popov-1 - Математическая морфология

Математическая морфология.
Электронный математический и медико-биологический журнал.
Том 8. Вып. 1. 2009.
УДК 532.5+591.173+591.174
МОЩНОСТЬ МЫШЕЧНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ДВИЖЕНИИ
СПОРТСМЕНА
 2008 г. Попов В.Н., Покатилов А.Е., Загревский В.И., Кравцова И. М., Тржецецкая
Л. О.
Целенаправленное движение человека возможно за счет работы
мышечной системы. Развиваемая при этом мощность зависит от целого
ряда факторов. На примере большого оборота назад, выполняемого в
спортивной гимнастике на перекладине, выполнен расчет энергетического
баланса движения человека. Показаны особенности расчета мощности
биологического объекта, с одновременным учетом его механической
природы, т.к. с другой точки зрения биомеханическая система подчиняется
и законом механики как механическая система.
Модели динамики движения человека в условиях упругой опоры
разбиваются на две части: модели выделенной опоры, в явном виде
включающие характеристики ее деформации, и модели выделенной
биомеханической системы. Показано изменение мощности мышечной
системы для выделенных систем за время одного оборота спортсмена.
Ключевые
слова:
работы
мышечной
системы,
мощность
биологического объекта, биомеханическая система.
Введение
При анализе выполняемой человеком работы и соответственно
затрачиваемой мощности, необходимо использовать понятия о движущих
силах и силах сопротивления [1]. В качестве такого примера на рисунке 1, а
показано действие управляющего момента M и силы тяжести G в
зависимости от направления и квадранта, в котором показаны исследуемые
силовые факторы.
При вращении биомеханической системы (БМС) или ее звеньев в
положительную сторону, т.е. против часовой стрелки, сила тяжести G
является силой сопротивления в квадрантах 1 и 4, а в квадрантах 2 и 3 –
движущей силой (рис. 1, а).
В случае же вращения по часовой стрелке, т.е. в отрицательную сторону,
в квадрантах 1 и 4 сила тяжести проявляет себя как движущая сила, а в
квадрантах 2 и 3 – как сила сопротивления (рис. 1, б).
Направление силы тяжести каждого звена автоматически учитывается в
формуле для расчета момента управляющих сил, сказываясь на его величине
и направлении. Отметим, что и управляющий момент может быть как
движущим моментом, так и моментом сопротивления.
Математическая морфология.
Электронный математический и медико-биологический журнал.
Том 8. Вып. 1. 2009.
Äâèæóù àÿ ñèëà Z
Ñèëà
ñî ï ðî òèâëåí èÿ
M
2
Ñèëà
ñî ï ðî òèâëåí èÿ
M
M
G
G
3
1
2
4 Y
3
G
G
M
M
à)
1
4 Y
G
M
M
M
G
G
G
Z Äâèæóù àÿ ñèëà
á)
Рис.1. Действие управляющих моментов и сил тяжести:
а) – вращение против часовой стрелки; б) – вращение по часовой стрелке
По аналогии с задачами, рассматриваемыми в теории механизмов и
машин [1] для кинематических цепей подобных опорно-двигательному
аппарату человека [2-4], запишем формулу для мощностей биомеханической
системы в общем виде. Она получила название уравнения энергетического
баланса. Имеем
POдi 1,i  POпi.с1,i  POтi 1,i  POиi 1,i  POсi.т1,i  0 ,
где
д
Oi 1,i
P
POпi.с1,i
(1)
– мощность, развиваемая движущими силами;
–
мощность,
затрачиваемая
на
преодоление
полезных
сопротивлений;
POт – мощность, затрачиваемая на преодоление всех сил трения и
других сопротивлений, относящихся к вредным;
POи – мощность, затрачиваемая на изменение кинетической энергии
рассматриваемой части БМС или, наоборот (в зависимости от знака),
получаемая
за
счет
изменения
кинетической
энергии
рассматриваемой части БМС;
POс.т – мощность, затрачиваемая на преодоление сил тяжести или,
наоборот (в зависимости от знака), развиваемая силами тяжести.
i 1, i
i 1, i
i 1, i
В нашем случае движущими силами и силами сопротивления являются
управляющие силы мышечной системы и силы тяжести звеньев,
периодически меняясь ролями на различных участках траектории движения,
что проиллюстрировано на рисунках 1, а, б.
Мощность движения биомеханической системы
Рассмотрим
подробнее
мощность,
2
развиваемую
биомеханической
Математическая морфология.
Электронный математический и медико-биологический журнал.
Том 8. Вып. 1. 2009.
системой во время движения. Для этого покажем на рисунке 2 расчетную
схему для ее вычисления. К звеньям биомеханической системы приложены
все действующие силы и моменты. К ним относятся силы тяжести звеньев и
моменты управляющих сил мышечной системы. Инерционные нагрузки
здесь не учитываем. При составлении уравнений применим более удобную
для нас форму записи мощностей по названию используемых моментов, не
разделяя их на моменты сопротивления или моменты движущих сил.
Рассматривая действие мышечной системы, необходимо отметить, что
при мускульном сокращении одна из костей остается неподвижной, другая
же приближается к ней. Это означает, что в выражениях для мощности
необходимо, во-первых, учитывать моменты управляющих сил, а во-вторых,
из каждой пары равных, но противоположных моментов, записанных
относительно рассматриваемого сустава, используется только момент,
вызывающий движение звена. На рисунке 3 показан случай возникновения
моментов управляющих сил на сопряженных звеньях, соединенных в одной
кинематической паре. Звено 1 для движения относительно сустава O12
является неподвижным, а звено 2 вращается относительно сустава с угловой
скоростью Q 2 под действием момента управляющих сил мышечной системы
M 21 . Сами управляющие силы F12 и F21 приведены к суставу O12 и образуют
статический нуль [5].
Q 3
Z
M32
Z C3
Z O2 3
Z C2
Î
Ñ1
Q1
М 10
Z O0 1
O
Î
23
G3
Q 2
Z O1 2
Z C1
Ñ2
M21
Ñ3
Î
YO01
01
G1
YC1
12
G2
Q БМС
Í àï ðàâëåí èå
äâèæåí èÿ
çâåí üåâ ï î ëî æèòåëüí î å
YO12
YC2
YO23
YC3
âñåõ
Y
Рис. 2. Расчетная схема биомеханической системы (опора в виде
вращающейся пружины)
3
Математическая морфология.
Электронный математический и медико-биологический журнал.
Том 8. Вып. 1. 2009.
Î
упр
21
F
12
F12упр
М 21
М 12
2
1
Q 2
F21упр
F12упр
Рис. 3. Действие управляющих моментов на соседних звеньях
Воспользуемся методикой расчета мощностей, используемой в случае
приведения сил или моментов сил для механизмов [1, 6]. Метод также
применяется
при
исследовании
энергетических
характеристик
биомеханических систем [2]. В этом случае используют мощности,
развиваемые силами или моментами, приложенными к i-ому звену.
Работу, совершаемую силой Fi при перемещении элемента duk
реального объекта, запишем в общем виде как
Ak  Fk du k cos( Fk , du k ) ,
(2)
где cos( Pk , du k ) – косинус угла между направлениями вектора силы и вектора
перемещения
Разделив левую и правую части на dt, получим выражение для
мощности [2]
Pk  Fk u k cos( Fk , du k ) .
(3)
Если применить полученное уравнение к звеньям биомеханической
системы, то в общем виде для всей биомеханической системы можно
записать
n
n
s 1
j 1
PБМС   Fss cos( s )   M j j ,
где  s – скорость точки приложения i-ой силы;
 s – угол между направлением i-ой силы и скоростью;
 j – угловая скорость j-ого звена.
4
(4)
Математическая морфология.
Электронный математический и медико-биологический журнал.
Том 8. Вып. 1. 2009.
На рисунке 4 показано
взаимное
направление
Fi
Î i,i+1
векторов, используемых при
i
расчете
мощности
по
ui
выражению
(3).
Данное
уравнение представляет собой
скалярное
произведение
векторов.
Выразим
произведение через проекции в
Î i-1,i
основной
координатной
системе
[7].
Покажем
произведение
на
примере
Рис. 4. Схема для определения мощности,
расчета
мощности
по
развиваемой силой
выражению
(3).
Действие
моментов по уравнению (4) пока учитывать не будем, а рассмотрим только
силу Fk . В общем виде получим следующую форму записи
Pk  FkY u kY  Fk Z u k Z .
(5)
Исходя из этого и с учетом расчетной схемы на рисунке 2, мощность,
развиваемую биомеханической системой, в развернутой форме запишем
равной
N
N
i 1
i 1
PБМС   Gi Z Ci   M i ,i 1Q i .
(6)
Подставим уравнения для скоростей и уравнения для моментов
управляющих сил в полученное выражение (6) [8]. Так как движение под
действием сил тяжести звеньев осуществляется только в вертикальном
направлении, то необходимо использовать лишь вертикальные проекции Z C
скоростей центров масс звеньев. Выражение (6) примет вид
s
N
i 1


PБМС   g  ms  L 0 sin Q0   L j Q j cos Q j  S i Q i cos Qi  
i 1
j 0


N 
N
N
N
   g  Cij cos Q j  L0  Cij sin Q0  Q j   2 L0Q 0  Cij cosQ0  Q j  
i 1  j  i
j i
j i
N N
N N

 cosQ  Q  
  AjkQ
AjkQ k2 sin Qk  Q j Qi .

k
k
j
k  0 j i
k  0 j i

(7)
В этом выражении моменты управляющих сил берутся со своими
знаками.
Расчет мощностей для большого оборота назад на перекладине
5
Математическая морфология.
Электронный математический и медико-биологический журнал.
Том 8. Вып. 1. 2009.
Рассмотрим большой оборот назад, выполняемый на перекладине в
спортивной гимнастике (рис. 5).
Рис. 5. Большой оборот назад
Расчет в математическом редакторе Mathcad 14.0 по уравнению (7) и
измеренным в натурном эксперименте параметрам движения представлен
листингом 1.
Листинг 1. Расчет мощности всей БМС
Мощность при движении всей БМС:
P_M_BMS  g 
k
N_zv
N_zv
i 1
i 1
 m_zviVzCi_PSk i   Mi_PSk iQ_zv_df1k i
Мощность при движении всей БМС от сил тяжести:
N_zv

P_Gi_BMS  g  
m_zv  VzCi_PS 

k
i
k i 

i 1


Мощность при движении всей БМС от управляющих моментов:
N_zv
P_Mi_BMS 
k
 Mi_PSk i Q_zv_df1k i
i 1
На рисунке 6 представлено изменение мощности движения всей БМС по
кадрам, а на рисунках 7, а, б изменение мощностей, развиваемых силами
6
Математическая морфология.
Электронный математический и медико-биологический журнал.
Том 8. Вып. 1. 2009.
Ì î ù í î ñòü, Âò
тяжести (рис. 7, а), и мощностей, развиваемых управляющими моментами
мышечной системы БМС (рис. 7, б), и тоже по кадрам. Сумма мощностей от
сил тяжести и управляющих моментов дает полную мощность спортсмена,
но это понятие достаточно условное. Для того чтобы разобраться в данном
вопросе, дополнительно выполним расчет мощностей по следующим
вариантам:
1. Мощность управляемого движения относительно каждого отдельного
шарнира.
2. Мощность, вырабатываемую всем организмом для движения в целом,
т.е. относительно всех шарниров сразу. В ее расчете участвуют только
управляющие моменты.
3 10
3
2 10
3
1 10
3
0
 1 10
3
 2 10
3
0
20
40
Êàäðû
Рис. 6. Мощность, развиваемая всей БМС при ее
целенаправленном движении
7
Математическая морфология.
Электронный математический и медико-биологический журнал.
Том 8. Вып. 1. 2009.
3
3 10
3
2 10
3
3
1 10
3
210
Ì î ù í î ñòü, Âò
Ì î ù í î ñòü, Âò
410
0
3
 210
3
 410
à)
0
20
40
0
 1 10
3
 2 10
3
á)
Êàäðû
0
20
40
Êàäðû
Рис. 7. Изменение составляющих полной мощности БМС:
а) – от сил тяжести; б) – от управляющих моментов
По второму варианту в расчете будем использовать абсолютные
значения величин, так как здесь определяется суммарная мощность,
вырабатываемая всей системой, когда весь организм затрачивает усилие на
выполнение движения каждого звена, и с этой точки зрения знак развиваемой
мощности только исказит конечный результат.
В данном вопросе нас интересует мощность, затрачиваемая БМС как
биологическим объектом, т.е. та, что вырабатывается внутри тела, а не
мощность БМС с точки зрения механической системы.
Усилия,
вырабатываемые мышечной системой, должны компенсировать внешнее
воздействие гравитационного поля, в котором движется человек.
Отметим, что каждое звено имеет возможность двигаться относительно
шарниров (суставов или опорного шарнира) независимо от остальных.
Поэтому мощность управляемого движения биомеханической системы
относительно каждой кинематической пары запишем на основании
выражения (6) равной
POБi 11,i  M i ,i 1Q i .
(8)
Мощность, вырабатываемая организмом в целом для управления
движением его звеньев, равна
N
Б
PБМС
  M i ,i 1 Q i .
i 1
(9)
Подставим момент управляющих сил в выражение (8). Оно примет вид
N
N
 N
  C sin Q  Q   2L Q  C cosQ  Q  
POБi 11, i   g  Cij cos Q j  L
0
ij
0
j
0 0
ij
0
j
j i
j i
 j i
8
Математическая морфология.
Электронный математический и медико-биологический журнал.
Том 8. Вып. 1. 2009.
N N
N N

 cosQ  Q  
  AjkQ
AjkQ k2 sin Qk  Q j Qi .

k
k
j
k  0 j i
k  0 j i

(10)
Для формулы (9) таким же способом получим
N 
N
N
N
Б
PБМС
   g  Cij cos Q j  L0  Cij sin Q0  Q j   2 L0Q 0  Cij cosQ0  Q j  
i 1 
j i
j i
 j i
N N
N N

 cosQ  Q  
  Ajk Q
Ajk Q k2 sin Qk  Q j  Q i .

k
k
j
k  0 j i
k 0 j i

(11)
В этом выражении расчет внешней суммы выполнен по модулям
слагаемых величин. Этот момент показывает, что в уравнении (7) для полной
мощности БМС этот момент не учтен, поэтому определяем ее как условную
мощность.
Использование управляющих моментов выделенных систем позволяет
записать в общем виде мощность движения относительно единичного
шарнира как
БМС 
ОП1
БМС1

POБi 11,i  M iОП
,i 1Qi  M i ,i 1 Qi  POi 1, i  POi 1, i .
(12)
Таким же образом можно преобразовать и выражение (9) для расчета
суммарной мощности, развиваемой спортсменом как биологической
системой. Формула примет вид
N
N
i 1
i 1
Б
БМС 
 ОП
 БМС

PБМС
  M iОП
.
, i 1 Qi   M i , i 1 Qi  PБМС  PБМС
(13)
Покажем программу расчета мощностей биологической системы по
уравнениям (8), (9) и (12), (13) в листинге 2. Выражения даны в компактной
форме. Данные для этих формул необходимо получить на основании расчета
по моделям работы [8].
В представленной здесь программе используются матрицы для хранения
исходных данных и конечного результата. В листинге дана расшифровка,
здесь лишь укажем, что Q_zv_df1k,s – матрица с обобщенными скоростями
звеньев; Mi_PSk,i – матрица с управляющими моментами, возникающими при
движении относительно единичного шарнира.
Листинг 2. Расчет мощностей БМС
9
Математическая морфология.
Электронный математический и медико-биологический журнал.
Том 8. Вып. 1. 2009.
Мощность управляющего момента относительно каждого из
шарниров:
P_B1_Oi
k i
 Mi_PS
 Q_zv_df1
k i
k i
Мощность управляющих моментов всей БМС:
N_zv

P_B_Oi 
k
 Q_zv_df1
Mi_PS
k i
k i
i 1
Мощность выделенной опоры по управляющему моменту
относительно каждого шарнира:
P_B1_BMSv
k i
 Mi_Opr
 Q_zv_df1
k i
k i
Мощность выделенной опоры по управляющим моментам всей
БМС:
N_zv
P_B_BMSv 
k

Mi_Opr
 Q_zv_df1
k i
k i
i 1
Мощность выделенной БМС по управляющему моменту
относительно каждого из шарниров:
P_B1_BMSv
k i
 Mi_BMSv
 Q_zv_df1
k i
k i
Мощность выделенной БМС по управляющему моменту всей
биосистемы:
N_zv
P_B_BMSv
k


Mi_BMSv
 Q_zv_df1
k i
k i
i 1
На рисунках 8, а и б представлены графики изменения мощностей,
полученных по уравнениям (8) и (9).
10
Математическая морфология.
Электронный математический и медико-биологический журнал.
Том 8. Вып. 1. 2009.
3
310
3
210
2
Ì î ù í î ñòü, Âò
Ì î ù í î ñòü, Âò
3
110
1
0
3
 110
3
210
3
110
0
3
 210
à)
0
20
0
40
0
20
á)
Êàäðû
40
Êàäðû
Рис. 8. Изменение мощностей биологической системы:
а) – при вращении относительно шарнира; б) – всей БМС;
0 – опорный шарнир; 1 – плечевой сустав; 2 – тазобедренный сустав
На рисунках 9, а–г представлены изменения мощностей выделенных
систем. Рассматриваются только мощности управляемого движения
спортсмена. Здесь на рисунке 9, а показаны графики мощностей для
выделенной опоры при движении биомеханической системы относительно
каждого шарнира, а на рисунке 9, б – то же самое, но при движении всей
БМС. Мощности выделенной БМС даны на рисунке 9, в при движении
относительно единичного шарнира, и на рисунке 9, г
при движении
биомеханической системы в целом.
Мощности по рисунку 9, б и рисунку 9, г определены по абсолютной
величине, что отражено в соответствующих графиках, и могут принимать
достаточно большие значения.
3
210
Ì î ù í î ñòü, Âò
1
3
110
2
0
0
3
 110
à)
0
20
Êàäðû
11
40
Ì î ù í î ñòü, Âò
Математическая морфология.
Электронный математический и медико-биологический журнал.
Том 8. Вып. 1. 2009.
310
3
210
3
110
3
0
0
20
á)
40
Êàäðû
3
210
410
3
310
3
210
3
110
3
2
110
Ì î ù í î ñòü, Âò
Ì î ù í î ñòü, Âò
3
1
0
3
 110
0
3
 210
0
â)
20
0
40
ã)
Êàäðû
0
20
40
Êàäðû
Рис. 9. Мощности выделенных систем:
а) – опоры при вращении БМС относительно шарнира;
б) – опоры при движении всей БМС; в) – биосистемы при вращении БМС
относительно шарнира; г) – биосистемы при движении всей БМС;
0 – опорный шарнир; 1 – плечевой сустав; 2 – тазобедренный сустав
Анализ показывает, что мощность, развиваемая всей БМС за счет
появления управляющих моментов, достигает нескольких киловатт (рис. 9,
б).
Заключение
Констатируем, что биомеханическая система выступает одновременно
как механическая система, которая подчиняется законам механики в виде
системы абсолютно твердых тел (в рамках принятых допущений), и как
система биологическая, внутри которой вырабатываются специальные силы,
называемые управляющими и влияющие на движение всей системы с учетом
уже ее механической природы. Суммарная мощность, развиваемая
спортсменом, является суммой этих мощностей, при этом моменты
12
Математическая морфология.
Электронный математический и медико-биологический журнал.
Том 8. Вып. 1. 2009.
управляющих сил и внешние силы, которыми являются силы тяжести, на
разных участках траектории за время одного оборота меняют свою функцию,
переходя из моментов сопротивления в моменты движущих сил, и наоборот.
Отметим, что их величины вполне сопоставимы между собой в том смысле,
что имеют одинаковый порядок значений (рис. 7, а, б).
ЛИТЕРАТУРА
1. Левитский Н. И. Теория механизмов и машин /Н. И. Левитский. – М.:
Высшая школа, 1990. – 592 с.
2. Бегун П. И. Моделирование в биомеханике: учеб. пособие /П. И.
Бегун, П. Н. Афонин. – М.: Высш. шк., 2004. – 390 с.
3. Коренев Г. В. Цель и приспособляемость движения /Г. В. Коренев. –
М. : Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит., 1974. – 528 с.
4. Загревский В. И. Модели анализа движений биомеханических систем /
В. И. Загревский. – Томск: Изд–во Том. ун–та, 1990. – 124 с.
5. Коренев Г.В. Введение в механику человека /Г.В. Коренев. - М.:
Наука, 1977. - 264 с.
6. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин: учеб. для втузов /
И. И. Артоболевский. – М.: Наука, 1988. – 640 с.
7. Гусак А. А. Справочник по высшей математике /А. А. Гусак, Г. М.
Гусак. – Мн.: Навука i технiка, 1991. – 480 с.
8. Покатилов А. Е. Биомеханика взаимодействия спортсмена с упругой
опорой /А.Е. Покатилов ; под. ред. В.И. Загревского. – Минск: Изд.
центр БГУ, 2006. – 351 с.
CAPACITY OF MUSCULAR SYSTEM AT MOVEMENT OF THE
SPORTSMAN
Popov V. N., Pokatilov A.E., Zagrevskij V.I., Kravtsov I.M., Trzhetsetskaja L.O.
Purposeful movement of the person probably due to work of muscular
system. Power developed at it depends on a lot of factors. On an example of the
big turn{turnover} back, carried out in sports gymnastics on a crossbeam,
calculation of power balance of movement of the person is executed. Features of
calculation of capacity{power} of biological object, with the simultaneous account
of its mechanical nature since from other point of view the biomechanical system
submits also the law of mechanics as mechanical system are shown.
Models of dynamics of movement of the person in conditions of an elastic
support are broken on two parts: models of the allocated support, in an obvious
kind including characteristics of its deformation, and model of the allocated
biomechanical system. Change of power of muscular system for the allocated
systems during one turn{turnover} of the sportsman is shown.
13
Математическая морфология.
Электронный математический и медико-биологический журнал.
Том 8. Вып. 1. 2009.
Key words: work of muscular system, capacity{power} of biological object,
biomechanical system.
Кафедра прикладной механики
Могилевский государственный технологический институт
Поступила в редакцию 5.12.2008.
14