Семинар 3.2. Первое начало термодинамики. Энтропия. Упражнение 1 (вывод некоторых полезных формул) Рассмотрим первый закон термодинамики (ПЗТ): В дифференциальном виде: Штрихи ставятся, чтобы подчеркнуть, что это не приращения функций тепла и работы, а элементарные тепло и работа (в противном случае можно было бы говорить о «запасе» тепла и работы, что не имеет физического смысла). В то же время внутренняя энергия – функция состояния тела. По определению, теплоёмкостью называется количество тепла, которое необходимо сообщить телу для того, чтобы нагреть его на один градус (для перехода к молярной теплоёмкости нужно ещё поделить на молярную массу, к удельной – на массу). В зависимости от того, как проходил процесс нагревания, теплоёмкость может быть разной. Особое значение имеют процессы нагрева/охлаждения при постоянном давлении или объёме. При постоянном объёме подстановка в ПЗТ даст молярную теплоёмкость при постоянном объёме: Отсюда можно получить для неопределённого количества молей: Учитывая это соотношение, вновь распишем ПЗТ: Если процесс изобарический (p = const), то, используя уравнение Клайперона, можно получить уравнение Майера, связывающее молярную теплоёмкость при постоянном давлении и молярную теплоёмкость при постоянном объёме: Важной характеристикой газа является постоянная адиабаты: Можно получить другие формы записи, на основании степеней свободы: Можно выразить внутреннюю энергию: При адиабатическом процессе ПЗТ принимает вид: Это сумма дифференциалов логарифмов: Интегрированием обеих частей получаем уравнение адиабаты или уравнение Пуассона: Другая форма записи: Или: Упражнение 2 (№2.30 // Иродов 1979) Какое количество тепла необходимо сообщить азоту при его изобарическом нагревании, чтобы газ совершил работу A? Решение: Азот – двухатомный, значит . Первый закон термодинамики: Упражнение 3 (№2.31 // Иродов 1979) Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на ΔT, сообщив ему количество тепла Q. Найти совершенную газом работу, приращение его внутренней энергии и величину γ = Cp/CV. Решение: Первый закон термодинамики: Из уравнения Клайперона: . Тогда: Далее: Упражнение 4 (№2.40 // Иродов 1979) Некоторую массу азота сжали в η раз (по объему) один раз адиабатически, другой раз изотермически. Начальное состояние газа в обоих случаях одинаково. Найти отношение соответствующих работ, затраченных на сжатие. Решение: а) адиабатический процесс: б) изотермический процесс: в) Итого: Задача 1 (№2.28 // Иродов 1979) Два теплоизолированных баллона 1 и 2 наполнены воздухом и соединены короткой трубкой с краном. Известны объемы баллонов, а также давление и температура воздуха в них (V1, p1, T1 и V2, p2, T2). Найти температуру и давление воздуха, которые установятся после открытия крана. Решение: Рассмотрим ПЗТ. Поскольку система термоизолирована, количество тепла в ней не поменяется. Объём системы неизменен, поэтому работу она не совершит. Т.е. запас внутренней энергии останется постоянным. Запишем её величину до взаимодействия ( одинаковый, т.к. и там, и там – воздух): После взаимодействия: Итак: Получаем: Распишем уравнение Клайперона для второго состояния и подставим полученную температуру: Задача 2 (№2.29 // Иродов 1979) Газообразный водород, находившийся при нормальных условиях в закрытом сосуде объемом V, охладили на ΔT. Найти приращение внутренней энергии газа и количество отданного им тепла. Решение: Процесс изохорический, соответственно ПЗТ примет вид: Из уравнения Клайперона и учтя, что изначально были нормальные условия: Газ – водород, двухатомный, значит . Итого: Задача 3 (№2.37 // Иродов 1979) Три моля идеального газа, находившегося при температуре Т0, изотермически расширили в n раз и затем изохорически нагрели так, что в конечном состоянии его давление стало равным первоначальному. За весь процесс газу сообщили количество тепла Q. Найти величину γ = Cp/CV для этого газа. Решение: Рассмотрим первый процесс. ПЗТ: При изотермическом процессе можно выразить Тогда: Рассмотрим второй процесс. ПЗТ: как: Распишем закон Клайперона для второго и третьего состояний: Распишем закон Клайперона для первого и второго состояний: Следовательно: Подставляем: Получаем: Задача 4 (№11.46 // Чертов 1988) – почти то же, что и упр.4 В цилиндре под поршнем находится водород массой m при температуре T1. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в n раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n раз. Найти температуру T2 в конце адиабатного расширения и полную работу A, совершенную газом. Изобразить процесс графически. Решение: а) адиабатический процесс: б) изотермический процесс: в) Итого: Задача 4 (№2.35 // Иродов 1979) В вертикальном цилиндре под поршнем находится один моль некоторого идеального газа при температуре Т. Пространство над поршнем сообщается с атмосферой. Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно поднимая поршень, изотермически увеличить объем газа под ним в n раз? Трение поршня о стенки цилиндра пренебрежимо мало. Решение: По определению, работа, совершаемая некоторой силой, равна: где сила выражается как разность давлений с разных сторон поршня. Из условия медленности получается условие: Часть силы «съедается» на компенсацию силы тяжести, поэтому можно ввести: Это сила, которая и совершает работу. Получаем: Далее, учтём условие изотермичности и начальное условие: Подставим и проинтегрируем (не забываем, что Учтём: – это константа, не функция!): : Задача 5 (№2.49 // Иродов 1979) Идеальный газ, показатель адиабаты которого γ, расширяют так, что сообщаемое газу тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти: а) молярную теплоемкость газа в этом процессе; б) уравнение процесса в параметрах Т, V; в) совершенную молем газа работу при увеличении его объема в η раз (начальная температура известна). Решение: a) Из условия: б) Первый закон термодинамики с учётом условия : Избавимся от давления через уравнение состояния и получим: Далее: Далее: в) Работа в политропическом процессе: Для того, чтобы найти показатель политропы, воспользуемся теплоёмкостью процесса из пункта а) и её формулой «по умолчанию»: Из уравнения, полученного в пункте б) выразим температуры: Задача 6 (№2.51 // Иродов 1979) Идеальный газ с показателем адиабаты γ совершает процесс, при котором его внутренняя энергия зависит от объема по закону U = aVβ, где a и α — постоянные. Найти: а) работу, которую произведет газ, и тепло, которое надо сообщить ему, чтобы внутренняя энергия испытала приращение ΔU; б) молярную теплоемкость газа в этом процессе. Решение: а) Для нахождения работы нужно выразить показатель политропы: Отсюда показатель политропы: . Работа при политропическом процессе: Температуру выразим из внутренней энергии: Учтём: . Тогда: Тепло найдём из ПЗТ: б) Молярная теплоёмкость при данном процессе: Задача 7 (№2.57 // Иродов 1979) Найти работу, совершаемую одним молем ван-дер-ваальсовского газа при изотермическом расширении его от объема V1 до V2 при температуре T. Решение: Уравнение состояния ван-дер-ваальсовского газа: Отсюда давление: Тогда работа: Интеграл распадается на 2, причём в первом необходимо произвести замену переменной: Получаем: , тогда пределы интегрирования сменятся: . Упражнение 4 (вывод некоторых полезных формул) Энтропией системы называется функция её состояния, определённая до произвольной постоянной. Физический смысл имеет не само значение энтропии, а разность её значений в двух равновесных состояниях. В адиабатической системе энтропия не может убывать, она либо не изменяется, либо возрастает. По определению: здесь Т – температура, при которой получено данное количество теплоты. В качестве примера выведем энтропию одного моля идеального газа. Запишем ПЗТ: Подставив определение энтропии и выразив давление через уравнение Клайперона: Получаем: Аддитивная постоянная может зависеть от числа молекул в газе (числа молей). Чтобы удовлетворить этому условию, а общем виде пишем: Задача 5 Как изменится энтропия системы из двух одинаковых твёрдых тел при различных температурах Т1<Т2 после их контакта (изменением объёма пренебречь)? Решение: Если система изолирована, тела придут к термодинамическому равновесию: Так как тела одинаковы, то их теплоёмкости равны. Запишем ПЗТ, учтя, что объём постоянен: Тогда энтропия для каждого из тел: Или: Постановкой любых чисел можно проверить, что энтропия выросла. Задача 6 (№2.80 // Трофимова 1999) Во сколько раз необходимо увеличить объем (ν = 5 моль) идеального газа при изотермическом расширении, если его энтропия увеличилась на ΔS? Решение: Запишем ПЗТ и получим из него выражения для энтропии: Процесс изотермический, значит: Отсюда: Задача 7 (№2.81 // Трофимова 1999) При нагревании двух молей двухатомного идеального газа его термодинамическая температура увеличилась в n раз. Определите изменение энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изобарно. Решение: Запишем ПЗТ для изохорного процесса и получим из него выражения для энтропии: Отсюда: Запишем ПЗТ для изобарного процесса и учтём уравнение Клайперона: Получаем, что энтропия: Задача 8 (№2.83 // Трофимова 1999) Азот (i=5) массой m адиабатно расширили в n раз, а затем изобарно сжали до начального объема. Определите изменение энтропии газа в ходе указанных процессов. Решение: Поскольку первый процесс адиабатический, получается, что . Для изобарного процесса изменение энтропии: Учтём уравнение Клайперона и получим окончательный ответ: Задача 9 (№1.146 // Иродов 1979) Один моль идеального газа с известным значением теплоемкости CV совершает процесс, при котором его энтропия S зависит от температуры Т как S = α/T, где α — постоянная. Температура газа изменилась от T1 до T2. Найти: а) молярную теплоемкость газа как функцию его температуры; б) количество тепла, сообщенное газу; в) работу, которую совершил газ. Решение:По определениям молярной теплоёмкости и энтропии: Воспользуемся условием: S = α/T. Тогда Поставим в определение: Из ПЗТ выражаем работу: . Отсюда: Семинар 3.1. Идеальный газ. Задача 1 (№2 // Ихсанов Семинар 3.1) Идеальный газ массой m находится в баллоне объемом V при температуре T1 и давлении Р1. Затем часть газа выпустили, а оставшуюся часть нагрели. После этого в баллоне установились давление Р2 и плотность газа r . Определите установившуюся температуру газа. m ì PV 1 = R ïT m 1 ï PT m ï PV m Решение: í 2 = 2 R Þ T2 = 2 1 m PV 1 r ï T2 ï m ïr = 2 V î Задача 2 (№2.1 // Иродов 1979) В сосуде объёмом V содержится идеальный газ при температуре T = 273 К (термостат). После того, как часть газа была выпущена наружу, давление в сосуде понизилось на ∆p. Найти массу выпущенного газа. Плотность данного газа при нормальных условиях ρ. Решение: Воспользовавшись тем фактом, что дана температура нормальных условий, можно выразить: где , – нормальное давление. Таким образом, левая часть, входящая в уравнение для массы, выражена через стандартные значения. Задача 3 (№8 // Ихсанов Семинар 3.1) В вертикальной трубке постоянного сечения, запаянной снизу, находится воздух, запертый сверху столбиком жидкости высотой h1. Во сколько раз уменьшится высота столба воздуха в трубке, если в трубку дополнительно долить столбик жидкости высотой h2? Плотность жидкости равна r , ускорение свободного падения равно g, атмосферное давление равно P0 . Температура воздуха постоянна. Решение: Давление, оказываемое на «пузырь» равно атмосферному + давление массы воды. Исходя из закона pV = Const, а также, что V ~ х (высота «пузыря»), можно получить отношение: P0 + g r h1 Sx = P0 + g r (h1 + h2 ) S x Þ n = 1 + T T n g r h2 P0 + g r h1 . Задача 4 (Ихсанов Семинар 3.1) В вертикальном цилиндрическом сосуде, который помещен в термостат (при постоянной температуре), под поршнем находится идеальный газ. Когда на поршень положили груз массой m1, объем газа уменьшился в n раз. Какой массы груз надо дополнительно положить на поршень чтобы объем газа уменьшился еще в k раз? Решение: ìæ m1 g ö V0 0 0 ïç P0 + S ÷ n = PV m k - 1 n ïè ø Þ m2 = 1 í n -1 ïæ P + (m1 + m2 ) g ö V0 = PV 0 0 0 ç ÷ ïîè S ø nk Задача 5 (№2.6 // Иродов 1979) В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится легкодвижный весомый поршень, по обе стороны которого – по одному молю воздуха. В равновесном состоянии при температуре T0 объём верхней части цилиндра в � раза больше объёма нижней части V0. При какой температуре отношение этих объёмов станет �’ (�’<�)? Решение: Пусть p1 и p2 – давления в верхнем и нижнем отделениях при температуре T0. Тогда положение равновесия в системе (m – масса поршня): Тогда, выражая давление из закона Клайперона-Менделеева: При новой температуре: Эти уравнения можно записать как систему: Новый объём можно выразить исходя из того, что общий объём остаётся постоянным: Тогда: Задача 6 (№2.12 // Иродов 1979) Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону T = T0 + αV2, где T0 и α – положительные постоянные, V – объём одного моля газа. Решение: Выразим объём из уравнения Клайперона-Менделеева и подставим в данное выражение (моль один, можно не записывать): Для нахождения экстремума производная приравнивается нулю: Задача 7 (№2.10 // Иродов 1979) В гладкой открытой с обоих концов вертикальной трубе, имеющей два разных сечения (см. рисунок), находятся два поршня, соединённые нерастяжимой нитью. А между поршнями – один моль идеального газа. Площадь сечения верхнего поршня на ∆S больше, чем нижнего. Общая масса поршней m. Давление наружного воздуха p0. На сколько кельвин надо нагреть газ между поршнями, чтобы они переместились на l? Решение: Запишем закон динамики для поршней (верхнего и нижнего): Отсюда: Получаем, это давление постоянно (константа). Тогда можно воспользоваться уравнением Клайперона-Менделеева (один моль не пишем): Задача 8 (№12 // Ихсанов Семинар 3.1) Кислород находится в баллоне объемом V1 под давлением Р1, а гелий в баллоне объемом V2 под давлением Р2. Определите давление Р смеси этих газов после соединения баллонов тонкой трубкой. Температура постоянна. Решение: Согласно закону Дальтона, давление смеси химически не взаимодействующих идеальных газов равно сумме их парциальных давлений (парциальное давление давление, которое имел бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объём, равный объёму смеси при той же температуре). Отсюда: ì P1(2) (V1 + V2 ) m1 m1 ì PV 1 1 = R = R ï ï T P2(2) + P1(2) (V1 + V2 ) m1 m1 T m1 m ï ï Þ í (2) Þ = R+ 2 R í m T m1 m2 P (V1 + V2 ) m2 2 2 ï PV = 2R ï 2 = R ïî T ïî m2 T m2 P (2) (V1 + V2 ) PV PV PV + PV P (2) = P2(2) + P1(2) , = 1 1 + 2 2 Þ P (2) = 1 1 2 2 T T T V1 + V2 Задача 9 (№1 // Ихсанов Семинар 3.1) Двухатомный газ массой m находится в сосуде объемом V при температуре T . Известно, что доля диссоциировавших на атомы молекул равна h , а молярная масса газа – m . Найти давление в сосуде. Решение: P= RT æ m m ö RT m h = 1 + h ç 1 - h + V èm m / 2 ÷ø V m . Задача 10 (№8.17 // Чертов 1988) Колба вместимостью V, закрытая пробкой с краном, содержит разреженный воздух. Для измерения давления в колбе горлышко колбы погрузили в воду на незначительную глубину и открыли кран, в результате чего в колбу вошла вода массой m. Определить первоначальное давление p в колбе, если атмосферное давление p0. Температура постоянна. Решение: Объём уменьшился за счёт затекания воды, значит изменение объёма связано с плотностью воды: Итого получаем: Задача 11 (№8.18 // Чертов 1988) В U-образный манометр налита ртуть. Открытое колено манометра соединено с окружающим пространством при нормальном атмосферном давлении p0, и ртуть в открытом колене стоит выше, чем в закрытом, на Δh. При этом свободная от ртути часть трубки закрытого колена имеет длину l. Когда открытое колено присоединили к баллону с воздухом, разность уровней ртути увеличилась и достигла значения Δh1. Найти давление p воздуха в баллоне. Решение: Важно сделать хороший рисунок. Понятно, что в коленях должно соблюдаться равенство давлений. Тогда, считая, что р1 – давление в закрытом колене в начальный момент: После подсоединения сосуда (p – давление в нём): Изменение объёма закупоренного колена: Итого: Задача 12 (№8.19 // Чертов 1988) Манометр в виде стеклянной U-образной трубки с внутренним диаметром d наполнен ртутью так, что оставшийся в закрытом колене трубки воздух занимает при нормальном атмосферном давлении объем V1. При этом разность уровней ртути в обоих коленах трубки равна Δh1. При соединении открытого конца трубки с большим сосудом разность уровней ртути уменьшилась до Δh2. Определить давление p в сосуде. Задача 13 (№8.25 // Чертов 1988) Газовый термометр состоит из шара с припаянной к нему горизонтальной стеклянной трубкой. Капелька ртути, помещенная в трубку, отделяет объем шара от внешнего пространства. Площадь поперечного сечения трубки равна S. При температуре T1 капелька находилась на расстоянии l1 от поверхности шара, при температуре T2 — на расстоянии l2. Найти вместимость V шара. Решение: В обоих случаях внутреннее давление равно атмосферному. Задача 14 (№2.21 // Иродов 1978) Какому давлению необходимо подвергнуть углекислый газ при температуре Т = 300 К, чтобы его плотность оказалась равной ρ = 500 г/л? Расчет провести как для идеального газа, так и для ван-дер-ваальсовского. Решение: Идеальный газ: Газ Ван-дер-Ваальса: Задача 15 (№2.22 // Иродов 1978) Один моль азота находится в сосуде объемом V = 1,00 л. Найти: а) температуру азота, при которой ошибка в давлении, определяемом уравнением состояния идеального газа, составляет η = 10% (по сравнению с давлением согласно уравнению Ван-дер-Ваальса); б) давление газа при этой температуре. Решение: Из-за взаимодействия молекул газа в модели Ван-дер-Ваальса, давление ниже, чем по формуле Клайперона. Тогда можно записать соотношение с учётом ошибки: Отсюда температура: Давление: Задача 16 (№2.23 // Иродов 1978) Один моль некоторого газа находится в сосуде объемом V = 0,250 л. При температуре T1 = 300 К давление газа p1 = 90 атм, а при Т2 = 350 К давление р2 = 110 атм. Найти постоянные Ван-дер-Ваальса для этого газа. Решение: Имея 2 состояния, можно составить систему уравнений: Семинар 3.3. КПД термодинамического цикла. Упражнение 1 (№2.114 // Иродов 1979) Водород совершает цикл Карно. Найти к. п. д. цикла, если при адиабатическом расширении: а) объем газа увеличивается в n раз; б) давление уменьшается в n раз. Решение: КПД цикла Карно можно записать в виде (где Т1 и Т2 – температуры нагревателя и холодильника): В обоих пунктах задачи для нахождения отношения температур можно воспользоваться уравнением адиабаты. Упражнение 2 (№2.147 // Иродов 1979) Рабочее вещество совершает цикл, в пределах которого абсолютная температура изменяется в n раз, а сам цикл имеет вид, изображённый на графике в координатах энтропия-температура. Найти КПД цикла. Решение: КПД цикла (где Q1 и Q2 – тепло, полученное от нагревателя и тепло, отданное холодильнику): Согласно определению энтропии, тепло можно представить в виде: Интеграл равен площади под графиком. На рисунке а) тело получает тепло на горизонтальном участке и отдаёт на наклонном участке. Пусть Т1 и Т2= Т1/n – верхняя и нижняя границы температуры, ∆S – разность значений энтропии. Тогда принятое тепло: Отданное тепло: Итого: На рисунке б) тело получает тепло на наклонном участке и отдаёт на горизонтальном участке. Задача 1 (№2.72 // Трофимова 1999) Три моля идеального двухатомного газа занимают объём V1 и находится под давлением p1. Изохорным нагреванием газ нагрели до температуры T2. После этого газ изотермически расширили до начального давления, а затем в результате изобарического сжатия вернули в первоначальное состояние. Определите КПД цикла. Решение: Газ получает тепло на изохоре, изотерме и теряет на изобаре. Полученное тепло на изохоре: Полученное тепло на изотерме: Потерянное тепло на изобаре: Задача 2 (№2.73 // Трофимова 1999) Рабочее тело (идеальный газ) совершает цикл в тепловом двигателе. Цикл состоит из последовательных изобарического, адиабатического и изотермического процессов. В результате изобарного процесса газ нагревается от T1 до T2. Определить КПД. Решение: Газ получает тепло на изобаре и отдаёт на изотерме. Лучше нарисовать цикл в pV. Полученное тепло (работу перепишем через уравнение Клапейрона): Потерянное тепло: Объём можно выразить из уравнений Клапейрона для точек 1 и 2 в цикле: Получаем: Точки 2 и 3 цикла связаны адиабатой, что позволяет воспользоваться уравнением адиабаты для выражения отношения объёмов (и учитывая наличие изотермы): Тогда: КПД (используем свойство логарифма, при раскрытии гаммы i уходит): Задача 3 (№2.120 // Иродов 1979) Идеальный газ совершает цикл, состоящий из: а) изохоры, адиабаты и изотермы; б) изобары, адиабаты и изотермы; причем изотермический процесс происходит при минимальной температуре цикла. Найти к. п. д. каждого цикла, если абсолютная температура в его пределах изменяется в n раз. Решение: В пункте а) тело получает тепло на изохоре и отдаёт на изотерме. Из ПЗТ получаем: Воспользуемся уравнением адиабаты, уравнением Клапейрона и свяжем состояния. Подставив это выражение в Q2 и воспользовавшись свойством логарифма: Тогда КПД: Пункт б) делается аналогично. Ответы совпадают. Задача 4 (№2.124 // Иродов 1979) Вычислить к. п. д. цикла, состоящего из изотермы, изобары и изохоры (именно в такой последовательности!), если при изотермическом процессе объем идеального газа с показателем адиабаты γ: а) увеличивается в n раз; б) уменьшается в n раз. Решение: а) Тело получает тепло на изотерме, теряет на изобаре, получает на изохоре. Соответственно, полученное тепло: Для второго слагаемого свяжем состояние 1 и 2 (на концах изобары) через уравнение Клапейрона, тогда получаем: Потерянное тепло: Итого, КПД: б) Тело получает тепло на изобаре, теряет на изотерме и изохоре. Решение аналогично пункту а). Соответственно, полученное тепло: Потерянное тепло: Итого, КПД: Задача 5 (№2.126 // Иродов 1979) Найти КПД цикла, состоящего из двух изобар и двух изотерм, если в пределах цикла давление изменяется в n раз, а абсолютная температура, в τ раз. Рабочим телом является идеальный газ с показателем адиабаты γ. Решение: Тело получает тепло на верхней изобаре и «левой» изотерме. На нижней изобаре и «правой» изотерме оно тепло теряет. Пусть на нижней изотерме температура равна T0, тогда на верхней - τT0. Полученное тепло на «левой» изобаре: Полученное тепло верхней изотерме: Отданное тепло на «правой» изобаре: Отданное тепло на нижней изотерме: Тогда КПД: Задача 6 (№1 // Ихсанов КР 2020 в1) Тепловая машина работает по циклу, изображенном на рисунке. Рабочим веществом служит один моль идеального газа. Какая работа совершается газом за цикл? В задаче известны все величины, изображенные на рисунке: р1, р2, Т1, Т2. Решение: Тепло принимается на 41, 12, 23 и отдаётся на 32. Из уравнения Клапейрона -Менделеева: Далее можно рассмотреть каждый участок цикла: Тогда: Задача 7 (№2.116 // Иродов 1979) Идеальный газ совершает цикл, состоящий из чередующихся изотерм и адиабат. Температуры, при которых происходят изотермические процессы, равны T1, T2 и T3. Найти к. п. д. такого цикла, если при каждом изотермическом расширении объем газа увеличивается в n раз. Решение: Из ПЗТ с учётом уравнения Клапейрона получаем, что на первых двух изотермах получено тепло (на адиабате тепло получить невозможно по определению): Аналогично, потерянное на нижней изотерме тепло: Теперь воспользуемся уравнением адиабаты, чтобы выразить неизвестные. Аналогично: Также учтём, что: свойства логарифма): Итого, КПД: в результате подстановок получим (минус из Семинар 3.4-3.6. Вероятность. МКТ. Более подробно про теорию вероятности можно почитать во втором томе учебника по физике Сивухина, параграф 70. Определения: Основу статистической физики составляет теория вероятности. По определению, вероятностью называется величина, равная: при N стремящемся к бесконечности. N – число опытов, Ni – число опытов с определённым исходом. Очевидно, что сумма вероятностей всех возможных исходов должна равняться единице. Это называется условием нормировки. Теорема о сложении вероятностей заключается в том, что если в результате события возможны (помимо прочих) исходы i и j, то вероятность того, что исходом будет i или j, будет равна сумме вероятностей каждого из этих исходов по отдельности: Теорема об умножении вероятностей (для независимых событий!) утверждает, что при аналогичных условиях вероятность последовательного «выпадения» результатов i и j равняется произведению их вероятностей: Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины определяется с учётом «веса» каждого исхода: В ряде случаев значения, принимаемые величиной, изменяются непрерывно. В таком случае бессмысленно говорить о вероятности того, что величина примет конкретное точное значение (такая вероятность будет равна нулю, т.к. самих значений бесконечно много), поэтому говорят о вероятности попасть в окрестность данного значения, некий промежуток ∆x. Соответствующая вероятность ∆Pi будет мала, поэтому в качестве характеристики такой случайно величины берут отношение ∆Pi/∆x, которое при малых ∆x не зависит от величины интервала ∆x. При значении этого интервала, стремящимся к нулю, указанное отношение называют функцией распределения: С точки зрения математики — это плотность вероятности, т.е. функция, определяющая вероятность того, что значение рассматриваемой случайной величины окажется в единичном интервале около данного x. Таким образом, сама вероятность оказаться в единичном интервале: А вероятность оказаться в произвольном интервале (a, b): Для непрерывной случайной величины условие нормировки принимает вид: Тогда среднее значение случайной величины находится как: Распределения: Распределение Максвелла по компонентам скорости: Распределение Максвелла по модулю скорости: Приведённое распределение Максвелла по модулю скорости: здесь , – наиболее вероятная скорость. Распределение Больцмана: Характерные скорости (лучше выучить): Наиболее вероятная скорость: Средняя скорость: Средняя квадратичная скорость: Табличные интегралы: Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1, n], имеющих ту же чётность, что и n. Группа задач на плотность вероятности и функцию распределения. Задача 1 (№14 с сайта mathpofi.ru) Дана функция плотности вероятности распределения случайной величины. Определить нормировочный коэффициент, математическое ожидание этой величины и вероятность того, что она примет значение в интервале [0; ½]. Решение: Исходя из свойства нормировки, найдём коэффициент C: Найдём математическое ожидание: Найдём вероятность попадания в интервал: Задача 2 (№17 с сайта mathpofi.ru) Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины х. Найти функцию распределения и вероятность попадания в интервал [2; 3]. Решение: Сначала найдём нормировочный коэффициент А: Теперь выразим функцию распределения: При x < 1: При 1 ≤ x ≤ 4: При x > 4: Итого, функция распределения: Вероятность попадания в интервал можно найти двумя способами: через плотность и через функцию распределения. Решим обоими способами. а) через плотность: б) через функцию распределения: Задача 3 (№20 с сайта mathpofi.ru) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X. Требуется: а) найти коэффициент A; б) найти функцию распределения; в) вычислить вероятности попадания случайной величины X на промежутки [-5; 3] и (3; 7); г) найти математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение σ. Решение: а) б) При x < 2: При 2 ≤ x ≤ 4: При x > 4: Итого, функция распределения: в) Найдём первую вероятность через плотность, вторую – через функцию: г) Найдём математическое ожидание: Найдём дисперсию: Найдём среднее квадратическое отклонение: Группа задач на вывод характерных скоростей. Задача 4 (№2.17 // Трофимова 1999) Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найти формулу наиболее вероятной скорости . Решение: Распределение Максвелла по модулю скорости: Наиболее вероятной скорости соответствует максимум этого распределения. Соответственно, нужно искать экстремум: Задача 5 (№2.18 // Трофимова 1999) Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найдите закон, выражающий распределение молекул по относительным скоростям . Решение: Учитывая, что можно записать: Теперь: Итак: Задача 6 (№2.19 // Трофимова 1999) . Тогда . Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найти среднюю арифметическую скорость молекул. Решение: Используем табличный интеграл (для нечётной степени n): Получаем: Более подробное решение с применением интегрирования по частям. Общая формула интегрирования по частям: В нашем случае подинтегральное выражение имеет вид (многочлен)*(показательная экспонента)*dx. Это следует из преобразования: Учтём, что , подставим и сделаем замену: и получим: Полученный интеграл интегрируем по частям. Многочлен z принимается за u, а оставшаяся часть за dv. Получаем: Таким образом, получаем: Задача 7 (№2.20 // Трофимова 1999) Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найти среднюю квадратичную скорость . Решение: По своему смыслу среднеквадратичная скорость – это скорость, которой теоретически могла бы обладать каждая молекула газа, чтобы при данной температуре газ имел данную энергию. Используем табличный интеграл (для чётной степени n): Получаем: *************** задачи на преобразование распределений Задача 8 (№2.21 // Трофимова 1999) Вывести закон распределения молекул по кинетическим энергиям, используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям. Найти среднюю кинетическую энергию молекул. Решение: Учитывая, что Теперь: Итак: можно записать: . Тогда . Теперь найдём среднюю кинетическую энергию: Воспользуемся табличным интегралом: Получаем: Задача 9 (№2.96 // Иродов 1978) Газ состоит из молекул массы m и находится при температуре Т. Найти с помощью распределения Максвелла по скоростям v соответствующее распределение молекул по кинетическим энергиям К. Определить наиболее вероятное значение кинетической энергии Eвер. Решение: Учитывая, что Теперь: Итак: можно записать: . Тогда . Теперь найдём наиболее вероятную кинетическую энергию: *************** всякие разные задачи на Максвелла Задача 9 (пример из пособия Иродова) Идеальный газ находится в сферическом сосуде радиуса R (распределение молекул равномерное). Найти распределение расстояний r молекул от центра сосуда и среднее значение этого расстояния. Решение: При работе с сферой удобно пользоваться тонким концентрическим слоем. Согласно постановке задачи, вероятность нахождения на некотором расстоянии от центра равносильна попаданию в один из таких слоёв. Соответственно, согласно определению, вероятность «завязана» на соотношении соответствующих объёмов: Функция распределения: Среднее значение: Задача 10 (№2.1 // пособие Иродова) Распределение вероятностей некоторой величины x описывается формулой интервале (0, a). Вне этого интервала в . Найти: а) наиболее вероятное и среднее значения величины x; б) вероятность нахождения x в интервале (0, a/2). Решение: Наиболее вероятное значение х соответствует максимуму функции распределения. Из её вида понятно, что это происходит при xmax = a. Далее, поскольку функция дана в общем виде (через ), нужно предварительно найти нормировочный множитель из условия нормировки: Тогда: Искомая вероятность: Задача 11 (№2.2 // пособие Иродова) Плотность распределения местонахождения частиц по плоскости зависит от расстояния r до точки 0 как: , если . Здесь а задано, А – некоторая неизвестная постоянная. Найти: а) наиболее вероятное расстояние частиц от точки 0; б) среднее расстояние частиц от точки 0. Решение: а) вероятность нахождения в интервале (r, r+dr) эквивалентна количеству «попаданий» в кольцо с внешним и внутренним радиусами r, r+dr. произведению f(r) на площадь кольца радиуса r и шириной dr: Отсюда плотность вероятности: Наиболее вероятное значение x находится по условию экстремума: б) Для нахождения среднего значения сначала находится постоянная А из условия нормировки: Тогда: Задача 12 (№2.95 // Иродов 1979) Воспользовавшись распределением Максвелла, найти среднее значение обратной скорости молекул идеального газа , находящегося при температуре Т, если масса каждой молекулы m. Сравнить полученную величину с обратной величиной средней скорости. Решение: Решается «в лоб» после подведения под знак дифференциала и замены : Задача 13 (№2.89 // Иродов 1979) При какой температуре газа число молекул со скоростями в заданном интервале v, v+dv будет максимально? Масса каждой молекулы равна m. Решение: По определению, функция распределения показывает долю молекул, обладающих скоростью около данного значения. Распределение Максвелла по модулю скорости: Соответственно, нужно добиться её максимального значения для заданной скорости при некоторой температуре, то есть найти экстремум: Здесь важно аккуратно взять производную. Для удобства пусть: Здесь есть как производная произведения, так и производная сложной функции. Задача 14 (№2.90 // Иродов 1979) Определить относительное число молекул, скорости которых на ось Х лежат в диапазоне , а модуль перпендикулярной составляющей скорости – в интервале . Масса молекул газа и его температура известны. Решение: Для х-компоненты распределение известно: Для «перпендикулярной» компоненты вероятность имеет вид: согласно теореме умножения вероятностей. Здесь – элемент объёма в пространстве скоростей, куда попадает конец вектора перпендикулярной скорости. Поскольку в задаче спрашивают про , т.е. нас не интересует направление этого вектора, то элемент объёма удобно переписать как кольцевой слой (см. рисунок): (это площадь кольца с радиусом толщиной и ). Тогда вероятность попасть в искомый диапазон перпендикулярной компоненты имеет вид (в показателе получается по теореме Пифагора сложение степеней в квадрате). Итого, получаем вероятность: Задача 15 (Ихсанов КР 2020) Предположим, что молекулы некоторого газа ограничены в своем движении двумя осями пространственных координат, а функции распределения молекул по двум проекциям скорости (т.е. функции j (v x ) и j (v y ) ) – максвелловские. Написать функцию распределения молекул газа по энергии и рассчитать с ее помощью среднюю энергию молекул такого газа при температуре T, если масса молекулы газа равна m. 1/2 1/2 æ mv 2y ö æ mv 2x ö æ m ö æ m ö j (v ) = exp j (v x ) = ç çç ÷ y ç ÷ ÷ ÷ exp ç 2 p kT 2kT ÷ø 2p kT ø 2 kT è ø è è ø è Решение: , . Соответственно, ф-ия распределения в пространстве скоростей (при перемножении экспонент компоненты скорости в показателе «превращаются» в просто v как сумма квадратов): f (v x , v y ) = j (v x )j (v y ) = æ mv 2 ö æ mv 2 ö m m exp ç Þ F (v) = 2 p v f (v) = v exp ÷ ç÷ 2p kT kT è 2kT ø è 2kT ø F (E) = Ф-ия распределения по энергии: æ mv 2 ö d v( E ) 1 m æ E ö v( E ) exp ç = exp ç ÷ ÷ kT kT è kT ø è 2kT ø dE +¥ Средняя энергия (интегрируем по частям): Ответ: F (E) = 1 æ E ö exp ç ÷ kT è kT ø , E = kT 1 æ E ö E = E exp ç ÷ dE = kT ò kT 0 è kT ø Задача 16 (№2.76 // Иродов 1979) Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в η раз? Решение: Раз молекулы жёсткие, колебательные степени свободы можно не учитывать. Тогда (i=5): Средняя квадратичная скорость молекулы: Теперь составим уравнение из условия задачи: Поскольку состояния связаны через адиабату, то: Задача 17 (№2.86 // Иродов 1979) Найти для газообразного азота: а) температуру, при которой скоростям молекул v1 и v2 соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла F(v); б) скорость v молекул, при которой значение функции распределения Максвелла F(v) для температуры Т0 будет таким же, как и для температуры в η раз большей. Решение: Пункт а) Пункт б) Задача 18 (№2.99 // Иродов 1979) Распределение молекул по скоростям в пучке, выходящем из отверстия в сосуде, описывается функций , где Т – температура газа внутри сосуда. Найти наиболее вероятные значения: а) скорости в пучке и сравнить с наиболее вероятной скоростью молекул внутри сосуда; б) кинетической энергии молекул в пучке. Решение: Для наиболее вероятной скорости в пучке найдём условие экстремума. Теперь переведём распределение по скоростям в пучке в распределение по кинетическим энергиям. Получим: Тогда наиболее вероятное её значение ищется через экстремум: ********* задачи на Больцмана Задача (№2.102 // Иродов 1978) Найти силу, действующую на частицу со стороны однородного поля, если концентрации этих частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на расстоянии h (вдоль поля), отличаются в N раз. Температура системы Т. Решение: Потенциальная энергия и сила связаны через градиент: случае поле однородное, поэтому: , но в данном (предположим, что направление силы совпадает с направлением оси). Задача (№2.103 // Иродов 1978) При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено, что среднее число их в слоях, расстояние между которыми h, отличается друг от друга в η раз. Температура среды Т. Диаметр частиц d и их плотность на ∆ρ больше плотности окружающей жидкости. Найти по этим данным число Авогадро. Решение: Степень перепишем как (сила тяжести пусть против направления оси, а выталкивающая сила – по направлению оси): Степень перепишем как: Задача 8 (Семинар 8, Ихсанов // №2.110, Иродов 1979) Герметичная трубка с газом расположена горизонтально и вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее торцов. Абсолютная температура газа однородна по длине и равна T. Длина трубки равна l. Найти значение ω, при котором отношение концентраций у противоположных концов трубки равно �. Считать, что концентрация описывается распределением Больцмана в потенциале центробежной силы. Решение: Исходя из соотношения между потенциалом и силой, выразим потенциал центробежной силы (она сонаправлена радиальной оси): здесь x – расстояние от оси вращения (константа обнуляется согласно граничным условиям, либо можно брать определённый интеграл, как в следующей задаче). Распределение Больцмана: Получаем: Задача (№2.109 // Иродов 1979) Найти массу моля коллоидных частиц, если при вращении центрифуги с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси концентрация этих частиц на расстоянии r2 от оси вращения в η раз больше, чем на расстоянии r1 (в одной горизонтальной плоскости). Плотности частиц и растворителя равны соответственно ρ и ρ0. Решение: Поле суммарной силы можно выразить как (ось направлена от центра вращения, центробежная сила ей сонаправлена, выталкивающая – противонаправлена): Тогда разность потенциалов (из Тогда распределение Больцмана: ): Отношение концентраций тогда: Отсюда: Задача 9 (№2.17 // Иродов 1979) Идеальный газ с молярной массой μ находится в очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь основания которого S и высота h. Температура газа Т, его давление на нижнее основание p0. Считая, что температура и ускорение свободного падения не зависят от высоты, найти массу газа в сосуде. Решение: По барометрической формуле: Плотность газа меняется с высотой. Саму плотность можно выразить из формулы состояния газа: Подставляем: Тогда элементарную массу можно записать через плотность как: Задача 10 (№2.20 // Иродов 1979) Горизонтальный цилиндр, закрытый с одного конца, вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец цилиндра. Давление воздуха снаружи p0, температура Т, молярная масса μ. Найти давление воздуха, как функцию расстояния r от оси вращения. Молярную массу считать не зависящей от r. Решение: Запишем второй закон Ньютона для этой системы. Саму силу распишем как давление, оказываемое газом. При этом, и давление, и масса газа меняются по мере отдаления от оси. Тогда: Распишем массу: . Из уравнения состояния идеального газа выразим плотность: Тогда: Получаем: Семинар 3.9. Поверхностное натяжение. Молекулы жидкости расположены настолько близко друг к другу, что силы притяжения между ними имеют значительную величину. Эти силы очень быстро убывают с расстоянием, а каждая молекула испытывает притяжение со стороны всех своих соседей. Отсюда следует, что на границе жидкость-газ молекула испытывает большее притяжение внутрь жидкости, т.к. плотность газа ниже (в среднем равнодействующая сил равна нулю, но в случае, если молекула достаточно далеко от своих соседей, баланс нарушен). В результате на каждую молекулу, находящуюся в поверхностном слое толщиной r (радиус молекулярного взаимодействия) будет действовать сила, направленная внутрь жидкости. В связи с тем, что переход молекулы из глубины на поверхность связан с противодействием этой силе, поверхностные молекулы обладают доп. потенциальной энергией. Поскольку положение равновесия соответствует мин. потенциальной энергии, в отсутствие внешнего воздействия капля жидкости стремится принять форму сферы, как фигуре с наименьшей площадью и, соответственно, с наименьшей поверхностной энергией. Выделим часть поверхности жидкости, ограниченную замкнутым контуром. Тенденции этого участка к сокращению позволяют выделить силы поверхностного натяжения. Они действуют по касательной к поверхности жидкости, перпендикулярно к участку контура, на который она действует. Поверхностным натяжением или коэффициентом поверхностного натяжения α называют силу, приходящуюся на единицу длины контура [Н/м]. Он зависит от природы жидкости и температуры. Также поверхностное натяжение трактуют как свободную энергию единицы площади поверхностного слоя [Дж/м2] Стремление к сокращению площади также приводит к возникновению дополнительного давления в случае изогнутой границы раздела. Величина этого давления определяется по формуле Лапласа: Здесь радиусы – радиусы кривизны двух нормальных сечений. На границе раздела двух сред следует учитывать свойства обеих. Поскольку свойства могут отличаться, а равновесие должно соблюдаться, значит выполняется некое условие равновесия. Его выражают с помощью краевого угла: При θ < π/2 говорят, что жидкость смачивает поверхность твёрдого тела, при θ → 0 имеет место полное смачивание. Если θ > π/2, то смачивания не происходит. Условие полного несмачивания – θ → π. Наличие краевого угла приводит к искривлению поверхности жидкости вблизи стенок сосуда. Изогнутые поверхности зовутся менисками. При погружении тонкой трубки (капилляра) в жидкость наблюдаются перепады высот жидкости – капиллярные явления. Этот перепад высот выражается как: Задача 1 (№2.98 // Трофимова 1999) При определении силы поверхностного натяжения капельным методом число капель глицерина, вытекающего из капилляра, составляет n = 50. Общая масса глицерина m = 1 г, а диаметр шейки капли в момент отрыва d = 1 мм. Определите поверхностное натяжение σ глицерина. Решение: Задача 2 (№2.100 // Трофимова 1999) Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, определите работу А, которую надо совершить, чтобы увеличить его размер с d1 = 6 мм до d2 = 60 мм. Поверхностное натяжение мыльного раствора считать равным 40 мН/м. Решение: Задача 3 (№2.101 // Трофимова 1999) Две капли воды радиусом 1 мм каждая слились в одну большую каплю. Считая процесс изотермическим, определить уменьшение поверхностной энергии при этом слиянии, если поверхностное натяжение воды σ = 73 мН/м. Решение: В результате объединения общий объём не изменился, но изменился радиус. Задача 4 (№2.102 // Трофимова 1999) Давление воздуха внутри мыльного пузыря на Δp = 200 Па больше атмосферного. Определить диаметр d пузыря. Поверхностное натяжение мыльного раствора σ = 40 мН/м. Решение: Поскольку у мыльного пузыря 2 поверхности (внутренняя и внешняя), а радиусы равны, то: Задача 5 (№2.103 // Трофимова 1999) Воздушный пузырек диаметром d = 0,02 мм находится на глубине h = 25 см под поверхностью воды. Определите давление воздуха в этом пузырьке. Атмосферное давление примите нормальным. Поверхностное натяжение воды σ = 73 мН/м, а ее плотность ρ = 1 г/см3. Решение: Давление в пузырьке сложится из 2 внешних (атмосферы и столба жидкости) и дополнительного, за счёт натяжения поверхности. Задача 6 (Ихсанов, КР 2021) Со дна пруда поднимается пузырек воздуха с начальным радиусом R. При подъеме этого пузырька к поверхности воды его радиус увеличился в n раз. Найти глубину пруда в данном месте. Атмосферное давление равно P0 . Процесс считать изотермическим. Ускорение свободного падения g, плотность жидкости r и поверхностное натяжение воды на границе с воздухом s известны. Решение: закон Бойля-Мариотта (константы сокращены): 2s ö 3 æ 2s ö 3 3 1 æ 2s 2 æ ö 3 h= n - 1 ÷ ç P0 + g r h + ÷ R = ç P0 + ÷n R ç P0 n - 1 + R ø nR ø gr è R è è ø. отсюда Ответ: h= 1 æ 2s 2 ö 3 n - 1 ÷ ç P0 n - 1 + gr è R ø. Задача 7 (Ихсанов, КР 2021) Вертикальный капилляр длины l с нижним открытым и верхним запаянным концом погружают в жидкость. После погружения жидкость в нем поднялась на высоту h. Найти коэффициент поверхностного натяжения жидкости, если ускорение свободного падения – g, плотность жидкости – r , внутренний диаметр капилляра – d , краевой угол – q , атмосферное давление – P0 . Процесс считать изотермическим. P0¢ - Решение: баланс давлений: изотермичность процесса: Ответ: s= 4s cos q + g r h = P0 d , P0¢ (l - h) = P0l , где s= P0 ö dh æ ç gr + ÷ 4 cos q è l -hø P0 ö dh æ ç gr + ÷ 4 cos q è l -hø. Задача 8 (№2.162 // Иродов 1979) В сосуде с воздухом при давлении р0 находится мыльный пузырь с диаметром d. Давление воздуха изотермически уменьшили в n раз, в результате чего диаметр пузырька увеличился в η раз. Найти поверхностное натяжение мыльной воды. Решение: Вследствие изотермичности процесса можно применить pV=Const. В давлении учитываем как внешнее, так и добавочное за счёт поверхностного натяжения. Задача 9 (№2.165 // Иродов 1979) Найти разность уровней ртути в двух вертикальных капиллярах, погруженных в ртуть, диаметры которых d1 и d2, если краевой угол составляет θ. Решение: Семинар 3.8. Фазовые переходы. Фаза – физически однородная часть вещества, отделённая от других частей системы границей раздела. Различают 2 типа фазовых переходов – с теплообменом и без. В данном курсе рассматривается только первый тип. Фазовый переход характеризуется теплотой перехода. Это количество теплоты, которое нужно сообщить веществу, чтобы изотермически-изобарически перевести его их одной фазы в другую. Этот процесс характеризуется удельной: 1. Теплотой испарения/конденсации q12 [Дж/кг] 2. Теплотой плавления/кристаллизации qпл [Дж/кг] Для твёрдого тела теплота испарения называется теплотой сублимации. Количество теплоты, необходимое для осуществления перехода, выражается как: Две любые фазы вещества могут находиться в равновесии только при определённом давлении, зависящем от температуры. Соответствующие кривые на диаграммах разграничивают фазы. Вид кривой описывается уравнением Клапейрона-Клаузиуса. Здесь в знаменателе стоят удельные фаз, т.е. объёмы единицы массы, производной, характеризующей кривой p(T), зависит от того, как изменяются удельные объёмы при поглощении тепла – растут или уменьшаются. объёмы м3/кг. Знак наклон На диаграмме состояний Тр – тройная точка, в которой в равновесии находятся все три фазы. К – критическая точка, которой оканчивается кривая испарения. Поэтому возможен переход от жидкой фазы в газообразную в обход точки К. В этом случае переход между фазами осуществляется непрерывно, через последовательность однофазных состояний. Общие задачи Задача 1 (№2.185 // Иродов 1979) Насыщенный водяной пар находится при температуре T в цилиндрическом сосуде под невесомым поршнем. При медленном вдвигании поршня небольшая часть пара массы Δm сконденсировалась. Какая работа была совершена над газом? Пар считать идеальным газом, объемом жидкости пренебречь. Решение: Поскольку пар принят за идеальный газ, можно применить к нему уравнение Клапейрона. Кроме того, совершённая над ним работа равна: По уравнению Клапейрона: Работа совершалась именно по отношению к сконденсировавшей массе (про другие процессы ничего не сказано), поэтому количество молей именно сконденсировавшего газа. Фазовый переход проходит при постоянном давлении. Задача 2 (№2.186 // Иродов 1979) Вода со своим насыщенным паром находится в сосуде объемом V при температуре Т и давлении р. Удельный объем пара при этих условиях дан: V'п (для воды Масса системы (воды с паром) m. Найти массу и объем пара. ). Решение: Составим систему уравнений, введя удельный объём воды: Задача 3 (№2.190 // Иродов 1979) Вода массы m находится при температуре 273 К в теплоизолированном цилиндре под невесомым поршнем, площадь которого S. Внешнее давление равно нормальному атмосферному. На какую высоту поднимется поршень, если воде сообщить количество тепла Q, превышающее тепло, необходимое для закипания воды? Для водяного пара считать известным , для воды – удельную теплоёмкость и удельную теплоту парообразования. Решение: Если сообщить больше тепла, чем необходимо для нагревания воды до температуры закипания, то избыток пойдёт на испарение и работу расширения получившегося пара. Здесь – удельная теплоёмкость воды, закипание воды. парообразования. , исходя из условия, что нужно – масса пара, полученного при испарении, q – удельная теплота . p – нормальное давление (дано по условию). Массу полученного пара можно выразить через его плотность, полученную из уравнения Клапейрона: Тогда теплота, необходимая на получение такого количества пара из воды: Итого: Задача 4 (№2.188 // Иродов 1979) Некоторую массу вещества, взятого в состоянии насыщенного пара, изотермически сжали в n раз по объему. Найти, какую часть � конечного объема занимает жидкая фаза, если удельные объемы насыщенного пара и жидкой фазы отличаются друг от друга в N раз (N > n). Какую часть � конечного объема занимает жидкая фаза, но при условии, что конечный объем вещества соответствует середине горизонтального участка изотермы на диаграмме (р, V)? Решение: Запишем начальные соотношения: Пусть m = m2ж + m2п – соотношение между начальной массой пара и массами пара и жидкости после сжатия. Тогда запишем через удельные объёмы отношение начального и конечного объёмов и учтём соотношение между массами. Найдём отношение массы воды после сжатия к общей массе: Подставим: Ответим на второй вопрос. Середина горизонтального участка соответствует состоянию, когда половина пара сконденсировалась. Значит: m2ж = m2п, m = 2m2ж Тогда: Объёмы выразим через удельные объёмы: Задача 5 (№2.209 // Иродов 1979) В закрытом сосуде находится небольшое количество воды и ее насыщенный пар при температуре T = 100 °С. На сколько процентов увеличится масса насыщенного пара при повышении температуры системы на dT? Пар считать идеальным газом и удельный объем воды пренебрежимо малым по сравнению с удельным объемом пара. Также пренебречь изменением объёма пара. Решение: По сути, нужно найти отношение dm/m, поэтому выразим массу через уравнение Клапейрона: Поскольку объём можно принять за постоянную, находим дифференциал массы как дифференциал частного: Тогда отношение dm/m: Используем уравнение Клапейрона-Клаузиуса (можем пренебречь удельным объёмом жидкости по сравнению с удельным объёмом пара), откуда: Тогда при подстановке: Задача 6 (№11.2 // Овчинкин т.1) Какую работу совершает за один цикл 1-2-3-4-5-6-1 машина Карно, рабочим телом которой является один моль воды, испытывающий во время работы машины фазовые превращения в пар и обратно. Изотермам 1-2-3-4 и 5-6 соответствуют температуры Т1 и Т2. Нижняя изотерма 5-6 целиком лежит в двухфазной области вещества, так что в 6 имеется жидкость, а в 5 – только пар. Кривые 1-6 и 4-5 – адиабаты. Удельная теплота парообразования воды q (при Т2). Решение: В задаче не хватает данных для решения её в тех координатах, которые даны по умолчанию. Поэтому нужно перейти в координаты энтропия-температура. Несложно понять, что в задаче присутствует цикл Карно, соответственно его график в указанных координатах будет выглядеть как прямоугольник. Соответственно, работа будет равна: Из графика, понятно, что . На этом участке происходит парообразование при постоянных давлении и температуре. Исходя из того, что это парообразование, получаем: Здесь m – масса моля воды, её можно считать известной. Далее, из определения энтропии получаем: Итого: Задачи на нахождение энтропии Задача 7 (№2.213 // Иродов 1979) Воду массы m нагрели от температуры T1 до T2, при которой (T2 – температура кипения) она вся превратилась в пар. Считая пар идеальным газом, найти приращение энтропии системы. Решение: Энтропия сложится из двух слагаемых: нагрева воды и испарения. Получается: Нагрев: Испарение: Итого: Задача 8 (№2.214, Иродов 1979) Лёд с начальной температурой Т1 = 273 К в результате нагревания превратили сначала в воду, а затем в пар при температуре Т2. Найти приращение удельной энтропии системы, считая пар идеальным газом. Решение: Энтропия складывается из энтропий при последовательном плавлении, нагревании, испарении (см. прошлую задачу): Задача 9 (Сивухин) Определить изменение энтропии системы, состоящей из воды и насыщенного пара, при переходе её в насыщенный пар. Начальная температура системы Т1, конечная Т2. Начальная масса пара m1, конечная m2. Зависимостью удельной теплоты парообразования воды q от температуры пренебречь. Пар рассматривать как идеальный газ. Решение: Энтропия будет изменяться в результате двух процессов: испарения и последующего подвода теплоты к пару (т.к. испарение происходит при постоянной температуре). Изменение энтропии при испарении: Теперь рассмотрим нагрев. Он производится таким образом, чтобы пар всё время оставался насыщенным, значит теплоёмкость (вывод этой формулы в п.115 второго тома Сивухина): Тогда тепло: По условию, зависимостью q от Т можно пренебречь, так что просто интегрируем: Для упрощения вычислений разбиваем интеграл на два и получаем: Итого: Задачи на уравнение Клапейрона-Клаузиуса Задача 10 (№2.206 // Иродов 1979) Найти приращение температуры плавления льда вблизи 0 °С при повышении давления на Δр, если удельный объём льда – Δv больше удельного объёма воды. Решение: Уравнение Клапейрона-Клаузиуса (где q – удельная теплота перехода между состояниями (плавление), – удельный объём воды, – удельный объём льда, что для воды и льда, у льда больше удельный объём, откуда получаем минус): Задача 11 (№2.207 // Иродов 1979) Найти удельный объем насыщенного водяного пара при нормальном давлении, если известно, что уменьшение давления на Δр приводит к уменьшению температуры кипения воды на ΔT. Решение: Уравнение Клапейрона-Клаузиуса (где q – удельная теплота перехода между состояниями (испарения), жидкости): – удельный объём пара, – удельный объём Можем пренебречь удельным объёмом жидкости по сравнению с удельным объёмом пара, откуда: Задача 12 (№2.210 // Иродов 1979) Найти давление насыщенного пара как функцию температуры p(Т), если при температуре T0 его давление p0. Считать, что: удельная теплота парообразования q не зависит от Т, удельный объем жидкости пренебрежимо мал по сравнению с удельным объемом пара, насыщенный пар подчиняется уравнению состояния идеального газа. Решение: Исходя из данных в условии упрощений, можно переписать закон КлапейронаКлаузиуса в виде: Воспользуемся уравнением Клайперона, записанным через удельный объём (индекс при удельном объёме дальше не пишется): И подставим: Разделяем переменные и интегрируем: Применяем начальное условие и определяем переменную: Исключаем константу: Задача 13 (№5.4 // Иродов пособие) Давление р насыщенного пара ртути зависит от температуры Т по закону: ln p = -a/T – b*ln T + Const где а и b – известные положительные постоянные. Найти молярную теплоту испарения ртути как функцию температуры, q(T). Считать, что молярный объём жидкости пренебрежительно мал по сравнению с молярным объёмом пара. Решение: Уравнение Клапейрона-Клаузиуса (молярный объём жидкости пренебрежительно мал по сравнению с молярным объёмом пара): Теперь найдём производную, воспользовавшись условием задачи (выражение с логарифмом): Поясним, как берётся эта производная в левой части равенства. Запишем производную по определению, через приращения: Здесь учтено, что , т.е. функция от температуры (с учётом уравнения Клапейрона), а значит тут производная сложной функции. Решаем два уравнения совместно (с учётом уравнения Клапейрона): Задача 14 (Ихсанов, КР 2021, аналог предыдущей задачи) Зависимость логарифма давления насыщенного пара некоторого вещества с молярной массой m от температуры имеет вид ln P(T ) = f (T ) , где f (T ) – известная df (T ) ò f (T )dT dT функция (т.е. функции вида или можно считать известными). Найти удельную (на единицу массы) теплоту парообразования этого вещества как функцию температуры. Насыщенный пар считать идеальным газом. Удельным объемом жидкой фазы по сравнению с удельным объемом газообразной фазы пренебречь. Решение: уравнение Клапейрона-Клаузиуса для вещества массы m имеет вид dP qm m = dT TVm (удельным объемом жидкой фазы пренебрегли), qm – удельная теплота парообразования, Vm – объем пара массы m. Уравнение состояния пара как PVm m m RT = R Þ Vm = m m P . Подставляем в уравнение Клапейронаидеального газа: T dP qm m P 1 dP RT 2 = Þ q = m 2 P dT m . Дифференцируем уравнение ln P (T ) = f (T ) : Клаузиуса: dT RT RT 2 df (T ) 1 dP df (T ) qm = = m dT . P dT dT . Итого: Ответ: qm = RT 2 df (T ) m dT . Задача 15 (Ихсанов, КР 2021) Некоторое вещество нагревают так, что точка, изображающая его состояние на фазовой диаграмме, все время находится на кривой равновесия жидкость-пар (кривая “б” на рисунке), а само вещество все время находится в газовой фазе. Найти dVm / dT – производную объема одного моля вещества по температуре в таком процессе – как функцию температуры и давления. Молярная теплота парообразования равна qm и не зависит от температуры. Насыщенный пар считать идеальным газом. Молярным объемом жидкой фазы по сравнению с молярным объемом газообразной фазы пренебречь. Решение: Уравнение состояния одного моля пара как идеального газа: dP P -T dVm RT dT = R æ1 - T dP ö = R Þ Vm = Þ =R ç ÷ 2 T P dT P P è P dT ø . Уравнение Клапейрона-Клаузиуса PVm для одного моля пара имеет вид q dP = m dT TVm (удельным объемом жидкой фазы пренебрегли), qm – молярная теплота парообразования, Vm – объем 1-го моля пара. dVm dT = qm ö 1 æ qm ö R æ T qm ö R æ çç1 ÷÷ = çç1 ÷÷ = ç R - ÷ P è P TVm ø P è PVm ø P è T ø dVm Ответ: dT = qm ö 1æ çR- ÷ Pè T ø . Семинар 3.7. Теплопроводность, диффузия. Теория: Теплопроводность – способность тел проводить энергию (теплоту) от более нагретых частей тела к менее нагретым, осуществляемому хаотически движущимися частицами. В математической теории теплопроводности распространение теплоты рассматривается подобно течению жидкости. Плотностью потока теплоты называется вектор j [Вт/м2], совпадающий по направлению с направлением распространения теплоты и численно равный количеству теплоты, проходящему за одну секунду перпендикулярно через площадку в 1 см2. Рассмотрим одномерный случай и найдём связь между потоком теплоты и температурой среды Т. Пусть бесконечная пластинка имеет толщину l. С одной её стороны температура Т1, с другой – Т2. Тогда закон теплопроводности Фурье (в не одномерном случае будет градиент): Напомним, это плотность потока теплоты. Сам же поток теплоты – это количество теплоты, переносимое за единицу времени. Постоянная [Вт/(м*К)]– коэффициент теплопроводности материала, зависящий от самого материала. Здесь: – удельная теплоёмкость при постоянном объёме. средняя скорость молекул материала. – – средний свободный пробег молекул. Здесь n – концентрация молекул, d – их диаметр. Среднее число соударений ежесекундно: Здесь – плотность. – эффективный диаметр молекулы. Диффузия – процесс взаимного проникновения частиц одного вещества между частицами другого, приводящий к выравниванию их концентрации по всему объёму. Это медленный процесс, обусловленный столкновением молекул между собой. Свободно молекула пролетает лишь небольшое расстояние между ударами. Здесь – коэффициент самодиффузии Диффузионным потоком Г называют количество молекул рассматриваемого типа, проходящих при диффузии через единичную площадку, перпендикулярную к градиенту концентрации, за единицу времени. Коэффициент динамической вязкости: . Задача 1 (№2.30, Трофимова 1999) Определить среднюю длину свободного пробега < > молекул кислорода, находящегося при температуре 0 °С, если среднее число <z> столкновений, испытываемых молекулой за 1 с, равно 3,7·109. [115 нм] Решение: Рассмотрим число столкновений: Длина свободного пробега: Рассматривая эти выражения совместно и считая t = 1, получаем: Задача 2 (№2.31 // Трофимова 1999) При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода равна 2,5 см, если температура газа равна 67 °С? Диаметр молекулы водорода считать равным 0,28 нм. [0.539 Па] Решение: Задача 3 (№2.32 // Трофимова 1999) Определите среднюю продолжительность <τ> свободного пробега молекул водорода при температуре 27 °С и давлении 0,5 кПа, принимая диаметр молекулы водорода равным 0,28 нм. [13.3 нс] Решение: Рассмотрим число столкновений: Длина свободного пробега: Тогда время свободного пробега: Задача 4 (№2.33 // Трофимова 1999) Средняя длина свободного пробега <l> молекул водорода при нормальных условиях составляет 0,1 мкм. Определите среднюю длину их свободного пробега при давлении 0,1 мПа, если температура газа остается постоянной. [101 м] Решение: Таким образом: Задача 5 (№2.34 // Трофимова 1999) При температуре 300 К и некотором давлении средняя длина свободного пробега < > молекул кислорода равна 0,1 мкм. Чему равно среднее число <z> столкновений, испытываемых молекулами за 1 с, если сосуд откачать до 0,1 первоначального давления? Температуру газа считать постоянной. [4.45*10-8 с-1] Решение: Пользуясь задачей 2.33, пишем: . Затем: Задача 6 (№10.9 // Овчинкин) Во сколько раз изменится длина свободного пробега некоторой частицы в смеси аргона и неона, если концентрацию аргона увеличить вдвое, а концентрацию неона уменьшить в два раза? Исходная концентрация обоих газов одинакова. Отношение радиусов аргона и неона равно 6/5. Рассматриваемая частица значительно легче атомов смеси, а её размеры существенно меньше размеров атомов смеси. Решение: Рассмотрим одно столкновение: Пренебрегаем радиусом частицы (по условию): Эта запись эквивалентна: Далее, изначально концентрации совпадают, затем их меняют. Тогда, сравнивая два случая: Задача 6 (№2.36 // Трофимова 1999) Определите коэффициент теплопроводности азота, находящегося в некотором объеме при температуре 280 К. Эффективный диаметр молекул азота равен 0,38 нм. [8.25 мВт/(м*К)] Решение: Коэффициент теплопроводности: ; Найдём удельную теплоёмкость: ; (выводится из определений теплоёмкостей и выражения для Cv=i/2*R) Плотность: . Применим уравнение Клапейрона: ; Средняя скорость (из МКТ): Средняя длина пробега: ; ; Итого, получаем: Задача 7 (№2.37, Трофимова 1999) Кислород находится при нормальных условиях. Определите коэффициент теплопроводности кислорода, если эффективный диаметр его молекул равен 0,36 нм. [8.49 мВт/(м*К)] Решение: Из прошлых задач знаем: Также: . Итого: Задача 8 (№2.39 // Трофимова 1999) Определите коэффициент диффузии D кислорода при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода примите равным 0,36 нм. [9.18*10-5 м2/с] Решение: Задача 9 (№2.40 // Трофимова 1999) Определите массу азота, прошедшего в следствии диффузии через площадку 50 см2 за 20 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен 1 кг/м4. Температура равна 290 К, а средняя длина свободного пробега молекул равна 1 мкм. [15.6 г] Решение: Задача 10 (№2.41 // Трофимова 1999) Определите, во сколько раз отличаются коэффициенты динамической вязкости η углекислого газа и азота, если оба газа находятся при одинаковых температуре и давлении. Эффективные диаметры молекул этих газов равны. [1.25] Решение: Коэффициент динамической вязкости: Из предыдущих задач: . . Для двух газов отличаются только молярные массы, значит: Задача 11 (№2.42 // Трофимова 1999) Определите коэффициент теплопроводности азота, если коэффициент динамической вязкости для него при тех же условиях равен 10 мкПа*c. [7.42 мВТ/(м*К)] Решение: Коэффициент динамической вязкости: . Коэффициент теплопроводности: Тогда: Задача 12 (Семинары Бограчёва) Пусть стеклопакет заполнен аргоном при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекулы аргона d = 0.36 нм, теплопроводность аргона Вт/(м*К), теплопроводность стекла Вт/(м*К), толщина стёкол ds = 1 мм, толщина пространства с аргоном da = 2 мм. Оценить теплопотери (поток тепла) через окно площадью 1 м2, если разница между температурой в доме и температурой на улице 20 °С. Задачу считать стационарной (плотность потока от координаты не зависит, соответственно, на всех трёх участках она одинакова). Решение: Закон теплопроводности Фурье: Систему в данной задаче можно разделить на три слоя: стекло-аргон-стекло (задача условно одномерная). Закон Фурье применяется последовательно к каждому слою. Вводятся температуры на границе раздела стекло-аргон Т1 и Т2. Задача стационарная, поэтому плотность потока от координаты не зависит. Соответственно, на всех трёх участках она одинакова. Полный поток тепла: Поток тепла – величина алгебраическая, так что он может принимать и отрицательные значения (как в данном случае). Задача 13 (№2.250 // Иродов 1979 / №6.5 // Иродов пособие) Два куска металла, теплоёмкости которых C1 и C2, соединены между собой стержнем длины l с площадью поперечного сечения S и достаточно малой теплопроводностью . Вся система теплоизолирована от окружающего пространства. В момент t = 0 разность температур составляет (ΔT)0. Пренебрегая теплоёмкостью стержня, найти разность температур между металлами как функцию времени. Решение: Исходим из того, что количество тепла, переданное от одного тела к другому за время dt определяется как поток тепла умноженный на это время (из размерности). Переданное тепло определяется разностью температур. Тогда пусть в нулевой момент t они имеют температуры Т1 и Т2, а в момент t+dt: Т1 + dТ1 и Т2 + dТ2, соответственно можно записать для двух металлов (знаком учтём, что одно тело теряет тепло, а другое приобретает): Получаем (заменим ): Тогда, с учётом начального условия t = 0 получаем: . Итого: Задача 14 (№2.247 // Иродов 1979) Один конец стержня, заключенного в теплоизолирующую оболочку, поддерживается при температуре T1, а другой конец — при температуре T2. Сам стержень состоит из двух частей, длины которых l1, и l2, и коэффициенты теплопроводности χ1 и χ2. Найти температуру поверхности соприкосновения этих частей стержня. Решение: Обозначим искомую температуру как Т0. Ситуацию считаем стационарной, так что плотность потоков одинакова для обеих частей стержня. Тогда: Задача 15 (№2.249 // Иродов 1979 / №6.4 // Иродов пособие) Стержень длины l с термоизолирующей боковой поверхностью состоит из материала, теплопроводность которого изменяется с температурой как , где α неизвестная. Торцы стержня поддерживаются при температурах Т1 и Т2. Найти зависимость Т(х), где х – расстояние от торца с температурой Т1. Решение: Поток тепла в стационарных условиях не зависит от координаты, поэтому: Отсюда получаем (решаем диф. уравнение методом разделения переменных): Для уточнения константы применим граничное условие: при x = l температура Т = Т2. Тогда: Откуда: Можно применить основное логарифмическое тождество и упросить ( ): Задача 16 (№2.255 // Иродов 1979 / №6.6 // Иродов пособие) Найти распределение температуры в пространстве между двумя концентрическими сферами с радиусами R1 и R2, заполненными однородным теплопроводящим веществом, если температуры сфер Т1 и Т2, а R2 > R1. Решение: Поток тепла имеет вид (для концентрических сферических слоёв): В стационарном случае он не зависит от координаты, значит: Отсюда получаем (решаем диф. уравнение методом разделения переменных): Для уточнения константы применим граничное условие: при r = R2 температура Т = Т2. Тогда: Итого: Задача 17 (№2.251 // Иродов 1979) Найти распределение температур в веществе, находящемся между двумя параллельными пластинами, если последние поддерживаются при температурах Т1 и Т2, расстояние между ними l и коэффициент теплопроводности вещества . Решение: Плотность потока тепла: В стационарном случае он не зависит от координаты, значит: Отсюда получаем (решаем диф. уравнение методом разделения переменных): Для уточнения константы применим граничное условие: при x = l температура Т = Т2. Тогда: Подставляем: Тогда: Задача 18 (№2.254 // Иродов 1979) Найти распределение температуры между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами R1 и R2, заполненными однородным теплопроводящим веществом, если температуры сфер Т1 и Т2, а R2 > R1. Решение: Поток тепла имеет вид (для коаксиальных цилиндрических слоёв): В стационарном случае он не зависит от координаты, значит: Отсюда получаем (решаем диф. уравнение методом разделения переменных): Задача 19 (№6.10 // Иродов пособие) Пространство между двумя большими горизонтальными пластинами заполнено гелием, диаметр атомов которого равен d. Расстояние между пластинами h. Нижняя пластина поддерживается при температуре T1, верхняя – при Т2, причём Т2 > Т1. Давление газа нормальное. Найти плотность потока тепла. Решение: Поток направлен от более тёплой пластины к более холодной. где где , причём , для краткости можно переписать в виде: . По итогу получаем: , Решим это уравнение, проинтегрировав обе части и применив любое из ГУ. Получим:
