Понятие вектора Основные определения Векторы в прямоугольной системе координат Действия над векторами © Фокина Лидия Петровна Скалярное произведение векторов Понятие вектора Что такое векторы и зачем они? Прогноз погоды: «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости. Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей» Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными. Для них важно «сколько» и важно «куда»: скорость – 90 км/час, направление – юг. Физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной: 𝒂 Пример. A Автомобиль движется из A в B. Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B, то есть перемещение на вектор AB = 𝒂 . Начало вектора © Фокина Лидия Петровна Конец вектора (там, где стрелка) Вектор — это направленный отрезок B Основные определения Длиной вектора называется длина отрезка, задающего вектор. Обозначается длина вектора: |𝐴𝐵| или |𝑎| Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости. Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым называется вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом. Противоположным вектором для вектора 𝑎 называется вектор 𝑎 , длина которого равна длине вектора 𝑎, а направления этих векторов противоположны: 𝒂 𝒂 © Фокина Лидия Петровна Векторы в прямоугольной системе координат Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y, абсцисса и ордината. Вектор также задается двумя координатами: 𝒂 = 𝒙𝒂 ; 𝒚𝒂 Здесь в скобках записаны координаты вектора 𝒂 по x и по y. Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала: 𝒙𝒂 = 𝒙𝑩 𝒙𝑨 ; 𝒚𝒂 = 𝒚𝑩 𝒚𝑨 y B 𝒚𝑩 𝒂 𝒚𝑨 0 A 𝒙𝑨 𝒙𝑩 Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле: © Фокина Лидия Петровна a AB x B x A ; y B y A x Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат a x a2 y a2 Действия над векторами Сложение векторов Правило параллелограмма Чтобы сложить векторы 𝒂 и 𝒃, помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов 𝒂 и 𝒃. Правило треугольника Начало второго вектора помещаем в конец первого. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов 𝒂 и 𝒃. Правило многоугольника Чтобы сложить несколько векторов откладываем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего. C B 𝒃 𝒂 D E 𝒂 A Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, из D в Е .Конечный результат этих действий — перемещение из А в E. 𝒃 Вычитание векторов Умножение вектора на число Разность векторов 𝒂 и 𝒃 определяется как сумма вектора 𝒂 и вектора, противоположного вектору 𝒃 : 𝒂 𝒃 = 𝒂 +(−𝒃) При умножении вектора 𝒂 на число k получается вектор, длина которого в |k| раз отличается от длины 𝒂 . Он сонаправлен с вектором 𝒂 , если k больше нуля, и направлен противоположно 𝒂 , если k меньше нуля. −𝒃 𝒂 𝒃 © Фокина Лидия Петровна 𝟐𝒂 -0,5𝒂 Если векторы заданы координатами 𝒂 = 𝒙 𝒂 ; 𝒚𝒂 , 𝒃 = 𝒙 𝒃 ; 𝒚𝒃 тогда k𝒂 = 𝒌𝒙𝒂 ; 𝒌𝒚𝒂 𝒂 𝒂 Действия в координатах 𝒂 + 𝒃 = 𝒙 𝒂 + 𝒙 𝒃 ; 𝒚𝒂 + 𝒚𝒃 𝒂 𝒃 = 𝒙𝒂 𝒙𝒃 ; 𝒚𝒂 𝒚𝒃 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними. a b a b cos 𝒂 𝒃 Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения: A = 𝐹 ∙ 𝑆 = FScos Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: a b a b 0 А вот так скалярное произведение векторов 𝒂 = 𝒙𝒂 ; 𝒚𝒂 и 𝒃 = 𝒙𝒃 ; 𝒚𝒃 выражается через их координаты: a b x a xb y a y b Скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами: x a xb y a y b a b cos x a2 y a2 xb2 y b2 ab © Фокина Лидия Петровна Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 13 Профильного ЕГЭ по математике по этой формуле можно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 13 решается в несколько раз быстрее, чем классическим. 1 2 3 4 5 6 Найдите сумму координат вектора 𝐴𝐵, если A(2; 4), B(8; 6). 8 Вектор 𝐴𝐵 с началом в точке A(1; 5) имеет координаты (4; 7). Найдите сумму координат точки B. 17 Вектор 𝐴𝐵 с началом в точке A(-2; 3) имеет координаты (1; -2). Найдите абсциссу точки B. -1 Вектор 𝐴𝐵 с концом в точке B(5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите абсциссу точки A. 2 Вектор 𝐴𝐵 с концом в точке B(5; 4) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату точки A. 3 Вектор 𝐴𝐵 с концом в точке B(2; -3) имеет координаты (-1; 1). Найдите сумму координат точки A. -1 7 Найдите квадрат длины вектора 𝐴𝐵, если A(2; 4), B(8; 6). 40 8 Найдите квадрат длины вектора 𝑐 = 𝑎 + 𝑏, если 𝑎 = 2; 6 , 𝑏 = (8; 4). 200 9 Найдите квадрат длины вектора 𝑐 = 𝑎 − 𝑏, если 𝑎 = 2; 6 , 𝑏 = (8; 4). 40 10 Найдите квадрат длины вектора 𝑐 = 2𝑎 + 3𝑏, если 𝑎 = 2; 1 , 𝑏 = (−2; 1). 29 11 Стороны правильного треугольника равны ABC равны 2 3. Найдите длину вектора 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶. 6 12 Стороны правильного треугольника равны ABC равны 3. Найдите длину вектора 𝐴𝐵 − 𝐴𝐶. 3 13 Стороны правильного треугольника равны ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶. 4,5 Найдите скалярное произведение векторов 𝑎 и 𝑏. 14 Найдите угол между векторами 𝑎 и 𝑏. Ответ дайте в градусах. 15 16 Найдите косинус угла AOB. В ответе запишите значение косинуса, умноженное на 8. 2
