентна с v6 и отрицательно инцидентна с v5 . 4) Петля e5 . 5) Дуги e2 и e4 являются строго параллельными. 6) Дуги e6 и e7 являются не строго параллельными. 7) Дуга e1 смежна с e2 и e4 ; e2 с e3 и e5 ; e3 с e1 ; e4 с e3 и e5 ; e5 с e3 ; e6 с e7 ; e7 с e6 . 8) v1 1 , v2 2 , v3 2 , v4 0 , v5 1 , v6 1 ; v1 1 , v2 1 , v3 3 , v4 0 , v5 1 , v6 1 ; v1 2 , v2 3 , v3 5 , v4 0 , v5 2 , v6 2 . 9) Количество вершин нечетной степени равно 2. 10) e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 V1 1 0 1 0 0 0 0 V2 1 1 0 1 0 0 0 A2 V3 0 1 1 1 2 0 0 V4 0 0 0 0 0 0 0 V5 0 0 0 0 0 1 1 V6 0 0 0 0 0 1 1 11) V1 V2 V3 V4 V5 V6 V1 0 1 0 0 0 0 V2 0 0 2 0 0 0 B2 V3 1 0 1 0 0 0 V4 0 0 0 0 0 0 V5 0 0 0 0 0 1 V6 0 0 0 0 1 0 № 4. G1 V1 e1 e2 e3 V2 e4 V4 e9 e6 V3 e5 e7 V5 e8 V6 38 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов № 5. G2 e1 V1 e6 e7 V2 e5 V6 e2 e4 V3 e11 V7 V6 e8 e9 V4 e10 V5 B2 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V1 0 1 0 0 0 0 0 0 V2 0 0 0 0 0 0 1 0 V3 1 1 0 1 1 0 1 0 V4 1 0 0 0 0 0 0 0 V5 0 0 0 1 0 0 0 0 V6 0 0 0 0 0 0 0 0 V7 0 0 0 0 1 0 0 0 V8 0 0 0 0 0 0 0 1 e3 Лабораторная работа 3 № 1. 1) d vi , vi 0 , d v1 , v2 1 , d v1 , v3 2 , d v1 , v4 2 , d v1 , v5 2 , d v2 , v3 1 , d v2 , v4 1 , d v2 , v5 1 , d v3 , v4 2 , d v3 , v5 1 , d v4 , v5 1 . 2) l v1 2 , l v2 1 , l v3 2 , l v4 2 , l v5 2 . 3) d G 2 . 4) r G 1 . 5) v2 – центральная вершина. 6) Вершина v2 является центром G . 1 0 2 7) B 1 1 1 0 1 1 1 4 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 3 0 4 3 8) B 1 1 2 4 1 1 2 4 6 6 6 6 2 2 5 6 2 2 5 6 5 5 4 9) u v1 v2 , u v2 v1 , v3 , v4 , v5 , u v3 v2 , v5 , u v4 v2 , v5 , u v5 v2 , v3 , v4 . 39 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов № 2. 1) d vi , vi 0 , d v1 , v2 1 , d v1 , v3 2 , d v1 , v4 2 , d v1 , v5 1 , d v1 , v6 1 , d v1 , v7 2 , d v6 , v7 2 , d v2 , v3 1 , d v2 , v4 2 , d v2 , v5 2 , d v2 , v6 1 , d v2 , v7 3 , d v3 , v4 2 , d v5 , v7 1 , d v3 , v5 2 , d v3 , v6 1 , d v4 , v5 1 , d v4 , v6 1 , d v5 , v6 1 , d v3 , v7 3 , d v4 , v7 2 . 2) l v1 2 , l v2 3 , l v3 3 , l v4 2 , l v5 2 , l v6 2 , l v7 3 . 3) d G 3 . 4) r G 2 . 5) v1 , v4 , v5 , v6 – центральные вершины. 6) v1 , v4 , v5 , v6 является центром G . 3 1 2 2 7) B 2 1 2 1 1 3 1 2 1 0 0 1 2 2 1 4 2 0 2 2 2 2 5 1 0 0 1 0 1 1 4 7 5 3 8) B 5 8 9 1 7 4 7 5 2 1 3 1 2 2 1 3 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 5 5 8 4 10 4 9 9 9 10 10 2 2 2 1 4 2 0 5 7 4 7 5 5 7 4 8 5 5 8 9 9 9 9 9) u v1 v2 , v5 , v6 , u v2 v1 , v3 , v6 , u v3 v2 , v4 , v6 , u v4 v3 , v5 , v6 , u v5 v1 , v4 , v6 , v7 , u v6 v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , u v7 v5 . № 3. 1) d vi , vi 0 , d v1 , v2 1 , d v1 , v3 1 , d v1 , v4 1 , d v1 , v5 1 , d v1 , v6 2 , d v1 , v7 2 , d v1 , v8 1 , d v2 , v3 1 , d v2 , v4 1 , d v2 , v5 1 , d v2 , v6 1 , d v2 , v7 2 , d v2 , v8 2 , d v3 , v4 1 , d v3 , v5 2 , d v3 , v6 1 , d v3 , v7 1 , d v3 , v8 2 , d v4 , v5 2 , d v4 , v6 2 , d v4 , v7 1 , d v4 , v8 1 , d v5 , v6 2 , d v5 , v7 3 , d v5 , v8 2 , d v6 , v7 2 , d v6 , v8 3 , d v7 , v8 2 . 2) l v1 2 , l v2 2 , l v3 2 , l v4 2 , l v5 3 , l v6 3 , l v7 3 , l v8 3 . 3) d G 3 . 4) r G 2 . 5) v1 , v2 , v3 , v4 – центральные вершины. 6) v1 , v2 , v3 , v4 является центром G. 40 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов 5 3 3 4 2 7) B 1 2 2 1 3 3 4 1 2 2 1 5 4 3 1 1 2 2 4 6 5 2 2 2 2 3 5 6 2 2 2 2 1 2 2 2 1 0 1 1 2 2 1 2 1 0 2 2 2 0 1 1 1 2 2 2 1 0 1 2 8) u v1 v2 , v3 , v4 , v5 , v8 , u v2 v1 , v3 , v4 , v5 , v6 , u v3 v1 , v2 , v4 , v6 , v7 , u v4 v1 , v2 , v3 , v7 , v8 , u v5 v1 , v2 , u v6 v2 , v3 , u v7 v3 , v4 , u v8 v1 , v4 . Лабораторная работа 4 2 7 8 4 5 3 7 № 1. 1. T v1 , v2 , v1 , v4 , v2 , v3 , v3 , v5 , v4 , v6 , v4 , v8 , v5 , v9 , 2 2 3 3 4 4 v6 , v7 , wT 40 ; 2. Tmin v1 , v2 , v8 , v9 , v4 , v5 , v4 , v8 , v3 , v5 , 8 7 4 5 7 T w 30 , ; 3 v , v , v , v , v , v v2 , v3 , v1 , v4 , 6 7 4 6 1 4 max Tmin 6 5 5 4 4 2 v5 , v8 , v3 , v4 , v4 , v6 , v3 , v5 , v6 , v7 , v4 , v2 , wTmax 46 . 1 7 8 1 2 7 № 2. 1. T v1 , v6 , v2 , v3 , v2 , v5 , v3 , v4 , v3 , v7 , v4 , v6 , 1 1 2 3 7 7 wT 26 ; 2. Tmin v1 , v6 , v3 , v4 , v3 , v7 , v3 , v5 , v2 , v3 , v4 , v6 , 7 7 4 3 8 wTmin 21 ; 3. Tmax v2 , v5 , v2 , v3 , v4 , v6 , v4 , v7 , v5 , v7 , 1 v1 , v6 , wTmax 30 . 1 1 8 № 3. 1. T v1 , v2 , v1 , v3 , v3 , v4 , wT 10 ; 1 1 8 2. Tmin v1 , v2 , v1 , v3 , v3 , v4 , wTmin 10 ; 41 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов 7 8 7 3. Tmax v1 , v2 , v2 , v3 , v3 , v4 , wTmax 22 . Лабораторная работа 5 6 5 5 9 4 № 1. Tmin v4 , v5 , v2 , v4 , v1 , v2 , v2 , v3 , v3 , v6 , wTmin 29 . 6 7 5 4 3 8 № 2. Tmax v2 , v7 , v2 , v6 , v3 , v6 , v4 , v6 , v1 , v6 , v5 , v6 , wTmax 33 . 4 4 4 1 4 1 № 3. Tmin v1 , v2 , v1 , v4 , v3 , v6 , v4 , v7 , v5 , v7 , v6 , v9 , 4 1 v7 , v9 , v8 , v9 , wTmin 23 . № 4. Max-дерево: wTmin 32 V1 V2 8 4 V4 8 8 V3 Min-дерево: wTmax 11 V1 2 4 V5 V6 1 V4 V2 2 V3 4 V5 2 V6 Лабораторная работа 6 № 1. 1. Путь v1 v2 v4 , длина 14; 2. Путь v3 v4 v6 , длина 12; 3. Путь v1 v5 v6 , длина 19. № 2. 1. Путь v2 v3 v4 , длина 3; 2. Путь v1 v2 v3 v5 , длина 12; 3. Путь v1 v2 v3 v4 , длина 10. № 3. 1. Путь v1 v2 v3 v5 v4 , длина 15; 2. Путь v1 v2 v3 v6 , длина 20; 3. Путь v2 v3 v6 , длина 13. Лабораторная работа 7 № 1. 1. v1v5v4v2v5v6v3v2v1 ; 2. v3v6v5v4v2v5v1v2v3 ; 3. v4v5v6v3v2v5v1v2v4 . № 2. v1v5v7 v6v4v7 v3v6v2v4v5v3v1 . № 3. v8v4v7v3v6v4v5v3v8v2v7v1v6v2v5v1v8 . № 4. v1v2v3v4v5v6v7v2v8v6v9v7v8v5v3v1 . № 5. v4v2v7 v1v6v2v5v1v3v2v1v4 . Лабораторная работа 8 42 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов № 1. becdab . № 2. 3 гамильтоновых цикла: bcdaeb , bcdeab , bdaceb . № 3. 2 гамильтоновых цикла: cdbeac , cdeabc . № 4. 2 гамильтоновых цикла: abcdefa , afedcba . Лабораторная работа 9 № 1. D 5 v1 v2 v3 v4 v5 v1 6 1 4 13 8 v2 5 6 3 12 7 v3 2 3 6 9 4 v4 3 4 1 10 5 v5 8 9 6 5 10 D 4 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 4 3 6 1 4 3 6 5 8 3 2 5 v4 1 2 3 4 v1 v2 4 3 1 2 1 4 v3 7 4 8 № 2. № 3. D 3 v1 v2 v3 № 4. E v1 , v2 , v1 , v3 , v1 , v4 , v2 , v2 , v2 , v3 , v2 , v4 , v3 , v2 , v3 , v3 , v3 , v4 , v4 , v2 , v4 , v3 , v4 , v4 , v5 , v1 , v5 , v2 , v5 , v3 , v5 , v4 ; D 5 v1 v2 v3 v4 v5 v1 0 1 1 1 0 v2 0 1 1 1 0 v3 0 1 1 1 0 v4 0 1 1 1 0 v5 1 1 1 1 0 № 5. E E ; 43 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов D 4 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 v4 1 1 1 0 № 6. E v1 , v1 , v1 , v2 , v1 , v3 , v1 , v4 , v1 , v5 , v2 , v1 , v2 , v2 , v2 , v3 , v2 , v4 , v2 , v5 , v3 , v1 , v3 , v2 , v3 , v3 , v3 , v4 , v3 , v5 , v4 , v1 v4 , v2 , v4 , v3 , v4 , v4 , v4 , v5 , v5 , v1 , v5 , v2 , v5 , v3 , v5 , v4 , v5 , v5 ; D 5 v1 v2 v3 v4 v5 v1 1 1 1 1 1 v2 1 1 1 1 1 v3 1 1 1 1 1 v4 1 1 1 1 1 v5 1 1 1 1 1 Лабораторная работа 10 № 1. 1. Поток сувуществует. 2. Увеличивающие цепи: E v1 , v3 , v2 , v3 , v2 , v4 , E v1 , v3 , v3 , v2 , v2 , v4 ; Увеличенный поток: 1,1 2,3 0,1 2,3 1,1 1,1 G v1 , v2 , v1 , v3 , v2 , v3 , v2 , v4 , v3 , v2 , v3 , v4 . № 2. 1. Поток сувуществует. 2. Увеличивающие цепи: E v1 , v3 , v3 , v4 , v4 , v5 , E v1 , v2 , v4 , v2 , v4 , v5 ; Увеличенный поток: 3,3 4,4 4,6 8,8 1,4 7,8 G v1 , v2 , v1 , v3 , v2 , v3 , v3 , v4 , v4 , v2 , v4 , v5 . № 3. 1. Поток сувуществует. 2. Увеличивающие цепи: E v1 , v4 , v4 , v6 , v6 , v7 , E v1 , v2 , v2 , v3 , v3 , v5 , v5 , v7 , E v1 , v3 , v3 , v5 , v5 , v7 , E'''' v1 , v3 , v2 , v3 , v5 , v2 , v5 , v7 , E''''' v1 , v3 , v2 , v3 , v5 , v2 , v5 , v6 , v6 , v7 ; Увеличенный поток: 4,4 5,6 4,4 5,7 0,2 10,10 4,4 G v1 , v2 , v1 , v3 , v1 , v4 , v2 , v3 , v3 , v4 , v3 , v5 , v4 , v6 , 1,5 1,2 8,8 5,5 v5 , v2 , v5 , v6 , v5 , v7 , v6 , v7 . 44 Зарипова Э.Р. 2016 РУДН, Физ-мат. Лабораторный практикум по теории конечных графов Лабораторная работа 11 3,1,3 4,2,4 6,3,6 0,2,3 2,1,3 3,2,4 2,3,2 8,4,8 № 1. 1. G s, a , s, b , s, c , a, b , b, c , a, t , b, t , c, t , Kmax 13 ; 2. Для k 2 : 2,1,3 0,2,4 0,3,6 0,2,3 0,1,3 2,2,4 0,3,2 0,4,8 G s, a , s, b , s, c , a, b , b, c , a, t , b, t , c, t , P 6 ; Для k 5 : 3,1,3 2,2,4 0,3,6 0,2,3 0,1,3 3,2,4 2,3,2 0,4,8 G s, a , s, b , s, c , a, b , b, c , a, t , b, t , c, t , P 19 . 3,3,3 5,4,5 3,1,5 5,4,6 0,2,5 3,3,6 3,1,3 8,3,8 № 2. 1. G s, a , s, b , s, c , b, d , b, c , c, d , a, t , d , t , Kmax 11 ; 2. Для k 2 : 2,3,3 0,4,5 0,1,5 0,4,6 0,2,5 0,3,6 2,1,3 0,3,8 G s, a , s, b , s, c , b, d , b, c , c, d , a, t , d , t , P 8 ; Для k 4 : 3,3,3 0,4,5 1,1,5 0,4,6 0,2,5 1,3,6 3,1,3 1,3,8 G s, a , s, b , s, c , b, d , b, c , c, d , a, t , d , t , P 19 . № 3. 1. Kmax 13 ; 2. Для k 2 : G s, a , a, b , b, t , P 14 ; Для k 4 : G s, a , a, b , b, t , P 21 . Лабораторная работа 12 № 1. v3v2v1v4v3v2v1v5v2v1v5v3 . № 2. v5v3v4v1v2v3v4v1v3v4v5 . № 3. v2v5v1v2v5v1v3v4v2v5v1v3v4v6v2v5v6v2 . № 4. v1v2v3v5v4v1v2v3v6v5v4v1v5v4v1v6v5v4v1 . 45
