Загрузил Оксана Балімова

Обчислення визначених інтегралів мій урок

реклама
11 клас
Алгебра
Математика — це
велична споруда,
створена уявою
людини для пізнання
Всесвіту.
(Ле Корбюз’є)
https://wordwall.net/uk/resource/64526667
Самостійна робота
1)
2)
3)
Варіант 1
Варіант 2
1
3𝑥𝑑𝑥 =
0
−2
2
𝑥
+
1
𝑑𝑥 =
−3
2
2𝑥𝑑𝑥 =
0
4
2
𝑥
−
1
𝑑𝑥 =
2
𝜋
2
𝜋
6
1)
2)
2 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 1 𝑑𝑥= 3)
𝜋
3
𝜋
−3
2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 𝑑𝑥=
Bаріант-1
1
1
𝑥2
3
1) 0 3𝑥𝑑𝑥 = 3 ⋅
= = 𝟏, 𝟓
2 0
2
3 −2
−2
𝑥+1
−2+1 3
−3+1 3
−1
8
7
𝟏
2
2) −3 𝑥 + 1 𝑑𝑥 =
=
−
= + = =𝟐 ;
3
3
3
3
3
3
𝟑
−3
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
−𝝅
3) 𝜋2 2 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = (−2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥) 𝜋2 = −2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 − + 2 𝑐𝑜𝑠 + =
+
2
2
6
6
𝟔
6
𝟑
6
Bаріант-2
2
2
𝑥2
22
1) 0 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 ⋅
=2⋅ =𝟒
2 0
2
4
4
𝑥−1 3
4−1 3
2−1 3
27
1
26
𝟐
2
2) 2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 =
=
−
= − = =𝟖
3
3
3
3
3
3
𝟑
2
3)
𝜋
3
𝜋
−3
2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = (2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑥)
𝜋
3
𝜋
−3
𝜋
3
𝜋
3
𝜋
3
𝜋
3
= 2 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 − − 2 sin(− ) − = 2 ⋅
3
𝜋
− −
2
3
2⋅
Формула Ньютона-Лейбніца
Означення
Межі інтегрування
Нехай 𝑭 – первісна функції 𝒇 на проміжку 𝑰,
числа 𝒂 і 𝒃 𝒂 < 𝒃 , належать проміжку 𝑰.
Різницю 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 називають визначеним
інтегралом функції 𝒇 на проміжку 𝒂; 𝒃
Верхня межа
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂
𝒂
𝒃
Нижня межа
𝒂
інтеграл від 𝒂 до 𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
еф від ікс де ікс
Властивості визначеного інтеграла
Доведення
Доведено
𝒂
1
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎
𝒂
𝒂
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒂 − 𝑭 𝒂 = 𝟎
𝒂
Виконується для
будь-якого 𝒂
Властивості визначеного інтеграла
𝒃
2
𝒂
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = −
𝒂
Доведення
Доведено
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒃
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂
𝒂
𝒂
−
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑭 𝒂 − 𝑭 𝒃
=𝑭 𝒃 −𝑭 𝒂
𝒃
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = −
𝒂
Якщо переставити межі
інтегрування, то інтеграл
змінює знак на
𝒂
протилежний
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒃
Властивості визначеного інтеграла
𝒃
3
𝒌 ∙ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒌
𝒂
𝒃
𝒃
Доведення
Доведено
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒂
𝒃
𝒃
= 𝒌𝑭 𝒃 − 𝒌𝑭 𝒂 = 𝒌 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 = 𝒌 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒌𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒌𝑭 𝒙
Сталий множник можна
𝒂
𝒂
𝒂
виносити за знак інтеграла
Властивості визначеного інтеграла
𝒃
4
𝒄
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 =
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 +
𝒂
Доведення
Доведено
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒄
Функція 𝒇 𝒙 неперервна на
𝒂; 𝒃 і 𝒄 ∈ 𝒂; 𝒃
𝒄
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 +
𝒂
𝒄
𝒃
+𝑭 𝒙
= 𝑭 𝒄 −𝑭 𝒂 +𝑭 𝒃 −𝑭 𝒄 =
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙
𝒂
𝒄
𝒄
𝒃
=𝑭 𝒃 −𝑭 𝒂 =
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒂
Властивості визначеного інтеграла
𝒃
5
𝒃
𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 =
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 +
𝒂
𝒃
= 𝑭 𝒃 +𝑮 𝒃
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑮 𝒙
𝒂
𝒃
𝒃
𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 =
𝒂
= 𝑭 𝒃 −𝑭 𝒂
𝒈 𝒙 𝒅𝒙
𝒂
Аналогічно
𝒃
Доведення
Доведено
− 𝑭 𝒂 +𝑮 𝒂
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 −
𝒈 𝒙 𝒅𝒙
Інтеграл
суми функцій
𝒃
𝒂
+ 𝑮 𝒃 −𝑮 𝒂
=
𝒂
дорівнює
сумі інтегралів
𝒂 𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + цих
𝒈 𝒙 функцій
𝒅𝒙
𝒂
=
В
А
А
Підготовка до НМТ
Б
Б
Б
Підготовка до НМТ
Д
Г
А
1. Використовуючи властивості визначеного інтеграла, виконайте обчислення:
Розв’язання:
𝟐
𝟐
1) −𝟏 𝟑𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 −𝟏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 ⋅ 𝟔 = 𝟏𝟖
𝟐
2)
−𝟏
𝒇 𝒙
𝟏 𝟐
𝒅𝒙
=
𝒇 𝒙
𝟐
𝟐 −𝟏
𝒅𝒙 = 𝟐 ⋅ 𝟔 = 𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
3) −𝟏 𝒇 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = −𝟏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + −𝟏 𝒅𝒙 = −𝟏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒙 𝟐−𝟏 = −𝟏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐 − −𝟏 = 𝟔 + 𝟑 = 𝟗
4)
𝟐
𝟒𝒇 𝒙
−𝟏
𝟐𝟓, 𝟓
− 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟒
𝟐
𝒇 𝒙
−𝟏
𝒅𝒙 −
𝟐
𝟐
𝒙
𝒅𝒙
=
𝟒
𝒇 𝒙
−𝟏
−𝟏
𝟐
𝟐
𝒙𝟐
𝒅𝒙 + 𝟐
= 𝟒 −𝟏 𝒇 𝒙
−𝟏
𝒅𝒙 + 𝟐 − 𝟎, 𝟓 = 𝟒 · 𝟔 + 𝟏, 𝟓 =
Попрацюємо разом
2.
Розв’язання:
1
𝑓 𝑥
−2
𝑑𝑥 =
1
3+3=8
3
−1 2
1
𝑥 𝑑𝑥 + −1 2𝑥 + 3
−2
−1
1
𝑥3
𝑥2
1
8
1
𝑑𝑥 =
+2
+3𝑥 −1 = − + + 1 − 1 +
3 −2
2 −1
3
3
№ 14.6 (2,4)
1)
𝟐
𝟎
𝟖𝒙𝟑 − 𝒙 𝒅𝒙 =
−𝟏
2)
−𝟐
𝟏
𝟐− 𝟒
𝒙
𝟒 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝒙
𝒙
𝒙
𝟐𝟐
𝟑
𝟒
𝟖 𝒙 ⋅ 𝒅𝒙 − 𝟎 𝒙 𝒅𝒙 =
−
= 𝟐𝒙 𝟎 −
= 𝟑𝟐 − = 𝟑𝟐 − 𝟐 = 𝟑𝟎
𝟎
𝟒 𝟎
𝟐 𝟎
𝟐 𝟎
𝟐
𝒅𝒙 = 𝟐
−𝟏
𝒅𝒙 −
−𝟐
−𝟏
−𝟐
𝒅𝒙
𝟏 −𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟑
−𝟏
=
𝟐
𝒙
+
=
−𝟐
+
𝟒
−
+
=
𝟐
−
=
𝟏
−𝟐 𝟑𝒙𝟑
𝒙𝟒
𝟑
𝟏𝟐
𝟒
𝟒
−𝟐
Попрацюємо разом
№ 14.4 (1,6,8)
1)
2)
𝟏
𝒙+𝟐
𝟎
𝟐
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝒙𝟐
𝟏
𝟏
𝟏𝟏
𝒙
𝒅𝒙
+
𝟐
𝒅𝒙
=
+
𝟐
𝒙
=
−
𝟎
+
𝟐
−
𝟎
=
𝟐
𝟎
𝟎
𝟎
𝟐 𝟎
𝟐
𝟐
𝒅𝒙 =
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝒙𝟑
𝒙𝟐
𝒙 𝒅𝒙 − 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 𝟑 − 𝟐 = 𝟖 − 𝟏 −
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑𝒙 − 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑
𝟑
𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐
3)
𝒅𝒙 = 𝟔
𝟏
𝟗 − 𝟏 + 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟒𝟎
𝟏
𝟏
𝟐− 𝟐 = 𝟓𝟐
𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟑
𝒙𝟑
𝒙𝟐
𝟑
𝒙
𝒅𝒙
−
𝟒
𝒙
𝒅𝒙
+
𝟐
𝒅𝒙
=
𝟔
−𝟒
+𝟐
𝒙
𝟏= 𝟐 ⋅
𝟏
𝟏
𝟏
𝟑 𝟏
𝟐 𝟏
№ 14.10
𝟒
1)
𝟏
𝟔𝒙
𝒅𝒙 =
𝒙𝟏.𝟓
𝟏𝟔
2)
𝒙
𝟒
𝟏
𝟒
𝟔⋅𝒙
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = 𝟔
𝒙
𝟏
𝟏
𝟒
𝟏
𝒙
𝟏
𝟏𝟔
𝒅𝒙 =
𝟑
𝟒
𝟏
−𝟐
−𝟐
𝟒
𝒙𝟎.𝟓
𝒅𝒙 = 𝟔 ⋅ 𝟎,𝟓 = 𝟏𝟐
𝟏
𝟏𝟔
𝟒𝒙𝟒 𝒙
𝟒
𝒅𝒙 = 𝟓
=𝟓
𝟏
𝟒
𝟏𝟔 𝟏𝟔 +
𝟒
𝟒
𝒙 𝟏 = 𝟏𝟐
𝟒 − 𝟏 = 𝟏𝟐 ;
𝟏 = 𝟎, 𝟖 ⋅ 𝟑𝟏 = 𝟐𝟒, 𝟖
𝟐𝟕 − 𝟏 − 𝟐 ⋅
Попрацюємо разом
№ 14.8(1,3,4)
𝟐 𝒙
𝟐 ⋅ 𝒍𝒏 𝟐 − 𝟏
𝟏
1)
𝟐−𝟏=𝟏
3)
4)
𝟎
𝒙+𝒙
ⅇ
−𝟐
𝟑
𝟐
𝟑 𝟑 − 𝟐𝟑
𝒅𝒙 =
𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝟐
𝟐 𝒙
𝟐
𝟐𝒙 𝟐
𝟐
𝟐
𝒅𝒙
−
𝒅𝒙
=
𝒍𝒏
𝟐
⋅
−
𝒙
= 𝟐 𝟐 − 𝟐𝟏 −
𝟏
𝟏
𝟏
𝒍𝒏 𝟐 𝟏
𝟎
𝟎 𝒙
𝟎
𝒙𝟐
𝟎
𝒙
𝟎 − ⅇ−𝟐 — 𝟐 = −𝟏 − 𝟏
ⅇ
𝒅𝒙
+
𝒙
𝒅𝒙
=
ⅇ
+
=
ⅇ
−𝟐
−𝟐
−𝟐
𝟐 −𝟐
ⅇ𝟐
𝟒𝒙 ⋅ 𝒍𝒏 𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝟐
=𝟓
𝟐−𝟏 =𝟒−
𝟑
𝟑
𝟑 𝟐𝒙
𝟑 𝟐
𝟏 𝟐𝟐𝒙
𝒙𝟑
𝟐𝟔
𝟐𝟒
𝟐 𝒅𝒙 − 𝟑 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 ⋅
−𝟑
= − −
𝟐
𝟐 𝒍𝒏 𝟐 𝟐
𝟑 𝟐
𝟐
𝟐
Відповіді:
1) 2 (6); 2) -10 (24);
3) 0,2 (4);
4) 0,5 (-0,375);
5) 6 (10);
6) 4 (8);
7) -2 (-1);
8) 6 (9);
9) 0,5 (0,25);
10) 12 (18)
Домашнє завдання за підручником: № 14.11, 14.13, 14.17, 14.19(1,2)
Скачать