11 клас Алгебра Математика — це велична споруда, створена уявою людини для пізнання Всесвіту. (Ле Корбюз’є) https://wordwall.net/uk/resource/64526667 Самостійна робота 1) 2) 3) Варіант 1 Варіант 2 1 3𝑥𝑑𝑥 = 0 −2 2 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = −3 2 2𝑥𝑑𝑥 = 0 4 2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 2 𝜋 2 𝜋 6 1) 2) 2 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 1 𝑑𝑥= 3) 𝜋 3 𝜋 −3 2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 𝑑𝑥= Bаріант-1 1 1 𝑥2 3 1) 0 3𝑥𝑑𝑥 = 3 ⋅ = = 𝟏, 𝟓 2 0 2 3 −2 −2 𝑥+1 −2+1 3 −3+1 3 −1 8 7 𝟏 2 2) −3 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = = − = + = =𝟐 ; 3 3 3 3 3 3 𝟑 −3 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 −𝝅 3) 𝜋2 2 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = (−2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥) 𝜋2 = −2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 − + 2 𝑐𝑜𝑠 + = + 2 2 6 6 𝟔 6 𝟑 6 Bаріант-2 2 2 𝑥2 22 1) 0 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 ⋅ =2⋅ =𝟒 2 0 2 4 4 𝑥−1 3 4−1 3 2−1 3 27 1 26 𝟐 2 2) 2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = = − = − = =𝟖 3 3 3 3 3 3 𝟑 2 3) 𝜋 3 𝜋 −3 2 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = (2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑥) 𝜋 3 𝜋 −3 𝜋 3 𝜋 3 𝜋 3 𝜋 3 = 2 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 − − 2 sin(− ) − = 2 ⋅ 3 𝜋 − − 2 3 2⋅ Формула Ньютона-Лейбніца Означення Межі інтегрування Нехай 𝑭 – первісна функції 𝒇 на проміжку 𝑰, числа 𝒂 і 𝒃 𝒂 < 𝒃 , належать проміжку 𝑰. Різницю 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 називають визначеним інтегралом функції 𝒇 на проміжку 𝒂; 𝒃 Верхня межа 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 𝒂 𝒃 Нижня межа 𝒂 інтеграл від 𝒂 до 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 еф від ікс де ікс Властивості визначеного інтеграла Доведення Доведено 𝒂 1 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎 𝒂 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒂 − 𝑭 𝒂 = 𝟎 𝒂 Виконується для будь-якого 𝒂 Властивості визначеного інтеграла 𝒃 2 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒂 Доведення Доведено 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒃 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 𝒂 𝒂 − 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑭 𝒂 − 𝑭 𝒃 =𝑭 𝒃 −𝑭 𝒂 𝒃 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒂 Якщо переставити межі інтегрування, то інтеграл змінює знак на 𝒂 протилежний 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒃 Властивості визначеного інтеграла 𝒃 3 𝒌 ∙ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒌 𝒂 𝒃 𝒃 Доведення Доведено 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒂 𝒃 𝒃 = 𝒌𝑭 𝒃 − 𝒌𝑭 𝒂 = 𝒌 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂 = 𝒌 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒌𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒌𝑭 𝒙 Сталий множник можна 𝒂 𝒂 𝒂 виносити за знак інтеграла Властивості визначеного інтеграла 𝒃 4 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒂 Доведення Доведено 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒄 Функція 𝒇 𝒙 неперервна на 𝒂; 𝒃 і 𝒄 ∈ 𝒂; 𝒃 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒂 𝒄 𝒃 +𝑭 𝒙 = 𝑭 𝒄 −𝑭 𝒂 +𝑭 𝒃 −𝑭 𝒄 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 𝒂 𝒄 𝒄 𝒃 =𝑭 𝒃 −𝑭 𝒂 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒂 Властивості визначеного інтеграла 𝒃 5 𝒃 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒂 𝒃 = 𝑭 𝒃 +𝑮 𝒃 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑮 𝒙 𝒂 𝒃 𝒃 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒂 = 𝑭 𝒃 −𝑭 𝒂 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 𝒂 Аналогічно 𝒃 Доведення Доведено − 𝑭 𝒂 +𝑮 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 Інтеграл суми функцій 𝒃 𝒂 + 𝑮 𝒃 −𝑮 𝒂 = 𝒂 дорівнює сумі інтегралів 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + цих 𝒈 𝒙 функцій 𝒅𝒙 𝒂 = В А А Підготовка до НМТ Б Б Б Підготовка до НМТ Д Г А 1. Використовуючи властивості визначеного інтеграла, виконайте обчислення: Розв’язання: 𝟐 𝟐 1) −𝟏 𝟑𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 −𝟏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 ⋅ 𝟔 = 𝟏𝟖 𝟐 2) −𝟏 𝒇 𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝟐 𝟐 −𝟏 𝒅𝒙 = 𝟐 ⋅ 𝟔 = 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 3) −𝟏 𝒇 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = −𝟏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + −𝟏 𝒅𝒙 = −𝟏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒙 𝟐−𝟏 = −𝟏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐 − −𝟏 = 𝟔 + 𝟑 = 𝟗 4) 𝟐 𝟒𝒇 𝒙 −𝟏 𝟐𝟓, 𝟓 − 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟒 𝟐 𝒇 𝒙 −𝟏 𝒅𝒙 − 𝟐 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟒 𝒇 𝒙 −𝟏 −𝟏 𝟐 𝟐 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐 = 𝟒 −𝟏 𝒇 𝒙 −𝟏 𝒅𝒙 + 𝟐 − 𝟎, 𝟓 = 𝟒 · 𝟔 + 𝟏, 𝟓 = Попрацюємо разом 2. Розв’язання: 1 𝑓 𝑥 −2 𝑑𝑥 = 1 3+3=8 3 −1 2 1 𝑥 𝑑𝑥 + −1 2𝑥 + 3 −2 −1 1 𝑥3 𝑥2 1 8 1 𝑑𝑥 = +2 +3𝑥 −1 = − + + 1 − 1 + 3 −2 2 −1 3 3 № 14.6 (2,4) 1) 𝟐 𝟎 𝟖𝒙𝟑 − 𝒙 𝒅𝒙 = −𝟏 2) −𝟐 𝟏 𝟐− 𝟒 𝒙 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝒙 𝒙 𝒙 𝟐𝟐 𝟑 𝟒 𝟖 𝒙 ⋅ 𝒅𝒙 − 𝟎 𝒙 𝒅𝒙 = − = 𝟐𝒙 𝟎 − = 𝟑𝟐 − = 𝟑𝟐 − 𝟐 = 𝟑𝟎 𝟎 𝟒 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐 −𝟏 𝒅𝒙 − −𝟐 −𝟏 −𝟐 𝒅𝒙 𝟏 −𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 −𝟏 = 𝟐 𝒙 + = −𝟐 + 𝟒 − + = 𝟐 − = 𝟏 −𝟐 𝟑𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝟑 𝟏𝟐 𝟒 𝟒 −𝟐 Попрацюємо разом № 14.4 (1,6,8) 1) 2) 𝟏 𝒙+𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙𝟐 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = + 𝟐 𝒙 = − 𝟎 + 𝟐 − 𝟎 = 𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 𝟑 − 𝟐 = 𝟖 − 𝟏 − 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝒙 − 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑 𝟑 𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐 3) 𝒅𝒙 = 𝟔 𝟏 𝟗 − 𝟏 + 𝟐 𝟑 − 𝟏 = 𝟒𝟎 𝟏 𝟏 𝟐− 𝟐 = 𝟓𝟐 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟔 −𝟒 +𝟐 𝒙 𝟏= 𝟐 ⋅ 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 № 14.10 𝟒 1) 𝟏 𝟔𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙𝟏.𝟓 𝟏𝟔 2) 𝒙 𝟒 𝟏 𝟒 𝟔⋅𝒙 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟔 𝒙 𝟏 𝟏 𝟒 𝟏 𝒙 𝟏 𝟏𝟔 𝒅𝒙 = 𝟑 𝟒 𝟏 −𝟐 −𝟐 𝟒 𝒙𝟎.𝟓 𝒅𝒙 = 𝟔 ⋅ 𝟎,𝟓 = 𝟏𝟐 𝟏 𝟏𝟔 𝟒𝒙𝟒 𝒙 𝟒 𝒅𝒙 = 𝟓 =𝟓 𝟏 𝟒 𝟏𝟔 𝟏𝟔 + 𝟒 𝟒 𝒙 𝟏 = 𝟏𝟐 𝟒 − 𝟏 = 𝟏𝟐 ; 𝟏 = 𝟎, 𝟖 ⋅ 𝟑𝟏 = 𝟐𝟒, 𝟖 𝟐𝟕 − 𝟏 − 𝟐 ⋅ Попрацюємо разом № 14.8(1,3,4) 𝟐 𝒙 𝟐 ⋅ 𝒍𝒏 𝟐 − 𝟏 𝟏 1) 𝟐−𝟏=𝟏 3) 4) 𝟎 𝒙+𝒙 ⅇ −𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 − 𝟐𝟑 𝒅𝒙 = 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝟐 𝟐 𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟐 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 − 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝟐 ⋅ − 𝒙 = 𝟐 𝟐 − 𝟐𝟏 − 𝟏 𝟏 𝟏 𝒍𝒏 𝟐 𝟏 𝟎 𝟎 𝒙 𝟎 𝒙𝟐 𝟎 𝒙 𝟎 − ⅇ−𝟐 — 𝟐 = −𝟏 − 𝟏 ⅇ 𝒅𝒙 + 𝒙 𝒅𝒙 = ⅇ + = ⅇ −𝟐 −𝟐 −𝟐 𝟐 −𝟐 ⅇ𝟐 𝟒𝒙 ⋅ 𝒍𝒏 𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝟐 =𝟓 𝟐−𝟏 =𝟒− 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐𝟐𝒙 𝒙𝟑 𝟐𝟔 𝟐𝟒 𝟐 𝒅𝒙 − 𝟑 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 ⋅ −𝟑 = − − 𝟐 𝟐 𝒍𝒏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 Відповіді: 1) 2 (6); 2) -10 (24); 3) 0,2 (4); 4) 0,5 (-0,375); 5) 6 (10); 6) 4 (8); 7) -2 (-1); 8) 6 (9); 9) 0,5 (0,25); 10) 12 (18) Домашнє завдання за підручником: № 14.11, 14.13, 14.17, 14.19(1,2)