Методы расчета и проектирования планетарных коробок передач ZF – Zane Rad Fabric AW – Aisin Warner JATCO Allison Caterpillar Renk Литература: Красненьков В.И., Вашец А.Д. Проектирование планетарных механизмов транспортных машин. Москва. Машиностроение. 1986 г. Кристи К.М., Красненьков В.И. Новые механизмы трансмиссий. Москва. Машиностроение. 1967 г. Харитонов С.А., Нагайцев М.В., Юдин Е.Г. Расчет и проектирование планетарных коробок передач. Москва. МГТУ, 2012 Харитонов С.А., Нагайцев М.В., Бяков К.Е. Синтез кинематической схемы и разработка эскизной компоновки планетарной коробки передач. Москва. МГТУ, 2023 Харитонов С.А. Автоматические коробки передач Москва. Астрель-АСТ. 2003 Планетарной передачей (планетарным рядом) называется механизм, в котором одно или несколько зубчатых колес совершают помимо относительного движения вокруг своих осей еще и переносное движение вместе со своими осями. Элементы планетарного ряда (трехзвенный механизм) 1 – малое центральное колесо (МЦК); 2 – большое центральное колесо (БЦК); 3 – водило; 4 – сателлиты (составная часть водила). МЦК, БЦК и водило планетарного ряда участвуют только в относительном движении. Сателлиты совершают сложное движение, вращаясь относительно своих осей, и поворачиваясь вместе с водилом относительно центральной оси. Основные преимущества планетарных передач Использование нескольких промежуточных зубчатых колес (сателлитов) в планетарных передачах снижает, по сравнению с цилиндрическими зубчатыми передачами, нагруженность зубьев. Симметричное расположение сателлитов позволяет разгрузить от радиальных сил центральные валы и их подшипниковые опоры. При удачном выборе кинематической схемы планетарные передачи обладают высокими значениями КПД. Наличие планетарной коробки передач избавляет от необходимости использовать в составе трансмиссии сцепления или главного фрикциона. Кинематика планетарного ряда Определим абсолютные значения угловых скоростей малого и большого центральных колёс. r1 – радиус МЦК; r2 – радиус БЦК; r3 – радиус расположения осей сателлитов (радиус водила) Относительное движение ω3 = 0 – угловая скорость водила. ω1 – угловая скорость МЦК. Угловая скорость БЦК: 𝝎𝟏 𝒓𝟏 ω2 = – угловая скорость БЦК. 𝒓𝟐 Переносное движение ω3 – угловая скорость водила. ω1= ω2 = ω3 Эпюра абсолютных скоростей Абсолютная угловая скорость БЦК 2 1r1 r2 1r1 3 r2 r2 3 2 отн пер Абсолютная угловая скорость МЦК 1 1r1 3 r1 r1 1 3 1отн пер Таким образом, абсолютные угловые скорости центральных колес определяются суммой их угловых скоростей в относительном и переносном движении. Уравнения кинематической связи звеньев планетарного ряда а) б) r1 – радиус МЦК; rст1 – радиус венцов сателлитов сцепленных с МЦК; rст2 – радиус венцов сателлитов сцепленных с БЦК; r2 – радиус БЦК. Условно остановим водило планетарного ряда, т.е. лишим систему переносного движения. 1 3 ik 2 3 или (1 ik )3 1 ik 2 Для планетарного ряда а) r2 rст1 ik const r1 rст 2 Для планетарного ряда б) r2 rст1 ik const r1 rст 2 ik – внутреннее передаточное отношение планетарного ряда Правило определения знака внутреннего передаточного отношения планетарного ряда Знак внутреннего передаточного отношения определяется знаком произведения единичных сомножителей, число которых равно числу зубчатых зацеплений планетарного ряда, причем единичный сомножитель положительный, если зацепление внутреннее, и отрицательный для внешнего зацепления. Для планетарного ряда а) sign(ik) = sign[(-1)·(+1)] = -1 Для планетарного ряда б) sign(ik) = sign[(-1)·(-1)] = +1 1 3 ik 2 3 или 1 ik 2 3 0 1 i12 2 3 0 или 2 i21 1 3 0 Окончательно получаем: (1 i12 )3 1 i122 . Обратим внимание на структуру этого уравнения. Покажем, что структура уравнения кинематической связи звеньев планетарного ряда останется неизменной при остановки двух других его звеньев. Остановим звено 2 (ω2 = 0) (1 i12 )3 1 или 1 i 1 i 13 12 3 2 0 i12 1 i13 i133 1 (1 i13 )2 (1 i13 )2 1 i133 Остановим звено 1 (ω1 = 0) (1 i12 )3 i122 или 2 1 i12 i 23 i 12 3 1 0 1 i12 1 i23 1 1 1 3 1 2 1 i23 1 i23 i23 (1 i23 )1 2 3 1 i23 1 i23 (1 i23 )1 2 i233 Таким образом, для одного планетарного ряда можно записать шесть уравнений кинематической связи его звеньев, используя для этого одно из шести внутренних передаточных отношений. (1 i12 )3 1 i122 , где 1 i12 2 3 0 (1 i21 )3 2 i211 , где 1 2 i21 i12 1 0 3 (1 i13 )2 1 i133 , где 1 i13 3 2 0 (1 i31 )2 3 i311 , где 1 3 i31 i13 1 0 2 (1 i23 )1 2 i233 , где 2 i23 3 1 0 (1 i32 )1 3 i322 , где 1 3 i32 i23 2 0 1 В общем случае для трёх звеньев p, q и r, составляющих некоторый планетарный ряд, (1 i pq )r p i pqq , где p i pq q r 0 (1 i pq )r p i pqq , Обратим внимание на то, сумма коэффициентов при угловых скоростях, находящихся слева, равна сумме коэффициентов при угловых скоростях, находящихся слева: 1 – ipq = 1 – ipq Такие уравнения называются уравновешенными: apωp + aqωq + arωr = 0 ap + aq + ar = 0. Последнее выражение является математическим подтверждением свойства планетарных рядов блокироваться. При блокировке планетарного ряда угловые скорости всех его трех звеньев одинаковы: ωp = ωq = ωr = ω. (ap + aq + ar) ω = 0. ω≠0 ap + aq + ar = 0 Классификация планетарных рядов Планетарные ряды классифицируются по знаку внутреннего передаточного отношения, определенного при остановленном водиле Планетарные ряды первого класса: ряды, у которых внутреннее передаточное отношение, определенное при остановленном водиле, величина положительная. Планетарные ряды второго класса: ряды, у которых внутреннее передаточное отношение, определенное при остановленном водиле, величина отрицательная. Примеры планетарных рядов первого класса Планетарный ряд с двухвенцовыми сателлитами, построенный с использованием только внутренних зацеплений Планетарный ряд со сцепленными сателлитами, построенный с использованием внутреннего и внешних зацеплений Планетарный ряд с двухвенцовыми сателлитами, построенный с использованием только внешних зацеплений Примеры планетарных рядов второго класса Планетарный ряд с одновенцовыми сателлитами, построенный с использованием внутреннего и внешнего зацеплений Планетарный ряд с двухвенцовыми сателлитами, построенный с использованием внутреннего и внешнего зацеплений Планетарный ряд со сцепленными сателлитами, построенный с использованием внешних зацеплений Планетарный ряд с одновенцовыми сателлитами, построенный с использованием конических зацеплений (симметричный дифференциал) Планетарный ряд с двухвенцовыми сателлитами, построенный с использованием конических зацеплений (несимметричный дифференциал) Обозначение планетарных рядов Взаимосвязь внутренних передаточных отношений планетарного ряда Пусть звенья p, q и r составляют некоторый планетарный ряд i pq ; iqp ; i pr ; irp ; irq ; iqr 1 i pq ; iqp 1 i pr ; irp 1 irq iqr Найдем связь между тремя внутренними передаточными отношениями: ipq; ipr и irq Запишем уравнение кинематической связи звеньев планетарного ряда, используя для этого, например, внутреннее передаточное отношение ipq (1 i pq )r p i pqq . Пусть ωp = 0 r i pq irq . (1 i ) q p 0 pq Пусть ωq = 0 p i pr 1 i pq . r q 0 Умножим первое полученное выражение на второе: ipr irq = - ipq . Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы одно из трех внутренних передаточных отношений было отрицательным. Вывод: если угловые скорости трех звеньев связаны уравнениями: apωp + aqωq + arωr = 0 ap + aq + ar = 0, то, назначая по очереди в качестве водила одно из трех звеньев, мы можем получить три адекватных по кинематическим свойствам планетарных ряда, причем два из них будут первого класса, а один - второго класса. Конструктивный параметр планетарного ряда Абсолютная величина отношения угловой скорости МЦК к угловой скорости БЦК, определенные при остановленном водиле, называется конструктивным параметром планетарного ряда и обозначается символом k. Из определения следует, что k > +1. Для планетарных рядов с одновенцовыми и сцепленными сателлитами k z БЦК zМЦК , где zБЦК – число зубьев БЦК; zМЦК – число зубьев МЦК. Для планетарных рядов с двухвенцовыми сателлитами k z БЦК zстМЦК zМЦК zстБЦК , где zстБЦК – число зубьев венцов сателлитов сцепленного с БЦК; zстМЦК – число зубьев венцов сателлитов сцепленного с МЦК. Если k < 1, то k zМЦК zстБЦК z БЦК zстМЦК , Планетарный ряд второго класса с одновенцовыми сателлитами Преимущества: • простота изготовления; • высокое значение КПД; • относительно низкая стоимость. Рекомендуемые значения конструктивного параметра для этого ряда 𝟏, 𝟓 < 𝒌 < 𝟒, 𝟎 Для k < 1,5 Для k > 4,0 Свойства планетарных рядов Рассмотрим планетарный ряд второго класса с одновенцовыми сателлитами. 1. Свойство блокировки. Если угловые скорости двух звеньев планетарного ряда равны, то и угловая скорость третьего звена равна угловой скорости этих двух звеньев. (1 i pq )r p i pqq . Пусть ω r = ωp = ω (1 i pq ) i pqq , i pq i pqq q p r Вывод: для блокировки планетарного ряда необходимо жестко соединить любые два звена. Для этого в планетарных коробках передач используются блокировочные муфты. 2. Свойства редуктора и мультипликатора. Вариант 1 (1 i pq )r p i pqq Для ωq = 0 p i pr 1 i pq . r q 0 p i pq 1 q 0 r i pr 1 i pq 1. или 𝑖𝑝𝑟 = 1 + 𝑘, где k – конструктивный параметр планетарного ряда В этом случае планетарный ряд будет работать в режиме редуктора, а его передаточное отношение будет на единицу больше конструктивного параметра Если поменять функции между МЦК и водилом, то получим мультипликатор с передаточным отношением 1 irp 1 1 i pq или 1 𝑖𝑟𝑝 = <1 1+𝑘 Вариант 2 (1 i pq )r p i pqq Для ωp = 0 q iqr r или p 0 1+𝑘 𝑖𝑞𝑟 = 𝑘 1 i pq i pq . В этом случае планетарный ряд будет работать в режиме редуктора с передаточным отношением 1 < iqr < 2 Если поменять функции между МЦК и водилом, то получим мультипликатор с передаточным отношением 𝑘 𝑖𝑟𝑞 = <1 1+𝑘 3. Свойство реверсивности. (1 i pq )r p i pqq Для ωr = 0 p i pq q r 0 i pq 1 Пример двухступенчатой коробки передач i0x = 1 - i0q i0x = 1 Подбор чисел зубьев зубчатых колес планетарного ряда 1. Не желательны варианты, в которых числа зубьев сцепляющихся колес имели хотя бы один общий множитель. 2. Не рекомендуется выбирать варианты, в которых число зубьев малого или большого центральных колес кратно количеству сателлитов. 3. Условие соосности. rp mp z p rстp m p zстp 2 2 ; ; rq mq zq rстq ; 2 mq zстq 2 . mp – модуль зубьев МЦК; mq – модуль зубьев БЦК; zp – число зубьев МЦК; zq – число зубьев БЦК; zстр – число зубьев венца сателлита сцепленного с МЦК; zстq – число зубьев венца сателлита сцепленного с БЦК; mq ( zq zстq ) m p ( z p zстp ) 0 В общем виде для планетарных рядов с одновенцовыми и двухвенцовыми сателлитами: mБЦК ( z БЦК zстБЦК ) mМЦК ( zМЦК zстМЦК ) 0 Для планетарных рядов второго класса с одновенцовыми сателлитами: z БЦК zМЦК 2 zст Для планетарных рядов со сцепленными сателлитами: Ap Aст Aq 0, где |Аp| – межосевое расстояние пары «МЦК – сателлит МЦК» |Аст| – межосевое расстояние пары «сателлит МЦК – сателлит БЦК» |Аq| – межосевое расстояние пары «БЦК – сателлит БЦК» 4. Условие сборки. Рассмотрим ПР второго класса с одновенцовыми сателлитами prq, в котором пусть БЦК (звено q) будет неподвижным. Для установки следующего сателлита на эту же позицию водило нужно повернуть на угол 2 . r aст где аст – число сателлитов. При этом угол поворота МЦК определим из уравнения кинематической связи звеньев планетарного ряда. (1 i pq )r p i pqq . где φр – угол поворота МЦК; φq – угол поворота БЦК; φr – угол поворота водила При условии φq = 0 p r (1 i pq ) i pq k zq zp z 2 q p 1 aст z p где zp – число зубьев МЦК; zq – число зубьев БЦК. При этом МЦК должно повернуться на целое число зубьев 2 K p zp где К – любое целое число. zq 2 K 2 1 aст z p zp откуда z p zq aст K или zМЦК z БЦК aст K Это соотношение справедливо только для планетарных рядов второго класса с одновенцовыми или сцепленными сателлитами. Для планетарных рядов первого класса с одновенцовыми или сцепленными сателлитами z БЦК zМЦК aст K Для планетарных рядов с двухвенцовыми сателлитами z БЦК zстМЦК zМЦК zстБЦК aст K где знак « - » берется для планетарных рядов первого класса, и « + » - для планетарных рядов второго класса. 5. Условие соседства сателлитов. Это условие проверяется определяется путем геометрического построения. Для планетарных рядов второго класса с одновенцовыми сателлитами z БЦК zМЦК 4 z БЦК zМЦК sin aст где zМЦК – число зубьев МЦК; zБЦК – число зубьев БЦК; аст – число сателлитов. 6. Условие отсутствия подрезания зубьев. Минимальное число зубьев шестерен нарезанных без смещения zmin = 17. Рассмотрим планетарный ряд второго класса с одновенцовыми сателлитами и определим какое зубчатое колесо в зависимости от конструктивного параметра должно иметь минимальное число зубьев: МЦК или сателлиты. Из условия соосности имеем z БЦК zМЦК 2 zст или k 1 zст 1 z БЦК 1 zМЦК 2 zМЦК 2 Если k > 3, то zст > zМЦК и минимальное число зубьев следует назначать для МЦК Если k < 3, то zст < zМЦК и минимальное число зубьев следует назначать для сателлитов. Относительная угловая скорость сателлитов ст zМЦК zстМЦК МЦК в или ст z БЦК zстБЦК БЦК в где знак « - » берется для внешнего зацепления, и « + » - для внутреннего зацепления. Рассмотрим планетарный ряд второго класса с одновенцовыми сателлитами ст zМЦК zст МЦК в Из условия соосности zст z БЦК zМЦК 2 zМЦК (k 1) 2 zМЦК zст 2 k 1 2 ст МЦК в 1 k ст z БЦК zстБЦК БЦК в zст z БЦК zМЦК 2 1 z БЦК 1 k 2 k 1 zст z БЦК 2k z БЦК 2k zст k 1 2k ст БЦК в k 1 Определение моментов, действующих на звенья планетарного механизма Допущения: • рассматривается установившейся режим работы планетарного ряда; • потери в зубчатых зацеплениях планетарного ряда отсутствуют. Для планетарного ряда, составленного из звеньев р, q и r, запишем условие равновесного состояния Мр + Мq + Мr = 0 и закон сохранения энергии М р ωр + М q ωq + Мr ω r = 0 Выразим из первого уравнения Мr = – Мр – Мq и подставим его во второе Мр(ωр - ωr) + Мq(ωq - ωr) = 0, откуда: p r p i pq Mp q r q 0 Mq r или q r q iqp Mq p r p 0 Mp r Пусть звено r будет водилом планетарного ряда. Тогда: если │ipq│> 1, то p – МЦК; q – БЦК; если │ipq│< 1, то q – МЦК; p – БЦК. Момент, воспринимаемый водилом планетарного ряда: M r ( M p M q ) или Момент, воспринимаемый водилом планетарного ряда: M r M p (1 i pq ) или Mr Mq 1 i pq i pq Mq Mp i pq M r ( M p M q ) в планетарных механизмах первого класса моменты, действующие на центральные зубчатые колеса, противоположны по направлению, а момент, действующий на водило, равен их алгебраической сумме и по направлению совпадает с моментом, действующим на МЦК. в планетарных механизмах второго класса моменты, действующие на центральные зубчатые колеса, направлены в одну сторону, а момент, действующий на водило, равен их алгебраической сумме и направлен противоположно моментам на центральных колесах. Если использовать понятие конструктивного параметра, то M БЦК kM МЦК ; M ВОД ( M МЦК М БЦК ). где верхние знаки относятся к планетарным рядам второго класса, а нижние к планетарным рядам первого класса. Расчет распределения потоков мощности Мощность на любом звене планетарного ряда N зв M зв зв , Если Nзв < 0, то звено ведущее и через него мощность поступает в планетарный ряд; Если Nзв > 0, то звено ведомое и через него мощность выходит из планетарного ряда. Рассмотрим несколько вариантов блокировки планетарного ряда При помним, что мы рассматриваем установившиеся режимы работы планетарного ряда. Это означает, что каждое звено планетарного ряда должно находиться в равновесном состоянии. Кроме того, здесь и в дальнейшем всегда будем работать только относительными величинами угловых скоростей звеньев планетарных рядов и моментов, действующих на звенья. За единицу измерения угловых скоростей примем угловую скорость ведущего звена. А за единицу измерения моментов примем момент, подводимый к ведущему звену со стороны двигателя. Вариант 1. В дальнейшем всегда будем обозначать ведущее звено индексом 0, а ведомое – индексом х. М Ф kM 0 ωМЦК = ωвод = ωБЦК = ω0 = 1 Вариант 2. Момент, приходящий на БЦК со стороны блокировочной муфты, равен а Момент на БЦК, определенный через момент на МЦК, равен k(1-а) Очевидно, что эти два момента должны быть равны: a = k(1 - a) k a k 1 k Мф M0 k 1 ωМЦК = ωвод = ωБЦК = ω0 = 1 qpr Случай, когда требуется спроектировать планетарный редуктор, работа которого описывается уравнением: apωp + aqωq + arωr = 0 но ap + aq + ar ≠ 0. Заменим одно из звеньев (например r) редуктора на звено s так, чтобы и as ωs = ar ωr ap + aq + as = 0. Тогда 𝜔𝑟 𝑎𝑠 𝑖𝑟𝑠 = = 𝜔𝑠 𝑎𝑟 Таким образом получили планетарный редуктор, звено s которого имеет жесткую кинематическую связь со звеном r Задача 1 Cинтезировать кинематическую схему планетарного редуктора, кинематика которого описывается уравнением: 3ωp - 11ωq + 6ωr = 0 3 - 11 + 6 ≠ 0. Заменим звено q на звено s так, чтобы сумма коэффициентов при угловых скоростях была равна нулю 3ωp - 9ωs + 6ωr = 0 9ωs = 3ωp + 6ωr или 1 + 2 𝜔𝑠 = 𝜔𝑝 + 2𝜔𝑟 где 𝑖𝑝𝑠 = −2 При этом -9ωs = -11ωq , или 𝜔𝑞 −9 𝑖𝑞𝑠 = = = 0,81 𝜔𝑠 −11 Задача 2 Задано уравнение кинематической связи звеньев редуктора 𝟖𝝎𝒑 − 𝟏𝟏𝝎𝒒 + 𝟒𝝎𝒓 = 𝟎. Построить кинематическую схему планетарного редуктора 𝟖 − 𝟏𝟏 + 𝟒 ≠ 𝟎. Введем вместо , например, звена q новое звено s так, чтобы сумма коэффициентов при угловых скоростях была равна 0 𝟖𝝎𝒑 − 𝟏𝟐𝝎𝒔 + 𝟒𝝎𝒓 = 𝟎. Для того, чтобы не нарушить первоначальное уравнение, потребуем −𝟏𝟐𝝎𝒔 = − 11 𝝎𝒒 При этом 𝝎𝒒 −𝟏𝟐 𝒊𝒒𝒔 = = =1,09. 𝝎𝒔 −𝟏𝟏 Таким образом, между звеньями q и s необходимо установить редуктор с передаточным отношением 1,09. Вернемся к полученному уравнению 𝟖𝝎𝒑 − 𝟏𝟐𝝎𝒔 + 𝟒𝝎𝒓 = 𝟎, для которого 𝟖 − 𝟏𝟐 + 𝟒 = 𝟎. Следовательно из звеньев p, s и r можно построить планетарный редуктор. При этом, за водило можно принять любое из трех звеньев. Пусть звено p будет водилом планетарного ряда. Преобразуем уравнение к виду 𝟖𝝎𝒑 = 𝟏𝟐𝝎𝒔 − 𝟒𝝎𝒓 , или 𝟖 𝟒 𝝎𝒑 = 𝝎𝒔 − 𝝎𝒓 , 𝟏𝟐 𝟏𝟐 или 𝟒 𝟏− 𝟏𝟐 𝟒 𝝎𝒑 = 𝝎𝒔 − 𝝎𝒓 , 𝟏𝟐 Таким образом, имеем 𝝎𝒔 𝟒 𝒊𝒔𝒓 = =+ <𝟏 𝝎𝒓 𝟏𝟐 или 𝝎𝒔 < 𝝎𝒓 При остановленном водиле 𝝎МЦК > 𝝎БЦК . Таким образом, звено r – МЦК звено s – БЦК, В результате имеем планетарный ряд первого класса rps с внутренним передаточным отношением 𝟏 𝟏𝟐 𝒊𝒓𝒔 = =+ = +𝟑, 𝟎 𝒊𝒔𝒓 𝟒 Пусть звено r будет водилом планетарного ряда. Преобразуем исходное уравнение к виду 𝟒𝝎𝒓 = 𝟏𝟐𝝎𝒔 − 𝟖𝝎𝒑 , или 𝟖 𝟏− 𝟏𝟐 𝟖 𝝎𝒓 = 𝝎𝒔 − 𝝎𝒑 . 𝟏𝟐 𝝎𝒔 𝟖 𝒊𝒔𝒑 = =+ <𝟏 𝝎𝒑 𝟏𝟐 т.е. 𝝎𝒔 < 𝝎𝒑 . Поэтому звено p – МЦК звено s – БЦК. Таким образом, имеем планетарный ряд первого класса prs с внутренним передаточным отношением 𝟏 𝟏𝟐 𝒊𝒑𝒔 = =+ = +𝟏, 𝟓 𝒊𝒔𝒑 𝟖 Пусть звено s будет водилом планетарного ряда. Преобразуем исходное уравнение к виду 𝟏𝟐𝝎𝒔 = 𝟒𝝎𝒓 + 𝟖𝝎𝒑 , или 𝟏 + 𝟐 𝝎𝒔𝒓 = 𝝎𝒓 + 𝟐𝝎𝒑 . 𝝎𝒓 𝒊𝒓𝒑 = = −𝟐; 𝝎𝒑 т.е. 𝝎𝒓 > 𝝎𝒑 . Поэтому звено r – МЦК звено p – БЦК. Таким образом, имеем планетарный ряд второго класса rsp с внутренним передаточным отношением 𝒊𝒓𝒑 = −𝟐 Задача 3 Для заданной кинематической схемы редуктора записать уравнения кинематической связи его звеньев iqr= -3,0 ips = -3,25 𝝎𝒒 𝒊𝒒𝒓 = = −𝟑, 𝟎 𝝎𝒓 𝟏 + 𝟑, 𝟐𝟓𝝎𝒓 = 𝝎𝒑 + 𝟑, 𝟐𝟓𝝎𝒔 Пусть задано уравнение кинематической связи трех звеньев 𝟑𝝎𝟏 + 𝟒𝝎𝟐 − 𝟕𝝎𝟑 = 𝟎 Назначим в качестве водила звено 1 𝟑 𝟕 − 𝝎𝟏 = 𝝎𝟐 − 𝝎𝟑 𝟒 𝟒 𝟕 𝟕 𝟏 − 𝝎𝟏 = 𝝎𝟐 − 𝝎𝟑 𝟒 𝟒 𝟕 𝒊𝟐𝟑 = + > 0 𝟒 Получим планетарный ряд первого класса 213 Назначим в качестве водила звено 2 𝟒 𝟕 − 𝝎𝟐 = 𝝎𝟏 − 𝝎𝟑 𝟑 𝟑 𝟕 𝟕 𝟏 − 𝝎𝟐 = 𝝎𝟏 − 𝝎𝟑 𝟑 𝟑 𝟕 𝒊𝟏𝟑 = + > 0 𝟑 Получим планетарный ряд первого класса 123 Назначим в качестве водила звено 3 𝟕 𝟒 𝝎𝟑 = 𝝎𝟏 + 𝝎𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 𝟒 𝟏 + 𝝎𝟑 = 𝝎𝟏 + 𝝎𝟐 𝟑 𝟑 𝝎𝟏 𝟒 𝒊𝟏𝟐 = =− <0 𝝎𝟐 𝟑 Получим планетарный ряд второго класса 132
