Практическое занятие 1 Метод математической индукции. Бином Ньютона Метод математической индукции – это способ доказательства утверждений, основанный на принципе математической индукции. Пусть необходимо доказать некоторое утверждение P (n) относительно натуральных чисел n . Утверждение считается доказанным, если: 1) утверждение доказано для n = 1 ; 2) из предположения, что утверждение верно для n = k выведено, что оно верно для n = k + 1. Пункт 1) называют базисом индукции, 2) индуктивным переходом (шагом) индукции. Поясним как работает шаг индукции и зачем нужен базис. Пусть есть некоторое утверждение и оно доказано методом математической индукции. Возьмем, например, n = 4 . Так как проверено (доказано), утверждение верно для n = 1 , то в силу шага индукции оно будет верно для n = 2 , а тогда, снова в силу шага индукции, оно будет верно для n = 3 и после еще одного шага заключаем, что утверждение верно для n = 4 . Нетрудно заметить, что метод математической индукции можно применять для доказательства справедливости утверждений не для всех натуральных чисел, а только, например, для n ≥ 5 или для целых чисел, не меньших некоторого целого числа p . Здесь нужно проверить справедливость утверждение для n = 5 или n = p . Решение типовых примеров на метод математической индукции n(n + 1)(2n + 1) . 6 1(1 + 1)(2 + 1) Решение. 1) Для n = 1 утверждение верно: 12 = 1. 6 Пример 1. Доказать равенство 12 + 2 2 + ... + n 2 = 2) Пусть утверждение верно для n = k , т.е. 12 + 2 2 + ... + k 2 = k (k + 1)(2k + 1) . 6 (1) (k + 1)(k + 2)(2k + 3) . 6 (2) Докажем, что верно n = k + 1, т.е. 12 + 2 2 + ... + (k + 1) 2 = Для этого преобразуем левую часть равенства (2), используя предположение (1), 12 + 2 2 + ...k 2 + (k + 1) 2 = k (k + 1)(2k + 1) + (k + 1) 2 . 6 Далее 1 2 k (k + 1)(2k + 1) k (2k + 1) (k + 1)(2k + 7 k + 6) + (k + 1) 2 = (k + 1) + (k + 1) = . 6 6 6 Так как 2k 2 + 7k + 6 = (k + 2)(2k + 3) . Окончательно получаем 12 + 2 2 + ...k 2 + (k + 1) 2 = Пример 2. Доказать 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2n − 1 < 2 4 6 2n 1) Для n = 2 утверждение верно: (k + 1)(k + 2)(2k + 3) . 6 1 , n≥ 2. 3n + 1 1 3 1 ⋅ < . 2 4 7 2) Пусть утверждение верно для n = k , т.е. 1 3 5 2k − 1 1 ⋅ ⋅ ⋅…⋅ . < 2 4 6 2k 3k + 1 (3) Докажем, что верно n = k + 1, т.е. 1 3 5 2k − 1 2k + 1 1 ⋅ ⋅ ⋅…⋅ ⋅ < . 2 4 6 2 k 2k + 2 3k + 4 2k + 1 Умножим обе части неравенства (3) на число > 0 . Получим 2k + 2 (4) 1 3 5 2k − 1 2k + 1 1 2k + 1 ⋅ ⋅ ⋅…⋅ ⋅ < ⋅ . 2 4 6 2k 2k + 2 3k + 1 2k + 2 Докажем, что 1 2k + 1 1 < . Данное равносильно следующему 3k + 1 2k + 2 3k + 4 ⋅ ( 2k + 1) 3k + 4 < ( 2k + 2) 3k + 1 . Возводя обе положительные части неравенства в квадрат, получим равносильное неравенство 12k 3 + 28k 2 + 19k + 4 < 12k 3 + 28k 2 + 20k + 4 – верно. Пример 3. Доказать, что число (4n + 15n − 1) делится на 9. 1) Для n = 1 утверждение верно: число 4 + 15 − 1 = 18 делится на 9. 2) Пусть утверждение верно для n = k , т.е. число 4k + 15k − 1 делится на 9. Докажем, что число 4k +1 + 15(k + 1) − 1 также делится на 9. Для этого запишем число 4k +1 + 15(k + 1) − 1 так 4 ⋅ 4k + 4 ⋅15k − 4 − 45k + 18 = 4(4k + 15k − 1) − 9(5k − 2) . В правой части последнего равенства каждое слагаемое делится на 9. Значит число 4k +1 + 15(k + 1) − 1 делится на 9. 2 Бином Ньютона Биномом Ньютона называют формулу для разложения степени суммы двух слагаемых (a + b) n , n – натуральное, на сумму произведений степеней отдельных слагаемых n n(n − 1) n−2 2 n(n − 1)(n − 2) n−3 3 n(n − 1)(n − 2)...1 n (a + b)n = a n + a n−1b + a b + a b + ... + b = 1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n n n n(n − 1)...(n − k + 1) n−k k n! a b =∑ a n−k b k . k! k =0 k =0 k !( n − k )! =∑ (5) Замечание. В этих записях для упрощения применено соглашение 0! = 1. Числа Cnk = n! называют биномиальными коэффициентами. k !(n − k )! Тогда формулу бинома Ньютона (5) можно записать так n (a + b) = ∑ Cnk a n−k b k . n k =0 Записать равенства для n = 1, 2, 3. . Привести треугольник Паскаля и записать с помощью треугольника разложение для n = 4, 5. Задачи для самостоятельного решения Методом математической индукции доказать для натуральных n следующие утверждения 2n(n + 1)(2n + 1) . 3 1. 22 + 42 + ... + (2n) 2 = 2. n(n + 1) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = . 2 3. 1 1 1 1 n + + + ... + = . 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 (2n − 1)(2n + 1) 2n + 1 4. n !≥ 2 ⋅ 3n − 2 , n ≥ 2 . 5. 1 1 1 1 + + +…+ > n, n ≥ 2 . 1 2 3 n 6. 7. Число (n7 − n + 7) делится на 7. Записать формулу бинома Ньютона для n = 2, 3, 4, 5. 8. Доказать свойство биномиальных коэффициентов Cnk +1 + Cnk = Cnk++11 . 2 9. Методом математической индукции доказать формулу бинома Ньютона. 3
