КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА (Вариант 1) Задача 1. Построить графики данных функций, исходя из основных элементарных функций (метод сжатий и отображений). Указать их области определения и области значений. Проверить функции на четность, нечетность, периодичность. В случае периодичности найти период. 1) у = -2sin (3x+2); х2 2) у 2 . Задача 2. Найти пределы, не используя правило Лопиталя: (3 n) 2 (3 n) 2 n (3 n) 2 (3 n) 2 а) lim ( x3 2 x 1)( x 1) x 1 x4 4 x2 5 б ) lim в) lim x( x( x 2) x 2 3) x г ) lim x 0 ln(1 sin x) sin(4( x )) Задача 3. Исследовать функцию на непрерывность и схематично построить график функции в ее области определения: - найти точки разрыва; - определить характер точек разрыва и величину скачка. а) y 3 2 x 1 ; x 1, x 0 б) y sin x, 0 x . 0, x Задача 4. Найти производные первого порядка для следующих функций: a) y arcsin 1 x б) y y x cos x sin 2 x 1 в) cos 5 sin y dy d 2 y Задача 5. Найти и 2 для функции у = х2 ln(x2 +1). dx dx ln( x 2 8) Задача 6. Найти предел функции lim 2 , используя правило Лопиталя. x 3 2 x 5 x 3 Задача 7. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y x 1 и построить ее график. e x 1 Задача 8. Найти приближенное значение cos 63˚ с помощью дифференциала. Задача 9. Найти неопределенные интегралы: xdx ; (x 4) 2 1 Задача 10. Вычислить несобственный интеграл e ln(1 3e )dx . x 2 x 2 dx 1 x 0 2 x или доказать его расходимость (сходимость). Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох 2 фигуры, ограниченной параболами: y x и y x . КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА (Вариант 2) Задача 1 Построить графики данных функций, исходя из основных элементарных функций (метод сжатий и отображений). Указать их области определения и области значений. Проверить функции на четность, нечетность, периодичность. В случае периодичности найти период. 5 1) 𝑦 = cos(2 − 𝑥); 3 2) 𝑦 = −3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2|𝑥|). Задача 2 Найти пределы, не используя правило Лопиталя: (3 n) 2 (2 n) 2 а) lim n (1 n) 2 (1 n) 2 x 3 3x 2 б ) lim x 1 x x2 в) lim( x 2 3x 2 x) x 1 cos10( x ) x 0 (e x 1) x г ) lim Задача 3 Исследовать функцию на непрерывность и схематично построить график функции в ее области определения: - найти точки разрыва - определить характер точек разрыва и величину скачка. 1 1 2 x а) y 4 б) 2 x 3, x 0 y 3,0 x 2 . x 1, x 2 Задача 4 Найти производные первого порядка для следующих функций: a) y tge1 x 1 arcsin x б) y ln 2 x 3 в)arctg ( y x) ln( y x) dy d 2 y и 2 для функции у = sin (x2) – cos (x2 – 1). dx dx ln cos ax Задача 6 Найти предел функции lim , используя правило Лопиталя. x 0 x2 Задача 5 Найти Задача 7 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = х + ln(х2 – 1) и построить ее график. Задача 8 Найти приближенное значение sin 27˚ с помощью дифференциала. x 3 dx x x 3 dx . Задача 9 Найти неопределенные интегралы: ; 1 x8 dx Задача 10 Вычислить несобственный интеграл или доказать его x ln x 2 расходимость (сходимость). Задача 11 Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды: х = а(t – sint), y = a(1 – cost) для t ϵ [1; 2] и осью Ох. КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА (Вариант 3) Задача 1. Построить графики данных функций , исходя из основных элементарных функций (метод сжатий и отображений). Указать их области определения и области значений. Проверить функции на четность, нечетность, периодичность. В случае периодичности найти период. 1) у = - 3sin(4x -1); 4 х 1 2) у 3 . Задача 2. Найти пределы, не используя правило Лопиталя: (3 n)2 (2 n) 2 а) lim n (1 n)3 (1 n)3 ( x 2 3x 2) 2 б ) lim 3 x 1 x 2 x 2 x 2 в) lim( x 3 4 x3 ) x 1 sin 2 x x ( 4 x ) г ) lim 4 Задача 3. Исследовать функцию на непрерывность и схематично построить график функции в ее области определения: найти точки разрыва и определить характер точек разрыва и величину скачка. а) у 6 1 х 3 x, x 0 1 б) y , 0 x 1 x 1, x 1 Задача 4. Найти производные первого порядка для следующих функций: a) y esin(2 x x ) tg (1 3 x) б) y 2 x cos3 x y в )tg ( xy 2 ) cos( ) x 2 dy d 2 y Задача 5. Найти и 2 для функции у = ln( х + 2)∙arcsin(2 – 2x). dx dx ln(1 x) x Задача 6. Найти предел функции lim , используя правило Лопиталя. x 0 tg 2 x Задача 7. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y x3 3x и построить ее график. x2 1 Задача 8. Найти приближенное значение cos 57˚ с помощью дифференциала. Задача 9. Найти неопределенные интегралы: x arcsin x dx dx . ; cos x(3tgx 1) 1 x2 Задача 10. Вычислить несобственный интеграл 2 dx x 4x 5 2 расходимость (сходимость). Задача 11 . Вычислить длину кардиоиды r = 3(1 – cos φ). или доказать его КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА1 (Вариант 4) Задача 1. Построить графики данных функций , исходя из основных элементарных функций (метод сжатий и отображений). Указать их области определения и области значений. Проверить функции на четность, нечетность, периодичность. В случае периодичности найти период. 1) у = - 1/3cos(2 – 4x); 2) у х 2 х 6 . Задача 2. Найти пределы, не используя правило Лопиталя: (1 n) 4 (1 n) 4 n (1 n)3 (1 n)3 а) lim (2 x 2 x 1) 2 x 1 x 3 2 x 2 x 2 x 13 2 x 1 в ) lim x 3 x2 9 1 cos 2 x г ) lim x 0 cos 7 x cos 3 x б ) lim Задача 3. Исследовать функцию на непрерывность и схематично построить график функции в ее области определения: - найти точки разрыва - определить характер точек разрыва и величину скачка. 1 а) у 1 6 х 4 x 2 , x 2 y 0, 2 x 3 4 x, x 3 б) 2 Задача 4. Найти производные первого порядка для следующих функций: a ) y sin(ln(2 x x)) 6 x e4 x arcsin x 3x2 y в )e arccos y б) y Задача 5. Найти dy d 2 y для функции и dx dx 2 Задача 6. Найти предел функции lim 𝑥→0 у = cos (x/2)(x2 + tg2x). ln(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥) ln(1+𝑥) , используя правило Лопиталя. Задача 7. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y 13 1 27 x3 9 и построить ее график. Задача 8. Найти приближенное значение tg 46˚ с помощью дифференциала. cos3xdx ; x 2 e 3 x dx . 4 sin 3x xdx Задача 10. Вычислить несобственный интеграл 2 или доказать его 1 x x 1 Задача 9. Найти неопределенные интегралы: расходимость (сходимость) Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полу-эллипсом: y 3 1 x 2 , параболой x 1 y и осью ОУ. КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА (Вариант 5) Задача 1. Построить графики данных функций , исходя из основных элементарных функций (метод сжатий и отображений). Указать их области определения и области значений. Проверить функции на четность, нечетность, периодичность. В случае периодичности найти период. 1) у = 2/3sin(3-2x); 2) у 1 2 х . Задача 2. Найти пределы, не используя правило Лопиталя: (6−𝑛)2 −(6+𝑛)2 а) lim (6+𝑛)2 𝑛→∞ −(1−𝑛)2 (𝑥 2 +2𝑥−3)2 б) lim 𝑥→−3 3𝑥+𝑥 3 +4𝑥 2 3 √𝑥−6+2 в) lim 𝑥→−2 г)lim 𝑥 3 +8 4𝑥 𝑥→0 𝑙𝑛(1+𝜋𝑥) Задача 3. Исследовать функцию на непрерывность и схематично построить график функции в ее области определения: найти точки разрыва, определить характер точек разрыва и величину скачка. а) y 10 1 x 6 ex , x 1 б) y 1,1 x 2 x 2, x 2 Задача 4. Найти производные первого порядка для следующих функций: 1 a ) y ln(cos( x )) x 2 sin(4 x x ) б) y 1 tgx в ) cos( x y ) 3ctg ( y x) dy d 2 y Задача 5. Найти и 2 для функции y = arcsin(3x)e3x. dx dx Задача 6.Найти предел функции lim𝜋 8𝑠𝑖𝑛2 𝑥−6𝑠𝑖𝑛𝑥+1 , используя правило Лопиталя. 2 𝑥→ 6𝑠𝑖𝑛 𝑥+5𝑠𝑖𝑛𝑥−4 6 Задача 7. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y 1 ln x x3 и построить ее график. Задача 8. Найти приближенное значение cos 59˚ с помощью дифференциала. sin xdx Задача 9. Найти неопределенные интегралы: 3 cos2 x 2 Задача 10. Вычислить несобственный интеграл 1 x arcsin xdx . ; dx (x 3) 2 или доказать его 3 расходимость (сходимость). Задача 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = 3(1 + cos φ). КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА (Вариант 6) Задача 1. Построить графики данных функций , исходя из основных элементарных функций (метод сжатий и отображений). Указать их области определения и области значений. Проверить функции на четность, нечетность, периодичность. В случае периодичности найти период. 1) у = -4/5cos(1+2x); 2) 𝑦 = |1 − 3𝑥+4 |. Задача 2. Найти пределы, не используя правило Лопиталя: (n 1)3 (n 1) 2 а ) lim n ( n 1) 3 ( n 1) 3 ( x 3 2 x 1) 2 б ) lim 4 x 1 x 2 x 1 в ) lim( ( x 2)( x 1) ( x 1)( x 3)) x 2x x 0 tg (2 x ) г ) lim Задача 3. Исследовать функцию на непрерывность и схематично построить график функции в ее области определения: - найти точки разрыва - определить характер точек разрыва и величину скачка. а) у 7 1 1 x x 2 2, x 2 б) y 2, 2 x 4 x 3, x 4 Задача 4. Найти производные первого порядка для следующих функций: 1 a) y cos(arcsin( x )) x 3 ln(4 x x ) б) y x e2 x в)tg ( x 2 y 2 ) 2e x y dy d 2 y Задача 5. Найти и 2 для функции у = tg(3x)sin(1 + x). dx dx Задача 6. Найти предел функции lim𝜋 √3𝑡𝑔2 𝑥−1 , используя правило Лопиталя. 2 𝑥→ 2𝑠𝑖𝑛 𝑥+5𝑠𝑖𝑛𝑥−3 6 Задача 7. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y x 3 x 2 3x 1 и построить ее график. 2x2 2 Задача 8. Найти приближенное значение ctg 47˚ с помощью дифференциала. Задача 9. Найти неопределенные интегралы: x arctgx dx ; 1 x2 4 dx Задача 10. Вычислить несобственный интеграл 0 3 (x 3) 2 расходимость (сходимость). Задача 11. Вычислить длину одной аркой циклоиды: х = 3(t – sint), y = 3(1 – cost) для t ϵ [1; 2] . x ln( x 1)dx . 2 или доказать его КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА (Вариант 7) Задача 1. Построить графики данных функций , исходя из основных элементарных функций (метод сжатий и отображений). Указать их области определения и области значений. Проверить функции на четность, нечетность, периодичность. В случае периодичности найти период: 1) у = - 2sin(3x+4); 2) у e x2 . Задача 2. Найти пределы, не используя правило Лопиталя: (1+2𝑛)3 −8𝑛3 а) lim (1+2𝑛)2 +4𝑛2 𝑛→∞ (1+𝑥)3 −(1+3𝑥) б) lim 𝑥→0 в) lim 𝑥→8 г)lim 𝑥→0 𝑥+𝑥 3 9+2𝑥−5 √ 3 √𝑥−2 1−𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 4𝑥 2 Задача 3. Исследовать функцию на непрерывность и схематично построить график функции в ее области определения: найти точки разрыва, определить характер точек разрыва и величину скачка. а) y 12 cos x, x 0 б) y sin x, 0 x x , x 1 3 x Задача 4. Найти производные первого порядка для следующих функций: a) y arcsin(tg ( x 3 3 x)) б) y cos x x 1 x в ) ln( xy) 7 sin( ) y dy d 2 y для функции y = e7x-1ln(1 – x). и dx dx 2 x arcsin x Задача 6. Найти предел lim , используя правило Лопиталя. x 0 x cos x sin x Задача 5. Найти Задача 7. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y ex x2 3 и построить ее график. Задача 8. Найти приближенное значение sin 32˚ с помощью дифференциала. Задача 9. Найти неопределенные интегралы: arctg x Задача 10. Вычислить несобственный интеграл x (1 x ) 3 dx ; xdx (x 1) 2 2 x sin x cos xdx . или доказать его расходимость (сходимость). Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми y 2 и у = х 2. 1 x2 КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА (Вариант 8) Задача 1 Построить графики данных функций , исходя из основных элементарных функций (метод сжатий и отображений). Указать их области определения и области значений. Проверить функции на четность, нечетность, периодичность. В случае периодичности найти период. 1) у = 1/2cos(2x – 5); 2) у х 2 1 х . Задача 2 Найти пределы, не используя правило Лопиталя: (3 4n) 2 а) lim n ( n 3)3 ( n 3)3 x2 2 x 1 б ) lim 2 x 1 2 x x 1 1 2 x x 2 (1 x) в ) lim x 0 x arcsin 3 x г ) lim x 0 x2 2 Задача 3 Исследовать функцию на непрерывность и схематично построить график функции в ее области определения: - найти точки разрыва - определить характер точек разрыва и величину скачка. 0, x 1 б) y x 2 , 1 x 1 2 x, x 1 1 1 x2 а) y 5 Задача 4 Найти производные первого порядка для следующих функций: a) y tg (e3 x 2 x3 ) arctg x x3 7 x в ) arcsin( x y ) ln y sin x б) y Задача 5 Найти dy d 2 y и dx dx 2 для функции у = y sin( cos x ). x 1 x ln 2x 1 x Задача 6 Найти предел функции lim , используя правило Лопиталя. x 0 x sinx Задача 7 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y (5 x)e x 2 и построить ее график. Задача 8 Найти приближенное значение tg 43˚ с помощью дифференциала. Задача 9 Найти неопределенные интегралы: 3 sin xdx 3 2 cos x 2 dx Задача 10 Вычислить несобственный интеграл 3 1 (x 1) ; x sin 4 xdx . 2 или доказать его расходимость (сходимость). Задача 11 Вычислить площадь фигуры, ограниченной двулепестковой розой = 4 sin2φ. КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА (Вариант 9) Задача 1 Построить графики данных функций , исходя из основных элементарных функций (метод сжатий и отображений). Указать их области определения и области значений. Проверить функции на четность, нечетность, периодичность. В случае периодичности найти период. 1 2 1) у = 4sin(4x + 3); 2) у 2ln( x 1) . Задача 2 Найти пределы, не используя правило Лопиталя: (3 n)3 n ( n 1) 2 ( n 1) 3 а) lim x3 3x 2 x 1 x 2 x 2 б ) lim 8 3x x 2 2 x 0 x x2 2 x 1 2 г ) lim x 0 ln(1 4 x ) 3 в ) lim Задача 3 Исследовать функцию на непрерывность и схематично построить график функции в ее области определения: - найти точки разрыва - определить характер точек разрыва и величину скачка. a) y 11 1 x, x 0 б) y cos x, 0 x 2, x 1 x4 Задача 4. Найти производные первого порядка для следующих функций: a) y xe x sin 2 3x 3 tg ( x 2 ) б) y ln 2 x в)ctg ( x 2 y ) 7 cos y Задача 5. Найти dy d 2 y arctgx и 2 для функции у ln . dx dx x 1 Задача 6. Найти предел функции lim𝜋 𝑥→ (2𝑥−𝜋)2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 , используя правило Лопиталя. 2 Задача 7. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию 2 x 2 20 и построить ее график. y 2 x Задача 8. Найти приближенное значение ctg 43˚ с помощью дифференциала. Задача 9. Найти неопределенные интегралы: 3 4 ln x dx ; x Задача 10. Вычислить несобственный интеграл xe x2 x ln xdx . 2 dx или доказать его 0 расходимость (сходимость). Задача 11 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3х2 + 1 и прямой у = 3х + 7. КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА (Вариант 10) (спец. финансы и кредит, ускоренная форма обучения) Задача 1 Построить графики данных функций , исходя из основных элементарных функций (метод сжатий и отображений). Указать их области определения и области значений. Проверить функции на четность, нечетность, периодичность. В случае периодичности найти период. 1) у = - 3/2cos(1 – 5x); 2) y 2 lg( x 3) Задача 2 Найти пределы, не используя правило Лопиталя: (n 1) 2 (n 1) 2 (n 2)3 а ) lim n (4 n)3 x3 5 x 2 7 x 3 б ) lim 3 x 1 x 4 x 2 5 x 2 3 27 x 3 27 x в ) lim x 0 x 2 3 x4 arg tg 2 x г ) lim x 0 sin(2 ( x 10)) Задача 3 Исследовать функцию на непрерывность и схематично построить график функции в ее области определения: - найти точки разрыва - определить характер точек разрыва и величину скачка. a) y 8 1 x 1 б) 3 2 x, x 1 y 3,1 x 2 x 2 1, x 2 Задача 4 Найти производные первого порядка для следующих функций: x sin x x ln 2 x б ) y xe x cos(1 x) a) y y в)tgx ctgy arcsin( ) x 2 dy d y Задача 5 Найти и 2 для функции у = cos(1 – xtgx). dx dx Задача 6 Найти предел функции lim 2 ln(1+𝑥 ) 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠3𝑥−𝑒−𝑥 , используя правило Лопиталя. Задача 7 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y x 2 2x 2 2x 1 и построить ее график. Задача 8 Найти приближенное значение sin 33˚ с помощью дифференциала. Задача 9 Найти неопределенные интегралы: ∫ 𝑙𝑛3 𝑥+2 𝑥𝑙𝑛𝑥 3 Задача 10 Вычислить несобственный интеграл 𝑑𝑥; arctg x dx . dx или доказать его (x 2) 2 0 расходимость (сходимость). Задача 11 Вычислить длину дуги полукубической параболы y ( x 2) 3 от точки А(2;0) до точки В(6;8).
