Лаб 1 Моисеев М

Лабораторная работа № 1
Определение вероятности события и определение вероятности попадания
случайной величины в заданный интервал значений
1.Вероятность совершения событий
1.1. Вероятность нескольких событий: Вероятность наступления хотя бы одного из
нескольких несовместных событий Р(А, В, С) равна сумме вероятностей этих
событий:
(A)+P(B)+P(C)
1.2. Вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий
Р(АВС) равна произведению их вероятностей:
P(ABC)=P(A)*P(B)*P(C)
1.3.
Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий (А, В)
равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их совместного
появления
P(A)+P(B)-P(АВ):
1.4. Вероятность одновременного наступления двух зависимых событий Р(АВ) равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:
P(АВ)=P(A)*P(B/А):
Задание 1:
А) На участке работают 3 буровых станка. Вероятность того, что в течение недели
станок не выйдет из строя, для первого станка равна 0,8, для второго - 0,6, для
третьего - 0,5.
Найти:
- вероятность того, что в течение недели ни один из трех станков не
остановится;
- вероятность того, что в течение недели хотя бы один из станков будет
работать бесперебойно.
Б) В рюкзаке находится 10 образцов, 3 из них содержат вкрапленность рудных
минералов.
Если вынуть подряд два образца, какова вероятность, что оба они «рудные»?
В) Алевролиты на площади работ входят в состав 3-х свит, где они составляют (в % от
объема) в 1 свите – X1 %; во 2 свите – Y1 %; в 3 свите – Z1 %. Доля этих свит в общей
площади распространения стратифицированных образований: 1 свита – X2 %; 2 свита
– Y2 %; 3 свита – Z2 %.
Какова вероятность того, что наугад взятый образец является
алевролитом из 1-й свиты?
Какова вероятность того, что наугад взятый образец не будет
алевролитом.
Варианты задания 1
№
пп
ФИО
Аитов Ратмир Наильевич
Амосова Елизавета Владимировна
Бережнова Дарья Денисовна
Гирн Маргарита Сергеевна
Гумённых Дарья Александровна
Жукова Арина Леонидовна
Класс Екатерина Викторовна
Клюев Алексей Александрович
Кононов Никита Александрович
Кузьмина Дарья Дмитриевна
Кучумов Вячеслав Игоревич
Лаптев Кирилл Александрович
Мавлютова Александра Макаров Сергей Михайлович
Моисеев Михаил Иванович
Никитин Егор Игоревич
Нурахметов Александр Пугачев Матвей Антонович
Строкатова Екатерина Дмитриевна
Топоровский Евгений Евгеньевич
Хлобыстин Никита Николаевич
Хотьков Дмитрий Евгеньевич
Шенцева Анастасия Александровна
X1
Y1
20
15
25
40
18
10
30
35
16
40
70
25
30
12
17
32
42
28
45
26
34
16
25
40
35
40
55
60
25
45
15
25
55
20
35
25
50
40
55
24
35
30
28
15
40
35
Z1
X2
Y2
Z2
35
20
15
60
40
30
40
30
20
60
25
50
20
30
25
18
32
30
44
15
28
30
55
10
15
5
20
15
10
30
40
35
25
15
20
60
55
30
45
15
18
28
35
50
25
45
30
20
30
25
40
25
10
20
15
50
15
45
20
15
25
20
25
40
35
27
5
35
30
60
65
65
55
45
65
60
40
50
25
70
35
20
30
45
35
60
42
37
38
45
40
25
1) X1*X2=0.17*0.3=0.051
2) 1-(X1*X2+Y1*Y2+Z1*Z2) = 1-(0.17*0.3+0.4*0.25+0.25*0.45) = 0.7365
2. Определение вероятности попадания случайной величины в заданный интервал
значений
Функция распределения случайной величины в общем виде может быть выражена
следующим образом
x
F (x) =
 f ( x)  dx .

Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от А до В равна
B
Р ( А  ξ < В ) = F(B)-F(A) =
 f ( x)  dx .
A
Для стандартного нормального распределения функция имеет вид:
F(t) =
1
2
t

t2
2
 e dt

Этот интеграл определяет вероятность попадания случайной величины в интервал
от -  до t,. Чтобы определить вероятность попадания случайной величины в интервал от
А до В, необходимо вначале нормировать границы интервала:
A  Mx
B  Mx
t1 =
, t2 =
, а затем найти соответствующие значения F(t) в


таблице и вычислить искомую вероятность:
Р= F(t2) - F(t1).
Рис. 1 Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал значений:
F(В) = Р( х < В ); F(А) = Р( х < А); Р( А  x < В)=F(В)-F(А).
Если А и В расположены симметрично относительно Мх , то задача упрощается:
находим t= t1 = t2 и определяем по таблице Ф (t ) искомую вероятность: Р = Ф(t).
Рассмотрим простейший пример:
На одном из золоторудных тел установлено, что среднее содержание золота
составляет 7,5 г/т при σ = 3,5. Какова вероятность того, что в наугад взятом образце
содержание золота будет колебаться от 11 до 18 г/т.
Ход решения:
t1 =
11  7,5
18  7,5
= 1; t2 =
= 3;
3,5
3,5
Р = F( t2) - F(t1) = 0,9986 - 0,8414 == 0,1572.
Это означает, что в каждых 15-16 пробах из 100 наугад взятых из данного рудного
тела содержание золота составит от 11 до 18 г/т.
Таблица 1
Некоторые значения функций, связанных с нормальным распределением
t
-4,0
-3,5
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
f(t)
0,0001
0,0009
0,0044
0,0175
0,0540
0,1295
0,2420
0,3521
0,3989
F(t)
0,00003
0,0002
0,0014
0,0062
0,0228
0,0668
0,1586
0,3085
0,5000
Ф(t)
t
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
f(t)
0,352
0,242
0,129
0,054
0,017
0,004
0,001
0,000
F(t)
0,6915
0,8414
0,9332
0,9772
0,9938
0,9986
0,9998
0,9999
Ф(t)
0,3829
0,6827
0,8664
0,9545
0,9878
0,9973
0,9995
0,9999
0,0
Искомая вероятность может быть вычислена также с использованием программы
STATISTICA. При этом нормировать распределение не нужно, законы распределения
также могут быть различными (рис. 2).
Рис. 2. Определение вероятности в программе STATISTICA
Задание 2:
1. Какова вероятность того, что в наугад взятой на месторождении пробе
содержание меди превысит 2,0 %, если среднее содержание меди (𝑥̅ ) равно 1,7 %,
среднеквадратическое отклонение (S) равно 0,3 %. Распределение содержаний меди
соответствует нормальному закону.
2. Определить, какая часть угольного пласта пригодна к отработке, если средняя
мощность пласта 𝑥̅ = 1,65 м, S = 0,3 м, минимальная промышленная мощность 1,0 м.
Распределение мощностей соответствует нормальному закону.
3. Разведано 2 месторождения песка. Гранулометрический состав песков на этих
месторождениях следующий:
1) средний размер зерен 𝑥̅ 1 = 0,4 мм, S1 = 0,15 мм;
2) 𝑥̅ 2 = 0,38 мм, S1 = 0,05 мм.
Какое из двух месторождений пригодно для отработки, если, по требованиям
промышленности, 70 % всех зерен должно иметь размеры 0,40,1 мм?
1. 0,747507 - 0,252493 = 0,495014
2. 0,991802 - 0,054799 = 0,937003
Разрабатывать можно второе месторождение