опыты с равновозможными элементарными событиями. Вероятности событий в опытах

Урок №6
Тема: «Случайные опыты с равновозможными элементарными событиями. Вероятности
событий в опытах с равновозможными элементарными событиями»
10
Тип урока: ознакомление с новым материалом
Цель урока: формирование понятия равновозможными элементарными событиями.
Задачи урока:
Обучающая: формирование представлений о случайных равновозможных элементарных
событиях.
Воспитательная: прививать аккуратность и трудолюбие, умение выслушивать других,
формировать стремление к самореализации.
Развивающая: развивать логическое мышление, память, пространственное воображение,
познавательный интерес, расширять представления обучающихся об окружающем мире,
поддерживать интерес к изучаемому предмету.
Планируемые результаты:
Предметные: решают задачи.
Личностные: Проявляют устойчивый и широкий интерес к способам решения познавательных
задач, положительное отношение к урокам математики, дают оценку
результатов своей учебной деятельности.
Метапредметные:
Р – определяют цель учебной деятельности, осуществляют поиск средств её осуществления.
П – делают предположения об информации, которая нужна для решения учебной задачи.
К – умеют отстаивать точку зрения, аргументируя ее, подтверждая фактами.
Оборудование: мультимедийный проектор; компьютер, интерактивная доска.
Структура урока:
1. Организационный момент
Подготовка к изучению нового материала, через актуализацию опорных
2.
знаний
3. Формулирование темы и цели урока
4. Ознакомление с новым материалом
5. Физкультминутка
Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах
6.
изучения
7. Рефлексия
8. Постановка Д/З
Ход урока
Учитель
1. Организационный момент
Приветствую учащихся. Сажаю их на места.
.
3 мин
5 мин
2 мин
10 мин
2 мин
14 мин
2 мин
2 мин
Ученики
УУД
Приветствуют
учителя.
Высказывают
предположения
К: Умение
слушать и
вступать в
диалог.
Слушают
Проверка дз
Фронтальная работа с классом
- Что такое вероятность?
(слайд 1)
отвечают
1
П: уметь
ориентиров
аться в
Слушают
рассуждают
Какие события называются случайными?
Какие события называются достоверными?
Какие события называются невозможными?
Приведите пример достоверного и невозможного событий.
Чему равна вероятность достоверного и невозможного
событий?
(слайд 2)
1.
2.
3.
4.
5.
(слайд 3)
В коробке находятся 2 чёрных, 3 красных, 5 жёлтых
шаров. Наугад вынимается один из шаров.
Охарактеризуйте событие, как случайное, невозможное или
достоверное
а) Выбран красный шар;
б) Выбран зелёный шар;
в) Выбран красный, чёрный или жёлтый шар
2
своей
системе
знаний
К: уметь
слушать и
понимать
речь
других,
оформлять
мысли в
устной
речи
Р:
уметь
проговарив
ать
последоват
ельность
действий
на уроке,
высказыват
ь
свое
предполож
ение
Найдите вероятности этих событий
2. Формулирование темы и цели урока
- Кто сформулирует тему и цель сегодняшнего урока?
(слайд 4)
3. Ознакомление с новым материалом
Рассмотрим следующее событие: выпадение чётного числа
при подбрасывании кубика.
Назовите
событие, которое
произойдёт, если не выпадет чётное число. Может ли наступить
это событие в каком – нибудь другом случае? Такие события
называют противоположными. Запишите определение в тетрадь.
Определение:
Событие В называют противоположным событием А и
обозначают В = Ā, если событие В происходит, тогда и только
тогда, когда не происходит событие А.
Сформулируйте правило нахождения вероятности
противоположных событий.
Для нахождения вероятности противоположного события
следует из единицы вычесть вероятность самого события:
Р(Ā) = 1 – Р(А)
Подумайте, как можно доказать это утверждение?
Доказательство :
𝑁(𝐴̅) 𝑁 − 𝑁(𝐴) 𝑁 𝑁(𝐴)
𝑃(𝐴̅) =
=
= −
= 1 − 𝑃(𝐴)
𝑁
𝑁
𝑁
𝑁
Задача 1.
В кооперативном доме 93 квартиры, из которых 3 находятся на
первом этаже, а 6 – на последнем. Квартиры распределяются по
жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется
квартира, расположенная на первом или на последнем этаже?
Решение:
1. Назовите испытание для этой задачи.
Испытание - выбор одного элемента.
2. Назовите событие и определите его вид.
Рассмотрим событие А = { жильцу не досталась квартира ,
расположенная на первом или на последнем этаже }, тогда
̅ ={ жильцу досталась
противоположное ему событие А
квартира, расположенная на первом или на последнем
̅ − элементарное событие
этаже} А
3. Общее число исходов данного испытания N = 93.
̅
4. Число исходов, благоприятствующих событию А
̅ ) = 3+6=9.
N(А
5. Применим формулу классической вероятности.
̅) = 9
Р(А
93
По формуле вероятности противоположных событий
̅) = 1 - 9 = 84 .
Р(А) = 1 - Р(А
93
93
Рассмотрим такие события: А – «при подбрасывании кубика
выпало число меньшее 3»; В - «при подбрасывании кубика
выпало число большее 4». Могут ли эти события наступить
одновременно? Являются ли они противоположными? Ведём
3
Формулируют,
записывают
в
тетрадях число,
кл/р, тема урока.
Слушают,
Записывают
записывают
Слушают
слушают
П: уметь
добывать
новые
знания.
Р: уметь
работать
по
коллективн
о
составленн
ому плану,
проговарив
ать
последоват
ельность
действий
на уроке
К: уметь
слушать и
понимать
других,
оформлять
свои мысли
в устной и
письменно
й речи
новое понятие
Событие А и В называются несовместными, если они не
могут происходить одновременно.
Как найти вероятность наступления хотя бы одного из двух
несовместных событий?
(слайд 5)
(слайд 6)
Теорема:
Вероятность наступления хотя бы одного из двух
несовместных событий равна сумме их вероятностей.
Если А и В несовместны, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В)
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Сначала обсуждается устно, потом запись в тетради:
𝑁(𝐴) + 𝑁(𝐵) 𝑁(𝐴) 𝑁(𝐵)
𝑃(𝐴 + 𝐵) =
=
+
= 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
𝑁
𝑁
𝑁
(слайд 7)
Пример.
В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти
вероятность появления цветного шара.
Решение: Появление цветного шара означает появление либо
красного, либо синего шара.
Соб. А – появление красного шара. Вероятность появления соб.
А: Р(А)=10/30=1/3.
Соб. В – появление синего шара. Вероятность появления соб. В:
Р(В) = 5/30=1/6.
События А и В несовместны (появление шара одного цвета
исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема
сложения применима. Искомая вероятность: Р(А+В)= Р(А)+Р(В)=
1/3+1/6=1/2.
4
Если все исходы опыта – некоторое множество точек на рисунке,
то А и В – это некоторое подмножество данного множества.
Несовместные
Совместные
события
события
АиĀ
А
В
А
В
Ā
А если у нас есть более 2 попарно несовместных событий,
как найти вероятность их суммы?
Вероятность суммы любого числа попарно несовместных
событий равна сумме вероятности этих событий. (слайд 9)
Р( А+В +С +D ………) = Р(А) + Р(В) + Р(С) + Р(D)……..
Схема
А
С
Д
В
Задача 2
В урне 10 белых, 15 черных, 13 синих, 7 зелёных и 25 красных
шаров. Извлекли один шар. Какова вероятность того, что
извлеченный шар красный, белый или черный?
Примерная запись решения:
1. Испытание - выбор одного элемента.
2. Рассмотрим событие А = { Извлекли шар красный,
белый или черный}. Это составное событие, оно
состоит из элементарных событий:
А1={ извлеченный шар красный };
А2={ извлеченный шар белый };
А3={ извлеченный шар черный }.
Эти события несовместны
3. Общее число исходов данного испытания N =
10+15+7+13+25=70.
4. Число исходов, благоприятствующих событиям
N(А1 )= 25, N(А2 )= 10, N(А3 )= 15.
5. Применим формулу классической вероятности.
25
5
Р(А1) = 70 = 14.
1
3
Аналогично Р(А2) = 7, Р(А3) = 14.
По формуле сложения вероятностей получаем ответ:
5
.
5
1
3
5
Р(А) = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) = 14 + 7 + 14 = 7.
Задача 3.
В мешке есть белые, желтые и черные кубики. При этом 10% от
общего числа — белые, 15% от общего числа — желтые. Из
мешка случайно вытаскивается кубик.
а) Какова вероятность, что этот кубик светлый?
б) Какова вероятность, что этот кубик черный?
Решение.
Испытание - выбор одного элемента. Событие «светлый кубик»
составное, состоит из событий : «кубик жёлтый» и «кубик
белый».
Пусть событие A={кубик белый}, B={кубик желтый}. Это
элементарные несовместные события. Из условия следует, что
P(A) = 0,1; P(B) = 0,15. Тогда по формуле сложения вероятностей
P(A+B) = P(A) + P(B) = 0,1+0,15=0,25 — это вероятность того, что
«кубик светлый». Событие «кубик черный» — противоположное
к событию «кубик светлый». Поэтому его вероятность равна 10,25=0,75.
Ответ. а) 0,25; б) 0,75
(слайд 9)
(слайд 10)
Пример 2: Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и
второго орудий соответственно равны
р1=0,7 и р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе
хотя бы одним из орудий.
Решение: Вероятность попадания в цель каждым из орудий не
зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому
события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго
орудия) независимы.
Вероятность события А*В (оба орудия дали попадание)
Р(А*В)=Р(А)*Р(В)=0,7*0,8=0,56
Искомая вероятность Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=0,7+0,8-0,56=0,94
5. Физкультминутка
Разминает руки и шею
выполняют
6. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах
изучения
Работаем вместе
№1
37 точек из 100 покрашены в красный цвет, а 23 из оставшихся по таблице
покрашены в синий цвет. Какова вероятность того, что случайным
образом выбранная точка окажется:
а) синей;
6
Р:
проговарив
ать
последоват
ельность
б) не красной;
в) красной или синей;
г) неокрашенной.
Решение:
а) Рассмотрим событие А={синяя точка}, по классической
23
формуле вероятности получим Р(А) = 100 = 0,23.
б) Рассмотрим событие В={точка не окрашена красным},
̅ ={красная точка}.
тогда противоположное ему событие В
37
̅) =
Р(В
= 0,37.
100
По формуле вероятности противоположного события получим:
̅) = 1 – 0,37 = 0,63.
Р(В) = 1 - Р(В
в) Рассмотрим случайные события:
А={синяя точка};
В={красная точка}.
Тогда искомое событие С = А+В
23
37
Р(А) =100 = 0,23, Р(В) = 100 = 0,37
По формуле сложения вероятностей получаем ответ:
Р(С) = Р(А) + Р(В) = 0,23 + 0,37 = 0,6.
г) Рассмотрим событие А={точка неокрашенная}, тогда
̅ ={точка окрашена в
противоположное ему событие А
̅
красный или синий цвет}. Р(А) = 0,6 (из п.в).
По формуле вероятности противоположного события получим:
̅) = 1 – 0,6 = 0, 4.
Р(А) = 1 - Р(А
№2.
Случайным образом выбрали целое число из промежутка
[100;200). Найти вероятность того, что:
а) оно не оканчивается нулём;
б) среди его цифр есть хотя бы одна цифра больше 2;
в) оно не является квадратом целого числа;
г) сумма его цифр меньше 17.
Решение: Всего в промежутке [100;200) 100 целых чисел.
Случайным образом выбрали одно из них. Испытание - выбор
одного элемента.
а) Рассмотрим элементарное событие А={число не
оканчивается нулём}, тогда противоположное ему
̅ ={ число оканчивается нулём }, т. е. А
̅=
событие А
{100,110,120,130,140,150,160,170,180,190}.
̅) = 10 = 0,1.
По формуле классической вероятности Р(А
100
По формуле вероятности противоположного события получим:
̅) = 1 – 0,1 = 0,9
Р(А) = 1 - Р(А
б) Рассмотрим элементарное событие А={среди цифр числа
хотя бы одна больше 2}, тогда противоположное ему
̅ ={число состоит из цифр 0,1,2}, т. е. А
̅=
событие А
{100,101,102,110, 111, 112, 120,121, 122}. По формуле
̅) = 9 = 0,09.
классической вероятности Р(А
100
По формуле вероятности противоположного события получим:
̅) = 1 – 0,09 = 0,91
Р(А) = 1 - Р(А
в) Рассмотрим элементарное событие А={число не является
квадратом целого числа}, тогда противоположное ему
̅ ={число является квадратом целого числа }, т.
событие А
7
действий
К:
уметь
письменно
оформлять
свои мысли
В тетради
выполняют
Считаю долю
пшеницы
̅ = {100,121, 144, 169, 196}. По формуле классической
е. А
̅) = 5 = 0,05.
вероятности Р(А
100
По формуле вероятности противоположного события получим:
̅) = 1 – 0,05 = 0,95.
Р(А) = 1 - Р(А
г) Рассмотрим событие А={сумма цифр числа меньше 17},
̅ ={сумма цифр
тогда противоположное ему событие А
числа не меньше 17}, т. е.
̅
А = {179,197, 189,198, 188, 199}. По формуле классической
̅) = 6 = 0,06.
вероятности Р(А
100
По формуле вероятности противоположного события получим:
̅) = 1 – 0,06 = 0,94.
Р(А) = 1 - Р(А
№3
В прямоугольнике ABCD отметили середины К и L сторон СD и
AD соответственно, а также точки M и N на сторонах АВ и ВС так,
что АМ : МВ = 1 : 3 и BN : NC = 1 : 2. В прямоугольнике случайно
отметили точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется:
в) Вне треугольника МAС;
г) В четырёхугольнике MNKL?
Решение: Пусть длина прямоугольника равна a, а ширина b.
в) Рассмотрим случайные события:
А={ точка попадает в треугольник MBC};
В={ точка попадает в треугольник ACD}.
Тогда искомое событие С = А+ В
𝑆∆MBC
Р(А) = 𝑆
𝐴𝐵𝐶𝐷
=
1
3
(𝑎)( 𝑏)
2
4
𝑎𝑏
3
𝑆∆MBN
8
𝐴𝐵𝐶𝐷
, Р(В) = 𝑆
=
1
𝑎𝑏
2
= 𝑎𝑏 =
1
.
2
По формуле сложения вероятностей получаем ответ:
3 1 7
Р(С) = Р(А) + Р(В) = 8 + 2 = 8.
г) Рассмотрим событие А={точка четырёхугольник MNKL },
̅ ={точка попадает в
тогда противоположное ему событие А
один из треугольников МВN, КСN, LKD, AML}.
Рассмотрим случайные события:
А1={ точка попадает в треугольник МВN };
А2={ точка попадает в треугольник КСN };
А3={ точка попадает в треугольник LKD };
А4={ точка попадает в треугольник AML }, тогда
̅ = А1+А2 +А3 + А4
событие А
1 1
3
( 𝑎)( 𝑏)
𝑆
Р(А1) = 𝑆∆MBN = 2 3 𝑎𝑏 4
𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑆∆КСN
Р(А2) =𝑆
𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑆
=
Р(А3) = 𝑆 ∆LKD =
𝐴𝐵𝐶𝐷
1 2
1
( 𝑎)( 𝑏)
2 3
2
𝑎𝑏
1 1
1
( 𝑎)( 𝑏)
2 2
2
𝑎𝑏
=
=
=
1
;
8
1
;
6
1
;
8
8
𝑆∆AML
Р(А4) =𝑆
𝐴𝐵𝐶𝐷
=
1 1
1
( 𝑎)( 𝑏)
2 2
4
𝑎𝑏
=
1
.
16
По формуле сложения вероятностей получаем ответ:
̅) = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) + Р(А4) = 1 + 1 + 1 + 1 = 23
Р(А
8
6
8
16
48
По формуле вероятности противоположного события получим:
̅) = 1 – 23 = 25.
Р(А) = 1 - Р(А
48 48
№4
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе.
Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится
кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в
обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к
концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение.
Рассмотрим событие А = кофе закончится в первом автомате, В =
кофе закончится во втором автомате.
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна
1 − 0,3 = 0,7.
Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна
1 − 0,3 = 0,7.
Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88.
Поскольку
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B),
имеем:
0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность х = 0,52.
О т в е т : 0,9975.
№ 5.
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может
быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого
автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат
исправен.
Решение.
Вероятность того, что исправен первый автомат (событие А)
равна 0,95. Вероятность того, что исправен второй автомат
(событие В) равна 0,95. Это совместные независимые события.
Вероятность их произведения равна произведению вероятностей
этих событий, а вероятность их суммы равна сумме
вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их
произведения. Имеем:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) = 0,9
5 + 0,95 − 0,95·0,95 = 0,9975.
Приведем еще одно решение.
Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат
является суммой трех несовместных событий, каждое из которых
является произведением двух независимых событий:
А = исправен первый автомат, при этом неисправен второй;
B = исправен второй автомат, при этом неисправен первый;
С = исправен первый автомат, при этом второй тоже исправен.
Поэтому для искомой вероятности получаем:
P(A + B+ С) = P(A) + P(B) + P(С) = 0,95 ·0,05 + 0,95 · 0,05 + 0,95 ·
0,95 = 0,9975.
9
7. Рефлексия
1. С какими терминами вы сегодня познакомились?
2. Определите свое настроение в конце урока.
Поднимают
руки.
4. Постановка Д/З
конспект
Слушают,
записывают.
10
Р:
уметь
оценивать
правильнос
ть
выполнени
я действий