Н. И. ФИРСТОВА ЭСТЕТИЧЕСКОЕ ВОСПИТАНИЕ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ Учебное пособие Москва 2013 УДК 372 ББК 74.262.21 Ф627 Рецензенты: Л. И. Боженкова, доктор пед. наук, профессор кафедры ТМОМ математического факультета МПГУ С. И. Кийко, кандидат пед. наук, учитель математики ГБОУ СОШ № 1179 г. Москва Ф627 Фирстова Н. И. Эстетическое воспитание при обучении математике в средней школе: Учебное пособие. – М.: Прометей, 2013. – 128 c. В данном учебном пособии представлены пути реализации эстетического воспитания учащихся на уроках математики в средней школе. Пособие адресовано не только преподавателям математики, школьникам и студентам педагогических вузов, но и несравненно более широкому кругу читателей, размышляющих или желающих поразмыслить над проблемами общего и специфического в различных областях человеческого знания. На простых примерах показано, что единое восприятие мира, казалось бы, безнадежно утраченное с возникновением узкоспециализированных областей науки и искусства, в действительности обрело лишь новую форму: за внешним различием кроются по существу тождественные структуры и понятия. В авторской редакции ISBN 978-5-7042-2469-3 © Н. И. Фирстова, 2013 © Издательство «Прометей», 2013 Содержание Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Глава I. Эстетическое воспитание на уроках математики как педагогическая проблема . . . . . 8 1. Методологические основы эстетического воспитания в средней школе. Место уроков математики в общей структуре школьных программ, предусматривающих эстетическое воспитание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Психолого-педагогические основы эстетического воспитания на уроках математики в V-XI классах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. Возможности математики для развития эстетического воспитания школьников на уроке и вне урока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Глава II. Методика формирования эстетического восприятия на уроках математики . . . . . . . . . . . 26 1. Пути эстетического воспитания школьников в процессе обучения математике. . . . . . . . . . . 26 1.1. Эстетико-педагогические возможности использования художественной литературы на уроках математики . . . . . . 26 1.2. Сатирико-юмористическая литература как эстетический аналог парадокса и остроумия в решении математических задач . . . . . . . 34 1.3. Использование приемов живописи (цвета) как эстетизирующего элемента урока математики и способа решения задач . . . . 38 1.4. Возможности театрализации на уроке математики как эстетико-педагогические средства развития воображения и смекалки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 СОДЕРЖАНИЕ 1.5. Эстетико-педагогический потенциал задач на разрезание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.6. Обновление текстовых задач школьного курса математики как элемент мотивации обучения.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.7. Использование учебно-познавательной информации для активизации процесса обучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.8. Использование функционального метода для решения уравнений и неравенств . . . . 54 2. Система творческих заданий, ориентированная на формирование эстетического восприятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4 ВВЕДЕНИЕ На всех этапах развития педагогической теории и практики особое место отводилось гармоническому развитию личности обучаемого. Эту задачу педагоги пытаются решить на уроках разных циклов, среди которых ведущую роль играют гуманитарные дисциплины (литература, история и др.). Точным наукам такая роль традиционно отводилась очень редко. В последние же годы, исходя из новых общественных условий и задач, школа в процессе комплексного гармонического воспитания учащихся наряду с гуманитарными стала активнее использовать и точные науки. Так ученые-педагоги все больше обращаются к исследованиям проблем межпредметных связей на уроке и вне урока, проблем использования эстетического и нравственного потенциала разных школьных предметов, в т.ч. и математики – одного из древнейших направлений в науке. В эстетическое воспитание учащихся каждый предмет вносит свою лепту, и каждый имеет свои определенные функции. Математика обладает рядом исключительных особенностей, способствующих формированию эстетического сознания. Ее отличают не только характерная для всей математики логическая стройность, но и образность, свойственная искусству. Наличие творческих и в это же время доступных для ученика задач открывает широкие возможности для творческой деятельности школьников. Несомненно, что и эстетическое воспитание в процессе обучения математике должно проводиться с учетом этих основных качеств данного предмета. Выявление особенностей математики, способствующих формированию эстетического сознания учащихся, и разработка соответствующей методики является одной из важных проблем методики обучения математики, еще не получивших полного решения. На наш взгляд, важный вклад в разработку проблем взаимосвязи математики и эстетики внесли Б. Варга, А. В. Волошинов, Ю. Демень, А.Кондратов, А. Н. Кол5 ВВЕДЕНИЕ могоров, К. Левитин, Э. Лопариц, М. А. Марутаев, У. Сойер, В. А. Тадеев, Л. В. Тарасов, И. Ш. Шевелев, И. П. Шмелев и другие. Возможностям использования уроков математики в процессе эстетического воспитания школьников посвящены педагогические исследования В. Г. Болтянского, И. Г. Зенкевича, Л. Клинберга, О. А. Кобалия, Н. Ляпина, В. Л. Минковского и других. К сожалению, даже эти работы не определяют основ единой педагогической и методической системы деятельности школы с предметами математического цикла для эстетического воспитания учащихся. Систематическому исследованию проблемы эстетического воспитания в процессе преподавания математики посвящены три кандидатские диссертации – работы В.Т. Ковешникова (1969), И.Г. Зенкевича (1971) и О.А. Кобалия (1985). В этих работах довольно детально рассматривается эстетическое значение математического материала, его взаимосвязь с различными видами эстетического творчества. Основной акцент в работах В.Т. Ковешникова и И.Г. Зенкевича делается на внеурочное время. Предлагаемые формы работы имеют по преимуществу пассивно-созерцательный характер (беседы учителя с учениками о различных закономерностях математики, проявляющихся в природе и используемых в искусстве, математические вечера и т.д.). Работа О.А. Кобалии посвящена эстетическому воспитанию при обучении геометрии. В данном исследовании наряду с формами, используемыми В.Т. Ковешниковым и И.Г. Зенкевичем, предлагает разнообразить список задач школьного учебника по геометрии задачами с так называемым “красивым” решением. Основным средством обучения математике являются, как известно, задачи. Поэтому представляется, что эстетическое воспитание в процессе обучения математике целесообразно проводить, опираясь в первую очередь именно на решение задач. 6 ВВЕДЕНИЕ Такая точка зрения согласуется с пересмотром характера действенности эстетического воспитания, происшедшим в последние годы. Большинство эстетиков и педагогов отказались от созерцательного взгляда на эстетическое воспитание в пользу его активно-действенного понимания. Проведение эстетического воспитания в единстве, во взаимосвязи с процессом обучения стало рассматриваться как необходимое условие успешного усвоения программного материала. Говоря об эстетическом воспитании, подразумевают, что развитие творческих способностей является его составной частью. Напрашивается вывод о необходимости перенесения основного центра тяжести по эстетическому воспитанию при обучении математике на сам процесс математической деятельности школьников. Проблема нашего исследования заключается в определении и обосновании путей повышения действенности эстетического воспитания на уроках математики. Исходя из вышесказанного, мы определяем актуальность проблемы выявления эстетических начал в математике на протяжении всего курса обучения школьников (V-XI кл.) и разработки основ педагогической и методической системы их реализации в практике школы. Ибо само по себе эстетическое воспитание на уроках математики не только повышает эффективность ретрансляции математических знаний, но и развивает иррациональную составляющую математических способностей – интуицию. 7 Глава I. ЭСТЕТИЧЕСКОЕ ВОСПИТАНИЕ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ КАК ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА 1. Методологические основы эстетического воспитания в средней школе. Место уроков математики в общей структуре школьных программ, предусматривающих эстетическое воспитание Современный этап характеризуется резко возросшим вниманием к человеку как средоточию решающих движущих сил социального прогресса. «Стратегическим ориентиром» воспитания человека становится формирование «всесторонне развитой личности», центральным звеном этого процесса – школа. Понимание исключительности духовно-практического освоения мира с точки зрения воспитания гармоничного человека восходит к философской идее о том, что универсальная человеческая деятельность и конструирование мира по законам красоты есть явления однопорядковые. «... человек умеет производить по меркам любого вида ... в силу этого человек строит также и по законам красоты». Если же человек творит «по законам красоты», то не должен ли он творить по эстетическим законам и в том случае, когда речь идет о формировании человека? Связь постановки педагогических и особенно дидактических проблем с эстетическими в такой же степени элементарна, изначальна, что лишь с трудом можно найти объяснения огромному дефициту эстетики в современном педагогическом и дидактическом мышлении. 8 ГЛАВА 1 В контексте постановки проблем педагогики и дидактики эстетический аспект присутствует, прежде всего, как компонент цели. Развитие эстетических возможностей, способностей и чувств человека, формирование эстетических ценностей имеют огромное значение для общего формирования личности. «Эстетическое воспитание есть воспитание способности наслаждаться действительной красотой жизни во всем ее многообразии, есть потребность в творческом труде на благо общества и стремлении к гармоническому развитию всех способностей». [101]. Недооценка эстетического компонента процесса воспитания или пренебрежения данным компонентом, отказ от использования эстетических средств ведут к значительным потерям в педагогическом содержании и эффективности обучения, а также в не учебного воспитания. Эстетическое, как компонент содержания присутствует в дидактическом процессе в нескольких аспектах, порождающих два комплекса проблем. Первая проблема связана с дидактическим членением художественного предмета и тем самым с проблемой специфики эстетических процессов усвоения в области художественной литературы, музыкального обучения, искусствоведения. Вторая проблема касается дидактической значимости предметов, в основе своей эстетики не акцентированных. Анализ школьных программ по математике в V-XI классах показал, что ясно выраженные цели эстетического воспитания не являются составной их частью. Как компонент содержания эстетическое присутствует не только в художественном произведении; эстетические моменты и акценты есть в содержании обучения всем дисциплинам и должны быть выделены дидактически. Если эстетичность – компонент, в целом присущий дидактическому и общепедагогическому процессу, то право выражения данного компонента не следует остав9 ГЛАВА 1 лять только за художественно-эстетическими дисциплинами. Необходимо подчеркнуть законность и педагогическое значение эстетической точки зрения, эстетической оценки и эстетического переживания для всех дисциплин обучения, а, следовательно, и для таких которые в основном ориентируются не на эстетическое содержание и методы, а на процесс научного познания. Эстетическое воспитание в условиях единства компонентов цели и содержания нельзя совместить с упрощенным взглядом на искусство и литературу как разновидность гарнира с особой приправой или украшения педагогического или дидактического блюда. Эстетическое воспитание как принцип обучения должно оперировать эстетическим восприятием и суждением на всех предметах обучения. Оно же требует эстетической организации окружающего мира, раскрывающегося перед учеником как школьный мир. Своеобразие эстетической «материи» вызывает необходимость такого метода и стиля обучения, которые соответствовали бы специфике эстетико-художественного процесса усвоения. В настоящее время художественно-эстетические учебные дисциплины еще в значительной степени не реализуют возможностей педагогического воздействия, т.к. специфика эстетического процесса усвоения учитывается далеко не всегда. Тесно связана с эстетическим воспитанием в процессе обучения проблема эстетики дидактического процесса, находящаяся на другом логическом уровне. Процесс обучения обладает собственной красотой. Эстетика процесса обучения берет свое начало в его логике, в дидактическом отношении между преподаванием и учением, имеющим гуманистическую целевую ориентацию, направленную на усвоение научного и эстетического содержания обучения. Следовательно, эстетику обучения не надо «изобретать»; она свойственна постановке дидактической проблемы. 10 ГЛАВА 1 Педагогическая эффективность процесса обучения в большей степени зависит от выраженности его эстетического компонента: эстетический компонент-явление вполне естественное, ибо обучение должно быть сформировано как процесс, процесс творческого взаимодействия между учителем и учениками, несущий в себе элементы процесса создания художественной формы. Эстетическими аспектами процесса обучения, в частности, являются: отношение между содержанием и формой обучения и проблема дидактического объема получаемых знаний; дидактическая ритмика процесса обучения и его дидактическая направленность; пропорциональность «звеньев» процесса обучения (например: правильные соотношения объема дидактических функций передачи новых знаний и навыков и дидактических функций закрепления усвоенного); «композиционные», «архитектурные» и «драматургические» черты в организации урока; художественно-языковая структура речи учителя и ее коммуникативные возможности (например, рассказ учителя, диалог) и др. Каждый школьный урок представляет собой дидактическое единство, нечто относительно целое, оформленное и замкнутое в себе. В построении урока присутствуют красивые и менее красивые решения. Дидактическое поурочное структурирование предусматривает не только научную проницательность и педагогическое мастерство, но и аппарат для своей пропорциональности и гармонии, ритма и напряженности, интонации и музыкальности, одним словом, для собственной эстетики. Хороший школьный урок должен соответствовать как принципам научности (педагогики, дидактики, психологии), так и принципам эстетики. В этом смысле дидактика есть одновременно теория обучения и «учение об искусстве» обучения. В центре внимания эстетизации школьного урока находится вопрос о том, что может превратить обучение в событие, представляющее для учеников эстетическую ценность, что должно произойти в дидактическом пла11 ГЛАВА 1 не, чтобы обучение воспринималось как красивое и производило глубокое эмоциональное воздействие. Регулирование в области обучения осуществляется, прежде всего, путем стимулирования деятельности учеников под влиянием учителя. Поэтому в обучении выделяются методы стимулирования и мотивации учебной деятельности (методы предъявления требования, разъяснения значимости учения, использования познавательных игр, учебных дискуссий, эмоциональных ситуаций и др.). Стимулируют учение, конечно, и другие методы, но названные специально предназначены для этой цели. Такой подход соответствует взглядам современной психологии. К числу основных процессуальных элементов деятельности психологи относят мотив деятельности. Целостный цикл деятельности немыслим без способов стимулирования и мотивации. В работе выделены три группы методов, применяемых в завершенном цикле обучения. Одна из них – группа методов стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности (благодаря им обеспечиваются важнейшие функции регулирования учебной деятельности, ее познавательной, волевой и эмоциональной активизации). Стимулирующее влияние педагога ведет к развитию мотивации учения у школьников, т.е. внутреннего стимулирования учения. Без наличия одной из трех групп методов целостный акт обучающей деятельности не может оказаться оптимально эффективным с точки зрения образовательных, воспитательных и развивающих результатов. Стимулирующе-мотивационный компонент создает благоприятные возможности для успешного проведения учебных действий и операций, последние создают базу для контроля и оценки и сами нуждаются в контрольнооценочных действиях, чтобы лучше приспосабливаться к меняющимся в ходе обучения ситуациям. В группе методов стимулирования и мотивации учения выделяются подгруппы, исходя из наличия двух 12 ГЛАВА 1 больших видов учения – мотивов интереса и мотивов долга: 1) методы стимулирования и мотивации интереса к учению; 2) методы стимулирования и мотивации долга и ответственности в учении. При организации деятельности учащихся на факультативе, в кружках и на уроке мы опирались на следующие выводы ученых: 1) процесс обучения невозможен без наличия у учащихся определенных мотивов деятельности. Об этом указывают и многие педагогические работы Шамовой Т.И.; 2) многолетняя практика обучения выработала целый ряд мотивов, назначение которых состоит в стимулировании и мотивации учения при одновременном обеспечении усвоения нового материала. Стимулом психологи называют внешнее побуждение человека к активной деятельности. Поэтому стимулирование – это фактор деятельности учителя. Но стимул лишь тогда становится реальной, побудительной силой, когда он превращается в мотив, т.е. во внутреннее побуждение человека к деятельности. В учебном процессе очень важно добиться, чтобы педагогические стимулы превращались в положительные мотивы, обеспечивающие желание и активность учеников в овладении новым учебным материалом. В самом названии «МС и М» находит отражение единство деятельности учителя и учащихся: стимулов учителя и изменения мотивации школьников. Анализ педагогической и методической литературы показывает, что мотивы учения подразделяются на две большие категории. Одни из них связаны с содержанием самой учебной деятельности и процессом ее выполнения; другие – с более широкими взаимоотношениями ребенка с окружающей средой. К первым относятся познавательные интересы детей, потребность в интеллектуальной активности и овладении новыми умениями, навыками и знаниями; другие связаны с потребностя13 ГЛАВА 1 ми ребенка в общении с людьми, в их оценке и одобрении, с желаниями ученика занять определенное место в системе доступных ему общественных отношений. (Л.И.Божович). Для того чтобы сформировать мотивы учебной деятельности, используется весь арсенал методов организации и осуществления учебной деятельности – словесные, наглядные и практические методы, репродуктивные и поисковые методы, индуктивные и дедуктивные методы, а также методы самостоятельной работы или работы под руководством учителя. Психологи единодушны в выделении двух основных мотивов учения: 1) мотивов познавательного интереса; 2) мотивов общественного плана. В первую из них входят методы формирования познавательных интересов у учащихся, во вторую – методы, преимущественно направленные на формирование чувства долга и ответственности в учении. В педагогике и методиках преподавания давно уже сформировалось мнение, что и при подходе к изучению темы надо специально поработать над тем, чтобы вызвать у учеников интерес к ее изучению. В свое время активно применялись для этого термины «интегрирующее начало урока», «эмоциональная завязка урока», «активизация внимания к новой теме» и др. Специальные исследования (Г. И. Щукина, В. С. Ильин), посвященные проблеме формирования познавательного интереса, показывают, что интерес во всех его видах и на всех этапах развития характеризуется, по крайней мере, тремя обязательными моментами: 1) положительными эмоциями по отношению к деятельности; 2) наличием познавательной стороны этих эмоций; 3) наличием непосредственного мотива, идущего от самой деятельности. Отсюда следует, что в процессе обучения важно обеспечивать возникновение положительных эмоций по 14 ГЛАВА 1 отношению к учебной деятельности, к ее содержанию, формам и методам осуществления. Эмоциональное состояние всегда связано с переживаниями, душевными волнениями и др. К процессам внимания, запоминания, осмысливания в таком состоянии подключаются глубокие внутренние переживания личности, которые делают эти процессы интенсивными и оттого более эффективными в смысле достигаемых целей. Одним из методов эмоционального стимулирования учения можно назвать метод стимулирования занимательностью – введение в учебный процесс занимательных примеров, парадоксальных фактов. В роли методов, стимулирующих интерес к учению, выступает и метод занимательных аналогий, которым мы активно пользуемся при эстетическом воспитании учащихся. Названные методы позволяют активизировать и эмоциональную сферу школьников. Эмоциональные переживания вызываются созданием эффекта удивления. Примером метода стимулирования является метод сопоставления научных и житейских толкований отдельных явлений. Для создания эмоциональных ситуаций в ходе уроков большое значение имеет художественная яркость, эмоциональность речи учителя. Без всего речь учителя, конечно, остается информативно полезной, но не реализует в должной мере функцию стимулирования учебно-познавательной деятельности учеников. В этом еще раз проявляется отличие методов организации познавательной деятельности от методов ее стимулирования. Художественность, образность, яркость, занимательность, удивление, нравственные переживания вызывают эмоциональную приподнятость, которая в свою очередь возбуждает положительное отношение к учебной деятельности и служит первым шагом на пути к формированию познавательного интереса. Вместе с тем среди основных моментов, характеризующих интерес, фигурирует не просто возбуждение 15 ГЛАВА 1 эмоциональности, но наличие у этих эмоций собственно познавательной стороны, которая проявляется в радости познания. Как подчеркивают специалисты, создаваемые на уроке ситуации занимательности должны вызвать радость узнавания не побочно-ярких подробностей, деталей, а основных идей изучаемой проблемы. Эмоции должны вводить ученика в проблему, а не уводить от нее – в этом отличие подлинных познавательных эмоций от эмоций развлекательного, побочного характера. Основным источником интереса к уроку математики является, прежде всего, его содержание. Сам метод выступает в роли способа движения содержания. Для того чтобы содержание оказало особенно сильное стимулирующее влияние, оно должно отвечать целому ряду требований, сформулированных в принципах обучения (научность, связь с жизнью, системность, последовательность, комплексное образовательное и развивающее влияние и т.д.). Все это легло в основу процесса организации нашего исследования и деятельности школьников. Анализ программы по математике для средней школы (с V-XI кл.) показывает, что для эстетического воспитания не отведено ни одного часа. В методической науке доминирует рассудочное направление. Так, в программе по математике господствует терминология: «изучение», «усвоение», «осознание». Положение о необходимости развития чувств у школьников особо не выделено. Обучение ограничивается в основном областью знаний, умений и навыков, в массовой практике забота об эстетическом воспитании отсутствует. Легче добиться рассудочности, интеллектуальности, чем эмоциональности и связи чувства с интеллектом, без чего немыслимо эстетическое развитие школьника. Эстетизация урока математики невозможна без четкого определения тех программных математических понятий, которые можно связать с эстетикой, исходя из психолого-педагогических особенностей учащихся соответствующей возрастной группы. 16 ГЛАВА 1 Нами определен минимум таковых понятий с V по XI классы. Среди «стержневых»: понятие числа, понятие уравнения, понятие функции, тождественные преобразования, геометрические фигуры и их величины. Среди «этапных»: признаки делимости, площадь и ее свойства, последовательность, вектор, теорема, координаты, множество. К основным средствам эстетизации урока математики мы относим цвет, математические задачи в картинках, необычную информацию об известных понятиях, шутливые стихотворные миниатюры, обыгрывающие предмет математики. Среди форм работы наиболее предпочтительны инсценирование сюжетов из истории математики, диалоги на темы изучаемых теорем и математических действий; составление задач юмористического характера (по аналогии с задачами Г. Остера в «Ненаглядной математике»); работа с «Занимательной математикой» Я. И. Перельмана и др. Активно нами использовались и такие пути эстетизации, как внеклассные мероприятия (вечера, конкурсы и т.д.). Итак, главным в создании положительных мотивов обеспечивающих желание и активность учеников во владении учебным материалом по математике мы считаем последовательное введение в контекст программного материала системы творческих заданий, способствующих эстетизации урока математики, и использование эстетико-педагогических средств проведения урока. 2. Психолого-педагогические основы эстетического воспитания на уроках математики в V-XI классах Эстетическое воспитание школьников находится в непосредственной связи с их эмоциональным развитием. В общей теории эмоций считается, что эмоция возникает вслед за актуализацией мотива и до рациональной оценки субъектом своей деятельности [82]. Такая актуализация есть некоторое изменение в мотивационной 17 ГЛАВА 1 сфере, становление новых личностных смыслов. Эмоция сигнализирует о личностном смысле. Принцип прочности знаний требует, чтобы у учащихся сохранялись на длительное время систематизированные знания, умения, навыки. Это невозможно осуществить путем простого заучивания, без глубокого проникновения в изучаемый материал. Таким образом, одним из необходимых условий прочности знаний является сознательность усвоения. В педагогике математики известны некоторые общепедагогические положения, отражающие результаты психолого-педагогических исследований, а именно: а) запоминание находится в прямой зависимости от повторения; б) память имеет избирательный характер: запоминается преимущественно то, что для нас существенно, интересно; в) материал запоминается лучше, когда мотивом является его применение на практике; г) эмоционально окрашенный материал при прочих равных условиях запоминается лучше. Информация, возникающая при восприятии внешнего мира или содержащаяся в какой-либо мысли, и эмоциональный аккомпанемент к этой информации – отдельные стороны единого целого. Эмоциональный аккомпанемент необходим для передачи таких оттенков информации, которые чисто логическим путем непередаваемы. Эмоциональная окрашенность информации углубляет ее восприятие, делает это восприятие живым, позволяет ощутить отношение к ней и, следовательно, выработать ответную реакцию. Информация, лишенная эмоциональной окраски, мертва. Путем соединения информации с эмоциями в человеческом сознании, осуществляется целостный подход (синтез) внешнего, объективного воздействия с внутренним ощущением возможного или необходимого ответа на это воздействие. Не только накопление информации, но и накопление пережитых эмоций совершенствует интеллект и делает 18 ГЛАВА 1 его более сильным. Отсюда становится ясным одно из значений огромного эмоционального фона, содержащегося в произведениях поэзии, музыки и других искусств. Научные представления и философские истины – не только предмет понимания, но и предмет чувствования. Создатели научных концепций, особенно концепций мировоззренческого значения, не редко стремятся изложить свои идеи таким образом, чтобы логические построения дополнились передачей тех эмоций, которыми в их сознании окрашены эти построения. В одних случаях это достигается своеобразным сочетанием строго логического языка с образным поэтическим языком, а в других – строгое логическое изложение дополняется специальными страницами, предназначенными для эмоционального воздействия на реципиента. Без интуиции нет открытия, а без логики – достоверности. Эмоциональная окраска абстрактных схем и понятий науки существенна не только для передачи тех или иных оттенков информации, но и для научного поиска; будучи основой интуиции, эмоциональная окраска информации имеет творческое начало. Каким образом в мире абстрактных схем и идеализированных представлений возникает связь между «умственными эмоциями» и информацией, содержащейся в представлениях науки? Во-первых, абстрактные схемы и построения науки не произвольны, а с большей или меньшей точностью отображают картину реального мира. Поэтому в абстрактный мир научных представлений переносится опыт восприятия реального мира, в частности, интуиция, им воспитанная. Во-вторых, мыслительный процесс ученого, живущего в мире абстрактных схем и представлений науки, развивает в нем дополнительную интуицию, отражающую законы абстрактного мира и способную в нем работать. Итак, научная концепция, возникающая в сознании человека, состоит не только из логических построений, но и из эмоций, озаряющих эти построения. Без единс19 ГЛАВА 1 тва научного и художественного способов отражения и познания мира невозможно достичь прогресса в развитии личности. Объектом нашего исследования являются учащиеся V-XI классов, т.е. подростки и юношество. Разделяя эти возрастные категории, психологи исходят из основного качественного различия их, которое состоит в продвижении внутренней позиции юноши по сравнению с таковой у подростка, что вызвано, прежде всего, необходимостью самоопределения, серьезным и сознательным выбором жизненного пути у старшего школьника (Божович). Если подросток только начинает вовлекаться в процесс формирования устойчивых нравственных идеалов, то юноша, побуждаемый аффективным центром своей жизненной ситуации – альтернативностью форм самоопределения в системе социальной зависимости, находится на пути формирования целостного мировоззрения как системы взглядов на все значимые общественные институты – науку, политику, мораль, искусство, социальную жизнь и т.д. Такое расширение сферы контакта со средой делается возможным в результате развития эмоциональных чувствований» и становления мышления в понятиях, начинающих складываться еще в подростковом возрасте. «Образование понятий, – пишет Л. С. Выготский, – раскрывает перед подростком мир общественного сознания и приводит с неизбежностью к интенсивному развитию и оформлению «классовой психологии и идеологии», которые, совершенствуясь в юношеском возрасте, ложатся в основу новой формы общественного самосознания, характерного более или менее адекватным представлением о себе как личности в структуре ценностных ориентаций. Свойственные старшеклассникам философские искания, стремление быть полезными обществу, углубление и усложнение процесса самовоспитания на основе нравственного идеала – таковы наиболее существенные черты психологии юношеского возраста (см. исследования Л. С. Выготского, В. А. Крутецкого, Л. И. Божович и др.) 20 ГЛАВА 1 Таким образом, представленная нами в диссертационном исследовании система творческих заданий по математике удовлетворяет следующим положениям специалистов по возрастной психологии и психологии восприятия: 1. находится в прямой связи с процессом формирования мировоззрения и морального сознания учащихся старших классов (Божович); 2. через осознанную позицию автора – влияние на эстетическое, заинтересованное отношение к жизни «еще не преобразованной художественным творчеством» (Мелик-Пашаев); 3. сообщает новое, яркое знание, призванное лечь в основу активной жизненной позиции юношества (Якобсон); 4. имеет прямые выходы на формирование поведенческой сферы старшеклассников через необходимость осознанного выбора между идеей автора и идеей изображаемых им явлений (Выготский); 5. обогащает «эмоции материала» осознанием особых «эмоций формы» (Выготский); 6. воспроизводит вариант новой технологии школьного математического анализа (Эльконин). 3. Возможности математики для развития эстетического воспитания школьников на уроке и вне урока Важным фактором эстетического воспитания является красота научного познания мира. Эстетика науки вызывает у человека восторг перед гармонией мироздания, стремление глубже познать мир, проверить свои возможности. Человек, переживающий и понимающий эстетику математики, стремится решать познавательные задачи рационально и лаконично, думать упорядоченно и смело, искать новые и неожиданные пути. Результат этого – обогащение познавательного опыта, тренировка ума, развитие творческих способностей. Эстетика математи21 ГЛАВА 1 ки ставит человека перед необходимостью сознательно культивировать определенные качества собственного творческого мышления. Красота науки формирует воображение человека. В философских работах указывается, что вторжение в процесс научного познания такого эстетического элемента, как фантазия, неизбежно. «Напрасно думают, что она – фантазия – нужна только поэтам. Это глупый предрассудок! Даже в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии». Уровень эстетической воспитанности измеряется способностью человека понимать эстетические явления, анализировать и оценивать их, делать умозаключения. Анализ педагогической и методической литературы, наблюдения на практике наводят на мысль, что педагоги недостаточно раскрывают перед воспитанниками эстетику математики, не ориентируют их на изучение посвященной ей специальной литературы. А если ученикам чужда красота математики, они и не могут найти и оценить ее. Явно недостаточно упражняются школьники в поисках оптимальных решений познавательных задач. В своем учении о космической гармонии мыслители объявляли числа формирующей силой развития, абсолютизировали их и даже находили в них некий мистический смысл. Математическая наука, в которой они были, несомненно, сильны, была перемешана со сказкой, т. к. пифагорейцы не сделали еще действительного математического анализа мира. С каждым математическим знаком связывалось телесное представление и определенная пропорция. Речь шла о пластически представимых числах, имеющих свой рисунок, объем и некую структуру на общем фоне беспредельности. Математическая конструкция мира наполнялась плотью и кровью, отношения чисел обретали вид отношения вещей, математическая интерпретация природы становилась формой выявления ее эстетической сущности. 22 ГЛАВА 1 Великий французский математик Анри Пуанкаре в книге «Наука и метод» писал: «Если бы природа не была прекрасной, она не стоила бы того, чтобы ее знать, жизнь не стоила бы того, чтобы ее переживать. Я здесь говорю, конечно, не о той красоте, которая бросается в глаза ... я имею в виду ту более глубокую красоту, которая открывается в гармонии частей, которая постигается только разумом. Это она создает почву, каркас для игры видимых красок, ласкающих наши чувства, и без этой поддержки красота мимолетных впечатлений была бы не совершенна, как все неотчетливое и переходящее. Напротив, красота интеллектуальная дает удовлетворение сама по себе». Красота, о которой говорит Пуанкаре, – это не только отражение гармонии материального мира, это и красота логических построений. Под изяществом теории понимается остроумие аргументации, установление неожиданных связей, богатство и значительность заключений при минимальном числе правдоподобных предположений. Словом, то, что отражает красоту законов разума. Математика изучает все возможные геометрии пространства с произвольным или даже бесконечным числом измерений. Математическая ценность и красота этих результатов не зависит от того, какая именно геометрия осуществляется в нашем трехмерном мире. Один из удивительных видов красоты – это алгебра высказываний, или алгебра логики, позволившая анализировать законы и возможности логических заключений. Для восприятия красоты математики необходима сложнейшая работа мышления. Это в равной степени относится к познавательной деятельности любого человека. Наука выявляет величие реального мира, осмысливает его. Поиски гармонии в жизни понимаются как первостепенное свойство науки. Истина, выявленная в научном познании, прекрасна потому, что в ней заключена гармония природы. 23 ГЛАВА 1 И.Ф. Гончаровым было проведено наблюдение. На уроках математики фиксировались умения школьников: 1) замечать красивые (правильные, лаконичные, оригинальные) и некрасивые (беспорядочные, неряшливые, громоздкие) решения; 2) объяснять, в чем сущность красивых решений; 3) видеть красоту математических формул: симметричность, простоту; 4) воспринимать гармонию, взаимосвязь внешнего аппарата и внутреннего мысли; 5) овеществлять математические понятия, представлять математические выражения в виде реально воплощенных вещей; 6) реагировать на красоту математических фигур; 7) испытывать наслаждение в процессе математического мышления. В каждом классе оказалось не более 2-3 учеников, эстетически относящихся к математике. Наипервейшее условие для формирования эстетического отношения – это программный материал по математике, ориентирующий учеников на эстетику научного познания. Исключительное воздействие оказывает на учащихся знакомство с взглядами ученых на эстетику естественно-математических наук. Важен и исторический аспект в математике, сведения об этапах изучения того или иного понятия, о путях к открытию. В духовную жизнь школьников входят неизвестные им ранее факты эстетического характера из истории науки, из биографий ученых. Преподаватели математики учат видеть новое в обыденных явлениях. Новое научно-эстетическое видение привычных явлений увлекает их, пробуждает любознательность и стремление идти дальше по пути познания. Изучение наук открывает школьнику много нового, чего еще не было в его познавательном опыте. Новый неизвестный ранее факт, волнует. Новый взгляд на окружающий мир вызывает удовольствие. Школьнику 24 ГЛАВА 1 нравится сравнение ранее и вновь узнанного. Речь идет не просто об элементах новизны, вносимых в учебный процесс, а об эстетико-познавательных элементах. Красота науки есть та самая сила, которая призвана доставлять эстетическое наслаждение. Об этом свидетельствуют и результаты анализа полученного нами экспериментального материала, изложенные далее. 25 Глава II. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ЭСТЕТИЧЕСКОГО ВОСПРИЯТИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ 1. Пути эстетического воспитания школьников в процессе обучения математике 1.1. Эстетико-педагогические возможности использования художественной литературы на уроках математики В процессе эстетического воспитания учащихся на уроках математики мы много лет подряд использовали ряд задач, извлеченных из художественных произведений отечественных и зарубежных авторов. Эти задачи вошли в урок не только для закрепления у ребят математических представлений и понятий, но и для развития у них чувства гармонии, совершенствования смекалки как исконного качества человеческого мозга и необходимого условия творческого развития личности. Эстетическое воспитание следует рассматривать как составную часть всестороннего развития личности. Через эстетическое воспитание можно осуществлять расширение и углубление знаний и представлений школьников о реальной действительности, формирование их взглядов. Эстетическое воспитание играет большую роль и в процессе приобретения мате математических знаний. Итак, математика имеет свою красоту и изящество, но всегда ли они видны школьнику? Поэтому одна из задач преподавания математики заключается в том, чтобы выявить красоту предмета и использовать ее для эффективного развития и воспитания интереса школьников к математике. 26 ГЛАВА 2 Достаточно эрудированные учителя математики не упускают возможности обратить внимание учащихся на некоторые факты литературы, связанные с математикой. Имеется в виду, прежде всего отдельные страницы биографий математиков и литераторов. Особое распространение в классной и внеклассной работе по математике получило использование стихов для предания уроку занимательности. Использование стихов на уроках математики способствует созданию эмоционального фона урока. Стихи разрывают монотонность речи педагога, переводят слушателей в иной ритм и тем притягивают их внимание. Кроме того, стихи могут объяснить то, о чем только толковал учитель, используя логические рассуждения, но сделать это не с помощью логики, а путем обращения к образам. Устав от логики, учащиеся ждут и ищут чего-то другого. Стихи дают им это другое – иной способ выражения мыслей. Обычно это делается так. Либо рифмуется известная школьная истина (теорема, аксиома), либо фабула какой-то задачи излагается в стихах, – чтобы сделать эту задачу более привлекательной, либо, наконец, мы надеемся на силу поэтического слова, стараясь убедить наших учеников в необходимости работать над предметом. Конечно, в такой работе мы должны руководствоваться, по-видимому, во-первых, требованиями самой математики – достоверность информации, корректность постановки задачи и т.д., и, во-вторых, требованиями, которые ставит перед собой поэзия, ибо поэтическое слово независимо от того, произнесено оно на уроке математики, дома, по радио или на уроке литературы, остается словом поэтическим и должно обладать силой эмоционального воздействия, быть высоко художественным. Могущество и красота математической мысли в предельной четкости ее логики, изяществе ее конструкций, искусном построении абстракций. И вместе с тем математические высказывания, определения, теоремы, формулы – сопоставимы с поэзией по силе воздействия на воображение. Истинный поэт, да и прозаик, и матема27 ГЛАВА 2 тик, и педагог одинаково озабочены отбором слов и фраз, наиболее адекватно выражающих мысль. А ритм, гармония и даже стиль произведения подвластны математике. Имея в виду, что истинный поэт должен обладать такими «математическими» качествами, как точность и ясность восприятия выражения мысли, известный американский писатель Эдгар По сказал: “Поэт, тем талантливее, чем более математичен его дар”. Легкий юмор фабулы, неожиданность ситуации или развязки, доставляемой решением задачи. Стройность геометрической формулы. Изящество решения, под которым понимается сочетание красоты и оригинальности методов его получения, – вот основные элементы эстетики занимательных задач на “соображение”. Через занимательность проникает в сознание ученика сначала ощущение прекрасного, а затем при последовательном систематическом изучении математики, и понимании красоты ее методов. Многие известные ученые физики, математики, химики – не раз отмечали, что эстетический элемент и, более того, эстетический импульс нередко оказывал большое влияние на ход их научных исследований. Разве освоение школьником математических методов не является творческим исследовательским процессом? И работа учителя ведь тоже нескончаемые методические поиски и исследования? Значит, эстетический импульс способен возбуждать и методическую мысль учителя, и познавательны интерес у школьников. Добиться у учащихся глубокого и осознанного овладения большим количеством математических понятий нелегко, придерживаясь, все время академического стиля строгих определений. Дело в том, что живое содержание понятия, как правило, шире, и богаче его сжатого словесного определения – ведь оно формируется не определением, а всем опытом общественной жизни и практической деятельности людей, всей системой ассоциаций, образов, аналогий, даже эмоций, связанных с данным предметом, явлением. 28 ГЛАВА 2 Художественные произведения – это благодатный материал для развития эстетических представлений на уроке, в том числе и на уроке математики. Литературно-художественные задачи, которые ставят перед читателями авторы романов, повестей и рассказов, зачастую представляют собой занятные математические головоломки, позволяющие в изящной словесной форме, т.е. эстетично, закодировать чисто математические выкладки. Иногда автор бывает столь любезен, что вместе с условием приводит и решение задачи (как, например, широко известная задача про топоры и пилы из повести Н. Носова “Витя Малеев в школе и дома”). Задача 1. Из двух городов выезжают по одному направлению два путешественника, первый позади второго. Проехав число дней равное сумме чисел верст, проезжаемых ими в день, они съезжаются и узнают, что второй проехал 525 верст. Расстояние между городами – 175 верст. Сколько верст в день проезжает каждый? В книге Л. Кассиля “Кондуит и Швамбрания” (книга II, глава “Задачи с путешественниками”). Задача 2. Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке осталось еще 20 рублей. (И. Ильф, Е. Петров “Двенадцать стульев”, глава III). В задаче 2 вопрос не сформулирован, но он напрашивается сам собой: сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил (если, конечно, денежных знаков другого достоинства в коробке не было)? Для обеспечения единственности решения добавим дополнительное условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Задача 3. На трех станциях: Воробьево, Грачево и Дроздово было комсомольцев в 6 раз меньше чем на двух других, вместе взятых, а на станции Воробьево партийцев было на 12 человек больше, чем на станции Грачево. Но на этой последней партийцев было на 6 человек больше, чем на первых двух. Сколько служащих 29 ГЛАВА 2 было на каждой станции, и какова там была партийная и комсомольская прослойка. Для старшеклассников любопытны страницы из романа И. Ильфа и Е. Петрова “Золотой теленок”, (глава X). И эта задача требует дополнительного условия, иначе решение не будет единственным. Сформулируем его в виде вопроса, – какое наименьшее число служащих на станции надо знать, чтобы задача получила единственное решение? Помогают математикам и зарубежные авторы. Например, Я. Гашек “Похождения бравого солдата Швейка” (часть 1, глава III): Задача 4. Стоит четырех этажный дом, в каждом этаже по восьми окон, на крыше – два слуховых окна и две трубы на каждом этаже по два квартиранта. В каком году умерла у швейцара бабушка? Эта задача, кажется, сродни пословице – в городе бузина, а в Киеве дядька. Но давайте учтем, Швейк поставил задачу в 1914 году, и добавим условие: год кончины бабушки равен произведению общего числа окон этого дома на число труб и на возраст (в 1914 году) одного из квартирантов, лично присутствовавшего на похоронах. Особый интерес представляют собой задачи из “Путешествия Гулливера” Джонатана Свифта. Самые удивительные страницы этой бессмертной книги, без сомнения, те, где описаны его необычные приключения в стране крошечных ли­липутов и в стране великанов “бробдингнегнов”. В стране лилипутов вы­сота, ширина, толщина – всех людей, растений и вещей были в 12 раз меньше, чем у нас. В стране великанов, наоборот, в 12 раз больше. Почему же автор “Путешествий” избрал именно число 12, легко понять, если вспомнить, что это как раз отношение фута к дюйму (1 фут = 12 дюймов) в английской системе мер (автор “Путешествий” – англичанин). В 12 раз больше, в 12 раз меньше – как будто не очень значительное увеличение и уменьшение. Однако отличие природы и обстановки в жизни, в этих 30 ГЛАВА 2 фанта­стических странах от тех, к каким мы привыкли, оказалось поразительным. Зачастую это различие настолько изумляет своей неожиданностью, что дает материал для замысловатой задачи. Задача 5. Животные страны лилипутов. “Полторы тысячи больших лошадей было прислано, чтобы отвезти меня в столицу”, – рассказывает Гулливер о стране лилипутов. Не кажется ли вам, что 1500 лошадей слишком много для этой цели, даже принимая во внимание относительные размеры Гулливера и лилипутских лошадей? О коровах быках и овцах Гулливер рассказывает не менее удивительную вещь, что, уезжая, он попросту “посадил их в свой карман”! Возможно ли это? Задача 6. Жесткая постель.­ О том, как лилипуты приготовили ложе своему гостювеликану, читаем в “Путешествии Гулливера” следующее: “600 тюфяков обыкновенных лилипутских размеров было доставлено на подводах в мое помещение, где портные взялись за работу. Из 150 тюфяков сшитых в месте, вышел один на котором я мог свободно разместиться в длину и ширину. Четыре таких тюфяка положили один на другой, но даже и на этой постели мне было также жестко спать, как на каменном полу”. Почему же Гулливеру было жестко на этой постели? И правилен ли весь приведенный здесь расчет? Задача 7. Бочка и ведро лилипутов. “Наевшись, – рассказывает далее Гулливер о своем пребывании в стране лилипутов, – я показал знаками, что мне хочется пить. Лилипуты с большой ловкостью подняли на веревках до уровня моего тела бочку вина самого большого размера, подкатили ее к моей руке и выбили крышку. Я выпил ее одним духом. Мне подкатили другую бочку, я осушил ее залпом, как и первую, и попросил еще, но больше у них не было”. В другом месте Гулливер говорит о ведрах лилипутов, что они были “не больше нашего большого наперстка”. 31 ГЛАВА 2 Такие крошечные ведра и бочки могли ли быть в стране, где все предметы меньше нормальных только в 12 раз? Задача 8. Паек и обед Гулливера. Лилипуты, читаем мы в “Путешествиях”, установили для Гулливера следующую норму отпуска пищевых продуктов. “Ему будет ежедневно выдаваться паек съестных припасов и напитков, достаточный для прокормления 1728 подданных страны лилипутов”. “Триста поваров, – рассказывает Гулливер в другом месте, – готовили для мене кушанья. Вокруг моего дома были поставлены шалаши, где происходила стряпня, и жили повара со своим семьями. Когда наступал час обеда, я брал в руки 20 человек прислуги и ставил их на стол, а человек 100 прислуживало мне с пола: одни подавали мне кушанья, другие приносили бочки с вином и другими напитками на шестах, перекинутых с плеча на плечо. Стоявшие на верху по мере надобности поднимали все это наверх при помощи веревок и блоков”. Из какого расчета назначали лилипуты такой огромный паек? И зачем понадобился такой многочисленный штат прислуги для кормления одного человека? Ведь он всего лишь в дюжину раз выше ростом, нежели лилипуты. Соразмерны ли подобный паек и аппетит с относительной величиной Гулливера и лилипутов? Задача 9. Триста портных. “Ко мне было прикомандировано триста портных-лилипутов с наказом, сшить мне полную пару платья по местным образцам”. Неужели нужна такая армия портных, чтобы сшить один костюм для человека, всего в дюжину раз больше лилипутского? Задача 10. Кольцо великанов. В числе, предметов вывезенных Гулливером из страны великанов, было, говорит он, “золотое кольцо, которое королева подарила мне сама, милостиво сняв его со своего мизинца и накинув его мне через голову как ожерелье”. 32 ГЛАВА 2 Возможно ли, чтобы колечко с мизинца, хотя бы и великанши, годилось бы Гулливеру как ожерелье? Сколько примерно должно такое кольцо весить? Задача 11. Книги великанов. О книгах в стране великанов Гулливер сообщает такие подробности: “Мне разрешено было брать из библиотеки книги для чтения, но для того, чтобы я мог читать, пришлось соорудить целое приспособление. Столяр сделал для меня лестницу, которую можно было переносить с места на место. Она имела 25 футов в ширину, а длина каждой ступени достигала 50 футов. Когда я выражал желание почитать, мою лестницу устанавливали в футах десяти от стены, повернув к ней ступеньками, а на пол ставили раскрытую книгу, прислонив ее к стене. Я взбирался на верхнюю ступеньку и начинал читать с верхней строки переходя с лева на право и обратно шагов 8 или 10, смотря по длине строк. По мере того как чтение продвигалось вперед и строки приходились все ниже уровня моих глаз, я постепенно спускался на вторую ступеньку затем на третью и т. д. Дочитав до конца страницу, я снова поднимался вверх и начинал новую страницу таким же манером. Листы я переворачивал обеими руками, что было не трудно, так как бумага, на которой у них печатают книги, не толще нашего картона, а самые большие их фолианты имею не более 18-20 футов в длину”. Соразмерно ли это? Ставя перед учащимися подобные задачи, мы открываем для них возможность осмысления и освоения математического знания в эстетической, художественной форме, а, следовательно, закладываем основу эстетического воспитания, объединяя возможности математики и искусства, ибо именно представление о соразмерности, т. е. гармоничности, красоте, как никакое иное, обостряет круг эстетических чувствований реципиента и воздействует на развитие фантазии и интуиции. 33 ГЛАВА 2 1.2. Сатирико-юмористическая литература как эстетический аналог парадокса и остроумия в решении математических задач Вся смеховая культура человечества издревле зиждется на парадоксе, т. е. познание истины с неожиданной стороны, ранее ни кем не замеченной и вынуждающей предмет или явление как бы скинуть маску: прикрытая заимствованными словами глупость престает казаться проявлением ума, распознанный и осмеянный злодей уже не сможет произвести впечатление доброго и великодушного, ничтожеству не суждено будет прикинуться личностью... “Смех есть саам по себе новая идея, отрицающая старую и становящаяся на ее место”, – отмечал Д. И. Писарев (Собр. соч. В трех томах, т.2, Гослитиздат, 1955, стр.3361). Способность смеяться отличает человека от животного, возвышает над ним, ибо в живой природе лишь Homo sapiens обладает этим даром. Смех заключает в себе разрушительное и созидательное начала одновременно. Так, по мысли М. Бахтина, “власть, насилие, авторитет никогда не говорят на языке смеха”, опасаясь утратить кажущуюся значительность. Но, разрушая старое, смех строит и нечто новое: мир нарушенных отношений, мир нелепостей, логически неоправданных соотношений, свободы от условностей. Смех снимает психологические травмы, успокаивает и лечит, смех восстанавливает нарушенные контакты между людьми, т. к. Смеющиеся – это в своем роде “заговорщики”, видящие и понимающие что-то такое, чего они не видели до этого или чего не видят другие. “Настоящий смех не отрицает серьезности, а очищает и восполняет ее. Очищает от догматизма, односторонности, окостенелости, от фанатизма и горячечности, от элементов страх и устрашения от дидактизма, от наивности и иллюзий, от дурной одно плавности и однозначности, от глупой истощенности. Смех не дает серьезности застыть и оторваться от незавершимой целостности бытия. 34 ГЛАВА 2 Таковы общие функции смеха в историческом развитии культуры и литературы”. (М. Бахтин “Творчество Франсуа Рабле”) Смех – не только “разрешение” напряжения, вскрытие запрета, но еще и соединитель, переносчик. Он сближает, помогает общению. Он переводит из одного ритуального состояния в другое, т.к. ломает границу между ними. Функция смеха – обнажать, обнаруживать правду, освобождать реальность от покровов этикета, обнажение же, как известно уравнивает всех людей. Смеяться и забавляться дети начинают по мере того, как они, осваиваясь с законами и порядком окружающего их “правильного мира”, утверждаются в действительности. Веселье – естественный для ребенка способ познания мира, усиливающий в нем ощущение реальности и развивающий его здравый смысл. Понадобятся годы, чтобы ребенок научился смеху ума, в котором нет ничего природного и, который, есть проблема отношения человека к миру. Он связан с областью рационального, причем парадоксально рационального. Один из аспектов нашего исследования – шутка учителя как педагогический прием, вводящий преподаваемый предмет в контекст мировой культуры и тем самым развивающее творческое воображение учащихся. Смех по природе своей демократичен и уравнивает все социальные роли. Среди смеющихся нет ни начальников, ни подчиненных. Следовательно, шутка учителя, смех на уроке есть инструмент педагогики не наси­лия, педагогики сотрудничества. Смех – психологическое орудие разрядки на уроке. Чтобы сконцентрировать внимание и воображение учащихся на достаточно сложной дидактической теме, подчас приходится давать им образный аналог того, о чем пойдет речь. Например, вводя понятие «последовательности» в 9 классе, мы, используя наиболее частные слова из определяемых областей науки, даем учащим35 ГЛАВА 2 ся представление о необходимости использования слова “последовательности” в различных сферах знаний: “Существуют названия коллективов в естественных науках: колония бактериологов, кипа библиотекарей, выводок генетиков, галактика космологов, множество математиков, сплав металлургов, туча метеорологов, стая орнитологов, комплекс психологов, сеть связистов, тьма синоптиков, линия спектроскопистов, котел физиков-атомщиков, поле физиков-теоретиков, пачка экономистов”. Шуткой учитель может пользоваться как способом выхода из конфликта между ним и учеником, среди учеников. Например, ученик допустил вычислительную ошибку. Как можно выйти из этой ситуации? Поставить “два”. Посетовать на уровень подготовки. А можно сказать: “Небезызвестному А.С. Пушкину еще во второй ступени лицея учитель математики сказал: “Сядьте, Пушкин, больше я вас спрашивать никогда не буду”. И учитель сдержал свое слово, но и Пушкин “оправдал” доверие учителя”. В повести “Дубровский” кто-нибудь заметил ряд вычислительных ошибок великого писателя? А почему вы думаете, что литература требует меньшего внимания, чем математика? И в ней деталь так же важна, как и цифра: перепутаешь – и уже образ не тот. Тем более забавны бывают при внимательном чтении оговорки гения. Вот сказано в повести: “ ... в 8 лет Владимир был вывезен из Кистеневки в Петербург на учение. Отсутствовал 12 лет,” – т.е. ему 20 лет. Далее: “Маша Троекурова двумя годами младше Дубровского”, – т.е. ей 18 лет. Через главу оказывается, что Маше 17 лет, а еще двумя главами позже, что Дубровскому 23 года. Спрашивается, правильно поступил учитель, не вызывая Пушкина к доске?” В 1992 году московское издательство “Спарк-М” выпустило книгу, известного детского писателя Г. Остер “Задачник. Ненаглядное пособие по математике”. В 36 ГЛАВА 2 книге предложены задачи для 2-4 классов. Особенность “задачника” состоит в оригинальном изложении текста задач. Например: Петр Петрович нашел кучу денег. Целый год он тратил по 253 рубля в месяц, а потом спохватился, что денег хватит только на три месяца и то если тратить по 20 рублей в месяц. А его теща как раз в том году потеряла кучу денег на сумму 30096 рублей. Как ты думаешь, не тещину ли кучу нашел Павел Петрович?” На протяжении нескольких лет математики Новосибирского государственного университета иронизируют над засильем иностранных слов в нашем лексиконе через задачи. Например: “Статистика знает все. В городской думе Урюпинска 60% всех депутатов считают секвестр (урезание бюджета) полезной мерой для экономики, 30% вредной, а остальные 10% стесняются произнести вслух. В то время остальные взрослые жители Урюпинска (не являются депутатами) имеют другое мнение: лишь 10% из них считают секвестр полезным для экономики, 20% вредным, а остальные 70% думают, что секвестр это садовые ножницы. Определить сколько процентов всех взрослых жителей Урюпинска считают секвестр полезной мерой для экономики, если известно, что вредным его считают 20,01% из них”? Наша школа очень долго была слишком серьезной, мрачно-поучительной, а вот педагогического эффекта от этой сверх серьезности мы почему-то не наблюдаем. Дети все равно смеются, только в подворотнях, в подъездах над частушками и анекдотами. Так не лучше ли будет, если смех как великое педагогическое средство придет на урок, помогая и усваивать предмет, и соединять этот предмет с другими предметами, и преодолевать трудности межличностного общения?.. Ибо гносеология взаимодействия смеховой культуры с научным знанием такова, что возвращает последнему его первозданность: известно, что многие научные понятия изначально рождались в воображении ученых в форме образцов, затем обретая понятийную строгость и присущую ей свободу 37 ГЛАВА 2 от эмоций, т.е. объективность. Смех же вновь облекает понятие в образную мантию, тем самым, выявляя то общее, что объединяет научную и художественную формы познания действительности: поиск истины. 1.3. Использование приемов живописи (цвета) как эстетизирующего элемента урока математики и способа решения задач “Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта – совокупность идей, подобно совокупности красок или слов, должна обладать внутренней гармонией. Красота есть пробный камень для математической идеи; в мире нет места для уродливой математики”, – говорил один известный английский математик Г. Харди. Есть и более явные связи математики с живописью. Математикам помогает цвет. Наверняка не раз на уроках геометрии учитель математики использовал цветные мелки, отмечал равновеликие фигуры, отмечал равные отрезки, равные углы. Вопросом о цветовом зрении занимался ряд блестящих умов, включая Ньютона и Гете. Гете заметил, что различные цвета порождают душевное особое настроение. Все зрительно воспринимаемые признаки формы важны: геометрический вид (конфигурация), величина, положение в пространстве, масса, фактура, цвет, светотень. Благодаря удивительной способности человеческого восприятия, мы можем остановить мгновение, запечатлев в рисунке изменчивые формы предметов. Почему это возможно? Оказывается, что в течение всей нашей жизни мы накапливаем представления о разнообразных формах, и порой нашему глазу достаточно лишь намека, точки, пятна или неясного силуэта, чтобы узнать в них знакомые предметы. Чем ближе к нам объект, тем лучше и четче мы различаем его форму. Сначала мы видим только точку, за38 ГЛАВА 2 тем общие очертания и, наконец, детали. Внимательно вглядываясь в окружающий мир, мы можем обнаружить, что в основе любой созданной природой или руками человека формы лежат элементарные геометрические формы и тела. Существуют орнаменты, где хорошо видно, что формы растений, животных и даже человека можно превратить в геометрические элементы. Это происходит потому, что мы склонны отыскивать порядок и простоту в окружающем нас разнообразии. Порой очень трудно бывает определить, какая поверхность является фоном, а какая фигурой. Рис. 1. Рассмотрите рисунок 1. Текстура подчеркивает в фигуре свойства диска, заштрихованный круг становится фигурой, тогда как соседнее изображение выглядит как круглое отверстие в окружающем фоне. Как правило, поверхность, заключенная в пределах определенных границ, стремится приобрести статус фигуры, при этом окружающая ее поверхность будет фоном. В изобразительной деятельности, передавая форму предмета, мы не можем не учитывать значение фона. Каждый объект существует в нашем понимании только вместе с фоном, поэтому фон в картине, то есть пустота между предметами, приобретает равное значение с изображенными объектами. Предметы простой формы в своей основе имеют одну геометрическую фигуру, а предметы сложной формы – несколько геометрических фигур. 39 ГЛАВА 2 Более сложные объекты обычно называют комбинированными, имея в виду, что данный объект в своей основе представляет сумму геометрических тел. К таким объектам можно отнести, например, машину любого вида, животных и множество других объектов действительности. Не случайно, подчеркивая геометрическую форму объектов, так и говорят: “Этот предмет имеет кубическую форму, этот – цилиндрическую, а тот – шарообразную и т. п.”. Геометрическая основа строения объектов окружающего мира вовсе не означает, что при черчении надо изображать геометрические формы. Проблема заключается в следующем: за внешними очертаниями предмета необходимо увидеть его конструкцию, а затем в рисунке построить форму предмета в виде упрощенных геометрических тел, фигур или плоскостей, усложняя ее до полного реалистического изображения. Прежде чем приступить к изучению предмета с натуры, полезно проанализировать, из каких геометрических форм он состоит. Для того чтобы воспитать “математическое зрение”, нужно постоянно заботиться об организации зрительной информации. От наивного использования наглядности, как средства эффективного повышения качества урока, мы должны перейти к формированию математических визуальных понятий, которые по своему объему, степени обобщенности не уступали бы привычным словесным понятиям. Важным средством организации восприятия информационного материала является цветовое оформление. Цвет как бы руководит “живым созерцанием” информации. Решая цветовые примеры, учащиеся незаметно учатся отмечать ту или иную особенность информационного сообщения, которое таким образом (внешне непроизвольно) доходят до их сознания. На основании психологических исследований о роли цвета в зрительном восприятии, при введении новых по40 ГЛАВА 2 нятий учащимся младшего школьного возраста полезно использование одного цвета для выделения элементов фигур, обладающих одним свойством. Например: 1. На чертеже прямоугольного параллелепипеда выделить зеленым цветом все ребра, равные ребру AB. (5 кл.). 2. На чертеже прямоугольного параллелепипеда выделить красным цветом все ребра, параллельные ребру DC. (6 кл.). 3. На чертеже куба выделить синим цветом все ребра, перпендикулярные ребру AD. (6 кл.). 4. Построить фигуру А1, симметричную фигуре А, относительно оси так, чтобы симметричные относительно этой оси стороны фигур были окрашены в один цвет (6-9 кл.), рис. 2. Рис. 2 Выполняя задание 4, учащиеся как бы расчленяют фигуру на простые составляющие её элементы (отрезки) и строят последовательно, отрезок за отрезком, стороны фигуры A1. Например, сначала строят отрезок, симметричный зеленому отрезку, затем синему и т. д. Такое последовательное построение позволяет избежать многих ошибок, у учащихся перед глазами существует как бы план проведения построения. Закрепив навык последовательного построения симметричных фигур в цвете, учащиеся в дальнейшем уже смогут строить без ошибок симметричные фигуры одним карандашом. 41 ГЛАВА 2 Выполнив по каждой изучаемой геометрической теме подготовительные упражнения с использованием цвета, можно приступить к выполнению упражнений на отработку “геометрической зоркости” учащихся, состоящей в правильном понимании чертежа к задаче, мысленном расчленении сложной фигуры на простые составляющие. При изучении темы “Площади фигур” (8-9 кл.) можно предложить ряд необычных, неординарных задач из статьи А.В. Гончарова “Решетки и зоны Брюллиэна”, в которых требуется вычислить площадь многоугольника. Эти задачи способствуют формированию у учащихся понятия “равносоставленных фигур”, основанного на свойствах равносоставленности и аддитивности площадей фигур. Такого рода задания в школе никогда не давались, и естественно, что они повергли учащихся в недоумение и растерянность: .жх-хх-х-х-х--“Как вычислить площадь сложного многоугольника, разделенного на ряд геометрических фигур?” Когда же учащимся был предложен тот же многоугольник, но геометрические фигуры, составляющие его, были определенным образом окрашены в разные 42 ГЛАВА 2 цвета – задача значительно упростилась (достаточно было посчитать площадь «белого»треугольника и полученную величину умножить на количество использованных цветовых гамм). Таким образом, были достигнуты одновременно 3 цели: 1) собственно обучающая – упрощение решения задачи; 2) эстетическая – через восприятие цвета к ощущению гармонии; 3) психологическая – развитие восприятия, возникновение интереса к решению, возможность прогнозировать результаты деятельности. Несмотря на предложенную “эстетическую” альтернативу решения сложной по вычислениям задачи, некоторые учащиеся предпочли традиционный путь громоздких числовых выкладок. Это послужило дополнительным поводом для разговора о природе математики как науки упрощения и формализации. Иногда раскраска может стать даже методом решения задач. Это можно продемонстрировать на задачах головоломках. 43 ГЛАВА 2 Пример: Найти подход к центру лабиринта, изображенного на рисунке. Для того чтобы решить задачу, закрасим все тупики этого лабиринта, т.е. все его участки, из которых нет выхода. Тогда то, что останется не закрашенным и будет искомым путем. Задачи темы – “Осевая симметрия”, весьма эффективны для совершенствования визуального восприятия гармонии мира, для осознания на чувственном уровне красоты, т.е. правильности, упорядоченности его устройства. Ученики, выполнявшие это задание, затем при посещении художественных выставок обнаруживали и отмечали гармоничность композиции увиденных ими картин, математическую выверенность диагонального построения, характерного для живописных полотен XVIII века. Внимание же к детали художественного произведения есть не что иное, как свидетельство определенного уровня эстетической воспитанности. Стремление найти или построить упрощенную модель сложного явления – закон для естественных наук. Более совершенное символическое обозначение позволяет провести обработку информации быстрее, четкое и сжатое изложение теоретического материала облегчает усвоение его учащимися и заставляет учителей искать иные подходы к раскрытию новой темы. 44 ГЛАВА 2 1.4. Возможности театрализации на уроке математики как эстетико-педагогические средства развития воображения и смекалки Одним из эффективных средств развития образного мышления, воображения и смекалки на уроках математики можно считать театрализации – некое драматургически оформленное действо, представляющее собою диалог или беседу нескольких персонажей, в которых зашифрованы задачи или теоремы. Удобство такого рода “выводки” в серьезный понятный материал заключается в ее эстетических достоинствах: театр с его диалогической речью сродни ролевым играм, столь любимыми детьми всех возрастов, а потому создает реальную установку на восприятие содержания через его форму, задействует воображение и создает атмосферу неординарности и праздничности происходящего. Психологи отмечают, что процесс познания в игровой форме значительно более продуктивен, нежели чистая дидактика: образное мышление человека вычленяет и передает памяти яркое впечатление, которое остается на долго, ибо связанно с аудио-визуальным раздражением, поступающим в кору головного мозга. Эстетический элемент восприятия, таким образом, активизирует и познавательную деятельность, при этом оставаясь самоценным и будя детскую фантазию для продолжения игры или составления новой по аналогии с предыдущей. Так, при раскрытии урочной темы, посвященной методу координат, мы предлагаем учащимся следующий театрализованный диалог: Участники: ковбой Билл, мистер Кон, Стенли. Картина первая: Стенли: Билл, я собираюсь в Натчез, что в верховьях Ред-Ривер. Сколько туда добираться? Билл: Семь суток пути верхом. Стенли: Хорошо, а до Батон Руж? Билл: Сутки. Стенли: А до Лафайета? Билл: Примерно четверо суток. И дорога нелегкая. 45 ГЛАВА 2 Стенли: Билл: Стенли: Билл: Стенли: Билл: Стенли: Билл: А до Фонталана? Я там не бывал, но думаю суток 10-12. Билл все эти четыре города лежат как по заказу – в вершинах прямоугольника. Ну, и что? А то! Я знаю, сколько пути до Фонталана. Туда около восьми суток! Ты что, был там? Нет. Не был. Так откуда ты можешь знать? А вот оттуда. Не веришь – съезди, проверь. Картина вторая: Билл (мистеру о Конну): Мистер Конн, век бы его не видеть. А Стенли мне объяснил, что есть какая-то там “теорема”. Выходит, за ней-то я и мотался на Ред-Ривер...? Учитель классу: Итак, докажем теорему: “Если ABCD– – прямоугольник и S – произвольная точка, то SA2 + SC2 = = SB2 + SD2 ” Практика подтвердила, что эстетически оформленный материал осваивается быстрее и легче, чем, если бы традиционно начинать прямо с доказательства достаточно сложной теоремы. Еще одно эффективное средство эстетизации математического знания – работа с задачами-картинками, представляющими в зрительно-художественной форме одновременно и условие, и способ решения поставленной проблемы. По мнению психологов, в частности профессора Банушинского, «все действия ребенка и продукта его творчества могут быть поняты и объяснены как в основном, так и в частностях взаимоотношением между двигательно-осязательным и зрительными способами восприятия мира». Главнейшее направление эволюции ребенка заключается в том, что роль зрения в деле овладения миром начинает все возрастать, из подчиненного положения оно переходит в господствующее, сам двигательно-осязательный аппарат поведения ребенка подчиняется 46 ГЛАВА 2 зрительному. В переходный период замечается борьба двух противоположностей установок детского поведения, которая заканчивается полной победой зрительной установки в восприятии мира. «Новый период связан с ослаблением физической активности, – говорит Бакушинский, с усилением активности умственной. Наступает полоса аналитически рассудочная в детском развитии, которая длится в течение позднего детства, поры отрочества. В восприятии мира и творческом отражении этого восприятия играют теперь господствующую роль зрительные вехи. Подросток становится более созерцающим мир со стороны, умственно испытующим его как сложное явление, воспринимающим в этой сложности не столько уже многообразие вещей, как это было в предшествующий период, сколько между вещами, их изменение». Ребенка занимает процесс, но не процесс собственного действия, а процесс, протекающий во внешнем мире. Задачи – картинки, как показывает практика, вызывает у ребят живой интерес. Сразу же заинтересовывают сами названия задач: «Три мушкетера», «Королева и рыцари», «Богатыри» и др. Ребята с удовольствием решают такие задачи. Они способствуют развитию логического мышления, интуиции и самое главное формированию интереса к математике. При изучении темы “Признаки делимости” учащимся была предложена задача в обыкновенной описательной форме. Задача: Ковбой заехал в таверну за покупками. Он купил бутылку пепси-колы за 3 доллара, трубку за 5 долларов, три пачки табака и девять коробок спичек. Продавец запросил с него 11 долларов 30 центов. Ковбой сказал, что продавец ошибается. Как ковбой догадался, что продавец хотел его надуть? Когда же задача была дана учащимся другого 5 класса, но представлена виде поочередно выставляемых картинок (рис. 3), учащиеся решили ее намного быстрее, 47 ГЛАВА 2 Рис. 3. 48 ГЛАВА 2 что неоспоримо свидетельствует о преимуществах введения эстетических элементов в урок математики, – как в дидактическом, так и в психологическом, и в художественном аспектах. Исследование психологами проблемы основных форм поведение ребенка показало, что на каждой возрастной ступени на первый план выдвигается определенная форма поведения, и по отношению к другим (формам) она выполняет роль доминанты, например, основной формой поведения младших подростков является их стремление выразить себя в изобразительной деятельности. Впервые об этом сказал Выготский: «Очевидно, существует, – писал он, - какая-то внутренняя связь между личностью ребенка в том возрасте (от 8 до 12 лет) и его любовью к рисованию... именно рисование предоставляет ребенку этого возраста возможность наиболее легко выразить то, что им владеет». Учитывая этот факт, можно предложить учащимся самим создать задачу в картинках, т. е. перейти от предложенной учителем словесной формулировки задачи к рисунку. Создание учащимися задач-картинок способствует овладению ими тем особым способом выражения мыслей, который дает живопись. 1.5. Эстетико-педагогический потенциал задач на разрезание Задачи на разрезание представляют собой богатый материал для развития аналитико-синтаксической деятельности учащихся. Постепенный переход от простых задач к сложным осуществляется в соответствии с индивидуальными способностями ученика. Одним из путей обучения анализу является обучение в процессе решения задач на разрезание. Каждое мыслительное умение формируется посредством подходящей внешней деятельности. Сначала внешне предметная деятельность должна быть по возможности развернутой. При этом она не должна быть необозримой, постепенно в ходе работы сокращаться в связи с отбрасыванием некоторых операций, легко усваиваемых школьниками. 49 ГЛАВА 2 В качестве объектов заместителей внешне предметной деятельности, через которые будут формироваться внутренние мыслительные умения в обучении математике, это письменная речь и специфические символы для обозначения определенных математических понятий, рисунки геометрических фигур. С помощью задач на разрезание формируются внутренние мыслительные умения, отрабатываются геометрические понятия. Решая задачу на разрезание, учащиеся делают рисунок, анализируя его, тем самым, развивая свою мыслительную деятельность. Возможность применения задач на разрезание определяется, прежде всего, их содержанием. Они обычно не похожи на стандартные задачи из учебника, поэтому вызывают у учащихся интерес. Исторически и генетически сложилось, что геометрическая деятельность является интеллектуальной деятельностью человека. Мы постоянно говорим о межпредметных связях математики, о формировании интуиции, воображения и других качеств, лежащих в основе любого творческого процесса. «Задачи на разрезание» – универсальное средство для воспитания выше изложенных качеств, а также смогут внести свой вклад в художественное воспитание учеников: развитие у них изобразительной культуры. Трудно переоценить роль задач на разрезание в математическом развитии школьников. Они по своей постановке и методами решения не только наилучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, но и развивают способность отчетливо представлять себе ту или иную геометрическую фигуру и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этой фигуры. Задачи на разрезание могут способствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования – все это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников. Они развивают логическое мышление, геометрическую интуицию. 50 ГЛАВА 2 Задачи на разрезание развивают поисковые навыки, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, что очень важно в формировании умений и навыков умственного труда. Такие задачи успешно могут быть связаны с идеями школьного курса геометрии: понятие и свойства площади, понятие равновеликих и равносоставленных фигур, симметрия, свойства и признаки подобия. Задачи на разрезание учат школьников мыслить нестандартно, открывать новые способы решения задач, отрываясь от заученных формул учебника математики, приучают думать самостоятельно. Задачи на разрезание встречаются в школьных учебниках по геометрии, но в очень ограниченном количестве. Разрезание – это один из способов решения задач на вычисление площадей фигур, но в учебниках об этом методе, как таковом, ничего не сказано. Исходя из анализа учебной литературы, можно сделать вывод, что большое внимание задачам на разрезание уделено в учебнике геометрии под редакцией Александрова. Гибкость мышления, формируемая при решении задач на разрезание, находит применение в нематематических областях, при оценке возникшей жизненной ситуации и принятии нужного решения. 1.6. Обновление текстовых задач школьного курса математики как элемент мотивации обучения. Одним из путей реализации эстетического воспитания школьников, является обновление текстовых задач школьного курса математики. Хорошей поддержкой ко всем приемам мотивации учения являются текстовые задачи, но не общепринятых классических тематик, а более интересных и нетрадиционных, удовлетворяющих всем методическим приемам создания мотивов учебной деятельности в обучении математики. Таковыми являются задачи так называемого “нового содержания”. Можно заметить, что задачи подобного рода недостаточно представлены в школьном курсе математики. 51 ГЛАВА 2 Если некоторые задания из класса исторических задач еще встречаются в учебных пособиях, например в учебниках Э. Р. Нурка и А. Э. Тельгма “Математика 6 класс” (и то, не все авторы уделяют им достаточного внимания, такие как Ю. И. Макарычев, К. И. Нешков, С. Б. Суворова, С. А. Теликовский, А. Н. Колмогоров, М. И. Башмаков), то литературно-художественных задач для решения школьникам не предлагаются. К таким задачам относятся задачи “навеянные” сюжетами произведений известных писателей, русскими народными сказками и репризами известных сатириков. Наверняка учащихся больше заинтересуют необычные нестандартные задания, трактовка которых отличается от трактовки традиционных упражнений. Дети с удовольствием решают сюжетные, веселые задачи. Именно с их помощью легко удается разнообразить скучный набор условий. Например: “Ехали медведи на велосипеде, а на встречу раки на хромой собаке. Медведи выехали из пункта А, а раки из пункта В одновременно с медведями, через некоторое время они встретились. Если бы собака бежала со скоростью велосипеда, то встреча произошла бы на 20 минут раньше. А если бы наоборот, медведи ехали со скоростью собаки, то на один час позже. Определить сколько времени прошло от начала движения до встречи”. Одно время в научно методической печати была предпринята попытка поднять вопрос об обновлении тематики школьных задач. Всем известно, что в настоящее время, в школе рассматриваются задачи следующих классических тематик: −− на движение, −− на работу, −− на количества, −− на смеси, −− на операции с деньгами. Именно о таких задачах сказал И. В. Арнольд еще в 1946 году, что это «сухая вата», которую изо дня в день заставляют жевать детей долгие годы, и не все выдер52 ГЛАВА 2 живают это испытание. Неужели нельзя все отредактировать, отшлифовать, подобрать нужные числа, чтобы каждая задача вызывала у учащихся интерес, здоровый эмоциональный настрой. После такого выступления в 1959 году «Учпедгиз» издает «Сборник задач по арифметике для 5-6 классов» авторов Т.А. Пескова, В.К. Совайленко, Д.А. Чуракова. Особенность задач сборника заключается в том, что кроме математического содержания они имеют познавательную, жизненную информацию. Не меньшую трудность, чем число действий и метод решения вызывают фабула задачи и рассматриваемая в ней ситуация. Авторы сборника считают, что сюжетные задачи позволяют глубже и более зримо осознать, что многие различные явления природы имеют одинаковый математический смысл. При систематизации задач, наряду с учетом варьирования различными дополнительными математическими условиями, необходимо учитывать возможность и необходимость варьирования тематикой и фабулой задач. Составители сборника ссылаются на слова Ю.М. Колягина: «Сила методики состоит в том, чтобы от одной задачи получить максимальную образовательную отдачу, причем в разных аспектах», и говорят о том, что «педагогическая, гуманитарная и учебная целесообразность должна превалировать во всем», имея в виду и задачи. Решая задачу ученик приобщается к математическому творчеству. Цель не в том, чтобы ученик решил задачу (то есть получил ответ), а в том, чтобы он получил от этой задачи пользу, то есть продвинулся на одну ступень по длинной лестнице овладения математикой. 1.7. Использование учебно-познавательной информации для активизации процесса обучения Для формирования интереса учащихся к изучению математики имеются такие же богатые возможности, как и к изучению литературы, хотя их реализация намного сложнее. 53 ГЛАВА 2 Математика оперирует идеальными объектами. Мы, используем информационный аккомпанемент, который дает настрой на восприятие информации. При использовании учебно-познавательной информации очень важно определить ее воспитательные возможности. Нужно знать, насколько оптимально учитель реализует их, как использует материал для решения задач всестороннего развития личности (умственного, морального, эстетического). Учебно-позновательной информация, на наш взгляд, должна состоять из занимательных примеров и парадоксальных фактов, из занимательных аналогий и сопоставления научных и житейских толкований отдельных элементов. Например, при изучении темы “Трапеция” можно воспользоваться следующей информацией: “Французский архитектор Леопольд Виторий терпеть не мог прямоугольных зданий. Построенный по его проекту в селении Драп школьный комплекс имеет классы и залы в форме трапеции. Стол учителя расположен в большем ее основании таким образом, что для любителей сидеть на “камчатке” остается мало места”. Итак, главным в создании интереса является математическая сторона дела, но весьма существенно подобрать и надлежащее словесное оформление. 1.8. Использование функционального метода для решения уравнений и неравенств Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Уравнения и неравенства уже сами по себе представляют интерес для изучения, так как в известном смысле именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи, связанные с познанием реальной действительности. А.Г. Мордкович выделяет четыре общих идеи, общих метода, на которых основана вся линия школьного курса математики, и восприятие которых должно быть в поле внимания учителя: 54 ГЛАВА 2 1. Метод разложения на множители. 2. Метод замены переменной. 3. Метод перехода от равенства функций к равенству, связывающему значения аргумента. 4. Функционально – графический. Функциональным методом занимались такие математики и методисты, как А.Г. Мордкович, Ю.М. Колягин, Н.Я. Виленкин и др. Ю.М. Колягиным показана возможность применения функционального метода при решении уравнений и неравенств, но не создана система задач для его реализации. Дидактическое, воспитательное и практическое значение темы «Функциональный метод решения уравнений и неравенств» чрезвычайно велико. Данный метод помогает установить многочисленные внутри- и межпредметные связи, а постоянное использование взаимосвязи между понятиями “функция и уравнение”, “функция и неравенство” будет содействовать более глубокому усвоению учащимися курса математики. Формируя у учащихся в процессе обучения специальные умения и навыки по решению уравнений и неравенств функциональным методом, во-первых, осуществляется этап закрепления основных понятий и теоретических положений, связанных с изучаемыми функциями, а во-вторых, учащиеся овладевают новым мощным методом решения уравнений и неравенств. В этой ситуации у учащихся можно формировать умение анализировать, обобщать, конкретизировать, классифицировать уравнения и неравенства по свойствам функций, применяемых для решения. При этом также создается положительный мотив для изучения данных свойств, что влечет за собой более успешное усвоение и запоминание изучаемого материала по сравнению с традиционным. В ряде случаев точное решение уравнения f(x)=g(x) (неравенства f(x)>g(x)) по изученным правилам затруднительно или даже невозможно. Однако бывает достаточно обратить внимание на какие-то свойства функций 55 ГЛАВА 2 f и g, как сразу же решается вопрос о наличии решений уравнения (неравенства) или выявляется наиболее рациональный прием его решения. Основу для таких утверждений дает нам одно из определений уравнения, как равенства двух функций. Итак, суть функционального метода: использование свойств функций или построение графиков для решения уравнений и неравенств. Целесообразно выделить следующие компоненты метода: 1) Отыскание области определения функций. 2) Отыскание области значений функций. 3) Исследование функций на монотонность. 4) Исследование функции на четность. 5) Соотнесение свойств функций, входящих в уравнение или неравенство, с условием. 6) Построение графиков функций, входящих в уравнение или неравенство. 7) Отыскание корней уравнения методом подбора. Учитывая компоненты метода, выделим способы реализации: 1) Доказательство отсутствия решения уравнения на основе использования области определения, области значения, свойств монотонности и т.д. 2) Отыскание одного или нескольких корней уравнения с последующим доказательством (на основании свойств монотонности) отсутствия других решений в промежуточных значениях аргумента, на которые найденные корни разбивают область определения. 3) Выяснение того, что область определения содержит один элемент и проверка этого значения на основании определения корня уравнения. 4) Преобразование функций, входящих в уравнение к виду, удобному для установления монотонности одной из частей уравнения (или обеих) либо оценки её множества значения. 5) Графическое решение уравнений и неравенств. Основные результаты исследования применения функционального метода подробно изложены в учебном пособии [148]. 56 ГЛАВА 2 2. Система творческих заданий, ориентированная на формирование эстетического восприятия Основным средством, позволяющим реализовать развиваемую в настоящей работе концепцию, являются задачи. Для организации регулярной работы на уроках была разработана соответствующая система упражнений, ориентированная на программу школьного курса математики. Как известно, одна из принципиальных особенностей действующих школьных учебников состоит в том, что они содержат минимально необходимый материал. В частности, в контекст программного материала не введены задачи занимательного содержания, соответствующие изучаемой теме; практически отсутствуют задачи-стихи, литературно-художественные задачи, текстовые задачи обновленных тематик и т.д. Ввиду этого при разработке системы упражнений, отвечающей целям настоящего исследования, потребовалось довольно существенно дополнить задачный материал. При подборе задач к отдельным темам курса математики мы стремились найти задачи, по своему содержанию и способу решения отвечающие основным целям, которые должны быть достигнуты в ходе изучения соответствующей темы. Задачи – стихи Тема: Квадратные уравнения Задача №1 Звери на базаре Птицы звери и жуки покупали башмаки: Скуповатые фламинго взяли каждый по ботинку, Леопард и ягуары надевали по две пары, А когда явился жук, сразу требовал шесть штук. Все, кто был в тот день на рынке, приобрел себе ботинки. И довольный продавец расщедрился под конец: Птице, зверю и жуку подарил по колпаку. Возвращаясь, стар и млад был своей обновке рад. Опустел в момент базар: раскупили весь товар. 57 ГЛАВА 2 Запирая свой ларек, продавец подвел итог: Продал сорок башмаков, выдал десять колпаков. Сколько ж было на базаре птиц, животных и жуков? В. Илларионов. Задача №2 Задача Бхаскары На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась. Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали. Вместе сколько ты скажешь Обезьян там было в роще? Задача №3 Задача с яблоками Нам из Гомеля тетя ящик яблок прислала, В этом ящике яблок было, в общем, не мало. Начал яблоки эти спозаранку считать я, Помогали мне сестры..., помогали мне братья...: И пока мы считали, мы ужасно устали, Мы устали, присели и по яблоку съели. И осталось их сколько? А осталось их столько, Что, когда в этот ящик мы опять поглядели, Там, на дне его чистом, только стружки белели... Но прошу рассчитать я всех ребят и девчонок, Сколько было нас братьев? Сколько было сестренок? Поделили мы яблоки все без остатка. А всего-то их было пятьдесят без десятка. Л.Пантелеев. Задача №4 Необыкновенная девчонка Ей было тысяча сто лет, она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила – все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок с одним хвостом, зато стоногий. 58 ГЛАВА 2 Она ловила каждый звук своими десятью ушами, И десять загорелых рук портфель и поводок держали. И десять темно-синих глаз рассматривали мир привычно... Но станет все совсем обычным, когда поймете наш рассказ. Тема: Нахождение части от числа и числа по его части Задача №5 Медведь с базара плюшки нес, но на лесной опушке Он половину плюшек съел и плюс еще полплюшки. Шел, шел, уселся отдохнуть и под «ку-ку» кукушки Вновь половину плюшек съел и плюс еще полплюшки. Стемнело, он ускорил шаг, но на крыльце избушки Он снова пол-остатка съел и плюс еще полплюшки. С пустой кошелкою - увы! Он в дом вошел уныло... Хочу, чтоб мне сказали вы, а сколько плюшек было? Задача №6 Задача из «Греческой антологии» Видя, что плачет Эрот, Киприида его вопрошает: “Что так тебя огорчило, ответствуй не медля!” “Яблок я нес с Геликона немало, – Эрот отвечает, – Музы отколь не возьмись, напали на сладкую ношу. Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, А Клио пятую долю взяла. Талия – долю восьмую. С частью 12-ой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора, С частью седьмою Эрато ушла от меня. Тридцать плодов утащила Полимния. Сотня и двадцать взяты Уранией; Триста плодов унесла Каллиопа. Я возвращаюсь домой почти, что с пустыми руками. Только пол сотни мне оставили музы на долю”. 59 ГЛАВА 2 Задача №7 Когда Гераклом Герион Был в жаркой битве сокрушен, То победителю в награду Быков отличных было стадо; Быков на луг отправил он И погрузился в крепкий сон. Но сын вулкана Кактус смелый К быкам как вор подполз. Умело И сделал все, что он хотел: Он отобрать себе успел Одну шестнадцатую стада; Теперь добычу спрятать надо. В пещеру он быков загнал, Куда свет дня не проникал, И вход туда прикрыл надежно: Найти быков здесь не возможно! Когда Геракл пришел на луг, Он насчитал 120 штук И не осталось в нем сомнения, Что состоялось похищение. В нем сердце закипело злобой, Быков он ищет, смотрит в оба, И вдруг как бы из-под земли Услышал, что ревут они К пещере бросился он в гневе, Все разметал он в этом хлеве И Кактуса убил в мгновенье; Быков добыл из заточенья. И стадо он угнал скорей, – Все получил царь Эвристей. Теперь скажи мне, вычислитель, Скольких быков злой похититель Из стада увести сумел, И скольких всех быков имел Геракл могучий и отважный, – Все это знать нам очень важно. «Как не скрывай проделок след, А правда все ж увидит свет». Задача №8 Задача из «Греческой антологии» Вот Полифема циклопа из меди статуя отлита. Руку, уста и единое око ваятель сделал на диво, Скрывши в них: водой великан истекает как будто. Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна Весь водоем через три дня наполнить. Оку – достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых, Вместе все три водоем скоро ли смогут наполнить? 60 ГЛАВА 2 Тема: Арифметические действия над натуральными числами и нулем, и их свойства Задача №9 По тропинке вдоль кустов, шло одиннадцать хвостов, Насчитать я также смог, что шагало тридцать ног. Это вместе шли куда-то индюки и жеребята. А теперь, вопрос таков: сколько было индюков? Спросим также у ребят: сколько было жеребят? Н. Разговоров. Задача №10 В теплом хлеве у бабуси Жили кролики и гуси. Бабка странная была – Счет животных так вела: Выйдет утром за порог, Сосчитает триста ног, А потом без лишних слов Насчитает сто голов. И с спокойную душой Идет снова на покой… Кто ответит поскорей Сколько было там гусей? Кто узнает из ребят, Сколько было там крольчат? Задача №11 Жуки и пауки У меня в одной коробке есть жуки, И ещё в другой коробке – пауки. Мало их, в одну минуту можно счесть: Пауков с жуками вместе – только шесть. Стал считать я: в двух коробках сколько ног? Очень долго сосчитать их я не мог Право, даже зашумело в голове: Оказалось, ног немало – сорок две! Ну, скажи теперь ты мне, сколько тут жуков? И еще сочти отдельно сколько пауков. 61 ГЛАВА 2 Тема: НОД и НОК Задача №10 Возле лужицы отряд длинноногих лягушат, Очень стройная колонна: по пять ровно каждый ряд. По два, по три, по четыре, как ни ставил командир, Неизменно оставался лишним кто-нибудь один. А сейчас в любой пятерке все довольны, все в восторге! Ну а, сколько лягушат не в ряду, а в целом? Свой расчет произведи с правильным прицелом! Задача №11 Как-то рано по утру, птицы плавали в пруду. Белоснежных лебедей втрое больше, чем гусей, Уток было восемь пар – вдвое больше, чем гагар. Сколько было птиц всего, если нам еще дано, Что всех уток и гусей столько, сколько лебедей. Задача №12 К деревьям птицы подлетели (Устать пришлося, видно, им); Когда на каждом по две сели – Одно осталося пустым. Когда ж им сесть поодиночке, Не хватит дерева одной. Скажи, обдумав эти строчки, Деревьев счет и птиц, какой? И. И. Давыдов. Тема: Линейные уравнения Задача №13 Лев старше дикобраза в два с половиной раза. По сведениям удода тому назад три года В семь раз лев старше был, чем дикобраз. Учтите все и взвесьте: сколько же им вместе? Н. Разговоров. Задача №14 «Я на два года старше льва», – сказала мудрая сова. «А я в два раза младше вас», – сове ответил дикобраз. Лев на него взглянул и гордо молвил, чуть морща нос: «Я старше на четыре года, чем вы, почтенный иглонос». 62 ГЛАВА 2 А сколько всем им вместе лет? Проверьте дважды свой ответ! Н. Разговоров. Задача №15 За десять дней пират Ерема Способен выпить бочку рома, А у пирата у Емели Ушло б на это две недели. За сколько дней прикончат ром Пираты, действуя вдвоем? С. Сатин. Задача №16 От Олимпа до Парнаса От Олимпа до Парнаса, к добрым музам от богов, Оседлав коня Пегаса, я домчал за пять часов. Сбавив скорость верст на десять, с грустью я за семь часов На Олимп вернулся, месяц осветил мне Зевса кров. Друг ты наш и почитатель, дав фантазии простор, Может быть, ты посчитал бы, сколько верст меж этих гор? Задача №17 Древнеиндийская задача. Есть кадамба цветок. На один лепесток Пчелок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла в цвету симекгда, И на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, трижды их ты ложи, На кутай этих пчел посади. Лишь одна не нашла себе места нигде, Все летала то взад, то вперед И везде ароматом цветов наслаждалась, Назови теперь мне, подсчитав в уме, Сколько пчелок всего здесь собралось? Тема: Положительные и отрицательные числа Задача №18 Прошу подумать в тишине, учтите, случай редкий: Сидела белка на сосне, на самой средней ветке. Потом вскочила вверх на пять, потом спустилась на семь. 63 ГЛАВА 2 (Вы все должны запоминать, как на уроке в классе.) Затем проворно белка вновь вскочила на четыре, Потом еще на девять и уселась на вершине. Сидит и смотрит с высоты, на пни, березы и кусты. А сколько веток у сосны, мы с вами вычислить должны. Тема: Логические задачи Задача №19 Кросс осенний вспоминая, спорят белки два часа: – Победил в забеге заяц, а второй была лиса! – Нет, – твердит другая белка, – ты мне эти штуки брось, Заяц был вторым, конечно, первым был, я помню, лось! – Я, – промолвил филин важный, – в спор чужой не стану лезть, Но у вас в словах у каждой по одной ошибке есть! Белки фыркнули сердито, не приятно стало им, Вы же, взвесив все, найдите, кто был первым, кто вторым. Задача №20 Распалась цепь на пять частей, Но я надеюсь, что легко ты Соединишь их поскорей, Проделав минимум работы. Разрезать и спаять звено – На эти две минуты надо... Учти, задание дано Для очень вдумчивого взгляда. Задача №21 Акробат и собачонка весят два пустых бочонка. Шустрый пес без акробата весит два мотка шпагата. А с одним мотком ягненок весит – видите бочонок. Сколько весит акробат в пересчете на ягнят? Задача №22 Барсук позвал к себе гостей: медведя, рысь и белку, И подарили барсуку подсвечник и тарелку. 64 ГЛАВА 2 Когда же он позвал к себе рысь, белку, мышку, волка, То он в подарок получил подсвечник и иголку. Им были вновь приглашены волк, мышка и овечка. И получил в подарок он иголку и колечко. Он снова пригласил овцу, медведя, волка, белку, И подарили барсуку колечко и тарелку. Нам срочно нужен ваш совет (на миг дела отбросьте): Хотим понять какой предмет, каким дарился гостем. И кто из шестерых гостей явился без подарка? Не можем мы сообразить, сидим... Мудрим... Запарка! Задача №23 Задача о тополе (Бхаскары) На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С течением реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река – В четыре лишь фута широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота? Текстовые задачи обновленных тематик Тема: Задачи на движение Задача №24 Ехали медведи на велосипеде, а на встречу раки на хромой собаке. Медведи выехали из пункта А, а раки из пункта В одновременно с медведями, через некоторое время они встретились. Если бы собака бежала со скоростью велосипеда, то встреча произошла бы на 20 минут раньше. А если бы наоборот, медведи ехали со скоростью собаки, то на один час позже. Определить сколько времени прошло от начала движения до встречи. Задача №25 Отправились, друг к другу одновременно в гости по одной и то же дороге Баба Яга на мотоступе и Кащей Бессмертный пешком. Через некоторое время они встре65 ГЛАВА 2 тились. Если бы Кащей двигался со скоростью мотоступы, то встреча бы произошла на 15 минут раньше. А если бы Баба Яга шла пешком, то на 1 час позже. Определить сколько времени прошло от момента начала движения персонажей до встречи. Тема: Задачи на сравнение Задача №26. И. Ильф, Е. Петров. “Двенадцать стульев”. Глава 3. Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей. В данной задаче не сформулирован вопрос, но он напрашивается сам собой: сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил в коробке? Для того чтобы обеспечить единственность решения добавим дополнительное условие: Отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Этого вполне достаточно для решения задачи. Большое количество задач можно встретить в произведении Джонатана Свифта “Путешествия Гулливера в некоторые отдаленные страны”. Нас будут интересовать те главы, где описаны приключения в стране крошечных лилипутов и в стране великанов – “бробдингнегов”. Для начала нужно вспомнить, что в стране лилипутов размеры – высота, ширина, толщина – всех людей, животных, растений и вещей в 12 раз меньше, чем у нас. А в стране великанов, наоборот, в 12 раз больше. Автор избрал именно число 12, т.к. это как раз отношение фута к дюйму, ведь в системе английских мер 1 фут – единица длины, равен 12 дюймам. Зачастую, различие между нормальными и увеличенными или уменьшенными размерами настолько неожиданно, что дает материал для замысловатых задач. Приведем некоторые из них. Задача №27. Животные страны лилипутов “Полторы тысячи больших лошадей было прислано, чтобы отвезти меня в столицу”, – рассказывает Гулли66 ГЛАВА 2 вер о стране лилипутов. Не кажется ли вам, что 1500 лошадей чересчур много, даже принимая во внимание относительные размеры Гулливера и лилипутских лошадей? О коровах, быках и овцах лилипутов Гулливер рассказывает не менее удивительную вещь, что, уезжая, он попросту “посадил их в свой карман”. Возможно ли это? Задача №28 “Наевшись, я показал знаками, что мне хочется пить. Лилипуты с большой ловкостью подняли на веревках до уровня моего тела бочку вина самого большого размера, подкатили ее к моей руке и выбили крышку. Я выпил все одним духом. Мне подкатили другую бочку, я осушил ее залпом, как и первую, и попросил еще, но больше у них не было”. В другом месте Гулливер говорит о ведрах лилипутов, что они были “не больше нашего большого наперстка”. Могли ли быть такие крошечные бочки и ведра в стране, где все предметы меньше нормальных в 12 раз? Задача №29. Кольцо великанов. В числе предметов, вывезенных Гулливером из страны великанов, было “золотое кольцо, которое королева сама мне подарила, милостиво сняв его со своего мизинца и накинув мне через голову на шею, как ожерелье”. Возможно ли, чтобы кольцо с мизинца, хотя бы и великанши, годилось Гулливеру как ожерелье? И сколько примерно должно было такое кольцо весить? Задача №30. Книги великанов. “Мне разрешено было брать из библиотеки книги для чтения, но для того, чтобы я мог их читать, пришлось соорудить целое приспособление. Столяр сделал для меня деревянную лестницу, которую можно было переносить с места на место. Она имела 25 футов в вышину, а длина каждой ступеньки достигала 50 футов. Когда я выражал желание почитать, мою лестницу устанавливали футах в 10 от стены, повернув к ней ступеньками, а на пол ставили раскрытую книгу, прислонив ее к стене. Я взбирался на верхнюю ступеньку и начинал читать с 67 ГЛАВА 2 верхней строки, переходя слева направо и обратно, шагов на 8 иди 10, смотря по длине строк. По мере того, как чтение продвигалось вперед, и строки приходились все ниже уровня моих глаз, я постепенно спускался на вторую ступеньку, на третью и т.д. Дочитав, до конца страницу, я снова поднимался вверх и начинал новую страницу таким же манером. Листы я переворачивал обеими руками, что было нетрудно, так как бумага, на которой у них печатают книги, не толще нашего картона, а самые большие их фолианты имеют не более 18-20 футов в длину”. Соразмерно ли все это? Тема: Логические задачи Задача №31 Три мушкетера в трактире за завтраком выпили 3 бутылки бургонского, 2 анжуйского и 1 шампанского, заплатив за покупку 54 ливра. На обед они выпили 4 бутылки бургонского, 1 анжуйского и 1 шампанского и заплатили 61 ливр. За ужином 1 бутылку бургонского, 4 анжуйского и 1 шампанского. Трактирщик думал, что мушкетеры пьяны и запросил 65 ливров. После чего Атос пообещал сделать в нем столько дырок, сколько лишних ливров он запросил. Трактирщику ничего не оставалось, как ретироваться, заявил, что выпивка за счет заведения. Сколько дырок собирался сделать Атос? Задача №32 Определите, сколько часов потребуется Шерлоку Холмсу, Доктору Ватсону и комиссару Мэгре в отдельности для разоблачения преступника, если Шерлоку Холмсу требуется на один час больше, Доктору Ватсону на шесть часов больше, а комиссару Мэгре в пять, раз больше времени, чем при совместном выполнении данного задания. Тема: “Задачи на работу” Задача №33 Кинокомпания Walt Disney и Союзмультфильм выпустили по десять мультфильмов, причем вторая ки68 ГЛАВА 2 нокомпания работала на один месяц меньше первой. Сколько мультфильмов выпускает каждая кинокомпания в месяц, если вместе они выпускают в месяц 4,5 мультфильмов? Задача №34 За 4 часа Пятачок и Вини Пух съели 2/3 запаса меда у Кролика. За сколько часов Вини Пух мог бы съесть все запасы Кролика один, если он может съесть весь мед на 5 часов быстрее, чем Пятачок? Задача №35 Вини Пух и Пятачок сели за стол и решили, подкрепиться, и начали одновременно есть мед из одного горшка не отвлекаясь на разговоры. Если бы Вини Пух ел со скоростью Пяточка, то процесс еды длился бы на 4 минуты дольше. А если наоборот, Пятачок ел бы со скоростью Вини Пуха, то сократился бы на 1 минуту. Определить за какое время мед был бы полностью съеден? Задача №36 Жили, были дед да баба Ели кашу с молоком Из одной тарелки. Начали кашу, есть, они одновременно на разговоры не отвлекались. Если бы дед ел со скоростью бабы, то бы кашу ели на 3 минуты дольше, А если наоборот, баба ела со скоростью деда, то кашу бы съели на 2 минуты быстрее. Определить длительность трапезы деда и бабы? Задача №37 Три злых колдуньи, работая не покладая рук, превращают принцесс в лягушек. Производительность всех трех колдуний, работающих одновременно в 1,5 раза больше производительности первой и второй колдунья, работающих одновременно. Если первая колдунья решит превращать принцесс не только в лягушек, но и в гусениц, то вторая и третья колдунья, работая вместе, могут выполнить это задание на 4 часа 48 минут быстрее, чем его выполнит первая колдунья, это же задание 69 ГЛАВА 2 вторая колдунья выполнит на 2 часа быстрее по сравнению с первой. Найти за сколько часов первая превратит принцесс в лягушек и гусениц? Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии Задача №38 Посадил Буратино 1 сольдо на Поле чудес, и выросло у него чудесное дерево, а на нем монеты созрели. Стал Буратино трясти дерево и за 3 попытки все монеты стряхнул. Во второй попытке упало на 80 монет меньше, чем в первой, но на 16 монет больше, чем в третьей. Какой урожай дало дерево, если известно, что числа обратные к количествам монет, упавших в каждой попытке составляет арифметическую прогрессию. Задача №39 В некотором царстве-семидесятом государстве жилбыл, царь и было у него три сына, возрасты которых образуют арифметическую прогрессию. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 1 и 9, то получатся три числа, составляющих геометрическую прогрессию. Найдите возрасты сыновей царя, если известно, что их сумма равна 15? Тема: Задача на неравенство Задача №40 Купил Роман раков. Вчера мелких по цене 510 рублей за штуку, а сегодня по 990 рублей, но очень крупных. Всего на раков он истратил 25 тысяч 200 рублей. Из них переплаты из-за отсутствия сдачи в сумме составили от 160 до 200 рублей. Сколько раков Роман купил вчера и сегодня? Тема: Задачи на проценты Задача №41 Статистика знает все. Опрос взрослых жителей города Урюпинска показал, что 10% всех мужчин предпочитают пить чай из чашек, 30% из стаканов, для оставшихся 60% мужчин посуда значения не имеет. Аналогичная 70 ГЛАВА 2 статистика по женщинам: соответственно 40%, 15% , 45%. Определить, сколько процентов всех взрослых жителей Урюпинска предпочитают пить чай из чашек, если известно, что для 52,2% из них посуда значение не имеет? Задача №42 Статистика знает все. В городе Урюпинске 47,7% всех детей считают, что их нашли в капусте, 15,1% что их принес аист, а остальные 37,2% детей вообще не знают, откуда они взялись. Аналогично статистика отдельно по мальчикам такова: соответственно 33%, 20%, 47%. Определить, сколько процентов урюпинских девочек считают, что их принес аист, если известно, что 65% из них полагают, что были найдены в капусте? Задача №43 Статистика знает все. В городе Урюпинске 29% всех жителей наиболее благоприятным местом жительства во вселенной назвали Марс, 19,3%- Сникерс, а оставшиеся 51,7% уверяют в том, что хороших мест для жизни нет нигде, включая Урюпинск. Аналогичная статистика среди той части урюпинских жителей, которые любят шоколад такова: соответственно 50%, 40%, 10%. Определить, сколько процентов остальных жителей, которые не любят шоколад, считают, что хороших мест для жизни нет нигде, если известно, что 5,5% из тех, кто не любит шоколад назвали Сникерс наиболее благоприятным местом жительства. Задача №44 Статистика знает все. В городской думе Урюпинска 60% всех депутатов считают секвестр (урезание бюджета) полезной мерой для экономики, 30% вредной, а остальные 10% стесняются произнести вслух. В то время остальные взрослые жители Урюпинска (не являются депутатами) имеют другое мнение: лишь 10% из них считают секвестр полезным для экономики, 20% вредным, а остальные 70% думают, что секвестр это садовые ножницы. Определить сколько процентов всех взрослых жителей Урюпинска считают секвестр полезной мерой 71 ГЛАВА 2 для экономики, если известно, что вредным его считают 20,01% из них? Задача №45 Капиталы 2 фирм состоят из недвижимости и оборотных средств. Доля недвижимости в капитале второй фирмы на 30% больше, чем в первой. После слияния капиталов этих фирм доли недвижимости в капитале, объединения составила 44%. Какой процент составила недвижимость в структуре капитала каждой фирмы, если известно, что в первой фирме цена недвижимости была 8 миллионов рублей, а во второй 14 миллионов? Задача №46 Курс рубля по отношению к доллару (цена одного рубля в долларах) падает на 4% в квартал. У клиента банка есть два альтернативных варианта помещения денег. По первому варианту он может положить деньги рублевой счет с начислением 120% в конце года. По второму он может обменять рубли на доллары и положить деньги на валютный счет с ежемесячным начислением 60% от текущей суммы. Насколько процентов больше или меньше окажется рублевой счет по отношению к валютному счету через год? При расчетах считать одинаковыми обменные курсы покупки и продажи валюты (ответ представить в виде арифметического выражения). Задача №47 Автолюбитель, желая за четыре года накопить средства на покупку автомобиля, поместил в банк вклад в размере 5 миллионов рублей под 20% годовых. В конце каждого из первых трех лет он после начисления банка процентов наметил дополнительно вносить на счет одну и туже фиксированную сумму – такую, чтобы окончательный размер вклада увеличился по сравнению первоначальным вкладом на 369,44%. Какую сумму необходимо ежегодно добавлять вкладчику? Задача №48 На биржевых торгах чековый фонд закупил пакет акций, общее число которых на 330 больше содержащихся в пакете акций золоторудной компании. Определить 72 ГЛАВА 2 общее количество акций в пакете и процентную долю в нем акций золоторудной компании, если известно, что при добавлении к пакету 200 акций с 25% акций золоторудной компании пакет будет содержать 20% акций этой компании? Задача №49 Набор студентов в вуз осуществляется на плановые и коммерческие места. Определить полный ежегодный набор и процент коммерческих мест в нем, если известно, что при добавлении 100 плановых мест доля “коммерсантов” составит 30%, между тем, как, добавив 100 мест, в которых доля “коммерсантов” 60%, в итоге получат 40% коммерческих мест? Тема: Задачи на доли Задача №50 Саша и Сережа дважды обменивались вкладышами от жевательной резинки Turbo, причем каждый раз 1/7 количества машин имеющихся на момент обмена у Саши обменивались на половину количества машин, имевшихся у Сережи. Сколько вкладышей было у Саши и у Сергея до первого обмена, если после первого обмена у Саши стало 945 машин, а после второго обмена у Сережи 220? Задача №51 Два банка инвестируют проект, внося равные доли денег. Взнос каждого банка состоит из собственных и заемных средств. Если к взносу каждого банка добавить заемные средства другого, то суммарные взносы банков будут иметь соотношение 6:7, а соотношение собственных средств 7:8. Какова доля собственных средств в первоначальном взносе каждого банка? Тема: Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений Задача №52 Письменный экзамен по математике сдают 243 абитуриента. Каждый преподаватель для проверки получает равное количество работ и проверяет 3 работы в час. 73 ГЛАВА 2 Каждый час такой работы преподавателя стоит вузу 10 тысяч рублей. Кроме того, за 4 часа экзамена преподаватель получает 50 тысяч рублей. Весь обслуживающий персонал корпуса за время экзамена и время, затраченное преподавателями на проверку работ, получает 50 тысяч рублей в час. Сколько преподавателей необходимо пригласить, чтобы общая сумма денег, потраченная вузом на проведение одного экзамена, была наименьшей? Какова эта сумма? Задача №53 Требуется переправить через реку 150 куб. м. гравия. Гравий грузится в открытый ящик длиной 1,5 м, шириной 1м и высотой h. Боковые стороны (длиной 1,5 м) и дно ящика изготовлены из материала, квадратный метр которого стоит 20 денежных единиц (д. е.), а передняя и задняя стенки (длиной 1 м) – из материала, квадратный метр которого стоит 15 д. е. После использования ящик не будет иметь остаточной стоимости, а каждая перевозка ящика с одного берега и обратно стоит 0,1 д.е. При каком значении h транспортировка гравия будет наиболее экономичной? Чему равна минимальная стоимость транспортировки гравия? Задача №54 Производственное объединение должно поставить на ферму для выполнения сельских работ некоторое количество тракторов, причем известно, что 10 тракторов выполняют эту работу за 12 дней. Кроме того, известно, что в течение всего периода работ ремонтной бригаде выплачивают 30 денежных единиц (д. е.) в день и каждому трактористу 4,8 д. е. В день за работу и 4 д. е. За период транспорта на ферму и обратно (в течение периода работ трактора находятся на ферме) При каком числе тракторов суммарная выплата рабочим за выполнение всех работ будет наименьшей? Чему равна минимальная оплата рабочим? Задача №55 Завод изготовил партию из 98 холодильников, по 2,6 миллионов рублей каждый. Чтобы доставить весь товар 74 ГЛАВА 2 на оптовую базу, требуется изготовить контейнер, цена которого составляет 6% от стоимости помещенного в него товара. Кроме того, каждый рейс автомобиля с этим контейнером обходиться в 312 тысяч рублей. Сколько холодильников должен вмещать контейнер, чтобы выручка, оставшаяся у завода за изготовленную партию была наибольшей? Какова при этом стоимость контейнера? Тема: Задачи на движение Задача №56 Бизнесмену из города М. была назначена деловая встреча в городе Р., куда он отправился на яхте (вниз по течению), затратив на весь путь 5 часов. После того, как все вопросы были, решены, яхта отправилась в обратный путь, затратив на него 8 часов 20 минут. Найдите скорость яхты бизнесмена, если расстояние между городами равно 100 километров? Задача №57 Бизнесмен решил отправиться в кругосветное путешествие на своей яхте, для чего яхта в назначенный срок отплыла от пристани А вниз по течению реки, одновременно с плотом, на котором ехал бедный студент так же решивший посмотреть мир. Яхта бизнесмена доплыла до пристани В, расположенной в 324 км. от пристани А, простояла 18 часов и отправилась назад в А по указанию бизнесмена, так как за время стоянки он узнал, что произошло резкое падение курса рубля, которое привело к краху биржи. И в тот момент, когда яхта бизнесмена находилась в 180 км. от А вторая яхта, посланная в вдогонку первой менеджером компании бизнесмена для сообщения новости о крахе рубля, отплыла на 40 часов позднее первой и плота студента, успевшего проплыть к тому времени 144 км. Найдите скорость яхты бизнесмена, если известно, что скорость течения реки постоянна, скорость плота равна скорости течения реки, а скорости яхт в стоячей воде постоянны и равны между собой? 75 ГЛАВА 2 Задачи на разрезание Предлагаем вашему вниманию задачи, которые можно предложить учащимся начальной школы, после того как познакомились с понятиями ''квадрат'', прямоугольник'', ''треугольник''. Задача №58 Квадрат 4x4 надо разрезать на 2 равные части. Разрез должен проходить по линиям квадратной сетки. Постарайся найти все возможные решения поставленной задачи. Сколько различных решений она имеет? Задача №59 Сколькими способами девять одинаковых квадратиков: три красных, три белых, три синих можно расположить в виде квадрата 3x3 так чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречались квадратики всех цветов. Задача №60 По краю квадратного торта проходит каемочка из крема. Как трем мальчикам поделить торт, чтобы всем досталось поровну и торта и крема? (Количество торта оцениваем по площади куска, а крема – по длине каемочки) Задача №61 Прямоугольник размером 4x6 разрезать на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат, размером 5x5. В курс геометрии 7 класса при изучении темы “Треугольники” можно включить следующие задачи: Задача №62 Вырежьте из листа бумаги равнобедренный треугольник, не пользуясь чертежными инструментами. Задача №63 Как равносторонний треугольник разрезать на три равных треугольника? Задача №64 Как произвольный остроугольный треугольник разделить на три равнобедренных треугольника? Задача №65 Из бумаги вырезаны четыре равных равнобедренных треугольника. Можно ли и как сложить из них рав-нобедренный треугольник? 76 ГЛАВА 2 Задача №66 Равносторонний треугольник нетрудно разрезать на четыре равносторонних треугольника. Для этого нужно соединить отрезками середины его сторон. Но можно ли разрезать его на 8 или 10, или 11 равносторонних треугольника? И вообще, на какое число равносторонних треугольников можно разрезать данный равносторонний треугольник? Задача №67 Разрежьте квадрат на две такие части, чтобы из них можно было сложить треугольник. Задача №68 Разрежьте два одинаковых квадрата так, чтобы из них можно было сложить один квадрат. Сформулируйте и решите обратную задачу. Задача №69 Составьте квадрат из пяти деталей: четыре одинаковых прямоугольных треугольника и квадрат. В 8 классе при изучении темы «Четырехугольники» в систему задач рекомендуем включить следующие: Задача №70 Вырежьте из бумаги два равных треугольника. Сколько различных по форме параллелограммов можно сложить из них? Задача №71 Можно ли треугольник разрезать на параллелограммы? Задача №72 Можно ли прямоугольник разрезать на равносторонние треугольники? Задача №73 Разрежьте квадрат на четыре таких равных треугольника чтобы из можно было сложить ромб, отличный от квадрата. Задача №74 Можно ли из двух равных треугольников сложить трапецию? 77 ГЛАВА 2 Задача №75 Лист бумаги имеет форму трапеции. Как разрезать его на трапеции, чтобы их получилось: a) две, b) три, c) четыре, d) пять. Задача №76 Два одинаковых бумажных выпуклых четырехугольника разрезали первый – по одной из диагоналей, а второй – по другой диагонали. Докажите, что из полученных частей можно сложить параллелограмм. Задача №77 В равнобедренном треугольнике отмечены середины боковых сторон и их проекции на основание. Через отмеченные точки проведены две прямые. Покажите, что из полученных частей можно сложить ромб. Задача №78 Выпуклый четырехугольник разрезали по двум прямым, соединяющим середины противоположных сторон. Покажите, что из полученных четырех кусков всегда можно сложить параллелограмм. Задача №79 Разрежьте параллелограмм по прямой, проходящей через его центр, так, чтобы из полученных двух кусков можно было сложить ромб. Задача №80 От квадрата отрезан прямоугольный треугольник, сумма катетов которого равна стороне квадрата. Докажите, что сумма углов под которыми видна из трех оставшихся вершин его гипотенуза, равна 90 градусов. Задача №81 Из трех квадратов; 2x2, 3x3 и 6x6 нужно сложить один. Как разрезать эти квадраты, чтобы количество частей было минимальным? При изучении темы «Симметрия»: Задача №82 Разрезать квадрат на непрямоугольные трапеции. 78 ГЛАВА 2 Широкое применение задач на разрезание возможно при изучении темы «Площади фигур» в курсе геометрии 8-9 классов. Задача №83 Показать, что площадь треугольника равна площади прямоугольника, имеющего одинаковое с треугольником основание и высоту, вдвое меньшую высоты треугольника. Задача №84 Доказать с помощью разрезания, что площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. Задача №85 Через точку, взятую на диагонали AC параллелограмма ABCD, проведем прямые, параллельные его сторонам. Данный параллелограмм делится ими на четыре параллелограмма. Два из них пересекаются диагональю AC. Докажите что два других равновелики. Задача №86 Через каждую вершину выпуклого четырехугольника проведена прямая, параллельная его диагонали. Докажите, что полученный параллелограмм по площади вдвое больше четырехугольника. Задача №87 Докажите, что площадь правильного восьми угольника равна произведению наибольшей и наименьшей из его диагоналей. Задача №88 В параллелограмме ABCD проведены четыре: отрезка – вершина A соединена с серединой стороны BC, вершина B – с серединой стороны CD, вершины C и D – с серединами сторон AD и AB. Докажите, что четырехугольник, образуемый этими четырьмя отрезками, параллелограмм и что его площадь в пять раз меньше площади данного параллелограмма. Задача №89 В выпуклом пятиугольнике ABCDE угол ABC равен углу CDE и равен 90 градусов. Стороны BC=CD=AE=1 и сумма сторон AB и DE равна 1. Докажите, что площадь пятиугольника равна 1. 79 ГЛАВА 2 Занимательные задачи Данные задачи можно использовать при изучении свойств площадей и понятий равновеликих и равносоставленных фигур. Задача №90 Задача Оксфордского студента. Студент изобразил квадрат, показанный на рисунке, и сказал, что его надо разрезать на четыре части (вдоль прямых), которые можно было бы сложить заново так, чтобы при этом получился правильный магический квадрат. У такого квадрата сумма чисел, стоящих в каждой строке, столбце и на каждой из двух больших диагоналей равна 34. 1 15 5 12 8 10 4 9 11 6 16 2 14 3 13 7 Задача №91 Задача Обойщика. Обойщик показал кусок гобелена, который вы видите на рисунке. – Этот кусок гобелена, сэры, – сказал он, – состоит их ста шестидесяти девяти маленьких квадратиков. Я хочу, чтобы вы указали мне способ, каким следует разрезать его на три части, дабы сложить из оных один новый кусок в форме квадрата. Более того, поскольку это можно сделать разными способами, я хотел бы знать тот, при котором две из частей будут вместе содержать как можно больше этого богатого материала. Разрезы должны проходить только по прямым, разделяющим квадраты. Поскольку материал с обеих сторон не одинаков, части нельзя переворачивать, но особое внимание следует обратить на то, чтобы они точно ← Форма гобелена подходили друг к другу по рисунку. 80 ГЛАВА 2 Задача №92 Задача Аббатисы. – Один образованный человек из Нормандии подарил мне некогда эту прелестную брошь, сопроводив это какими-то странными, магическими словами о том, что будто бы она родственница квадрату или что-то в этом роде, чего я совершенно не могла понять. Но добрый аббат из Чертси сказал мне, что этот крест можно искусно разрезать на четыре части, из которых затем удастся сложить правильный квадрат. Задача №93 Флаг. На рисунке показан кусок материи, который требуется разрезать на две части (без потерь), чтобы сложить из них квадратный флаг с четырьмя симметрично расположенными звездами. Проводить разрез через звезду не разрешается, части нельзя переворачивать обратной стороной кверху. Задача №94 Разрежьте изображенную здесь фигуру на 4 части так, чтобы они подходили друг к другу, образуя квадрат. 81 ГЛАВА 2 Задача №95 Буква “Е”. 1). Можно ли разрезать букву Е на пять частей так, чтобы из них можно было составить квадрат? На рисунке все размеры приведены в сантиметрах. Части не разрешается переворачивать обратной стороной вверх. 2). Нельзя ли обойтись четырьмя кучками, если разрешить переворачивать части на другую сторону? 9 3 3 15 6 3 3 6 3 В 8-ом классе при изучении понятия “ромб” на мотивационном этапе можно использовать следующую задачу: Задача №96 Окно темницы. Однажды сэр Хьюг весьма озадачил своего главного зодчего. Он подвел этого достойного человека к стене темницы и указал на окно. – Думается мне, – сказал он, – что вон то квадратное окно имеет сторону в один фут, а узкие прутья делят его на четыре просвета со стороной в полфута. 82 ГЛАВА 2 – Воистину так, сэр Хьюг. – Я хочу, чтобы повыше было сделано другое окно, у которого каждая сторона тоже ровнялась бы одному футу, но его следует разделить прутьями на восемь просветов, у которых все стороны были бы равны между собой. Стоит отметить, что сэр Хьюг пренебрегал толщиной железных прутьев. При изучении темы “Движение” на этапе закрепления понятий “поворот”, “параллельный перенос”, с использованием понятия “квадрат” и “симметрия относительно прямой”, можно решить следующие задачи. Задача №97 Перепись треугольников. Однажды профессор Рэкбрейн предложил задачу: – Нарисуйте пятиугольник и соедините все его вершины между собой, как показано на рисунке. Сколько в полученной фигуре содержится треугольников? A E B D C Задача №98 Задача Рыцаря. На щите, согласно всем правилам геральдики по серебряному полю рассыпаны звёзды. Определите, сколько правильных квадратов сможете вы указать с одной из восьмидесяти семи звёзд в каждом углу, соединяя между собой четыре звезды. При изучении темы “Подобие” на мотивационном этапе можно использовать следующую задачу. 83 ГЛАВА 2 Задача №99 Улитка на флагштоке. Однажды по случаю большого праздника в замке были подняты все флаги. Сэр Хьюг лично проверял, как это сделано, когда кто-то указал ему на забавную улитку, которая взбиралась вверх по флагштоку. Один мудрый немолодой человек заметил: – Говорят, сэр рыцарь, хотя я сам считаю такие вещи пустыми рассказами, что улитка днем поднимается на три фута вверх, а ночью соскальзывает на два фута вниз. – Тогда, – ответил сэр Хьюг, – скажите, сколько дней потребуется улитке, чтобы подняться от основания до верхушки этого места. – Клянусь хлебом и водой, я был бы весьма удивлен, если бы удалось получить ответ, не зная высоты шеста. – Поверьте мне, – ответил рыцарь, – что измерять шест вовсе не нужно. Столб → 84 ГЛАВА 2 Задачи на разрезание можно включать в контекст школьных учебников не только в курсе геометрии, но и алгебры. Например, при помощи разрезания легко проиллюстрировать вывод таких формул сокращенного умножения, как квадрат суммы либо разность квадратов. Научно-познавательная информация или сообщения с элементами шутки Ниже представлена научно-познавательная информация, которую можно использовать при изучении отдельных тем школьного курса математики. При изучении темы “Осевая симметрия” рассказываем следующую историю: Однажды, чужеземец, восхищенный красотой бухарского минарета Калян, воскликнул: – Как вы строите такие высокие минареты? –Очень просто, – ответил Ходжа Насредин, и, не преминув блеснуть своим обычным остроумием, пояснил: – Сначала выкапываем глубокий колодец, а потом выворачиваем его на изнанку. При изучении теорем можно воспользоваться следующей информацией: “Прекрасная пара – Аксиома и Постулат: он у нее не требует доказательств, она у него не требует никаких доказательств... А по соседству с ними Теорема и Аргумент, вечно спорят, что-то доказывают друг другу. Кто же из них счастливей в споре? Видимо Аксиома и Постулат. Но они бездетны, потому что только в споре рождается Истина”. Следующую эпитафию с некоторыми вариациями можно давать как пример обратной и прямой теорем: С. Я. Маршак (перевод с английской народной баллады) Здесь я покоюсь, Джимми Хог, Авось грехи простит мне бог, Как бы я сделал, будь я бог, А он покойный Джимми Хог! Теорема о крокодиле Теорема: Крокодил более длинный, чем широкий. Лемма 1: Крокодил более длинный, чем зеленый. 85 ГЛАВА 2 Доказательство: Посмотрим на крокодила сверху. Он зеленый и длинный. Теперь посмотрим снизу. Он длинный, но не везде зеленый (брюхо у него белое). Значит, крокодил более длинный, чем зеленый. Лемма 2: Крокодил более зеленый, чем широкий. Доказательство: Посмотрим на крокодила сверху. Он зеленый и в длину, и в ширину. А широк он только в ширину. Доказательство с другой точки зрения аналогично. Доказательство теоремы: Согласно Лемме 1 крокодил более длинный, чем зеленый, а по Лемме 2 – более зеленый, чем широкий. Поэтому крокодил более длинный, чем широкий. Аксиома 1: Что написано пером, то не вырубишь топором. Аксиома 2: Лес можно вырубить топором. Следствие: Лес пером не опишешь. Аксиома 1: Обещанного три года ждут. Аксиома 2: Семеро одного не ждут. Следствие: Если семеро ждут обещанного, то им обещано не одно. Внимательно вглядываясь в некоторые стихотворные строчки, можно не без удивления обнаружить, что их авторы – потенциально весьма грамотные математики, очень тонко чувствующие многие важнейшие математические понятия: Б. Заходер.“Попугай”. – Если сможешь, угадай Что нам скажет попугай – То и скажет, полагаю, Что вдолбили попугаю. Впечатление такое, что эти стихи сочинены специально с целью дать иллюстрацию к понятию тождественного отображения. С. Маршак. “Дом, который построил Джек” Вот дом, Который построил Джек, А вот пшеница, 86 ГЛАВА 2 Которая в темном чулане хранится В доме, Который построил Джек, Неплохой пример того, что подмножество данного множества содержится в этом множестве. Б. Заходер. “Джонни”. Жил на свете Джонни. Знаете его? Не было у Джонни Ровно ничего. Нечего покушать, Нечего надеть, Не к чему стремиться, Не о чем жалеть. Нечего бояться, Нечего терять ... Весело живется, Нечего сказать! Ведь это же нулевой вектор – все координаты равны нулю! С. Маршак. “Три мудреца”. Три мудреца в одном тазу Пустились по морю в грозу. Будь по прочнее старый таз, Длиннее был бы мой рассказ. П. Вяземский Чтоб меня более читали, Я стану мене писать. Наглядные примеры прямой и обратной пропорциональности. М. Лермонтов Как я хотел себя уверить, Что не люблю ее, Хотел, неизмеримое измерить, Любви безбрежной дать предел. Как видно Лермонтов не только знал, что не всякая функция имеет предел, но и нашел конкретный при87 ГЛАВА 2 мер. Несколько парадоксальные, но верные примеры на эту тему имеются у К. Бальмонта и С. Смирнова. К. Бальмонт Снежная равнина без предела. По краям все лес, и лес, и лес ... С. Смирнов “Наивная комета” –Я выше всех! – подумала комета. И даже где-то Подчеркнула это. А на нее с улыбкой поглядела Вселенная, Которой нет предела. Геометрия Планиметрия Тема: Понятие “точка” Пример 1.” Неисчерпаемая точка”. Смирнов. В статье просматривается эволюция понятия “точка”, основного понятия геометрии. В древней Элладе точку рассматривали, как метку на листе или плоскости. В 17 веке точку начали описывать, как физическую (ей дали два параметра – масса, скорость). Ферма рассматривал только на прямой, Декарт добавил к этому точку на плоскости (x, y), Ньютон превратил точку в трехмерную (x, y, z). Вскоре из физики пришло следующее описание точки: трехмерное изображение, трехмерная скорость и масса. Эйнштейн, разрабатывая свою теорию относительности, вместо массы дает точке кинетическую энергию и время. В качестве примера физической точки рассматривается фотон, для которого необходимы еще два параметра – двумерный вектор, фаза. Рассматриваются различные примеры физических точек, на этой основе дается еще одна модель возникновения и строения Вселенной. 88 ГЛАВА 2 В результате делается вывод о точке, как о незамкнутом множестве. Тема: “Ломаная” Пример 1 Путь исканий князя Андрея Болконского Л. Н. Толстой (Война и мир). Этот путь можно показать, как ломаную. Нижняя точка – моменты духовного и душевного кризиса, а верхние – эмоционального и морального взлета. Наташа 1805 1812 1825 Сперанский Салон Шерер Аустерлиц Бал Курагин Ранение Тема: “Многоугольники” Треугольник Пример 1 Необычное решение складного велосипеда предложила английская фирма ”Страйда”. В разложенном виде это треугольник на колесах. Пример 2 Институт металлургии железа КНР разработал и запатентовал метод производства гвоздей с треугольным сечением. Метод основан на протяжке стальной проволоки через треугольное отверстие. Такие гвозди легче обычных, а кроме того, плотнее сидят в дереве, так как в отличие от круглых не способны поворачиваться в нем. К тому же они легче входят в дерево. Равносторонний треугольник Пример 1 В механике равносторонний треугольник используется следующим образом: если провести дуги окружностей 89 ГЛАВА 2 с центрами в вершинах равностороннего треугольника, соединяющие две другие его вершины, то полученная замкнутая кривая будет обладать свойством постоянства ширины, т.е. расстояние между двумя параллельными касательными к этой кривой будет постоянной величиной, равной стороне треугольника. Пример 2 Равносторонние треугольники можно увидеть в переплетении стержней, образующих строительные конструкции, – такие формы являются наиболее прочными среди конструкций с заданным расходом металла. Прямоугольник Пример 1 В Апеннинах, в 100 километрах восточнее Рима, создан самый большой подземный детектор космического излучения, названный Обсерваторией монопольных астрофизических и космических лучей. Он представляет собой прямоугольник из железобетона размером с футбольное поле. Состоит детектор из двух слоев. Основная цель, открытие магнитной монополии. Пример 2 Вы, наверное, знаете о существовании так называемых геопатогенных зон, которые могут быть причиной аварии на автомагистрали, вызывают заболевания скота в стойлах и прочее. Доктор М. Курии из Баварии, считал, что фактором провоцирующим тяжелое заболевание – рак, является особый вид “теллурической” радиации, связанной с так называемой земной сетью. Позднее эта сеть получила название “сеть Курии”. – Есть мнение, что звенья этой сети представляют собой многоугольники. Но биолокационные исследования выявляют, не трех – или пяти, не шести – или двенадцати угольную, а ортогональную структурно силовую сеть состоящую из прямоугольников размерами 6×5 метров. Узлы этой сети образуют положительные и отрицательные зоны, которые влияют на человека и другие вещи. 90 ГЛАВА 2 Пример 3 Вблизи пирамиды Джосера расположена гробница зодчего Хесиры. Стены гробницы украшали рельефы на досках, датируемые 2650 годам до нашей эры. Доски сохранились до наших дней и хранятся в музеи Каира. На одной из досок изображен сам Хесира. В руках у зодчего орудие труда: прибор для письма и две палки, два эталона меры. Длины их относятся, как сторона и диагональ прямоугольника, как числа 1 и 5 Квадрат Квадрат – это, пожалуй, самая совершенная геометрическая фигура. Он встречается в самых различных произведениях искусства: от оснований египетских пирамид до “черного квадрата” Малевича. В математике квадрат впервые появился в теореме Пифагора. Измерить площадь фигуры в Древней Греции означало построить квадрат, равновеликий этой фигуре. С тех пор всякое вычисление площади принято называть квадратурой. Пример 1 Один садовод-любитель очень хотел развести в саду вьющуюся розу. Три раза сажал ее и лелеял, но роза увядала. Пригласили водоискателя с рогулькой, который обследовал весь сад. Оказалось, поверхность земли представляет собой невидимую глазом сетку, разбитую на квадраты, стороны которых в среднем составляют 2-3 метра. При этом некоторые деревья “любят” расти в вершинах квадрата, а другие, наоборот, на линии пересечения диагоналей квадрата, то есть в центре. Пятиугольник Пример 1 Гипотеза возникновения алмазов связана с пятиугольником. Расположение алмазных копий на Земле имеет свои закономерности, – располагаются они в зонах так называемых аномалий. Правильный многоугольник Пример 1 В 1890 году журнал “Научное обозрение” в Чикаго сообщил о необычном локомотиве “Хинкли” у которого 91 ГЛАВА 2 колеса не круглые, а многоугольные. По мнению создателей, 105-угольник, каждая сторона которого примерно 51 см. должен гарантировать тяжелому составу строгание с места без пробуксовки. Но об этом изобретении забыли. Но идея вековой давности не бессмысленна. По мнению современных ученых, колесу лучше придать форму 315-угольника. Пример 2 Многие математики имеют свойство заниматься вещами бессмысленными, которые через века приобретают огромную ценность. Например, исследования французского механика и математика Луи Пуансо (1777-1859), о котором в справочниках говорится коротко “В области геометрии изучал правильные звездчатые многоугольники. Пуансо задался вопросом: сколько правильных многоугольников может быть получено при разбиении окружности на n равных частей. Обозначив число таких многоугольников через N, он вывел простую формулу: n 1 1 1 N= (1- )(1- )(1- ) …..,где a, b, c и т.д. – различные, 2 a b c простые множители числа n. То есть для 10 a=2, b=5. Отсюда N=2 (значит, существует всего два правильных десятиугольника). Изыскания Пуансо оказались весьма важными для геометрии в теории правильных многоугольников. Пример 3 Почему природа предпочитает пятизначность? Еще в 18 веке натуралист и философ Томас Браун раздумывал над тем, “почему морские звезды пятиконечные?” В 1955 году М. Бредер в связи с пяти конечностью морских звезд обратил внимание на важный факт: пятиугольник – это единственный, правильный многоугольник, у которого число сторон n равно числу диагоналей d. В любом правильном многоугольнике число диагоналей d= n(n − 3) . 2 При n=5 d=5. По мнению Бредера, это обстоятельство делает радикальный рост в пяти направлениях легче, чем 92 ГЛАВА 2 в трех, четырех и шести. Он полагает, что пятиугольный “скелет механически самый прочный и устойчивый. С пчелами было установлено, что насекомые умеют “считать” и специалисты даже утверждают, что пчелы “больше всего любят число 5”. Возможно, отсюда лежит путь к пониманию, почему 5 лепестков встречаются у столь многих, сохранившихся до наших дней цветов. Тема: ”Окружность. Круг” Одно из интереснейших свойств круга состоит в том, что круг при заданном периметре ограничивает максимальную площадь. Пример 1 Ответим на вопрос “почему принято делить окружность на 360 ?”. Вавилонские жрецы, наблюдая движение солнца, обнаружили, что в день равноденствия, оно от восхода до заката описывает на небесном своде полуокружность, в которой видимый поперечник солнца укладывается ровно 180 раз. Пример 2 Одно из самых больших в мире колес обозрения было изготовлено в итальянском городе Реджо-Эмилия компанией “СДЧ”. Эта модульная конструкция собрана и установлена в США. На колесе смонтированы 44 кабины, вмещающие 264 человека. Диаметр колеса – 59,4 метра, ось вращения расположена на высоте 62,67 метра над землей. Мощность двигателей, вращающих колесо250 киловатт. Пример 3 В феврале 1982 года астрономы обсерватории КиттПик (США) впервые за всю историю изучения солнечного диска наблюдали пятно в форме диска. Тема: “Площадь” Пример 1 Чтобы вычислить площадь участка земли, мы умножим длину участка на его ширину. Древние решали эту задачу геометрически. К плану измеряемого учас93 ГЛАВА 2 тка причерчивали эталон. У египтян эталоном служил квадрат. Через прямоугольник, одну сторону которого составляла сторона эталона, а другую – сторона измеряемого участка, проводили диагональ до пересечения его с продолжением, второй стороны эталона. Получилось 4 прямоугольника. Два прямоугольника из них, через которые проходит диагональ, подобны третьей. Третий равновелик эталону меры площади. Равновеликий эталону прямоугольник позволяет сосчитать, сколько мер в измеряемой площади. Итак, первые геометры пользовались диагональю и сторонами прямоугольника, чтобы строить подобные и равновеликие площади, измерять их складывать. Пример 2 Коллегия Европейского экономического сообщества постановила, что на птицефабриках каждая курица должна иметь место в клетке площадью не менее 450 см . Однако наблюдения показали, что курице весом 2кг просто для стояния надо 428-592 см , чтобы повернуться 978-1626 см , чтобы почистить перышки более 800 см , похлопать крыльями 1085-2060 см . На наших же птицефабриках одной несушке предоставляется 400 см . Тема: “Геометрические преобразования” Поворот Пример 1 Сюзан Жиру, одна из исследовательниц картины “Джоконда” создает композиции “Глаза Моны Лизы”, “Загадка Моны Лизы”. Ловко, умело и просто красиво в одной рамке расположены различные детали лица Джоконды: уменьшенные и увеличенные и под разными ракурсами, что и подтолкнуло Сюзан к открытию. Если взять, например, губы и увеличить их несколько раз и повернуть в любую сторону на , то получится ничто иное, как торс юноши. Исследуя и рассматривая дневники записей Леонардо, Жиру пришла к выводу, что их можно прочитать с 94 ГЛАВА 2 помощью зеркала. Художник писал левой рукой справа налево, и вывернутыми на изнанку буквами. Кстати, Леонардо говорил, что для того чтобы понять его картины нужно быть математиком. Симметрия Пример 1 Рассмотрим виды симметрии, непохожие на обычные: зеркальную, поворотную, трансляционную, цветную, винтовая. Приведем примеры из жизни на каждый вид: – зеркальная: листья, цветы, тела животных и людей. – поворотная (дается определение порядка поворотной симметрии): цифра 8 – симметрия второго порядка, трехлопастный пропеллер – симметрия третьего порядка, крестовина - четвертого порядка, пяти – лепестковый лютик – пятого порядка. – трансляционная (повторяющийся рисунок через одинаковое или закономерное расстояние): рисунок на обоях, паркет, кружева, черепичная крыша, узор на шкуре змеи. – цветная (зеркальное отражение вместе с переменой цвета): шахматные фигуры, расставленные в одинаковом порядке. – винтовая (наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений, т.е. они не заслоняют друг друга от света; другим проявлением оказывается устройство соцветия подсолнечника чешуи еловой шишки или ананаса). Пример 2 Древний Египет: за 4 тысячи лет до наших дней в долине Нила были города, населенные торговцами и ремесленниками. Раскопки около Иллахуна обнаружили развалины древнего города, где вдоль улиц и переулков, расположенных симметрично, стояли небольшие домики. Пример 3 Крупные, величиной с ладонь ажурные снежинки, вырастающие из влажного воздуха на стенках Кургур95 ГЛАВА 2 ской ледяной пещеры (северо-западный склон Урала) особенно ясно показывают свое шести стороннее строе0 ние с углами точно 120 . Иметь другую симметрию снежинкам “запрещает” кристаллическая структура льда. При одинаковой симметрии форма и строение снежинок, как крупных, так и мелких чрезвычайно разнообразно. В природных условиях в одном и том же снегопаде снежинки могут быть различны. Японские ученые У.Накайя и В.Сикидо предложили 8 типов снежинок. Подобие Пример 1 У западногерманской деревни Унтерзиминген сооружена уменьшенная в 850 миллионов раз модель Солнечной системы. Солнце изображено пустотелым медным шаром диаметром 163см. В 69 метрах от него находится Меркурий. В стеклянном ящике укреплен отлитый из аллюминевого сплава шарик размером с горошину. Масштаб Пример 1 В Северной Ирландии рядом с Армагской обсерваторией находится Астрономический парк. В нем на двух гектарах лужаек сооружена масштабная модель Вселенной. Вдоль 500 метровой аллеи на мраморных постаментах установлены ”глобусы” изображающие все планеты солнечной системы. В области, лежащей за Плутом, масштаб становится логарифмическим, иначе не хватило бы никакой территории. Специальные указатели рассказывают о расстояниях, отделяющих нас от галактических и внегалактических объектах. Стереометрия Тема: “Многогранники” Понятие “Многогранник” Пример 1 Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к многогранникам – удивительным символам симметрии при96 ГЛАВА 2 влекающих внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона до Евклида, до Эйлера и Коши. Многогранники – это не только объект научных исследований. Их формы, – завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве. Обычно модели многогранников конструируют из разверток, но есть и другой способ. Математики давно уже доказали возможность построения трех - мерных объектов из ленты. Так, ни чем на первый взгляд непримечательная бумажная лента при нанесении на ее поверхность узора превращается в заготовку для построения самых разнообразных многогранников. На основе различных узоров можно создать все правильные многогранники, кроме додекаэдра. В сочинении Иоганна Кеплера “О шестиугольных снежинках” есть очень меткое замечание: ”Среди правильных тел первым по праву считается куб, первозданная фигура, отец всех остальных фигур. Октаэдр, имеющий столько же вершин, сколько у куба граней, является как бы его супругой….”. Действительно, все элементы образующихся из нашей ленты сложных форм являются элементами куба или октаэдра, либо того и другого вместе. Способ построения многогранников из ленты, может статься, послужит человеку не только для развлечений. Ждет своего создателя метод получения объемных объектов путем намотки. Возможно, и в недалеком будущем войдут в наш быт и оригинальные упаковки, и детали интерьера, и кто знает! – оболочки космических аппаратов, созданные из обыкновенной ленты. Пример 2 Многим известно, что летом при испарении насыщенного раствора соленых озер на дно выпадают кубические кристаллики галета – поваренной соли. Однако не все знают, что зимой, когда температура ниже нуля, из растворенной в ней соли образуются удивительные “каменные цветы”, которые представляют собой большие правильные шестиугольные, хрустально-прозрачные кристаллы, собранные в причудливые узоры. 97 ГЛАВА 2 Пример 3 Тысячи квадратных километров, северных районов американского штата Аляска покрыты так называемыми тундровыми многогранниками. Такой природный “рисунок” местности получается в результате многократного замораживания и оттаивания почвы. Канавки, в которых летом постоянно скапливается вода, при замерзании расширяются, так как их распирает лед. В центре отдельных образуемых многогранников иногда возникают озера, соединяемые с канавками протоками. Это хорошо наблюдать с самолета. Тема: ”Правильные многогранники” Тетраэдр, куб, икосаэдр, октаэдр Пример 1 Крупный вклад в натурфилософию внес Платон. Источником он считал вечный, идеальный, абсолютный мир идей, первоначальными элементами, которого являлись четыре геометрических тела: куб, икосаэдр, октаэдр, тетраэдр. Им в реальном мире соответствовали четыре элементарных материи: вода, земля, воздух и огонь. Пример 2 Молекулы С2n составляют семейство фуллеренов и являются очень устойчивыми. Причем, чем больше число атомов в молекуле, тем сильнее ее форма отклоняется от сферы, и тем больше она приближается к правильному икосаэдру, в 12 вершинах которого лежат 12 правильных пятиугольников. Причем 12 пятиугольников появляются во всех фуллеренах не случайно. Еще в 18 веке Эйлер доказал, чтобы сделать из шестиугольников замкнутый выпуклый многогранник, необходимо к ним добавить ровно 12 пятиугольников. Этот результат выводится из теоремы Эйлера: у всякого выпуклого многогранника: В + Г – Р = 2, где В – число вершин, Г – число граней, Р – число ребер. Пример 3 На лесной экспериментальной станции, близ Осаки, японские ученые предложили “формовать” бревна пе98 ГЛАВА 2 ред их обработкой. Когда обычные крупные бревна распиливают на доски, остается много отходов, малоценного горбыля. Японцы загружают бревно в специальную сконструированную микроволновую печь и нагревают о до 100 C, а затем прессуют в форме под давлением 10 2 кг/см . В результате бревно становиться квадратным в сечении, вдобавок древесина упрочняется. Тема: “Тела вращения” Цилиндр Пример 1 Гамма картонных упаковок для молока и других пищевых жидкостей международной фирмы “Тетра Пак” пополнилась упаковкой “Тетра Поп”. Это цилиндр из картона с полиэтиленовой пленкой. С верху на картонный цилиндр приварена полиэтиленовая крышка с открывающимся язычком, который можно, если напиток использован не до конца, снова закупорить отверстие. Цилиндрическая форма удобнее для потребителя, цилиндр легче схватывается рукой, да и проще в производстве, а квадратное основание позволяет плотно упаковывать такие сосуды в ящики или поддоны. Пример 2 Инженеры Британского филиала построили и испытали пластмассовый двигатель внутреннего сгорания. Мощность мотора 52 лошадиных силы, объем цилиндра 1000 куб. см. Основные преимущества по сравнению с цельнометаллическим мотором такой же мощности – меньший вес, отсюда меньшее потребление горючего (на 5%), более тихая работа, токсичность выхлопных газов снижена (на 20%). Пример 3 Из города Бателов в Братислав на расстояние 340 километра был перевезен резервуар высокого давления для химического завода. Масса цилиндра диаметром 5,2 метра и длиной 13,5 метров составила 364 тонны, а с двумя трейлерами фирмы “Фаун”, на которых его тянули 590 тонн. В трейлер были запряжены четыре тягача 99 ГЛАВА 2 мощностью 600 лошадиных сил. В процессию входили два мощных автокрана, четыре тягача и два вспомогательных грузовика. Весь путь при движении 10 часов в день занял 9 дней. В перевозке участвовали 30 человек из них трое руководители операции. Пример 4 “Украшения” из слоенных снежных роликов были запечатлены фотографом в одном из холмистых местечек американского штата Вермонт. А созданы они в результате резких изменений погоды. Однажды ночью низкая температура превратила снежный покров в твердую корку. На следующий день на эту корку выпал легкий рассыпчатый снег и прилип к ней. Потом подули ветры со скоростью около 40 миль в час, и тогда началось как бы сдирание верхнего слоя свежего снега и скатывание его в цилиндры диаметром до нескольких футов. Конус, усеченный конус Пример 1 В немецком городе Пассау уже более 300 лет действует одна из самых известных фирм, выпускающий колокола и башенные часы. Фирма отлила колокол высотой и диаметром по 2,5 метра, массой 11 тонн, и в августе 1990 года он был доставлен в Будапешт. В день Святого Штефана, 20 августа, гигантский колокол зазвонил в первый раз. Пример 2 Самая высокая дымовая труба стоит в канадском городе Коппер – Клидеф, она выносит на высоту 380 метров дым от никеле плавильного завода. Общая масса гигантского дымохода 39006 тонн, диаметр у основания 35,40 метров, на вершине 15,8 метров. Труба, имеющая форму усеченного конуса, возведена в 1970 году всего за 60 дней. Шар Шар – это максимум вместимости при минимуме поверхности. Поезд, по форме напоминающий сигарету, это шароид (шар, усеченный с двух сторон параллельными плоскостями), с центром тяжести выше центра устойчивости, 100 ГЛАВА 2 что придает ему особую устойчивость. Вот почему небесные тела шарообразны, голова человека кругла и т.п. Пример 1 Западногерманская фирма “Шотт” изготовила по заказу религиозной общины города Ауровилля на юго-востоке Индии самый большой в мире хрустальный шар. Он должен украшать новый храм. Диаметр шара 70 см., он сделан из высококачественного оптического стекла. Отливка заготовки продолжалась 15 часов, а остывание – пять недель. Пример 2 Английская фирма разработала надувные шары, которыми можно заткнуть на время трубопровод, если ему требуется ремонт. Шар вводится в трубопровод и с потоком жидкости или газа доходит до нужного места. Здесь по радиосигналу открывается клапан баллончика со сжатым азотом, и шар раздувается до диаметра трубопровода, надежно его перекрывая. Сфера Сферу обычно определяют как совокупность точек пространства равноудаленных от данной точки, называемой центром сферы. На палубе судна “Академик Королёв” антенна локатора космической связи закрыта сферической оболочкой, т.к. точки антенны наиболее удаленные от центра вращения, движутся при работе по некоторой сфере. Другая отличительная особенность – одинаковая кривизна этой поверхности во всех её точках и по всем направлениям. Именно по этому круглые мячи для игры в футбол, волейбол, теннис с равным успехом могут кататься в любую сторону, и траектория их полета зависит лишь от направления и силы удара. Пример 1 На борту первого космического корабля, запущенного в 1959 году находился сферический вымпел, который состоял из 7 больших правильных пятиугольников, каждый из которых в свою очередь состоял еще из 6 правильных пятиугольников. На этой же основе построены хорошо известные нам футбольные и волейбольные 101 ГЛАВА 2 мячи, с той лишь разницей, что состоят из большого числа пятиугольников и имеющих форму шара. Полусфера Пример 1 К всемирному чемпионату по хоккею, проходившему в 1989 году, был построен стадион с самым большим в мире куполом. Высота купола, не имеющего центральной опоры, 90 метров, диаметр 110 метров. Специальная система креплений обеспечивает плотность швов между элементами кровли, несмотря на сезонные колебания температуры. Пример 2 Австралийскому инженеру Дугласу Элу не давали покоя неоднократные случаи гибели пожарных во время тушения лесных пожаров. Это случалось, когда люди попадали в кольцо огня и не могли найти укрытия. Он сконструировал палатку из аллюминированной стекловидной ткани, изнутри подбитой шерстяной материей. Ткань натягивают на каркас в виде пяти стальных дуг. Получается полусферический шатер диаметром 2 метра, вмещающей шесть человек. Пример 3 Первый созданный в Германии планетарий работал под куполом всего 10 метров. Первые серийные аппараты были рассчитаны на купол диаметром 23 метра. С 1927 года крупнейшим в мире планетарием был Дуссельдорфский (диаметр 29,8 метров). После его разрушения во время войны в течение четырех десятилетий самым большим оставался Московский планетарий 25 метров. Новый проекционный аппарат из Вены испытан под одним из самых крупных в мире куполов, внутренний диаметр которого 100 метров. Тема: Понятие “Объем” Пример 1 “Этот трехмерный объемный мир” Сожалея об ограничениях, которые накладывает на жителей Земли существование в трехмерном пространс102 ГЛАВА 2 тве, выдающийся поэт и историк Валерий Брюсов в стихотворении “Мир n-измерений” писал: «Высь, ширь, глубь. Лишь три координаты. Мимо них, где путь? Засов закрыт”. Безусловно, у обитателей четырехмерного мира было бы больше возможностей для поступков и действий, чем у нас. Вот один пример: в подобном мире можно сделать операцию на сердце, не вскрывая грудную клетку человека. Поясню сказанное. Нарисуйте на листе бумаги окружность и поставьте карандаш острием на бумагу вне окружности. Двигая карандаш по листу, попробуйте дотронуться до центра окружности, не пересекая её. Сделать это можно, лишь оторвав карандаш от бумаги, то есть, выведя его в 3-е измерение. Подобно тому, как в пространстве 3-х измерений точка может войти в круг и выйти из него, не прикасаясь к окружности, так в пространстве 4-х измерений тело может проникнуть во внутрь сферы или выйти из неё, не повреждая поверхность сферы. Жить в одномерном или 2-хмерном пространстве было бы ещё хуже. Геометрические объекты там не имеют объемов, веревку нельзя завязать в узел и т.п. Вернемся теперь в привычный для нас трехмерный мир и поговорим о его объемных характеристиках. Вычислять объемы нас учат в средней школе. Но когда-то подобные задачи считались очень сложными. Архимед, определивший соотношение между объемами цилиндра и вписанного в него шара, считал полученный результат настолько важным, что даже завещал выбить найденное им соотношение (3:2) на своей могильной плите. Все связанное с объемом, интересует не только физиков и математиков. Уделяют внимание этой теме и писатели. У Б. Пастернака есть такие строчки, посвященные любимой всеми нами книге: ”Книга есть кубический кусок горячей, дымящейся совести – и больше ничего”. Единица измерения объема – кубический метр Шкала, 103 ГЛАВА 2 посвященная объемам – логарифмическая. В центральной, части шкалы два соседних деления отличаются друг от друга по величине в 10 раз, в других ее частях – в тысячу раз. Такой масштаб позволил изобразить на одном рисунке многие объемные характеристики окружающего нас мира: от объема атомного ядра до объема видимой 76 части Вселенной. Её величина выражается числом 10 . Это очень большое число. Попробуем его себе представить (смотреть плакат). Пусть есть путь, длина которого, скажем, в см. выра76 жается числом 10 . Чтобы пробежать это расстояние свету, движущемуся со скоростью 300 тыс. км/с, потребуется 76 10 10 лет, а наша вселенная существует «всего» 5*10 лет. Алгебра Тема: “Простые числа и операции над ними” Пример 1. “Числа и геология”. Об интересной закономерности чисел, их связи с геологией. В частности с прогнозированием местонахождения полезных ископаемых, открытие еще неизвестных месторождений. Пример 2 А действительно, способны ли животные считать? Оказывается, да. В статье приводится ряд интересных примеров- экспериментов, подтверждающих данный ответ. Различные виды животных подвергались опытам разного рода, и выяснилось, что первоуказанные способны считать, но лишь в определенных пределах. Пример3 В марте 1992 года сотрудник английской фирмы рассчитал самое большое из простых чисел. Оно равно 756839 2 -1. В этом числе 227832 цифры. Напечатанное целиком, оно заняло бы примерно половину журнала “Наука и жизнь”. Поиск таких чисел важен для теории математики. Пример 4 “Двадцатитрехлетний индеец С. Махедеван, студент психолог из города Мангалу, установил новый мировой 104 ГЛАВА 2 рекорд памяти. За 3часа 39 минут он запомнил и повторил наизусть 31811 цифр”. Пример5. Очерк “Рассказ о бесконечности, сочиненный ночью на берегу теплого моря” (Вячеслав Белов). Этот очерк вводит нас в мир психологических ощущений и образов, рождаемых идей бесконечности: “бездонный ночной небосвод”, “неумолчный шум прибоя”. Основное внимание автор уделяет логическому аспекту понятия “бесконечность”. Он приводит размышления о бесконечности с точки зрения математика и физика. Лирические мысли о бесконечности оказываются достаточно, глубокими имеют такой подтекст, о котором ученые даже не подозревают. Пример 6. “Удивительное постоянство”. Число 526315789473684210 удивительно тем, что, будучи умноженным? на любое число, оно дает результат, в котором неизменно повторяется группа цифр этого числа, а именно 89473684210. Отчего бы это? Пример 7. “Произведения перевертышей”. Вот два арифметических примера на умножение, достойные занять место в коллекции математических неожиданностей. 20646*35211=11253*313302 203313*657624=426756*313302 Они примечательны тем, что цифры в них расположены зеркально – симметрично относительно знака равенства. Предлагается найти не только примеры такого рода, но и алгоритмы для их составления. Пример 8. “Одинаковыми цифрами”. Предлагается три примера: 121 = 12-1; 144 =14 – – 4 ; 324 =24-3!. Предлагается представить подобным образом все квадратные корни из чисел первой тысячи. Примеры 6,7,8 входят в так называемые “Математические досуги”. 105 ГЛАВА 2 Тема: “Единицы измерения” Пример 1 За единицу измерения тяговой силы гужевого транспорта (колесные и санные повозки, в которых используются сила животных) принимают лошадь. Ее тяговая сила считается как 1/5-1/7 ее веса. Тяговая сила вала – 0,5; верблюда – 1; буйвола – 1; осла – 0,35-0,33; собаки – 0,15 лошадиных сил. Пример 2 Для древних славян слово “тьма” обозначало 10000, “легион” – 100000, “леодр” – 1 миллион, “вран” – 10 миллионов, “колода” – 100 миллионов. В 15 веке расширилась славянская нумерация. В новой системе словом “тьма” обозначается 1 миллион, т. е. 12 24 48 10 , “леодр” – 10 , и “вран” – 10 . Пример 3 Эти два слова не дают запутаться в названиях деся−3 тичных приставок метрической системы: милли –10 , −6 −9 −12 −15 микро – 10 , нано – 10 , нико – 10 , и фелито – 10 , 3 6 9 для второго слова: кило – 10 , мега – 10 , гига –10 и 12 тера – 10 . Пример 4 Характерной особенностью английской системы мер и весов, а также системы денежного обращения в 19 веке было именно отсутствие в них системы как таковой. Например, фунт стерлингов равнялся 20 миллионам, каждый из которых равнялся 12 пенсам, а пенс 4 фартингам. Однако те же 20 миллионов в золотой монете составили 1 соверен, а 21 шиллинг – гинею. Серебреная монета в 5 шиллингов составляла 1 крону, а в 2 шиллинга – флорин, что порождало возможности обмена при финансовых расчетах до перехода на десятичную систему. Пример 5 Термин “миллион” впервые появился в математическом труде только в 14 веке, но широко распространился еще позже, придя на смену “тысяче тысяч” лишь в 17 веке. А термин “миллиард” для обозначения “тысячи 106 ГЛАВА 2 миллионов” появился в прошлом веке. В это же время стали применять “биллионы” для обозначения “миллион миллионов” и “триллионы” – для “миллиона биллионов”. Время и математическая практика внесли свои коррективы в применение вновь родившихся терминов. Сейчас “биллионы” вообще исчезли из научного оборота. То, что предлагали назвать “биллионами” стали называть “триллионами”. Пример 6. “Какой литр лучше? ” Действовавший в качестве эталона 1 литра, математический брусок, стал уже исторической реликвией. Сейчас, вот уже 20 лет действует определение литра как 1650763,73 длины волны оранжево-красного излучения криптоновой лампы. Но и это определение не является эталоном. В настоящее время с наибольшей точностью измерена скорость света в вакууме – фундаментальная физическая постоянная. И тогда 1 литр – это путь, пройденный в вакууме световым лучом за 1/299792458 долю секунды. Тема: “Измерение углов” Пример 1 Японские ученые измеряли углы традиционных поклонов, которыми обмениваются вежливые японцы. Оказалось, что подчиненный, кланяющийся начальнику, наклоняет туловище под углом в 45градусов, коллеги, приветствуя друг друга, наклоняются всего на 15градусов, а встречая клиентов или покупателей – на 30градусов. Тема: “Аналитический способ задания” Пример 1. “Родословная формулы” Математик Абу-Саиде-ас-Сиджуни в своей “Книге об измерении шаров шарами” вывел следующее соотноше3 3 3 ние: (x+y) -(x +y )=3xy(x+y). Это соотношение он вывел с помощью геометричес3 3 кой алгебры, и оно равносильно формуле (x+y) = x + 2 2 3 +3x y+3xy +y . 107 ГЛАВА 2 Пример 2. “Главное- формула”. Портной любитель из Варшавы Альфред Элерт скроил множество костюмов и при этом ни разу не встречался со своими клиентами. Элерт – математик и вывел одну очень сложную формулу, в которую входят рост, вес, ширина плеч и окружность талии заказчика. Тема: “Пропорция”. Пример 1 Многие планетологи считают, что взаимные расстояния планет подчинены гармонии, отыскание которой составляет серьезную научную задачу. Пожалуй, самой удивительной по точности пропорцией являются отношения взаимных расстояний последовательно расположенных спутников Сатурна. Диона (0,378) Энцелад(0, 238) = Тефия (0, 295) Мистас(0,186) Значения этих расстояний (в миллионах километров) обозначены цифрами в скобках. В виде непрерывной пропорции представляются отношения больших полуосей орбит и спутников Юпитера. Точность всех этих уравнений поистине необычна. Ведь вероятность подобного исчезающе мала. Пример 2 Путь к красоте идет через гармонию, через неустанные поиски средств и приемов создания целостного строения предметов. Гармонию ищут в природе, в физиологии человека, извлекают ее из свойств и качеств предметов, связывают с законами точных наук (математики, механики, аэродинамики и др.). Леонардо де Винчи сочетал средства гармонизации формы и законы точных наук не только в живописи, но и в проектах ткацких станков, металлургических печей, летательных аппаратов, печатных, деревообрабатывающих и землеройных машин, приборов для шлифования стекол, автором которых он является. 108 ГЛАВА 2 Важнейшее средство гармонизации это пропорции. Пропорции выступают в виде различных математических отношений, которые выражают правильность геометрического строения формы, в строгом соблюдении пропорциональной единой меры строения, как целого, так и отдельных частей предмета. Арифметические (модульные) пропорции применяются для унификации и стандартизации размеров промышленных изделий и при изготовлении оборудования зданий. Геометрическая пропорция основывается на равенстве отношений и проявляется в геометрическом подобии членений и форм. Характерная особенность геометрической пропорции это наличие пропорциональной средней величины. Особое место занимает пропорция “золотого сечения”. Пропорция “золотого сечения” получила широкое применение в архитектуре, потому что она выражает многие законы строительной механики и отвечает законам зрительного восприятия человека. Приближенная формула “золотого сечения” 3:5 представляет собой выражение до сих пор принимаемого сечения деревянной балки, а так же наиболее целесообразное, с точки зрения статики, соотношений между некоторыми архитектурными элементами зданий. Радиусы кривизны хрусталика нашего глаза так же относятся друг к другу, как 3:5. Соотношение осей эллипса нашего бинокулярного зрения тоже равно 3:5. Вот почему из всех прямоугольников нравится больше тот, у которого стороны удовлетворяют принципу “золотого сечения”. Этот закон обычно проявляется в выборе форм для прямоугольных предметов: книг, окон, коробок и др. Наиболее приятна для глаза симметрия в горизонтальном направлении и соотношении частей по тому же принципу “золотого сечения”. Этому закону, например, подчиняется расположение частей в Парфеноне, одном из замечательных памятников древнего зодчества: отно109 ГЛАВА 2 шение высоты к длине равно 3/5. Еще один пример на “золотое сечение”. После визита пришельцев был найден рисунок, который назвали “Матрешка под солнцем”. Высота матрешки, ее рост 62% от суммы тел по вертикали, т. е. от нижнего края матрешки до верхнего края, это первая ступень “золотого сечения”. Шея матрешки расположена на высоте “золотого деления” ее фигуры, т. е. от нижней линии до макушки. Глаза – это эллипсы “золотого сечения”, т. е. вертикальные и горизонтальные оси глаз взаимосвязаны “золотым сечением”. Поэтому же правилу выполнена ширина тела. Для правильности человеческого тела характерны, в общем, такие же пропорции. Были произведены измерения статуи Аполлона Бельведерского и ее частей. Оказалось, что если ее высоту разделить крайнем и среднем отношении и то же самое проделать с каждой частью, то точки деления оказываются на анатомически важных пунктах: талии, коленной чашечке, адамовом яблоке. Такой же закон применим в отдельности к лицу, руке, кисти. При изучении темы пропорции можно рассказать учащимся о математической теории музыки, обратив их внимание на математическую терминологию. Для этого следует предварительно ознакомить с так называемой гармонической пропорцией, т.е. с такой пропорцией, в которой числа, обратные числам, образующим пропорцию, удовлетворяют непрерывной арифметической пропорции. Оказывается, что длина трех струн, дающих (при данной нагрузке) ноты “до”, “ми”, “соль”, которые составляют один из наиболее благозвучных аккордов, удовлетворяют гармонической пропорции, а числа колебаний этих струн образуют непрерывную арифметическую пропорцию. Именно длины струн относятся, как числа 4:5:6, причем 6-5=5-4, т.е. получается непрерывная арифметическая пропорция. Таким образом, приятные для слуха озвучивания подчиняются простым математическим законам. 110 ГЛАВА 2 Тема: “Число ПИ” Пример 1. Из истории становления числа ПИ. Библия рассказывает, что по приказу царя Соломона был сделан круглый медный сосуд диаметром в 10 локтей, а окружности в 30. Следовательно, число ПИ (отношение окружности к ее диаметру) при тогдашней точности измерений принимали равным 3. Древнегреческие землемеры и архитекторы считали, что длина окружности больше ее диаметра в 3,16 раза. Древние римляне ошибались в другую сторону: они считали число ПИ равным 3,12. Впрочем, для техники того времени такая точность была вполне достаточной. В 16 веке число ПИ было рассчитано уже с точностью до 35 знаков после запятой. Точнее сто лет рекорд точности оставался за английским математиком У. Шенксол, который за 20 лет вручную вывел ПИ с 707 знаками после запятой. Когда появились первые ЭВМ, расчет все новых и новых десятичных знаков ПИ стал своеобразным спортом для программистов и операторов. Уже в 1962 году было получено ПИ с 100000 знаками после запятой, а в 1973 году был достигнут миллионный рубеж. Чему служат такие исследования, если даже для самых точных инженерных расчетов достаточно знать 5-6 знаков после запятой. Во-первых, это неплохая проверка возможностей ЭВМ. Во-вторых, математиков интересует, нет ли в бесконечно длинном “хвосте” ПИ натуральной последовательности чисел (1234….). Пример 2 При расчетах обычно используют число ПИ=3,14, астрономам и геофизикам необходимо уже 6 знаков после запятой 3,141592. Встречаются задачи, где требуется более 20 цифр после запятой. Группа математиков из Токайского университета побила рекорд точности с помощью ЭВМ, которая проработав 24 часа напечатала 16 миллионов знаков после запятой. Однако сами рекордсмены не знали, кому же понадобятся их результаты. 111 ГЛАВА 2 Тема: Понятие “ Функция” Пример 1. Математика и климат До сих пор точно можно было определить климат того пункта, в котором находится измерительная станция. Теперь же это можно сделать везде. М. Хессу удалось выявить зависимость между составными элементами климата – ветром, температурой, осадками, высотой над уровнем моря и т. д. Хотя эта взаимозависимость различна в разных атмосферных условиях, тем не менее, она существует и ее можно вычислить. Зная, например, число дней со снежным покровом и высоту над уровнем моря, которая обозначена на любой карте, ученые с помощью простых математических функций могут определить элементы климата: минимальную, среднюю, максимальную температуры года, даты последних заморозков, осадки, направление ветра и т. д. Пример 2. Синусоида в жизни и природе Жизнь человека состоит из непрерывной цепи ритмов с частотой периодов 23,684377 суток (Т1), 28,4261246 суток (Т2), 33,16381203 суток (Т3), либо их четвертей, т. е. разделена выше указанными интервалами во времени и пространстве момент смены фаз характеризует то состояние организма, когда он подвержен физиологическому спаду, т. е. ухудшению самочувствия, середина любой фазы характеризует наиболее благоприятное состояние то состояние организма, когда он подвержен физиологическому спаду, т. е. ухудшению самочувствия, середина любой фазы характеризует наиболее благоприятное состояние организма, когда он на подъеме своих физиологических возможностей. Изменение физиологической активности происходит по синусоиде. Пример 3 Земля, как известно, вращается вокруг солнца. Это факт. Однако это вращение осуществляется по синусоиде, что было доказано астрономами. 112 ГЛАВА 2 Тема: «Алгебраические уравнения с двумя неизвестными» Пример 1. “Первый симпозиум математиков” На севере современной Сирии примерно в 60 километрах к югу от города Халеба находится холм Телпь Мадрик. Он прикрывает развалины великолепного когда-то города Эбла, существовавшего в третьем тысячелетии до нашей эры. Около 4500 лет назад там состоялся симпозиум математиков, первый в истории науки. На нем присутствовал в качестве иностранного гостя, ученый математик Ишма – Я, прибывший из государства Шумер, из города Киш, что на берегу Евфрата (территория современного Ирака). А путь ему пришлось проделать в 1000 километров. Из повестки дня можно сделать вывод, что предшественником Пифагора и других великих математиков были уже известны алгебраические уравнения с двумя неизвестными. Сообщение об этом симпозиуме было записано клинописью на одной из 20 тысяч глиняных табличек, найденных в 1964 году итальянской экспедицией. Расшифровал его Д. Петтинато. Примерно в 1650 году до нашей эры Эба подверглась нападению завоевателей, в результате которого город был сожжен. Во время пожара глиняные таблички затвердели и сохранились. Тема: “ Геометрическая прогрессия” Пример 1 Планеты нашей системы расположены на определенных расстояниях от солнца, выраженных правилом Тициуса-Буде: к числам 3, 6, 12, 36 и т. д. (геометрическая прогрессия) прибавляется по четыре и делится на 10. Причина этой закономерности не найдена. “Пустующее ” место в этом ряду занято астероидами. Учитель может использовать любопытную многообразную информацию об ученых математиках, занимательные факты из истории России. 113 ГЛАВА 2 * * * “Отец кибернетики” Норберт Винер начал интересоваться наукой ещё в пятилетнем возрасте. В одиннадцать лет он досрочно завершил среднее образование, в двенадцать – поступил в колледж, а в четырнадцать получил научную степень. * * * Известный французский математик Алексий Клод Клеро в десять лет без затруднений читал лекции по математическому анализу, в тринадцать лет представил в Парижскую академию наук своё математическое исследование, а в шестнадцать лет стал академикам. * * * Паскаль сформулировал и доказал более тридцати теорем по Евклидовой геометрии ещё до того, как заглянул в учебник геометрии. В пятнадцать лет он опубликовал труд о конических сечениях и доказал свыше ста новых теорем. * * * У немецкого математика Карла Фридриха Гаусса очень рано проявились способности в области алгебры и теории чисел. Почти все его фундаментальные открытия были сделаны в возрасте от четырнадцати до семнадцати лет. * * * Серьёзные занятия математикой не помешали ему войти в самую гущу жизни бороться за идею, руководить целым народом. Он был президентом первого французского национального собрания в 1789 г. Он же страдальчески окончил свою жизнь будучи казнен после взятия Бастилии. * * * Лаплас – творец научной гипотезы происхождения мира. Знаменитый астроном, математик и философ был министром внутренних дел Франции. * * * Леонард Эйлер – известен солидными трудами по физиологии, богословию, лингвистики. 114 ГЛАВА 2 * * * Известно, что Наполеон часть своего свободного времени посвящал занятиям математикой. Ему приписывают такую теорему: “Если на сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника”. Этот треугольник называется “внешним треугольником Наполеона”. Аналогично строится “внутренний треугольник Наполеона”. * * * Морис Корнелиус Эшер. Всемирная известность пришла к Эшеру в 1954 г. когда в Амстердаме состоялась его выставка. Математики сразу признали своего художника. Орнаменты Эшера отвечают важной математической идее – идеи периодичности. * * * Умножение столбиком, знакомое со школьной скамьи, изобретение не столь уж далекого времени. Его придумал английский математики У. Оутред (1575-1660), учениками которого были знаменитый Кристофер Рен – создатель собора св. Павла в Лондоне, и крупный математик Дж.Валлис. Другим замечательным изобретением Оутреда была также всем известная логарифмическая линейка, которую ввел в широкую инженерную практику создатель универсальной паровой машины Дж. Уатт на своем машиностроительном заводе в Соко. * * * В мире не существует не только рукописей Евклида, нет даже его трудов на греческом языке. Да и первый текст на латыни появился лишь в 1120 году – это был перевод с арабского, сделанный английским схоластом Этельгардом Батским. Первое типографическое издание Евклида появилось в Венеции на латыни в 1482 году, и только в 1570 г. – за 73 года до рождения Ньютона – Генри Биллингелли перевел Евклида на английский язык. Из 13 книг Евклидовых “Начал” 1-5 посвящены планиметрии, 6 – пропорции, 7-9 – иррациональным 115 ГЛАВА 2 величинам, 10-13 – стереометрии. В современные издания редко входят все книги, чаще всего ограничиваются первыми шестью. * * * Под словом “алгебраист” ныне понимают ученого специализирующегося на определенном разделе математики. Сам термин “алгебра” происходит от названия трактата, который написал арабский мудрец Магометибн-Муза-Альхорезми (Магомет сын Музы из Хорезма). А назывался он так: “Аль-Джебр-в-альмукабала”, что означает: “Восстановление и противоположение”. Его содержание показывает, что под операцией “джебр” – восстановление – Альхорезми имел ввиду перенос членов из одной части уравнений в другую. Латинские переводчики сначала добросовестно переписывали название трактата целиком, но постепенно вторую половину стали опускать, и со временем наука о решении уравнений получила краткое наименование “аль-джебр” – алгебра. Как “восстанавливать”, “исправлять, то что сломано” оно продолжало широко применяться в обиходе стран, подверженных арабскому влиянию. В частности в Португалии и Испании, врачей, “восстанавливающих” здоровье, нередко именовали “алгебраистами”. Поэтому, встретив человека с редкой фамилией Алгебраистов, не спешите заключать, что он – потомок математика. Куда вернее, что кто-то из его предков был врачом или костоправом. 116 Литература 1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. – М.: Советское радио, 1970. – 152 с. 2. Алимов Ш.А.,Колягин Ю.М. и другие. Алгебра – 7. – М.: Просвещение, 1998. – 192 с. 3. Алимов Ш.А.,Колягин Ю.М. и другие. Алгебра – 8. – М.: Просвещение, 1994. – 240 с. 4. Алимов Ш.А.,Колягин Ю.М. и другие. Алгебра – 9. – М.: Просвещение, 1998. – 224 с. 5. Алимов Ш.А.,Колягин Ю.М. и другие. Алгебра и начала анализа М.:Просвещение, 1993. – 256 с. 6. Ананьев Б.Г. Очерки по психологии. – Л.: Лениздат, 1945. – 160 с. 7. Андреев А.Л. Место искусства в познании мира. – М.: Политиздат, 1980. – 225 с. 8. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и другие. Геометрия 7-9. – М.: Просвещение, 1995. – 336 с. 9. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и другие. Геометрия 10-11. – М.: Просвещение, 1996. – 228 с. 10. Бабанский Ю.К. Педагогика. – М.: Просвещение, 1983. – 688 с. 11. Бабанский Ю.К. Методы обучения в общеобразовательной школе. – М.: Просвещение, 1985. – 208 с. 12. Баренкова А.Ф. Ассоциативность художественного образа // Вопросы философии. – 1978. – №12. – с. 123131. 13. Батурина Г.И., Байер У. Цели и критерии эффективности обучения // Советская педагогика. – 1975. – №4. – с. 41-49. 14. Бахтин М.М. Творчество Франсуа Рабле и народная культура средневековья и Ренессанса. – М.: Худож. литература, 1965. – 527 с 15. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. – М.: Просвещение, 1993. – 352с. 16. Башмаков М.И. Математика. – М.: Высшая школа, 1994. – 544 с. 117 ЛИТЕРАТУРА 17. Бевз Г.П., Бевз В.Г. и другие. Геометрия 7-11. – М.: Просвещение,1992. – 352 с. 18. Блонский П.П. Избранные педагогические исследования. В 2-х томах. – М.: Педагогика, 1979. т 1,2. 19. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. – М.: АПН РСФСР, 1959. – 347 с. 20. Божович Л.И. Личность и ее формирования в детском возрасте. – М.: Просвещение, 1968. – 464 с. 21. Болтянский В.Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе. – 1982. – №2. – с. 40-43. 22. Борев Ю.Б. Эстетика. – М.: Искусство, 1981. – 400 с. 23. Борев Ю.Б. Комическое. – М.: Искусство, 1970. – 239 с. 24. Борев Ю.Б. Комическое и художественные средства его отражения // Проблемы теории литературы. – М.: АН СССР, 1958. – с.298-353. 25. Бунге М. Интуиция и наука. – М.: Прогресс, 1967. – 187 с. 26. Буров А.И. Эстетика: проблемы и споры. – М.: Искусство, 1975. – 175 с. 27. Ванслов В.В. Всестороннее развитие личности и виды искусства. – М.: Советский художник, 1966. – 120 с. 28. Варга Б., Димень Ю., Лопариц Э. Язык, Музыка, математика. – М.: Советский художник, 1966. – 120 с. 29. Веревский Г.И. Математика и жизнь. – Николаев,1913. 30. Верченко С.Б. Роль зрительных восприятий в усвоении геометрического материала младшими школьниками / Проблемы совершенствования преподавания математики в средней школе / Межвузовский сб. тр. – М. 1986. – с.207-212. 31. Виленкин Н.Я. Алгебра – 8. – М.: Просвещение, 1997. – 256 с. 32. Виленкин Н.Я. и другие. Математика – 6. – С.- Пб.: Свет, 1996. – 256 с. 33. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ – 11. – М.: Просвещение, 1999. – 288 с. 118 ЛИТЕРАТУРА 34. Виноградова Л.В. Развития мышления учащихся при обучении математике. – Петрозаводск: Карелия, 1989. – 176 с. 35. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся (Под ред. Якиман­ ской И. С.). – М.: Педагогика, 1989. – 244 с. 36. Волков К.Н., Фридман Л.М. Психологическая наука – учителю. – М.: Просвещение, 1985. – 224 с. 37. Волошинов В.В. Математика и искусство. – М.: Просвещение, 1992. – 336 с. 38. Воспитание школьников в процессе обучения математике (Составитель Пичурин Л.Ф.). – М.: Просвещение, 1981. – 160 с. 39. Вулис А. В лаборатории смеха. – М.: Художественная литература, 1966. – 144 с. 40. Выготский Л.С. Воображение и творчество в детском возрасте. – М.: Просвещение, 1967. – 93 с. 41. Выготский Л.С. Психология искусства. – М.: Искусство , 1968. – 576 с. 42. Гальперин П.Я. Метод срезов и метод поэтапного формирования в исследовании детского развития // Вопросы философии. – 1966. – №4. – 1957. – №6. 43. Гальперин П.Я. Умственное действие как основа формирования мысли и образа // Вопросы психологии. – 1957. – №6. – с. 58-59. 44. Гильде В. Зеркальный мир. – М.: Мир, 1982. – 120 с. 45. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. – М.: Просвещение, 1982. – 144 с. 46. Гольдентрихт С.С. О природе эстетического творчества. – 2-е издание, исправ. и доп. – М.: МГУ, 1977. – 246 с. 47. Гончаров И.Ф. Эстетическое воспитание школьников средствами искусства и действительности. – М.: Просвещение, 1986. – 126 с. 48. Гончаров А.В. Решетки и зоны Бриллюэна // Квант. – 1984. – №6. – 19-21 с. обл. 49. Горанов К. Содержание и форма в искусстве. – М.: Искусство, 1962. – 272 с. 119 ЛИТЕРАТУРА 50. Гордин Л.Ю. Взаимосвязь методов обучения и методов воспитания. – В кн.: Проблемы методов обучения в современной общеобразовательной школе (Под ред. Бабанского Ю.К., Зверева И.Д. и др.). – М.: Педагогика, 1980. – с. 103-106. 51. Гун Г.С. Эстетическое воспитание в техническом вузе // Учебно-методическое. – М.: Высшая школа, 1991. – 207 с. 52. Дорофеев Г.В. Математика – 7. – М.: Дрофа, 1998. – 284 с. 53. Дорофеев Г.В. ,Шарыгин И.Ф. Математика – 6. – М.:Дрофа, 1995.– 416 с. 54. Егерев В.К , Мордкович А.Г. 100 х 4 задач для поступающих в вузы. – М.: Слог, 1993. – 58 с. 55. Забродин Д.М. Совершенствование научной подготовки будущих учителей // Советская педагогика. – 1980. – №10. – с.109-116. 56. Занков Л.В. Сочетание слова учителя и средств наглядности в обучении. – М., 1974. 57. Зенкевич И.Г. Эстетика урока математики. – М.: Просвещение, 1981. – 80 с. 58. Зенкевич И.Г. Вопросы эстетического воспитания учащихся при обучении математике. – М., 1970. – 17 с. 59. Зенкевич И.Г. Не интегралом единым. – Тула, 1971. – 136 с. 60. Иванов П.Л. О сущности красоты. – М., 1967. 61. Изюмова С.А. Развитие познавательных способностей и усвоение школьных знаний. – М.: Наука , 1989. 62. Искусство в эстетическом воспитании детей различных возрастных групп (Под ред. Кушаева Н.А., Сомова В.П.). – М.: НИИОП, 1978. – 96 с. 63. Искусство и эстетическое воспитание: Тезисы докладов к Всероссийской конференции “Методологически проблемы эстетического воспитания учащихся” 26-28 апреля 1973 (Под ред. Овсянникова М.Ф. и др.). – М., 1973. – 189 с. 64. Калмыкова З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. – М.: Педагогика, 1981. – 200 с. 65. Карпова Т.Н. О наглядности в обучении математике // Профессионально-педагогическая направлен120 ЛИТЕРАТУРА ность математической подготовки учителя в педагогическом институте. Межвузовский сборник научных трудов. – М., 1989. – с. 97-104. 66. Квятковский Е.В. О путях повышения нравственно-эстетического влияния искусства слова на учащихся средней школы // Советская педагогика. – 1981. – №2. – С. 16-22. 67. Киселев А.П., Рыбкин Н.А. Геометрия 7-11. – М.: Дрофа, 1995. – 222 с. 68. Кищенко Н.И. Вопросы формирования системы эстетического воспитания в СССР. – М.: Искусство, 1971. – 160 с. 69. Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. – М.: Просвещение, 1992. – 192 с. 70. Клинберг Л. Проблемы теории обучения. – М.: Педагогика,1984. – 256 с. 71. Ковешников В.Т. Элементы эстетического воспитания в преподавании математики. Автореферат диссертации – М., 1968. – 19 с. 72. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. – М.: Просвещение, 1997. – 320 с. 73. Коротов В.М. Воспитывающее обучение. – М.: Просвещения, 1980. – 191 с. 74. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. – М.: Просвещение, 1981. – 112 с. 75. Котлярский А.М., Афанасьев А.П. Почему мы смотримся в зеркало // Педагогика. – 1991. – №33. 76. Крупич В.И., Епишева О.Б. Учить школьников учиться. – М.: Просвещение, 1990. – 254 с. 77. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. – М.: Просвещение, 1968. – 431 с. 78. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. – М.: Просвещение, 1976. – 300 с. 79. Крутецкий В.А. Психологические проблемы формирования педагогической направленности педагогических способностей. – М.: Просвещение, 1982. – 109 с. 80. Кудрявцев Т.В. Психология технического мышления (процессы и способы решения технических задач). – М.: Педагогика, 1975. – 303 с. 121 ЛИТЕРАТУРА 81. Левитин К. Геометрическая рапсодия. – М.: Мир, 1984. – 176 с. 82. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. – М.: Политиздат, 1977. – 514 с. 83. Линдсей П., Норман Д. Переработка информации у человека. Перевод с английского. – М., 1974. 84. Литцман В. Веселое и занимательное о числах и фигурах. – М.: ФМ, 1963. – 264 с. 85. Лихачев Б.Т., Квятковский Е.В. Методологические проблемы совершенствования системы эстетического воспитания. – В кн.: Система эстетического воспитания школьников (Под ред. Герасимова С.А.). – М., 1983. – с. 7-19. 86. Лук А.Н. Мышление и творчество. – М.: Политиздат, 1976. – 144 с. 87. Лук А.Н. О чувстве юмора и остроумии. – М.: Искусство, 1968. – 191 с. 88. Лященко Е.И. Логико-дидактический анализ теоретических знаний по математике // Приемы активизации обучения математике: Межвузовский сборник научных трудов. – Л. – 1985. – с. 3-15. 89. Маркова А.К., Метис Т.А., Орлова А.Б. Формирование мотивации учения. – М.: Просвещение, 1990. – 192 с. 90. Махмутов М.И. Современный урок – М.: Педагогика, 1985. – 184 с. 91. Мелик-Пашаев А. Личность и эстетическое отношение к действительности // Коммунист. – 1984. – №3. – с­­­­­. 67-78. 92. Метельский Н.В. Дидактика математики. – Минск: БГУ им. Ленина, 1986. – 257 с. 93. Методика преподавания математики в школе: Частные методики (Под ред. Колягина Ю.М). – М.: Просвещение, 1977. – 678 с. 94. Минковский В.А. Об элементах эстетического воспитания на уроках математики // Математика в школе. – 1963. – №4. – с. 25-30. 95. Минскин Е.М. От игры к знаниям. – М.: Просвещение, 1982. – 191 с. 122 ЛИТЕРАТУРА 96. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. – М.: Школа – Пресс, 1995. – 238 с. 97. Мордкович А.Г. Решаем уравнения. – М.: Школа – Пресс, 1995. – 38 с. 98. Муравин К.С., Муравин Г.К. Алгебра 7-9. – М.: Просвещение, 1984. – 512 с. 99. Мышкис А.Д., Сатьянов П.Г. О развитии математической интуиции учащихся // Математика в школе. – 1987. – №5. – с. 18-22. 100. Новоявленская З.Н., Мелик-Пашаев А.А. Психологические принципы эстетического развития детей и проблема эстетического воспитания // Вопросы психологии. – 1979. – №3. – с. 153-158. 101. Овсянников М.Ф. Марксистско-ленинская эстетика. – М.: Изд-во МГУ, 1976. – 353 с. 102. Озмитель Е.К. О сатире и юморе: Пособие для учителей. – Л.: Просвещение, 1973. – 192 с. 103. Павлович В.С., Гельфанд М.Б. Внеклассная работа по математике в 8-летней школе. – М.: Просвещение, 1965. – 208 с. 104. Павлюк О.И. Эмоциональные компоненты мотивации: Формирование интереса к учению у школьников (Под ред. Марковой А.К.). – М., 1986. 105. Перельман Я.И. Занимательная геометрия. – М. – Л.: Гос. изд. техн.- теор. литературы, 1950. – 296 с. 106. Пидкасистый П.И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении: теоретико-экспериментальное исследование. – М.: Просвещение, 1980. – 240 с. 107. Писарев Д.И. Сочинения в четырех томах, т. №2. – М.: ГИХЛ, 1955. – с. 331-365. 108. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. – М.: Просвещение, 1990. – 218 с. 109. Платонов К.К. Занимательная психология. – М.: Молодая гвардия, 1964. – 382 с. 110. Пойа Д. Математическое открытие. Перевод с английского. – М.: Наука, 1970. – 452 с. 111. Полуянов Ю.В. Воображение и способности. – М.: Знание,1982.– 96 с. 123 ЛИТЕРАТУРА 112. Пономарев Я.А. Психология творчества и педагогика. – М.: Педагогика, 1960. – 132 с. 113. Потоцкий М.В. О педагогических основах обучения математике. – М.: Учпедгиз, 1963. – 200 с. 114. Потоцкий М.В. Слово учителя в преподавании математики // Математика в школе. – 1977. – № 1 . – с. 5-8. 115. Программы средней школы: Математика. 5-11 классы. – М.: Просвещение, 1994. – 240 с. 116. Пуанкоре А. Наука и метод. – Одесса,1910. – 384 с. 117. Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Математика без формул. – М.: Столетие, 1995. – 570 с. 118. Развитие логического мышления учащихся в процессе преподавания математики в средней школе. Пособие для учителей. – М.: Учпедгиз, 1958. – 131 с. 119. Разумный В.А. Эстетическое воспитание. Сущность формы. Методы. – М.: Мысль, 1969. – 190 с. 120. Рубинштейн С.Л. Проблемы обшей психологии. – 2-е издание. – М.: Педагогика, 1976. – 416 с. 121. Руденко В.Н., Бахурин Г.А. Геометрия 7-9. – М.: Просвещение, 1994. – 384 с. 122. Славутский И.Ш. И в шутку и в всерьез о математике. – С.-Пб.: ИЦПО “Информатизация образования”, 1998. – 116 с. 123. Сластенин В.А. Формирование личности учителя советской школы в процессе профессиональной подготовки.– М.: Просвещение,1976.– 160 с. 124. Соколова В.А, Зенкевич И.Г. Воспитание эстетического восприятия математики. Из опыта работы преподавания математики в средней школе. (Составители: Соколова В.А., Пикан В.В., Оганесян В.А.). – М.: Просвещение, 1979. – с. 183-186. 125. Столяр А.А. Педагогика математики. 3-е издание. – Минск: Вышэйшая школа, 1986. – 415 с. 126. Таборидзе М.Д. Эстетическое воспитание школьников. – М.: Педагогика, 1988. – 104 с. 127. Тадеев В.А. От живописи к проективной геометрии. – Киев: Выща школа, 1988. – 232 с. 128. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. – М.: МГУ, 1975. – 344 с. 124 ЛИТЕРАТУРА 129. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников. – М.: Просвещение, 1988. – 175 с. 130. Тарасов Л. Этот удивительный симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982. – 176 с. 131. Теория эстетического воспитания (Под ред. Киященко Н.И., Лейзерова Н.Л.). – М.: Искусство, 1979. – 255 с. 132. Терехов И.А. Развитие интуиции на уроках геометрии // Математика в школе. – 1985. – №5. – обл. 133. Узнадзе Д.Н. Психологические исследования.– М.: Наука,1966.– 452 с. 134. Игры и развлечения (Составитель Фирсова Л.М.). т. №2. – М.: Молодая гвардия, 1991. – 221 с. 135. Фирстова Н.И. Развитие творческого воображения. Тезисы научно – педагогической конференции “Педагогика ненасилия”. – С.-Пб., 1992. – с. 79-80 136. Фирстова Н.И. Задачи по теме “Площади фигур”. Тезисы шестой конференции “Педагогика ненасилия ” – Магнитогорск, 1993. – с. 28 137. Фирстова Н.И. Шутка учителя как педагогический инструмент в отношении между учителем и учеником. Тезисы шестой конференции “Педагогика ненасилия ” – Магнитогорск, 1993. – с. 40-41 138. Фирстова Н.И.,Чиканцева Н.И. О работе учителя математики с одаренными детьми в условиях классно-урочной формы обучения. Тезисы докладов VII Международной конференции по педагогике ненасилия. – С.-Пб., 1994. – с. 5 139. Фирстова Н.И. Занимательные задачи как средство подготовки студентов пединститута. // Содержание, методы и формы развивающего обучения математике в школе и вузе. – Орехово-Зуево, 1995. – с. 34 140. Фирстова Н.И. Рисунок как средство развивающего обучения математике в школе. // Содержание, методы и формы развивающего обучения математике в школе и вузе. – Орехово-Зуево, 1995. – с.67 - 68 141. Фирстова Н.И., Чиканцева Н.И. Формирование познавательных потребностей учащихся в процессе обу125 ЛИТЕРАТУРА чения математике // Научные труды МПГУ им. Ленина. Серия: естественные науки. – М., 1995. – с. 5. 142. Фирстова Н.И. Использование на уроках математики задач на разрезание как средство приобщения учащихся к понятиям и теоремам геометрии на ненасильственной основе. // Психолого-педагогические особенности образовательного процесса в Инновационных Учебных Заведениях. – Иркутск, 1996. – с. 17 143. Фирстова Н.И., Драбкина С.С., Плакатина О.И. Методика преподавания математики. Лабораторные работы. – Иркутск: ИГПУ, 1996. 144. Фирстова Н.И. Гуманитаризация математики в средней школе. // Проблема гуманизации и гуманитаризации преподавания предметов физ. – мат. цикла в школе и вузе. – Иркутск: ИГПУ, 1997. – с. 15-16 145. Фирстова Н.И. Использование цвета на уроке математики. // Проблема содержания и методики преподавания предметов физ. – мат. цикла в школе и вузе. – Иркутск: ИГПУ, 1998. – с. 29 146. Фирстова Н.И. Метод равносильных переходов. Учебное пособие. – Иркутск: Облмашинформ, 1998. – 135 с. 147. Фирстова Н.И., Березовский М.В. Обновление текстовых задач школьного курса математики как элемент мотивации обучения. // Проблемы развития мышления в процессе преподавания математики и информатики. – Иркутск: ИГПУ, 1999. – с. 63-64 148. Фирстова Н.И. Функциональный метод решения уравнений и неравенств. Учебное пособие. – Иркутск: Облмашинформ, 1999. – 64 c. 149. Фохт-Бабушкин Ю.У. Об эффективности эстетического воспитания. – В книге: Искусство и школа. Книга для учителя. – М., 1981. – с. 17-32. 150. Фридман Л.М. Педагогический опыт глазами психолога. – М.: Просвещение, 1987. – 223 с. 151. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. – М.: Просвещение, 1983. – 160 с. 152. Хильми Г.Ф. Поэзия и наука. – М.: Наука, 1970. – 54 с. 126 ЛИТЕРАТУРА 153. Хогарт В. Анализ красоты. – Л. – М.: Искусство, 1958. – 338 с. 154. Чиканцева Н.И. Индивидуальные самостоятельные работы как средство повышения самостоятельности и творческой активности учащихся в обучении. Диссертация. – М., 1978. 155. Чиканцева Н.И. Теоретические основы организации самостоятельной работы в процессе обучения школьников математике. – М.: МПГУ, 1998. – 136 с. 156. Шамова Т.И. Активизация учения школьников. – М.: Педагогика, 1982. – 208 с. 157. Шварцбурд С.И. О развитии интересов, склонностей и способностей учащихся к математике // Математика в школе. – 1964. – №6. – с. 32-37. 158. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение. – М.: Стройиздат, 1990. – 334 с. 159. Щукина Г.И. Проблема познавательного интереса в педагогике. – М.: Педагогика, 1971. – 64 с. 160. Щукина Г.И. Формирование познавательных интересов учащихся – важный фактор совершенствования современного обучения. В кн.: Актуальные вопросы формирования в обучении. – М.: Просвещение, 1984. – 351 с. 161. Эсаулов А.Ф. Психология решения задач. – М. вс. шк., 1972. – 216 с. 162. Эстетика и современность: Книга для учителя (Под ред. Можгуняна С.Е.). – М.: Просвещение, 1978. – 192 с. 163. Эстетическое воспитание школьников (Под ред. Бурова А.И., Лихачева Б.Т.). – М.: Педагогика, 1974. – 304 с. 164. Эстетическое сознание и процесс его формирования. – М.: Искусство, 1981. – 255 с. 165. Якиманская И.С. Развивающее обучение. – М.: Педагогика, 1979. –144 с. 166. Якиманская И.С. Знания и мышления школьников. – М.: Знание, 1985. – 80 с. 167. Якобсон П.М. Психологические предпосылки эстетического воспитания школьника // Советская педагогика. – 1966. – №4. – с. 93-100. 127 Н. И. Фирстова ЭСТЕТИЧЕСКОЕ ВОСПИТАНИЕ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ Учебное пособие Издательство «Прометей» 115035, Москва, ул. Садовническая, д.72, стр.1, Тел/факс: 8 (495) 799-54-29 E-mail: info@prometej.su Подписано в печать 29.08.2013 Формат 60х90/16. Объем 8 п.л. Тираж 500 экз. Заказ № 363.
