Первый урок алгебры 11 класс Смысл жизни не в том, чтобы делать то, что нравится, а в том, чтобы с любовью делать то, что должен. Карасей Костя поймал вдвое больше и ещё на три штуки больше, чем щук. Всего же он поймал тридцать рыб. Сколько Костя поймал щук и сколько карасей? Ответ: 9 щук, 21 карась Сестрам Свете и Кате купили пор три пирожных. Света съела свои за 6 минут и стала с завистью смотреть, как Катя ест каждое пирожное по 4 минуты. Долго ли Света будет смотреть на Катю с завистью? Ответ: 6 минут На даче у хозяев 14 чашек и 10 блюдечек. Дети разбили половину чашек и 7 блюдечек. Сколько чашек осталось без блюдечек? Ответ: 4 У Мити 12 конфет, а у Кости 2 конфеты. Сколько конфет должен отдать Митя Косте, чтобы справедливость восторжествовала? Ответ: 5 • Тригонометрия • Тригонометрические уравнения • Производная • Геометрия • Шевели извилиной (логические задачи) • Жизненные задачи 1 7 13 19 25 31 2 8 14 20 26 32 3 9 15 21 27 33 4 10 16 22 28 34 5 11 17 23 29 35 6 12 18 24 30 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Домашнее задание Тригонометрические уравнения • Решите уравнение 3tgx = 3 Тригонометрические уравнения Решите уравнение 1 + sin(π-x) = 0 Тригонометрические уравнения Решите уравнение 4 cos sin x 3 3 2 Тригонометрические уравнения • Найдите решения уравнения (sinx – cosx)2 – 1 = 0, принадлежащие отрезку [0; 2π]. Тригонометрические уравнения Решите уравнение cosx + cos2x = 0,5 – sin2x Тригонометрические уравнения Решите уравнение 3cos2x = 4 – 11cosx Производная Для того, чтобы добраться от деревни до города, нужно проехать путь s(t) = t3 + 0,5t2 + 6t. Мгновенная скорость мотоциклиста в какой-то момент времени была равна 8 км/ч. В какой момент времени скорость была 8 км/ч? Ответ: 2/3 ч = 40 мин Производная Дана функция f(x) = x2 – 4x + 1. Найдите координаты точки, в которой угловой коэффициент касательной к графику функции равен 2. Ответ: (3; -2) Производная Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции у = х(х – 2) в точке с абсциссой х0 = 4. Ответ: tg = 6 Производная у Укажите количество промежутков возрастания функции y=f `(x) 2 -9 -6 -3 2 -1 1 0 3 2 4 6 7 8 х Производная Найдите точки экстремума функции f(x) = 3x2 – 2x3 + 6 Ответ: xmax = 1, xmin = 0 Тригонометрия Найдите значение выражения 2ctg cos(3 ) 4 sin( 2 ), åñëè sin 0,75 2 Ответ: 1,5 Тригонометрия Вычислите Ответ: -√3 sin 75 0 sin 45 0 sin 285 0 Тригонометрия cos105 0 cos 50 sin 105 0 sin 50 Упростите выражение sin 95 0 cos 50 cos 95 0 sin 50 Ответ: - tg100 Тригонометрия Укажите отрезок, соответствующий множеству значений функции y = 2cosx/2 – 3 1) [1; 4] 2) [-4; -2] 3) [-5; -1] 4) (-7; -6) Ответ: 3) Тригонометрия Укажите наибольшее число из области значений функции y = -3ctg2x + 7 1) 10 2) 4 3) 7 4) -3 Ответ: 3) Тригонометрия Упростите выражение sin4 - cos4 + 2 cos2 cos2 D S1 = ½(6∙6) = 18 8 S2 = S3 = ½(6∙8) = 24 B 6 6 Из ΔABD = ΔDBC A C AD2 = AB2 + BD2 = 100 AD = DC = 10 Из ΔАВС АС2 = АВ2 + ВС2 АС= 6√2 D Из ΔADH DH2 = DC2 – HC2 DH2 = 100 – 18 = 82 DH = √82 10 S4 = ½(6√2∙√82) = 6√41 А H 6√2 С S = 18 + 2∙24 + 6√41 = 66 + 6√41 Знатокам геометрии • Три смежных ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны 6 см, 6 см и 8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Производная у При каких значениях х f ’(x) = 0 y=f `(x) 2 -9 -6 -3 2 -1 1 0 x = -6, x = -3, x= -1, x = 6, x = 7 2 4 6 7 8 х Знатокам геометрии Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна Sпов = 2Sосн + S бок 136 см2, стороны основания 4 см и 6 см. 2) Sосн = 4∙6 = 24(см Вычислите диагональ прямоугольного параллелепипеда.Sбок = Sпов – 2Sосн = 136 – 48 = 88 (см2) Sбок = Росн ∙ Н = 2∙(4 + 6) ∙ Н= = 20∙Н Н = 88 : 20 = 4,4 d2 = a2 + b2 + c2 d = √71,36 = 4√4,46 Знатокам геометрии Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата ABCD, АВМ = 30. Найдите М тангенс угла АСМ. Из ΔМАВ, В = 300, МА = ½ МВ Пусть АВ = х, тогда АС = х√2, т.к. ABCD – квадрат МА = АВ∙tgABM = =(x√3)/3 tgACM = AM/AC = √6/6 D С А В Знатокам геометрии Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, находится на расстоянии 6 см от точки пересечения его диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до вершин М квадрата. Если сторона квадрата равна 4, то диагональ 2 его равна 4 Искомое расстояние найдем по теореме Пифагора из ΔМОА О А АМ = 44= 2 11 Знатокам геометрии В параллелограмме ABCD с углом А, равным 135, проведена высота СН к стороне AD. Площадь параллелограмма равна 12, а сторона ВС равна 4. Прямые BН и АС пересекаются в точке К. Найдите длину отрезка ВК. СН AD, S = AD∙CH CH = S : AD = 3 A 2 4 K H 3 45 D C B ΔCDH –равнобедренный, 1 прямоугольный, значит DH = CH = 3, DC = 3√2 в ΔBCH C = 90, тогда ВН = =5 (египетский треугольник) 1 x ΔАНКΔСВК AH HK BC BK 4 5 x х = 1, ВК = 4 Ответ: ВК = 4 Музыкальная пауза Шевели извилиной Отцу 41 год, старшему сыну 13 лет, дочери 10 лет и младшему сыну 6 лет. Через сколько лет возраст отца будет равен сумме лет его детей? 6 лет Шевели извилиной В очереди за билетами стояли Володя, Иван, Миша, Кеша и Саша. Иван купил билет раньше Миши, но после Кеши. Володя и Кеша не стояли рядом. Саша не стоял рядом ни до Кеши, ни до Ивана, ни до Володи. В каком порядке они стояли в очереди? Ответ: Кеша, Иван, Володя, Миша, Саша Шевели извилиной 16 7 12 10 4 9 9 3 18 11 4 5 8 5 8 5 6 9 17 21 6 20 2 15 7 3 12 3 19 19 8 1 60 Ответ: 4+10+5+9+8+6+7+2+1 = 60 13 Найдите дорогу от дома в правый нижний угол за 10 шагов, набрав 60 очков (суммируются очки, поставленные на тех полях, по которым проходит маршрут) Шевели извилиной Разделите 25 рублей на две части так, чтобы одна часть была в 49 раз больше другой Ответ: 24 р 50 коп и 50 коп Шевели извилиной Некая вдова должна разделить наследство, оставшееся после смерти мужа в размере 3500 динариев, с еще неродившимся ребенком. По римским законам, если родится сын, то мать получает половину причитающейся ей доли, в случае рождения дочери мать получает вдвое больше нее. У вдовы родились близнецы – сын и дочь. Как разделить наследство, чтобы все требования закона были соблюдены? Ответ: Мать – 1400 дн, сын – 1400 дн, дочь – 700 дн. Шевели извилиной Собака и поросенок имеют такую же массу, что и пять ящиков. Масса поросенка равна массе четырех кошек. Две кошки и поросенок имеют такую же массу, что и три ящика. Масса скольких кошек равна массе одной собаки? Ответ: шесть кошек Жизненные задачи Купец покупал масло. Когда он стал платить за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же он стал платить за 9 бочек, то не хватило полторы рубля с гривною. Сколько денег было у купца? (Алтын – 3 коп., гривна – 10 коп.) Ответ: 18 руб 40 коп Жизненные задачи Шины на задних колёсах грузовика изнашиваются после 25 000 км пробега, а на передних – после 15 000 км. Сколько километров может пройти грузовик без замены шин, если в нужный момент поменять местами передние и задние шины? Когда нужно сделать смену шин? Ответ: 18750 км; замена после 9375 км Жизненные задачи 1,7 м 2м 1,2 м Для наружной окраски стен и двери газетного киоска с окнами только спереди (см.рисунки) необходимо приобрести краску, которая продается в банках по 1,2 кг. Сколько банок потребуется купить для выполнения этой работы, если средний расход краски равен 150 г на 1 м2? 2,5 м Ответ: 2 банки Жизненные задачи Хозяйка установила на утюге режим «хлопок». В этом режиме спираль утюга нагревается до 800С, и терморегулятор размыкает цепь. Когда утюг остывает до 700С, цепь снова замыкается, и утюг нагревается опять до 800С, и т.д. На рисунке представлен график зависимости Т утюга в промежутке времени t между двумя последовательными размыканиями цепи. Через сколько секунд после размыкания цепи температура утюга достигнет заданной максимальной величины? Т, 0С 80 70 60 10 30 50 Ответ: 80 с 70 90 t, с Жизненные задачи Родители сделали в банке вклад в размере 15 000 рублей. Сколько денег будет на вкладе через 2 года, если процентная ставка банка 16 % годовых? Ответ: 20 184 рубля Жизненные задачи Как разрезать треугольную плитку для садовой дорожки на три части так, чтобы из нее можно было сложить прямоугольник? Из тестов по подготовке к ЕГЭ выбрать задания по темам сегодняшнего урока и решить их. (по одному заданию) Литература 1. Мордкович А.Г., Алгебра и начала анализа 10- 11, Часть 2, задачник, Мнемозина, М., 2006 2. Материалы ЕГЭ прошлых лет 3. Демоверсия ЕГЭ по математике 2010 4. Газета «Математика. Первое сентября, № 45, 2004 г 5. Коллекция картинок для уроков математики, методическая разработка Савченко Е.М., МОУ гимназии №1 г.Полярные Зори, Мурманской области 6. Картинки http://im5-tub.mail.ru/i?id=146230421&tov=5 http://im0-tub.mail.ru/i?id=102759067&tov=0 http://im6-tub.mail.ru/i?id=37759329&tov=6 http://im2-tub.mail.ru/i?id=3309758&tov=2 http://im6-tub.mail.ru/i?id=1514480&tov=6 http://im5-tub.mail.ru/i?id=9019383&tov=5 http://im5-tub.mail.ru/i?id=96072001&tov=5 http://im2-tub.mail.ru/i?id=146993593&tov=2 http://im3-tub.mail.ru/i?id=11244778&tov=3 http://im4-tub.mail.ru/i?id=17688215&tov=4 http://im4-tub.mail.ru/i?id=52464041&tov=4 http://im5-tub.mail.ru/i?id=115166918&tov=5 http://im6-tub.mail.ru/i?id=14591255&tov=6 http://im2-tub.mail.ru/i?id=17685657&tov=2
