Отчет

М И НИ СТ Е Р СТ В О НА У К И И В Ы СШЕ Г О О Б РА З ОВ А Н ИЯ РО СС И Й С К ОЙ ФЕ Д Е РАЦ И И
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ »
Снежинский физико-технический институт –
филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения
высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет
«МИФИ»
(СФТИ НИЯУ МИФИ)
Итоговая работа по дисциплине
«Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
На тему
«Исследование методов решения задачи Римана при численном решении уравнений газодинамики в рамках Лагранжевого подхода в многомерном случае»
Работу подготовил аспирант группы АС-30
Чернаткин Игорь Петрович_____________
Научный руководитель, к.ф.-м.н.
Вазиев Эльдар Макаримович___________
Снежинск,
2022 г.
АННОТАЦИЯ
2
Оглавление
Паспорт специальности ................................................................................ 4
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................... 7
3
Паспорт специальности
Шифр специальности:
05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Формула специальности:
Содержанием специальности является разработка фундаментальных основ и применение математического моделирования, численных методов и
комплексов программ для решения научных и технических, фундаментальных
и прикладных проблем. Важной особенностью специальности является то, что
в работах, выполненных в ее рамках, должны присутствовать оригинальные
результаты одновременно из трех областей: математического моделирования,
численных методов и комплексов программ.
Области исследований:
1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.
2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.
3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.
4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного
эксперимента.
5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.
6. Разработка новых математических методов и алгоритмов проверки адекватности математических моделей объектов на основе данных натурного эксперимента.
7. Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации
натурного эксперимента на основе его математической модели.
8. Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования.
4
Смежные специальности:
Диссертация относится к другим специальностям в случае преобладания:
методов теории функций и функционального анализа – к специальности
01.01.01 «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»;
вопросов, связанных с существованием и единственностью решения задач, возникающих при изучении математических моделей в форме дифференциальных уравнений – к специальности 01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»;
методов исследования уравнений математической физики – к специальности 01.01.03 «Математическая физика»;
теоретических аспектов исследования численных методов – к специальности 01.01.07 «Вычислительная математика»;
вопросов программирования и автоматизации расчетов – к специальности 05.13.11 «Математическое и программное обеспечение вычислительных
машин, комплексов и компьютерных сетей»;
физических, химических, технических, экономических и других аспектов – к соответствующим специальностям «Номенклатуры специальностей
научных работников» (например, к специальности 01.04.02 «Теоретическая
физика»).
Примечание:
Специальность не включает исследования в следующих областях: разработка новых математических моделей из конкретных предметных областей;
разработка автоматизированных систем контроля и управления техническими
объектами и технологическими процессами по отраслям; элементы и устрой5
ства вычислительной техники и систем управления; математическое и программное обеспечение общего назначения для вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей.
Отрасль наук:
технические науки (за исследования, соответствующие не менее чем
трем пунктам, настоящего паспорта)
физико-математические науки (за исследования, соответствующие не
менее чем трем пунктам, настоящего паспорта, при преобладании математических методов в качестве аппарата исследований и при получении результатов в виде новых математических методов, вычислительных алгоритмов и новых закономерностей, характеризующих изучаемые объекты)
химические науки
геолого-минералогические науки
6
Введение
При численном решении гиперболических систем дифференциальных
уравнений с использованием аппроксимации решения кусочно-постоянными,
кусочно-линейными или кусочно-гладкими функциями, в ряде методов, возникает необходимость решения задачи Римана или задачи о распаде произвольного разрыва. Задача Римана представляет собой задачу построения аналитического или приближенного решения для данных систем в применении к
распаду произвольного разрыва, то есть в местах, где параметры рассматриваемой среды испытывают произвольный скачок [1].
В качестве гиперболической системы дифференциальных уравнений, в
данном исследовании, планируется рассмотреть систему уравнений газовой
динамики в многомерном случае, которая используется для описания движения сплошной среды. Необходимость решения уравнений газодинамики возникает при рассмотрении вопросов, связанных с формированием и распространением ударных волн в газах, течением газа в соплах или решетках турбин, обтеканием тел при их движении в атмосфере, взаимодействием ударных
волн с преградами, истечением струй газа из сопел ракетных двигателей [2].
Для описания движения сплошной среды [2] может использоваться подход Лагранжа, то есть уравнения газодинамики записываются с использованием системы отсчета, зависящей от времени, которая следует за движением
жидкости или газа. Альтернативный вариант – это запись уравнений в неподвижной системе координат, так называемый подход Эйлера.
В рамках диссертационного исследования планируется решать многомерные уравнения газодинамики, записанные в Лагранжевой форме какимлибо методом высокого порядка точности, например, методом MUSCL [3], с
применением различных методов решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва на гранях разностной сетки. Будет производиться оценка
точности получаемых решений различными методами решения задачи Римана.
7
В данной работе положено начало исследования, поэтому на текущий
момент будет рассматривается только система уравнений газовой динамики в
одномерном случае, записанная в Лагранжевой форме. Кроме того, сами уравнения будут решаться достаточно простым методом Годунова первого порядка точности. Для решения задачи Римана будут использоваться следующие
три метода – акустический решатель, решатель HLL и решатель HLLC. Решателем или решателем Римана называют метод для вычисления числового потока через разрыв в задаче Римана.
8
1. Обзор литературы
В монографии [3] представлено большое количество методов приближенного решения задачи Римана. Представлены как простые решатели задачи
Римана, основанные на упрощении состояния в области разрыва, но недостаточно точные, чтобы построить надежное численное решение, так и более
сложные, например, двухволновой метод HLL, трехволновой метод HLLC, метод Ро (Roe) и метод Ошера (Osher). Приближенный решатель Римана, предложенный Хартеном Лаксом и ван Лиром (HLL) в 1983 году, требует вычисления двух наибольших скоростей ограничивающих характеристик, возникающих из начального разрыва на границе раздела, что приводит к двухволновой модели структуры решения. Более точным методом является метод HLLC,
представленный Торо и его сотрудниками в 1992 году. Этот метод предполагает трехволновую модель, где включается еще одна характеристика - контактный разрыв внутри возмущенной зоны. Метод Ро для увеличения точности
требует корректировки энтропии. Однако данные методы обычно применяются при решении уравнений газодинамики в подходе Эйлера. Планируется
применить некоторые из этих метод к уравнениям газодинамики в подходе Лагранжа. К примеру, метод Ро, метод Ошера и метод HLLE (метод HLL, модифицированный Эйнфельдтом) рассматриваются в работе [4] для случая лагранжевой газодинамики.
Для решения задачи Римана при решении уравнений газодинамики в
подходе Лагранжа, часто применяется акустическое приближение [5], например, в работах [6 – 9]. В монографии [8] авторами представлено решение обобщенной задачи Римана. Обобщенная задача Римана отличается от классической задачи Римана тем, что в классической задаче начальные данные предполагаются константами по обе стороны от контактного разрыва, в обобщенной
задаче Римана начальные данные по обе стороны от разрыва могут быть произвольными непрерывными функциями. Решение обобщенной задачи Римана
необходимо для получения более точного решения на границах ячеек, чтобы
9
обеспечить требуемую точность для численных схем типа Годунова высокого
порядка. Авторами в [8] разработаны численные схемы с использованием решения обобщенной задачи для одномерных уравнений динамики сжимаемого
газа, а также для двумерных уравнений с использованием метода расщепления
по координатам.
В статье [10] автором представлен метод решения обобщенной задачи
Римана с использованием акустического приближения для схемы второго порядка точности для двумерных уравнений газодинамики в форме Лагранжа, а
в [11] распространение этого метода для случая двумерных уравнений газодинамики в цилиндрической геометрии.
В работах [12 – 14] представлен метод решения обобщенной задачи Римана для различных схем первого и второго порядка точности для трехмерных
уравнений газодинамики в форме Лагранжа.
2. Описание численных методов
2.1 Одномерные уравнения газовой динамики
Система дифференциальных уравнений в переменных Лагранжа в общем виде выглядит следующим образом [2]
v 1
 grad ( p)  0,
t 
(1)

  div(v)  0,
t
(2)

v2 
  
2 1

 div( pv)  0,
t

(3)
где v – скорость газа, p – давление газа,  – плотность газа,  – внутренняя
энергия газа, t – время.
10
Уравнения (1), (2) и (3) носят названия – уравнение движения, уравнение
неразрывности и уравнение энергии и выражают соответственно законы сохранения в системе – закон сохранения импульса, закон сохранения массы, и
закон сохранения энергии.
К данной системе дополнительно вводится уравнение, выражающее закон движения частиц в газе (4), а также уравнения состояния идеального газа
(5) и (6), необходимые для замыкания системы
x
 v,
t
(4)
p   RT ,
(5)
R
T,
 1
(6)

где x – пространственная переменная, T – температура газа, R – универсальная
газовая постоянная,  – безразмерная величина, равная отношению теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости газа при постоянном объеме.
Для
системы
Ошибка!
Источник
ссылки
не
найден.
–
Ошибка! Источник ссылки не найден. вводятся граничные условия
1 p  1v  1 , при x  x0 ,
 2 p   2v  2 , при x  xN ,
(7)
где x0 - начало интервала, на котором решается система (1) – (6), xN - конец
этого интервала.
2.2 Описание разностной сетки для численного решения задач
Система уравнений (1) – (3) вместе с уравнениями (4) – (6) решается в
области Ω = {A < x < B, t > 0}, где A – левый край рассматриваемого участка
по координате x, B – правый край рассматриваемого участка по координате x.
На начальный момент времени в области вводится равномерная сетка
(рис. 1):
11
  {( xi , tn ), ( xi 1/2 , tn ), xi 1  xi  h, xi 1/2  xi  0.5h, i  0,1,..., N ,
x0  A, xN  B, h 
 B  A , t
N
n 1
 tn   , n  0,1, 2,...},
где i – пространственный индекс, n – временной индекс, h – шаг по пространству, N – число шагов по пространству,  – шаг по времени.
Величина с целым индексом i относится к узлу разностной сетки, величина с полуцелым индексом i  1 / 2 относится к ячейке разностной сетки.
Стоит отметить, что сетка является равномерной только в начальный момент времени t  t0 , и в процессе расчета задачи узлы сетки сдвигаются. Шаг
по времени тоже не равномерен на всем протяжении счета задачи.
i
n+1
i-1
i-1/2
i
i+1/2
i+1
n
Рисунок 1 – Образец равномерной сетки
2.3
Численная схема Годунова для решения уравнений газовой
динамики
Использование схемы Годунова предполагает нахождение значений неизвестных функций на границах всех ячеек рассматриваемой сетки, т.е. в узлах
сетки. Задачу нахождения этих значений, как уже было сказано, называют задачей Римана или задачей о распаде разрыва. Таким образом, решение задачи
Римана лежит в основе всех численных схем годуновского типа.
Вывод схемы Годунова представлен, например, в [5]. Также построение
данной схемы было рассмотрено в магистерской диссертации [15], здесь будут
12
представлены только конечные результаты для получения значений переменных на новом временном слое. Данная схема будет являться схемой первого
порядка аппроксимации так как здесь мы используем кусочно-постоянное распределение величин в ячейках сетки. Также данная схема будет являться явной, т.е. в данной схеме значения функций на новом временном слое явно выражаются из значений на предыдущем слое.
Положение узла на новом временном слое, вычисляется исходя из значения скорости в этом узле
xin11  xin   vin11.
Скорость узла vin11 вычисляется с помощью решения задачи Римана.
Так как в рассматриваемых задачах не подразумеваются стоки и источники массы, то значения плотности в ячейке на новом временном слое, будем
вычислять исходя из постоянства массы ячейки
1
in1/2

mi 1/2
,
1
Vi n1/2
1
где mi 1/2 - масса ячейки, Vi n1/2
- объем ячейки, который для одномерного
случая вычисляется следующим образом
1
Vi n1/2
 xin11  xin1.
Значения масс ячеек не меняются со временем, поэтому мы можем их
вычислить на нулевом временном слое и использовать на протяжение всего
расчета
mi 1/2  i01/2Vi 01/2 .
Выражения для определения скорости и внутренней энергии на новом
временном слое
n 1
i 1/2
v
v
n
i 1/2

 ( pin11  pin1 )
mi 1/2
2
1

1
1 2
 in1/2
  in1/2   vin1/2
  vin1/2   



2

mi 1/2
,
p v
n 1 n 1
i 1 i 1
 pin1vin1  ,
13
где pin11 , pin1 , vin11 , vin1 вычислены из решения задачи Римана.
Значения температуры и давления на новом временном слое, могут быть
найдены из уравнений состояния
n 1
i 1/2
T

1
 in1/2
( i 1/2  1)
R
,
1
1
1
pin1/2
 in1/2
RTi n1/2
.
Мы получили явную консервативную схему, в которой значения на границах pin1 , pin , vin1 , vin ячеек высчитываются из задачи распада произвольного
разрыва. Далее рассмотрим методы решения задачи Римана.
2.4 Решение задачи Римана с помощью акустического приближения
Для решения задачи о распаде произвольного разрыва воспользуемся соотношениями связи на основе инвариантов Римана, полученных из системы
дифференциальных уравнений одномерной акустики, рассмотренных в [5], которые описывают распространение плоских звуковых волн. В этом случае для
узла i  1 соотношения связи могут быть записаны в следующем виде:
pi 1/2  ai 1/2vi 1/2  pi 1  ai 1/2vi 1 ,
pi 3/2  ai 3/2vi 3/2  pi 1  ai 3/2vi 1 ,
(8)
где величины ai 1/2 рассчитываются с помощью акустического приближения
ai 1/2  i 1/2ci 1/2  i 1/2
 i 1/2 pi 1/2
  i 1/2 i 1/2 pi 1/2 .
i 1/2
(9)
В выражении (9) величина ci 1/2 - скорость звука в ячейке i  1 / 2 .
Из соотношений связи получаем выражения для определения значений
давления и скорости в узле i  1
vi 1 
ai 1/2vi 1/2  ai 3/2vi 3/2  pi 1/2  pi 3/2
,
ai 1/2  ai 3/2
a p
 ai 1/2 pi 3/2  ai 1/2 ai 3/2 (vi 1/2  vi 3/2 )
pi 1  i 3/2 i 1/2
.
ai 1/2  ai 3/2
(1.3.1)
14
15
Список литературы
1. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. – Москва: Наука, 1966. – С. 51. – 688
с.
2. Самарский А. А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики: Учеб. пособие: Для вузов. – 3-е изд., доп. – М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1992. – 424 с.
3. Toro E. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics.
A Practical Introduction / Eleuterio F. Toro. – Third Edition. – Springer, 2009. – 724
p.
4. William J. Rider (1994). A review of approximate riemann solvers with
Godunov's method in lagrangian coordinates, Computers Fluids Vol. 23, No. 2, pp.
397-413, 1994.
5. С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов, А. Н. Крайко, Г. П. Прокопов. Численное решение многомерных задач газовой динамики. – М.: Наука.
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. – 400 с.
6. M. Ben-Artzi, J. Falcovitz, A second-order Godunov-type scheme for compressible fluid dynamics, J. Comput. Phys. 55 (1) (1984) 1–32.
7. M. Ben-Artzi, J. Falcovitz, An upwind second-order scheme for compressible duct flows, SIAM J. Sci. Stat. Comput. 7 (3) (1986) 744–768.
8. M. Ben-Artzi, J. Falcovitz, Generalized Riemann Problems in Computational Fluids Dynamics, Cambridge University press, 2003.
9. F. Vilar, C.-W. Shu, P.-H. Maire. Positivity-preserving cell-centered Lagrangian schemes for multi-material compressible flows: From first-order to highorders, 2015. – 73 p.
10. P.-H. Maire, A high-order cell-centered Lagrangian scheme for two-dimensional compressible fluid flows on unstructured meshes, J. Comput. Phys. 228
(2009) 2391–2425.
16
11. P.-H. Maire, A high-order cell-centered Lagrangian scheme for compressible fluid flows in two-dimensional cylindrical geometry, J. Comput. Phys. 228
(2009) 6882–6915.
12. R. Loubere, P.-H. Maire, and P. Vachal. 3D staggered Lagrangian hydrodynamics scheme with cell-centered Riemann solver-based artificial viscosity. Int.
J. Numer. Meth. Fluids, 72:22–42, 2013.
13. G. Georges, J. Breil, P. Maire, A 3D GCL compatible cell-centered Lagrangian scheme for solving gas dynamics equations, J. Comput. Phys. 305 (2016)
921–941.
14. J. Breil, G. Georges, P.-H. Maire, Second-order extension in space and
time for a 3D cell-centered lagrangian scheme, Comput. Math. with Appl. 78 (2)
(2019) 5965–5976.
15. Чернаткин И.П. Выпускная квалификационная работа «Исследование методов повышения точности решения одномерных уравнений газовой
динамики в лагранжевых координатах», г. Снежинск, 2020, 96 с.
17