Понятие дроби Дробь - это часть от целого. Знаменатель дроби - показывает размер доли. А именно, на сколько частей поделено целое. Числитель дроби - выражает количество взятых долей. Действия с дробями 1) Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем. Складываем числители, знаменатель дроби остаётся неизменным. 2) Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Найти общий знаменатель. Это делается через простые множители числа. Оба знаменателя раскладывают на простые множители, затем составляют НОК. НОК и будет общий знаменатель. Затем для выполнения действия с дробями каждую дробь домножают на те множители из НОК, которых не хватает в их знаменателе. 3) Чтобы из целого числа вычесть дробь, надо занять у целого числа единицу и сделать из неё дробь с таким же знаменателем, как у вычитаемой дроби (числитель и знаменатель одинаковые), а после выполнить вычитание. Привести дроби к общему знаменателю. 1) Найти НОК для знаменателей 2) Домножить числители каждой дроби на те множители из НОК, которых не хватает в данной дроби Если знаменатели дробей - взаимно простые числа, то общим знаменателем будет произведение этих чисел. Взаимно простые числа - это такие числа, у которых нет общих простых множителей. Доля от целого и целое по его доле: Чтобы найти долю от числа, нужно число умножить на эту долю. Чтобы найти целое по его известной части, надо известную часть разделить на долю, которую оно составляет от целого числа. Чтобы найти процент от числа, проценты перевести в долю и число умножить на эту долю. Умножение и деление обыкновенных дробей 1) Умножение числа на дробь: число умножить на числитель дроби, знаменатель остаётся неизменным; 2) Умножение дроби на дробь: числитель умножить на числитель, знаменатель на знаменатель; 3) Деление дроби на число: число записать множителем в знаменатель дроби, либо числитель разделить на число; 4) Деление числа или дроби на дробь: деление заменить умножением, а дробь-делитель перевернуть; При умножении либо делении смешанных чисел их надо перевести в неправильные дроби. Перевод в неправильную дробь: 1) Целую часть умножить на знаменатель дроби; 2) Прибавить результат к числителю; Перевод неправильной дроби в смешанное число (правильная дробь с целой частью) 1) Разделить числитель на знаменатель нацело и записать результат в целую часть числа; 2) Остаток от деления записать в числитель дробной части числа; знаменатель остаётся неизменным; Деление большего числа на меньшее показывает, во сколько раз первое число больше второго Деление меньшего числа на большее показывает, какую часть первое число составляет от второго Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) - это число, которое больше обоих чисел, и которое делится нацело на оба этих числа. Может совпадать с одним из чисел, если оно делится нацло на другое. Порядок нахождения: 1) Разложить числа на простые множители 2) Выбрать совпадающие множители, причём, брать у того числа, у которого их больше. 3) Выбрать все остальные множители 4) результат перемножить Если числа взаимно простые, то НОК будет находиться как произведение этих чисел. Если одно число делится на другое, то НОК будет большее из этих чисел. Простые множители числа Чтобы разложить число на простые множители, надо делить его на самое маленькое возможное число, затем частное делить далее также на самое маленькое возможное число до тех пор, пока в частном не останется простое число, затем 1. Основное свойство дроби: Числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и дробь при этом не изменится. Способы сокращения дробей: 1) Разделить числитель и знаменатель дроби на одинаковое число; 2) Вычеркнуть одинаковые множители в числителе и знаменателе. Пропорция – это равенство двух дробей. Правило пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Замена деления умножением. Нахождение множителя Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. Нахождение делимого Чтобы найти делимое, надо частное умножить на делитель. Нахождение делителя Чтобы найти делитель, надо делимое разделить на частное. Распределительный закон умножения: Если два или более слагаемых умножаются на одно и то же число, то можно сначала сделать сложение, не умножая на это число, а затем сумму умножить на число. Это действие также называется вынесение общего множителя за скобку. Правила раскрытия скобок: 1) При раскрытии скобок надо множитель за скобками умножить на каждое слагаемое внутри скобок. 2) При раскрытии скобок, перед которыми нет множителя, но есть знак минус: убираем скобки и меняем знаки всех слагаемых, что были в скобках, на противоположные. 3) При умножении скобки на скобку каждое слагаемое первой скобки поочерёдно умножается на каждое слагаемое второй скобки. Проценты - это доли от числа. За 100% принимается целое число, а когда процентов меньше то это доля от числа. 1% равен 1/100 доле числа. Например, 1% от 350 = 350 * 1/100 = 3,5 Найти процент от числа: Умножить число на долю процента. Пример: 10% от 256 = 256*10/100 = 25,6 Увеличить число на процент: 1 способ) Прибавить к числу долю процента от этого же числа. Пример: увеличить 72 на 12% = 72 + 72*12/100 = 72 + 8,64 = 80,64 2 способ) Умножить число на одну целую плюс долю процента от этого же числа Пример: увеличить 72 на 12% = 72 * (1 + 0,12) = 80,64 Уменьшить число на процент: 1 способ) Вычесть из числа долю процента от этого же числа. Пример: уменьшить 34 на 8% = 34 – 34*8/100 = 34 – 2,72 = 31,28 2 способ) Умножить число на единицу минус доля процента от этого же числа Пример: уменьшить 34 на 8% = 34 * (1 – 0,08) = 34 * 0,92 = 31,28 Процентное содержание — это доля какой-либо величины от целого, переведённая в проценты. Как найти? 1) Найти долю искомой величины от целого 2) Выполнить деление в дроби, затем умножить на 100. Понятие степени. 10² : число 10 - основание степени, 2 - показатель степени. Степень - это умножение числа на само себя сколько-то раз. Действия со степенями: При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются, основание остаётся неизменным. При делении степеней с одинаковым основанием показатели степени вычитаются, основание остаётся неизменным. При возведении степени в степень степени перемножаются, основание остаётся неизменным. Степень произведения равна произведению степеней. Степень частного равна частному степеней. Отрицательная степень делает число обратным. То есть, из числителя дроби перемещает в знаменатель, и наоборот: из знаменателя в числитель - с положительной степенью. Понятие корня. Корень энной степени из числа - это действие, которое показывает, какое число нужно возвести в энную степень, чтобы получить данное число. Корень произведения равен произведению корней. Корень частного равен частному корней. При сложении и вычитании корней действия нет. Приведение корней к степени: Корень энной степени из числа равен данному числу в степени, обратной степени корня. Разложение на множители Разложить на множители - значит представить пример в виде умножения. Способы разложения на множители: 1) Вынесение за скобки общего множителя 2) Применение формул сокращённого умножения 3) Группировка: объединение удобных слагаемых с последующим вынесением за скобки общего множителя с целью дальнейшего вынесения за скобки общего множителя в каждой группе. Метод группировки. Это двойное вынесение за скобки. На первом этапе слагаемые группируют так, чтобы после первого вынесения за скобки у новых слагаемых образовались одинаковые множители. На втором этапе выносят эти новые одинаковые множители за скобки. Сложение и вычитание алгебраических дробей В алгебраических дробях, в знаменателях, буквенные выражения бывают ПРОСТЫМИ и СОСТАВНЫМИ. Простое выражение берём целиком как один множитель. Составное раскладываем на множители. Общий знаменатель алгебраических дробей ищем через НОК. НОК составляем из всех РАЗЛИЧНЫХ ПРОСТЫХ множителей в знаменателях дробей. 1. анализируем, простые или составные выражения в знаменателях 2. раскладываем составные выражения на простые множители 3. Составляем НОК 4. домножаем уравнение на НОК, записываем область допустимых значений (ОДЗ) 5. решаем уравнение без дробей Значение коэффициентов линейной функции y=kx+b 1) Коэффициент k отвечает за наклон прямой k>0 - наклон вправо верхним концом k<0 - наклон влево верхним концом 0<|k|<1 - прямая наклонена под углом 0<a<45° |k|>1 - угол 45°<a<90° |k|=1 - угол a=45° 2) Коэффициент b равен точке пересечения прямой с осью Y b>0 - точка выше ОХ b<0 - точка ниже ОХ Линейная функция возрастает, когда большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, когда большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Определение коэффициентов графика вида f(x) = ax + |bx + c| + d: В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию f(x) = kx + l, где угловой коэффициент k = a + |b| или k = a – |b| а свободный член l = d + |c| или l = d – |c|. Очевидно, что a + |b| => a – |b|, значит, большему значению углового коэффициента соответствует a + |b| а меньшему — a – |b|. Аналогично большему значению свободного члена соответствует d + |c|, а меньшему — d – |c|. Подмодульное выражение |bx + c| = 0 в точке излома. Как по рисунку определить угловой коэффициент прямой: Вычисляем "шаг прямой": смотрим, на сколько клеточек поднимается прямая при шаге вправо (влево) на 1 клетку. Если это не целое число, подбираем такой шаг вправо (влево), чтобы по вертикали вышло целое число. Из этого делаем вывод о коэффициенте: делим отступ по вертикали на отступ по горизонтали. Знак коэффициента определяем по наклону верхним концом: вправо = +, влево = – Значение коэффициентов функции параболы 1) Вершина параболы х0=-в/2а 2) Направление ветвей: определяется по коэффициенту а: а<0 - ветви вниз а>0 - ветви вверх 3) Место пересечения графика параболы с ОУ: равно коэффициенту с. c>0 - точка пересечения параболы с ОУ выше нуля с<0 - точка пересечения параболы с ОУ ниже нуля Если при возрастании аргумента Х значение функции У возрастает, то функция возрастает на заданном промежутке. Если при возрастании аргумента Х значение функции У убывает, то функция убывает на заданном промежутке. Д - дискриминант Корни - точки пересечения параболы с осью Х Д>0, имеется 2 корня Д=0, один корень Д<0, корней нет Коэффициенты функции гиперболы у=к/х + b Значения К: 1) 0<K<1 - гипербола в I и III чет., прижата ближе к осям 2) K>1 - гипербола в I и III чет., удалена от осей 3) -1<K<0 - гипербола во II и IV чет., прижата ближе к осям 4) K<-1 - гипербола во II и IV чет., удалена от осей Значения b: Сдвиг ветвей гиперболы выше или ниже на величину b. Функция квадратного корня: b - отвечает за сдвиг кривой выше или ниже |k| - высота кривой k > 0 - кривая в I четверти k < 0 - кривая во IV четверти Решение неравенств Квадратное неравенство - это функция параболы Решение неравенства: 1) Найти корни параболы; 2) Сделать схематичное изображение параболы на координатной плоскости; 3) Выделить ту часть графика, которая отвечает условию неравенства; 4) Составить ответ. Дробно-рациональное неравенство 1) Находим все значения переменной, при которых числитель или знаменатель обращаются в нуль; 2) Наносим все эти значения на числовую прямую и определяем знаки интервалов; 3) Выбираем подходящие интервалы по условию неравенства. Цвет точек числителя зависит от знака неравенства: Если нестрогое — точка закрашенная Если строгое — пустая Цвет точек знаменателя — всегда пустая Чтобы решить систему неравенств, надо решить каждое неравенство в отдельности, затем совместить ответы на одной числовой прямой. Решением системы будет пересечение обоих решений. Свойства функции: 1) Область определения - D(y) - все допустимые значения Х; 2) Область значений - E(y) - все значения У, которые может принимать функция; 3) Нули функции - такие значения Х, при которых У равен 0; промежутки знакопостоянства; 4) Промежутки возрастания и убывания - промежутки значений Х, при которых функция возрастает и убывает Функция возрастает, когда большему значению аргумента (Х) соответствует большее значение функции (У). На графике возрастание видно так: при движении вправо график функции идёт всё выше и выше; Функция убывает, когда большему значению аргумента (Х) соответствует меньшее значение функции (У). На графике убывание видно так: при движении вправо график функции идёт всё ниже и ниже; 5) Наибольшее и наименьшее значение; 6) Непрерывность функции: функция непрерывна, если её график можно построить не отрывая карандаша от бумаги; 7) Чётность, нечётность, либо иной вид функции: Чётная функция - график симметричен относительно оси У, кроме того У(-Х) = У(Х); Нечётная функция - график симметричен относительно точки (0; 0), начала координат, кроме того У(-Х) = -У(Х); Функция общего вида - ни чётная ни нечётная. 8) Ограниченность функции (сверху либо снизу); 9) Выпуклость Функция выпукла вниз на данном промежутке, если все точки графика функции располагаются ниже, чем прямая, соединяющая крайние точки промежутка. Функция выпукла вверх на данном промежутке, если все точки графика функции располагаются выше, чем прямая, соединяющая крайние точки промежутка. Прогрессии и последовательности Последовательность простая это любая функция от натурального аргумента или набор чисел, подчиняющийся некой закономерности Способы задания последовательности: 1) Аналитический - последовательность задаётся формулой энного члена 2) Словесный - задаётся словесным описанием 3) Рекуррентный - последовательность задаётся правилом, по которому можно вычислить энный член, зная значение предыдущих членов 4) Перечислением нескольких членов Арифметическая прогрессия это та, в которой каждый последующий член больше либо меньше на одно и то же число. Это число называется "разность прогрессии" Геометрическая прогрессия это та, в которой каждый последующий член отличается от предыдущего кратно, во сколько-то раз. Это число называется "знаменатель прогрессии"
