Загрузил Джон Смит

Краевые задачи на зачет

реклама
Теория к зачету по курсу «Краевые задачи и вариационное исчисление»
Билет состоит из 2-х вопросов: формулировка + доказательство и просто
формулировка. На зачете студенты одновременно получают билет по теории и задачи
по темам, которые не зачтены на контрольных. За два зачета сделать нужно все в
любом порядке (в отличие от задач, теория – единое испытание, если в целом не
сдали, в следующий раз получаете опять оба вопроса). Чтобы сдать теорию, нужно
что-то написать по доказательству, в остальном критерии расплывчатые, т. к. нет
оценки.
Оглавление
1-е вопросы
1. Сформулируйте постановку краевой задачи для приведенного к дивергентному виду
линейного ОДУ 2-го порядка. Докажите тождество Лагранжа и следствие из него о
связи между определителем Вронского для решений однородного ОДУ из краевой
задачи и коэффициентом при старшей производной в этом ОДУ.
2. Сформулируйте постановку краевой задачи для приведенного к дивергентному виду
линейного ОДУ 2-го порядка. Выведите формулу Грина и следствие из этой формулы о
соотношении для двух функций, удовлетворяющих одинаковым краевым условиям.
3. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и докажите, что её собственные функции,
отвечающие одному собственному значению, линейно зависимы.
4. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и докажите, что её собственные значения
действительны, а собственные функции могут быть выбраны действительно значными.
5. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и докажите, что её собственные функции,
отвечающие разным собственным значениям, ортогональны.
6. Сформулируйте определение первого интеграла нормальной системы ОДУ и
докажите теорему о необходимом и достаточном условии того, что функция является
первым интегралом.
7. Сформулируйте определение первого интеграла нормальной системы ОДУ и
докажите теорему о неявном задании решения задачи Коши для нормальной системы
ОДУ алгебраической системой с первыми интегралами.
8. Сформулируйте определение характеристик линейного однородного уравнения в
частных производных 1-го порядка и докажите теорему о необходимом и достаточном
условии того, что функция является решением этого уравнения.
9. Сформулируйте определение функционала и его вариации, докажите теорему о
необходимом условии экстремума функционала.
10. Докажите основную лемму вариационного исчисления.
2-е вопросы
Все определения, постановки задач и формулировки теорем и лемм из 1-х вопросов, а
также
1. Сформулируйте постановку краевой задачи для приведенного к дивергентному виду
линейного ОДУ 2-го порядка и определение функции Грина для этой задачи.
2. Сформулируйте постановку краевой задачи для приведенного к дивергентному виду
линейного ОДУ 2-го порядка и теорему о существовании и единственности функции
Грина для нее. Выпишите с помощью функции Грина решение этой задачи.
3. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и теорему об оценке снизу для ее
собственных значений.
4. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и теорему Стеклова.
5. Сформулируйте теорему об общем решении линейного однородного уравнения в
частных производных 1-го порядка.
6. Сформулируйте теорему о частном решении квазилинейного неоднородного
уравнения в частных производных 1-го порядка.
7. Сформулируйте определение функционала и его вариации.
8. Сформулируйте теорему о необходимом условии экстремума функционала вида
∫𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ )𝑑𝑥.
9. Сформулируйте теорему о необходимом условии экстремума функционала вида
∫𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … 𝑦 (𝑛) )𝑑𝑥.
10. Сформулируйте теорему о необходимом условии экстремума функционала вида ∬
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑢𝑥, 𝑢𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
1-е вопросы
1. Сформулируйте постановку краевой задачи для
приведенного к дивергентному виду линейного ОДУ 2-го
порядка. Докажите тождество Лагранжа и следствие из него о
связи между определителем Вронского для решений
однородного ОДУ из краевой задачи и коэффициентом при
старшей производной в этом ОДУ.
Постановка:
Тождество Лагранжа:
Следствие:
2. Сформулируйте постановку краевой задачи для
приведенного к дивергентному виду линейного ОДУ 2-го
порядка. Выведите формулу Грина и следствие из этой
формулы о соотношении для двух функций,
удовлетворяющих одинаковым краевым условиям.
Постановка:
Формула Грина:
Для тождества Грина необходимо знать тождество Лагранжа.
Следствие:
3. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и докажите, что
её собственные функции, отвечающие одному собственному
значению, линейно зависимы.
4. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и докажите, что
её собственные значения действительны, а собственные
функции могут быть выбраны действительно значными.
5. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и докажите, что
её собственные функции, отвечающие разным собственным
значениям, ортогональны.
6. Сформулируйте определение первого интеграла
нормальной системы ОДУ и докажите теорему о необходимом
и достаточном условии того, что функция является первым
интегралом.
7. Сформулируйте определение первого интеграла
нормальной системы ОДУ и докажите теорему о неявном
задании решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ
алгебраической системой с первыми интегралами.
8. Сформулируйте определение характеристик линейного
однородного уравнения в частных производных 1-го порядка
и докажите теорему о необходимом и достаточном условии
того, что функция является решением этого уравнения.
9. Сформулируйте определение функционала и его вариации,
докажите теорему о необходимом условии экстремума
функционала.
10. Докажите основную лемму вариационного исчисления.
2-е вопросы
1. Сформулируйте постановку краевой задачи для
приведенного к дивергентному виду линейного ОДУ 2-го
порядка и определение функции Грина для этой задачи.
Постановка:
Определение:
2. Сформулируйте постановку краевой задачи для
приведенного к дивергентному виду линейного ОДУ 2-го
порядка и теорему о существовании и единственности
функции Грина для нее. Выпишите с помощью функции
Грина решение этой задачи.
Постановка:
Теорема:
Решение:
3. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и теорему об
оценке снизу для ее собственных значений.
Задача Штурма-Лиувилля
Теорема об оценке снизу для ее собственных значений
4. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля и теорему
Стеклова.
Задача Штурма-Лиувилля
Теорема Стеклова
5. Сформулируйте теорему об общем решении линейного
однородного уравнения в частных производных 1-го порядка.
6. Сформулируйте теорему о частном решении
квазилинейного неоднородного уравнения в частных
производных 1-го порядка.
7. Сформулируйте определение функционала и его вариации.
8. Сформулируйте теорему о необходимом условии
экстремума функционала вида ∫𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ )𝑑𝑥.
9. Сформулируйте теорему о необходимом условии
экстремума функционала вида ∫𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … 𝑦 (𝑛) )𝑑𝑥.
10. Сформулируйте теорему о необходимом условии
экстремума функционала вида ∬𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑢𝑥, 𝑢𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
Полезные ссылки
Учебник
Скачать