Контрольна робота з теми:
«Методика навчання в закладах передвищої та вищої освіти»
студентки 5-го курсу (заочне навчання)
спеціальності 014 Середня освіта (Математика)
Балімової О.О.
Варіант 2
1. Методична розробка теми "Розв'язок систем лінійних рівнянь методами
Крамера, Гауса та матричним методом" для старшої школи
Місце у навчальній програмі: тема розв'язку систем лінійних рівнянь
за допомогою методів Крамера, Гауса та матричного методу є важливою
частиною курсу алгебри і математичного аналізу, є продовженням теми
систем лінійних рівнянь, але з більш складними методами їх розв'язування.
Значення теми:
розвиток аналітичних здібностей;
застосування в вищій математиці (лінійна алгебра та диференціальні
рівняння);
практичне застосування (в інженерії, фізиці, економіці та ін.)
Зв'язки з іншими темами:
лінійна алгебра (операції з матрицями та визначники);
геометрія (вектори і простір);
диференціальні рівняння.
Мета навчання: надати здобувачам освіти глибоке розуміння і
практичні навички у розв'язуванні систем лінійних рівнянь, використовуючи
методи Крамера, Гауса та матричний метод. Закріпити здатність застосовувати
ці методи до різних типів задач.
Базові поняття та навички:
1. Алгебраїчні знання та навички:
а) розуміння лінійних рівнянь (стандартна форма лінійного рівняння
аx+by+с=0) та уміння розв'язувати прості лінійні рівняння;
б) маніпуляції з алгебраїчними виразами: навички їх перетворення,
використання дистрибутивного закону, зведення подібних доданків.
2. Поняття функцій та графіків:
а) розуміння координатної площини: зображення та інтерпретація точки на
площині (х, у);
б) графічне зображення лінійних рівнянь.
3. Системи рівнянь:
а) поняття системи лінійних рівнянь (СЛР);
б) графічний метод розв'язку СЛР.
4. Математичні операції та властивості:
а) виконання арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення та
ділення цілих чисел, звичайних та десяткових дробів);
б) властивості рівнянь (транзитивність, симетричність та можливість
додавання чи множення обох сторін рівняння на одне й те саме число).
5. Основи лінійної алгебри:
а) матриці (поняття, основні види та вміння виконувати основні операції, додавання, віднімання,
множення, транспонування - враховуючи їх
властивості;
б) визначники (методи обчислення та застосування для розв'язку СЛР).
Основна частина
Для систематизації навчального матеріалу та упорядкування при
вивченні теми розроблено детальну інтелект-карту "Розв'язок систем лінійних
рівнянь методами Крамера, Гауса та матричним методом". Ця карта включає
підпункти та деталі для кожного основного розділу.
Основні поняття теми і методичні особливості навчання цим
поняттям.
Система лінійних рівнянь (СЛР) - набір рівнянь, кожне з яких є лінійним,
тобто рівнянням першого ступеня відносно його змінних.
Системою m лінійних рівнянь з n змінними x1, x2, …, xn називається система,
яка має наступний вигляд:
де аij – коефіцієнти при змінних; bi – вільні члени, 1 i m, 1 j n.
Упорядкована сукупність чисел а1, a2, , an, називається розв’язком
системи, якщо при заміні х1 на а1 , х2 на а2 , … , хn на аn у кожному рівнянні
системи дістанемо n правильних числових рівностей.
Система, що має розв’язок, називається сумісною.
Система, що не має жодного розв’язку, називається несумісною.
Система з єдиним розв’язком називається визначеною.
Система, що має більше, ніж один розв’язок називається невизначеною.
Метод Крамера - метод розв'язку системи лінійних рівнянь з
квадратною матрицею коефіцієнтів (кількість рівнянь дорівнює кількості
змінних), що базується на використанні визначників.
Зауваження. Формули Крамера для розв’язування систем лінійних рівнянь
можна застосовувати лише тоді, коли кількість рівнянь дорівнює кількості
невідомих.
Основне твердження - умова існування єдиного розв'язку системи лінійних
рівнянь:
Система лінійних рівнянь має єдиний розв'язок, якщо визначник матриці
системи (головний визначник) не дорівнює нулю.
Рівні обґрунтування: теоретичне - за допомогою властивостей визначників і
правила Крамера; практичне - через розв'язування конкретних задач і
демонстрацію унікальності розв'язку.
Загальна схема розв’язку:
Для системи трьох лінійних рівнянь з трьома змінними:
Формули Крамера для системи мають вигляд:
які дістають з визначника заміною першого, другого і третього стовпців
відповідно стовпцем вільних членів.
Системи мають:
а) єдиний розв’язок, коли 0 ;
б) безліч розв’язків, коли х = х1= х2= х3=0
в) не мати жодного розв’язку, коли 0 і хоча б один із визначників х1, х2,
х3 відмінний від нуля.
Основні типи вправ на розв'язування СЛР методом Крамера вимагають
визначення визначника основної матриці та визначників за зміненими
стовпцями.
Метод Гауса як ефективний засіб для розв'язування СЛР - метод
послідовного виключення змінних, що дозволяє привести систему рівнянь до
трикутного вигляду, з якого потім знаходяться розв'язки системи знизу вгору.
Метод Гауса використовують при будь-якій кількості невідомих і рівнянь.
Твердження: Метод Гауса дозволяє послідовно виключати змінні і спростити
систему до такої форми, з якої можна знайти розв'язок.
Цей спосіб полягає у послідовному виключенні невідомих з рівнянь системи.
Для зручності виконання перетворень для системи n лінійних рівнянь з m
невідомими утворюють відповідну їй розширену матрицю, виписуючи
коефіцієнти біля невідомих та стовпчик вільних членів:
Матрицю за допомогою елементарних перетворень матриці зводять до
трикутного або трапецієвидного виду.
При розв'язуванні системи лінійних рівнянь методом Гауса можливі наступні
випадки:
‒ розширена матриця, що зведена до трикутного виду, має єдиний розв’язок;
‒ розширена матриця зведена до трапецієвидного виду має безліч розв’язків;
‒ зустрівся рядок виду ( 0 0 … 0 | bi ≠ 0) – розв’язків не має.
Ключові поняття:
Головний елемент – елемент, відносно якого виконуються перетворення
рядка.
Елементарні перетворення – додавання до рядка іншого рядка, помноженого
на число; множення рядка на число; обмін рядків місцями.
Метод складається з прямого та оберненого ходу:
1. Прямий хід методу Гауса – приведення системи до ступінчастого виду за
допомогою елементарних перетворень;
2. Зворотній хід – вибір вільних та базисних змінних та отримання формул
загального рішення.
Основні типи вправ на розв'язування СЛР методом Гауса потребують
послідовного застосування елементарних перетворень для приведення
системи до трикутного або ступінчастого вигляду.
Матричний метод - метод розв'язку систем лінійних рівнянь, який
використовує обернену матрицю до матриці коефіцієнтів системи. Для його
застосування необхідно, щоб матриця коефіцієнтів була квадратною та мала
обернену матрицю.
Візуальна схема: Основне поняття матричного методу:
Нехай дано систему:
Розглянемо три матриці:
Перша матриця називається матрицею системи, друга матрицею-стовпцем
змінних, третя – матрицею-стовпцем вільних членів. Тоді систему можна
записати у матричному вигляді: А·Х = В. Якщо матриця системи рівнянь
невироджена (Δ≠ 0), то розв’язок системи знаходимо у вигляді Х = А-1В, або
Умови застосування:
Матриця A має бути квадратною.
Матриця A має мати обернену матрицю (A−1), тобто її визначник не дорівнює
нулю.
Основні типи вправ на розв'язування СЛР матричним методом вимагають
знаходження оберненої матриці A−1 за допомогою різних методів (метод
обернення через алгебраїчні доповнення, метод Гауса-Жордана тощо) та
множення оберненої матриці на вектор вільних членів B для отримання
вектора змінних X, тобто X=A−1B.
Програмне забезпечення: навести приклади програм і онлайн-калькуляторів,
які можуть бути використані для знаходження оберненої матриці та множення
матриць (наприклад, MATLAB, NumPy в Python).
Найчастіші помилки, які можуть допускати учні:
1)
Неправильне обчислення визначників: помилки в арифметиці або
нерозуміння процесу обчислення визначника;
2)
Втрата елемента при елементарних перетвореннях матриц або
неправильний вибір головного елемента.
3)
Помилки в обчисленні оберненої матриці або при множенні матриць.
Як приклад (відповідно із правилами оформлення) доцільно розглянути
розв’язок системи лінійних рівнянь в порівнянні трьома способами, що
дозволить провести одночасно порівняльну характеристику методів:
5𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 4
{−2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 1
7𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 9
а) за формулами Крамера,
б) матричним методом,
в) методом Гауса.
Це сприятиме розвитку критичного мислення і заохочує учнів до аналізу і
критики різних методів розв'язання, вибору найбільш ефективного методу в
залежності від конкретної ситуації.
Розв’язання:
а) Обчислюємо головний визначник системи:
5 4 −1
Δ=|−2 1 3 |= -10 +84+2-(-7+15+16) = 52
7 1 −2
Так як 0, то можна застосовувати формули Крамера. Для цього
обчислимо ще три визначники, які отримуємо із головного визначника
системи послідовною заміною стовпчика з коефіцієнтів при змінних x, y, z
стовпчиком вільних членів:
4 4 −1
Δx=|1 1 3 |= -8 +108 -1 – (-9 +12 -8) = 104
9 1 −2
5 4 −1
Δу=|−2 1 3 |= -10 +18+84-(-7+135+16) = -52
7 9 −2
5 4 4
Δz=|−2 1 1|= 45 +28 -8 – (28 +5 -72) = 104
7 1 9
Тепер скористаємося формулами Крамера
х=
𝛥х
𝛥
=
104
52
= 2;
у=
𝛥у
𝛥
=
−52
52
= −1 ;
𝑧=
𝛥𝑧
𝛥
=
104
52
=2.
б) Позначимо через А основну матрицю системи, через В – матрицюстовпчик вільних членів, через Х - матрицю-стовпчик невідомих:
5 4 −1
4
х
А = (−2 1 3 );
В=(1) ;
Х=(у)
z
9
7 1 −2
Початкову систему можна записати в матричній формі у такому вигляді:
А·Х = В. Якщо матриця системи рівнянь невироджена (Δ≠0), то розв’язок
даної системи можна записати у вигляді Х = А-1В. Знайдемо спочатку А-1:
Запишемо обернену матрицю:
в) Утворюємо для заданої системи розширену матрицю, яку поступово
будемо зводити до трикутного вигляду за допомогою елементарних
перетворень матриці:
4 −1| 4
5
Множимо 1 рядок на 0,4 і додаємо другий –
(−2 1 3 | 1 )
7 1 −2| 9
отримаємо другий рядок; множимо 1 рядок на (-1,4) і додаємо третій рядок –
отримаємо третій в наступній матриці:
4 −1| 4
5
2,6 2,6 | 2,6 )
(0
0 −4,6 −0,6 | 3,4
Множимо третій рядок на
13
23
і додаємо другий:
−1| 4
2,6 | 2,6
( 0
104 )
52
0
0
|
23
23
За допомогою елементарних перетворень розширена матриця звелася до
трикутного виду. Отже, відповідна для трикутної матриці система лінійних
рівнянь має єдиний розв’язок (множимо третє рівняння на 23 і друге ділимо на
2,6):
5𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 4
𝑥=2
отже {𝑦 = −1
{ 𝑦+𝑧 =1
𝑧=2
52𝑧 = 104
Методика формування умінь передбачає послідовне застосування
алгоритмів: навчання учнів чіткому послідовному виконанню кроків кожного
методу через розгляд зразкових прикладів та виконання практичних вправ.
Використання методичних порад: підготовка пам'яток та порад для
учнів з поясненнями ключових моментів кожного методу та способів
уникнення типових помилок.
Розвиток критичного мислення відбувається шляхом заохочення
учнів до аналізу умов задачі та вибору найефективнішого методу розв'язання.
Оформлення розв’язку – це навчання учнів оформленню розв’язку
вправи відповідно до математичних стандартів та логіки викладу.
5
4
2,6
Серії вправ для формування умінь:
1) Серія вправ для роботи з визначниками: вправи на обчислення визначників
різними методами, включаючи правило Саррюса, розкладання по рядках чи
стовпцях.
Приклад 1. Обчислимо визначник четвертого порядку, звивши його
попередньо до трикутного вигляду:
1 2 3 4
det A = |2 3 4 1|
3 4 1 2
4 1 2 3
Спочатку за допомогою елементарних перетворень зведемо матрицю
визначника до трикутного вигляду. Взявши елемент а11 =1 в ролі провідного,
всі інші елементи першого стовпчика зробимо рівними нулю: до другого рядка
додаємо перший, помножений на (-2), до третього - перший, помножений на (3), до четвертого – перший, помножений на (-4):
1 2 3 4
1
2
3
4
−2 −7 |
|2 3 4 1| = |0 −1
3 4 1 2
0 −2 −8 −10
4 1 2 3
0 −7 −10 −13
Далі треба зробити рівними нулю а32= - 2 і а42= - 7 другого стовбця, які стоять
нижче головної діагоналі. Для цього перемо в ролі провідного елемента а 22= 1 та додаємо до третього і четвертого рядків другий рядок, помножений на (2) та (-7) відповідно:
1
2
3
4
1
2
3
4
−2 −7 | = |0 −1 −2 −7 |
|0 −1
0 −2 −8 −10
0
0 −4
4
36
0 −7 −10 −13
0
0 4
Додаємо третій та четвертий рядки, щоб зробити рівним нулю а43.
1
2
3
4
1
2
3
4
|0 −1 −2 −7 | = |0 −1 −2 −7 |
0
0 −4
4
0
0 −4
4
36
40
0
0 4
0
0 0
Для обчислення визначника трикутного вигляду перемножимо елементи, що
стоять на головній діагоналі:
1
2
3
4
det A =|0 −1 −2 −7 | = 1·(-1) ·(-4) ·40 = 160.
0
0 −4
4
40
0
0 0
2) Серія вправ на метод Гауса: від простих до складних систем, щоб
відпрацювати алгоритм перетворення системи.
Приклад 2. Перетворення над матрицею коефіцієнтів систем лінійних рівнянь:
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
{ 5𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 3
3𝑥 − 4𝑦 + 3𝑧 = 2
1 3 −1
1
А = (5 −1 2);
В=(3)
2
3 −4 3
Складемо розширену матрицю, до складу якої включений стовпчик вільних
членів:
Перетворимо розширену матрицю:
до другого рядка додали перший, помножений на −5,
до третього рядка додали перший, помножений на −3,
до третього рядка додали другий, помножений на -
другий рядок поділили на −16,
13
,
16
третій рядок поділили на
5
16
та отримуємо систему рівнянь:
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
7
1
{ 𝑦−
𝑧=
16
8
𝑧=2
Розв'язуючи її знизу вгору (зворотнім ходом методу Гауса), отримуємо x = 0,
y = 1, z = 2.
3) Серія вправ на матричний метод: вправи на знаходження обернених
матриць та множення матриць.
Приклад 3. Обчислити обернену матрицю А-1 до заданої матриці А та зробити
перевірку, обчисливши добуток А· А-1. Знайдемо головний визначник матриці
А:
Δ=
отже А існує.
-1
За правилом записуємо обернену матрицю:
Виконаємо перевірку, для цього обчислимо добуток А · А-1:
Отже, обчислення виконано вірно.
Типові вправи та завдання:
1) Обчисліть:
Відповіді: 1) -13;
2) -21;
2) Для заданих матриць А та В знайти:
а) визначники матриць;
б) обернені матриці А-1 та В-1 та зробити перевірку;
в) суму матриць С = А+В;
г) добуток матриць D = А·В
3) Обчислити:
4) Розв'язати рівняння:
Відповідь: х=5
3) 24.
5) Обчисліть, використовуючи властивості визначників:
Відповідь: 0
6) Розв'язати систему лінійних рівнянь матричним методом і за правилом
Крамера:
7) Перевірити систему на сумісність:
Відповідь - система несумісна.
8) Розв’язати СЛР (метод Гауса)
9) Дослідити на сумісність та розв’язати системи рівнянь:
10) Розв’язати систему лінійних рівнянь трьома способами:
а) за формулами Крамера,
б) матричним способом,
в) методом Гауса.
2. Для диференційованої контрольної роботи з теми "Розв'язок систем
лінійних рівнянь методами Крамера, Гауса і матричним методом" можна
сформулювати наступні вимоги до завдань різних рівнів складності:
Початковий і середній рівень:
Мета: перевірка здатності використовувати основні операції з матрицями та
визначники для розв'язання систем лінійних рівнянь:
- Знаходження визначників матриць 2x2 або 3x3.
- Виконання елементарних операцій з матрицями.
- Розв'язання простих систем рівнянь методом Крамера.
Достатній рівень:
Мета: Застосування теоретичних знань для розв'язання систем рівнянь з
середнім ступенем складності:
- Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса з частковим вибором
головного елемента.
- Розв’язування СЛР методом Крамера (3х3).
- Знаходження обернених матриць для матриць розміром 3x3 або вище.
- Використання матричного методу для розв'язання систем рівнянь,
включаючи обчислення оберненої матриці коефіцієнтів.
Високий рівень:
Мета: розвиток вмінь аналізувати складні математичні проблеми,
використовувати креативні підходи та глибоке розуміння матеріалу для
розв'язання складних систем рівнянь:
- Розв'язання систем лінійних рівнянь з використанням кількох методів та
порівняння результатів.
- Використання методу Гауса-Жордана для знаходження оберненої матриці
складних систем.
- Аналіз сумісності систем рівнянь, визначення кількості розв'язків та їх
вигляду залежно від параметрів.
- Застосування теореми Кронекера-Капеллі для перевірки сумісності систем
рівнянь.
Загальні вимоги:
Завдання всіх рівнів мають бути чітко сформульовані, із вказівкою
всіх необхідних умов і даних.
Завдання повинні бути орієнтовані на розвиток логічного
мислення, здатності аналізувати та використовувати різноманітні математичні
інструменти.
Під час оцінювання робіт вчителю слід враховувати не тільки
правильність відповідей, але й обґрунтованість розв'язків, здатність
аргументувати свої висновки та застосування креативних підходів.
Ці вимоги допоможуть студентам не тільки краще зрозуміти матеріал,
але й розвинути важливі аналітичні та критичні навички мислення.
З наведених нижче завдань викладач на власний розсуд з урахуванням
часових обмежень та формує завдання контрольної роботи.
Початковий та середній рівень:
1. Знайти транспоновану матрицю для матриці А (
1 2
).
3 4
2 0
2. Знайти обернену матрицю для матриці В (
).
0 2
1 2
4 3
3. Знайти суму матриць А (
) та В (
).
3 4
2 1
1 −1
4. Знайти добуток матриці на число: 3⋅ А =3⋅ (
).
−1 1
1 2
4 3
5. Знайти добуток матриць А (
) та В (
).
3 4
2 1
1 3 2
0 2 1
6. Знайти детермінант матриці К = (2 1 3); С=(4 0 1)
1 2 0
2 5 2
7. Знайти розв’язок СЛР методом Крамера:
2х + 7у = −6
{
−13х + 0,8у = −5,7
8. Використовуючи метод елементарних перетворень, приведіть систему до
трикутного вигляду та знайдіть розв'язок:
Середній рівень:
1. Виконати операції рядків для перетворення матриці до трапецієподібної
1 2 3
форми: А= (2 3 4).
3 4 5
2. Метод Крамера:
Розв'язати систему лінійних рівнянь:
3. Метод Гауса:
Знайти розв'язок системи рівнянь:
4. Матричний метод:
Використовуючи матричний метод, розв'язати систему рівнянь:
Високий рівень:
1. Дана система рівнянь. Перевірити її сумісність та за умов її сумісності
знайти загальний розв'язок системи:
2. Для системи рівнянь задано розширену матрицю. Визначити кількість
розв'язків системи:
3. Задана матриця коефіцієнтів системи лінійних рівнянь. Знайти її визначник.
Якщо визначник не дорівнює нулю, знайти розв'язок системи методом
оберненої матриці.
4. Розглянути розв’язок системи лінійних рівнянь в порівнянні трьома
методами, що дозволить провести одночасно порівняльну характеристику
методів:
Література
1. Вища математика: Навчально-методичний комплекс для студентів
освітнього рівня «бакалавр» галузі знань 05 «Соціальні та поведінкові науки»
спеціальності 051 «Економіка» спеціалізації «Управління персоналом та
економіка праці» денної та заочної форм навчання / Дубініна О. В., Махиня Т.
А. Київ. – 2016. − 204 с.
2. Костюшко І.А. Методи обчислень: підручник / І. А. Костюшко, Н. Д.
Любашенко, В. В. Третиник. – Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, Вид-во
«Політехніка», 2021. – 243 с.
3.
Конспект
лекцій
з
курсу
«Вища
математика».
національний технічний університет ім. І. Пулюя:
Тернопіль:
https://studfile.net/all-
vuz/145/folder:11465/#
4. Конспект лекцій з курсу «Вища математика». Луцький національний
технічний університет: -
http://elib.lntu.edu.ua/sites/default/files/elib_upload
/page5.html
5. Панасенко О. Лекції з лінійної алгебри: електрон. навч. посіб.:
Вінниця,
2015.-273
с.
-
http://amnm.vspu.edu.ua/wp-
content/uploads/2016/10/Panasenko-lin-alg.pdf
6. Романів О. Лінійна алгебра. Визначники: лекція| практика| домашнє
завдання http://www.mmf.lnu.edu.ua/algstu/4466
7. Матриці та системи лінійних рівнянь / О. Савастру та ін.; ред. О. В.
Савастру. Одеса: Од. нац. ун-т ім. І. І. Мечникова, 2019. - 120 с.
