Итоговая работа: разработка технологической карты урока 1. ИНФОРМАЦИЯ О РАЗРАБОТЧИКЕ ПЛАНА ФИО разработчика Ефименко Ирина Витальевна БЛОК 1. Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала Место работы МБОУ «Мурминская СШ» 2. ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПО УРОКУ Класс (укажите класс, к которому относится урок): 9 Место урока (по тематическому планированию ФРП) Кабинет математики № 3 Тема урока Функция y=ax2, ее график и свойства Уровень изучения (укажите один или оба уровня изучения (базовый, углубленный), на которые рассчитан урок): Тип урока (укажите тип урока): Базовый урок освоения новых знаний и умений Планируемые результаты (по ФРП): Личностные: Сформировать интерес к изучению темы и желание применить приобретенные знания и умения Метапредметные: Сформировать умения понимать и использовать математические средства наглядности Предметные: Сформировать умения распознавать квадратичную функцию, исследовать её свойства, выполнять построение графика Ключевые слова: Квадратичная функция, график квадратичной функции, свойства квадратичной функции 2. БЛОЧНО-МОДУЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ УРОКА 1 Этап 1.1. Мотивирование на учебную деятельность Этап 1.2. Актуализация опорных знаний Учитель: Ребята, сегодня мы будем изучать новую тему. Для этого вспомним ранее изученный материал, в частности повторим определение функции, некоторые понятия, связанные с функциями и вспомним известные нам функции и их некоторые свойства. Далее задаем вопросы: Что называется функцией? Дайте определение функции? Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, переменную y называют зависимой переменной. Что называется областью определения и областью значений функции? Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции. Что называется графиком функции? Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. С какими функциями вы уже знакомы? С линейной функцией, прямой и обратной пропорциональности, функциями, заданными формулами: Что представляет собой график: Линейной функции? 2 Прямую Прямой пропорциональности? Прямую Обратной пропорциональности? Гиперболу Функции, заданной формулой параболу Дайте определение функции, возрастающей в промежутке; убывающей в промежутке? Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. Этап 1.3. Целеполагание Введение понятия квадратичной функции осуществляем, используя метод целесообразных задач. Для этого предлагаем учащимся последовательно решить две задачи. Задача1. Выразить площадь поверхности куба через его ребро x. Найти площадь S при x=2; 3; 5. Решение. 3 S1=x2, число граней равно 6, S=6x2 , x=2 S=24; x=3 S=54; x=5 S=150. Задача2. Тело движется с ускорением а=6 м/с2 и к началу отсчета времени t прошло путь S0=20 м, имея в этот момент скорость V0=5 м/с. Найдите пройденный путь S при t=2, 4. Решение. Выразим зависимость пути S от времени t. S=+V0t+S0 , S=3t2+5t+20, T1=2 S1=3*4+5*2+20=42; T2=4 S2=3*16+5*4+20=88. После решения предложенных задач, задаем учащимся следующие вопросы: И в первой, и во второй задаче зависит ли значение переменной S от какой – либо другой переменной? (Да. В первой задаче S зависит от x; во второй задаче S зависит от t) Значит, S какая переменная? (зависимая переменная) 4 А переменные x и t? (независимые переменные) А сколько значений зависимой переменной соответствует каждому значению независимой переменной в первой задаче? А во второй задаче? (Каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной и в первой, и во второй задаче) Значит, что мы получили? (Функции) Теперь, запишем полученную функцию в общем виде. Для этого заменим переменную S на переменную y, переменную t на – x, а числа обозначим через a, b и c. Тогда полученная функция будет иметь следующий вид: y=ax2+bx+c. Ребята, функция вида y=ax2+bx+c называется квадратичной функцией. В этой функции число а – коэффициент при x2 может ли быть равным нулю? Тогда, что мы получаем? (Число а может быть равным нулю, тогда функция примет вид: y=bx+c) А с функцией y=bx+c мы знакомы? Какая это функция? (Да. Это линейная функция) Значит, на число а накладывается ограничение – оно не может быть равным нулю. Теперь, ребята, давайте попробуем дать определение квадратичной функции. БЛОК 2. Освоение нового материала Этап 2.1. Осуществление учебных действий по освоению нового материала Учащиеся вместе с учителем формулируют определение квадратичной функции. Определение: Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax2+bx+c , где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0. Как вы думаете, что является областью определения квадратичной функции? (Множество всех чисел) 5 Правильно, областью определения квадратичной функции является множество всех чисел или вся числовая прямая. Изучение квадратичной функции начнем с частного случая, а именно с функции y=ax2, которая получается из функции y=ax2+bx+c при b=0 и c=0. Примером является функция S=6x2, полученная в первой задаче. При а=1 формула y=ax2 принимает вид y=x2. С этой функцией вы встречались, ее графиком является парабола. Теперь давайте построим график функции y=2x2. Для этого составим таблицу значений этой функции. Учитель на доске составляет таблицу значений функции, а ученики ему помогают и пишут у себя в тетрадях. X y -2 8 -1,5 4,5 -1 2 -0,5 0,5 0 0 0,5 0,5 1 2 1,5 4,5 2 8 Теперь, постройте точки, координаты которых указаны в таблице. Далее соедините их плавной линией. Получаем график функции y=2x2. Ученики строят график функции y=2x2 в тетрадях, а у учителя на слайде появляется график функции y=2x2, а потом график функции y=x2. (Слайд №8.) Далее задаем вопросы: Сравнивая графики функций y=2x2 и y=x2, что мы видим? (Они похожие, при любом x значение функции y=2x2 больше соответствующего значения функции y=x2 в 2 раза) Правильно, при любом x ≠ 0 значение функции y=2x2 больше соответствующего значения функции y=x2 в 2 раза. Если переместить каждую точку графика функции y=x2 вверх так, чтобы расстояние от этой точки до оси x увеличилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции y=2x2. При этом каждая точка графика функции y=2x2 может быть получена из некоторой точки графика функции y=x2. Иными словами, график функции y=2x2 можно получить из параболы y=x2 растяжением от оси x в 2 раза. Далее предлагаем ученикам построить график функции y=1/2x2. Для этого составляем таблицу значений этой функции. 6 Учитель на доске составляет таблицу значений функции, а ученики ему помогают и пишут у себя в тетрадях. X y -4 8 -3 4,5 -2 2 -1 0,5 0 0 1 0,5 2 2 3 4,5 4 8 Теперь, постройте точки, координаты которых указаны в таблице. Далее соедините их плавной линией. Получаем график функции y=1/2x2. Ученики строят график функции y=1/2x2 в тетрадях, а у учителя на этом же слайде появляется график функции y=1/2x2. На данном слайде также для более наглядного сравнения появляются графики всех трех функций на одной координатной плоскости. (Слайд №8.) Далее задаем вопросы: Сравнивая графики функций y=1/2x2 и y=x2, что мы видим? (Они похожие, при любом x значение функции y=1/2x2 меньше соответствующего значения функции y=x2 в 2 раза) Правильно, при любом x ≠ 0 значение функции y=1/2x2 меньше соответствующего значения функции y=x2 в 2 раза. Если переместить каждую точку графика функции y=x2 вниз так, чтобы расстояние от этой точки до оси x уменьшилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции y=1/2x2, причем каждая точка графика функции y=1/2x2 может быть получена из некоторой точки графика функции y=x2. Таким образом, график функции y=1/2x2 можно получить из параболы y=x2 сжатием к оси x в 2 раза. Ученики вместе с учителем делают краткий вывод:В общем случае, график функции y=аx2 можно получить из параболы y=x2 растяжением от оси x в a раз, если а>1, и сжатием к оси x в 1/а раза, если 0<а<1. Этап 2.2. Проверка первичного усвоения Далее, рассматривая графики функций, учитель вместе с учениками перечисляют свойства функции y=аx2, при а>0: 1. Если x=0,то y=0. График функции проходит через начало координат. 2. Если x≠0, то y›0. График функции расположен в верхней полуплоскости. 3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y. 4. Функция убывает в промежутке(-∞;0] и возрастает в промежутке [0;+∞). 5. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений 7 функции является промежуток [0;+∞). Теперь давайте построим график функции y=-1/2x2. Для этого составим таблицу значений этой функции. Учитель на доске составляет таблицу значений функции, а ученики ему помогают и пишут у себя в тетрадях. X y -4 -8 -3 -4,5 -2 -2 -1 -0,5 0 0 1 -0,5 2 -2 3 -4,5 4 -8 Теперь, постройте точки, координаты которых указаны в таблице. Далее соедините их плавной линией. Получаем график функции y=1/2x2. Ученики строят график функции y=-1/2x2 в тетрадях, а у учителя на слайде появляются на одной и той же координатной плоскости графики функций y=-1/2x2 и y=1/2x2. Далее задаем вопросы: Сравнивая графики функций y=-1/2x2 и y=1/2x2, что мы видим? (Они симметричны относительно оси x) Правильно, при любом x значения этих функций являются противоположными числами, т. е. соответствующие точки графиков симметричны относительно оси x. Иными словами, график функции y=-1/2x2 может быть получен из графика функции y=1/2x2 с помощью симметрии относительно оси x. В общем, что можно сказать про графики функций y=аx2 и y=-аx2? (Они симметричны относительно оси x) График функции y=аx2, так же как график функции y=x2 называется параболой. Далее, рассматривая графики функций, учитель вместе с учениками перечисляют свойства функции y=аx2, при а<0: 8 1. Если x=0,то y=0. График функции проходит через начало координат. 2. Если x≠0, то y‹0. График функции расположен в нижней полуплоскости. 3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y. 4. Функция возрастает в промежутке(-∞;0] и убывает в промежутке [0;+∞). 5. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [-∞;0). Из перечисленных свойств следует, что при а>0 ветви параболы направлены вверх, при а<0 – вниз. Ось y является осью симметрии. Точку пересечения параболы с ее осью симметрии называют вершиной параболы. Построение графика, симметричного данному относительно оси x, растяжение графика от оси x или сжатие к оси x – различные виды преобразований графиков функций. Все эти преобразования применимы к любой функции. БЛОК 3. Применение изученного материала Этап 3.1. Применение знаний, в том числе в новых ситуациях Решаем примеры: № 90. Постройте график функции y=1/4x2. Найдите: А) значение y при x= -2,5; -1,5; 3,5 Б) значение x при y= 5, 3, 2 В) промежутки возрастания и промежутки убывания функции. Решение: x -4 -3 -2 -1 y 4 2,25 1 0,25 9 0 1 2 3 4 0 0,25 1 2,25 4 А) x= -2,5 y=1,5 Б) y=5 x=4,5, x=-4,5 В) (0, ∞) – возрастает. X= -1,5 y=0,6 y=3 x=3,5, x=-3,5 (-∞, 0) – убывает. X= 3,5 y=2 x=2,8, x=-2,8 y=3,1 № 94 (а). Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции а) y=-1,5x2. Перечислите свойства этой функции. Решение: y=-1,5x2 Свойства: 1. 2. 3. 4. 5. График функции проходит через начало координат. График функции расположен в нижней полуплоскости. График функции симметричен относительно оси y. Функция возрастает в промежутке(-∞;0] и убывает в промежутке [0;+∞). Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [-∞;0). № 96 (а, б, в – устно). Пересекаются ли парабола y=2x2 и прямые: А) y=50, Б) y=100, В) y=-8, Г) y=14x-20. Если точка пересечения существует, то найти их координаты. Решение: 10 А) Да. (5, 50), (-5, 50). Б) Да. (5√2, 100), (-5√2, 100). В) Нет. Г) 2x2=14x-20 2x2-14x+20=0 x2-7x+10=0 x1=5 x2=2 y1=50 y2=8 (5, 50), (2,8). Этап 3.2. Выполнение межпредметных заданий и заданий из реальной жизни 1. Задача из физики: определить ускорение тела, движущегося под действием силы тяжести, если его начальная скорость равна нулю, а сила тяжести пропорциональна расстоянию от центра Земли. 2. Задача из химии: рассчитать концентрацию вещества в растворе после химической реакции, если концентрация исходного вещества изменяется по квадратичному закону. 3. Задача из экономики: определить стоимость товара, если его цена зависит от спроса и предложения, и описывается квадратичной функцией. 4. Задача из биологии: исследовать рост популяции животных, если их численность изменяется по квадратичному закону в зависимости от ресурсов и ограничений среды обитания. 5. Задача из географии: определить форму поверхности Земли, если она описывается квадратичной функцией высоты над уровнем моря. Этап 3.3. Развитие функциональной грамотности 11 Задание на анализ данных: проанализируйте график квадратичной функции и определите, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные. 2. Задание на прогнозирование: используя график квадратичной функции, предскажите, как будет изменяться значение функции при изменении аргумента на определённое количество единиц. 3. Задание на решение практических задач: примените знания о квадратичной функции для решения задачи из реальной жизни, например, для расчёта оптимального времени работы оборудования или определения максимальной прибыли предприятия. 4. Задание на сравнение: сравните свойства квадратичной функции с линейной функцией и укажите их сходства и различия. 5. Задание на интерпретацию графика: объясните, как график квадратичной функции отражает взаимосвязь между аргументом и значением функции. БЛОК 4. Подведение итогов, домашнее задание Этап 4.1. Рефлексия Что нового вы сегодня узнали на уроке? 1. С какой функцией мы сегодня познакомились? Как она получается из функции y=x2? Что является графиком квадратичной функции? Какие преобразования функций мы сегодня рассмотрели? Этап 4.2. Домашнее задание 12 № 91. Постройте график функции y=-2x2. Найдите: А) значение y при x= -1,5; 0,6; 1,5 Б) значение x при y= -1, -3, -4,5 В) промежутки возрастания и промежутки убывания функции. Решение: X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y -32 -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 -32 А) x= -1,5 y=-4,5 Б) y=-1 x=0,3, x=-0,3 x=1,2, x=-1,2 X= 0,6 y=-0,8 y=-3 X= 1,5 y=-4,5 y=-4,5 x=1,5, x=-1,5 В) (0, ∞) – убывает. (-∞, 0) – возрастает. № 94 (б). Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции а) y=0,8x2. Перечислите свойства этой функции. Решение: 13 y=0,8x2 Свойства: 1. 2. 3. 4. 5. График функции проходит через начало координат. График функции расположен в верхней полуплоскости. График функции симметричен относительно оси y. Функция убывает в промежутке(-∞;0] и возрастает в промежутке [0;+∞). Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [0;+∞). № 92. Постройте в одной координатной плоскости графики функций: y=x2, y=1/8x2, y=1/3x2. Решение: y=x2 y=1/8x2 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 16 9 4 1 0 1 4 9 16 14 y=1/3x2 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 5,333333 3 1,333333 0,333333 0 0,333333 1,333333 3 5,333333 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 2 1,125 0,5 0,125 0 0,125 0,5 1,125 2 15
