ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет Т.А. Жук МАТЕМАТИКА Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов направления 26.03.01 «Управление водным транспортом и гидрографическое обеспечение судоходства» заочной формы обучения Владивосток Дальрыбвтуз 2021 1 УДК 51(07) ББК 22.1я723 Ж85 Утверждено ученым советом Дальневосточного государственного технического рыбохозяйственного университета Автор – Т.А. Жук, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Высшая математика» Дальрыбвтуза Рецензент – Т.В. Беспалова, канд. физ.-мат. наук, зав. кафедрой «Высшая математика» Дальрыбвтуза Подписано в печать 31.08.2021. Формат 60х84/16. Усл. печ. л. 2,56. Уч.-изд. л. 2,40. Заказ 1629. Оригинал-макет подготовлен Центром публикационной деятельности «Издательство Дальрыбвтуза» 690087, г. Владивосток, ул. Луговая, 52Б Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет, 2021 2 ВВЕДЕНИЕ Дисциплина «Математика» имеет своей целью: формирование и конкретизация знаний по основам математики, а также применению математических методов при изучении естественнонаучных и технических дисциплин, воспитание достаточно высокой математической культуры. Задача дисциплины: привитие навыков современных методов математического мышления, использование математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности. Настоящее пособие содержит программу, методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения направления «Управление водным транспортом и гидрографическое обеспечение судоходства». Описаны цели и задачи дисциплины, сформулированы требования к изучению дисциплины с учетом формирования компетенций в соответствии с ФГОС ВО. Требования к результатам освоения дисциплины В результате изучения дисциплины студент должен знать основные понятия и теоремы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, основные понятия и методы математического анализа; математические методы, необходимые при решении типовых задач в сфере управления водным транспортом для определения оптимальных соотношений параметров транспортных систем; методы построения математических моделей для решения типовых профессиональных задач, уметь описывать и обосновывать основные методы решения математических задач, решать типовые задачи по основным разделам курса математики; строить математические модели объектов, систем и процессов в профессиональной сфере, владеть основными методами решения математических задач, связанных с профессиональной деятельностью. 3 Содержание дисциплины «Математика» Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Матрицы и действия с ними. Обратная матрица. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга матрицы. Совместность систем линейных алгебраических уравнений, Однородная и неоднородная системы. Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы n линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Решение произвольной линейной системы уравнений. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекции вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его свойства, координатное выражение. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Координатное выражение векторного и смешанного произведения. Раздел 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Системы координат. Длина отрезка. Деление отрезка в заданном соотношении. Прямая на плоскости. Уравнение прямой через угловой коэффициент. Уравнение прямой в общем виде. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Уравнение прямой в отрезках на осях. Уравнение прямой в полярной системе координат. Нормальное уравнение прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Кривые второго порядка на плоскости. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках на осях. Нормальное уравнение плоскости. Угол между плоскостями. Прямая на плоскости. Уравнение прямой в каноническом виде. Уравнение прямой в общем виде. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Поверхности в пространстве. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Од4 нополостный и двуполостный параболоид. Эллиптический и параболический гиперболоид. Конические поверхности. Раздел 3. Введение в математический анализ Множества. Операции с множествами. Декартово произведение множеств. Отображения множеств. Мощность множества. Множество вещественных чисел. Функция. Область её определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Комплексные числа и действия с ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Арифметические свойства пределов. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Односторонние пределы. Замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва, их классификация. Сравнение функций. Символы о и О. Эквивалентные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Раздел 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Понятие производной и её механический и геометрический смысл. Определение производной. Правила дифференцирования функций и производные элементарных функций. Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Свойства дифференцируемых функций: теоремы Ферма, Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Возрастание и убывание функций. Максимум и минимум. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции и построение её графика. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Применение формулы Тейлора к элементарным функциям. Приближённые формулы. 5 Раздел 5. Интегральное исчисление функций одной переменной Первообразная функция и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной интегрирования, интегрирование по частям. Интегрирование дробно-рациональных функций. Интегрирование простейших иррациональностей. Интегрирование тригонометрических выражений. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрические и механические приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства. Приближённое вычисление определённых интегралов. Методика изучения дисциплины студентами заочной формы обучения Основным видом учебной деятельности студента заочной формы обучения является самостоятельная работа: изучение теоретического материала, рассмотрение примеров решения заданий, выполнение контрольных работ. В помощь студентам в период экзаменационной сессии проводятся аудиторные лекционные и практические занятия. В течение всего учебного года соответствующей кафедрой организуются консультации. Завершающим этапом изучения дисциплины является сдача зачета или экзамена в соответствии с учебным планом. 1. Изучение теоретического материала. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, проделывая на бумаге все вычисления. При изучении материала по учебнику полезно вести краткий конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. п. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте выделять для того, чтобы они лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой 6 лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником для студента. 2. Решение практических задач. Изучение теоретического материала должно сопровождаться решением примеров и задач, для чего рекомендуется завести отдельную тетрадь. Решение задач и примеров следует записывать подробно, вычисления должны располагаться в строгом порядке, при этом рекомендуется отделять вспомогательные вычисления от основных. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении. 3. Самоконтроль. После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, формулы, формулировки теорем, проверяя себя каждый раз по учебнику. 4. Консультации. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, он может обратиться к преподавателю для получения консультации. 5. Контрольные работы. В процессе изучения дисциплины студент должен выполнить контрольные работы, главная цель которых - оказать студенту помощь в его работе. Не следует приступать к выполнению контрольного задания до решения достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Контрольная работа должны выполняться самостоятельно. Не самостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться не подготовленным к устному экзамену и зачету. Контрольная работа должна быть выслана в университет не позднее, чем за месяц до начала сессии. Студенты, вовремя не вы7 полнившие контрольную работу, к экзамену или зачету допускаются по усмотрению преподавателя. Прорецензированную контрольную работу вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию преподавателя, следует сохранять. В период сессии студент обязан представить зачтенную работу и защитить её, решая самостоятельно подобные задачи. 6. Лекции и практические занятия. Во время экзаменационной сессии для студентов организуются лекционные и практические занятия. Они носят, преимущественно, обзорный характер. Их цель - обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела, подчеркнуть важнейшие факты, указать главные практические приложения. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подробно разобраны отдельные вопросы курса. 7. Зачет и экзамен. На экзамене или зачете подтверждается усвоение всех теоретических и прикладных вопросов программы, умение применять полученные знания к решению практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием сути, задачи в простейших случаях должны решаться без ошибок и уверенно, всякая письменная и графическая работа должна быть аккуратной и четкой. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым программой. Правила выполнения и оформления контрольной работы При выполнении контрольной работы надо придерживаться указанных ниже правил. Работа, выполненная без соблюдения этих правил, не зачитывается и возвращается студенту для переработки. 1. Студент должен выполнять контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного шифра (см. таблицу). Вариант № 10 соответствует последней цифре 0 учебного шифра. Контрольная работа, выполненная не по своему варианту, не зачитывается. 2. Контрольную работу следует выполнять в тонкой тетради чернилами или шариковой ручкой любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний преподавателя. 8 3. На обложке тетради должны быть написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, здесь же следует указать дату отсылки работы в университет и адрес студента. 4. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. 5. Перед решением каждой надо выписать полностью ее условие. Решения задач излагать подробно и записывать аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи. 6. После получения не зачтенной работы студент должен исправить в ней все указанные преподавателем ошибки и недостатки. Вместе с исправлениями должна обязательно высылаться незачтенная работа. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для исправлений и дополнений. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Номера задач контрольной работы № 1 Номера задач контрольной работы № 2 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93 4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 6, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191 102, 112, 122, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192 103, 113, 123, 133, 143, 153, 163, 173, 183, 193 104, 114, 124, 134, 144, 154, 164, 174, 184, 194 105, 115, 125, 135, 145, 155, 165, 175, 185, 195 106, 116, 126, 136, 146, 156, 166, 176, 186, 196 107, 117, 127, 137, 147, 157, 167, 177, 187, 197 108, 118, 128, 138, 148, 158, 168, 178, 188, 198 109, 119, 129, 139, 149, 159, 169, 179, 189, 199 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200 9 Рекомендуемый библиографический список 1. Краткий курс высшей математики: учебник / К.В. Балдин, Ф.К. Балдин, В.И. Джеффаль и др.; под общ. ред. К.В. Балдина. – 4е изд., стер. – М.: Дашков и К°, 2020. – 512 с.: ил. 2. Мирзоян, М.В. Математика: курс лекций: [16+] / М.В. Мирзоян, Т.Х. Саиег; Министерство образования и науки Российской Федерации, Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «СевероКавказский федеральный университет». – Ставрополь: СКФУ, 2018. – 153 с.: ил. 3. Балдин, К.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. – 3-е изд., стер. – М.: Дашков и К°, 2020. – 472 с.: ил. 4. Ильин В.А. Линейная алгебра: Учеб. для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк; под ред. В.А. Ильина. – 6-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2010. – 280 с. 5. Лунгу К.Н. Высшая математика: руководство к решению задач Т.1.: учебное пособие / К.Н. Лунгу, Е.В. Макаров. - 3-е изд., перераб. – М.: Физматлит, 2013. – 216 с. 6. Лунгу, К.Н. Высшая математика: руководство к решению задач. – Ч. 2.: учеб. пособие / К.Н. Лунгу, Е.В. Макаров. – 3-е изд., перераб. – М.: Физматлит, 2009. – 384 с. Задания для контрольных работ Контрольная работа № 1 Линейная и векторная алгебра 1-10. Дана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти её решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить её средствами матричного исчисления; 3) решить систему методом Гаусса. 2 + +3 =7 1. 2 + 3 + = 1 3 +3 +3 = 6 2 2. 10 − + 3 = −4 + 3 − = 11 − 23 + 2 = −7 2 −3 + =2 + 5 − 4 = −5 4 + − 3 = −4 2 − + =2 5. 3 + 2 + 2 = −2 −2 + =1 2 + 3 + 4 = 33 7 − 5 = 24 7. 4 + 11 = 39 + 5 − 6 = −15 9. 3 + + 4 = 13 2 −3 + = 9 2 −4 +3 = 1 −4 +4 =3 3 − +5 =2 +2 −3 =5 6. 2 − − = 1 3 +3 +4 = 6 2 − +2 =8 + + 2 = 11 8. 4 + + 4 = 22 2 +3 + =4 10. 2 + + 3 = 2 3 +2 + =1 3. 4. и 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 11-20. Являются ли векторы и , построенные по векторам , коллинеарными? = (1, −2,3), = (3,0, −1), = 2 + 5 , = − + 3 . = (1,0,1), = (−2,3,5), = + 2 , = 3 − . = (1,2, −3), = (2, −1, −1), = 24 + 3 , = 8 − . = (−2,4,1), = (1, −2,7), = 5 + 3 , = 2 − . = (3,5,4), = (5,9,7), = 2 + , = 3 − 2 . = (1,4, −2), = (1,1, −1), = + , = 4 + 2 . = (1, −2,5), = (3, −1,0), = 4 − 2 , = −2 + . = (3,4, −1), = (2, −1,1), = 6 − 3 , = −2 + . = (1, −2,3), = (3,0, −1), = 2 + 5 , = − + 3 . = (−2, −3, −2), = (1,0,5), = 3 + 9 , = − − 3 . 21-30. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах ̅ и . 21. ̅ = + 2 , = 3 − , | | = 1, = 2, , = . 22. ̅=3 + , = − 2 , | | = 4, = 1, 23. ̅= −3 , = +2 ,| |= , = 1, 24. ̅ =3 −2 , = + 5 , | | = 4, = , 25. ̅= −2 , = 2 + , | | = 2, = 3, , = 26. ̅= +3 , = − 2 , | | = 2, = 3, , = . 11 , , = . = . , = . . 27. ̅=2 − , = + 3 , | | = 3, = 2, 28. ̅=4 + , = − , | | = 7, = 2, 29. ̅= −4 , = 3 + , | | = 1, = 2, 30. ̅= +4 , = − , | | = 10, = 1, 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. , = . , = . , = . , = . 31-40. Проверить векторы на компланарность. = (1, −2,3), = (3,0, −1), ̅ = (2,2,2). = (1,0,1), = (−2,3,5), ̅ = (3,1, −1). = (1,2, −3), = (2, −1, −1), ̅ = (1,1,1). = (−2,4,1), = (1, −2,7), ̅ = (2,3,4). = (3,5,4), = (5,9,7), ̅ = (1,1,1). = (1,4, −2), = (1,1, −1), ̅ = (5,2, −1). = (1, −2,5), = (3, −1,0), ̅ = (2,2,2). = (3,4, −1), = (2, −1,1), ̅ = (2,0, −1). = (1, −2,3), = (3,0, −1), ̅ = (1,2,3). = (−2, −3, −2), = (1,0,5), ̅ = (2,2,1). Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве 41-50. Даны вершины треугольника . Требуется: 1. Найти длины всех его сторон. 2. Составить уравнения всех его сторон. 3. Составить уравнения медианы, высоты, найти косинус внутреннего угла при вершине . 4. Найти площадь этого треугольника. 5. Вычислить длину высоты, опущенной из вершины на сторону . 6. Сделать чертеж. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. (12,0), (−2, −6), (8,2), (2, −4), (2 − 10), (−1, −1), (4, −6), (3,4), (1, −2), (−12, −3), (18,8), (−6, −3), (14,10), (−2, −1), (8,7), (3,5), (2,2), (−1,7), (7,6), (12, −10), 12 (0,5). (10, −1). (−4,7). (4,1). (−10,4). (−4,1). (−2, −1). (15,9). (−11,3). (−6,14). 51-60. Решить задачу. 51. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку (6,3), если угол между асимптотами равен 60°. 52. Определить эксцентриситет эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно расстоянию между вершинами малой и большой соей. 53. Составить каноническое уравнение эллипса, если эллипс проходит через точку −2, √ и имеет эксцентриситет = √ . 54. Вычислить полуоси гиперболы, зная ее асимптоты = и точку (6,5), через которую проходит гипербола. 55. Составить каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси абсцисс и проходящей через точку (1,2). 56. Составить уравнение окружности, зная, что она касается оси в точке (0, −3) и имеет радиус = 2. 57. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8, а эксцентриситет = . 58. Через фокус параболы = 8 проведена хорда, перпендикулярная к ее оси. Определить длину этой хорды. 59. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с ± эллипсом + = 1 и проходящей через точку 4√2, 3 . 60. Составить уравнение окружности, зная, что она касается оси в начале координат и пересекает ось в точке A(0,4). 61-70. Даны координаты вершин пирамиды . Требуется: 1. Сделать чертеж. 2. Найти длину ребра . 3. Составить уравнение прямой . 4. Составить уравнение плоскости . 5. Найти площадь грани , используя векторное произведение векторов. 6. Найти длину высоты, опущенной из вершины на грань . 7. Найти объем пирамиды, используя смешанное произведение векторов. 8. Найти угол между ребрами и . 13 9. Найти угол между ребром и гранью . 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. (5, −3,1), (−2, −4, −2), (2,4, −2), (2, −3,6). (4,1,5), (−1, −4,6), (−3,5,2), (−1,3,9). (8,4,1), (1, −4,1), (5,7, −2), (2,4,4). (2,2,0), (−2, −4,2), (−5,1, −1), (−2,1,6). (5,4,0), (−2,4,1), (2,4, −2), (−2,1,4). (0, −1, −1), (−2,3,5), (1, −5, −9), (−1, −6,3). (5,2,0), (2,5,0), (1,2,4), (−1,1,1). (2, −1, −2), (1,2,1), (5,0, −6), (−10,9, −7). (−2,0, −4), (−1,7,1), (4, −8, −4), (1, −4,6). (4,4,5), (−5, −3,2), (−2, −6, −3), (−2,2, −1). 71. 71-80. Найти точку пересечения прямой и плоскости. = = , + 2 + 3 − 14 = 0 72. = = , + 2 − 5 + 20 = 0 73. = = , − 3 + 7 − 24 = 0 74. = 75. = = , 3 + 3 _5 − 12 = 0 76. = = , +3 −5 +9 = 0 77. = = , − 2 + 5 − 17 = 0 78. = = , + 4 _2 − 19 = 0 79. = = , 2 − 80. = = , 2 −3 −5 −7=0 = 2 − , +4 =0 + 3 + 23 = 0 Введение в математический анализ 81-90. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя). 81. а) lim → в) lim → ; √ √ ; б) lim → ; г) lim → д) lim → (2 + 1)(ln( + 3) − 14 ; ). 82. а) lim → в) lim → б) lim → ; √ г) lim → ; √ ; д) lim → (3 + 2)(ln( + 1) − 83. а) lim → ; ; ). ± б) lim → ; √ в) lim → ; г) lim → ; √ д) lim → ( + 2)(ln(2 + 1) − ln(2 − 1)). 84. а) lim → б) lim → ; ; √ в) lim → ; г) lim → ; √ д) lim → (2 − 3)(ln( − 2) − ln( + 1)). 85. а) lim → б) lim → ; ; √ в) lim → ; г) lim → √ д) lim → ( − 5)(ln( − 3) − ). 86. а) lim → в) lim → б) lim → ; √ ; г) lim → ; √ ; ; д) lim → (2 − 5)(ln(2 + 4) − ln(2 + 1)). 87. а) lim → ; √ в) lim → ; г) lim → ; √ б) lim → ; д) lim → (3 − 1)(ln(2 − 1) − ln(4 + 1)). 88. а) lim → ; б) lim → ; √ в) lim → ; г) lim → ; √ д) lim → (4 − 3)(ln( + 2) − ln( − 1)). 89. а) lim → ; б) lim → √ в) lim → ; г) lim → √ д) lim → (3 + 5)(ln( + 5) − 90. а) lim → в) lim → ; √ √ ; ; √ ; ). б) lim → ; г) lim → д) lim → (2 − 7)(ln( + 4) − 15 ; ). 91-100. Найти и классифицировать точки разрыва функции = ( ), если они существуют. Построить график функции. 91. = ; 92. = ; 93. = | 95. = ; | ; 99. = 96. = ; ; , ≤− , 98. = −1, − < ≤ 0, > 0; √ + 1, − 4, < −2, 100. = 3 + 2, −2 ≤ ≤ 2, 12 − , > 2. 0,5 , | | < 2, = 2,5, | | = 2, 3, | | > 2; + , <− , , − ≤ < 0, = 3−2 , ≥ 0; 97. 94. Контрольная работа № 2 Дифференциальное исчисление функций одной переменной 101-110. Найти производную 101. а) =√ в) = 102. а) = в) = 103. а) = в) = 104. а) = √ +5 − (5 − 1) ; √ −√ ; − 6 √2 + ; ; ; ; ; √ ; √ √ ; + ( ) б) = ; г) = б) = + √1 − в) = 3 ; 105. а) = + в) = 106. а) = данных функций. ; 16 . 2 ; г) = б) = ; г) = . б) = √ ; г) = б) = . √1 + г) = б) = . . ; ; в) = −1 ; г) =2 √ . 107. а) = ; б) = ; в) =2 ; г) =( ) . 108. а) = б) в) = 1 + √ + 3; ; 109. а) = в) =( 110. а) = в) = √ ; √ 2 ) ; = )= ; + −2 117. а) б) = 0; б) 118. а) = ; б) б) б) б) = 0; б) ; б) 119. а) ( + ) = ( − 2 ) ; б) − б) 120. а) = + ; 17 ; ) . ; . √ ; 3 )√ . неявной и параметрической = 0; ; 116. а) cos( = =( + + г) г) 114. а) cos( − ) − 2 + 4 = 0; 115. а) = ); + cos( − ) = 113. а) б) = − − =( б) 111-120. Найти производную функций. 112. а) г) (2 + 3); ( 111. а) = √1 + = 2, = − . = +8 , = +2 . = − , =1− . = , = . =3 , =2 . =3 , =4 . =3 − , =3 . =2 − , =2 . = + , = − . = − 2 , = 2 . 121-130. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой . 121. = 2 + 3 − 1, = −2; 122. = − , = −1; 123. = + 8√ − 32, = 4; 124. = + √ , = 1; 125. =√ − 20, = −8; 127. =2 − 3 + 1, 129. = , = 1; = 3; √ 126. = = 4; 128. = 8 √ − 70, 130. = , √ = 16; = 2. , 131-140. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя. 131. lim → 133. lim → ( ) ( 135. lim → ) ; 136. lim → , 138. lim → ; 139. lim → ( ; 134. lim → ; ; 137. lim → √ 132. lim → ; − 1); > 0; ; 140. lim → ( ) ( ) . 141-150. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить их графики, используя результаты исследования. 141. = 143. = 145. = 147. = 149. = ; ; ; ; ; 142. = 144. = 146. = 148. = 150. = ; ч ; ; ; . Интегральное исчисление функций одной переменной 151-160. Найти указанные неопределённые интегралы. Полученные результаты проверить дифференцированием. 151. а) ∫ √ б) ∫ ; 18 ; в) ∫ ( 152. а) ∫ в) ∫ ) в) ∫ ) ( √ ; ; г) ∫ г) ∫ б) ∫ ; г) ∫ ; ( в) ∫ ; . ; . . 3 . б) ∫ г) ∫ ; ; √ ; г) ∫ ; 160. а) ∫ √1 − в) ∫ ; . ) б) ∫ ; √ ) ) б) ∫ ; в) ∫ 159. а) ∫ ( г) ∫ ; √ 158. а) ∫ . б) ∫ ln(1 + 2 157. а) ∫ в) ∫ б) ∫ ; √ ; ; ; ) ) . ) в) ∫ в) ∫ . г) ∫ ; √ ( ; б) ∫ cos( ; √ 156. а) ∫ 4 г) ∫ ; 155. а) ∫ ( . б) ∫ ; √ ; г) ∫ ; √ 154. а) ∫ . б) ∫ ; 153. а) ∫ в) ∫ г) ∫ ; ; 161-170. Найти указанные неопределённые интегралы. 161. а) ∫ 162. а) ∫ ( 163. а) ∫ б) ∫ ( ; √ б) ∫ ; ) √ б) ∫ ; 19 ) 5 7 . . . √ 164. а) ∫ 165. а) ∫ 166. а) ∫ 168. а) ∫ б) ∫ ; √ . 2 б) ∫ ; √ . б) ∫ ; √ √ 169. а) ∫ 170. а) ∫ √ √ 167. а) ∫ б) ∫ ; √ √ . 5 ; б) ∫ ; б) ∫ . ; б) ∫ . √ √ √ . . 171-180. Найти определенные интегралы, используя формулу Ньютона-Лейбница. 171. а) ∫ ; б) ∫ ; 172. а) ∫ √ 173. а) ∫ 176. а) ∫ 177. а) ∫ √ 180. а) ∫ ; ; √ √ ; ; ; б) ∫ (1 − ) б) ∫ ; б) ∫ ( − 1) ; √ ) б) ∫ ( + 3) ; ) 178. а) ∫ 179. а) ∫ б) ∫ ln(1 + ; √ ; ( + 1) б) ∫ ; √ ; б) ∫ (3 + 2) ; ( ; б) ∫ ( + 3) ; 174. а) ∫ 175. а) ∫ б) ∫ ; √ ; . 181-190. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость. 181. а) ∫ ; б) ∫ ; 182. а) ∫ б) ∫ ; 20 ( ) ; 183. а) ∫ ( 184. а) ∫ 185. а) ∫ ) б) ∫ ; ( ) 186. а) ∫ 187. а) ∫ б) ∫ ; ; √ б) ∫ ( ; ) ; б) ∫ ; б) ∫ ; 188. а) ∫ ; б) ∫ 189. а) ∫ ; б) ∫ 190. а) ∫ ; √ ; ; √ √ б) ∫ ; ; ( ) ; . 191-200. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями. 191. = ( − 2) , = 4 − 8; 192. = 8 − , = + 18 − 12; 193. = 4 − , = −2 ; 194. = 3 − , − 5 + 8 = 0; 195. = 2 − + 3, = − 4 + 3; 196. = − 4 + 1, = + 1; 197. = √4 − , = 0, = 0, = 1; 198. = 3, + − 4 = 0; 199. = ( + 1) , = + 1; 200. = , = 2 − . Методические указания к решению типовых заданий Линейная и векторная алгебра 1. Дана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными + 2 − 3 = −7, 3 + 2 − 4 = −4, 2 − = 7. Требуется: 1) найти её решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить её средствами матричного исчисления; 3) решить систему методом Гаусса. 21 Решение. 1) Найдем решение системы с помощью формул Крамера. Находим определитель системы 1 2 −3 ∆= 3 2 −4 = 0 ∙ 1 ∙ 2 + 2 ∙ 2 ∙ (−4) + 3 ∙ (−1) ∙ (−3) − 2 −1 0 −2 ∙ 2 ∙ (−3) − 1 ∙ (−1) ∙ (−4) − 3 ∙ 2 ∙ 0 = −16 + 9 + 12 − 4 = 1. Так как ∆≠ 0, то решение системы может быть найдено по ∆ ∆ ∆ формулам Крамера: = , = , = . ∆ ∆ ∆ Для этого найдем ∆ , ∆ , ∆ : −7 2 −3 ∆ = −4 2 −4 = 0 − 56 − 12 + 42 + 28 − 0 = 2, 7 −1 0 1 −7 −3 ∆ = 3 −4 −4 = 0 + 56 − 63 − 24 + 28 − 0 = −3, 2 7 0 1 2 −7 ∆ = 3 2 −4 = 14 − 16 + 21 + 28 − 4 − 42 = 1. 2 −1 7 Подставляя найденные значения определителей в формулы, получаем искомое решение: = = 2, = = −3, = = 1. 2) Найдем решение системы с помощью обратной матрицы −7 1 2 −3 = ∙ , где = 3 2 −4 , = , = −4 , 2 −1 0 7 обратная матрица. Так как определитель матрицы отличен от нуля, то матрица имеет обратную матрицу. Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы : 2 −4 3 −4 = = −4, =− = −8, −1 0 2 0 3 2 2 −3 = = −7, =− = 3, −1 0 2 −1 1 −3 1 2 2 −3 = = 6, =− = 5, = = −2, 2 0 2 −1 2 −4 1 −3 1 2 =− = −5, = = −4. 3 −4 3 2 Согласно формуле матрица , обратная к , имеет вид 22 −4 3 −2 −8 6 −5 . ∆ −7 5 −4 Получим решение системы в матричном виде −7 −4 3 −2 = = −8 6 −5 ∙ −4 = −7 5 −4 7 −4 ∙ (−7) + 3 ∙ (−4) + (−2) ∙ 7 2 = −8 ∙ (−7) + 6 ∙ (−4) + (−5) ∙ 7 = −3 , 1 −7 ∙ (−7) + 5 ∙ (−4) + (−4) ∙ 7 откуда следует, что = 2, = −3, = 1. 3) Решим систему уравнений методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы: 1 2 −3 −7 3 2 −4 −4 . 2 −1 0 7 Приведем матрицу к верхне-треугольному виду: к элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-3), к элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (-2): 1 2 −3 −7 0 −4 5 17 . 0 −5 6 21 Элементы второй строки разделим на (-4): 1 2 −3 −7 0 1 − 5 4 − 17 4 . 21 0 −5 6 К элементам третьей строки прибавим элементы второй строки, умноженные на 5: 1 2 −3 −7 0 1 − 5 4 − 17 4 . 0 0 −1 4 −1 4 Элементы третьей строки разделим на (-1/4): 1 2 −3 −7 0 1 − 5 4 − 17 4 . 1 0 0 1 Последней матрице соответствует система = = 23 +2 −3 = −7, 17 =− , 4 = 1. Из последнего уравнения получаем = 1. Зная уравнения находим : − ∙ 1 = − или = − = −3. Далее из первого уравнения получаем + 2 ∙ (−3) − 3 ∙ 1 = −7, = 2. 5 − 4 , из второго 2. Являются ли векторы и , построенные по векторам и , коллинеарными, если = (1,2, −1), = (3,1, −2), = 2 + 5 , = − +3 ? Решение. Найдем координаты векторов и : = (2 + 15, 4 + 5, −2 − 10), = (17, 9, −12); = (−1 + 9, −2 + 3, 1 − 6), = (8, 1, −5). У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны: = = . Проверим выполнение этого свойства: ≠ ≠ . следовательно, векторы и не коллинеарны. 3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах ̅ и , если ̅ = + , = 3 + , | | = 1, = 2, , = . Решение. Найдем векторное произведение векторов ̅ и . × = + × 3 + =3 × + × +3 × + × . Так как × = 0, × = 0, × = − × , получим × = −2 × . Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. | × | = −2 × = 2 × = 2| | = = 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ = 2 кв.ед. 24 4. Проверить векторы на компланарность: = (1, −2,3), = (3,0, −1), ̅ = (2,2,2). Решение. Смешанное произведение ненулевых векторов , и ̅ равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны. Найдем смешанное произведение векторов: 1 −2 3 = 3 0 −1 = 0 + 4 + 18 − 0 + 2 + 12 = 36 ≠ 0, 2 2 2 следовательно, векторы , и ̅ не компланарны. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве 5. Даны вершины треугольника : (2,0), (1,8), (0,5). Требуется: 1. Найти длины всех его сторон. 2. Составить уравнения всех его сторон. 3. Составить уравнения медианы, высоты, найти косинус внутреннего угла при вершине . 4. Найти площадь этого треугольника. 5. Вычислить длину высоты, опущенной из вершины на сторону . Решение. 1. Расстояние между точками с координатами ( , ) и ( , ) определяется по формуле: = ( − ) +( − ) . Таким образом, |АВ| = (2 − 1) + (0 − 8) = √65, |АС| = (2 − 0) + (0 − 5) = √29, |ВС| = (1 − 0) + (8 − 5) = √10. 2. Воспользуемся уравнением = . Получим уравнение прямой = , − = 8( − 2), = 8 − 16. Аналогично построим уравнения прямых = , = 3 + 5, = , = −2,5 + 5. 25 и : 3. Найдем уравнение медианы . Координаты точки ( , ) определим как координаты середины отрезка АВ: = = = 1,5, = = = 4. Построим уравнение прямой, проходящей через две точки (1,8) и (1,5; 4): = , , = −8 + 16. Высота перпендикулярна стороне , следовательно, угловые коэффициенты этих прямых связаны соотношением: = − . Угловой коэффициент прямой равен = − , следовательно, = . Уравнение искомой прямой примет вид: = + . Найдем параметр . Прямая проходит через точку , т.е. координаты точки обращают уравнение прямой в тождество: 8 = (1) + или = . Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид: = + . 4. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов: × = | = −1 8 0 = 11 , −2 5 0 | = √11 = ед . × 5. Длину высоты, опущенной из вершины на сторону , найдем по формуле | | ℎ= , √ где + + = 0 – уравнение стороны , ( , ) - координаты точки . | ∙ | ∙ ℎ= = . ( ) √ 6. Составить уравнение линии, расстояние от каждой точки которой до точки (−1,0) вдвое меньше расстояния до прямой = −4. 26 Решение. Пусть ( , ) – произвольная точка искомой кривой. ( , ) до точки (−1,0) равно Расстояние от точки ( + 1) + . Расстояние от точки ( , ) до прямой = −4 равно | | √ = | + 4|. По условию задачи запишем равенство: 2 ( + 1) + = | + 4|. Возведем обе части равенства в квадрат и преобразуем полученное равенство: 4(( + 1) + ) = ( + 4) , 4 +8 +4+4 = + 8 + 16, 3 + 4 = 12. Разделим обе части равенства на 12, получим каноническое уравнение эллипса: + = 1. 7. Даны координаты вершин пирамиды : (2, −3,1), (−1, −4,2), (4, −1,2), (3, −4,2). Требуется: 1. Найти длину ребра . 2. Составить уравнение прямой . 3. Составить уравнение плоскости . 4. Найти площадь грани , используя векторное произведение векторов. 5. Найти длину высоты, опущенной из вершины на грань . 6. Найти объем пирамиды, используя смешанное произведение векторов. 7. Найти угол между ребрами и . 8. Найти угол между ребром и гранью . Решение. 1). По координатам вершин пирамиды находим вектор = (−1 − 2) + (−4 + 3) + (2 − 1) = −3 − + . Длина этого вектора, т.е. длина ребра равна | | = (−3) + (−1) + 1 = √11. 2). Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид = = , где ( , , ) – координаты точки , ( , , ) – координаты точки . Таким образом, получим уравнение прямой 27 = ( ) ( ) = , = = . 3). Уравнение плоскости можно найти как уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки − − − − − − = 0, − − − где ( , , ) – координаты точки , ( , , ) – координаты точки , ( , , ) – координаты точки . Построим и найдем определитель −2 − (−3) −1 −1 − 2 −4 − (−3) 2 − 1 = 0, 4 − 2 −1 − (−3) 2 − 1 −2 +3 −1 −3 −1 1 = 0, 2 2 1 −( − 2) + 2( + 3) − 6( − 1) + +2( − 1) − 2( − 2) + 3( + 3) = 0, −3 + 5 − 4 + 25 = 0. 4). Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов: × = −3 −1 1 = −3 + 5 − 4 . 2 2 1 √ |= = | × (−3) + 5 + (−4) = ед . 5). Длина высоты, опущенной из вершины на грань , равна расстоянию от точки до плоскости | | = , √ где ( , , ) – координаты точки , уравнение плоскости . Получим = | ∙ ∙( ( ) ) | ∙ ( ) = √ + = + √ + =0 – . 6). Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах , и . Вектор имеет координаты = − + . 28 Объём параллелепипеда равен модулю смешанного произведения векторов, на которых построен параллелепипед. Используя это свойство, в нашем случае, имеем −3 −1 1 = 2 2 1 = −12, 1 −1 1 пир = |−12| = 2 ед . 7). Скалярное произведение векторов и находим как сумму произведений соответствующих координат векторов ∙ = (−3) ∙ 2 + (−1) ∙ 2 + 1 ∙ 1 = −7, а косинус угла между ними – по формуле ∙ |∙| =| | = ( ) ( ) =− √ √ . Это и есть косинус искомого угла между ребрами и . 8). Синус угла между прямой , заданной уравнением ( ) = = или = = , и плоскостью , за( ) данной уравнением −3 + 5 − 4 + 25 = 0, равен | + + | = = + ∙ + + √ + = | ( ) ∙ ∙( ( ) ∙ ) ∙ | ( ) = √ = √ . 8. Найти координаты точки пересечения прямой = = с плоскостью 3 − + 2 + 5 = 0. Решение. Приведем канонические уравнения прямой к параметрическому виду: = = = или =1+2 , = −2 + , =2+ . Подставим , , в уравнение плоскости и найдем значение параметра : 3(1 + 2 ) − (−2 + ) + 2(2 + ) + 5 = 0, = −2. Из параметрических уравнений прямой найдем координаты точки пересечения: 29 = 1 + 2(−2), = −2 + (−2), = 2 + (−2), = −3, = −4, = 0. Введение в математический анализ 9. Найти указанные пределы. Элементарными приёмами раскрытия неопределённостей являются: 1) сокращение на множитель, создающий неопределённость; 2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (в отношении многочленов при → ∞); 3) использование двух замечательных пределов: ( ) lim ( )→ ( ) = 1, lim → 1+ = . Решение. а). lim → . Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости вида . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на . В результате, поскольку при → ∞ функции и являются бесконечно малыми, получим: lim → = lim → б). lim → =− = −3. . Решение. Имеем неопределённость вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: числитель – по формуле сокращённого умножения − = ( − )( + ), а знаменатель – по формуле разложения квадратного трёхчлена на множители + + = ( − )( − ). ( − 3)( + 3) −9 lim = lim = → → ( + 3)( + 4) + 7 + 12 = lim → = = −6. в). lim → √ √ √ . Решение. Имеем неопределённость . Дополним числитель и знаменатель до разности квадратов ( − )( + ) = − . 30 Получим lim → √ = lim → √ √ ( )(√ = lim → ( )(√ г). lim → ( ) (√ )(√ (√ √ )(√ ( √ ) = lim → ( ) )(√ √ ) = ) √ )(√ )(√ √ ) √ = . )(√ ) . Решение. Для раскрытия неопределённости вида используем метод замены бесконечно малых функций эквивалентными функциями. Так как при → 0 8 ~8 , ( 2 ) = 2 ∙ 2 ~2 ∙ 2 = 4 , следовательно, находим ∙ lim → ( = lim → = 2. ) д). lim → (ln( + 2) − ). Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов и вторым замечательным пределом: +2 2 lim ( ( + 2) − ) = lim = lim 1 + = → → = lim → → 1+ 1 = = 2. 2 10. Найти точки разрыва функции: , при ≤ −1, 1 ( )= 2 , при − 1 < ≤ 6 , , при > 6 . Решение. В интервалах ≤ −1, −1 < ≤ 6, > 6 функция задана непрерывными аналитическими функциями. Исследуем граничные точки этих интервалов: = −1, = 6. Найдем односторонние пределы, а также определим значения функции в этих точках. lim → ( ) = lim → = −1, 1 1 lim → ( ) = lim → 2 = 2, (−1) = −1. Следовательно, в точке = −1 заданная функция имеет разрыв первого рода – скачок. Найдем односторонние пределы функции слева и справа в точке = 6: 31 1 2 = 2, 1 lim → ( ) = lim → = 1 2, 6 = 2. В точке = 6 функция непрерывна, так как выполняется условие непрерывности lim → ( ) = lim → ( )= 6 . lim → ( ) = lim → 1 Дифференциальное исчисление функций одной переменной 11. Найти производную данных функций. Решение. Для вычисления производных надо знать лишь правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций. Правила дифференцирования 1) ( ± ) = ± ; 2) ( ) = + , в частности ( ) = ; 3) 4) 5) = = = ; ∙ , если = ( ), = ( ); , если = ( ), = ( ). Таблица производных 1) = 0; 2) ( ) = ∙ , в частности √ = ∙ ; √ 3) ( ) = ∙ , в частности ( ) = ∙ ; ) = ∙ ; 4) (log ) = ∙ , в частности ( ) = 5) ( ∙ ; ) = − 6) ( ∙ ; ( ) 7) = ∙ ; 8) ( ) =− 9) ( ) = 10) ( ) =− 11) ( ) = 12) ( ) =− ∙ ; ∙ √ ; ∙ √ ∙ ; ; ∙ . 32 а). = + √ +8 . При нахождении производной применим правило дифференцирования сложной функции и свойства производной: = + √ +8 =6 + √ +8 =6 + √ +8 ∙3 + √ +8 + = . б). = 3 . Применяя правило дифференцирования сложной функции и формулу производной показательной функции, получим: в). = 3 =3 ∙ = ln . 3∙ =3 ∙ 3 ∙ 4 ∙ (−2) . Воспользуемся свойствами логарифмов и предварительно упростим функцию: = (ln(3 + 1) − ln( = ln Далее находим производную: 3 = (ln(3 + 1) − ln( 4 ( ) ( ) = − = + 1)) + 1)) = − . г). = . √ Находим производную частного двух функций: ( ) ∙ ∙√ ∙ = . д). = (2 ) . Производная показательно-степенной функции равна: ( ) = ∙ ∙ + ∙ ∙ . Применяя эту формулу, получим = 3 ∙ (2 ) ∙ (2 ) + (2 ) ∙ 2 ∙( 3 ) = = 3 ∙ (2 ) ∙ 2 + (2 ) ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3. 12. Найти производную Решение. неявной и параметрической функций. 33 а). − = 6. Функция задана неявно. Для того чтобы найти , продифференцируем обе части равенства по , считая функцией от , а затем, разрешим уравнение относительно : ∙ (3 + 2 ) − ∙ = 0, ∙ (3 + 2 ) − ∙ = 0. Отсюда находим = . = 4 + 2 + 4, = 2 + 2 + 8. Функция аргумента задана параметрическими уравнениями. Для производной функции, заданной параметрически, справедлива формула: б). = . Тогда получим ( ) = ( ) = . 13. Составить уравнения касательной и нормали к кривой = 2 + 5 + 7 в точке = −2. Решение. Уравнение касательной к графику функции = ( ) в точке ( , ) имеет вид = ( )( − ) + . Уравнение нормали к кривой = ( ) в точке ( , ) имеет вид = − ( )( − ) + . Таким образом, получим уравнение касательной ( + 2) + 5, = (4 + 5)| = −3 − 1 и уравнение нормали = − ( + 2) + 5, = 34 + . 14. Найти предел функции, используя правило Лопиталя: ( ) а) lim → ; б) lim → . Решение. Используя правила Лопиталя получим: а) lim → = = lim → = lim → Повторно используем правило Лопиталя: ( ) ( ) lim → = lim → ( ) ( б) lim → ( ) ) = = lim → = ( ( . ) ) = 3; = 1. 15. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию = и построить ее график. Общая схема исследования функции и построения её графика: 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать функцию на симметричность, четность, нечетность, периодичность. 3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 4. Выяснить существование асимптот. 5. Исследовать на возрастание, убывание функцию, на экстремум. 6. Исследовать на выпуклость, вогнутость, на наличие точек перегиба. 7. Построить график функции. 1) Область определения: ∈ (−∞, 1) ∪ (1, ∞). 2) Функция не является чётной и не является нечётной. 3) Точки пересечения с осями координат: c осью : =0→ = 0 → = 0, c осью : = 0 → = 0. Следовательно, функция имеет одну точку пересечения с осями координат: (0,0). 4) График функции имеет вертикальную асимптоту: = 1, так как и наклонную асимптоту lim →± = ±∞, = + 1, так как 35 lim → ( ) = 1, lim − → = 1. 5) Находим производную и исследуем функцию на возрастание, убывание, на экстремум. Производная функции равна: = ( ) ( ) =( ( ) ) . Производная равна нулю при = 0 и при = 2. На интервалах (−∞, 0), (2, +∞) производная положительная и, следовательно, функция возрастает. На интервалах (0,1), (1,2) производная отрицательная и, следовательно, функция убывает. Функция имеет максимум при = 0 и минимум при = 2. 6) Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость, на перегиб. Для этого найдём вторую производную = ( ( ) ) = ( ) . Вторая производная ни в одной точке не равна нулю. На интервале (−∞, 1) вторая производная отрицательная, следовательно, функция выпуклая. На интервале (1, +∞) вторая производная положительная, следовательно, функция вогнутая. При переходе через точку = 1 направление выпуклости (вогнутости) меняется, но эта точка не является точкой перегиба, поскольку функция в ней не определена. По данным исследования строим график функции 36 = : Интегральное исчисление функций одной переменной 16. Найти указанные неопределённые интегралы. Решение. При интегрировании функций часто используются следующие свойства неопределенного интеграла. 1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла ∫ ( ) = ∫ ( ) . 2. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций: =∫ ( ) ±∫ ( ) . ∫ ( )± ( ) 3. Если ∫ ( ) = ( ) + , то ( )+ , ∫ ( ) = ∫ ( + ) = ( + )+ , где и − некоторые постоянные. Интегралы от простейших функций занесены в таблицу: 1. ∫ = + , = 2. ∫ + , ≠ −1, 3. ∫ = 2√ + , √ =− + , 4. ∫ 5. ∫ 6. ∫ 7. ∫ = + , = + , = | |+ , 8. ∫ = 9. ∫ =− + , + , = + , 11. ∫ = + , 12. ∫ = + , 13. ∫ = + , 10. ∫ 14. ∫ 15. ∫ 16. ∫ √ ± = =− | = | + ± |+ , |+ , 37 + , =− = 17. ∫ 18. ∫ 19. ∫ = + , + , + , 20. ∫ = + + . Основными методами интегрирования являются замена переменной (или метод подстановки) и интегрирование по частям. Способ замены переменной в неопределенном интеграле заключается в сведении интеграла к табличному виду путём введения новой переменной (подстановки) и преобразования подынтегрального выражения. В случаях, когда подынтегральная функция содержит тригонометрические, обратные тригонометрические, логарифмические, показательные функции, применяется формула интегрирования по частям: = −∫ . ∫ Часть подынтегральной функции принимают за , оставшуюся часть подынтегрального выражения обозначают за . Далее находят дифференциал , функцию и применяют формулу интегрирования по частям. Обычно выражение выбирается так, чтобы его интегрирование не вызывало особых затруднений. За , как правило, принимается такая функция, дифференцирование которой приводит к её упрощению. а). ∫ 4 + +8 . √ 2 4 + +8 = 4 + 2 + 8 = √ =4 3 +2 2 +8 + 5 б). ∫( + 3) . Применяем формулу интегрирования по частям: = −∫ . ∫ 38 = ( + 3) = 1 2 1 =− 2 + 3, = , =− = 1 2 1 ( + 3) − 4 ( + 3) + =− 1 2 = = + . в). ∫ . √ Преобразуем числитель, так чтобы одно слагаемое содержало производную квадратного трехчлена, а второе слагаемое было константой и разделим интеграл на два интеграла. 3 − (−2 + 6) + 13 3 +4 2 = = √− + 6 − 8 √− + 6 − 8 =− ∫ + 13 ∫ . √ ( ) Далее, в первом интеграле сделаем замену переменных: = − + 6 − 8, = (− + 6 − 8), = (−2 + 6) и получим табличный интеграл 3 −2 + 6 3 3 √ − =− =− ∙ + = 2 √− + 6 − 8 2 √ 2 1 2 = −3√− + 6 − 8 + . Во втором интеграле в подкоренном выражении выделили полный квадрат и свели к табличному интегралу 13 ∫ = 13 ( − 3) + . ( ) Окончательно, получим = −3√− + 6 − 8 + 13 ∫ √ г). ∫ ( )( ) ( − 3) + . . Интегрирование рациональных дробей, т.е. отношений двух многочленов ( ) и ( ) соответственно -й и -й степени ( ) ( )= , сводится к разложению подинтегральной функции ( ) ( ) на элементарные, всегда интегрируемые дроби вида 39 ( ) , ( ) , где и – целые положительные числа, а трёхчлен + + не имеет действительных корней. При этом, если рациональная дробь – неправильная, следует представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Заданная подинтегральная рациональная дробь является правильной, и она раскладывается на элементарные дроби ( )( ) = + . Для нахождения неопределенных коэффициентов простейшие дроби приводим к общему знаменателю и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях многочлена, стоящего в числителе исходной рациональной дроби, и многочлена в числителе полученной дроби. + + + + + +2 + = = ( + 2)( + 1) +2 +1 ( + )+ ( + )+( +2 ) = . ( + 2)( + 1) Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными, решая которую, найдем неопределенные коэффициенты , , : : 2= + , : −5 = + , : 8= +2 . = 5, = −3, = −2. Таким образом, ∫( )( ) +5 ∫ =∫ =− + | = −3 ∫ + 2| − √2 √ − 2∫ + + 5 | + 1| + . 17. Найти указанные неопределённые интегралы. Решение. а). ∫ √ √ . Сделаем замену переменной, положим √ = , откуда = =2 : 1 1 1 √ = 2 = − + = 1 + 2 2 22 +1 1 + 2√ 40 , √ |2 + 1| + = − + = − + 2√ + 1 + . б). ∫ ∙ 2 . Используя тригонометрическую формулу понижения степени, получаем: 1+ 4 ∙ 2 = ∙ = 2 = ∫ + ∫ ∙ 4 . Для нахождения второго интеграла воспользуемся формулой, преобразующей произведение в сумму: 1 1 + ∙ 4 = 2 2 1 1 ( 5 − =− + 3 ) = 2 4 =− − 5 + 3 + . 18. Вычислить определенный интеграл ∫ . Решение. Обозначим = , = , тогда = , =− . Используя формулу интегрирования по частям, получим = (− ∫ )| + ∫ = | = 1. 19. Исследовать сходимость несобственного интеграла ∫ Решение. Найдем несобственный интеграл, используя определение: 1+ = lim → = lim → ( = = lim 1+ → − | = 0) = . 20. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , = 2, = 1 (рис. 1). 41 = , 0 1 2 Фигура, ограниченная линиями = , = , = 2, =1 Решение. Искомую площадь фигуры найдем как разность площадей криволинейной трапеции, ограниченной линиями = , = 2, = 1, и криволинейной трапеции, ограниченной линиями = , = 2, = 1: = − . = =( = =( 3 3 8 1 7 − = кв. ед. 3 3 3 ) = ) =2− 1 3 = кв. ед. 2 2 = − = кв. ед. 42 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ................................................................................................. 3 Требования к результатам освоения дисциплины .............................. 3 Содержание дисциплины «Математика» ............................................ 4 Методика изучения дисциплины студентами заочной формы обучения ................................................................................................. 6 Правила выполнения и оформления контрольной работы ................ 8 Рекомендуемый библиографический список .................................... 10 Задания для контрольных работ......................................................... 10 Контрольная работа № 1 ..................................................................... 10 Контрольная работа № 2 ..................................................................... 16 Методические указания к решению типовых заданий..................... 21 43
