Поурочное планирование. Алгебра 11 класс.

Поурочное планирование. Алгебра 11 класс.
Содержание учебного материала
Повторение
Тема 5. Интеграл
37. Первообразная и неопределенный интеграл
38. Определенный интеграл:
1) задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
2) определенный интеграл, его вычисление и свойства
3) вычисление площадей плоских фигур
Контрольная работа № 1
Тема 6. Степени и корни. Степенные функции
39. Понятие корня n-й степени из действительного числа
40. Функции y  n x , их свойства и графики
41. Свойства корня n-й степени
42. Преобразование выражений, содержащих радикалы
Контрольная работа № 2
43. Обобщение понятия о показателе степени
44. Степенные функции, их
свойства и
графики (включая
дифференцирование и интегрирование степенной функции с рациональным
показателем)
Контрольная работа № 3
Тема 7. Показательная и логарифмическая функции
45. Показательная функция, ее свойства и график
46. Показательные уравнения
47. Показательные неравенства
48. Понятие логарифма
49. Функция y  log a x , ее свойства и график
Контрольная работа № 4
50. Свойства логарифмов
51. Логарифмические уравнения
52. Логарифмические неравенства
53. Переход к новому основанию логарифма
54. Дифференцирование показательной и логарифмической функций
Контрольная работа № 5
Тема 8. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
55. Равносильность уравнений
56. Общие методы решения уравнений
57. Решение неравенств с одной переменной
Контрольная работа № 6
58. Системы уравнений
59. Уравнения и неравенства с параметрами
Повторение
Количество
часов
6
9
3
1
2
2
1
20
2
3
3
3
1
3
4
1
29
3
3
2
2
3
1
3
3
3
2
3
1
22
3
4
5
2
4
4
16
Контрольная работа № 1
(Первообразная и интеграл)
Вариант 1
1. Докажите, что F ( x)  x 4  3 sin x является первообразной для f ( x)  4 x 3  3 cos x .
4
2. Для функции y  2  3 sin x найдите какую-нибудь первообразную, значение которой в
x
точке x   - отрицательное число.

4
3. Вычислите интегралы: а)

1
4
dx
; б)  cos 2 xdx .
x
0
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y  1  x 3 , y  0, x  1 .
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y  0,5x 2  2 ,
касательной к этому графику в точке с абсциссой x = -2 и прямой x = 0.
3
1
 sin 3x  . Известно, что график некоторой ее первообразной
6. Дана функция y 
2
cos x


проходит через точку (0; -1). Чему равно значение этой первообразной в точке x  ?
6
Вариант 2
1. Докажите, что F ( x)  x 5  cos x является первообразной для f ( x)  5 x 4  sin x .
1
2. Для функции y  2  2 cos x найдите какую-нибудь первообразную, значение которой
x

в точке x  - положительное число.
2
3
2
1
3. Вычислите интегралы: а)
x
 x dx ; б)  sin 2 dx .
7
0
2
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y  2  x 2 , y  0, x  1, x  0 .
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y  x 3  2 , касательной
к этому графику в точке с абсциссой x = 1 и прямой x = 0; фигура расположена в правой
координатной полуплоскости.
3
2
 cos 2 x  . Известно, что график некоторой ее
6. Дана функция y 
2
sin x

 
первообразной проходит через точку  ; 0  . Чему равно значение этой первообразной в
2 

точке x  ?
4
Вариант 3
1. Докажите, что F ( x)  x 3  2 sin x является первообразной для f ( x)  3x 2  2 cos x .
3
2. Для функции y  2  5 cos x найдите какую-нибудь первообразную, значение которой
x
в точке x   - отрицательное число.

2 , 25
3. Вычислите интегралы: а)

0 , 25
2
dx
; б)  sin 2 xdx .
x
0
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y  2  x 3 , y  0, x  1, x  0 .
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y  1,5x 2  3 ,
касательной к этому графику в точке с абсциссой x = 2 и прямой x = 0.
8
1
6. Дана функция y  12 cos 4 x  
. Известно, что график некоторой ее
 sin 2 x
 
первообразной проходит через точку  ; 0  . Чему равно значение этой первообразной в
4 

точке x  ?
2
Вариант 4
1. Докажите, что F ( x)  x 6  2 cos x является первообразной для f ( x)  6 x 5  2 sin x .
5
2. Для функции y  2  4 sin x найдите какую-нибудь первообразную, значение которой
x

в точке x  - положительное число.
2
3
2
1
3. Вычислите интегралы: а)
x
10
0
dx ; б)
x
 cos 2 dx .

2
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y  1  x 2 , y  0 .
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y  x 3  3 , касательной
к этому графику в точке с абсциссой x = 1 и прямой x = 0; фигура расположена в правой
координатной полуплоскости.
6
3
6. Дана функция y  3 sin 3x  
. Известно, что график некоторой ее
 cos 2 x
первообразной проходит через точку  0; 5 . Чему равно значение этой первообразной в

точке x  ?
6
Контрольная работа № 2
(Корень n-й степени)
Вариант 1
1. Вычислите: а)
1 3
10 4
 2
 256 ; б)
9
27
2. Упростите выражение

4
x  24 y

4
6
37  45  6 35  4 .

x  24 y  28 y 7 : 8 y 3 .
3. Постройте и прочитайте график функции y  4 x  2  3 .
4. Решите уравнение
3
x  10  x .
5. Вычислите значение выражения
6. Решите уравнение
3
5
1
243m5  4 16m4  36m2 при m   .
7
32 x 2  3 16 x  4 .
Вариант 2
1. Вычислите: а)
5
0,64  3  15  4 81 ; б)
8

5
23  7 2  5 212  73 .

2
2. Упростите выражение 26 a  6 b  412 a 7 b8 : 12 a 5b 6 .
3. Постройте и прочитайте график функции y  3 x  1  4 .
4. Решите уравнение
4
x  3  2x .
5. Вычислите значение выражения
4
625c 4  5 32c5  36c 2 при c  
6. Решите уравнение 5 128x 4  5 64 x 2  4 .
1
.
13
Вариант 3
1. Вычислите: а)
1 3
61
  1  4 625 ; б)
16
64

8
59  97  8 57  9 .


2. Упростите выражение 36 a  6 b 36 a  6 b  9 5b8 : 9 5b5 .
3. Постройте и прочитайте график функции y  4 x  4  5 .
4. Решите уравнение
3
x  x  2 .
5. Вычислите значение выражения 5 1024x5  4 81x 4  81x 2 при x  0,1 .
6. Решите уравнение 12  3 16 y  3 32 y 2 .
Вариант 4
1. Вычислите: а)
0,81  3  4
2. Упростите выражение

4
12 4
 16 ; б)
125
4
35  73  4 33  7 .

2
x  34 y  68 x5 y 7 : 8 x3 y 5 .
3. Постройте и прочитайте график функции y  3 x  2  1 .
4. Решите уравнение
4
x  4  3x .
5. Вычислите значение выражения
4
2
81y 4  5 32 y 5  16 y 2 при y   .
9
6. Решите уравнение 4  5 64 y 2  5 128 y 4 .
Контрольная работа № 3
(Степенные функции)
Вариант 1
1
5
 53  103

 2  1 2  2 3  1 .






4
1
3
7
11

  2 6    4 23 
3 3
5
8
4
a
; б) a  a ; в)  x y  :  x y  .

 

1
2
1. Вычислите: а) 2 ; б)   ; в) 32 5  814 ; г)
5
3
2. Упростите выражения: а)
1
 
4
1
1
3. Найдите значение выражения
ab 4  a 3 b
2
3
a b
3
4
при a = 125, b = 81.
3
5
4. Составьте уравнение касательной к графику функции y  x 5  x 4 в точке x = 1.
3

1
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y  x 2 , x  1, x  4, y  0 .
 b 0,5  3 b 0,5  3  b  9
  0,5 .
6. Упростите выражение  1,5
 1,5
 b  3b b  3b  b
Вариант 2
1
2
2
4



 2  3 3  4  2  3 3  3 3  .






3
2, 5
 3 11   7 5 
; б) a 7  14 a 5 ; в)  a 4 b 3  :  a 8 b 6  .
a2

 

1
3
1. Вычислите: а) 4 ; б)   ; в) 16 4  125 3 ; г)
7
3
2. Упростите выражения: а)
1
 
5
3. Найдите значение выражения
5
3
2
3
a a b
1
4
ab  b
1
2
3
4
при a = 27, b = 81.
4. Составьте уравнение касательной к графику функции y  x
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y 

3
a1,5  3a 0,5  9  a
:
6. Упростите выражение 
.

0, 5
a 2  9a 
a 0, 5  3
 a  3a

1
2
в точке x 
1
.
4
1
, x  1, x  2, y  0 .
x6
Вариант 3
1
2
1
2
4
 13
 2

 3  2 3  3 3  3 3  2 3  2 3  .






6
7 11
2
2
3
11

 8 6   4 3
 3  5   12 14

7 7




a
; б)  a b  :  a b  ; в)  x y  :  x y 15  .


 

 

1
1
1. Вычислите: а) 3 ; б)   ; в) 64 3  49 2 ; г)
4
2
2. Упростите выражения: а)
1
 
6
1
3. Найдите значение выражения
2
3
ab 3  a 4 b 3
1
4
a b
1
3
при a = 16, b = 125.
3
4
4. Составьте уравнение касательной к графику функции y  x 4  x 3 в точке x = 1.
3

1
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y  x 3 , x  1, x  8, y  0 .
 a 0,5  4
a 0,5  4  a  16
  0,5 .
6. Упростите выражение  1,5
 1,5
 a  4a a  4a  a
Вариант 4
1
4
4
8



1  2 3 1  2 3  2 3  .






5
1, 25
  7 11    3 
; б) a 4  8 a 3 ; в)  a 8 b 6  :  a 4 b 3  .
a4


 
1
1
1. Вычислите: а) 4 ; б)   ; в) 27 3  25 2 ; г)
5
2
2. Упростите выражения: а)
1
 
5
3. Найдите значение выражения
1
3
a ba
4
3
3
4
5
3
a b b
7
4
при a = 64, b = 16.
4. Составьте уравнение касательной к графику функции y  x
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y 

4
b1,5 
b 0,5  4

6. Упростите выражение 
.


0,5
b 2  16b  4b 0,5  16  b
 b  4b

1
3
в точке x 
1
.
8
1
, x  1, x  2, y  0 .
x4
Контрольная работа № 4
(Показательная и логарифмическая функции.
Показательные уравнения и неравенства)
Вариант 1
1. Постройте графики функций: а) y  0,4 x  1 ; б) y  log 2 ( x  2) .
100  4 x
32 x
 4  260 ; б)

2 .
55 x
25 x
2
2. Решите уравнения: а) 4
x 3
1
3. Решите неравенства: а)  
2
3
4. Вычислите log 7 49 7 .
x
x 2 5
9 x  27
1
 0.
   ; б)
3x  4
 16 
x
2 x  10
9
 x 2 .
4
2
x
6. Решите неравенство 36  2  18 x  8  9 x .
5. Решите уравнение
Вариант 2
1. Постройте графики функций: а) y  2 x3 ; б) y  log 1 x  2 .
2
2. Решите уравнения: а) 5 x 2  5 x  120 ; б)
2 x2
36  27
45 x
x2

310 x
6  8x
2
3x  5
3
 9 
0.
3. Решите неравенства: а)      ; б)
25 x  125
7
 49 
4. Вычислите log 2 164 2 .
5. Решите уравнение 3  52 x1  50  5 x3  0,2 .
6. Решите неравенство 9  4 x  8  12 x  36 x .
4
.
Вариант 3
1. Постройте графики функций: а) y  0,5 x  1 ; б) y  log 3 ( x  3) .
8  73 x
14 4
 3  84 ; б)
.

2
14 x
8 x 1
2
2. Решите уравнения: а) 3
x 3
x
1
3. Решите неравенства: а)  
4
4. Вычислите log 5 125 5 .
x 2 6
10 x
1
 
2
; б)
27 x  81
 0.
2x  3
3x  3
3
 x 2 .
4
3
x
6. Решите неравенство 20  4  10 x  5  5 x .
5. Решите уравнение
Вариант 4
1. Постройте графики функций: а) y  3x4 ; б) y  log 1 x  3 .
3
2. Решите уравнения: а) 2 x5  2 x  62 ; б)
 3
3. Решите неравенства: а)  
5
4
4. Вычислите log 3 81 3 .
3 x 2 1
9
27  33 x1
.

2
5  53 x1
25 x
x2
4x  7
 9
 0.
   ; б) x
16  32
 25 
13
5. Решите уравнение 8  22 x1  28  2 x3  0,5 .
6. Решите неравенство 9  6 x  8  18 x  54 x .
Контрольная работа № 5
(Свойства логарифмов.
Логарифмические уравнения и неравенства.
Дифференцирование показательной и логарифмической функций)
Вариант 1
1. Вычислите log 3 45  log 3 5  9 log3 5 .
2. Решите уравнения: а) log 32 x  2 log 3 x  3 ; б) lg( x  1,5)   lg x .
3. Решите неравенство log 1 (2 x  5)  1 .
4
4. Найдите точки экстремума функции y  xex .
log 2 ( x  y )  2,
5. Решите систему уравнений  x x2 y
2  5
 40.
6. Составьте уравнение той касательной к графику функции y  ln 2 x , которая проходит
через начало координат.
Вариант 2
1. Вычислите log 2 56  log 2 7  16log2 3 .
2. Решите уравнения: а) log 7 (3x  5)  log 7 (9  2 x)  1 ; б) 4  lg 2 x  3 lg x .
3. Решите неравенство log 1 (2  3x)  2 .
3
4. Найдите точки экстремума функции y  (2 x  1)e x .
log 2 ( x  y)  2 log 4 ( x  y)  3,
5. Решите систему уравнений  2log ( 2 x y )
3
 45.
3
6. Составьте уравнение той касательной к графику функции y  ln 3x , которая проходит
через начало координат.
Вариант 3
1. Вычислите log 5 75  log 5 3  25log5 2 .
2. Решите уравнения: а) log 32 x  10 log 3 x  21  0 ; б) lg( x 2  2)   lg
1
.
x
3. Решите неравенство log 1 (2 x  1)  2 .
2
4. Найдите точки экстремума функции y  x 2e x .
log 2 ( x  y )  2,
5. Решите систему уравнений  x y
3  7  21.
6. Составьте уравнение той касательной к графику функции y  ln
x
, которая проходит
2
через начало координат.
Вариант 4
1. Вычислите lg 300  lg 3  100lg6 .
2. Решите уравнения: а) log 4 ( x  1)  log 4 ( x  1) 2  3 ; б) lg 2 x  5  4 lg
1
.
x
3. Решите неравенство log 2 (2  5 x)  2 .
3
4. Найдите точки экстремума функции y  x  e  x .
log 2 ( x  y)  2 log 4 ( x  y)  5,
5. Решите систему уравнений  12 log ( x y )
3
 48.
3
6. Составьте уравнение той касательной к графику функции y  ln ex , которая проходит
через начало координат.
Контрольная работа № 6 (2ч)
(Уравнения и неравенства с одной переменной)
Вариант 1
x
x
 5 cos  4 .
2
2
2. Решите неравенство log 2 (3x  1)  log 2 (5x  1)  log 2 ( x  1)  2 .
1. Решите уравнение: а)
2 x  3  4  x  3x  7 ; б) 2 sin 2
3. Решите неравенство 2 x 2  | x 2  x | 2 .
x 

4. Решите неравенство ( x 2  8 x  15) log 1 1  cos 2   1 .
4
2
Вариант 2
1. Решите уравнение: а) 2 x  9  1  2 x  4  3x ; б) 5 sin 2 x  1  2 cos 2 2 x .
2. Решите неравенство log 1 (3x  4)  log 1 (3x  4)  log 1 ( x  2)  2 .
2
2
2
3. Решите неравенство 3x  | x  2 x | 12 .
2
2
x 

 1  1 .
4. Решите неравенство (10 x  x 2  24) log 5  4 sin 2
2


Вариант 3
1. Решите уравнение: а) 2 x  1  2 x  x  3 ; б) 2 sin 2 3x  5 cos 3x  1  0 .
2. Решите неравенство log 1 (2 x  1)  log 1 (25  2 x)  3  log 1 ( x  2) .
3
3
3. Решите неравенство 3x  | x  2 x |  12 .
2
2
x 

4. Решите неравенство (12 x  x 2  35) lg  9  cos 2   1 .
3

3
Вариант 4
x
x

8x  1  3  x  3x  2 ; б) 4 cos 2  sin   1 .
3
3

2. Решите неравенство log 3 (5  2 x)  log 3 (25  x)  log 3 ( x  5)  2 .
1. Решите уравнение: а)
3. Решите неравенство 18  2 x 2  | x 2  3x | .
x 

4. Решите неравенство ( x 2  6 x  8) log 1  3  sin 2   1 .
6
4
Устные упражнения по алгебре и началам анализа в 11-ом классе.
Сентябрь
1. Решите квадратное уравнение х2 - 9х + 18 = 0.
2. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби
3. Как называется график функции у =
4. Решите неравенство 5 - 2х  0.
{3; 6}
5
.
9
6
?
x 1
0,555 ...
Гипербола
х  2,5
3
и  — острый угол.
1/2
2
6. Вычислите производную функции у = 3х2 – 4x + 1.
6x – 4
7. Найдите критическую точку функции у = (4x + 1)(4x - 1).
х=0
2
8. Какое наименьшее значение принимает функция у = х - 2х + 1?
0
9. Напишите четыре члена последовательности х n = (- 2) n
- 2; 4; - 8; 16
10. При каких значениях х функция у = x2 - 5х - 6 обращается в нуль?
-1 и 6
11. Укажите координаты точки пересечения графика функции у = 0,5x + 5
с осьо ординат.
(0; 5)
12. Какой знак имеет функция у = cos2?
Отрицательный
13. Решите неравенство | х |  1.
х  -1их  1
7

14. Переведите в радианную меру 210°.
6
3
15. Что больше: 3аrcсоs
или 2arctg 1?
Равны
2
16. Найдите область определения функции у = 5х2 - х + 3.
хR
2
17. Упростите выражение (х - 2 )(х + 2 )(x + 2).
x2 – 4
5. Вычислите cos  , если sin  =
1
2
1
2
18. Вычислите 28 : 7 .
19. Извлеките корень 0,0036 .
20. При каких аначениях х функция у = 1,5x2 – 3x + 1 возрастает?
21. Составьте квадратное уравнение, если его корни 3 и - 2.
22. Вычислите 24 • 22 : 23.
23. Вычислите 52(122 - 7)°.
24. Вычислите сумму натуральных чисел от 1 до 20.
5
25. Комбайн убрал в первый день
поля, а на другой день — 21 га.
12
Какова площадь поля?
12
26. Решите неравенство
> 3.
x2
27. Вычислите производную функции у = 2sin х • соs х.
28. Вычислите sin70o sinl0° + cos70° cosl0°.
29. Какие значения принимает функция у = х 2 - 2х?
5
30. Вычислите наибольшее значение дроби
.
1  5x 2
31. Запишите формулой число, которое при делении на 7 дает частное
а и остаток 5.
32. Вычислите sin 690°.
2
0,06
x1
х2 - х - 6 = 0
8
25
210
36 га
2<x<6
2cos2x
1/2
-1  у< 
5
7а + 5
- 1/2
0
tgx  ctgx .
1
x  k , k  Z
34. Найдите область определения функции у =
.
sin x
35. Сколько корней имеет уравнение cosx = 1?
Бесчисленное мнжество
3
36. Извлеките корень  27 .
-3
37. Вычислите угол, который образует прямая y = x – 5 с осю ординат.
450
38. Решите уравнение ( x - 1)( x + 1) = 2.
3
1
2
4
 x 
39. Решите неравенство cosx   в промежутке (0; 2  )
2
3
3
40. Из двух пунктов одновременно в одном направлении вышли два
пешехода. Первый пешеход идет со скоростью 6 км/ч, а второй
4 км/ч. Через сколько часов первый пешеход догонит второго, если
расстояние между пунктами 12 км?
6ч
33. Вычислите производную функции у =
Октябрь
1. Найдите критическую точку функции у = 3x2 – 6x + 1.
2. Решите уравнение 2 - 2 sin x = 0.
3. Решите квадратное уравнение x2 - х - 20 = 0.
4. Вычислите sin  , если tg   3 и  - острый угол.
5. Выразите в радианах 120°.
1

 2k , k  Z
2
{- 4; 5}
3 /2
2

3
3
2
- arccos
+ arctg1.
 /3
2
2
7. Укажите точки пересечения графика функции у = х2 + x - 12 с осью
абсцисс?
(-4; 0)(3; 0)

3
 2k  x 
 2k , k  Z
8. Решите неравенство соs2 x  0.
2
2
9. Делится ли число 20532 на 3?
Делится
1 2 3
n 1
10. Напишите четыре члена последовательности x n =
0; ; ;
.
2 3 4
n
11. Найдите наименьшее общее кратное 9, 16 и 24.
72
5
12. Переведите в градусное измерение  .
225°
4
13. При каких значениях х значение функции у = х2 + 6x + 9 будет
наименьшим?
-3

5
1
x
14. Решите неравенство sinx  в промежутке (0; 2  ).
6
6
2
6. Вычислите arcsin
15. Упростите
2  5 
2
52
.
x2  4
.
x2  x  6
x  -3; 2
1
, если a > b.
ab
ab
16. Вычислите область определения функции y =
17. Введите множитель под знак корня (а - b)
18. Вычислите значение выражения у =
0,25a 6 b 2 , если a = 2, b = 3.
12
2
19. Сократите дробь
2
x3  y3
1
3
1
3
1
1
x3  y3
.
x y
20. Какие значения принимает функция у = 4х – x2?
21. Определите, четная или нечетная функция у = x2 – 3x - 4.
3x  6
22. При каких значениях х значение функции у =
будет
2
отрицательным?
23. Решите неравенство 1 - 3х  7.
-  y4
Ни четная, ни нечетная
x<2
x - 2
1
1
3
24. Вычислите    1  .
0
3
2
25. Вычислите сумму S = 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25.
90
6
3
26. Определите знак выражения у = 24  5 .
Минус
27. При каких значениях х значение функции у = х2 - 6х + 5 будет
минимальной?
x=3
28. От деления числа а на b получилось наименьшее двухзначное
число и остаток 1. Найдите число а через b.
10b + 1
29. При каких значениях х функции у = х2 - х - 2 убывает?
x  0,5
4 ab
a b
a b
30. Упростите

.
ab
a b
a b
31. При каких значениях х функция у = 2x2 - 4х + 1 возрастает?
x1
32. Тело движется по закону s = t2 - t + 1 (м). Какова будет его скорость
через две секунды?
3 м/с

33. Решите уравнение ctgx - 1 = 0.
34. Вычислите критическую точку функции у = x2 - 6х + 9.
35. Какое наименьшее значение принимает функция y = 1 + 2х + х2?
36. Известно, что tg  = 1. Вычислите соs  , если  - острый угол.
4
3
0
 k , k  Z
2
2
37. Решите систему уравнений
x  y  0
(2; 2), (- 2; -2)

 xy  4
38. Произведение двух чисел равно 72, причем первое число в два раза
больше второго. Вычислите эти числа.
12 и 6
39. Вычислите среднее геометрическое двух чисел 2 и 32.
8
40. Если задуманное число увеличить втрое, а к произведению прибавить
12, то получится 60. Найдите задуманное число.
16
Ноябрь
1
3
2. Решите неравенство 7 - 2х  0.
х  3,5
3. Запишите формулу общего члена последовательности 6; 12; 24; ... . 3 •2 n
4. Вычислите производную функции y = 2sin2x.
4cos 2x
5. Найдите первообразную функции у = 4х3.
x4 + c.
1. Решите квадратное уравнение 9х2 + 6х + 1 = 0.
x 1, 2 = -
2
 в градусах.
5
7. В каких точках график функции у = х2 + 1 пересекает ось абсцисс?
a3  b3
8. Сократите дробь
.
a 2  ab  b 2
2
9. Сумма двух чисел равна 60, причем первое число составляет
3
второго. Вычислите эти числа.
10. Координаты точки М(4; -2). Укажите координаты точки K на
плоскости, которая симметрична точке M относительно начала
координат.
11. В классе присутствуют 22 ученика из 25. Вычислите процент
отсутствующих.
3
12. Представьте дробь
в виде десятичной дроби.
20
1
13. Вычислите cos(arccos ).
2
14. Чему равно k в уравнении х2 - kx + 12 = 0, если x1 = 3?
15. Четная или нечетная функция у = sinx cosx?
5x 2  3
16. При каких значениях х функция у = 2
не имеет смысла?
x  2x
17. Какое наименьшее значение принимает функция у = (х - 3)(х + 3)?
18. Найдите первообразную функции у = 3х2.
19. Составьте квадратное уравнение, если х1 = -3; x2 = 4.
1
20. Напишите число, обратное 3 .
3
21. Разделите число 140 на две части так, чтобы первая часть
составляла 75% от второй части.
22. Вычислите а10 прогрессии 4; 9; 13; ...; а10.
23. При каких значениях х функция у = х2 + 10x + 25 принимает
наименьшее значение?
24. Разделите число 60 пропорционально числам 3 : 4 : 5.
6. Выразите

).
2
26. Вычислите производную функции у = 2sin2 х + 2cos2 x.
27. Найдите первообразную функции у = sin х.
18
 6.
28. Решите неравенство
x3
29. Решите уравнение х 4 – 5x2 + 4 = 0.
a 2  2a  1
.
30. Сократите дробь
1 a
31. Разложите a3 - а на множители.
32. Цену на товар увеличили на 20% и она стала 1800 рублей. Какова
была цена товара?
25. Решите неравенство tg х < l в промежутке (0;
33. Извлеките корень  8x .
34. Что больше: sin  или cos 2  ?
35. Вычислите производную функции у = 2х2 - 3х + 1.
36. При каких значениях х функция у = х2 - 4х - 5 убывает?
3
3
72°
Не пересекает
a-b
24 и 36
K(-4; 2)
12%
0.15
1
2
7
Нечетная
0и2
-9
х3 + С
х2 - х - 12 = 0
0,3
60 и 80
49
-5
15, 20 и 25

0<x 
4
0
- cos x + С
3 < x 6
{± 1; ± 2}
1-а
а(а - 1)(а + 1)
1500 р.
– 2x
cos 2 
4х - 3
х2

2
2
.
37. Вычислите sin  arcsin
 arccos

2
2




3  
 .
38. Вычислите sin  arccos 


2



39. Вычислите среднее арифметическое чисел 12 и 48.
40. Сумма двух чисел равна 35, а частное от деления большего числа
на меньшее равно 4. Найдите эти числа.
1
1
2
30
7 и 28
Декабрь
1. Вычислите производную функции у = tg 2x.
2. Найдите критическую точку функции у = 2х - х2.
x2 1
3. При каких значениях х функция y =
не имеет смысла?
x 1
4. Решите квадратное уравнение 3х2 - 12 = 0.
1
5. Вычислите tg  , если cos  = и  - острый угол.
2
6. Найдите первообразную функции у = cos x.
7. Решите уравнение (x - 3)(х + 3)(х - 1) = 0.
8. Тракторист вспахал 18 га, что составило 60% планового задания.
Вычислите плановое задание.
2
cos 2 2 x
1
-1
{- 2; 2}
3
sin x + С
{1; ±3}
30 га
9. Найдите область определения функции у = 20 x 2  8x  15 .
x  -5 и x  -3
2
10. Найдите множество знфчений функции y = 10 – 2x .
-  < y  10
11. Напишите 5 членов последовательности х n = 50 – 3n.
47; 44; 41; 38; 35


12. Определите знак выражения cos
- sin .
Отрицательный
3
4
13. Вычислите arcsin 1 - arccos 0.
0
14. Укажите координаты точки пересечения графика функции у = х2 - 5х
с осью ординат.
(0; 0)
15. Вычислите х в пропорции х : 9 = 4 : 12.
3
5x
16. Найдите область определения функции y = 2
.
x  3; x  5
x  8 x  15
17. Вычислите производную функции у = (х + 1)(х - 1).
2x
3a 2
18. Упростите 5
.
25b 4
a 3
b2
2
, чтобы получить 1?
5
20. Определите четность или нечетность функции у = 4х + sin x.
21. Вычислите ctg 135°.
2,5
19. Какое число надо умножить на
22. Вычислите
3  x2
3–x
tg30  tg15
.
1  tg30 0 tg15 0
0
23. Вычислите
при х  3.
Нечетная
-1
0
24. Вычислите tg 30° • ctg 300 - cos2 30°.
25. В каких точках график функции у = х2 - 2x - 3 пересекает ось абсцисс?
1
1
4
(- 1; 0)(3; 0)
26. Вычислите среднее геометрическое чисел 3 и 12.
6
2
27. При каких значениях х функция y = 1 + 2x + x принимает наименьшее
значение?
-1
2
28. Чему равно k в уравнении х + kx + 20 = 0, если х 1 = - 2?
12
29. Решите неравенство |x - 1|<2.
-1 < x < 3
30. Какое наибольшее значение принимает функция у = (2 - х){2 + x)?
4
31. Пшеницы собрали 120 ц, а ржи 200 ц. Сколько процентов составил
урожай пшеницы от урожая ржи?
60%
32. В клубе занималось 104 спортсмена. Когда приняли 16 человек, то
мужчин оказалось в три раза больше, чем женщин. Сколько женщин в
клубе?
30
33. Решите уравнение 2 x = 64.
6
x
1
1
34. Решите неравенство   
.
25
5
35. Решите неравенство 3x  9  3 .
36. Функция у = 3 2 - x возрастающая или убывающая?
2 x  y  9,
37. Решите систему уравнений 
4 x  y  15.
38. Чему равно с в уравнении x2 – 8x + c = 0, если x 1 = 1?
a a b b
39. Освободите знаменатель дроби
от иррациональности.
a  ab  b
40. Решите систему уравнений
2 x  y  0,

3x  2 y  7.
x2
3 x  6
Убывающая
(4; 1)
7
a b
x = 1; y = 2
Январь
1. Вычислите 3 27 - 2 12 .
2. Решите уравнение 2х = 5 x  3 5 x  3 .
3. Решите неравенство -1  2x  10 .
4. Решите квадратное уравнение 2x2 - 6х = 0.
5. Вычислите производную функции у = 5х – 10x2.
6. Какое наименьшее значение принимает функция у = 4 – 4x + х2?
7. При каких значениях х касательная к графику функции у = х 2 - 2х + 1
параллельна оси абсцисс?
x2  2
8. Может ли дробь 2
быть отрицательной?
x 1
1
 
9. Для каких углов, взятых в промежутке 0;  , cos x < ?
2
 2
1
10. Решите уравнение 2 x =
.
32
11. Решите неравенство 3 x  1.
12. Вычислите сумму S = 4+2+l+... .
1
13. Найдите первообразную функции у = .
x
14. Вычислите знаменатель геометрической прогресии, если а 2 = 6, a 4 = 54.



5 3
1
- 5  х  0,5
{0; 3}
5 - 20х
0
1
Нет


<x 
3
2
-5
х0
8
ln |х| + С
±3
15. Укажите координаты точки пересечения графика функции у = х2 + 5х - 6
с осью ординат.
(0; - 6)
16. Найдите область определения функции у = 10 x 2  7 x  10 .
17. Решите уравнение y (x - 1)(x + 2) = 1.
18. Решите уравнение ( x - 2)( x + 2) = 1.
19. Упростите 54 + 2 24 .
20. Вычислите производную функции y = (x - l)(x2 + x + 1).
21. Найдите критическую точку функции у = - 3х - 3х2.
22. Решите уравнение 5x + 1 = 0.
10
23. Вычислите наибольшее значение функции y =
.
2  3x 2
24. Вычислите arccos 0 + arccos 1 - 2arctg 1.
25. Какие значения принимает функция у = х 2 - 2х – 3?
x  2иx  5
{- 2; 1}
5
7 6
3x2
–1/2
Нет решения
5
26. Решите уравнение 1 - 4х + 4x2 = 0.
27. Делится ли число 653126 на 4?
28. Решите уравнение 1 - 3х + 3х2 - x3 = 0.
29. Что больше: cos 200° или cos 20°?
30. Машину уценили на Р% и продали за S рублей. Сколько стоила машина
0
-4  у< 
1
x 1, 2 =
2
Нет
1
x= ,х=1
3
cos 20°
S
первоначально?
31. При каких значениях х функция у = 1 - 2х +х2 убывает?
32. Какое наибольшее число можно записать с помощью трех двоек?
33. Найдите наименьшее общее кратное чисел 12, 24 и 40.
34. Решите неравенство 2 x  6  6.
35. Решите неравенство | x + 2|  3.
36. Вычислите tg 225°.
37. Функция у = 0,5 x возрастающая или убывающая?
38. Трое учеников заработали 15 000 рублей. Первый заработал 40% всей
2
суммы, второй
первого, а остальное - третий. Сколько заработал
3
третий ученик?
x y
39. Освободите знаменатель дроби
от иррацилнальности.
x y
40. Решите систему уравнений
 x  y  12,

2 x  2 y  25.
руб.
P
1
100
х1
222
120
–3  x  15
x  -5их  1
1
Убывающая
5000 руб.
x y
Решения нет
Февраль
1. Вычислите log 3 27.
2. Установите знак выражения у = lg 25 - 2.
3. Найдите область определения функции у = lg (х2 – 5x).
4. Решите неравенство 1 - 4х  0.
5. Решите квадратное уравнение х2 + х - 30 = 0.
3
Отрицательный
х<0их>5
х  0,25
{- 6; 5}
6. Слава живет на 15-м этаже, а Надя - на 3-м. Во сколько раз Слава
пройдет больше ступенек, чем Надя, если они будут подниматься
по лестнице?
7. Вычислите cos  , если tg  = 3 и  - острый угол.
8. Вычислите производную функции у = 4cos х • sin х .
9. Найдите критическую точку функции у = х3 - 1.
10. Какое наибольшее значение принимает функция у = (2 - х)(2 + х).
11. Вычислите сумму натуральных чисел от 1 до 40.
12. Решите уравнение
x 2  5 = 2.
В 7 раз
1/2
4cos 2x
0
4
820
±3
13. Вычислите наибольшее значение функции y =
1
.
0,5 x  0,5 x 2
3
 
14. Для каких углов, взятых в промежутке 0;  , cos x 
?
2
 2
15. Решите уравнение х x = х.
16  x 2
16. Найти область определения функции y =
.
4x
17. Вычислите значение у = log 2 64.
18. Упростите 12  48 .
19. Что больше: 4 24 или 5 ?
sin x
20. Определите четность или нечетность функции y = 2 .
x
21. Представьте дробь 0,111... в виде обыкновенной дроби.
22. Решите уравнение 4 x = 8.
23. Решите неравенство 3 x + 1 > 27.
24. Вычислите производную функции
у = sin х • cos 2x + cos х • sin 2x.
25. Сколько раз встретится цифра 5 среди чисел от 1 до 1007
26. Решите уравнение x 4 – 10x 2 + 9 = 0.
1
1

27. Вычисдите cos  arcsin  arccos  .
2
2

10
5.
28. Решите неравенство
x2
29. Вычислите a 11 прогрессии 1; 5; 9; 13; …; a 11.
30. При каких значениях x функция y = 9x 2 – 12x + 4 принимет
минимальное значение?
1
3
31. Найдите значение выражения 2a + 2, если а = 64.
2
0x

6
±1
x  4
6
6 3
5
Нечетная
1/9
х = 1,5
x>2
3cos 3x
20
{  1;  3}
0
x<2иx  4
41
2/3
10
0,5
3
32. Что меньше: 1 или   ?
2
33. Найдите характеристику логарифма lg 50.
34. Решите уравнение log 2 х = 3.
35. К четверти числа прибавили 7 и получили 10. Найдите число.
36. Решите неравенство log 2 х  5.
37. Решите неравенство 3x  3  6.
38. Отцу и сыну 60 лет. Сын в три раза моложе отца. На сколько лет сын
моложе отца?
39. Решите уравнение 9 х = 27.
1
1
8
12
х  32
х  11
На 30 лет
1,5
40. Решите неравенство 3 2 x 1  1 .
x
1
2
Март
1. Вычислите производную функции у = (2х - 1)(2х + 1).
2. Найдите характеристику логарифма lg 0,5.
3. Решите уравнение log 2 x = log 2 12 – log 2 3.
4. Решите неравенство log 3 x  2.
5. Решите квадратное уравнение x2 - 10х + 21 = 0.
8х
-1
4
x9
{3; 7}
x
1
1
6. Решите неравенства    .
8
2
7. Найдите характеристику логарифма lg 0,2.
8. Вычислите 2 log2 8 .
9. Решите уравнение log x 25 = 2.
10. Решите уравнение 2 x  1 = 3.
x>3
-1
8
5
5
1  x  13
-1  x  3
{- 1; 3}
11. Решите неравенство 3x  3  6 .
12. Решите уравнение | x – 1|  2.
2
13. Решите уравнение 5 x 2 x 3  1 .
1
14. Вычислите сумму S = 3 + 1 + + ... .
4,5
3
15. Вычислите производную функции у = cos x cos 2х - sin x sin 2х.
- 3sin 3x
16. Какое наибольшее значение принимает функция у = (3 – 2x)(3 + 2x)?
9
17. Вычислите выражение (2 3 - 2 )(2 3 + 2 ).
10
18. Вычислите разность арифметической прогрессии, если a 3 = 17, а 7 = 41.
6


 
x
19. Для каких углов, взятых в промежутке  0;  , tg x  1?
4
2
 2
1
2

20. Найдите область определения функции y =
.
x  2; x  -3
x2 x3
2
21. Решите уравнение 3 x x  1 .
{0; 1}
2
22. Составьте квадратное уравнение, если х 1 = 2 , x 2 = 6 . x – ( 6  2 )x + 2 3 = 0
23. Какова скорость самолета, если за 45 минут он пролетел 540 км?
720 км/ч

 2k , k  Z
24. Решите неравенство sin х  1.
2
25. Какие значения принимает функция у = 1 - 2х + х2?
0  y< 
26. Решите уравнение log 3 х = 2 log 3 9-3log 3 3.
3
1
1
27. Найдите критические точки функции y = x 3 - x 2.
0и1
3
2
28. Решите уравнение 4x = 32.
2,5
29. Решите неравенство х 2 - 3х - 4  0.
-1  х  4
3
30. Велосипедист в первый день проехал всего пути, а во второй день ему
8
осталось проехать на 40 км больше, чем в первый день. Вычислите длину
пути.
160 км
31. Решите неравенство 5x - 1 > 0,2.
х>0
32. При каких значениях а функция у = аx является убывающей?
0<а<1
33. При каких значениях х функция у = x 2 – 4x - 5 возрастает?
При х  2
34. Расстояние между пунктами 70 км. Лодка по течению плыла 5 часов, а
обратно 7 часов. Какова скорость течения реки?
2 км/ч
35. Вычислите tg 675°.
36. Определите, возрастающая или убывающая функция у = 2 2 - x?
37. Определите, возрастающая или убывающая функция y = log 0,5 x?
38. Можно ли среди значений функции y = 2 x указать наибольшее или
наименьшее значение.
39. Решите неравенство (0,5) x  1.
40. Представьте периодическую дробь 0,(3) в виде обыкновенной дроби.
-1
Убывающая
Убывающая
Нет
x0
1/3
Апрель
1. Вычислите
412  40 2 .
9
2tgx
.
1  tg 2 x
2
cos 2 2 x
3. Вычислите lg 0,001.
-3
1
4. Замените log 8 х на логарифм по основанию 2.
log 2 x
3
5. Решите квадратное уравнение 4х2 - 12х +9 = 0.
x 1, 2 = 1,5
sin x
sin x
6. Вычислите производную у = 2
2
cos x ln 2
log 2 y
7. Вычислите 2
.
4
2
8. Определите, четная или нечетная функция у = 1 – x .
Четная
x
9. Решите уравнение 2 = 2 2 .
1,5
10. Запишите функцию, которая будет симметрична относительно оси абсцисс
для у = log 1/2 х.
у = log 2 х
11. Замените основание логарифма log 2 х на основание 10.
lg x / lg 2
2. Вычислите производную функции у =
x
1
12. Решите неравенство    1.
х0
2
13. Замените In x на десятичный логарифм.
lg x / lg e
14. Какой цифрой оканчивается произведение 21  23  25  27  29 ?
5
15. Как изменится частное, если делитель уменьшить на 1/3 его? Увеличится в 1,5 раза
2k  x    2k , k  Z
16. Найдите область определения функции y = sin x .
х
17. Вычислите производную функции у = 5 .
5 x 1n 5
1
18. Вычислите производную функции у = lg 5х.
x lg 10
19. Решите уравнение 10 x = 1000 .
х = 1,5
20. Напишите 4 члена последовательности х n = 12 – 3n.
9; 6: 3; 0
21. Представьте 0,125 в виде обыкновенной дроби.
1/8
22. Установите знак выражения lg 5 - 1.
Отрицательный
23. Запишите функцию, которая симметрична относительно оси ординат
для у = 2х.
24. Представьте периодическую дробь 0,(5) в виде обыкновенной дроби.
25. Сократите дробь
a  2 ab  b
.
a b
26. Решите уравнение х 4 - 13x 2 + 36 = 0.
1
y=  
2
5
9
x
a b
{  2; ±3}
gt 2
.
2
28. Найдите область определения функции у = lg (lg х).
29. Решите уравнение lg х = lg 50 + lg 4 - 2.
2s
t2
х>1
2
1
{2; }
2
n
x 1
x 1
2
1
log 2 x
2
3  2 3x ln 2
2
x ln 5
27. Выразите g из уравнения s =
g=
30. Решите уравнение х log 2 x = 2.
31. Вычислите сумму S = 1 + x + x 2 + … + x n – 2 + x n – 1.
32. Решите уравнение log 2 х = 1.
33. Замените log 4 х на логарифм по основанию 2.
34. Вычислите производную функции y = 2 3x.
35. Вычислите производную функции y = log 5 x2.
36. Вычислите производную функции y =
1
.
x2
–2x –3
37. Решите неравенство log 0, 5 x < log 0,5 1.
x>1
38. Определить, возрастающая или убывающая функция y = log 0,5 (2 - x). Возрастающая
39. Решите уравнение log x 27 = 3.
3
40. Решите уравнение lg x = lg 100 – lg 5.
20
Май
1. Решите уравнение log 2 x = 5.
2. Найдите область определения функции у = lg |х|.
1
3. Вычислите log 2   .
 16 
4. При каких значениях x функция у = х2 - 3х - 4 убывает?
5. Замените lg х на натуральный логарифм.
6. Решите квадратное уравнение x 2 + 2x - 35 = 0.
32
х 0
–4
7. Вычислите производную функции y = 10 ln x.
8. Под каким углом прямая у =
3 х - 3 пересекает ось абсцисс?
2
9. Найдите первообразную функции у = 3 .
x
10. Запишите функцию, которая симметрична относительно оси ординат
для у = 5 .
11. Решите уравнение log x 36 = 2.
13. Решите неравенство
14. Решите уравнение
- х -2 + С
1
y=  
5
х=6
х
12. Определите, четная или нечетная функция y =
При х  1,5
ln x / ln 10
{-7; 5}
10
x
60°
x2
.
cos x
15
< 3.
x 1
2 x  1 = 5.
15. Найдите область определения функции y = tg 2x.
x
Четная
х<1их>6
13
 
x   k, k  Z
4 2
16. Решите уравнение log x 2 2 = 1,5.
17. Вычислите 3 2  3 3 2  3 .
2
15
18. Вычислите производную функции y = lg 10x.
1
x ln 10
6
8
lg x / lg 5



19. Вычислите 31 + log 3 2.
20. Вычислите значение выражения 1000 lg 2.
21. Замените log 5 х на десятичный логарифм.
1 1
22. Вычислите сумму S = 1 +  +....
2
2 4
23. Какие знаки у корней уравнения 4х2 + 7х + 3 = 0?
Оба отрицательные
2x
24. Решите неравенство (0,5) > 1.
х<0
25. Решите уравнение lg х = lg 20 + lg 2 - 1.
4
3x
26. Вычислите производную функции у = 3 .
33x + 1 ln 3
27. Вычислите производную функции у = х -5.
- 5х -6
2
28. Найдите область определения функции у = lg (х - 4).
х<-2их>2
29. Запишите функцию, которая симметрична относительно оси абсцисс
для функции у = log 3 х.
y = log 1 x
3
30. Найдите область определения функции y = 5  4 x  x .
31. Вычислите производную функции у = 3cos x .
32. Найдите область определения функции у = log 2 (- 2х).
33. Сравните, что больше: log 0,5 5 или log 0,56.
34. Решите неравенство log 2 х  log 2  .
35. Вычислите производную функции у = е2x.
–1  x  5
- 3cos xsin x ln 3
х<0
log 0,5 5
х 
2е2x
2
36. Вычислите производную функции у = log 2 х2.
x ln 2
2k  x    2k , k  Z
37. Найдите область определения функции у = lg sin х.
x
38. Запишите функцию, обратную данной у = 2 .
у = log 2 х
39. В уравнении х2 + 8х + с = 0 значение одного корня в три раза больше
другого. Вычислите значение с.
12
x
40. Решите неравенство 4  1.
x0
2
БИЛЕТЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА (устно).
Билеты по общеобразовательному курсу и курсу «В» состоят из трех вопросов,
которые отражают все направления изучаемого курса. Первый вопрос ориентирован на
проверку овладения понятийным аппаратом предмета и выявление уровня знания тех
важных теоретических факторов, которые представлены в курсе без доказательств.
В ответе на второй вопрос билета учащимся необходимо показать знание основных
теоретических положений изученного курса и провести их обоснование или
доказательство. Третий вопрос представляет собой задание на проверку овладения
учащимися теми умениями, которые предусмотрены программным разделом «Требования
к математической подготовке учащихся».
Поскольку предложенные в этом разделе билеты используются для итоговой
аттестации учащихся, изучающих алгебру и начала анализа в объеме
общеобразовательного курса и курса «В», то в третьем задании представлены задачи двух
указанных курсов. В списке третьих заданий более сложные задачи или те задачи,
решение которых не предусмотрено в общеобразовательном курсе, отмечены звездочкой.
Билеты, в которых второй из теоретических вопросов отмечен звездочкой, предназначены
только для аттестации учащихся, изучающих курс «В».
Курс «В» и общеобразовательный курс
Билет № 1
1. Понятие периодической функции. Пример, иллюстрация на графике.
2. Свойства степеней с рациональным показателем. Доказательство одной из
теорем (по выбору учашегося).
3. Задание а) типа № 33 из раздела 2; б) типа № 36* из раздела 2.
Билет № 2
1. Понятие о точках максимума (минимума) функции. Пример, графическая
иллюстрация.
2. Вывод обшей формулы корней уравнения sin х = а.
3. Задание а) типа .№ 7 из раздела 1; б) типа № 23* из раздела 1.
Билет № 3
1. Понятие арксинуса числа. Пример.
2. Основное свойство первообразной, его геометрическая иллюстрация.
3. Задание а) типа № 13 из раздела 3; б) типа № 19* из раздела 3.
Билет № 4
1 Понятие арккосинуса числа. Пример.
2. Показательная функция, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств
(по выбору учащегося).
3. Задание а) типа № 18 из раздела 3; б) типа № 20* из раздела 3.
Билет № 5
1. Понятие арктангенса числа. Пример.
2. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Доказательство одного из
свойств (по выбору учащегося).
3. Задание а) типа № 17 из раздела 3; б) типа № 27* из раздела 3.
Билет № 6
1. Понятие производной, ее механический смысл.
2. Вывод общей формулы корней уравнения cos x = а.
3. Задание а) типа № 19 из раздела 1; б) типа № 18* из раздела 1.
Билет № 7
1. Понятие производной, ее геометрический смысл.
2. Вывод общей формулы корней уравнения tg x = а.
3.Задание а) типа № 6 из раздела 1; б) типа № 22* из раздела 1.
Билет № 8
1. Понятие о непрерывности функции. Пример, графическая иллюстрация.
2. Свойства корней л-й степени. Доказательство оДной из теорем (по выбору
учащегося).
'
3. Задание а) типа № 1 из раздела 2; б) типа № 11*''из раздела 2.
Билет №9
1. Теоремы о непрерывности рациональных и дрЬбно-рациональных функций на
области их определения.
2. Свойства логарифмов. Доказательство одной из теорем (по выбору учащегося).
3. Задание а) типа № 26 из раздела 3; б) типа № 27* из раздела 3.
Билет № 10
1. Понятие о первообразной функции.
2. Функция тангенс, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств (по
выбору учащегося).
3. Задание а) типа № 9 из раздела 2; б) типа № 14* из раздела 2.
Билет № 11
1. Вычисление площади криволинейной трапеции.
2. Функция синус, ее свойства и график. Доказательство одного ИЗ свойств (по
выбору учащегося).
3. Задание а) типа № 26 из раздела 2; б) типа № 28* из раздела 2.
Билет № 12
1. Правило вычисления первообразных.
2. Функция косинус, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств (по
выбору учащегося).
3. Задание а) типа № 4 из раздела 2; б) типа № 5* из раздела 2.
Билет № 13
1. Правило нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции.
Пример.
2*. Формулы суммы и разности синусов (косинусов). Доказательство одной из
формул (по указанию учителя).
3. Задание а) типа № 25 из раздела 2; б) типа № 29* из раздела 2.
Билет № 14
1. Понятие экстремума функции. Пример.
2*. Формулы сложения тригонометрических функций и следствия из них.
Доказательство одной из формул и следствия из нее (по указанию учителя).
3. Задание а) типа № 24 из раздела 3; б) типа № 22(6) из раздела 2.
Билет № 15
1. Признак постоянства функции на промежутке. Пример, графическая
иллюстрация.
2. Теорема о вычислении площади криволинейной трапеции.
3. Задание а) типа № 9 из раздела 1;б)типа№ 23* из раздела 1.
Билет № 16
1. Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл,
2. Степенная функция, ее свойства и график. Доказательство одного из свойств (по
выбору учащегося).
3. Задание а) типа № 15 из раздела 1; б) типа № 11* из раздела 1.
Билет № 17
I*. Формула для вычисления производной сложной функции.
2. Нахождение первообразных. Доказательство одного из правил (во указанию
учителя).
3. Задание а) типа № 24 из раздела 1; б) типа Ns 22* из раздела 1.
Билет № 18
1*. Нахождение скорости при неравномерном движении. Пример.
2. Таблица первообразных элементарных функций.
3. Задание а) типа № 11 из раздела 2; б) типа Ne 10* из раздела 2.
Билет № 19
1. Понятие арксинуса числа. Пример.
2. Теорема о производной суммы двух функций.
3. Задание а) типа № 20 из раздела 1; б) типа № 18* из раздела 1.
Билет № 20
1*. Число е. Натуральный логарифм.
2. Достаточные условия возрастания (убывания) функции.
3. Задание а) типа № 34 из раздела 2; б) типа № 15* из раздела 2.
Билет № 21
1, Понятие арктангенса числа. Пример.
2*. Таблица производных элементарных функций (степенной, синуса, косинуса).
Доказательство одной из формул (по указанию учителя).
3. Задание а) типа № 6 из раздела 2; б) типа Ne 15* из раздела 2.
Билет № 22
1. Понятие периодической функции. Пример, иллюстрация на графике.
2*. Производная показательной функции.
3. Задание а) типа № 8 из раздела 1; 6) типа № 23* из раздела 1.
Билет № 23
1. Понятие арккосинуса числа. Пример.
2*. Касательная. Вывод уравнения касательной к графику дифференцируемой
функции в данной точке.
3. Задание а) типа № 27 из раздела 2; б) типа № 28* из раздела 2.
Билет № 24
1*. Число е. Натуральный логарифм.
2. Приближенное вычисление значений функции с помощью Производной.
3. Задание а) типа № 20 из раздела 2; б) типа № 13* из раздела 2.
Билет № 25
1. Вычисление площади криволинейной трапеции.
2. Достаточные условия максимума (минимума) функции.
3. Задание а) типа № 9 из раздела 1; б) типа № 22* из раздела 1.
Билет № 26
1. Понятие о первообразной функции.
2*. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
3, Задание а)типа№ 17из раздела 1; б) типа № 18* из раздела 1.
Билет № 27
1. Правило нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции. Пример.
2*. Дифференциальное уравнение показательного роста и показательного
убывания.
3. Задание а) типа № 1 из раздела 1; б) типа № 2* из раздела 1.
Задания
Раздел 1
Выражения и их преобразования
Вычислить (№ 1-13):

1. cos  и cos2  , если tg  = - 2 ,     ;
2
4
);
5
1
3*. cos(arcsin );
6
2*. sin(arccos
4. 4 10  19  4 10  19 ;
5. (30,5 – 2 -1)2 – 2 –2 + 3 ;
6. 8log8 21 : (8log8 26  1) ;
3 log 6 2  log 6 27
7.
;
2 log 3 4
8. 0,5log2 5  log 2 15 ;
9. log 8 4 + 0,5 log2 3 ;
10*. cos x  cos y , если x = 37 o 30 , y = 7o 30 ;
11.
cos 2 32 0  sin 2 28 0
;
cos 4 0


3 cos   cos   
2
a
12*. tg  , если
;



sin      3 sin 
2

1
 1  cos    1  cos  
13*. 1 
.
  1 
 , если tg  =
11
 1  cos    1  cos  
Упростить выражния (№ 14 - 23):
 x  y  x1 / 2 y 1 / 2 x1 / 2  y 1 / 2 
  ( x  y) ;
14. 

3/ 2
3/ 2
x

y
x

y


sin 1,2
15.
;
sin 1,3  tg1,8

16. 


4x
17. x
2

x y
 x  y ( x  y);

x y

1 x
 (4  2 x  1)  8 x ;
1
1
 a b 
 ;
18*.
  3 / 2
3/ 2 
2
a

b
( a  b)


3/ 4
3/ 4
3/ 4
3/ 4
(a  b )( a  b )
19.
 ab ;
a b
1
1
x2 1
20.
 ( x 2  1) ;
2
x  x 1
tg 2  sin 2 
21*.
;
tg 2  sin 2 
22*. lg(x3+8) – 0,5lg(x2 + 4x + 4) – lg(x2 - 2x + 4);
1
1
23*.  
9
log3 x 1 0, 5 log3 ( x 2 1)
;


 cos ) . Ответ обосновать.
7
8
25. Доказать, что логарифмы двух взаимно обратных чисел являются противоположными
числами.
Доказать тождества (№ 26 - 27)
26*. sin3x = 3sinx – 4sin3x;
cos( x  y )
27. tg x + ctg y =
.
cos x  sin y
Раздел 2
Уравнения
Решить уравнения (№ 1 - 15)
1. 4sinx + 3cosx = 5;
24. Определить имеет ли смысл выражение log 11, 2 (sin

;
4

3*. arctg(4x + 2) = - ;
6
2*. arcos(x - 1) =
4. 136  x 2  x  4 ;
5*.

z 1  4  z   z  2 ;
6. 5 x
3

x 3
 1;
7. 3 4 x 4  64 x  256 1 ;
8. lg(1 + lg(1 + lgx)) = 0;
9. log2(9x - 1 + 7) = 2log2(3x – 1 + 1);
2
10*. x 3 x 5 x 2 = 1;
11. 2x – 1 + 2x – 2 + 2x – 3 = 448;
12. log2 log3 log4 x = 0;
13*. log x1 (x2 – 5x + 10) = 2;
14*. 4log9 x  2  4log9 x1  4log9 x ;
15*. x lg x = 100x;
Решить неравенства (№ 16 - 30):
16. (x2 - 4) x  9  0;
x 1
17.
 0;
| x2|
2
3 cosx < 0;
1
19*. sin2x  ;
2
2
20*. 2cos x + 5cosx – 3 < 0;
21. 32x  1 - 8  3 x 1 ;
18*. sinx +
22. 49 x2  7 2 x1 ;
23. log 0,8 x  log 0,8 ( x  9)  0 ;
24. log 1 / 7 (log 9 x)  0 ;
25. –1 + log 0,5(4 - x)  log 0,5(x + 5);
x
x 1
lg 4
 4   27 
26.      
;
lg 8
9  8 
27. 2  4 2 x  17  4 x  8  0 ;
28*. 5 lg x  3lg x 1  3lg x 1  5 lg x 1 ;
29*. log 2 (9  2 x )  3  x ;
30*. 2 log x 25  3 log 25 x  1 ;
Решить системы (№ 31 - 37)
 2y
 4,

31.  2 x 1
33 x 1 : 3 2 y 3  3;

 x 2  y  36,
32. 
log 3 x  log 3 y  1  log 3 27;
3

 x  0,
x  y  ,
33. 
2 Записать одно решение системы, удовлетворяющее условию 
 y  0;
sin x  0.
 4x
 2,

34.  4 y  x
5 x  y  5  y  0,2;

 x  y  90,
35. 
lg x  lg y  3;
lg x  lg y  3,
36.  lg y
 x  100;
lg x  lg y  lg 2,
37.  2
2
 x  y  5.
Раздел 3
Функции
Найти область определения функции (№ 1—5):
l. f(x)= log 0, 2 ( x 2  1) ;
2*. y = lg sin x;
3. arcos(x2 - x);
4*. у = lg (1 - lg (х2 - 5x +16));
x5
5*. y  4 2  log 2
.
x 1
6. Найти область значений функции g(x) = cos x  8 .
7. Определить, является ли функция h(x) = |х| - 3cosx четной или нечетной.
8. Определить, может ли значение функции у = sin х быть равным 5 - 7 .
9. Найти наименьший положительный период функции f(х) = sin х  cos x .
1
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции g(x) =
+ х на промежутке [0;
x
8].
x
11*. Найти промежутки возрастания и убывания функции h(x) =
.
ln x
12*. Найти экстремумы функции  (х) = x2  e x .
13. Исследовать функцию у = х  e x и построить ее график.
14*. Исследовать функцию f(х) = х2  e x и построить ее график.
1 3
x - 7x2 + 11х равно -2.
x
16. Найти точки, в которых скорость изменения функции у = 12 sin x — 37 больше
скорости изменения функции у = 6х - 15.
17. Найти точки, в которых тангенс угла наклона касательной к графику функции у = х  e x
равен нулю.
18. Найти кинетическую энергию тела массой т кг, движущегося прямолинейно по закону
х (t) = 4t2 - t (м) в момент времени t = 2 с.
19*. Найти угловой коэффициент и угол наклона касательной, проведенной к графику
функции у = 1 + sin х в точке с абсциссой хo =  .
1
20*. В каких точках касательная к кривой y = x3 - x2 - x + 1 параллельна прямой y = 2х 3
1?
21. Найти первообразную для функции f(х) = (2x - 4)3 на R.
22. Найти первообразную функции g(x) = (7 - 2х)3, обладающую свойством G(1) = -19.
23. Найти общий вид первообразных функции g(x) = (х 2- 2x)2.
24. Найти первообразную функции f(x) = 3х3 + 2x - 1, график которой проходит через
точку М(2; -4).
25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = |x|, у = 2х - х2.
26. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х, х + у = 3 и осью абсцисс.
27*. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 — 2, y = 2x – 2.
28*. По графику первообразной восстановите схематично график функции.
15. Найти точки, в которых значение производной функции у =
Построить график функции (№ 29—30);
29*. у = sin2 (log 5(2 - х)) + cos2 (log5 (2 - х));

30*. y = 2sin(|x| + ).
2