Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы «Школа №1799» Сборник задач Двоичная система счисления Проектная работа «10 VS 10102» Автор: Киреева Софья Алексеевна, 5 Б класс Руководитель: Еловская Евгения Сергеевна, учитель математики и информатики Москва, 2018 год I. Задачи перевода чисел из системы счисления в другую разными методами Немного теории: 1. Метод разложения по степеням основания (перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную). Таблица степеней основания 10 … 1000000 100000 10000 1000 100 10 1 Возьмем число в десятичной системе счисления, например 2547, оно раскладывается по разрядам 1000 100 10 1 2 5 4 7 254710 = 2*1000+5*100+4*10+7*1 Аналогично для перевода двоичных чисел в десятичные используется Таблица степеней основания 2 … 8192 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 Пример: переведем число 1101012 в десятичную систему счисления 32 16 8 4 2 1 1 1 0 1 0 1 1101012 = 1*32+1*16+0*8+1*4+0*2+1*1= 5310 2. Метод последовательного деления на 2 (перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную). Десятичное число делится на 2 до тех пор, пока в частном не будет 0. Остатки от деления записываются справа налево, именно они и составляют двоичное число. Пример: Возьмем то же число 5310. 53/2=26 остаток 1 26/2=13 остаток 0 13/2=6 остаток 1 6/2=3 остаток 0 3/2=1 остаток 1 1/2=0 остаток 1 Ответ: 5310=1101012 3. Метод Горнера для перевода двоичных чисел в десятичные. Необходимо суммировать цифры двоичного числа слева направо, умножая ранее полученный результат на 2. Пример: 5310=1101012 0*2+1=1; 1*2+1=3; 3*2+0=6; 6*2+1=13; 13*2+0=26; 26*2+1=53 2 Задача 1.1. Используя таблицу степеней основания 2, переведите из двоичной системы счисления в десятичную следующие числа: а. 1112 =___________________ б. 11102 =___________________ в. 110112 =___________________ г. 1010102 =___________________ д. 10010112 =___________________ е. 111001112 =___________________ ж. 1101101112 =___________________ з. 10111100102 =___________________ и. 111111000002 =___________________ к. 1000100010002 =___________________ Задача 1.2. Используя метод деления на 2, переведите из десятичной системы счисления в двоичную следующие числа: а. 9 =___________________ б. 34 =___________________ в. 59 =___________________ г. 629 =___________________ д. 936 =___________________ е. 1875 =___________________ ж. 3913 =___________________ з. 11649 =___________________ и. 39578 =___________________ к. 53746 =___________________ Задача 1.3. Используя метод Горнера, переведите из двоичной системы счисления в десятичную следующие числа: а. 1002 =___________________ б. 101012 =___________________ в. 11001112 =___________________ г. 1000010002 =___________________ д. 110010011002 =___________________ 3 Задача 1.4 Какое число нарисовано? Переведите числа в строках из десятичной системы счисления в двоичную, закрасьте ячейки, содержащие 1. Расположите цифры двоичного числа по разрядам, указанным внизу таблицы. а. в. 247 231 21 36 33 68 65 244 226 23 68 17 72 145 79 247 128 64 32 16 8 4 2 1 128 64 32 16 Ответ:____________ Ответ:____________ б. г. 239 23 161 37 162 69 228 133 46 245 36 149 68 149 132 247 128 64 32 16 Ответ:____________ 8 4 2 1 128 64 32 16 8 4 2 1 8 4 2 1 Ответ:____________ 4 Задача 1.5. Выполните перевод координат точек в десятичную систему счисления и отметьте точку на координатной плоскости. Соединив последовательно все точки, Вы получите рисунок. а. Масштаб: 1 клетка = 10 № точки Двоичная Х У 1 0 110010 2 1010 110010 3 1010 1000110 4 10100 111100 5 11110 1000110 6 11110 110010 7 101000 110010 8 101000 1010000 9 111100 1101110 10 110010 1101001 11 110111 1110011 12 101101 1111000 13 110111 1111000 14 111100 10000010 № точки 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Двоичная Х У 1000001 1111000 1001011 1111000 1000001 1110011 1000110 1101001 111100 1101110 1010000 1010000 1010000 110010 1011010 110010 1011010 1000110 1100100 111100 1101110 1000110 1101110 110010 1111000 110010 Y 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Х 5 б. Масштаб: 1 клетка = 25 № точки Двоичная Х У 1 110010 1001011 2 10010110 1001011 3 1100100 1111101 4 1100100 10101111 5 1111101 10010110 6 10010110 10101111 7 10101111 10010110 8 11001000 10101111 9 11001000 1111101 10 10010110 1001011 11 11111010 1001011 12 10101111 11001 № точки 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Двоичная Х У 1111101 11001 110010 1001011 110010 10101111 1111101 11100001 1111101 100010011 1001011 101000101 11100001 101000101 10101111 100010011 10101111 11100001 11111010 10101111 11111010 1001011 Y 350 325 300 275 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 Х 6 в. Масштаб: 1 клетка = 2. Начало отчета точка (30;60) № точки Двоичная № точки Двоичная Х У Х У 1 100110 1000000 16 111010 1001110 2 101000 111110 17 111100 1001100 3 100110 111110 18 111100 1000100 4 100110 1001010 19 111010 1000110 5 100100 1001100 20 111010 1001100 6 100100 1010010 21 111000 1001110 7 100010 1010000 22 111000 1000000 8 100010 1001110 23 110110 1000000 9 100000 1001110 24 111000 111110 10 100000 1011000 25 110110 111110 11 100010 1010110 26 110110 1000110 12 100010 1011000 27 110100 1001000 13 101010 1010000 28 101000 1001000 14 110110 1010000 29 101000 1000000 15 111000 1001110 30 100110 1000000 Y 90 88 86 84 82 80 78 76 74 72 70 68 66 64 62 60 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 Х 7 II. Задачи сложения и вычитания Немного теории: 1. Таблица сложения в двоичной системе счисления 1 1 0 0 + 1 0 1 0 1 0 1 1 0 Перенос 1 в старший разряд Примеры сложения: + 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 Перенос из предыдущего разряда 1 1 0 Сложили нечетное количество единиц, результат всегда 1 с переносом в старший разряд 2 + 1 0 2 1 1 1 0 1 1 1 0 0 Сложили четное количество единиц, результат всегда 0 с переносом в старший разряд Перенос из предыдущего разряда 1 1 1 0 1 2. Таблица вычитания в двоичной системе счисления 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 Заем 2 из старшего разряда Пример вычитания Заем числа 2 из старшего разряда. Если ноль продолжаем занимать до первой единицы. -1 - 1 0 +2 -1 +2 -1 +2 0 1 0 0 0 1 0 1 1 Заем из старшего разряда 1 1 0 8 Задача 2.1 Сложите двоичные числа столбиком а. е. 1 1 + 0 1 1 0 1 0 0 1 б. + 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 ж. + 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 в. + 1 з. + 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 г. + 1 и. + 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 д. + 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 + 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 к. + 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 9 Задача 2.2 Вычтите двоичные числа столбиком а. е. - 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 б. - 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 - 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 - 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 - 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 - 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 ж. 1 - 0 0 1 0 1 0 1 1 в. з. 1 0 1 - 1 1 0 0 0 1 0 0 г. и. 1 0 1 - 1 0 0 0 0 1 1 0 д. к. - 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 10 Задача 2.3 Флаги каких стран нарисованы ниже, если Белый Красный Синий Черный Желтый Зеленый 10000102+10001002 11112-1102 Ответ:____________ б. д. 1011112 -110012 101112+11002 1102+112 1111112+10102 1111012 -1110002 Ответ:____________ в. е. 11112-10102 110012-112 111002-100112 Ответ:____________ 102 +112 Ответ:____________ 10010002 +1111102 Ответ:____________ 1001002 -110112 10011012 +1110012 10012-1002 1012 +1002 г. 11000012 +1001012 а. 1101112 -1100102 5 9 22 35 73 134 Ответ:____________ 11 III. Задачи умножения и деления Немного теории: 1. Таблица умножения в двоичной системе счисления * 0 1 0 0 0 1 0 1 Пример умножения: 1 1 1 1 0 1 1 1 0 * + 0 1 0 1 0 1 При умножении на 0 строку, нулевую строку можно не писать 0 0 Пример деления: Находим первое число, которое больше делителя 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 При делении значение очередной цифры может быть только 0 или 1 Задача 3.1 Умножьте двоичные числа столбиком а. б. * + 1 1 0 0 1 1 0 0 * 1 0 0 1 1 1 0 + 12 в. г. * 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 + * 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 + д. * 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 + е. * 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 + ж. * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 13 3. 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 * + и. 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 * + к. 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 * + Задача 3.2 Разделите двоичные числа а. - 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 14 б. - 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 - 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 - 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 - 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 - 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 в. г. д. е. 1 1 15 ж. - 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 - 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 - 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 з. 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 и. 1 к. 1 16 Задача 3.3 Выполните умножение и деление в двоичной системе счисления, решите математический кроссворд и узнайте (в выделенных клетках по вертикали), в каком году Лейбниц описал двоичную систему счисления. Дайте ответ в десятичной системе счисления. По горизонтали: 1) 101 *11 2) 100111111:1011 3) 11011*101 4) 110100111:11 5) 101110*1110 6) 100001*11011 7) 110110*11110 8) 1001100100:1001 9) 1010*1001 10) 10001110:10 11) 1000110:101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ответ:______________ 17 IV. Задачи разные. Задача 4.1 Ученики договорились о двоичном шифре. Расшифруйте информацию о том, что нужно взять в школу. А Б В Г Д Е/Ё Ж З И/Й К 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 Л М Н О П Р С Т У Ф 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001 10010 10011 10100 Х Ц Ч Ш Щ Ъ/Ь Ы Э Ю Я 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 а. 01010010110011001001 б. 0111100110011010000101011 в. 1000010011101110101000001 г. 0101001101010010010001001 д. 0111100001011110101001001 е. 0000110010010110000110001 ж. 010110000110001100100100101010 з. 101110011010000100100011000111 и. 000101001101100000010010000001 к. 100011001001001010100011010000 _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ Задача 4.2 Какое из чисел больше а. 165310 или 110000011012 б. 9910 или 11001012 в. 100010 или 10002 г. 201810 или 111111000112 д. 78910 или 11000111102 _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ Задача 4.3 Сколько единиц в двоичной записи числа а. 111110 б. 21210 в. 1000010 г. 99910 д. 51110 _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ 18 Задача 4.4 Сколько нулей в двоичной записи числа а. 300010 б. 6410 в. 201810 г. 55510 д. 100000010 _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ Задача 4.5 В двоичной записи какого числа больше 1 а. б. в. г. д. 54410 или 2110 3110 или 3210 7810 или 37810 111110 или 555510 10010 или 9610 _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ Задача 4.6 В двоичной записи какого числа больше 0 а. 12910 или 3910 б. 2510 или 3010 в. 5410 или 5510 г. 100010 или 20010 д. 179910 или 201910 _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ Задача 4.7 Сколько целых десятичных чисел принадлежит промежутку [111012 … 1000112] Ответ:____________ Задача 4.8 Сколько целых четных десятичных чисел принадлежит промежутку [110002 … 1111102] Ответ:____________ Задача 4.9 Сколько существует различных двоичных чисел, которые состоят из 5 цифр. Ответ:____________ 19 Задача 4.10 Маше надо быть в школе в 8:15. Она посмотрела на часы (см. рисунок) и заторопилась. Сколько минут у нее осталось? Дайте ответ в минутах. Двоичные часы Часы Мин Ответ:____________ Задача 4.11 На фронтоне здания Института вычислительных технологий СО РАН в Новосибирске указан год постройки здания в двоичной системе счисления (10001102): В каком году зданию будет 50 лет, если известно, что оно построено в XX веке. Ответ:____________ Задача 4.12 На медали Лейбница изображен начальный ряд натуральных чисел в двоичной и десятичных системах счисления, часть из которых помечены звездочкой. Если бы на медали хватило места, какое следующее число было бы помечено звездочкой. Дайте ответ в двоичной и десятичной системах счисления. Ответ:______________________________ Задача 4.13 Заполните пропуски на месте звездочек (*) в примерах на сложение и вычитание в двоичной системе счисления: а. 1*01+1**=10100 б. 10111**011+*0*011**1=100*1*00010 в. 11*0*11*1* + 11*1*11*1 =10*1100*010 г. *0*0 – *** = *1* д. 11*0*00*1* + 10*0*11*1 = 10*0011*010 е. **10 – **1 = *0* 20 Задача 4.14 а. Заполните пропуски на месте точек (●) в примере на вычитание в двоичной системе счисления. Сколько 1 пропущено? 1●100●1-100●1●=1●●100 Ответ:____________ б. Заполните пропуски на месте точек (●) в примере на умножение в двоичной системе счисления. Сколько 1 пропущено? 11●0*1●●0=100011●● Ответ:____________ Задача 4.15 На танцевальный фестиваль должно приехать 10102 детских студий. Максимальное разрешенное количество людей от одной студии: 111102 детей и 1012 сопровождающих. Организационный комитет фестиваля составляет 110012 человек. Какое количество мест в зрительном зале будет достаточно, если известно, что 10112 человек всегда находятся за кулисами. Дайте ответ в десятичной системе счисления. Ответ:____________ Задача 4.16 Моей младшей сестре в следующем году исполнится 1000 лет и она пойдет в 10 класс школы, заявила Софья. Возможно ли это? Ответ обоснуйте. Ответ:___________________________________________________________________________ Задача 4.17 Алина живет в России. Она 1002 лет назад получила свой первый паспорт. Через сколько лет получит свой паспорт Саша, если известно, что он в 2 раза младше Алины. Дайте ответ в двоичной и десятичной системе счисления. Ответ:____________ Задача 4.18 Признак делимости числа на 2 в двоичной системе счисления, это число должно заканчиваться на 0. Какой признак делимости числа на 16 в двоичной системе счисления? Ответ:______________________________ Задача 4.19 Петя переводил числа из десятичной системы счисления в двоичную и получил такой результат 1910=100102. Можно ли, не осуществляя перевода числа из системы в систему, утверждать, что он не прав? Ответ:______________________________________________________________________ 21 Задача 4.20 Аня переводила числа из десятичной системы счисления в двоичную и получила такой результат 1210=11012. Можно ли, не осуществляя перевода числа из системы в систему, утверждать, что она не права? Ответ:______________________________________________________________________ Задача 4.21 Саша переводил числа из десятичной системы счисления в двоичную и получил такой результат 5510=11001112. Можно ли, не осуществляя перевода числа из системы в систему, утверждать, что он не прав? Ответ:______________________________________________________________________ Задача 4.22 Катя переводила числа из десятичной системы счисления в двоичную и получила такой результат 2010=101102. Можно ли, не осуществляя перевода числа из системы в систему, утверждать, что она не права? Ответ:______________________________________________________________________ Задача 4.23 Какими будут последние 5 цифр в двоичной записи произведения всех натуральных чисел от 310 до 910? Дайте ответ, не производя умножение и перевод чисел в двоичную систему счисления. Ответ:_____________________________________________ Задача 4.24 Какими будут последние 10 цифр в двоичной записи произведения всех натуральных чисел от 210 до 1710? Дайте ответ, не производя умножение и перевод чисел в двоичную систему счисления. Ответ:_____________________________________________ Задача 4.25 В соревновании по робототехнике участвовало 110 мальчиков и 100 девочек, всего 1010 детей. Как это возможно? Ответ:_____________________________________________________________________ 22 V. Ответы 1.1 а. 7 б. 14 в. 27 г. 42 д. 75 е. 231 ж. 439 з. 754 и. 2016 к. 2184 1.2 а. 10012 б. 1000102 в. 1110112 г. 10011101012 д. 11101010002 е. 111010100112 ж. 1111010010012 з. 101101100000012 и. 10011010100110102 к. 11010001111100102 1.3 а. 4 б. 21 в. 103 г. 264 д. 1612 23 1.4 а. в. 128 64 32 16 8 4 2 1 128 64 32 16 Ответ: 72 Ответ: 35 б. г. 128 64 32 16 Ответ: 97 8 4 2 1 128 64 32 16 8 4 2 1 8 4 2 1 Ответ: 60 24 1.5 a. б. 25 в. Рисунок с сайта infourok.ru 2.1 а. 1011112 б. 1100000002 в. 110010012 г. 10111002 д. 111011012 е. 11101002 ж. 1000010002 з. 111110112 и. 1010101002 к. 1010001002 2.2 а. 11001102 б. 10102 в. 110102 г. 101112 д. 111001112 е. 10000102 ж. 1001010112 26 з. 111012 и. 10101102 к. 11111012 2.3. а. Болгария б. Германия в. Россия г. Италия д. Франция е. Нигерия 3.1 а. 100100002 б. 1101102 в. 1111000012 г. 1111110102 д. 1011000100112 е. 10100100000112 ж. 11110111000012 з. 1000100100012 и. 111110000111112 к. 10001011110110102 3.2 а. 10012 б. 1102 в. 110012 г. 101012 д. 11112 е. 111012 ж. 1110012 з. 10112 и. 101112 к. 110112 27 3.3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 Ответ 1703 4.1 а. Клей б. Пенал в. Ручка г. Книги д. Папки е. Атлас ж. Ластик з. Чертеж и. Бумага к. Стикер 4.2 а. 165310 б. 11001012 (10110) в. 100010 г. 111111000112 (201910) д. 11000111102 (79810) 28 4.3 а. 6 б. 4 в. 5 г. 8 д. 9 4.4 а. 5 б. 6 в. 4 г. 5 д. 13 4.5 а. 2110 б. 3110 в. 37810 г. 555510 д. 10010 4.6 а. б. в. г. д. 12910 2510 5410 20010 179910 4.7 7 4.8 20 4.9 24=16 4.10 27 мин. 4.11 2020 4.12 1000002 или 3210 4.13 а. 11012 + 1112 = 101002 б. 10111000112 + 1010111112 = 100010000102 в. 11000110112 + 1101011112 = 100110010102 29 г. 10102 – 1002 = 1102 д. 11001000112 + 1000011112 = 100001100102 е. 10102 – 1012 = 1012 4.14 а. 4 б. 2 4.15 364 4.16 Да, в двоичной системе счисления 10002=810, а 102=210. То есть через год сестре исполниться 8 лет и она пойдет во 2 класс. 4.17 1012 или 510 лет 4.18 Число должно заканчиваться на 0000. 4.19 Да, 19 число нечетное, двоичная запись его не может заканчиваться на 0 4.20 Да, 12 число четное, двоичная запись его не может заканчиваться на 1 4.21 Да, в приведенной двоичной записи 7 разрядов, что соответствует числам большим 64 4.22 Да, 20 число кратное 4, двоичная запись должна заканчиваться на 00 и не может заканчиваться на 10. 4.23 00000, среди умножаемых натуральных чисел в ряду есть 410 и 810, которые в двоичной системе счисления записываются как 1002 и 10002, они и дают 5 нулей в конце записи числа 4.24 0000000000, среди умножаемых натуральных чисел в ряду есть 210, 410, 810 и 1610, которые в двоичной системе счисления записываются как 102, 1002, 10002 и 100002, они и дают 10 нулей в конце записи числа 4.25 Да возможно. В двоичной системе счисления 1102=610, 1002=410 , а 10102=1010. 6+4=10. 30 VI. И напоследок Рекомендуемая литература, в которой вы найдете еще много интересного и увлекательного, связанного с использованием двоичной системы счисления: Успенский Я.В. Избранные математические развлечения. – Книгоиздательство «Сеятель» Е.В.Высоцкого, 1924 (фокусы с угадыванием чисел, игры) Фомин С.В. Системы счисления. – Издательство «Наука», 1964 (фокусы, двоичная система в телеграфе, почему электронные машины «предпочитают» двоичную систему счисления) Энциклопедия элементарной математики. Происхождение систем счисления. Башмакова И.Г., Юшкевич А.П. – Государственное издательство технико- теоретической литературы, 1951. (подробнейшая история развития счета) Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. – Государственное издательство, 1923 (задача о взвешивании, фокусы) Солодовник В.С., Шор А. Как люди научились считать. – Студия «Диафильм», 1966 (замечательно иллюстрированный диафильм об истории счета) Все эти материалы доступны в отличном качестве на сайте ЭБ «Математическое образование» mathedu.ru. 31
