ВАРИАНТ № 13 ЗАДАНИЕ № 10.3. Электрическое поле в вакууме создается системой одинаковых по модулю точечных электрических зарядов (см. рисунок). а) Найдите напряженность 𝐸𝐴 и потенциал 𝜑𝐴 электростатического поля, которое создает в точке А система точечных электрических зарядов, если модули всех зарядов одинаковы и равны |𝒒| = 𝟏𝟎 нКл. б) Определите энергию 𝑾 системы электрических зарядов. Как изменится энергия, если в точку А поместить заряд 𝒒𝟎 = 𝟐 нКл? в) Найдите потоки векторов напряженности 𝛷𝐸 и электрического смещения 𝛷𝐷 через окружающую эти заряды произвольную замкнутую поверхность. Как изменятся эти потоки, если систему зарядов поместить в среду с относительной диэлектрической проницаемостью 𝜺 = 2? ДАНО: а=5 см b=3 см Q=10нКл 𝑞0 = 2нКЛ 𝜺=2 а) 𝐸𝐴 −? ; 𝜑𝐴 -? СИ 0,05м 0,03м 10∙ 10−9 Кл 2∙ 10−9 Кл РЕШЕНИЕ: Для решения задачи воспользуемся принципом суперпозиции, согласно которому напряжённость поля в искомой точке Е может быть найдена как векторная ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑞𝑟 сумма напряжённостей 𝐸⃗ = 3 4𝜋𝜀0 𝑟 𝑞𝑟⃗⃗⃗1 𝑞𝑟⃗⃗⃗2 𝑞𝑟⃗⃗⃗3 𝐸⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝐸1 + ⃗⃗⃗⃗ 𝐸2 + 𝐸⃗3 = + + 4𝜋𝜀0 𝑟 3 4𝜋𝜀0 𝑟 3 4𝜋𝜀0 𝑟 3 𝑟1 = 𝑎 = 5 ; 𝑟3 = 𝑏 = 3; 𝑟2 = √а2 + 𝑏 2 Выбираем координатные оси вдоль сторон прямоугольника, Точка пересечения осей совпадает с четвертой вершиной прямоугольника б) 𝑾-? 𝐸𝑥 = 𝑞𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑞𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑞𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ 1𝑥 2𝑥 3𝑥 + + = 3 3 4𝜋𝜀0 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟 3 3 𝑞 𝑎 𝑎 𝑞(𝑎3 + √а2 + 𝑏 2 ( 3+ ) = 3 3 4𝜋𝜀0 𝑎 4𝜋𝜀 𝑎2 √а2 + 𝑏 2 √а2 + 𝑏 2 0 в) 𝛷𝐸 −? ; 𝑞𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑞𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑞𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ 1𝑦 2𝑦 3𝑦 𝐸𝑦 = + + = 3 3 4𝜋𝜀0 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟 3 3 𝑞 𝑏 𝑏 𝑞(𝑏 3 + √а2 + 𝑏 2 ( + )= 3 4𝜋𝜀0 𝑏 3 √а2 + 𝑏 2 3 4𝜋𝜀 𝑏 2 √а2 + 𝑏 2 0 Подстановка численных значений : 𝐸𝑥 = 58,6кВ/м ; 𝐸𝑦 = 113,5кВ/м ЗАДАНИЕ № 10.8. В электростатическом поле, образованном системой распределенных зарядов, потенциал электростатического поля 𝝋 меняется по известному закону 𝝋 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛). Найти напряженность поля в точке (𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏). Охарактеризовать картину эквипотенциальных поверхностей. ДАНО: 𝜑 = 𝑎 − 𝑏𝑧 а =1 В b =5 В/м 𝑥1 = 4 м СИ РЕШЕНИЕ: 𝜑 = 𝑎 − 𝑏𝑧 𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 = −( 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 ⃗ ) => 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ⃗) 𝐸⃗ = −(𝑎𝑖 − 𝑏𝑘 |𝐸⃗ | = √𝐸𝑥2 + 𝐸𝑦2 + 𝐸𝑧2 = √𝑎2 + 𝑏 2 𝑦1 = 2м 𝑧1 = 0 м Е-? ЗАДАНИЕ № 10.9 Найти поток вектора напряженности электростатического поля, создаваемого двумя равномерно заряженными телами, через площадку S = ab, расположенную на расстоянии 𝒓𝟏 от центра первого тела и 𝒓𝟐 от второго тела таким образом, что нормаль к площадке составляет угол α с перпендикуляром, проведенным ко второму телу из центра первого. Считать, что а и b во много раз меньше 𝒓𝟏 и 𝒓𝟐, т.е. в пределах площадки S поле постоянно. ДАНО: Первое телоповерхностно заряженная сфера : R=3см 𝜎 = −1000нКл/м2 Бесконечно длинная нить: 𝜏 = +0.9 нКл/м S=2см2 𝛼 = 30 СИ РЕШЕНИЕ: 0,03м 9∙ 10−10 Кл/м 0,0002 м2 𝑟1 = 3 м Ф−? Поток вектора напряженности электростатического поля : Ф = Ф1 + Ф2 𝜎𝑆 𝜎𝜋𝑟 2 Ф1 = ∫ 𝐸𝑑𝑠 = cos 𝛼 = cos 𝛼 2𝜀0 2𝜀0 𝑆 2𝑘𝜏 Ф2 = ∫ 𝐸𝑑𝑠 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑟 𝑆 − 𝜎𝜋𝑟 2 Ф = Ф1 + Ф2 = 2𝜀 cos 𝛼+2𝜋𝑟ℎ𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ( 0 1000нКл ×𝜋×0,03м2 м2 2×8.85×10−12 + 2×9∙ 10−10 Кл м 3м ) × cos 30 = 5.15 × 10−10 В ∙ м2 ЗАДАНИЕ № 10.17. Между обкладками плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием между ними d1 находится пластинка диэлектрика, относительная диэлектрическая проницаемость которой , целиком заполняющая пространство между пластинами. Конденсатор зарядили до разности потенциалов U и отключили от источника напряжения. Затем, для того чтобы раздвинуть пластины конденсатора до расстояния d2, требуется совершить работу, равную А. Найти неизвестную величину согласно номеру задания в таблице. ДАНО: 𝑆 = 20 см2 СИ 0,0020 м2 𝑑1 = 0.5см 0,005 м 𝜀 = 3,5 Место для формулы. 𝑑2 = 1см А = 0,14мкДж 0.01 м 0,14 ∙ 10−6 Дж РЕШЕНИЕ: 𝜀𝜀0 𝑆 Емкость плоского конденсатора 𝐶 = 𝑑 𝜀𝜀0 𝑆 Тогда 𝐶1 = 𝑑1 𝜀𝜀0 𝑆𝑈 𝑞 = 𝐶1 𝑈 = = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑑1 𝑞2 𝑞2 𝐴 = 𝑊2 − 𝑊1 = − = 2𝐶2 2𝐶1 𝜀𝜀0 𝑆𝑈 2 𝜀𝜀0 𝑆𝑈 2 ( ) ( ) 2 2 (𝐶1 𝑈) (𝐶1 𝑈) 𝑑1 𝑑1 = − = − 𝜀𝜀 𝑆 𝜀𝜀 𝑆 2𝐶2 2𝐶1 2 0 2 0 𝑑2 𝑑1 𝜀𝜀0 𝑆𝑈 2 𝑑2 𝜀𝜀0 𝑆𝑈 2 𝜀𝜀0 𝑆𝑈 2 (𝑑2 − 𝑑1 ) = − = 2𝑑1 2𝑑1 2𝑑1 2 𝑈−? 𝑈2 = 𝐴2𝑑1 2 𝜀𝜀0 𝑆(𝑑2 − 𝑑1 ) = 0,14 ∙ 10−6 Дж × 2 × (0,005 м)2 3.5 × 8.85 × 10−12 (0.01 м − 0,005 м) × 0,0020 м2 0,14 ∙ 10−6 Дж × 2 × (0,005 м)2 = 6.7В 3.5 × 8.85 × 10−12 (0.01 м − 0,005 м) × 0,0020 м2 𝑈=√ ОТВЕТ: 6.7В ЗАДАНИЕ № 10.18. Найти общую емкость соединенных конденсаторов согласно номеру задания. ДАНО: С1 = 10пФ С2 = 20пФ СИ 10 ∙ 10−12 Ф 20 ∙ 10−12 Ф С3 = 20пФ 20 ∙ 10−12 Ф С4 = 40пФ С−? 40 ∙ 10−12 Ф РЕШЕНИЕ: При параллельном соединении: С2−3 = С2 + С3 При последовательном соединении: 1 1 1 1 = + + С С1 С2−3 С4 1 1 1 1 = + + С С1 С2 + С3 С4 Место для формулы. 1 1 1 = + −12 −12 С 10 ∙ 10 Ф 20 ∙ 10 Ф + 20 ∙ 10−12 Ф 1 + 40 ∙ 10−12 Ф С= 6,67 пФ ОТВЕТ : С= 6,67 пФ ЗАДАНИЕ № 12.1. Замкнутый круговой контур радиусом R, по которому проходит постоянный ток I, помещен в магнитное поле с индукцией В так, что нормаль к контуру образует с направлением поля угол α. При этом на контур действует момент сил М. Найти неизвестную величину согласно номеру задания в таблице. ДАНО: 𝑅 = 3.2 см 𝐼 = 5,18𝐴 𝑀 = 4.33 × 10−3 Н ∙ м 𝛼 = 60 СИ 3,2 × 10−2 м РЕШЕНИЕ: Для начала давайте определим, какой момент силы действует на контур. Момент силы, действующей на замкнутый контур в магнитном поле, определяется по формуле: М = B * I * R * sin(α), В−? где: М - момент силы, R - радиус контура, B - индукция магнитного поля, I - сила тока, Подставим известные значения: =0.03 Тл α - угол между нормалью к контуру и направлением магнитного поля. 𝑀 4.33 × 10−3 Н ∙ м В= = = I ∗ R ∗ sin(α), 5,18𝐴 × 3,2 × 10−2 м × sin 60 ОТВЕТ: 0.03 Тл ЗАДАНИЕ № 12.6. Два круговых витка радиусами R1 и R2 расположены в параллельных плоскостях на расстоянии l друг от друга. По виткам проходят токи I1 и I2. Найти индукцию магнитного поля в точках на оси, проходящей через центры витков от первого ко второму, отстоящих на расстоянии r от первого витка. Построить график зависимости В = f(r). ДАНО: СИ противоположные токи 𝑅1 = 0.1м 𝑅2 = 0.1м 𝐼1 = 4𝐴 𝐼2 = 2𝐴 l=0.06 R=0 м В-? где 𝐵1 - магнитное поле на оси первого витка, μ0 - магнитная постоянная (μ0 = 4π * 10^-7 Тл/А·м), I1 - ток, протекающий через первый виток, R1 - радиус первого витка, d - расстояние между витками. РЕШЕНИЕ: Расчет магнитного поля на оси системы из двух витков: Сначала необходимо найти магнитное поле B1, создаваемое одним витком на его оси. Используем формулу для магнитного поля на оси кругового витка: 𝐵1 = (𝜇0 * 𝐼1 * 𝑅12 ) / (2 * (𝑅12 + 𝑑 2 )^(3/2)) Теперь найдем магнитное поле B2, создаваемое вторым витком на его оси, с использованием той же формулы: B2 = (μ0 * I2 * R2^2) / (2 * (R2^2 + d^2)^(3/2)) где B2 - магнитное поле на оси второго витка, I2 ток, протекающий через второй виток, R2 - радиус второго витка, d - расстояние между витками. 2. Определение вектора индукции в центре одного из витков: Поскольку вектор индукции в центре витка равен сумме векторов индукции, создаваемых каждым из витков, нам нужно сложить векторы B1 и B2. Однако, поскольку токи протекают в витках в противоположном направлении, второй виток создает поле с противоположным направлением. Таким образом, вектор B2 получается отрицательным: B2 = -B2 Теперь мы можем сложить векторы, чтобы найти итоговый вектор индукции B в центре одного из витков: B = B1 + B2 3. Подставим значения в формулу и рассчитаем ответ: R = 10 см = 0.10 м I1 = -4 А (в отрицательном направлении, так как ток протекает по часовой стрелке) I2 = 2 А (в положительном направлении, так как ток протекает против часовой стрелки) d = 6 см = 0.06 м B = B1 + B2 ЗАДАНИЕ № 12.8. Линейный проводник, по которому проходит ток I, образует круговой контур радиусом R или жесткий контур в форме правильного многоугольника со стороной l. Найти индукцию магнитного поля B в центре контура согласно номеру задания в таблице. ДАНО: 𝑙 = 8.6 см СИ 0,086 м РЕШЕНИЕ: Периметр правильного 𝑛 − угольника ∶ 𝛼 𝑝 = 2𝑛𝑅𝑠𝑖𝑛 2 𝜋2 𝑝 = 2𝑛𝑅𝑠𝑖𝑛 2𝑛 𝜋 𝑝 = 2𝑛𝑅𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝑝(𝑛) 𝜋 Длина грани: 𝑎 = = 2𝑅𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝑛 𝐼 = 1.4 А В−? Место для формулы. Расстояние от грани до центра: 𝑏 = 𝑅𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝜋 = 𝑅𝑐𝑜𝑠 2 𝑛 Магнитная индукция создаваемая током одной грани: 𝐵1 = 𝜇 𝐼 𝐵1 = 0 ∙ 4𝜋 𝑏 𝑎 2 2 √𝑏2 + (𝑎) [ 2 + 𝑎 2 2 √𝑏2 + (𝑎) 2 ] = Магнитная индукция в центре от токов всех граней: B=n𝐵1 𝜋 𝜇0 2𝑅𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝐵=𝑛 𝐼 ∗ 4𝜋 2𝑅𝑐𝑜𝑠 𝜋 𝑛 [ 1 = 2 𝜋 2𝑅𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 [(𝑅𝑐𝑜𝑠 𝑛) + ( 2 𝑛) ] 𝜇0 𝐼 ∙ [cos 𝜑1 − 𝑐𝑜𝑠𝜑2 ] 4𝜋 𝑏 𝜇0 𝐼𝑎 ∙ 4𝜋 𝑏 1 2 √𝑏 2 + (𝑎) [ 2 ] 𝜇0 𝐼 𝜋 ∙ 𝑛 ∙ 𝑡𝑔 2𝜋𝑅 𝑛 ] 4𝜋 × 10−7 × 1.4 А × 2 𝑠𝑖𝑛22.5 = × 8 × 𝑡𝑔 22.5 = 8.25 × 10−6 Тл 2𝜋 × 0,086 м ЗАДАНИЕ №12.9 Найти циркуляцию вектора индукции магнитного поля, образованного системой линейных проводников с током, по контурам, указанных на рисунках. Номер контура ln совпадает с номером варианта. ДАНО: 𝐼1 = 1.9𝐴 𝐼2 = 1.2 𝐴 𝐼3 = 2𝐴 𝐼4 = 0.8𝐴 СИ РЕШЕНИЕ: Согласно теореме, циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна сумме токов, пронизывающих контур. ∮ 𝐵𝑑𝑙 = ∑ 𝐼 𝑖 𝐼5 = 1.3𝐴 𝐼6 = 1.5𝐴 𝐶 учетом напрвлений токов , запишем: ∮ 𝐵𝑑𝑙 = ∑ 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 + 𝐼5 = 1.9𝐴 + 1.2 𝐴 + 2𝐴 + 1.3𝐴 𝑖 = 6.4𝐴 Поток 13-? ЗАДАНИЕ № 12.10. Из проволоки диаметром d нужно намотать соленоид, индукция магнитного поля внутри которого должна быть равна В. Предельная сила тока, который можно пропускать по проволоке, равна I. Чтобы обеспечить необходимую индукцию поля, приходится наматывать N слоев обмотки, причем витки должны прилегать плотно друг к другу. Найти искомую величину согласно номеру задания, считая диаметр катушки малым по сравнению с ее длиной. ДАНО: 𝐵 = 1.57 × 10−2 Тл 𝐼 = 6.5𝐴 𝑁=3 𝑑−? СИ РЕШЕНИЕ: Обмотка соленоида состоит из 3 слоев 𝜇0 𝑁𝐼 𝐵= 2𝜋𝑟 2𝜋𝐵 𝑟= 𝜇𝐼𝑁 2𝜋 × 1.57 × 10−2 𝑟= 3 × 6.5 × 4𝜋 × 10−7 𝑟 =4026 ЗАДАНИЕ №13.6 Из проволоки длиной l изготовлены контуры различного вида. Вращающий момент сил, действующий на каждый контур, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией В, равен М. По контуру проходит ток I. Нормаль к плоскости контура составляет угол α с направлением магнитного поля. Найти неизвестную величину согласно номеру задания в таблице\ ДАНО: круговой В = 15,7мТл СИ РЕШЕНИЕ: 15.7 × 10−3 Тл М = 0,71 мкН ∙ м 0,71 × 10−6 Н ∙ м при круговом контуре: Длина окружности ∶ 𝑙 = 2𝜋𝑟 => 𝑟 = 𝑙 2𝜋 Площадь занимаемая контуром: 𝑆 = 𝜋𝑟 2 = Максимальный вращательный момент ∶ 𝐼 = 0.125𝐴 𝛼 = 45° 𝑀 = 𝐵𝐼𝑆 = 𝑙−? 𝜋𝑙 2 4𝜋 2 𝐵𝐼𝑙 2 4𝜋𝑀 => 𝑙 = √ 4𝜋 𝐵𝐼 4𝜋 × 0,71 × 10−6 √ 𝑙= 15.7 × 10−3 × 0.125 sin 45 L=0.8 м ЗАДАНИЕ № 13.11. В однородном магнитном поле, индукция которого В, равномерно вращается рамка площадью S с угловой скоростью ω. Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет угол α с направлением силовых линий магнитного поля. Найти максимальную ЭДС индукции 𝜺𝐦𝐚𝐱 во вращающейся рамке. Проследить, как зависит 𝜺𝐦𝐚𝐱 от изменяющегося параметра. ДАНО: В = 0,05Тл 𝑆 = 25 см2 𝜔 = 6 рад 𝛼 = 150° 𝜀𝑚𝑎𝑥 = 𝑓(𝐵)-? СИ РЕШЕНИЕ: Мгновенное значение э. д. с индукции определяется 25 × 10−4 м2 𝑑Ф уравнением 𝜀 = − 𝑑𝑡 . (1) При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, , изменяется по закону Ф = 𝐵𝑆𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 (2) Подставим формулу (2) в (1) и продифференцируем По времени, найдем мгновенное значение э.д.с Индукции 𝜀 = В𝑆𝜔𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 Максимальное значение э.д.с достигается при 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 → 1. Отсюда 𝜀𝑚𝑎𝑥 = 𝐵𝑆𝜔𝑠𝑖𝑛𝛼 𝜀𝑚𝑎𝑥 = 0.05 × 25 × 10−4 × 6 × sin 150° = 0.02 𝐵 ОТВЕТ: 0.02 𝐵 ЗАДАНИЕ №13.13. Катушка имеет сопротивление R и индуктивность L. Максимальная сила тока в катушке равна 𝑰𝟎. Найти неизвестную величину согласно номеру задания в таблице в следующих случаях: а) через время t после размыкания цепи сила тока в катушке становится равной I; б) через время t после замыкания цепи сила тока в катушке становится равной I. Выполнить дополнительное задание. ДАНО: 𝑅 = 90 Ом 𝐿 = 0.27Гн 𝐼 = 0.125𝐴 СИ 𝑡 = 4.16мс 𝐼 = 𝑓(𝑐) 𝐼0 4.16 × 10−3 РЕШЕНИЕ: Мгновенное значение силы тока в цепи , обладает сопротивлением 𝑅 индуктивностью 𝐿 −𝑅𝑡 при размыкании цепи 𝐼 = 𝐼0 × 𝑒 𝐿 Подставим значения и найдем 𝐼0 0.125 = 𝐼0 × 𝑒 𝐼0 = 𝐼0 −? −90×4.16×10−3 0.27 0.125 −90×4.16×10−3 0.27 𝑒 = 0.51𝐴 −𝑅𝑡 Б) по замыкания I=𝐼0 (1 − 𝑒 𝐿 )= 𝐼0 *(1-0.25) 0.125 𝐼0 = = 0.17 𝐴 0.75 ЗАДАНИЕ № 13.14. Найти плотность тока смещения jсм в плоском конденсаторе, расстояние между пластинами которого в течение времени t равномерно увеличивается от d0 до d со скоростью 𝒗, в следующих случаях: а) заряды на пластинах конденсатора не меняются; б) разность потенциалов Δ𝝋 между пластинами остается постоянной. Считать, что расстояние d между пластинами остается все время намного меньше линейных размеров пластин. Относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками конденсатора равна ε. ДАНО: ∆𝜑 = 500В 𝑑0 = 2 см СИ 0.02 м 𝜀 = 1,4 𝜗 = 3.5см/с 𝑡 = 0.75 с 0,035м/с РЕШЕНИЕ: Емкость плоского конденсатора определяется по формуле: 𝜀𝜀0 𝑆 𝐶= 𝑑 𝜀0 𝑆 Для воздушного конденсатора 𝜀 = 1 имеем ∶ 𝐶 = 𝑑 𝑈 напряженность электрического поля ∶ Е = 𝑑 𝑑(𝑡) = 𝑑0 + 𝜗𝑡 в данном случае 𝑞 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 => 𝑈(𝑡) = 𝑞 𝐶(𝑡) 𝑗см = 𝑓(𝑑0 ) напряженность электрического поля в конденсаторе: 𝑈(𝑡) 𝑞 𝑞𝑑(𝑡) 𝑞 𝐸(𝑡) = = = = 𝑑(𝑡) 𝐶(𝑡) − 𝑑(𝑡) 𝜀0 𝑆𝑑(𝑡) 𝜀0 𝑆 𝜀 𝑞 𝑞 Модуль вектора электрического смещения: 𝐷(𝑡) = 𝜀0 𝐸(𝑡) = 0 = = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑞 𝜀0 𝑆 𝑞𝑑0 𝑆 Плотность тока смещения 𝐽см = С(0) = 𝜀 𝑆 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 0 𝑈(𝑡) 𝑞𝑑(𝑡) 𝑞𝑑 0 Напряженность : 𝐸(𝑡) = 𝑑(𝑡) = 𝜀 𝑆𝑑(𝑡) = 𝜀 𝑆(𝑑 0+𝜗𝑡) 0 0 0 𝜀 𝑞𝑑 0 Модуль вектора электрического смещения : 𝐷(𝑡) = 𝜀0 𝐸(𝑡) = 𝜀 𝑆(0𝑑 +𝜗𝑡) Плотность тока смещения:𝐽см = 𝜕𝐷(𝑡) 𝜕𝑡 𝜕 0 𝑞𝑑0 𝑞𝑑0 𝜗 0 0 0 𝑈𝜀 𝜗 0 = 𝜕𝑡 (𝑆(𝑑 +𝜗𝑡)) = − 𝑆(𝑑 +𝜗𝑡)2 = − (𝑑 +𝜗𝑡) 2 При q=const 𝐽см = 0 𝑈𝜀0 𝜗 500×1.4×0.035 При U=const 𝐽см = (𝑑 +𝜗𝑡) = (0.02+0.035×0.752) = 11453 2 0 0 ЗАДАНИЕ № 13.15. Зазор между двумя параллельными круглыми пластинами заполнен однородной слабопроводящей средой с удельной проводимостью σ и диэлектрической проницаемостью ε (магнитная проницаемость µ = 1). Зазор d много меньше радиуса пластин R. На пластины подается напряжение, изменяющееся по закону 𝑼 = 𝑼𝒎𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 . Определить напряженность магнитного поля H в зазоре на расстоянии r от оси пластин, значительно меньшем R, в момент времени t, принимая за начало отсчета времени момент, когда U = 0. ДАНО: 𝜎 = 8 × 10−8 Ом ∙ м−1 СИ РЕШЕНИЕ: 𝑈(𝑡) 𝑈(𝑡) ⃗Е = 𝑒𝑥 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑑 𝑑 𝜀 = 4,2 ⃗ 𝑑𝑙 = ∮ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∮𝐻 𝑗полн ∙ 𝑑𝑠 𝑆 𝑑 = 0.5см 𝑈𝑚 = 200В 0,005м 𝐻(𝑟)2𝜋𝑟 = 𝑗полн 𝜋𝑟 2 𝑗полн 𝐻(𝑟) = ∙𝑟 2 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝐽⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ полн = 𝑗кр + 𝑗 𝜔 = 750 𝑟 = 0.1 см 0,001 м 𝑡 = 0.5мс 0,0005с 𝑈𝑚 𝜎 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑑 𝑈 𝜀𝜀 ⃗ = 𝜀𝜀0 𝐸⃗ = 𝑚 0 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑒⃗⃗⃗𝑥 𝐷 𝑑𝑡 𝑈𝑚 𝜀𝜀0 𝐷𝑥 = − 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑈𝑚 𝑟 [𝜎𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 − 𝜀𝜀0 𝜔𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡] 𝐻(𝑟) = 2𝑑 𝑗кр𝑥 = 𝐻 = 𝑓(𝑈𝑚 )−? 𝑈 𝑟 𝜀𝜀 𝜔 𝑚 = 2𝑑 √𝜎 2 + (𝜀𝜀0 𝜔)2 cos [𝜔𝑡 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( 𝜎0 )] 2 200 × 0.001 √(8 × 10−8 )2 + (4.2 × 750 × 8.85 × 10−12 ) cos((750 × 0.0005) 𝐻(𝑟) = 2 × 0.005 4.2 × 8.85 × 10−12 × 750 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) = 150 × 10−8 8 × 10−8 ЗАДАНИЕ №14.2. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью C и катушки индуктивностью L. Омическим сопротивлением цепи можно пренебречь. Конденсатор заряжен количеством электричества qm. Написать для данного контура уравнения изменения заряда, напряжения на обкладках конденсатора и силы тока в цепи в зависимости от времени. Построить графики зависимостей 𝒒(𝒕), 𝑼(𝒕), 𝑰(𝒕). Выполнить дополнительное задание согласно номеру в таблице. ДАНО: С = 0,02 мкФ 𝐿 = 0,08Гн 𝑞𝑚 = 10 мкКл 𝑡 = 𝑇/2 Энергия электрического поля СИ 0,02 × 10−6 Ф РЕШЕНИЕ: 𝜔0 = 1 √𝐿𝐶 𝑄 = 𝑄𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜔0 𝑡 10 × 10−6 Кл 𝑑𝑄 𝜋 = −𝑄𝑚 𝜔0 𝑠𝑖𝑛𝜔0 𝑡 = −= −𝑄𝑚 𝜔0 cos(𝜔0 𝑡 + ) 𝑑𝑡 2 𝑄 𝑄𝑚 𝑈𝑐 = = 𝑐𝑜𝑠𝜔0 𝑡 𝐶 𝐶 𝜋 𝐼=−𝑄𝑚 𝜔0 cos (𝜔0 𝑡 + 2 ) = −10 × 𝐼= 10−6 1 √0,02×10−6 ×0.08 −0.25𝑐𝑜𝑠0.0004𝑡 𝑐𝑜𝑠 1 √0,02×10−6 ×0.08 𝑡= Энергия магнитного поля 𝑈𝑐 = 10 × 10−6 0,02 × 10 −6 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 −6 √0,02 × 10 × 0.08 = 0.25𝑐𝑜𝑠0.0004𝑡 −6 𝑄 = 𝑄𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜔0 𝑡=10 × 10 𝑐𝑜𝑠 1 √0,02×10−6 ×0.08 𝑡 = −0.00001𝑐𝑜𝑠0.0004𝑡 𝐼(𝑡) 𝑈𝑐 (𝑡) 𝑄(𝑡) ЗАДАНИЕ №14.5 Колебательный контур имеет емкость C и индуктивность L. Логарифмический декремент затухания равен χ. За время Δt в контуре вследствие затухания теряется ∆W/W0 энергии. Найти неизвестную величину согласно номеру задания в таблице. Выполнить дополнительное задание. ДАНО: СИ РЕШЕНИЕ: −6 𝐶 = 80 мкФ 80 × 10 Ф Разность потенциалов на обкладках конденсатора меняется со временем по закону 𝑈 = 𝑈0 𝑒 −𝛿𝑡 cos 𝜔𝑡 (1) 𝐿 = 0.02Гн 𝑈 χ = 0,005 из (1)следует, что = 𝑒 𝛿𝑡 (2) ∆𝑊 = 60% 𝑊𝜔 ∆𝑊 = 𝑓(∆𝑡) 𝑊0 𝑈0 ∆𝑊 𝑈0 − 𝑈 по условию = = 60% 𝑊𝜔 𝑈0 (𝑈0 − 𝑈 = 0.6𝑈0 )следовательно 𝑈 𝑈 𝑒 𝛿𝑡 = => 𝛿𝑡 = 𝑙𝑛 𝑈0 𝑈0 χ Логарифмический декремент затухания χ = 𝛿𝑇 => 𝛿 = 𝑇 ∆𝑡−? 𝑡= 𝑈 𝑇𝑙𝑛 𝑈 0 χ 𝑇 = 2𝜋√𝐿𝐶 𝑡= 𝑈 2𝜋𝑙𝑛 𝑈 √𝐿𝐶 0 χ 2𝜋𝑙𝑛2.5√80 × 10−6 × 0.02 = = 1.46𝑐 0.005 ЗАДАНИЕ №14.6 В колебательный контур, имеющий индуктивность 𝑳, емкость 𝑪 и сопротивление 𝑹, подключена последовательно к элементам контура переменная ЭДС, изменяющаяся по закону 𝜺 = 𝜺m𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕. Добротность контура равна 𝑸. При малом затухании (𝜷 2≪ 𝝎0 2 ) резонансные значения заряда на обкладках конденсатора, силы тока в контуре и напряжения на обкладках конденсатора равны 𝒒рез, 𝑰рез и 𝑼рез соответственно. Найти неизвестные величины. ДАНО: СИ РЕШЕНИЕ: 𝐿 = 0.32Гн 1 1 𝜔0 = √ => 𝐶 = 2 = 1/(0.32Гн × 5590 с^(−1) )2 𝐿𝐶 𝜔0 𝐿 𝜀 = 2,5В 𝜔0 = 5590 с−1 𝑄 = 140 𝐶−? 𝑅−? 𝑞ℎ𝑡𝑝 −? 𝐼рез −? 𝑈рез −? = 10−7 Ф 𝜔0 𝐿 𝜔0 𝐿 5590 × 0.32 𝑄= => 𝑅 = = = 12,8 𝑅 𝑄 140 2.5 q(рез) = 𝑒𝑚 /(R ∗ ω₀)= = 3,5 × 10−5 Кл 5590×12,8 Jрез = Uрез/R=350/12,8 = 29 А Uрез = 𝑒𝑚 ∗ Q = 2.5 × 140 = 350 В ЗАДАНИЕ №14.9 Электромагнитные колебания, распространяясь в однородной среде, имеют групповую скорость u и фазовую υ. Дисперсия в диапазоне длин волн dλ вблизи λ равна D. Определить неизвестную величину согласно номеру задания в таблице. Пояснить, в диспергирующей или недиспергирующей среде распространяется электромагнитная волна, и, в случае диспергирующей среды, определить, какой вид дисперсии волны (нормальная или аномальная) наблюдается в среде. ДАНО: СИ РЕШЕНИЕ: 8 Волновое число K=v|u 𝑣 = 1.96 × 10 м/с 1.96 ×108 м/с 𝑢 = 1.92 × 108 м/с 𝑘= =1 1.92 ×108 м/с 12 −1 𝐷 = 4.76 × 10 𝑐 𝐾= 𝜆= 2𝜋 6.28 = =6.28 𝑘 1 2𝜋 𝜆 Место для формулы. λ-? ЗАДАНИЕ № 14.10 В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна, в которой напряженность электрического поля меняется по закону 𝑬 = 𝑬𝒎 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝒌𝒙), а напряженность магнитного поля – по закону 𝑯 = 𝑯𝒎 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝒌𝒙). Найти мгновенное значение величины вектора Умова-Пойнтинга в точке x1 в момент времени t1, его среднее за период и максимальное значение. ДАНО: СИ РЕШЕНИЕ: 𝐸 = 20cos(6.25 × 108 𝜋𝑡 − 2.083𝜋𝑥) 𝐸 = 20cos(6.25 × 108 𝜋𝑡 − 2.083𝜋𝑥) 𝑥1 = 0.48м Вектор плотности энергии − −9 ̅ 3,2× 10 𝑡1 = 3.2 н𝑐 вектор Умова − Пойтинга 𝑆̅ = 𝐸̅ × 𝐻 ̅ , то числовое значение Место для формулы. так как 𝐸̅ ⊥ 𝐻 𝜋 ̅ | = 𝐸 ∙ 𝐻 ∙ 𝑠𝑖𝑛 = 𝐸 ∙ 𝐻 𝑆 = |𝑆̅| = |𝐸̅ × 𝐻 2 𝐸2 𝑆 =𝐸∙𝐻 = (𝑧 = 377 − волное сопротивление в вакууме) 𝑧 400 𝑆= 𝑐𝑜𝑠 2 (6.25 × 108 𝜋𝑡 − 2.083𝜋𝑥) 377 Очевидно, что максимальное значение вектора достигается, когда косинус равен 1=> 400 S=377 ≈ 1.06 Вт/м2 Мгновенное значение в точке x=0.48 м в момент времени t=3,2× 10−9 𝑐 400 𝑆 = 377 𝑐𝑜𝑠 2 (6.25 × 108 𝜋 × 3,2 × 10−9 − 2.083𝜋 × 0.48 )=1.059 Вт/м2
