Тюшев А.Н. Курс лекций по физике. Часть 5. Квантовая физика. 2003

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»
А.Н. Тюшев
КУРС ЛЕКЦИЙПО ФИЗИКЕ
Часть 5
Квантовая физика
Утверждено Редакционно-издательским советом академии в качестве учебного
пособия
Новосибирск
2003
УДК 530
С 26
Рецензенты:
Член-корреспондент международной академии акмеологических наук, кандидат
педагогических наук, доцент Новосибирского государственного технического
университета
Э.Б. Селиванова
Кандидат физико-математических наук, доцент Сибирской государственной
геодезической академии
В.Я. Костюченко
Тюшев А.Н.
С 26 Курс лекций по физике. Часть 5. Квантовая физика: Учеб. пособие. –
Новосибирск: СГГА, 2003. - 153 с.
ISBN 5-87693-130-6
Настоящее учебное пособие представляет собой пятую часть «Курса
лекций по физике», состоящего из пяти частей. Содержание учебного пособия
соответствует действующим в настоящее время стандартам по дисциплине
«Физика» и учебным программам, по которым обучаются студенты Сибирской
государственной геодезической академии.
Пособие может быть использовано при изучении курса физики студентами
СГГА всех специальностей и всех форм обучения.
УДК 530
Печатается по решению Редакционно-издательского совета СГГА
ISBN 5-87693-130-6
© Сибирская государственная геодезическая
академия, 2003
© Тюшев А.Н., 2003
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие......................................................................................................... 7
Открытие постоянной Планка............................................................................ 9
1. Краткие исторические сведения. Тепловое излучение. Излучение
абсолютно черного тела. Закон Кирхгофа ................................................ 9
1.1. Краткие исторические сведения .......................................................... 9
1.2. Тепловое излучение ............................................................................ 11
1.3. Излучение абсолютно черного тела. Закон Кирхгофа ..................... 13
Итоги лекции № 1.............................................................................................. 16
2. Проблема излучения абсолютно черного тела. Формула планка. Закон
Стефана-Больцмана, закон Вина ............................................................. 18
2.1. Проблема излучения абсолютно черного тела. Формула Планка .. 18
2.2. Закон Стефана-Больцмана и закон Вина ........................................... 19
Итоги лекции № 2.............................................................................................. 22
3. Проблема фотоэффекта. ............................................................................ 24
3.1. Проблема фотоэффекта ....................................................................... 24
3.2. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта .......................................... 26
Итоги лекции № 3.............................................................................................. 29
4. Боровская теория атома водорода. Спектр излучения атома водорода в
теории бора ................................................................................................ 30
4.1. Боровская теория атома водорода ...................................................... 30
4.2. Спектры излучения атома водорода в теории Бора ......................... 33
Итоги лекции № 4.............................................................................................. 35
Корпускулярно-волновой дуализм микрообъектов ....................................... 37
5. Свойства фотонов. Вероятностная интерпретация плотности энергии и
интенсивности электромагнитной волны ............................................... 37
5.1. Свойства фотонов ................................................................................ 37
5.2. Неделимость фотона ........................................................................... 38
5.3. Интерференция одиночных фотонов................................................. 39
5.4. Вероятностная интерпретация плотности энергии и интенсивности
электромагнитной волны .................................................................... 40
Итоги лекции № 5.............................................................................................. 41
6. Гипотеза де Бройля. Волновые свойства электронов. Волновая
функция. Соотношения неопределенностей .......................................... 42
6.1. Гипотеза де Бройля. Волновые свойства электронов ...................... 42
6.2. Дифракция одиночных электронов ................................................... 45
6.3. Волновая функция и волна де Бройля ............................................... 46
6.4. Соотношения неопределенностей ..................................................... 47
Итоги лекции № 6.............................................................................................. 50
Элементы квантовой механики ........................................................................ 51
7. Уравнение Шредингера. Понятие об операторах физических величин.
Решение уравнения шредингера для простейших случаев. Частица в
бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме ......................... 51
7.1. Уравнение Шредингера....................................................................... 51
Понятия об операторах физических величин ................................... 52
Решение уравнения Шредингера для простейших случаев:
свободная частица и частица в бесконечно глубокой одномерной
потенциальной яме.............................................................................. 53
Итоги лекции № 7.............................................................................................. 58
8. Уравнение Шредингера для атома водорода. Квантовые числа.
Спектры атома водорода в теории Шредингера. Волновая функция
основного состояния атома водорода ...................................................... 60
8.1. Уравнение Шредингера для атома водорода .................................... 60
8.2. Квантовые числа .................................................................................. 61
8.3. Спектры атома водорода в теории Шредингера ............................... 62
8.4. Волновая функция основного состояния атома водорода ............... 63
Итоги лекции № 8.............................................................................................. 66
9. Спин электрона. Принцип Паули. Физические основы периодической
системы Д.И. Менделеева. Молекула. Объяснение температурной
зависимости теплоемкостей газов ........................................................... 68
9.1. Спин электрона. Принцип Паули. Фермионы и бозоны ................. 68
9.2. Физические основы периодической системы элементов Д. И.
Менделеева .......................................................................................... 69
9.3. Молекула .............................................................................................. 70
9.4. Объяснение температурной зависимости теплоемкостей газов ..... 72
Итоги лекции № 9.............................................................................................. 74
Квантовая теория свободных электронов в металле ..................................... 76
10. Электронный газ в модели одномерной бесконечно глубокой
потенциальной ямы. Электронный газ в модели бесконечно глубокой
трехмерной потенциальной ямы.............................................................. 76
10.1. Электронный газ в модели одномерной бесконечно глубокой ямы76
10.2. Электронный газ в модели бесконечно глубокой трехмерной
потенциальной ямы............................................................................. 79
Итоги лекции № 10............................................................................................ 82
Элементы квантовой статистики ..................................................................... 83
11. Электронный газ при Т>0. Распределение Ферми – Дирака. Анализ
функции f(е) ............................................................................................... 83
11.1. Электронный газ при T>0. Распределение Ферми – Дирака .......... 83
11.2. Анализ функции f(E) ........................................................................... 85
Итоги лекции № 11 ............................................................................................ 87
12. Результаты квантовой теории электропроводности. Термоэлектронная
эмиссия. Бозоны. Распределение ............................................................. 88
12.1. Результаты квантовой теории электропроводности металла .......... 88
12.2. Термоэлектронная эмиссия ................................................................ 88
12.3. Бозоны. Распределение Бозе – Эйнштейна ...................................... 91
Итоги лекции № 12............................................................................................ 94
Введение в зонную теорию твердых тел ......................................................... 95
13. Происхождение энергетических зон в кристаллах. Металлы,
диэлектрики и полупроводники в зонной теории. Собственная
7.2.
7.3.
проводимость полупроводников .............................................................. 95
13.1. Происхождение энергетических зон в кристаллах. Металлы ........ 95
13.2. Диэлектрики и полупроводники ........................................................ 98
13.3. Собственная проводимость полупроводников ................................. 99
Итоги лекции № 13.......................................................................................... 103
14. Примесная проводимость полупроводников. Донорные примеси,
полупроводники n-типа. Акцепторные примеси, полупроводник ртипа. Электронно-дырочный переход, полупроводниковый диод.
Полупроводниковый триод (транзистор) .............................................. 104
14.1. Примесная проводимость полупроводников .................................. 104
14.2. Акцепторные примеси. Полупроводники p-типа........................... 105
14.3. Электронно-дырочный переход. Полупроводниковый диод ........ 107
14.4. Полупроводниковый триод (транзистор) ........................................ 109
Итоги лекции № 14.......................................................................................... 112
15. Основы физики лазеров .......................................................................... 113
15.1. Вводные сведения.............................................................................. 113
15.2. Вынужденное (стимулированное) излучение ................................ 113
15.3. Состояние с инверсией населенности ............................................. 114
15.4. Оптический резонатор ...................................................................... 115
15.5. Способы создания инверсии населенности .................................... 116
15.6. Виды лазеров и их применение ....................................................... 118
Итоги лекции № 15.......................................................................................... 122
Элементы физики ядра и элементарных частиц .......................................... 123
16. Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое число
дефект масс и энергия связи атомного ядра. Ядерные силы .............. 123
16.1. Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое число
............................................................................................................. 123
16.2. Дефект массы и энергия связи атомного ядра. Ядерные силы ..... 126
Итоги лекции № 16.......................................................................................... 129
17. Некоторые сведения из истории открытия деления ядер урана. цепная
ядерная реакция. Ядерная бомба. Ядерный реактор. Реакция синтеза
атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций ........ 131
17.1. Некоторые сведения из истории открытия деления ядра урана ... 131
17.2. Цепная ядерная реакция. Ядерная бомба........................................ 132
17.3. Ядерный реактор ............................................................................... 133
17.4. Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых
термоядерных реакций ..................................................................... 134
Итоги лекции № 17.......................................................................................... 138
18. Радиоактивность, историческое введение. Законы радиоактивного
распада. Взаимодействие радиоактивного излучения с веществом.
Методы регистрации ионизирующих излучений ................................ 139
18.1. Радиоактивность. Историческое введение ..................................... 139
18.2. Закон радиоактивного распада ......................................................... 139
18.3. Взаимодействие радиоактивного излучения с веществом ............ 141
18.4. Методы регистрации ионизирующих излучений........................... 144
Итоги лекции № 18.......................................................................................... 146
Список и краткая аннотацияучебных компьютерных программ по физике,
разработанных на кафедре физики СГГА ............................................. 148
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие написано на основе учебного пособия
Тюшева А.Н. «Физика в конспективном изложении» (ФКИ), две первые части
которого изданы в СГГА в 1999 году, третья – в 2000 году. Главное
существенное отличие настоящего «Курса лекций» от ФКИ состоит в том, что
изложение материала ведется не в конспективном стиле, а с подробными
словесными пояснениями. При этом рамки изложения расширены.
Материал пособия разбит на лекции, в данной пятой части их
восемнадцать. После каждой лекции кратко подведены ее основные итоги.
Настоящий «Курс лекций по физике» написан в соответствии с
действующими в настоящее время стандартами по дисциплине «Физика» и
учебными программами, по которым обучаются студенты Сибирской
государственной геодезической академии.
Состоит пособие из пяти частей.
Часть I «Механика», Тюшев А.Н., Вылегжанина В.Д.
Часть II «Электричество и магнетизм», Тюшев А.Н., Вайсберг А.И.
Часть III «Колебания и волны. Волновая оптика», Тюшев А.Н.,
Дикусар Л.Д.
Часть IV «Молекулярная физика и термодинамика», Тюшев А.Н.,
Лузин А.Н.
Часть V «Квантовая физика», Тюшев А.Н.
Пособие может быть использовано при изучении курса физики студентами
СГГА всех специальностей всех форм обучения. Объем и степень глубины
излагаемого в пособии материала соответствует специальностям с наибольшим
числом часов по физике, выделяемых существующими стандартами 2000. Для
специальностей с меньшим количеством часов, по усмотрению лектора,
некоторые разделы могут быть опущены, некоторые – рассмотрены с меньшей
степенью подробности.
В отличие от существующих учебников по физике, настоящее пособие
учитывает особенности рабочих программ специальностей СГГА.
Несколько слов об обозначениях. Так же как и в ФКИ в формулах,
являющихся математическими определениями физических величин, вместо
знака равенства использован знак тождества, чтобы подчеркнуть особенную
важность этих формул – определений.
Векторные величины отмечаются стрелками над буквами, обозначающими
данные величины. Для произвольной по времени, наряду с обозначением
Лейбница
d
, используется и точка над буквой, обозначающей функцию, от
dt
которой берется производная.
Настоящее пособие в процессе создания неоднократно обсуждалось на
кафедре физики, авторы учли много полезных замечаний сотрудников кафедры,
которым за них очень признательны.
Авторы благодарят рецензентов настоящего пособия члена-корреспондента
Международной Академии акмеологических наук, доцента кафедры общей
физики НГТУ, к.п.н. Селиванову Э.Б. и доцента кафедры физики СГГА,
к.ф.-м.н. Костюченко В.Я. за большой труд по внимательному чтению рукописи
и ценные замечания. Авторы выражают свою признательность доценту кафедры
физики СГГА, к.ф.-м.н. Серегину Г.В., проделавшего полезную и кропотливую
работу ответственного редактора.
Авторы особенно благодарны инженеру кафедры физики СГГА
Барановой Е.А. за огромный труд по набору и неоднократным исправлениям
текста. На заключительном этапе подготовки оригинал-макета издания
неоценимая помощь была оказана доцентом кафедры физики Чесноковым Д.В.,
которому авторы выражают свою искреннюю признательность.
Обеспечение финансирования данного издания легло на заведующего
кафедрой физики СГГА Чеснокова В.В., без усилий которого это издание было
бы невозможно.
В заключении авторы выражают надежду, что настоящее пособие будет
полезно студентам при изучении физики. Все замечания и предложения по
тексту пособия просьба подавать на кафедру физики СГГА, авторы их с
благодарностью примут.
ОТКРЫТИЕ ПОСТОЯННОЙ ПЛАНКА
1. КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.
ИЗЛУЧЕНИЕ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА. ЗАКОН КИРХГОФА
1.1. Краткие исторические сведения
Немецкий физик Макс Планк 14 декабря 1900 г. выступил на заседании
Германского физического общества с докладом, в котором он сообщил о
полученной им формуле распределения энергии (см. (2.1)) в спектре излучения
абсолютно черного тела (см. § 3 настоящей лекции). Полученная им
теоретическая зависимость хорошо описывала экспериментальные результаты.
14 декабря 1900 г. считают датой рождения квантовой физики.
При выводе своей формулы М. Планк сделал одно из важнейших
физических открытий: он нашел новую универсальную постоянную, названную
впоследствии постоянной Планка. Ее обозначают буквой h, в системе СИ
постоянная Планка имеет следующее значение:
6,6261 10 34 Дж с ,
h
(1.1)
размерность постоянной Планка – джоуль, умноженный на секунду, носит
название «действие», поэтому постоянную Планка называют также «квант
действия».
С квантом действия Планк связал понятие «квант энергии», это
наименьшая порция энергии, которую нагретое тело может либо излучить, либо
поглотить. Величина кванта энергии
h ,
(1.2)
здесь – частота колебаний электромагнитной волны, излучаемой телом.
Если вместо использовать круговую частоту = 2 , то энергия кванта
= h /2 . Величину
h
2
 ,  1,05458 10 34 Дж с
(1.3)
также называют постоянной Планка. Тогда энергия кванта
 .
(1.4)
Альберт Эйнштейн, используя и развивая введенное М. Планком понятие о
квантах энергии, ввел понятие «квант света», или фотон (от греческого photos –
свет). Согласно Эйнштейну, энергия, излученная в виде кванта
электромагнитной волны, не распределяется непрерывно во всевозрастающем
объеме пространства, а движется в виде локализованного в малой области
h .
фотона, обладающего энергией
Эта гипотеза позволила Эйнштейну объяснить явление фотоэффекта
(1905 г.).
В 1909 – 1910 гг. в лаборатории английского физика Эрнста Резерфорда
были проведены исследования по рассеянию -частиц тонким слоем вещества.
Схема опыта изображена на рис. 1.1:
Рис. 1.1
Как мы знаем, -частицы – это ядра атома гелия. Они испускаются
кусочком радиоактивного вещества – радия. Свинцовая оболочка с узким
отверстием позволяет сформировать узкий пучок -частиц. Скорости -частиц
– порядка 107 м/с, они имеют положительный заряд, равный двум
элементарным, и их масса более, чем в семь тысяч раз превышает массу
электрона. Сотрудники Резерфорда Э. Марсден и Х. Гейгер в 1909 г.
обнаружили, что очень небольшая часть
-частиц (примерно 1/8000)
рассеивается на угол > /2, т. е. назад. Осмысливание этого факта привело в
1911 г. Э. Резерфорда к планетарной модели атома. Согласно этой модели, в
центре атома находится очень маленькое ядро (rя ~ 10-15 м), в ядре
сосредоточена почти вся масса атома. Заряд ядра положительный (оно-то и
отталкивает летящие на него -частицы). Отрицательно заряженные электроны
движутся вокруг ядра подобно планетам солнечной системы. Расстояния, на
которых находятся самые удаленные от ядра электронные орбиты, определяют
размер атома. Этот размер имеет порядок 10-10 м, т. е. весь атом больше своего
ядра примерно в 100 000 раз!
Атом в модели Резерфорда оказался неустойчивым. Как мы знаем (см. ч. 3,
лекция № 7), ускоренно движущаяся заряженная частица излучает
электромагнитные волны. Криволинейное движение, даже при постоянной по
модулю скорости, является ускоренным, следовательно, в планетарной модели
электроны будут терять свою энергию. Как показывают расчеты, за время
порядка 10-8 с электроны упадут на ядро. Но весь наш опыт неопровержимо и
весомо свидетельствует о стабильности атомов!
Проблемой теоретического описания атома заинтересовался датский физик
Нильс Бор. Он в 1912 г. приезжает к Резерфорду и подробно знакомится с
результатами его работ. В 1913 г. Н. Бор публикует работу «О строении атомов и
молекул».
В этой работе Бор взял за основу модель атома Резерфорда и дополнил ее
квантовыми представлениями, введенными М. Планком и развитыми А.
Эйнштейном. Основу квантовой теории атома Бора составляют два его
постулата, дополненные условием стационарности состояния атома. Эти два
постулата мы приведем в лекции № 4, § 1.
Развитая Бором на основе этих постулатов теория атома водорода
позволила рассчитать спектр излучения этого атома. Результаты расчетов
оказались в замечательном соответствии с имевшимися экспериментальными
данными.
1.2. Тепловое излучение
Излучение телами электромагнитных волн может происходить за счет
различных видов энергии.
Тепловым называется электромагнитное излучение, испускаемое
веществом и возникающее за счет его внутренней энергии (см. ч. 4, лекция №
4, § 2). Все остальные виды излучения, возбуждаемые внешними источниками
энергии, называются люминесценцией.
Тепловое излучение является единственным видом излучения, которое
может находиться в термодинамическом равновесии с окружающими телами.
Это обусловлено тем, что с повышением температуры тел интенсивность
теплового излучения растет.
Энергетическая светимость тела – это отношение энергии dE,
испускаемой за время dt поверхностью dS излучающего тела по всем
направлениям, к величинам dS и dt:
R
dE ,
R
dtdS
Дж
с м2
dR ,
r
d
Дж
м.
2
с м
Вт .
м2
(1.5)
По существу, энергетическая светимость совпадает с интенсивностью
излучения – средним по времени от вектора Пойнтинга, дающим плотность
потока энергии электромагнитной волны.
При тепловом излучении энергетическая светимость R является функцией
температуры T.
Спектральная плотность энергетической светимости r
(или
испускательная способность тела) – это отношение энергетической светимости
dR, взятой в бесконечно малом интервале длин волн d , к величине d :
r
(1.6)
Спектральная плотность энергетической светимости r является функцией
длины волны и температуры Т.
Другое название r – испускательная способность.
Из (1.6) получим, что
dR r d ,
значит
R
dR
(1.7)
rd .
(1.8)
0
Так как электромагнитное излучение характеризуется частотой , то
можно ввести спектральную плотность энергетической светимости r .
Спектральная плотность энергетической светимости r – это отношение
энергетической светимости dR, взятой в бесконечно малом интервале частот
d , к величине d , т. е.:
r
Дж
с м2
dR ,
r
d
1
,
с
(1.9)
r является функцией частоты и температуры Т. Величину r называют,
так же, как и r , испускательной способностью тела.
Величину r чаще используют в теоретических исследованиях, а r –
в экспериментальных.
Из (1.9) получим, что:
dR r d ,
значит
R
dR
(1.10)
rd .
(1.11)
0
Величины и , как мы знаем, связаны соотношением
2 c / (для
электромагнитной волны в вакууме v = c). Связь d и d
получим
дифференцированием этого равенства:
2πc
dω
2
ω
dλ
λ2
dω .
2πc
Знак «минус» указывает на то, что с ростом длины волны
частота убывает.
Для соответствующих интервалов d и d можно записать:
rd
rd .
круговая
Заменив d на его выражения через d и опуская знак «минус», получим:
r
2 c
2
2
d
r
2 c
d
rd
.
(1.12)
Используя эти выражения можно перейти от r к r и обратно.
Поток излучения Ф – это отношение энергии dЕ, переносимой
электромагнитным излучением через какую-либо поверхность, ко времени
переноса dt, значительно превышающему период электромагнитных колебаний.
Поток излучения Ф – синоним понятия мощность излучения. Единица
измерения потока – ватт.
dE ,
Ф
dt
Дж
с
Вт .
(1.13)
Поглощательная способность тела a – это отношение поглощаемого
телом потока излучения dФ (или dФ ) в интервале частот d (или длин волн
d ) к падающему на него потоку dФ (или dФ ) в том же интервале d (или
d ), т. е.:
a
d
d
'
или
a
d
d
' .
(1.14)
Поглощательная способность тела a (как и a ) – величины безразмерные
(это следует из определения).
1.3. Излучение абсолютно черного тела. Закон Кирхгофа
Абсолютно черное тело – это тело, для которого поглощательная
способность тождественно равна единице для всех частот или длин волн и для
любой температуры, т. е.:
a
1 или a 1 .
Из определения абсолютно черного тела следует, что оно должно
поглощать все падающее на него излучение.
Понятие «абсолютно черное тело» – это модельное понятие. В природе
абсолютно черных тел не существует, но можно создать устройство,
являющееся хорошим приближением к абсолютно черному телу, – модель
абсолютно черного тела.
Модель абсолютно черного тела – это замкнутая полость с маленьким, по
сравнению с ее размерами, отверстием (рис. 1.2). Полость изготавливают из
материала, достаточно хорошо поглощающего излучение. Излучение, попавшее
в отверстие, прежде чем выйти из отверстия, многократно отражается от
внутренней поверхности полости.
При каждом отражении часть энергии
поглощается, в результате из отверстия
выходит
отраженный
поток
dФ ,
являющийся очень малой частью попавшего
в него потока излучения dФ. В результате
поглощательная способность отверстия в
полости будет близка к единице.
Рис. 1.2
Если внутренние стенки полости поддерживать при температуре Т, то из
отверстия будет выходить излучение, свойства которого будут очень близки к
свойствам излучения абсолютно черного тела. Внутри полости это излучение
будет находиться в термодинамическом равновесии с веществом полости.
По определению плотности энергии, объемная плотность энергии w(Т)
равновесного излучения в полости – это:
w (T )
dE ,
dV
(1.15)
где dЕ – энергия излучения в объеме dV. Спектральное распределение
объемной плотности дается функциями u( , T) (или u( , T)), которые
вводятся аналогично спектральной плотности энергетической светимости ((1.6)
и (1.9)), т. е.:
u ( , T)
dw
d
или u ( , T)
dw
d
.
(1.16)
Здесь dw и dw – объемная плотность энергии в соответствующем
интервале длин волн d или частот d .
Закон Кирхгофа утверждает, что отношение испускательной
способности тела ((1.6) и (1.9)) к его поглощательной способности (1.14)
одинаково для всех тел и является универсальной функцией частоты
(или
длины волны ) и температуры Т, т. е.:
r
a
r
( , T) , либо
a
f( ,T) .
(1.17)
Очевидно, что если поглощательная способность a (или a ) для разных
тел разная, то из закона Кирхгофа следует, что чем сильнее тело поглощает
излучение, тем сильнее оно должно это излучение испускать. Так как для
абсолютно черного тела a
1 (или a
1), то отсюда следует, что в случае
абсолютно черного тела:
f( , T) r и ( , T) r .
(1.18)
Иными словами, f( , T), либо ( , T), есть не что иное, как
спектральная плотность энергетической светимости (или испускательная
способность) абсолютно черного тела.
Функции ( , Т) и f( , Т) связаны со спектральной плотностью энергии
излучения абсолютно черного тела следующими соотношениями:
( , T)
c
u ( , T) или f ( , T)
4
c
u ( , T) ,
4
(1.19)
где c – скорость света в вакууме.
Схема установки для опытного определения зависимости
приведена на рис. 1.3.
( , Т)
Рис. 1.3
Излучение испускается из отверстия замкнутой полости, нагретой до
температуры Т, затем попадает на спектральный прибор (призменный или
решеточный монохроматор), который выделяет излучение в интервале частот от
до + d . Это излучение попадает на приемник, который позволяет измерить
падающую на него мощность излучения. Поделив эту приходящуюся на
интервал от до + d мощность на площадь излучателя (площадь отверстия
в полости!), мы получим значение функции ( , Т) для данной длины волны
и температуры Т. Полученные экспериментальные результаты воспроизведены
на рис. 1.4.
Рис. 1.4
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 1
1. Немецкий физик Макс Планк в 1900 г. выдвинул гипотезу, согласно
которой электромагнитная энергия излучается порциями, квантами энергии.
Величина кванта энергии (см. (1.2):
h ,
где h = 6,6261·10-34 Дж · с – постоянная Планка; – частота колебаний
электромагнитной волны, излучаемой телом.
Эта гипотеза позволила Планку решить проблему излучения абсолютно
черного тела.
2. А. Эйнштейн, развивая понятие Планка о квантах энергии, ввел в 1905
г. понятие «квант света» или фотон. Согласно Эйнштейну, квант
электромагнитной энергии = h движется в виде фотона, локализованного в
малой области пространства. Представление о фотонах позволило Эйнштейну
решить проблему фотоэффекта.
3. Английский физик Э. Резерфорд, основываясь на экспериментальных
исследованиях, проведенных в 1909 – 1910 гг., построил планетарную модель
атома. Согласно этой модели, в центре атома расположено очень маленькое ядро
(rя ~ 10-15 м), в котором сосредоточена почти вся масса атома. Заряд ядра
положителен. Отрицательно заряженные электроны движутся вокруг ядра
наподобие планет солнечной системы по орбитам, размер которых ~ 10 -10 м.
4. Атом в модели Резерфорда оказался неустойчивым: согласно
электродинамике Максвелла, электроны, двигаясь по круговым орбитам,
должны непрерывно излучать энергию, в результате чего за время ~ 10 -8 с они
должны упасть на ядро. Но весь наш опыт свидетельствует о стабильности
атома. Так возникла проблема стабильности атома.
5. Решил проблему стабильности атома в 1913 г. датский физик Нильс Бор
на основе выдвинутых им двух постулатов. В теории атома водорода, развитой
Н. Бором, существенную роль играет постоянная Планка.
6. Тепловым называется электромагнитное излучение, испускаемое
веществом за счет его внутренней энергии. Тепловое излучение может
находиться в термодинамическом равновесии с окружающими телами.
7. Энергетическая светимость тела R – это отношение энергии dE,
испускаемой за время dt поверхностью dS по всем направлениям, к dt и dS (см.
(1.5)):
R
dE
,
dtdS
R
Дж
с м2
Вт .
м2
8. Спектральная плотность энергетической светимости r
(или
испускательная способность тела) – это отношение энергетической светимости
dR, взятой в бесконечно малом интервале длин волн d , к величине d (см.
(1.6)):
r
dR
,
d
r
Дж
м.
с м2
9. Поток излучения Ф – это отношение энергии dЕ, переносимой
электромагнитным излучением через какую-либо поверхность, ко времени
переноса dt, значительно превышающему период электромагнитных колебаний
(см. (1.13)):
dE
,
dt
Ф
Дж
с
Вт.
10. Поглощательная способность тела a – это отношение поглощаемого
телом потока излучения dФ в интервале длин волн d к падающему на него
потоку dФ в том же интервале d , (см. (1.14):
a
d
d
'
.
11. Абсолютно черное тело – это тело, для которого поглощательная
способность тождественно равна единице для всех длин волн и для любой
температуры, т. е.
a
1.
Абсолютно черное тело – это модельное понятие.
12. Закон Кирхгофа утверждает, что отношение испускательной
способности тела r к его поглощательной способности а одинаково для всех
тел и является универсальной функцией длины волны
(или частоты ) и
температуры Т (см. (1.17)):
r
a
( , T) либо
r
a
f( ,T).
2. ПРОБЛЕМА ИЗЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА. ФОРМУЛА
ПЛАНКА. ЗАКОН СТЕФАНА-БОЛЬЦМАНА, ЗАКОН ВИНА
2.1. Проблема излучения абсолютно черного тела. Формула Планка
Проблема излучения абсолютно черного тела состояла в том, чтобы
теоретически получить зависимость ( , Т) – спектральную плотность
энергетической светимости абсолютно черного тела.
Казалось, что ситуация ясна: при заданной температуре Т молекулы
вещества излучающей полости имеют максвелловское распределение по
скоростям и излучают электромагнитные волны в соответствии с законами
классической электродинамики. Излучение находится в термодинамическом
равновесии с веществом, значит, для нахождения спектральной плотности
энергии излучения u( , T) и связанной с ней функции ( , Т) можно
использовать законы термодинамики и классической статистики.
Однако, все попытки теоретиков получить на основе классической физики
закон излучения абсолютно черного тела потерпели неудачу.
Частичный вклад в решение этой проблемы внесли Густав Кирхгоф,
Вильгельм Вин, Иозеф Стефан, Людвиг Больцман, Джон Уильям Релей, Джеймс
Хонвуд Джинс.
Проблема излучения абсолютно черного тела была решена Максом
Планком. Для этого ему пришлось отказаться от классических представлений и
сделать предположение о том, что заряд, совершающий колебания с частотой ,
может получать или отдавать энергию порциями, или квантами.
Величина кванта энергии, в соответствии с (1.2) и (1.4):
h
h
2
 ,
где h – постоянная Планка;  h / 2 ;
– частота колебаний
электромагнитной волны, излученной колеблющимся зарядом;
= 2
–
круговая частота.
На основе представления о квантах энергии М. Планк, используя методы
статистической термодинамики, получил выражение для функции u( , Т),
дающей распределение плотности энергии в спектре излучения
абсолютного черного тела:
u ( , T)
 3
2 3
c
1

e kT
, u
1
Дж
м3
1
.
с
(2.1)
Вывод этой формулы будет дан в лекции № 12, § 3 после того, как мы
познакомимся с основами квантовой статистики.
Для перехода к спектральной плотности энергетической светимости f( ,
Т) запишем вторую формулу (1.19):
f ( , T)
c
u ( , T) .
4
Используя это соотношение и формулу Планка (2.1) для u( , T), получим,
что:
f ( , T)
 3
4 2c 2
1

e kT
Дж
с м2
, f ( , T)
1
1
.
с
(2.2)
Это и есть формула Планка для спектральной плотности энергетической
светимости f( , T).
Теперь мы получим формулу Планка для ( , Т) Как мы знаем из (1.18), в
случае абсолютно черного тела f ( , T) r , а ( , T) r .
Связь между r и r дает формула (1.12), применяя которую, мы получим:
( , T) f
2 c
,T
2 c
2
.
(2.3)
Здесь мы аргумент
функции f( , Т) выразили через длину волны .
Подставляя сюда формулу Планка для f( , Т) из (2.2), получим формулу
Планка для ( , Т) – спектральной плотности энергетической светимости в
зависимости от длины волны :
( , T)
2 hc2
5
1
hc
e kT
,
Дж
м.
2
с м
( , T)
1
(2.4)
График этой функции хорошо совпадает с экспериментальными графиками
( , Т) для всех длин волн и температур.
Это и означает, что проблема излучения абсолютно черного тела решена.
2.2. Закон Стефана-Больцмана и закон Вина
Из (1.11) для абсолютно черного тела, когда r = f( , T), получим
энергетическую светимость R(T), интегрируя функцию f( , T) (2.2) во всем
интервале частот.
R
f ( , T)d
0
h 3
4 2c2
0
d

e kT
.
1
Интегрирование дает:
2 4
R
k
4.
T
60c 2 3
Введем обозначение:
2 4
k
,
60c 2 3
(2.5)
тогда выражение для энергетической светимости R примет следующий
вид:
R
T4 .
(2.6)
Это и есть закон Стефана – Больцмана.
М. Стефан на основе анализа опытных данных пришел в 1879 г. к выводу,
что энергетическая светимость любого тела пропорциональна четвертой
степени температуры.
Л. Больцман в 1884 г. нашел из термодинамических соображений, что такая
зависимость энергетической светимости от температуры справедлива лишь для
абсолютно черного тела.
Постоянная
носит название постоянной Стефана – Больцмана. Ее
экспериментальное значение:
Дж
5,670 10 8
K4 .
(2.7)
2
с м
Вычисления по теоретической формуле дают для
результат, очень
хорошо согласующийся с экспериментальным.
Отметим, что графически энергетическая светимость равна площади,
ограниченной графиком функции f( , Т), это иллюстрирует рис. 2.1.
R
f
,T d
0
Рис. 2.1
Максимум графика спектральной плотности энергетической светимости
( , Т) при повышении температуры смещается в область более коротких волн
(рис. 2.2). Для нахождения закона, по которому происходит смещение
максимума ( , Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию
( , Т) на максимум. Определив положение этого максимума, мы получим
закон его перемещения с изменением температуры.
Рис. 2.2
Как известно из математики, для исследования функции на максимум надо
найти ее производную и приравнять к нулю:
d ( , T)
d
0.
Подставив сюда ( , Т) из (1.23) и взяв производную, получим три корня
алгебраического уравнения относительно переменной . Два из них ( = 0 и =
) соответствуют нулевым минимумам функции ( , Т). Для третьего корня
получается приближенное выражение:
maxT
2 c
4,965k
hc
.
4,965k
Введем обозначение:
b
hc
,
4,965k
(2.8)
тогда положение максимума функции ( , Т) будет определяться простой
формулой:
(2.9)
maxT b .
Это и есть закон смещения Вина.
Он назван так в честь В. Вина, теоретически получившего в 1894 г. это
соотношение. Постоянная в законе смещения Вина имеет следующее численное
значение:
b 2,90 10 3 м К .
(2.10)
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 2
1. Проблема излучения абсолютно черного тела состояла в том, что все
попытки получить на основе классической физики зависимость ( , Т) –
спектральную плотность энергетической светимости абсолютно черного тела –
потерпели неудачу.
2. Эту проблему решил в 1900 г. М. Планк на основе своей гипотезы
квантов: заряд, совершающий колебания с частотой , может получить или
отдавать энергию порциями, или квантами. Величина кванта энергии:
h
h
 ,
2
h
1,05 10 34
2
Дж с также называется постоянной Планка («аш» с чертой);
– круговая
(циклическая) частота.
3. Формула Планка для спектральной плотности энергетической
светимости абсолютно черного тела имеет следующий вид (см. (2.4)
здесь h = 6,626 10-34 – постоянная Планка, величина 
( , T)
2 hc 2
5
1
hc
e kT
,
1
здесь
– длина волны электромагнитного излучения; Т – абсолютная
температура; h – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме; k – постоянная
Больцмана.
4. Из формулы Планка следует выражение для энергетической светимости
R абсолютно черного тела:
2 4
R
k
4
T
,
60c 2 3
которое позволяет теоретически вычислить постоянную Стефана –
Больцмана (см. (2.5)):
2 4
k
,
2 3
60c 
теоретическое
значение
экспериментальным значением:
5,67 10 8
которой
хорошо
совпадает
с
ее
Дж
/ K4
2
с м
в законе Стефана – Больцмана (см.(2.6))
R
T4.
5. Из формулы Планка следует закон смещения Вина, определяющий max
– положение максимума функции ( , Т) в зависимости от абсолютной
температуры (см. (2.9)
max T
b.
Для b – постоянной Вина – из формулы Планка получается следующее
выражение (см. (2.8)):
b
hc
.
4,965k
Постоянная Вина имеет следующее значение: b
2,90 10 3 м К.
3. ПРОБЛЕМА ФОТОЭФФЕКТА.
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
3.1. Проблема фотоэффекта
Фотоэффект – это испускание электронов веществом под действием
электромагнитного излучения.
Такой фотоэффект называют внешним. Именно о нем мы будем говорить в
этой главе. Есть еще и внутренний фотоэффект (см. лекцию № 13, § 2).
В 1887 г. немецкий физик Генрих Герц обнаружил, что ультрафиолетовый
свет, освещающий отрицательный электрод в разряднике, облегчает
прохождение разряда. В 1888 – 89 гг. русский физик А. Г. Столетов занимается
систематическим исследованием фотоэффекта (схема его установки приведена
на рис. 3.1). Исследования проводились в атмосфере газа, что сильно усложняло
происходившие процессы.
Рис. 3.1
Столетов обнаружил, что:
1) наибольшее воздействие оказывают ультрафиолетовые лучи;
2) сила тока возрастает с увеличением интенсивности света, освещающего
фотокатод;
3) испущенные под действием света заряды имеют отрицательный знак.
Дальнейшие исследования фотоэффекта производились в 1900 – 1904 гг.
немецким физиком Ф. Ленардом в наивысшем достигнутом в то время вакууме.
Ленарду удалось установить, что скорость вылетающих из фотокатода
электронов не зависит от интенсивности света и прямо пропорциональна его
частоте. Так родилась проблема фотоэффекта. Объяснить результаты
опытов Ленарда на основе электродинамики Максвелла было невозможно!
На рис. 3.2 изображена установка, позволяющая детально изучать фотоэффект.
Электроды, фотокатод и анод, помещены в баллон, из которого откачан
воздух. Свет на фотокатод
подается
через
кварцевое
окошко. Кварц, в отличие от
стекла, хорошо пропускает
ультрафиолетовые
лучи.
Разность
потенциалов
(напряжение)
между
фотокатодом и анодом измеряет
вольтметр. Ток в цепи анода
измеряется
чувствительным
микроамперметром.
Для
регулировки
напряжения
батарея питания подключена
к реостату со средней точкой.
Если движок реостата стоит
против
средней
точки,
подсоединенной
через
микроамперметр к аноду, то
разность потенциалов между
фотокатодом и анодом равна
Рис. 3.2
нулю. При смещении движка
влево потенциал анода становится отрицательным относительно катода. Если
движок реостата сдвигать вправо от средней точки, то потенциал анода
становится положительным.
Вольт-амперная характеристика установки по изучению фотоэффекта
позволяет получить информацию об энергии электронов, испускаемых
фотокатодом.
Вольт-амперная характеристика – это зависимость фототока i от
напряжения между катодом и анодом U. При
освещении светом, частота
которого
достаточна для возникновения фотоэффекта,
вольт-амперная характеристика имеет вид
графика, изображенного на рис. 3.3.
Из этой характеристики следует, что при
некотором положительном напряжении на аноде
фототок i достигает насыщения. При этом все
электроны, испущенные фотокатодом в единицу
времени, попадают за это же время на анод.
Рис. 3.3
При U = 0 часть электронов долетает до
анода и создает фототок i0. При некотором отрицательном напряжении на аноде
– Uзад – фототок прекращается. При этом значении напряжения максимальная
2
кинетическая энергия фотоэлектрона у фотокатода (mv max)/2 полностью
расходуется на совершение работы против сил электрического поля:
me v 2max
2
eU зад .
(3.1)
В этой формуле m e – масса электрона; vmax – его максимальная скорость у
фотокатода; e – абсолютное значение заряда электрона.
Таким образом, измерив задерживающее напряжение U зад , можно найти
кинетическую энергию (и скорость электрона) сразу после его вылета из
фотокатода.
Из опыта вытекают следующие утверждения:
1) энергия вылетевших из фотокатода электронов (и их скорость) не
зависела от интенсивности света! При изменении частоты света меняется
и U зад , т. е. максимальная кинетическая энергия электронов, покидающих
фотокатод;
2) максимальная кинетическая энергия электронов, у фотокатода
(mv 2max ) / 2 прямо пропорциональна частоте
света, освещающего
фотокатод.
Проблема, как и в случае с излучением абсолютно черного тела, состояла
в том, что теоретические предсказания, сделанные для фотоэффекта на
основе классической физики (электродинамики Максвелла), противоречили
результатам опытов. Интенсивность света I в классической электродинамике
является плотностью потока энергии световой волны. Во-первых, с этой точки
зрения, энергия, передаваемая световой волной электрону, должна быть
пропорциональна интенсивности света. Опыт не подтверждает это
предсказание. Во-вторых, в классической электродинамике нет никаких
объяснений прямой пропорциональности кинетической энергии электронов,
2
(mvmax
) / 2 , частоте света .
3.2. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
Согласно предположению Эйнштейна, свет состоит из неделимых
квантов энергии величиной h . Это предположение позволило Эйнштейну
очень просто разрешить проблему фотоэффекта. Применим к фотоэффекту
закон сохранения энергии, считая свет потоком фотонов с энергией
h .
(3.2)
В металле электрон находится в потенциальной яме. Для того, чтобы
удалить электрон из металла, надо совершить работу против сил
электростатического притяжения отрицательного электрона к положительному
ионному остатку. Эта работа А называется работой выхода электрона из
металла. Будем пока считать, что глубина потенциальной ямы равна этой работе
А, впоследствии (см. рис. 12.1 и формулу (12.4)) мы внесем некоторые
уточнения. Для разных металлов величина А разная. Меньше всего величина
работы выхода у щелочных металлов, например, для цезия (Cs) А = 1,81 эВ. У
цинка, который использовался в опытах Столетова, А = 4,24 эВ. Фотоны
поглощаются поодиночке (если интенсивность света не достигает очень
больших значений). Энергия фотона h частично расходуется на работу выхода,
2
оставшаяся часть (mv max ) / 2 уносится электроном (рис. 3.4).
Рис. 3.4
Таким образом,
h
2
mv max
.
A
2
(3.3)
Это и есть уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Если в этом уравнении
2
заменить (mv max)/2 на еUзад (см. (3.1)), то уравнение Эйнштейна будет иметь
следующий вид:
h
A eU зад .
(3.4)
Из последней формулы видно, что величина задерживающего напряжения
Uзад прямо пропорциональна частоте света. Эту зависимость тщательно
проверял в специально созданной установке американский физик Р. Милликен.
«Я потратил десять лет моей жизни на проверку этого эйнштейновского
уравнения 1905 г., – писал Милликен, – и вопреки всем моим ожиданиям я
вынужден был в 1915 г. безоговорочно признать, что оно экспериментально
подтверждено, несмотря на его несуразность, так как казалось, что оно
противоречит всему, что мы знаем об интерференции света». Последняя
часть высказывания Р. Милликена связана с корпускулярно-волновым
дуализмом микрочастиц, о котором мы поговорим позднее в лекциях № 5 и
№ 6.
Из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта (3.3) следует, что если энергия
фотона h меньше работы выхода А, то фотоэффект невозможен. Граничная
частота определяется равенством:
h кр A ,
(3.5)
здесь кр – красная граница фотоэффекта.
Соответствующая частоте кр длина волны также называется красной
границей фотоэффекта. Так как = c/ , то для кр имеем:
h
c
кр
A .
(3.6)
Термин «красная граница» связан с тем, что длинноволновая часть
видимого спектра, для которой максимальна длина волны
и минимальна
энергия фотонов, имеет красный цвет.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 3
1. Фотоэффект – это испускание электронов веществом под действием
электромагнитного излучения.
2. Экспериментальные исследования фотоэффекта, проведенные в 1900 –
1904 гг., показали следующее:
1) энергия вылетевших из фотокатода электронов не зависит от
интенсивности света;
2) эта энергия прямо пропорциональна частоте
света, освещающего
фотокатод.
3. Проблема фотоэффекта состояла в том, что теоретические
предсказания, сделанные для фотоэффекта на основе электродинамики
Максвелла, противоречили результатам опытов. Теория Максвелла
предсказывала, что энергия, передаваемая световой волной электрону, должна
быть пропорциональна интенсивности света. Кроме того, в классической
электродинамике нет никаких объяснений прямой пропорциональности
2
кинетической энергии электронов mv max / 2 частоте света .
4. Проблема фотоэффекта была разрешена в 1905 г. А. Эйнштейном,
который предположил, что свет состоит из потока фотонов с энергией (см.
(3.2)):
h
.
5. Применив к процессу поглощения фотона закон сохранения энергии,
Эйнштейн получил следующее уравнение для фотоэффекта (см. (3.3)):
h
mv 2max
A
,
2
здесь А – работа выхода электрона из вещества; m – масса электрона;
vmax – его скорость в момент вылета из фотокатода.
6. Из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта следует, что если энергия
фотона h меньше работы выхода А, то фотоэффект невозможен. Граничная
частота называется красной границей фотоэффекта и определяется равенством
(см. (3.5)):
h кр
A.
4. БОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА. СПЕКТР ИЗЛУЧЕНИЯ
АТОМА ВОДОРОДА В ТЕОРИИ БОРА
4.1. Боровская теория атома водорода
Атом водорода – простейший из всех атомов. Его ядро – элементарная
частица протон. Масса протона в 1836 раз больше массы электрона, вследствие
этого ядро в первом приближении можно считать неподвижным и
рассматривать только движение электрона (рис. 4.1).
Заряд протона e, – положительный и равен по абсолютной величине заряду
электрона, поэтому между ядром и электроном
действует кулоновская сила притяжения.
F
e2
,
2
r
1
4 0
здесь e = 1,6 10-19 Кл – элементарный заряд.
По второму закону Ньютона (см. ч. 1, (4.4)):
me a
Рис. 4.1
1
4
0
e2 .
r2
При равномерном движении по окружности
радиуса r нормальное ускорение электрона
a
v2
.
r
После подстановки этого выражения во второй закон Ньютона получим
уравнение движения электрона:
me v
1
2
4
0
e2
.
r
(4.1)
Из этого уравнения не следует никаких ограничений на r – радиус орбиты
электрона. Так появилась проблема размера атома: классическая механика
позволяла атому иметь любой размер, опыт же показывал, что величина R ~ 10-10
м.
Кроме этой проблемы, здесь существовала упомянутая в лекции № 1 (см.
конец § 1) проблема стабильности атома: в классической теории ускоренно
движущийся электрон должен непрерывно излучать энергию, в результате чего
электрон в атоме очень скоро, за время ~10-8 с, упадет на ядро.
Проблемы эти были разрешены Н. Бором на основе двух
сформулированных им постулатов, дополненных условием стационарности
состояния атома.
Первый постулат Бора:
Существуют стационарные состояния атома, находясь в которых он не
излучает электромагнитных волн.
Стационарные состояния соответствуют дискретному ряду дозволенных
значений полной энергии* En (n = 1, 2, 3 …). Изменение энергии связано с
квантовым (скачкообразным) переходом атома из одного стационарного
состояния в другое.
Условие стационарности состояния атома – квантование момента импульса
электрона L.
При движении электрона по круговой орбите радиуса rn (n = 1, 2, 3 …) его
момент импульса Ln = mevrn должен быть кратен постоянной Планка, деленной
на 2 , т. е.
h
, (n = 1, 2, 3 …).
(4.2)
2
Здесь me – масса электрона; v – его скорость. Число n называют главным
Ln
m e vrn
n
квантовым числом.
Так как
h
2
 , то с учетом этого обозначения условие квантования орбит
будет иметь следующий вид:
Ln
n , (n = 1, 2, 3 …).
(4.3)
Второй постулат Бора:
Излучение испускается или поглощается в виде квантов энергии  при
переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Энергия
кванта (фотона) равна разности энергий стационарных состояний атома, между
которыми происходит переход:

En Em .
(4.4)
Здесь En – энергия стационарного состояния атома до перехода электрона;
Em – энергия стационарного состояния после квантового перехода
электрона. При En > Em фотон с энергией  излучается, при En < Em атом
поглощает фотон  .
Как мы видим, постоянная Планка появляется у Бора дважды: первый раз
она определяет стационарные состояния, второй – частоту излучения (или
поглощения) при переходе атома из одного стационарного состояния в другое.
Применим условие стационарности состояния атома (4.2). С помощью
этого условия исключим из уравнения (4.1) скорость v. В результате, для
радиусов стационарных орбит rn получим:
rn
2 2
4 0
n , (n = 1, 2, 3 …).
mee 2
(4.5)
Радиус первой орбиты (n = 1) называется первым боровским радиусом, его
обозначают r0. Численное значение первого боровского радиуса:
*
В квантовой физике мы будем обозначать полную энергию буквой E,
потенциальную – буквой U.
r0
0,529 10
10
м

0,529 A .
(4.6)

1A 10 10 м .
Полная энергия E атома водорода в нашей модели равна сумме
2
кинетической энергии (mev max)/2 и отрицательной потенциальной энергии
2
взаимодействия электрона с ядром: (-e )/(4 0r), т. е.
E
mev2
2
e2
4
0r
.
(4.7)
2
Из уравнения движения электрона (4.1) заменим в (4.7) mv /2 на
2
e /(8 0r), тогда полная энергия атома водорода
E
e2
8
e2
0r
4
0r
e2 .
8 0r
Подставив сюда выражение для rn из (4.5), получим En – энергию
стационарного состояния атома водорода, зависящую от главного
квантового числа n:
En
2
1
4
0
mee 4 1
, n 1, 2, 3 ...
2
2
2
n
(4.8)
Состояние атома водорода при главном квантовом числе n = 1 называется
основным состоянием. Численное значение энергии основного состояния
атома водорода:
E1
вид:
2
1
4
0
mee4
2 2
2,18 10 18 Дж 13,6 эВ ;
(4.9)
1эВ 1.6 10 19 Дж .
С учетом значения E1 энергия стационарного состояния En имеет простой
En
13,6
1
, эВ .
2
n
(4.10)
4.2. Спектры излучения атома водорода в теории Бора
Изобразим на рис. 4.2 в масштабе энергетические уровни атома водорода
En в зависимости от главного квантового числа n, в соответствии с формулой
(4.10).
Рис. 4.2
Согласно второму постулату Бора (4.4), энергия излученного фотона 
равна разности энергий стационарных состояний, между которыми происходит
квантовый переход:

 2
E n E m , в случае излучения n > m.
Подставляя сюда выражения для En и Em (4.8), для частоты
2
1
4
0
mee 4 1
4 3 m2
1
n2
R
1
m2
1
,
n2
получим:
(4.11)
здесь
R
2
1
4
0
mee4
4 
3
3,29 1015 , 1/c
(4.12)
– постоянная Ридберга, она так названа в честь шведского физика И.
Ридберга.
Так как = c/ , то для длины волны получим следующее выражение:
1
1
1 ,
R' 2
(n > m).
(4.13)
m
n2
Здесь
R = R/c = 1,097 107 1/м
(4.14)
тоже называют постоянной Ридберга.
Из теории Бора следует, что спектр атома водорода имеет линейчатый
характер, причем наблюдаемые линии объединены в спектральные серии.
Задается серия номером m уровня, на который происходит квантовый переход.
Первые серии названы именами ученых-физиков:
1
, (n = 2, 3, 4 …);
n2
1
1
1 ,
R' 2
m = 2, серия Бальмера,
(n = 3, 4, 5 …);
2
n2
1
1
1 ,
R' 2
m = 3, серия Пашена,
(n = 4, 5, 6 …);
3 n2
1
1
1
R' 2
m = 4, серия Брэкета,
, (n = 5, 6, 7 …);
4
n2
m = 1, серия Лаймана,
1
R' 1
(4.15)
и т. д.
Спектры атома водорода были изучены экспериментально до создания
Бором своей теории. Хорошее совпадение экспериментальных данных с
выводами теории Бора для спектров атома водорода говорит в пользу этой
теории.
Однако, попытки применить теорию Бора к более сложным атомам
потерпели неудачу. В настоящее время теория атома Бора представляет
исторический интерес как промежуточный этап к созданию более верной
теории. Такая теория теперь существует – это квантовая механика.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 4
1. Уравнение движения электрона в планетарной модели атома,
записанное на основе второго закона Ньютона, позволяет атому иметь любой
размер, опыт же показывает, что размеры атомов порядка 10 -10 м. Это
противоречие теории и опыта получило название проблемы размера атома.
2. Проблема стабильности атома состояла в том, что в планетарной
модели атома электрон, двигаясь по окружности, должен, из-за наличия
ускорения, непрерывно излучать энергию и через время ~10 -8 с упасть на ядро.
Однако, весь наш опыт весомо свидетельствует о стабильности атомов.
3. Проблемы эти были решены в 1913 г. Н. Бором на основе его двух
постулатов:
1) существуют стационарные состояния, находясь в которых, атом не
излучает электромагнитных волн. Условие стационарности состояния атома –
квантование момента импульса электрона L:
Ln
m e vrn
n
h
2
или
Ln
n;
2) излучение испускается или поглощается в виде квантов энергии 
при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Энергия
кванта равна разности энергий
стационарных состояний атома, между
которыми происходит переход:

En Em ,
здесь Еn – энергия стационарного состояния до перехода, Еm – энергия
стационарного состояния после перехода.
4. Дополнив механику Ньютона этими постулатами, Н. Бор получил
выражения для радиусов стационарных орбит rn (см. (4.5)):
rn
4
2 2
n
0
mee 2
и энергии стационарных состояний атома водорода Еn (см. (4.8)):
2
mee 4 1 .
En
4 0
2 2 n 2
В этих формулах n – целое положительное число: n = 1, 2, 3 …
5. Из второго постулата Бора и формулы для Еn следует выражение,
1
определяющее длины волн, излучаемых (и поглощаемых) атомом водорода (см.
(4.12), (4.13)):
1
R'
1
m2
1
.
2
n
R называют постоянной Ридберга, ее экспериментальное значение
R = R/c = 1,097 107 1/м.
Величину R также называют постоянной Ридберга, теория Бора дает для
нее следующее выражение:
R
2
1
4
0
mee4
4 
3
;
Теоретическое значение R близко к ее экспериментальному значению:
R = 3,29 1015 1/с.
КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ МИКРООБЪЕКТОВ
Корпускулярно-волновой дуализм заключается в том, что всем
микрообъектам (фотонам, электронам, протонам, нейтронам и т д.) присущи
одновременно и корпускулярные, и волновые свойства. В одних условиях
микрообъекты проявляют себя как частицы, обладающие определенной

энергией Е и импульсом p , а в других обнаруживают свою волновую природу
(в явлениях интерференции и дифракции).
Впервые корпускулярно-волновой дуализм был установлен для света.
Затем (1923 г.) французский физик Л. де Бройль высказал гипотезу о всеобщем
характере корпускулярно-волнового дуализма.
5. СВОЙСТВА ФОТОНОВ. ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ПЛОТНОСТИ ЭНЕРГИИ И ИНТЕНСИВНОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
ВОЛНЫ
5.1. Свойства фотонов
Фотон – это элементарная частица, квант электромагнитного излучения.
1. Скорость фотона всегда постоянна и равна скорости света в вакууме.
c 3 108 м / с .
(5.1)
2. Масса фотона
m 0 .
(5.2)
3. Энергия фотона
h

, см (3.2).
4. Импульс фотона p


p k ,

c
c
k ,
(5.3)

здесь k = /c – волновое число; k – волновой вектор.
Выражения для импульса фотона следуют из релятивистского инварианта с
учетом того, что масса фотона m = 0. В самом деле (см. ч. 1, (12.9)), для фотона
с энергией имеем:
2
c2p2
m 2c 4 inv.
Так как для фотона m m = 0, то
2
c2p2
0
=>
p
c
.
5.2. Неделимость фотона
Фотон частоты
всегда регистрируется как частица, несущая энергию
 . Нельзя получить фотоны той же самой частоты , но с энергией =
/2! Рассмотрим мысленный опыт с полупрозрачным зеркалом, разделяющим
пучок света интенсивностью I на две части, интенсивностью I/2 каждая. Схема
этого мысленного опыта изображена на рис. 5.1.
Рис. 5.1
Предположим, что сначала интенсивность света I велика. Тогда по
величине фототока i фотоэлементов 1 и 2 можно судить об интенсивностях
пучков I1 и I2. Такой опыт можно проделать реально и убедиться в том, что
наше полупрозрачное зеркало действительно делит интенсивный пучок
пополам. Разумеется, надо подобрать фотоэлемент с работой выхода A  ,
это условие необходимо для наблюдения фотоэффекта.
Теперь изменим условие опыта. Пусть интенсивность пучка, идущего от
источника света, так мала, что фотоны
проходят через нашу установку
поодиночке. Пусть соотношение между
работой выхода и энергией фотона
удовлетворяет еще одному условию:
 / 2 A . Вместе с предыдущим
условием мы имеем:

A  .
2
Как видно на изображенной
энергетической схеме фотоэффекта,
целый фотон с энергией
вызовет
фотоэффект и фотоэлемент сработает (
Рис. 5.2

A ), половина же фотона не
сможет заставить сработать фотоэлемент (  / 2 A ). Логически при
прохождении одиночных фотонов возможны два варианта.
Первый вариант: каждый фотон делится пополам, так что после
полупрозрачного зеркала энергия разделенных фотонов
= /2. Тогда
фотоэлементы 1 и 2 перестают срабатывать. Но, если в этом случае убрать

A попадут на
полупрозрачное зеркало, то целые фотоны с энергией
фотоэлемент 1 и он будет срабатывать.
Второй вариант: фотон не делится зеркалом пополам, а либо целиком
попадает на фотоэлемент 1, либо, целиком же, попадает на фотоэлемент 2,
заставляя их срабатывать попеременно.
Реальные опыты с фотонами показывают, что в действительности
осуществляется второй вариант: фотон неделим!
5.3. Интерференция одиночных фотонов
Дополним нашу установку по «расщеплению» фотонов еще одним
элементом: зеркалом, отражающим второй пучок так, чтобы он встретился с
первым. В месте встречи поставим экран наблюдения, вдоль которого
расположим достаточно маленькие фотоэлементы, но их размер х должен
быть больше, чем длина волны света (рис. 5.3).
При большой интенсивности пучка I мы получим на экране наблюдения
интерференционную картину от двух источников с чередованием максимумов и
минимумов интенсивности. Ее можно наблюдать непосредственно, а можно
зафиксировать с помощью нашей системы фотоэлементов, скажем, в памяти
компьютера.
Что произойдет, если интенсивность пучка опять сделать такой же малой,
как и во второй части опыта по «расщеплению» фотонов, так, чтобы фотоны
проходили нашу установку поодиночке?
Рис. 5.3
Получим мы в этом случае интерференционную картину или нет?
Как мы знаем, интерференционная картина возникает от наложения двух
(или больше) когерентных волн света (электромагнитных волн). Если фотон
совершенно неделим, то при прохождении одиночных фотонов накладываться
друг на друга нечему. И в этом случае интерференционная картина не должна
сформироваться, сколько бы времени мы не накапливали информацию о
срабатывании наших фотоэлементов в памяти компьютера (вспомните
заключительную часть высказывания Милликена (см. лекцию № 3, § 2).
Но опыт показывает, что с течением времени на экране наблюдения
формируется интерференционная картина с тем же самым расположением
максимумов и минимумов, как и при большой интенсивности света.
Что же делится в нашей установке пополам и накладывается друг на друга?
Делится электромагнитная волна, связанная с фотоном! В зависимости от
разности хода, две волны усиливают или ослабляют друг друга. Фотоны, как
показывает опыт, чаще попадают в те места, где интенсивность волны
больше. Это и приведет с течением времени к формированию одиночными
фотонами интерференционной картины.
5.4. Вероятностная интерпретация плотности энергии и интенсивности
электромагнитной волны
Результаты мысленных экспериментов, рассмотренных в § 2, 3, позволяют
сформулировать некоторые выводы.
1. Распространение фотонов в пространстве в некотором смысле
правильно описывается уравнениями Максвелла для электромагнитной волны.
Электромагнитная волна, падающая на полупрозрачное зеркало, действительно
«расщепляется» на две волны, которые могут интерферировать друг с другом.
E2
H2
0
0
w
2
2 и I ~ E2 в случае малой интенсивности
2. Величины
волны (малых значений напряженности электрического поля E и индукции
магнитного поля B = 0H) не могут быть истолкованы как плотность энергии и
плотность потока энергии (интенсивность света). Величина w (так же, как и I)
может быть сделана сколь угодно малой, а энергия, передаваемая фотоном
фотоэлементу, всегда конечна и равна  !
3. Правильная интерпретация величин, пропорциональных E2 и Н2,
состоит в том, что они определяют вероятность обнаружения фотона в
некоторой области пространства.
Таким образом, энергию переносит фотон, а электромагнитная волна дает
только вероятность обнаружения этого фотона. Плотность энергии
w одиночного фотона равна произведению энергии фотона на вероятность его
нахождения в данной области пространства.
При очень большом числе фотонов (больших интенсивностях света)
величина w дает среднюю плотность энергии, создаваемую этими фотонами.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 5
1. Корпускулярно-волновой дуализм микрообъектов заключается в том, что
всем им (фотонам, электронам, протонам, нейтронам и т. д.) присущи
одновременно и корпускулярные, и волновые свойства.
2. 2. Фотон – это элементарная частица, квант электромагнитного
излучения. Он обладает следующими свойствами:
1) скорость фотона: c 3 108 м / с;
0;
2) масса фотона: m
3) энергия фотона:
4) импульс фотона: p
 ;
h
h
.
c
3. Распространение фотонов в пространстве в некотором смысле
правильно описывается уравнениями Максвелла для электромагнитных волн,
при этом величины плотности энергии электромагнитной волны в вакууме:
E2
H2
0
0
w
2
2
и интенсивности
I ~ E2
– для одиночных фотонов определяют вероятность обнаружить фотон в
некоторой области пространства.
6. ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОНОВ.
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
6.1. Гипотеза де Бройля. Волновые свойства электронов
Согласно гипотезе де Бройля, любой движущейся частице с энергией E и

h/p
E h , длиной волны
импульсом p соответствует волна с частотой


и волновым вектором k p /  . Так же, как в случае с фотоном, с
соответствующей волной связаны частицы, обладающие энергией E h и

(или p

k ).
импульсом p h
С фотонами связаны электромагнитные волны. Волны, для частиц с m 0 ,
о существовании которых догадался Л. де Бройль, носят название волн де
Бройля. Длина волны де Бройля:
h ,
p
здесь p – импульс частицы.
λ
(6.1)
Сопоставим свойства фотона и электрона, известные Л. де Бройлю во
время публикации своих работ (1923 – 24 гг.).
Фотон:
8
Скорость: v c 3 10 м / с
Масса: m
Энергия:
h
inv.
Масса: m e
Энергия:
0

0
mec 2
E
Импульс:
p k
Электрон:
Скорость: 0 v c
v2
1 2
c
Импульс:
h
2
2

mv

p
h
Уравнение плоской электромагнитной
волны, которое является следствием
уравнений Максвелла
E(x, t ) E m cos( t kx )
v2
1 2
c
Волновые свойства электронов пока (1923
г.) не обнаружены, но, если предположить,
что для электрона
E
,k

Интерференция и дифракция
электромагнитных волн – волновые
свойства фотонов
p
(или

h
)
p
и что существуют «электронные» волны
( x, t )
t kx , то
m cos
нужно искать проявление волновых
свойств электронов – интерференцию и
дифракцию волн де Бройля
Возникает вопрос: почему мы не наблюдаем волновых свойств у
макроскопических тел?
Волновые свойства – это интерференция и дифракция. Для наблюдения
интерференции и дифракции волн необходимо экспериментальное устройство,
создающее разность хода порядка длины волны .
Найдем длину волны де Бройля для тела массой m = 1 г = 10-3 кг,
движущегося со скоростью v = 1 м/с.
Так как v << c, то импульс тела можно найти по классической формуле
p mv. Тогда
h
mv
6,626 10 34
10 3 1
6,626 10 31 ~ 10 30 м.
Мы видим, что длина волны де Бройля для макроскопических тел
чрезвычайно мала. Для сравнения, размеры атомов и межатомных расстояний в
10
твердых телах порядка ангстрема, 1 A 10 м. Следовательно, мы не сможем
создать устройство, обеспечивающее разность хода
~ 10-30 м, эта величина
меньше межатомных расстояний в 1020 = 100 000 000 000 000 000 000 раз!
Оценим длину волны де Бройля для электрона. Пусть наш электрон
ускоряется разностью потенциалов U = 100 В. При такой разности потенциалов
можно пользоваться ньютоновскими формулами для энергии и импульса.
Выразим
кинетическую
энергию
через
импульс
электрона
mv 2 / 2
p 2 / 2m . Затем работу электрического поля eU приравняем к
p
mv;
полученной электроном кинетической энергии:
eU
p2 ,
2m
откуда
p
2meU .
Вычислим длину волны де Бройля для нашего электрона:
h
h
6,626 10 34
1,22 10 10 м .
p
2meU
2 9,1 10 31 1,6 10 19 102
Полученная величина имеет порядок межатомных расстояний в кристалле,
значит отражение «электронных волн» от поверхностных слоев атомов
кристалла можно использовать для обнаружения волновых свойств электронов.
Такой опыт выполнили в 1927 г. американские физики Дэвиссон и Джермер.
Они обнаружили волновые свойства электронов в эксперименте по отражению
электронов от поверхности монокристалла никеля.
Волны де Бройля электронов частично отражались от поверхности
монокристалла никеля, частично – от второго слоя атомов, тем самым между
2d sin (рис.
отраженными волнами создавалась известная разность хода
6.1). Условие максимума первого порядка интерференции двух волн имеет, как
известно, следующий вид: = .
При
2d sin получим
условие максимума для волн,
отраженных
от
двух
поверхностных
слоев
кристалла:
2d sin
.
Постоянная
решетки
кристалла никеля d была
известна, и для определенного
угла можно было рассчитать
длину волны , при которой
должен был наблюдаться
максимум. Длину волны де
Рис. 6.1
Бройля электронов в опыте
Дэвиссона и Джермера можно
очень просто изменять, изменяя ускоряющую разность потенциалов U. Опыт
показал, что максимум отраженного электронного пучка наблюдался при
значениях длин волн де Бройля электронов, очень близких к расчетным.
Позднее волновые свойства были обнаружены у нейтронов, атомных и
молекулярных пучков. Во всех случаях эксперименты подтверждали связь
между длиной волны де Бройля и импульсом частицы:
h
.
p
6.2. Дифракция одиночных электронов
В опытах Дэвиссона и Джермера интенсивность электронных пучков была
велика. Возникает вопрос, появится ли дифракционная картина в случае, если
электроны проходят через экспериментальную установку, например, кристалл,
представляющий собой дифракционную решетку, поодиночке (аналогично
одиночным фотонам в лекции № 5, § 3). Опыт с одиночными электронами
выполнили в 1949 г. советские физики Л. М. Биберман, Н. Г. Сушкин и В. А.
Фабрикант. Они наблюдали дифракционную картину электронного пучка от
мелкокристаллического тела. Разумеется, один электрон не даст сразу
интерференционной картины, он будет просто зафиксирован целиком в
определенном месте пространства. Но с течением времени, как показал опыт,
формируется такая же дифракционная картина, как и при большой
интенсивности пучка. Следовательно, волновые свойства нельзя объяснить
взаимодействием различных электронов в интенсивном пучке, они присущи
каждому одиночному электрону.
Экран
наблюдения
электрон
Непроницаемый
для электронов
экран с двумя
щелями
Рис. 6.2
Nx - число
срабатываний
счетчика электронов,
имеющих координату x
Мы рассмотрим идеализацию действительного опыта – мысленный
эксперимент по дифракции электронов на двух щелях. Схема этого мысленного
эксперимента такая же, как и у опыта Юнга по интерференции света (рис. 6.2).
Электронный пучок направляется на непрозрачный экран с двумя щелями,
расположенными на расстоянии d друг от друга. Электроны фиксируются
маленькими счетчиками, размером в x, расположенными вдоль экрана
наблюдения.
При интенсивном пучке электронов графиком зависимости числа
срабатываний счетчиков от координаты x будет интерференционная кривая:
чередование максимумов и минимумов (точнее, ступенчатая функция –
гистограмма, но при малых x ее ступенчатость будет мала).
Что будет происходить в этой установке, если электроны будут проходить
ее поодиночке? Как показывает опыт, с течением времени сформируется точно
такая же интерференционная картина, как и с интенсивным пучком электронов.
Как можно объяснить появление этой интерференционной картины? Электрон
неделим, он всегда регистрируется целиком. Значит, дебройлевская волна
каждого электрона проходит одновременно через оба отверстия, затем волны,
идущие от отверстий 1 и 2, интерферируют друг с другом. Электроны чаще
попадают в те места экрана, где интенсивность результирующей волны больше.
Здесь ситуация аналогична той, что была разобрана нами в предыдущей лекции
для случая интерференции одиночных фотонов.
6.3. Волновая функция и волна де Бройля
Дальнейшее развитие физики показало, что волна де Бройля – частный
случай более общего фундаментального понятия квантовой физики – волновой
функции, которую обозначают греческой буквой , («пси»).
В общем случае волновая функция – это комплексная функция координат и
времени. Подробнее с волновой функцией мы познакомимся при изучении
дифференциального уравнения – уравнения Шредингера, решением которого
является волновая функция.
Волновая функция свободно движущейся частицы с точно заданным
импульсом p и является волной де Бройля. В частном случае движения вдоль
оси х она имеет вид плоской волны:
(x, t )
Ae
i
( Et px)

A cos
1
Et

px
i sin
1
Et

px
,
(6.2)
здесь А – нормировочная постоянная; E – энергия частицы; p – ее
импульс;
e = 2,73… – основание натуральных логарифмов; i
1 – мнимая единица.
В 1926 г. Макс Борн дал вероятностную интерпретацию волновой
функции
, согласно которой квадрат модуля волновой функции
2
определяет вероятность dw того, что микрообъект будет обнаружен в пределах
объема dV, т. е.
2
dw
Здесь Ψ
2
dV .
(6.3)
Ψ Ψ*,
* – это комплексно-сопряженная функция, которая
отличается от
тем, что мнимую единицу i заменяют на -i. Напомним, что
i
1 . Произведение i на (-i) дает единицу, в самом деле,
1 (
1)
( 1) 1 , таким образом, вероятность dw будет определяться,
как и требуется, положительным числом.
На функцию
накладывается условие нормировки, которое следует из
того, что полная вероятность w обнаружить частицу в любом месте доступного
ей пространства должна быть равна единице, т. е.:
w
dw 1 .
(6.4)
V
Подставляя сюда dw, получим условие нормировки для волновой функции
:
2
dV 1 .
(6.5)
V
6.4. Соотношения неопределенностей
Математически соотношение неопределенностей имеет вид неравенства:
x px
где
 ,
2
(6.6)
х – неопределенность координаты микрочастицы;
px – неопределенность соответствующей компоненты импульса.
Для y py и z pz справедливы аналогичные соотношения.
Соотношения неопределенностей впервые были установлены в 1927 г.
немецким физиком Вернером Гейзенбергом.
Соотношения неопределенностей являются следствием корпускулярноволнового дуализма квантовых объектов.
Задолго до создания квантовой механики в оптике было известно
соотношение между длиной цуга световой волны x и неопределенностью
волнового числа этого цуга k:
x k 2 .
 
С учетом соотношения де Бройля (6.1) для p и k :
 
p k ,
получим
x
px

2 , или x p x
2 ,
что по порядку величины совпадает со сформулированным выше
соотношением неопределенностей.
Для того, чтобы пояснить физический смысл соотношения
неопределенностей, рассмотрим три различные волновые функции,
изображенные на рис. 6.3. (так как волновая функция является комплексной, то
будем считать, что изображены вещественные части волновых функций). Наши
волновые функции представляют собой цуги гармонических волн разной
протяженности, распространяющиеся вдоль оси x.
В
соответствии
с
вероятностным
смыслом
волновой функции (6.3),
микрообъект
можно
обнаружить только там, где
волновая
функция
отличается от нуля. Это
значит,
что
неопределенность,
с
которой наши волновые
функции
задают
координату
х
микрообъекта, совпадает с
пространственной
протяженностью
соответствующих
волновых функций. Из рис.
6.3
видно,
что
неопределенности
координаты х для наших
Рис. 6.3
частиц
удовлетворяют
неравенствам:
x1
x2
x3 .
Для неопределенностей импульса
p h
(6.1), то ясно, что
px связан с
px – ситуация обратная. Так как
. Продифференцировав формулу,
связывающую p с , получим:
Δp x
h
dλ
λ2
h dλ
.
λ λ
Заменяя дифференциалы приращениями, а h/
опуская «минус», получим:
выражая через px (27.2) и
px
px
.
Т. е. относительная неопределенность импульса
px/px равна
относительной неопределенности длины волны
/ .
Величина
/ – самая маленькая для первой волновой функции, а самая
большая – для третьей. Грубой мерой для
/ может служить величина 1/N,
где N – число полных волн, из которых состоит цуг, т. е.:
1
.
N
Учитывая связь с px/px, получим:
px
px
1
.
N
Из рис. 6.3 видно, что N
px
px
1
x
x / , тогда:
.
x
Наконец, заменив в этом выражении
на h/px, получим после простых
преобразований:
px x h .
Мы рассматривали волновые функции, представляющие собой отрезки
синусоид. Для волн любой формы полученное нами соотношение принимает
форму неравенства:
px x h .
Отметим, что в приведенном соотношении неопределенностей (6.6)
p x x  2, равенство достигается в случае, если волновые функции
представляют из себя гауссовы волновые пакеты.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 6
1. Гипотеза о наличии у электронов волновых свойств выдвинул в 1924 г.
Л. де Бройль. В соответствии с этой гипотезой длина волны де Бройля
определяется формулой:
h
,
p
где р – импульс электрона.
Частота волны де Бройля находится из формулы:
E
,

где Е – энергия электрона.
2. Длины волн де Бройля для макроскопических объектов чрезвычайно
малы, поэтому их волновые свойства (интерференция и дифракция) не
проявляются.
3. Волновые свойства электронов обнаружили в 1927 г. Дэвиссон и
Джермер в эксперименте по отражению электронов от поверхности кристалла
никеля.
4. Советские физики А.М. Биберман, Н.Г. Сушкин и В.А. Фабрикант
выполнили в 1949 г. опыты по дифракции одиночных электронов. При этом с
течением времени формировалась такая же дифракционная картина, как и при
большой интенсивности пучка.
Из этих опытов следует, что каждому одиночному электрону присущи,
наряду с корпускулярными, и волновые свойства.
5. Волна де Бройля является частным случаем более общего
фундаментального понятия квантовой физики – волновой функции. Ее принято
обозначать греческой буквой («пси»).
6. Физический смысл волновой функции состоит в том, что квадрат ее
модуля определяет вероятность dw того, что микрообъект будет обнаружен в
пределах объема dV (см. (6.3)):
dw
2
dV.
Эту вероятностную интерпретацию волновой функции дал в 1926 г. Макс
Борн.
7. Соотношение неопределенностей утверждает, что произведение
неопределенности координаты микрочастицы на неопределенность ее импульса
не может быть меньше, чем  / 2 , т. е.
x px

,
2
аналогичные соотношения справедливы для y py и z pz.
Эти соотношения были установлены в 1927 г. В. Гейзенбергом и носят его
имя: соотношения неопределенностей Гейзенберга.
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. ПОНЯТИЕ ОБ ОПЕРАТОРАХ
ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ СЛУЧАЕВ. ЧАСТИЦА В БЕСКОНЕЧНО
ГЛУБОКОЙ ОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ
7.1. Уравнение Шредингера
Волновое уравнение, позволяющее найти волновую функцию частицы,
которая движется в заданном силовом поле, имеет следующий вид:
2
2m
2
U
i
,
t
(7.1.)
здесь  1,05 10 34 Дж с – постоянная Планка; m – масса частицы; U – ее
потенциальная энергия во внешнем поле, которая, вообще говоря, может
2
зависеть и от времени t, i
обозначен
1 – мнимая единица, через
оператор Лапласа. Оператор – это совокупность действий, которые надо
провести над функцией. В декартовой системе координат оператор Лапласа
имеет вид:
2
2
2
2
2
2
2
.
x
y
z
Волновое уравнение для функции
получено в 1926 г. австрийским
физиком Эрвином Шредингером и носит его имя – уравнение Шредингера.
В квантовой механике уравнение Шредингера играет такую же
фундаментальную роль, как и уравнения движения Ньютона в классической
механике.
В случае, если внешнее поле, в котором движется частица, не зависит от
времени ( U U( t ) ), то:
( x, y, z, t )
( x , y, z )
i
Et

e
.
(7.2)
Здесь E – полная энергия частицы, которая в стационарном состоянии
сохраняется. Волновая функция
распадается на произведение двух
сомножителей. Первый сомножитель (x, y, z) – координатная волновая функция.
Второй сомножитель, exp i E  t , дает временную зависимость волновой
функции . Эта зависимость универсальна, т. е. не зависит от конкретного вида
функции U(x, y, z), задающей потенциальную энергию.
Подставим в уравнение Шредингера (7.1) волновую функцию (7.2). После
дифференцирования по t и сокращения на экспоненту, получим
дифференциальное уравнение для координатной волновой функции (x, y, z):
2 2
U
E .
(7.3)
2m
Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных
состояний.
Отметим, что квадраты модулей полной
и координатной
волновых
функций совпадают. Действительно:
ΨΨ*
E
i t
Ψe 
E
i t
Ψ*e 
ΨΨ * .
(7.4)
Для системы N взаимодействующих частиц волновая функция является
функцией 3N координат и времени t, т. е.
(x1, y1, z1; x 2 , y2 , z 2 ;... x N , y N , z N ; t ) .
Оператор Лапласа, деленный на массу 2 / m , заменяется на сумму
соответствующих выражений для каждой частицы, т. е.
2
m
N
2
i
.
i 1 mi
В качестве U записывается потенциальная энергия взаимодействия частиц,
т.е.
U U(x1, y1, z1; x 2 , y2 , z 2 ;... x N , y N , z N ; t ) .
Решение получающегося уравнения представляет большие математические
трудности, которые возрастают с ростом числа частиц N. В дальнейшем мы
будем рассматривать только стационарное уравнение Шредингера для одной
частицы, причем ограничимся простейшими потенциальными полями.
7.2. Понятия об операторах физических величин
Уравнение Шредингера для стационарных состояний (7.3) можно записать
в следующем, операторном, виде:
H
E
,
(7.5)
здесь H – гамильтониан частицы, или оператор Гамильтона. Оператор
Гамильтона H получается из функции Гамильтона, которая есть сумма
кинетической энергии частицы, выраженной через импульс, и ее потенциальной
энергии, т. е.
H
p2
U.
2m
(7.6)
Если в этом выражении импульс частицы p заменить на оператор импульса p , то из функции Гамильтона получим оператор Гамильтона H . Оператор
импульса частицы в квантовой механике выглядят следующим образом:


p i ,
(7.7)
следовательно, гамильтониан H для одной частицы будет иметь
следующий вид:
 2
2
H
i
2m
p
U
2m
U
2
2m
2
U.
(7.8)
Легко убедиться, что после подстановки полученного выражения для H в
уравнение Шредингера в операторном виде мы получим уравнение Шредингера
в виде (7.3).
7.3. Решение уравнения Шредингера для простейших случаев:
свободная частица и частица в бесконечно глубокой одномерной
потенциальной яме
Для свободной частицы потенциальная энергия U
Шредингера (7.3) в этом случае выглядит следующим образом:
2
2m
2
E .
(7.9)
Для частицы, движущейся вдоль оси х, волновая функция
уравнение еще упрощается:
 2 d 2 (x)
2m
dx
E (x) .
0. Уравнение
=
(х), и
(7.10)
Решением этого уравнения будет экспоненциальная функция:
(x)
px
x
Ae 
i
,
(7.11)
проверить это легко прямой подстановкой. При этом для энергии E
получаем, как и следовало ожидать,
p 2x
,
E
(7.12)
2m
здесь px = mv – импульс частицы.
Мы видим, что у свободной частицы энергия E и импульс px могут
принимать любые значения, т. е. не квантуются.
Полную волновую функцию
(x, t) получим, домножив
(x) на
временной множитель:
( x, t ) Ae
i
( Et px)

.
(7.13)
Это есть не что иное, как уравнение волны де Бройля (6.2).
В случае бесконечно глубокой одномерной потенциальной ямы
шириной а потенциальная энергия:
, если x 0,
U( x )
0, если 0 х a,
, если x a.
Рис. 7.1
Изобразим график U(x) (рис.
7.1). Если частица находится в яме,
то ее координата х может изменяться
от нуля до a. За пределы ямы частица
выйти не может, так как там
потенциальная энергия бесконечно
велика (стенки ямы бесконечно
высоки).
Значит,
вероятность
обнаружить частицу в любом месте
за пределами ямы равна нулю (dw =
0).
В одномерном случае из (6.3)
получим:
2
dw
( x ) dx .
(7.14)
Откуда следует, что за пределами ямы волновая функция тождественно
обращается в ноль.
Из условия непрерывности волновой функции следует, что внутри ямы она
должна так зависеть от координаты х, чтобы обращаться в ноль на границах
ямы. Значит, граничные условия на волновую функцию
будут иметь
следующий вид:
(0) 0
.
(a ) 0
(7.15)
Внутри ямы U 0, и уравнение Шредингера будет иметь такой же вид, как
и для свободной частицы (7.10):
 2 d 2 (x)
2m dx 2
E (x) ,
или
d2
2mE
0.
dx 2
2
2
Так как E p / 2m , то для коэффициента при
p2
2
2mE
2
k2 .
Откуда получим энергию частицы:
E
 2k 2 .
2m
Здесь k
p /  – волновое число.
(7.16)
имеем:
В результате, уравнение Шредингера примет вид хорошо известного нам
дифференциального уравнения:
d2
dx 2
k2
0 .
(7.17)
Решением этого уравнения, как известно, являются гармонические
функции (синус или косинус) и мнимая экспонента. Здесь нам удобнее взять
функцию «синус» с нулевой начальной фазой. Тогда (x) – волновая функция
частицы – будет иметь следующий вид:
( x ) C sin kx .
(7.18)
Постоянная С будет найдена позднее из условия нормировки (7.14).
Так как sin 0 = 0, то граничное условие на левой границе ( (0) = 0)
автоматически выполняется. Потребуем выполнения граничного условия на
правой границе:
(a ) C sin ka 0 .
(7.19)
Это граничное условие будет выполнено, если
ka n , (n = 1, 2, 3…).
Значение целого числа n = 0, хотя и удовлетворяет граничному условию, но
тождественно обращает волновую функцию в ноль (отсутствие частицы в яме!)
и поэтому не годится.
Отрицательные значения n не приводят к появлению новых состояний: при
2
dx не
изменении знака n меняется знак , тогда как вероятность dw
меняется.
В результате мы получили, что вследствие граничных условий волновое
число k может принимать лишь дискретные значения:
kn
n
a
, (n = 1, 2, 3…),
(7.20)
где квантовое число n принимает любые положительные целые значения,
начиная с 1. С аналогичной ситуацией мы уже встречались при рассмотрении
колебаний струны, закрепленной с двух концов (см. ч. 3, лекция № 6, § 6).
С волновым числом k связана энергия частицы E (7.16). Следовательно,
квантование волнового числа приводит к квантованию энергии частицы в
потенциальной яме:
En
 2 k 2n .
2m
Подставляя сюда kn из (7.20), получим формулу для стационарных
состояний энергии частицы в одномерной бесконечно глубокой
потенциальной яме шириной a:
2 2
En

n2 .
2
2ma
(7.21)
Схема энергетических уровней частицы в яме выглядит следующим
образом:
Рис. 7.2
Расстояния между соседними уровнями:
2 2
E
En 1 En

2ma 2
n 1
2
2 2
n
2

n.
ma 2
Оценим En для молекулы (m ~ 10-26 кг), находящейся в сосуде размером a
~ 0,l м.
2 2
En

n
ma 2
3,142 1,052 10 68
10 26 10 2
n 10 39 Дж
n 10 20 эВ .
Расстояния между уровнями в этом случае столь малы, что их
дискретность совершенно несущественна. Ситуация меняется, если
аналогичную оценку сделать для электрона ( me = 9,1 10-31 кг),
локализованного в области порядка атомных размеров (a ~ 10-10 м).
В этом случае:
E n 100 эВ ,
и дискретность уровней будет определять поведение частицы.
Условие нормировки (6.5) для нашей волновой функции (7.18) имеет
следующий вид:
2
a
C sin 2
0
nx
dx 1 .
a
Интеграл равен a/2, значит
2
.
a
C
Подставляя константу C в волновую функцию (7.18) и учитывая условия
квантования для волнового числа k (7.20), получим нормированные волновые
функции для частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме:
2
n
sin x , (n = 1, 2, 3…).
a
a
n (x)
(7.22)
Каждая из этих волновых функций задает квантовое состояние частицы с
квантовым числом n.
В соответствии с вероятностным смыслом волновой функции (6.3),
вероятность dwn обнаружить нашу частицу в интервале от x до x + dx, если она
находится в квантовом состоянии n, дается следующим выражением:
2
dw n
2
n
sin
x dx .
a
a
(7.23)
Плотность вероятности обнаружения частицы:
dw n
dx
ψ 2n
2 2 πn
sin
x .
a
a
(7.24)
Графики волновых функций первых двух квантовых состояний и
соответствующие графики плотности вероятности приведены на рис. 7.3, а,б.
а)
б)
Рис. 7.3
Из графика плотности вероятности для состояния с n = 2 видно, что точно
2
посередине ямы частица не может быть обнаружена, так как там 2 = 0. По
классическим же представлениям, частица должна была двигаться равномерно
внутри ямы, отражаясь от ее стенок. Ясно, что при этом все положения частицы
в яме равновероятные.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 7
1. Волновое уравнение для функции
получено в 1926 г. Э.
Шредингером и носит его имя – уравнение Шредингера. Для одной частицы,
движущейся во внешнем поле, оно имеет следующий вид (см. (7.1)):
2
2m
2
i
U
t
,
2
здесь
– оператор Лапласа, в декартовой системе координат он имеет
следующий вид:
2
2
2
x2
y2
z2
2
;
U – потенциальная энергия частицы во внешнем поле, которая может
зависеть и от времени;
1 – мнимая единица.
i
2. В случае, если внешнее поле, в котором движется частица, не зависит
от времени (т. е. U U(t)), то волновая функция может быть представлена в
следующем виде (см. (7.2)):
i
Et
 ,
( x, y, z, t )
( x, y, z) e
здесь Е – полная энергия частицы в стационарном состоянии; (x, y, z) –
координатная волновая функция.
3. Для координатной волновой функции справедливо
Шредингера для стационарных состояний (см. (7.3)):
2
2m
2
U
E .
4. Квадраты модулей полной
совпадают:
2
2
уравнение
и координатной
волновых функций
,
2
таким образом,
в случае стационарных состояний определяет
плотность вероятности обнаружения частицы.
5. Для свободной частицы U = 0 решением уравнения Шредингера
является уравнение волны де Бройля (см. (7.13)):
(x, t )
Ae
i
( Et px )

.
6. Для частицы, движущейся в одномерной бесконечно глубокой
потенциальной яме (см. рис. 7.1), из уравнения Шредингера вытекает
следующая формула для энергии стационарных состояний (см. (7.21)):
2 2
En

2ma 2
n2,
здесь а – размер ямы; m – масса частицы, n – целое число, n = 1, 2…
Таким образом, уравнение Шредингера предсказывает квантование
энергии микрочастицы, движущейся в ограниченной области.
7. Волновая функция частицы, движущейся в одномерной бесконечно
глубокой потенциальной яме имеет следующий вид (см (7.22)):
n (x)
2
n
sin x.
a
a
8. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДА. КВАНТОВЫЕ
ЧИСЛА. СПЕКТРЫ АТОМА ВОДОРОДА В ТЕОРИИ ШРЕДИНГЕРА.
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ АТОМА
ВОДОРОДА
8.1. Уравнение Шредингера для атома водорода
В лекции № 7 мы разобрали боровскую теорию атома водорода,
основанную на постулатах Бора и условии стационарности состояний атома
(4.3).
Уравнение Шредингера, примененное к атому водорода, позволяет
получить результаты боровской теории атома водорода без привлечения
постулатов Бора и условия квантования. Квантование энергии возникает как
естественное условие, появляющееся при решении уравнения Шредингера, в
некотором смысле аналогичное причине квантования энергии для частицы в
потенциальной яме. Применить стационарное уравнение Шредингера (7.3) к
атому водорода – это значит:
а) подставить в это уравнение выражение для потенциальной энергии
взаимодействия электрона с ядром
U( r )
1
4
0
e2
;
r
б) в качестве m подставить me – массу электрона (если пренебречь, как и в
лекции № 4, движением ядра).
После этого получим уравнение Шредингера для атома водорода:
2
2m e
1
2
4
0
e2
r
E .
(8.1)
Так как потенциальная энергия зависит только от r, решение уравнения
удобно искать в сферической системе координат: r,
, (рис. 8.1).
Волновая функция в этом случае будет
функцией от r, и , т. е.

r
r, , .
(8.2)
Оператор Лапласа 2 необходимо записать в
сферических координатах, т. е. выразить через
производные по r, и . Мы не будем этого делать,
поскольку
получение
решения
уравнения
Шредингера для атома водорода не входит в
программу курса общей физики. Приведем лишь
Рис. 8.1
результаты.
Оказывается, что решение уравнения Шредингера для атома водорода
существует при следующих условиях:
а) при любых положительных значениях полной энергии ( E > 0). Это так
называемые несвязанные состояния электрона, когда он пролетает мимо ядра и
уходит от него на бесконечность;
б) при дискретных отрицательных значениях энергии
En
2
1
4
0
me e 4 1 ,
(n = 1, 2, 3…).
2 2 n 2
(8.3)
Эта формула совпадает с полученной Бором формулой для энергии
стационарных состояний атома водорода. Целое число n называют главным
квантовым числом.
8.2. Квантовые числа
Волновые функции электрона
,
) определяются тремя
nlm(r,
целочисленными параметрами: n, l, m e . Эти целые числа называются
квантовыми числами:
n – главное квантовое число, оно, как мы знаем (см. (8.3)), определяет
значение энергии E n , n = 1, 2, 3…;
l – азимутальное (орбитальное) квантовое число, оно определяет L –
модуль момента импульса электрона:
L  ll 1 .
(8.4)
При заданном n азимутальное квантовое число l может принимать
следующие значения:
l = 0, 1, … (n – 1),
(8.5)
всего n значений.
Следовательно, из уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса
электрона в атоме водорода квантуется и может принимать n значений. Так,
при n = 1 азимутальное квантовое число может принимать единственное
значение l = 0. При n = 2 возможны значения l = 0, 1;
ml – это магнитное квантовое число.
Из уравнения Шредингера также следует, что проекция момента импульса
L на выбранное направление в пространстве, скажем, ось z, также квантуется.
Величина этой проекции Lz связана с квантовым числом ml:
L z ml  .
(8.6)
При заданном l магнитное квантовое число ml может принимать
следующие значения:
me
l, l l 1 , ... 1, 0, 1... l 1 , l ,
(8.7)
всего 2l + 1 значений.
Значит, при заданной главным квантовым числом n энергии En возможны n
значений азимутального квантового числа (от l = 0 до n – 1) и 2l + 1 значений
магнитного квантового числа ml . Таким образом, при заданном n число
различных волновых функций
равно
n 1
2l 1
nlm, отвечающих заданной энергии En, будет
n2 .
(8.8)
l 0
2
Говорят, что уровень энергии En будет вырожден с кратностью n .
В атомной физике применяют заимствованные из спектроскопии условные
обозначения состояний электрона с различными значениями момента импульса:
l = 0 – s-состояние;
l = 1 – p-состояние;
l = 2 – d-состояние;
l = 3 – f-состояние;
затем идут g, h и дальше в алфавитном порядке.
Значение главного квантового числа n указывают перед буквой,
являющейся условным обозначением азимутального квантового числа l.
Например, 1s-состояние – это состояние с главным квантовым числом n =
1 и азимутальным квантовым числом l = 0 (на это указывает буква s).
8.3. Спектры атома водорода в теории Шредингера
Появление в шредингеровской теории атома водорода, в отличие от теории
Бора, квантования момента импульса L и его проекции Lz объясняет некоторые
особенности спектров излучения и поглощения атома водорода, которые не
могли быть объяснены теорией Бора. Для пояснения этих особенностей
изобразим схему уровней атома водорода, на которой учтено вырождение
уровней по азимутальному квантовому числу l, (рис. 8.2).
На приведенной схеме по вертикали отложены полная энергия E n
электрона в атоме водорода (как и в лекции № 4, § 3), выраженная в
электронвольтах, и значения главного квантового числа n. По горизонтали
отложены дискретные значения азимутального квантового числа l вместе с их
спектроскопическими обозначениями.
E1
Рис. 8.2
Линии, соединяющие энергетические уровни, обозначают разрешенные
правилом отбора переходы электрона с одного энергетического уровня на
другой. При этом или испускаются, или поглощаются фотоны соответствующих
En Em .
энергий
Правило отбора связано с тем, что фотон обладает собственным
моментом импульса. При излучении света фотон уносит момент импульса из
атома, а при поглощении – приносит. Поэтому, вследствие закона сохранения
момента импульса, момент импульса атома в процессах излучения и
поглощения фотонов изменяется. Оказывается, с наибольшей интенсивностью
идут такие переходы, в которых выполняется следующее правило отбора:
Δl 1 .
(8.9)
Это правило отбора справедливо для так называемых дипольных
переходов. Оно запрещает, например, дипольный переход электрона из
состояния 2s в состояние 1s, разрешенный законом сохранения энергии.
Поэтому электрон может сравнительно долго находиться в состоянии 1 s, если
он туда попадает. Такое состояние называется метастабильным.
Так как стационарные значения энергии атома водорода в теории Бора и в
теории Шредингера совпадают, то в первом приближении из теории
Шредингера следуют такие же спектры излучения и поглощения, как и в теории
Бора. Однако, шредингеровская теория атома водорода позволяет учесть
влияние на энергетические уровни взаимодействия орбитального и спинового
моментов импульса электрона (тонкая структура спектра). Кроме того,
шредингеровская теория позволяет учесть влияние на спектры магнитного поля
(эффект Зеемана) и электрического поля (эффект Штарка). Учет взаимодействия
спиновых магнитных моментов ядра и электрона приводит к сверхтонкому
расщеплению уровня 1s атома водорода на два подуровня. Переход электрона
между этими подуровнями приводит к излучению (или поглощению) радиоволн
с длиной волны
= 21 см. Такое излучение испускается межзвездным
водородом в галактиках. Изучая это излучение с помощью радиотелескопов,
астрономы получают много полезной информации.
8.4. Волновая функция основного состояния атома водорода
Для основного состояния атома водорода квантовые числа n, l, ml имеют
следующие значения:
n = 1, l = 0, ml = 0.
Это состояние обозначают 1s. Уравнение Шредингера имеет для 1s
состояния решение nlm
100 , которое зависит только от расстояния r между
ядром и электроном:
1
100 (r )
Здесь r0
r03
4
e r r0 .
0
2
/ me e 2
(8.10)
0,529 A – первый боровский радиус.
В соответствии с вероятностным смыслом волновой функции вероятность
dw обнаружить электрон в объеме dV:
2
dw
dV .
Отметим, что dw зависит от выбранной нами формы элементарного
объема dV.
Если взять dV в форме прямоугольного параллелепипеда, т.е. dV =
dxdydz и обозначить через dw соответствующую вероятность, то
dw
1
e 2r / r0 dxdydz .
3
r0
(8.11)
В этом случае плотность вероятности обнаружить электрон в объеме
параллелепипеда dV = dxdydz будет равна
dw
dxdydz
1
2r / r0
e
.
3
r0
3
Плотность вероятности имеет максимальное значение (1/ 0 ) при r = 0,
график этой функции изображен на рис. 8.3.
Так как волновая
функция 1s состояния
зависит только от r, то
обычно
элемент
объема dV берут в
виде
сферического
слоя радиуса r и
толщиной dr. Как
известно из геометрии,
объем
такого
сферического
слоя
dV 4 r 2dr
.
Обозначим через dw0
соответствующую
Рис. 8.3
вероятность, тогда
dw 0
dr
1
2r/r0
2
e
4
r
πr03
4r 2 2r/r0
.
e
3
r0
(8.12)
Эта функция равна нулю при r = 0 и r
. При r = r0 она имеет
максимум, положение которого соответствует первой боровской орбите (рис.
8.4).
Рис. 8.4
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 8
1. Формула (8.3) для энергии стационарных состояний атома водорода,
полученная на основе уравнения Шредингера, совпадает с аналогичной
формулой (4.8), полученной в боровской теории атома водорода, т. е.:
En
2
1
4
0
mee4
2 2
1
,
2
n
(n = 1, 2, 3…).
Здесь n называется главным квантовым числом.
2. Волновые функции
, ) стационарных состояний атома
nlm(r,
водорода определяются тремя квантовыми числами:
1) n – главное квантовое число, оно определяет энергию стационарных
состояний;
2) l – азимутальное (или орбитальное) квантовое число, оно определяет
момент импульса электрона (см. (8.4), (8.5)):
L  l l 1,
при заданном n квантовое число l может принимать следующие значения:
l = 0, 1, … (n - 1);
3) ml – магнитное квантовое число, оно определяет проекцию момента
импульса на выбранное направление в пространстве, скажем ось z (см. (8.6),
(8.7)):
Lz
ml,
при заданном l магнитное квантовое число mе может принимать
следующие значения:
ml
l, l l 1 , ... 1, 0,1... l 1 , l .
3. Появление в шредингеровской теории атома водорода квантования
момента импульса L и его проекции Lz объясняет некоторые особенности
спектров излучения и поглощения атома водорода, которые не могли быть
объяснены теорией Бора.
4. Особенности спектров атома водорода связаны с тем, что фотон
обладает собственным моментом импульса. Поэтому, вследствие закона
сохранения момента импульса, момент импульса атома в процессах излучения и
поглощения фотонов меняется. С наибольшей интенсивностью идут такие
переходы, в которых выполняется следующее правило отбора для квантового
числа l (см. (8.9)):
l 1.
5. Шредингеровская теория атома водорода позволяет учесть влияние на
энергетические уровни (а следовательно, и на спектры излучения и
поглощения) магнитного поля (эффект Зеемана) и электрического поля (эффект
Штарка).
6. Шредингеровская теория атома водорода позволяет объяснить тонкую
и сверхтонкую структуры спектров атома водорода на основе представления о
собственном (спиновом) моменте импульса электрона.
9. СПИН ЭЛЕКТРОНА. ПРИНЦИП ПАУЛИ. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Д.И. МЕНДЕЛЕЕВА. МОЛЕКУЛА.
ОБЪЯСНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ
ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗОВ
9.1. Спин электрона. Принцип Паули. Фермионы и бозоны
Как уже упоминалось в конце § 3 предыдущей лекции, спектральные
линии атома водорода обнаруживают тонкую структуру. Тонкая структура
присуща спектрам всех атомов. Для объяснения причин возникновения тонкой
структуры американские физики Гаудсмит и Уленбек выдвинули в 1925 г.
гипотезу о том, что электрон обладает собственным моментом импульса –
спином Ls, не связанным с движением электрона в пространстве. Модуль
собственного момента импульса определяется спиновым квантовым числом s:
Ls
 s(s 1) .
(9.1)
Для электрона s = 1/2.
Проекция спина на ось z, Lsz, квантуется
Lsz ms ,
(9.2)
здесь ms – магнитное спиновое квантовое число. Для электрона
ms
s
1.
2
(9.3)
Квантовое состояние электрона в любом атоме задается четырьмя
квантовыми числами:
главным n (n = 1, 2, 3…);
азимутальным l (l = 0, 1, 2, … n - 1);
магнитным ml (ml = -l,… -1, 0, 1 … +l);
(9.4)
спиновым ms (ms = +1/2, -1/2).
О физическом смысле первых трех квантовых чисел сказано в § 2
предыдущей лекции, о последнем – только что.
Энергия состояния зависит, главным образом, от квантовых чисел n и l.
Есть слабая зависимость энергии от ml и ms, так как эти квантовые числа
определяют взаимодействие между орбитальным и спиновым магнитными
моментами электрона. Это взаимодействие приводит к появлению тонкой
структуры спектров.
Принцип Паули утверждает, что в квантовой системе две
тождественные частицы с полуцелым спином не могут находиться в
одном и том же квантовом состоянии, т.е.
1 квантовое состояние 1 частица с полуцелым спином .
Этот принцип был сформулирован в 1925 г. швейцарским физиком В.
Паули для электронов в атоме, а затем распространен на любые частицы с
полуцелым спином – фермионы. К фермионам относятся электрон, протон,
нейтрон.
Частицы с целым спином носят название бозонов. К бозонам относятся
фотон (спин s = 1), мезон, составные частицы из четного числа фермионов,
4
например, -частица – ядро атома 2He. Бозоны могут находиться в одинаковом
квантовом состоянии в неограниченном количестве.
9.2. Физические основы периодической системы элементов Д. И.
Менделеева
Принцип Паули, примененный к атому, утверждает, что в любом атоме не
может быть двух электронов с одинаковым набором квантовых чисел n, l, ml,
ms (9.4). Исходя из этого принципа, можно понять построение периодической
системы элементов Д. И. Менделеева. Химические свойства атомов
определяются внешними (валентными) электронами. Заполнение электронами
квантовых состояний в атоме при учете принципа Паули приводит к
периодически изменяющемуся с ростом зарядового числа Z характеру
заполнения квантовых состояний валентными электронами. Этим и объясняется
периодическое повторение химических свойств элементов. Поясним сказанное
на примере первых одинадцати элементов периодической системы элементов
Менделеева.
У водорода (H) один электрон, зарядовое число Z = 1, т. е. заряд ядра равен
элементарному заряду +e. Состояния атома водорода без учета спина были
нами разобраны в лекции № 8. В основном состоянии атома водорода квантовое
число n = 1, l = 0, ml = 0. Квантовое число ms может быть как +1/2, так и -1/2.
Говорят, что электронная конфигурация основного состояния атома водорода 1 s.
Энергия связи 1s электрона равна 13,6 эВ.
У атома гелия (He) зарядовое число Z = 2 и два электрона. Наборы
квантовых чисел электронов отличаются квантовым числом ms; у одного из
электронов ms = +1/2, у другого ms = -1/2 (при n = 1, l = ml = 0). Электронная
2
конфигурация гелия 1s . Это означает, что в 1s состоянии находятся два
электрона с противоположными спинами. Электроны, имеющие одинаковое
главное квантовое число n, образуют оболочку. В гелии оболочка с n = 1
заполняется полностью, поэтому гелий химически инертен. Энергия ионизации
гелия равна 24,6 эВ.
Литий (Li) имеет зарядовое число Z = 3 и, соответственно, три электрона.
2
Электронная конфигурация лития 1s 2s, это значит, что третий электрон
находится на второй оболочке, так как опуститься на первую ему запрещает
принцип Паули. Энергия связи этого электрона невелика (5,4 эВ), и литий
химически активен.
У бериллия (Be). него четыре электрона заполняют 1s- и 2s-состояния,
находясь в них с противоположными спинами. Электронная конфигурация
2 2
бериллия 1s 2s .
От бора (B) до неона (Ne) происходит последовательное заполнение 2p
состояний (n = 2, l = 1, ml = -1, 0 +1, ms = 1/2 – всего 6 состояний).
2
2
6
У неона электронная конфигурация 1s 2s 2p , здесь завершено заполнение
оболочки с n = 2, поэтому неон, как и гелий, химически инертен.
Натрий (Na). У него одиннадцать электронов, одиннадцатый начинает
новую оболочку, попадая в 3s-состояние. Энергия связи этого электрона
невелика (5,1 эВ), и натрий, как и литий, химически очень активен.
На этом мы остановимся. Принцип заполнения электронами состояний в
первом приближении понятен из разобранных примеров. В заключение
приведем схему заполнения электронами квантовых состояний первых
одиннадцати атомов (рис. 9.1).
Рис. 9.1
На этой схеме стрелочками обозначены направления проекций спинов
электронов на ось z. Стрелка вверх соответствует значению спинового
квантового числа ms = +1/2, стрелка вниз означает, что ms = -1/2.
9.3. Молекула
Молекула состоит из атомов, связанных друг с другом за счет валентных
электронов. Квантовая механика позволяет выяснить физическую природу этой
химической связи.
Молекула представляет собой связанную систему ядер и электронов,
между
которыми
действуют
электростатические
силы.
Кроме
электростатических сил, в квантово-механическом рассмотрении молекулы
необходимо учитывать принцип Паули, который приводит к существованию
дополнительного обменного взаимодействия.
Различают два типа связи в молекулах: ковалентную и полярную.
Ковалентная (гомеополярная) связь осуществляется за счет
обобществления электронов, принадлежащих двум атомам.
Простейшей молекулой с ковалентной связью является молекула водорода.
В 1927 г. немецкие физики Гайтлер и Лондон решили уравнение Шредингера
для системы, состоящей из двух протонов (ядра атома водорода) и двух
электронов. Оказалось, что энергия E молекулы водорода по-разному зависит
от расстояния r между ядрами для случаев параллельной и антипараллельной
ориентации спинов электронов. График этой зависимости приведен на рис. 9.2,
из которого видно, что связанное состояние с E < 0 возможно лишь при
антипараллельной ориентации спинов.
За
начало
отсчета
энергии молекулы E на
графике принята энергия
двух изолированных атомов.
При r = r0 график с
антипараллельными
спинами имеет минимум,
определяющий равновесное
положение ядер в молекуле
водорода.
Электроны
большую часть времени
проводят между ядрами,
таким
образом,
положительные
ядра
притягиваются
к
отрицательному
«электронному облаку».
Рис. 9.2
Ионная
(гетерополярная) связь обусловлена переходом валентных электронов с
одного атома на другой с образованием положительных и отрицательных ионов
с электростатическим притяжением между ними.
Характерный пример ионной связи – NaCl (поваренная соль). Такого же
типа связь будет и у NaF. На схеме заполнения электронных состояний,
приведенной в § 2 настоящей лекции (рис. 9.1) видно, что у фтора ( F) не
заполнено одно квантовое состояние 2p, а у натрия (Na) один валентный
электрон находится в состоянии 3s, где он сравнительно слабо связан со своим
атомом. Этот 3s электрон натрия и переходит в 2p состояние атома фтора.
Таким образом, атом Na становится положительным ионом, а атом F –
отрицательным, поэтому они и притягиваются друг к другу.
Энергия изолированной молекулы может быть приближенно
представлена в следующем виде:
E E эл E кол E вр ,
здесь Eэл – электронная энергия, она обусловлена электронной
конфигурацией в молекуле;
Eкол – энергия колебания ядер относительно центра масс молекулы;
Eвр – энергия вращения ядер относительно центра масс молекулы.
Порядки величин Eэл, Eкол и Eвр следующие:
Eэл ~ 1 10 эВ;
Eкол ~ 10-2 10-1 эВ;
Eвр ~ 10-5 10-3 эВ.
Каждая из составляющих энергии Eэл, Eкол и Eвр квантуется. Ввиду
большого различия в их величинах, изобразить энергетическую схему уровней
молекулы в масштабе не представляется возможным. На рис. 9.3 изображены
два электронных уровня Eэл1 и Eэл2 и система колебательных и вращательных
уровней.
Рис. 9.3
9.4. Объяснение температурной зависимости теплоемкостей газов
В части 4, лекции № 4 обсуждались графики экспериментальных
зависимостей теплоемкости CV для двух газов: одноатомного аргона (Ar) и
двухатомного водорода (H2). Ход графика для аргона соответствовал
предсказаниям классической теории теплоемкости: у одноатомного газа три
степени свободы (i = 3), соответственно, CV (i / 2)R (3 / 2)R во всем
диапазоне температур. Двухатомный водород имеет i = 7 (3 поступательные, 2
вращательные, 2 колебательные степени свободы, см., классическая теория дает
для него значение CV = (7/2)R. Однако, как показывает опыт, водород ведет себя
как газ с переменным числом степеней свободы. Они как бы
«вымораживаются»: при низких температурах i = 3, затем при T > 100 K число
степеней свободы плавно (!) увеличивается и достигает 5 при T 400 K. Затем
до T 800 K число степеней свободы остается постоянным, а дальше опять
плавно растет до значения i = 7.
Такое поведение теплоемкости становится понятным если учесть
квантование вращательного и колебательного движений молекулы.
Поступательное движение не квантуется, и его вклад в теплоемкость ( i = 3)
присутствует всегда. При низких температурах, когда средняя энергия
теплового движения молекулы ( ~ kT) меньше, чем квант энергии
вращательного движения (см. схему уровней в предыдущем параграфе),
тепловое движение не способно возбудить вращение молекулы, и она ведет себя
как частица без внутренней структуры с числом степеней свободы i = 3. Затем, с
ростом T, у наиболее энергичных молекул начинают возбуждаться
вращательные степени свободы, этим объясняется плавный рост теплоемкости,
соответствующий появлению нецелых значений числа i. Колебательные степени
свободы возбуждаются при более высоких температурах, так как расстояние
между колебательными уровнями значительно больше, чем расстояние между
вращательными.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 9
1. Электрон обладает собственным моментом импульса LS, не связанным
с движением в пространстве. Модуль собственного момента импульса
определяется спиновым квантовым числом S (см. (9.1)):
Ls
 s(s 1) .
2. Проекция спина на ось z LSz квантуется (см. (9.2)):
Lsz ms ,
здесь ms – магнитное спиновое квантовое число, для электрона (см. (9.3)):
ms
s
1.
2
3. Квантовое состояние электрона в любом атоме задается четырьмя
квантовыми числами:
главным n (n = 1, 2, 3…);
азимутальным l (l = 0, 1, 2, … n-1);
магнитным ml (ml = -l,… -1, 0, 1 … +l);
спиновым ms (ms = +1/2, -1/2).
4. Частицы с полуцелым спином s относятся к фермионам (например,
электрон), а частицы с целым спином – к бозонам (например, фотон).
5. 5 Принцип Паули утверждает, что в квантовой системе фермионов две
частицы не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии.
6. 6 Бозоны не подчиняются принципу Паули, они могут находиться в
одинаковом квантовом состоянии в неограниченном количестве.
7. Периодическое повторение химических свойств элементов с ростом
зарядового числа Z, открытое Д.И. Менделеевым, объясняется заполнением
электронами квантовых состояний в атоме с учетом принципа Паули.
8. В молекулах различают два типа связи: ковалентную и полярную. i
9. Ковалентная связь осуществляется за счет обобществления электронов,
принадлежащих двум атомам.
10. Ионная связь обусловлена переходом электронов с одного атома на
другой с образованием положительных и отрицательных ионов с
электростатическим притягиванием между ними.
11. Энергия изолированной молекулы может быть приближенно
представлена в виде:
E E эл E кол E вр ,
здесь Eэл – электронная энергия, она обусловлена электронной
конфигурацией в молекуле; Eкол – энергия колебания ядер относительно центра
масс молекулы; Eвр – энергия вращения ядер относительно центра масс
молекулы.
Порядки величин Eэл, Eкол и Eвр следующие:
Eэл ~ 1 10 эВ; Eкол ~ 10-2 10-1 эВ; Eвр ~ 10-5 10-3 эВ.
12. Квантование колебательной и вращательной энергии молекулы
объясняет экспериментально наблюдаемую зависимость теплоемкостей газов от
температуры (см. § 4).
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ
10. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В МОДЕЛИ ОДНОМЕРНОЙ БЕСКОНЕЧНО
ГЛУБОКОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЫ. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В
МОДЕЛИ БЕСКОНЕЧНО ГЛУБОКОЙ ТРЕХМЕРНОЙ
ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЫ
Валентные электроны в металле могут довольно свободно перемещаться в
пределах объема металлического образца. Потенциальная энергия электрона в
пределах образца металла приблизительно постоянна, но для выхода электрона
из металла надо совершить работу против сил электростатического притяжения
отрицательного электрона к ионному остатку.
Таким образом, валентные электроны металла находятся в потенциальной
яме. Глубина этой ямы – работа выхода электронов из металла A – составляет
несколько электронвольт. При низких температурах, когда тепловое движение
не способно удалить электрон из металла, потенциальную яму можно считать
бесконечно глубокой. Мы начнем рассмотрение поведения свободных
(валентных) электронов в металле с самой простой модели: модели одномерной
бесконечно глубокой потенциальной ямы при T = 0. Затем обобщим результаты
на случай более реалистичной модели бесконечно глубокой трехмерной ямы.
После чего рассмотрим поведение свободных электронов в металле
(электронный газ) при T > 0, для чего нам потребуются элементы квантовой
статистики Ферми – Дирака.
10.1. Электронный газ в модели одномерной бесконечно глубокой ямы
Поведение одной частицы в бесконечно глубокой одномерной яме было
разобрано в § 3 лекции № 7. Теперь мы хотим разместить в этой яме N
свободных электронов. При этом взаимодействием между электронами мы
пренебрегаем, но обязательно должны учесть принцип Паули (§ 1, лекция № 9).
В нашем случае квантовыми числами, задающими состояние электрона, будут n
и спиновое квантовое число ms,
которое для электрона может
принимать два значения, ms = 1/2.
Принцип Паули утверждает, что в
одномерной яме не может быть
двух электронов с одинаковыми
квантовыми числами n и ms. Так
как ms принимает два значения, то
на каждом энергетическом уровне
в
одномерной
яме
сможет
разместиться не больше двух
электронов.
Уровень энергии, отвечающий
различным квантовым состояниям,
называется
вырожденным.
В
Рис. 10.1
одномерной потенциальной яме все уровни двукратно вырождены.
На рис. 10.1 изображена одномерная, бесконечно глубокая потенциальная
яма, в которой размещены шесть электронов (N = 6) при T = 0. Первые три
энергетических уровня заняты, все остальные, начиная с четвертого (n = 4), –
свободны.
Энергия Ферми EF(0) – это энергия электронов на высшем, еще
заполненном уровне при T = 0.
На рис. 10.1 энергия Ферми при N = 6 равна энергии третьего
энергетического уровня. В реальных ситуациях число электронов N имеет
порядок числа Авогадро (см. ч. 4, лекция № 1, § 1), т е. N ~ NA. Выражение для
энергии Ферми при T = 0, EF(0), получим, приравняв квантовое число n в
формуле (7.21) для энергии стационарных состояний частицы в одномерной
бесконечно глубокой потенциальной яме к половине числа частиц, т. е. n = N/2
(так как на каждом уровне – два электрона). Тогда получим:
2 2
E F (0)

N
2m e a 2 2
2
для одномерной ямы.
(10.1)
Как мы видим, энергия Ферми при T = 0, EF(0) зависит от числа занятых
электронами состояний. В одномерной яме число занятых состояний N (одно
состояние – один электрон) (!) равно удвоенному значению квантового числа n.
В других ситуациях подсчет числа состояний, доступных микрочастицам, более
сложен. Так, в трехмерной яме кратность вырождения, т. е. число квантовых
состояний, соответствующих заданному значению энергии, растет с ростом
энергии. Объясняется это тем, что энергия частицы Е – величина скалярная, а
2
импульс – векторная, как известно, E p / 2m. При заданном значении
модуля импульса р (а следовательно, и энергии Е) направление вектора

импульса p может быть различным. При этом, как будет показано ниже, число
состояний Z, для которых модуль импульса р меньше заданного значения,
растет пропорционально третьей степени р. Подсчет числа этих состояний
нужен для определения ЕF (0) энергии Ферми для более реалистической модели
трехмерной потенциальной ямы. Проще всего этот подсчет выполнить,
используя понятия фазового -пространства и фазовой ячейки.
Фазовое -пространство – это воображаемое шестимерное пространство
со взаимно перпендикулярными осями x, y, x, px, py, pz.
Для задания состояния рассматриваемой системы частиц в классической
физике также вводят фазовое пространство, объединяющее координаты и
импульсы всех частиц системы.
Рис. 10.2
Для частицы, совершающей одномерное движение (частица в одномерной
яме), фазовое
-пространство представляет из себя две взаимноперпендикулярные оси, по которым откладывается координата x и
соответствующий ей импульс p (рис. 10.2). В квантовой механике появляются
ограничения на возможные значения импульса, связанные с квантованием
волнового числа k. Для частицы в яме шириной a, в соответствии с формулой
(7.20):
kn
n
, n = (1, 2, 3…).
a
Так как по соотношению де Бройля (6.1)
p k ,
то импульсы тоже квантуются:
pn
k n

n p1n ;
a
 /a.
n = (1, 2, 3…).
Здесь p1
Как отмечалось в § 3 лекции № 7, положительные и отрицательные числа n
соответствуют одному и тому же стационарному состоянию, но в фазовом пространстве положения точек, имеющих разные по знаку импульсы, будут
разными. Объемом нашего двухмерного пространства
Г называют
произведение p x, т е.
p x ,
здесь p – интересующий нас интервал изменения импульса, а x –
интервал изменения координаты.
Найдем Гэл – элементарный объем, занимаемый в фазовом пространстве
одним квантовым состоянием частицы, находящейся в одномерной бесконечно
глубокой яме (спиновое квантовое число здесь не учитывается). Из рис. 10.2
видно, что для одного квантового состояния
p 2p1
2

.
a
Двойка появляется из-за того, что одному состоянию соответствуют два
значения импульса, отличающиеся знаком.
Очевидно, что x = a, тогда
p x
эл
2

a
a
2 
h.
(10.2)
Таким образом, одно квантовое состояние частицы, находящейся в
одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме, занимает в фазовом пространстве одну элементарную ячейку размером h (без учета спина!).
Для подсчета числа квантовых состояний Z в фазовом объеме Г,
очевидно, необходимо поделить фазовый объем Г на объем элементарной
ячейки h и умножить, для учета двух направлений спина, на два:
Z 2
h
2
p x
.
h
(10.3)
Из формулы (10.3) нетрудно получить формулу (10.1), для этого надо
2mEF 0 , x a и учесть, что h 2 .
положить p pF
10.2. Электронный газ в модели бесконечно глубокой трехмерной
потенциальной ямы
Перейдем к описанию электронов в модели трехмерной потенциальной
ямы. В первом приближении ее можно считать бесконечно глубокой. Пусть
образец имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами x, y,
z.
В трехмерном случае фазовое -пространство для частицы – это
шестимерное пространство, по осям которого откладываются три координаты
x, y, z и три компоненты импульса px, py, pz частицы. Объем фазового
x y z px p y pz
V px p y pz ,
пространства кубической формы
здесь V – обычный пространственный объем области, в которой находится
частица. Объем элементарной фазовой ячейки в трехмерном случае можно
найти из соображений, аналогичных тем, что были изложены выше для
одномерного случая. В результате получим, что
эл
h3 .
(10.4)
Для числа состояний Z в трехмерном случае имеем:
Z 2
h3
.
(10.5)
Теперь определим энергию Ферми в трехмерной яме. Как и в одномерном
случае, энергия Ферми EF(0) – это энергия электронов на высшем, еще
заполненном уровне, при T = 0. При T = 0 в соответствии с принципом Паули
(лекция № 9, § 1), каждое квантовое состояние с E < EF(0) будет занято одним
из общего числа N электронов. Значит, для нахождения EF(0) нам надо найти
зависимость числа состояний Z от энергии E, затем приравнять число
состояний с энергией E EF(0) к числу частиц и выразить из этого равенства
EF(0). Реализуем последовательно эту программу.
Число состояний Z в фазовом объеме Г определяется формулой (10.5).
Фазовый объем Г состояний с импульсом p < pF(0) определим из
следующих соображений.
Так как полная энергия E электронов внутри потенциальной ямы равна
кинетической, то
E
p2 .
2m e
Значит, состояния с E EF(0) – это состояния, у которых модуль импульса
2me E F (0) . В подпространстве
электронов лежит в пределах от нуля до p F (0)
импульсов этим состояниям соответствует сфера радиусом pF(0). Умножив
«объем» этой сферы (4 / 3) p 3F (0) на объем ямы V, получим интересующий нас
объем фазового пространстве Г, т. е.
4 3
p F (0)V .
(10.6)
3
Из (10.5) и (10.6) получим число состояний Z(p) с учетом спина:
Z(p)
2 4 3
p F (0)V.
h3 3
Выразим pF (0) через EF(0). Так как E
p F ( 0)
( 2m e E F
p 2 / 2m , то
1
(0)) 2 ,
откуда для числа состояний Z(E) с энергией меньше, чем EF(0):
3
1 8
Z(E)
πV
2
m
E
(
0
)
2 .
e F
(10.7)
h3 3
В дальнейшем нам потребуется выражение для числа состояний на
единичный энергетический интервал – плотность состояний g(E).
Очевидно, что
g(E)
dZ(E)
.
dE
(10.8)
Продифференцировав по ЕF формулу (10.7), получим
g(E) 4 V
3
( 2m) 2
h3
1
E2
.
(10.9)
Здесь мы заменили ЕF на Е.
Приравняв Z(EF) (10.7) к числу электронов в яме N, получим
3
1 8
N
V(2me E F (0)) 2 .
3
h 3
Выразим отсюда EF(0):
E F (0)
3
8
2
3
N
V
2
3
1
2/3
2
3 3
(h )
2m e
(3n )
2/3
1
2/3
h2 1 ,
4 2m e
N
– концентрация электронов.
V
Выразив h через  h / 2 , получим окончательную формулу для EF(0) здесь n
энергии Ферми для электронного газа в трехмерной потенциальной яме:
2
2
2 3
E F (0)
3 n .
(10.10)
2m e
Температурой Ферми TF называют отношение энергии Ферми EF(0) к
постоянной Больцмана k, т. е.
E F (0)
TF
.
(10.11)
k
Оценим энергию Ферми EF(0) и температуру Ферми TF.
Концентрация свободных электронов в металле порядка 1028 1029 м-3. Для
n = 5 1028 м-3 из (10.8) получим:
2
E F (0)
(1,05 10 34 ) 2
(3 3,142 5 1028 ) 3
31
2 9,1 10
Для TF из (10.9) получим:
TF
8 10 19
1,38 10 23
5,8 104 K 60000K .
8 10 19 Дж
5эВ.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 10
1. Поведение валентных электронов в металлах можно объяснить на
основе модели потенциальной ямы. При низких температурах, когда тепловое
движение не способно удалить электроны из металла, потенциальную яму
можно считать бесконечно глубокой.
2. При Т = 0 учет принципа Паули приводит к последовательному
увеличению энергии электронов при заполнении ими квантовых состояний.
3. 3 Энергия Ферми EF(0) – это энергия электронов на высшем, еще
заполненном уровне при Т = 0 К.
4. Квантовая теория свободных электронов в металле для модели
трехмерной потенциальной ямы (см. § 2) дает следующую формулу для энергии
Ферми (см. (10.10)):
2
E F (0)
2
3 2n 3 .
2m e
N
– концентрация электронов.
V
5. 5 Оценки дают для EF(0) значение около 5 эВ.
здесь n
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ
11. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ ПРИ Т>0. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ – ДИРАКА.
АНАЛИЗ ФУНКЦИИ F(Е)
11.1. Электронный газ при T>0. Распределение Ферми – Дирака
а)
б)
0
0
Рис. 11.1
На рис. 11.1 изображена одномерная потенциальная яма, заполненная
электронным газом: на рис. 1.11,а при T = 0; на рис. 1.11,б при T > 0. Слева от
потенциальной ямы изображены графики зависимости среднего по времени
числа электронов в одном квантовом состоянии <n(E)> от энергии электронов
E. Энергия E отложена по вертикальной оси, проходящей вдоль левой границы
ямы, сама функция <n(E)> отложена по горизонтальной оси, направленной
влево.
При T = 0 K электроны занимают все доступные им состояния с
наинизшей энергией. В соответствии с принципом Паули, в каждом квантовом
состоянии может находиться не более одного фермиона, поэтому все нижние
квантовые состояния до энергии EF(0) заняты. Таким образом, график функции
<n(E)> представляет из себя ступеньку:
<n(E)> = 1 при E < EF(0) и <n(E)> = 0 при E > EF(0).
При нагревании металла часть электронов, энергия которых была близка к
энергии Ферми, переходит в состояния с большей энергией, частично
освобождая квантовые состояния с энергией E < EF(0): ступенька графика
<n(E)> размывается.
Аналитическую зависимость среднего числа ферминов в одном квантовом
состоянии от их энергии и температуры получили итальянский физик Э.
Ферми и английский физик П. Дирак.
Она имеет следующий вид:
n (E i )
1
e( E i E F ) / kT 1
(11.1)
– и называется распределением Ферми-Дирака. Параметр EF, входящий в
распределение Ферми – Дирака, называется уровнем Ферми. В статистической
физике этот параметр называется химическим потенциалом, его обозначают
буквой , таким образом,
EF.
Среднее число электронов в одном квантовом состоянии <n(E)>
изменяется от нуля до единицы, в этих же пределах изменяется вероятность
f(Ei) заполнения данных квантовых состояний.
Таким образом,
n (E i )
f (E i ) .
С учетом того, что EF
записать в таком виде:
f (E i )
, функцию распределения Ферми – Дирака можно
1
e
( Ei
) / kT
.
(11.1а)
1
Значение уровня Ферми EF (или химического потенциала ) определяют из
условия нормировки функции f(Ei): полное число электронов, находящихся во
всех квантовых состояниях, должно быть равно числу N свободных электронов
в рассматриваемом объеме V.
Среднее число электронов в одном квантовом состоянии дается функцией
Ферми – Дирака f(Ei) (11.1а). Так как расстояния между соседними уровнями
при макроскопических объемах образца малы, то можно считать, что энергия
меняется непрерывным образом, т.е. f(Ei)
f(E).
Число квантовых состояний, приходящихся на интервал энергий dE,
получим, умножив плотность состояний g(E) (10.9) на dE. Число электронов
dN, имеющих энергию в интервале от E до E + dE, получим, умножив
f(E) на g(E)dE, т. е.
dN f (E)g(E)dE .
Наконец, проинтегрировав dN, получим N – полное число электронов
в образце:
f (E)g(E)dE
N .
(11.2)
0
Это и есть условие нормировки функции распределения Ферми – Дирака.
Значение EF (или химический потенциал ) можно найти, подставив в
условие нормировки (11.2) f(E) из (11.1а) и g(E) из (10.9). Однако
аналитическое выражение для получающегося интеграла отсутствует. При не
очень высоких температурах, таких, что kT << EF, для уровня Ферми
получается приближенное выражение:
2
EF
kT
E F (0) 1
12 E F (0)
2
.
(11.3)
Здесь EF(0) определяется формулой (10.9).
11.2. Анализ функции f(E)
Выпишем функцию распределения Ферми – Дирака в следующем виде:
f (E)
1
e
.
( E E F ) / kT
(11.4)
1
Нетрудно убедиться, что при E = EF функция f(E) = 1/2.
Поведение функции f(E) (и электронного газа в металле) зависит от
соотношения между температурой металла T и температурой Ферми (10.11).
При T << TF (т. е. kT << EF) электронный газ называют вырожденным
и график функции f(E) незначительно отличается от ступени. В самом деле,
показатель экспоненты (E – EF)/kT будет велик по модулю всюду, за
исключением интервала энергий, в котором (E E F ) kT . При этом, если E <
EF, то (E - EF)/kT будет величиной отрицательной и большой по модулю,
значит, экспонента будет близка к нулю, а f(E) 1. В случае, если E > EF,
показатель экспоненты будет большой положительной величиной и f(E) 0.
Запишем результаты анализа в следующем виде:
1, E
f (E)
EF;
1 / 2, E
0, E
EF;
EF.
Из оценок, сделанных в § 2 лекции № 10, TF 60 000 K, значит вплоть до
Tпл – температуры плавления металлов, электронный газ вырожден (самый
тугоплавкий металл – вольфрам – имеет Tпл 3693 K).
При T >> TF электронный газ называется невырожденным. В этом случае
график функции f(E) идет, полого спадая, и уже совсем не похож на ступеньку.
На рис. 11.2 приведены графики функции f(E) (11.4) для различных
температур.
Рис. 11.2
При больших значениях энергии электронов, таких, что E - EF >> kT,
единицей в знаменателе функции f(E) (11.4) можно пренебречь, тогда для
«хвоста» функции f(E) справедлива следующая формула:
f (E) e
(E E F )
kT
EF
e kT
e
E
kT
const e
E
kT ,
(11.5)
что совпадает с распределением Максвелла – Больцмана (см. ч. 4, (2.14)).
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 11
1. Зависимость среднего числа фермионов в одном квантовом состоянии
<n(Ei)> от их энергии и температуры называется распределением Ферми –
Дирака (см. (11.1)):
1
n (E i )
e( E i E F ) / kT
1
,
здесь ЕF – уровень Ферми, параметр распределения, который определяют
из условия нормировки. Другое название этого параметра – химический
потенциал, который принято обозначать греческой буквой , т. е. EF
.
2. При не очень высоких температурах, когда kT << EF, для уровня Ферми
справедливо приближенное выражение (см. (11.3)):
2
EF
kT
E F (0) 1
12 E F (0)
2
,
здесь EF(0) – энергия Ферми.
3. Так как среднее число фермионов в одном квантовом состоянии
изменяется от 0 до 1, т. е. в тех же пределах, что и вероятность f(Ei)
заполнения данных квантовых состояний, то для f(Ei) справедлива формула
(11.1а), аналогичная формуле (11.1):
f (E i )
1
) / kT
.
1
4. Анализ функции f(E) при Т = 0 К дает следующие результаты:
1, E E F ;
f (E) 1 / 2, E E F .
0, E E F.
5. При больших значениях энергии электронов, таких, что Е - ЕF >> kT,
для «хвоста» функции f(Е) справедлива формула (11.5):
f (E) e
e
(Ei
(E EF )
kT
EF
e kT
e
E
kT
const e
E
kT ,
что совпадает с распределением Максвелла – Больцмана.
12. РЕЗУЛЬТАТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ.
ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ. БОЗОНЫ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
12.1. Результаты квантовой теории электропроводности металла
В ч. 4 настоящего курса была приведена формула (6.9) для – удельной
проводимости, полученная П. Друде в рамках классической теории
электропроводности:
ne 2
2m
v
.
(12.1)
Из распределения Максвелла следует, что средняя скорость движения
электрона в металле <v> пропорциональна корню квадратному из абсолютной
температуры, т. е.
v ~ T . В результате, из классической теории
электропроводности следует, что ~ 1 / T , тогда как опыт дает ~ 1/ T (см.
ч. 4, § 6).
Квантовая теория электропроводности дает для следующую формулу:
ne 2
.
m * vF
(12.2)
В этой формуле m* – эффективная масса электрона, которая учитывает
влияние сил, действующих на электрон со стороны ионных остовов
кристаллической решетки.
Скорость vF с большой точностью можно считать независящей от
температуры, таким образом, температурная зависимость проводимости
определяется зависимостью от температуры длины свободного пробега .
Зависимость (T) обусловлена, в основном, тепловыми колебаниями атомов
кристалла и при не очень низких температурах (T 100 K) эта зависимость
линейна, т. е.
~ T. Это и приводит к линейной зависимости удельного
сопротивления от температуры, т. е.:
~T .
(12.3)
12.2. Термоэлектронная эмиссия
Термоэлектронной
эмиссией называется испускание
электронов нагретыми телами.
Глубина
потенциальной
ямы U0 (рис. 12.1), в которой
находятся электроны в металлах,
порядка 10 эВ (например, в цезии
U0 3,5 эВ, в бериллии U0 18
эВ). Энергия Ферми, разумеется,
меньше, чем U0 (для цезия EF =
Рис. 12.1
1,58 эВ, для бериллия EF = 14,14 эВ).
Наименьшая работа, необходимая для удаления электрона из металла,
равна:
A U 0 E F . (12.4)
Эта работа А называется работой выхода электрона из металла. При T
> 0 K работу выхода также определяют как разницу между глубиной
потенциальной ямы U0 и уровнем Ферми. Так как уровень Ферми EF зависит от
температуры (11.3), то величина работы А также немного зависит от
температуры.
Рис. 12.2
При T > 0 имеется некоторое количество электронов, энергия которых
достаточна для выхода из металла. Покинуть металл могут те электроны,
энергия которых E > U0 (рис. 12.2). Число их пропорционально площади,
ограниченной хвостом правого графика и осью энергий:
N
f (E)g(E)dE .
U1
Около поверхности нагретого металла возникает электронное облако. Это
облако и металл находятся в динамическом равновесии: потоки электронов из
металла в облако и из облака в металл одинаковы.
Пусть поверхность нагретого металла лежит в плоскости x, y, а ось z
направлена перпендикулярно поверхности, как изображено на рис. 12.3.
Расположим параллельно катоду еще одну металлическую пластину и подадим
на нее положительный потенциал.
Возникающее электрическое поле будет
создавать направленное движение электронов
от катода к аноду – потечет электрический
ток. При увеличении положительного
потенциала анода электрический ток сначала
растет, затем достигает максимального
значения. Это значение называется током
насыщения. При этом все электроны,
покидающие катод за время t, увлекаются
электрическим полем и достигают за это же
время анода.
Рис. 12.3
Плотностью
тока,
как
известно,
называется отношение силы тока к площади поперечного сечения проводника.
При движении носителей заряда со средней скоростью упорядоченного
движения <v> плотность тока j связана с концентрацией электронов n и
величиной <v> следующим образом (см. ч. 2, (6.4)):
j en v ,
здесь e – элементарный заряд.
При термоэлектронной эмиссии электроны, покидающие металл, имеют
разные скорости. Вклад в плотность тока электронов, вылетающих из катода по
направлению к аноду и имеющих компоненту скорости вдоль оси z в интервале
от vz до vz + dvz, дается выражением:
e
p z dn pz .
m
Здесь dnvz = dnpz – концентрация электронов, имеющих скорость vz и
соответствующий ей импульс pz = mvz в указанном выше интервале.
Плотность тока насыщения получим, проинтегрировав dj по pz от нуля до
dj ev z dn vz
бесконечности:
e
p z dn pz .
m0
jнас
Для dnpz получается следующее выражение:
2
f (p x , p y , p z )dp x dp y dp z .
h3
3
Здесь 2/h возникает при подсчете числа состояний в фазовом объеме
dVdpxdpydpz. Интегрирование по px и py исключает из рассмотрения движение
dn pz
электронов параллельно поверхности катода. «Хвос» функции распределения
Ферми – Дирака (11.5) должен быть выражен через компоненты импульса
электрона в соответствии с равенством:
E
U0
p 2x
p 2y p 2z
,
2m
в результате:
p 2x p 2y p 2z
A
kT e
2mkT
.
f (p x , p y , p z ) e
Здесь учтем, что U0 - EF = A (12.4). Интегрирование дает следующий
результат:
A
jнас
4 eme k 2 2 kT
Te .
3
h
(12.5)
Введя обозначение:
4 eme k 2
,
3
h
B
(12.6)
получим формулу Ричардсона – Дэшмена для плотности тока насыщения:
jнас
A
kT
BT e
2
.
(12.7)
Постоянная В называется константой Ричардсона.
Численное значение константы Ричардсона:
4 em e k 2
B
h3
4 3,14 1,6 10 19 9,1 1 31 1,38 10 23
A
6
1
,
2
10
.
6,626 10 34
м2 K 2
Измеряя на опыте зависимость тока насыщения от температуры, можно
экспериментально определить работу выхода электрона А и материал, из
которого изготовили катод.
12.3. Бозоны. Распределение Бозе – Эйнштейна
Бозон – это частица (или квазичастица, как, например, фонон – квант
упругих колебаний в твердых телах) с нулевым или целочисленным спином. К
бозонам, как уже упоминалось, относятся также фотоны (спин s = 1), составные
4
частицы, состоящие из четного числа фермионов (например, атом 2He),
куперовские пары электронов, образование которых приводит к
сверхпроводимости.
Распределение Бозе – Эйнштейна дает <n(Ei)> среднее число
невзаимодействующих между собой бозонов в состоянии с энергией Ei, где i –
набор квантовых чисел, характеризующих квантовое состояние. Формула
распределения Бозе – Эйнштейна имеет следующий вид:
n (E i )
1
e( E i
) / kT
1
,
(12.8)
где
– химический потенциал; T – абсолютная температура; k –
постоянная Больцмана.
В отличие от распределения Ферми – Дирака в знаменателе стоит «минус
единица». Вследствие этого, химический потенциал для бозонов не может
быть положительным. Иначе при Ei < (если бы > 0!) показатель экспоненты
в знаменателе стал бы отрицательным, экспонента стала бы меньше единицы и
некоторые из чисел заполнения ni стали бы отрицательными, что невозможно.
Если полное число частиц в системе не фиксировано, как, например, для
фотонов при тепловом излучении, то химический потенциал равен нулю.
При фиксированном числе частиц величину
определяют из условия
нормировки, как и в случае распределения Ферми – Дирака.
Применим распределение Бозе – Эйнштейна для вывода формулы Планка
для u( , Т) – функции распределения плотности энергии в спектре излучения
абсолютно черного тела
При обычных, не лазерных, интенсивностях фотоны можно считать
невзаимодействующими между собой бозонами, поэтому тепловое излучение,
находящееся в равновесии со стенками излучающей полости, можно
рассматривать как идеальный фотонный газ.
Как было отмечено выше, химический потенциал для системы фотонов =
ω , следовательно, распределение Бозе –
0. Энергия фотона εi h
Эйнштейна для фотонов имеет следующий вид:
n( i )
1
e  i / kT
,
(12.9)
1
здесь <n( i)> – среднее число фотонов с частотой i. Частота i задает
квантовое состояние фотона.
Пусть E обозначает энергию фотонов, находящихся в объеме V и
имеющих частоты, лежащие в интервале
.
Тогда
u ( , T)
E
V
,
(12.10)
имеет смысл функции распределения плотности энергии в спектре
излучения абсолютно черного тела (спектральное распределение).
Пусть Z( i) – число квантовых состояний фотонов в объеме V и
интервале частот от i до i +
.
Тогда
E
Z( i ) n( i )  i ,
(12.11)
так как произведение
n( i )
 i дает среднюю энергию фотонов
частоты i, т. е. среднюю энергию в одном квантовом состоянии. Функция
<n( i)> известна, поэтому задача состоит в нахождении числа квантовых
состояний Z( i).
Подсчет числа квантовых состояний Z делается с использованием
формулы (10.5), т. е.:
ΔZ(ω)
2
ΔΓ
h3
2
ΔΓ
3
2π
ΔΓ
,
4π 3  3
здесь двойка учитывает две возможные поляризации фотонов. Фазовый
объем выражается следующей формулой:
V 4 p2 p ,
2
где 4 p p – объем сферического слоя в пространстве импульсов.
Опираясь на (5.3), выразим импульс фотона через циклическую частоту:
p 
c
,
значит,
p
2
p
3
c3
2
.
Тогда
2
V4 p2 p
p2 p
Z( )
V 2 3
V 2 3 .
(12.12)
4 3 3
4 3 3

c
Так как частоты i меняются квазинепрерывно, мы опустили индекс i,
нумерующий квантовые состояния.
Подставляя в формулу (12.11) для E полученное выражение Z( )
(12.12) и функцию распределения Бозе – Эйнштейна для фотонов (12.9),
получим:
2
1
 3
1
E
Z( ) n ( ) 
V 2 3

V
2 3
c e  / kT 1
c
e  / kT 1
.
Используя это выражение, получим формулу Планка для функции
распределения плотности энергии в спектре излучения абсолютно черного тела:
u ,T
E
V
 3
1
.
2 3
 / kT
c e
1
(12.13)
Из нее, как показано в лекции № 2, § 1, следует формула для спектральной
плотности энергетической светимости абсолютно черного тела (см. (2.1), (2.2)).
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 12
1. Квантовая теория электропроводности металлов дает для удельной
проводимости формулу (12.2):
ne 2
,
m * vF
здесь m* – эффективная масса электрона, которая учитывает влияние сил,
действующих на электрон со стороны ионных остовов кристаллической
решетки;
– длина свободного пробега электрона в металле; vF – средняя
скорость электронов вблизи уровня Ферми.
В этой формуле от температуры зависит только , причем, эта зависимость
при Т
100 К линейна. Следовательно, квантовая теория объясняет
наблюдаемую на опыте линейную зависимость удельного сопротивления
металлов от температуры.
2. Термоэлектронной эмиссией называется испускание электронов
нагретыми телами.
3. Квантовая теория дает следующую формулу для плотности тока
насыщения при термоэлектронной эмиссии (формула Ричардсона – Дэшмена,
см. (12.7)):
A
kT ,
2
jнас BT e
здесь А – работа выхода электрона из металла; В – константа Ричардсона,
для которой в квантовой теории получается формула (12.6):
B
4 eme k 2
,
h3
численное значение константы Ричардсона:
B 1,2 106
A
.
м2 K2
i
4. Для частиц с нулевым или целым спином – бозонов – справедливо
распределение Бозе – Эйнштейна (см. (12.8)):
1
n (E i )
.
e ( Ei ) / kT 1
n (E i )
здесь
– среднее число невзаимодействующих между собой
бозонов в квантовом состоянии с энергией Еi; – химический потенциал.
5. Распределение Бозе – Эйнштейна позволяет получить u( , T) –
функцию распределения плотности энергии в спектре излучения абсолютно
черного тела (см. (12.13)):
u ,T
E
V
 3
1
.
2 3
 / kT
c e
1
ВВЕДЕНИЕ В ЗОННУЮ ТЕОРИЮ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
13. ПРОИСХОЖДЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН В КРИСТАЛЛАХ.
МЕТАЛЛЫ, ДИЭЛЕКТРИКИ И ПОЛУПРОВОДНИКИ В ЗОННОЙ
ТЕОРИИ. СОБСТВЕННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Зонная теория твердых тел – квантовая теория энергетического спектра
электронов в кристалле, согласно которой этот спектр состоит из чередующихся
зон разрешенных и запрещенных энергий. Зонная теория объясняет, в
частности,
различный
характер
электропроводности
металлов,
полупроводников и диэлектриков.
13.1. Происхождение энергетических зон в кристаллах. Металлы
Физически происхождение зонной структуры в кристалле связано с
образованием кристалла из N атомов, каждый из которых в свободном
состоянии обладает дискретным электронным энергетическим спектром (см.
лекцию № 9, § 2).
Мы рассмотрим образование энергетических зон на примере
воображаемого процесса образования кристалла лития (щелочной металл)
путем последовательного добавления атомов.
На рис. 13.1 изображены энергетические схемы двух изолированных
атомов.
Рис. 13.1
Если атомы расположены далеко друг от друга (изолированы), то схемы их
энергетических уровней будут совершенно одинаковы: два электрона с
различной ориентацией спинов на уровнях 1 s и по
одному электрону на уровнях в 2s (рис. 13.1).
При сближении двух атомов на расстояние, где
их взаимодействием уже нельзя пренебречь,
энергетическая схема должна измениться: иначе
мы придем в противоречие с принципом Паули. Так,
при неизменной энергетической схеме на уровне 1s
было бы уже по два электрона в одном квантовом
состоянии: два со спином вверх и два со спином
вниз. Принцип Паули приводит к появлению новых
состояний: энергетические уровни расщепляются
Рис. 13.2
на два подуровня. Теперь на подуровнях 1s, в полном соответствии с
принципом Паули, разместились четыре электрона, по одному в каждом
квантовом состоянии. На рис. 13.2 изображена энергетическая схема системы
из двух атомов.
Обратим внимание на то, что верхний подуровень 2 s оказался свободным.
Величина расщепления уровней E зависит от расстояния между атомами. При
сближении атомов E растет.
Величина E1 < E2, так как в состоянии 1s электроны сильнее связаны с
ядром, чем в состоянии 2s.
Добавим в наш кристалл еще один атом. На рис. 13.3 изображены
энергетическая и пространственная схемы системы, состоящей из трѐх
атомов
Рис. 13.3
Как видно из пространственной схемы, изображенной на рис. 13.3,
минимальное расстояние между атомами – постоянная кристаллической
решетки a – осталось неизменным. Значит, величина расщепления ( E1 и E2)
будет той же самой, как и для системы из двух атомов ( E зависит от
минимального расстояния между атомами). Третий энергетический уровень
расположился между двумя крайними.
Продолжая добавлять в нашу систему атомы и рассуждая аналогично, мы
придем к выводу, что для системы из N атомов каждый из уровней
изолированного атома расщепляется на N подуровней (рис. 13.4). При этом
величина расщепления E не будет зависеть от числа атомов, так как
минимальное расстояние между атомами в кристалле остается неизменным.
Следовательно, расстояние между соседними подуровнями будет уменьшаться с
ростом N – числа атомов в кристалле. Число атомов N имеет порядок числа
Авогадро NA = 6,02 10231/моль.
Максимальное расщепление уровней
1 эВ, значит:
E
E по порядку величины составляет
E
~ 10 23 эВ .
N
(13.1)
Энергетическая схема системы, состоящей из N атомов лития, изображена
на рис. 13.4
Рис. 13.4
Это очень малая величина по сравнению с величиной kT – добавкой
энергии, которую в среднем получает электрон при нагревании. Так, при
температуре 1 К kT 10 4 эВ, что почти на два десятка порядков(!) больше
чем E. Поэтому можно считать, что энергия в такой системе очень близко
расположенных подуровней меняется почти непрерывно (квазинепрерывно).
Систему подуровней называют разрешенной зоной. В кристалле лития
образовалось две разрешенных зоны: из 1s и 2s уровней изолированного атома.
Зона, получившаяся из 1s уровня, полностью заполнена. Зона, образовавшаяся
из валентного 2s уровня, заполнена наполовину (на наших схемах заполнение
обозначено штриховкой в клеточку). Между этими зонами находится интервал
энергий, запрещенных для электронов: это – запрещенная зона, ее ширину мы
обозначаем Eзап.
Нетрудно понять, что кристалл с подобной зонной схемой (рис. 13.4)
будет хорошо проводить электрический ток: электроны наполовину
заполненной зоны могут под действием внешнего электрического поля
увеличивать свою энергию квазинепрерывным образом ( E ~ 10 23 эВ).
Увеличение энергии при приложении внешнего электрического поля связано с
возникающим упорядоченным движением электронов – электрическим током.
Все металлы хорошо проводят электрический ток, так как имеют
энергетическую схему, подобную только что рассмотренной схеме кристалла
лития (рис. 13.4).
13.2. Диэлектрики и полупроводники
Будет ли проводить электрический ток вещество с изображенной на рис.
13.5 зонной схемой? Здесь валентная зона полностью заполнена. Следующая
зона свободна. Проводимость вещества
с подобной зонной схемой зависит от
ширины запрещенной зоны Eзап и
температуры T.
При
Eзап
3 эВ вещество
относят к полупроводникам, при более
широкой запрещенной зоне – к
диэлектрикам (изоляторам). Резкой
границы между этими классами
веществ нет. При T = 0 (и отсутствии
других
внешних
воздействий)
Рис. 13.5
кристаллы с подобной зонной схемой
проводить электрический ток не будут (если Eзап 0). Объясняется это тем,
что слабое внешнее электрическое поле не сможет перевести электроны в
свободную зону, поэтому, несмотря на приложенное внешнее поле, электроны
под его воздействием не начнут упорядоченного движения.
У полупроводников Eзап 3 эВ, и при комнатной температуре энергии
теплового движения оказывается достаточной, чтобы перевести некоторую
малую часть электронов в свободную зону. Там электроны могут увеличивать
свою энергию под действием слабого внешнего электрического поля на любую
малую величину. Возникает упорядоченное движение зарядов – электрический
ток.
Электроны, переброшенные внешним воздействием в свободную зону,
называют электронами проводимости, а свободная зона называется зоной
проводимости.
Если Eзап = 0, то мы будем иметь безщелевой полупроводник. При
больших значениях Eзап ( 5 эВ) кристалл будет диэлектриком (изолятором).
Если полностью заполненная валентная зона частично перекрывается со
свободной зоной, то вещество называется полуметаллом (рис. 13.6).
В заключение изобразим рядом зонные схемы металла, полупроводника
и диэлектрика (рис. 13.7).
Рис. 13.6
Рис. 13.7
13.3. Собственная проводимость полупроводников
Из элементов таблицы Менделеева типичными полупроводниками
являются германий и кремний. Ширина запрещенной зоны у германия 0,66 эВ,
у кремния – 1, эВ (при T = 300 К).
Имея по 4 валентных электрона, атомы Ge и Si образуют кристаллические
решетки типа алмаза, где каждый атом имеет 4 ближайших соседа, с каждым из
которых он связан ковалентной связью.
Условно пространственное расположение атомов в решетке типа алмаза
можно представить в виде плоской структуры (рис. 13.8, а).
При достаточно высокой температуре тепловое движение способно
разорвать некоторые связи, удалив электрон в то место кристалла, где все связи
заполнены (рис.13.8, а). Там электрон будет лишним. Такой электрон в
дальнейшем свободно может двигаться по кристаллу, всюду являясь лишним.
На рис. 13.8, б) тот же процесс разрыва одной связи изображен на зонной схеме
полупроводника: электрон из валентной зоны перешел в свободную зону (зону
проводимости для полупроводника). Там, в зоне проводимости, электрон, как
мы выше выяснили, может двигаться под действием сколь угодно малого
внешнего электрического поля – создавать электрический ток. Отметим, что
электрон в зоне проводимости ведет себя как частица с эффективной массой
m*, не равной массе электрона (m* me = 9,1 10-31 кг).
Рис. 13.8
При разрыве одной связи (удаление с нее одного электрона) на месте этой
связи останется нескомпенсированный положительный заряд. На зонной схеме
эта ситуация изображается освобождением одного состояния в валентной зоне,
до этого полностью заполненной. Такие незанятые электронами (вакантные)
состояния называют дырочными состояниями. Дырки ведут себя как частицы с
положительным зарядом, равным заряду электрона.
Во внешнем поле они двигаются в направлении вектора напряженности
электрического поля, как частицы с эффективной массой m* > 0.
Если электрон проводимости, блуждая по кристаллу, встретит дырку
(частично разорванную связь), то связь заполнится этим электроном. При этом
число электронов проводимости уменьшится на единицу, одновременно станет
на единицу меньше и число дырок. Этот процесс называется рекомбинацией
носителей. Он изображен на рис. 13.9.
Рис. 13.9
На рис. 13.9,а электрон проводимости заполняет незанятое место в
ковалентной связи. На зонной схеме (рис. 13.9,б) этому процессу соответствует
переход электрона из зоны проводимости в вакантное состояние (дырку)
валентной зоны.
Как видно из рис. 13.9,б, энергия электрона проводимости в процессе
рекомбинации уменьшается. Избыток энергии может выделиться в виде
излучения (излучательная рекомбинация). Возможна безизлучательная
(авторское написание слова – прим. ред.) рекомбинация, при которой энергия
выделяется в виде колебаний решетки или передается другим электронам
проводимости либо дыркам. Излучательная рекомбинация лежит в основе
действия полупроводниковых лазеров.
При заданной температуре устанавливается равновесие между процессом
образования электронно-дырочных пар и процессом их рекомбинации. Таким
образом, устанавливается равновесное для заданной температуры число
носителей зарядов.
Проводимость, возникающая за счет переходов под действием
температуры электронов идеального кристалла полупроводника из валентной
зоны в свободную (зону проводимости), называется собственной
проводимостью полупроводника.
С ростом температуры растет равновесное число электронов в зоне
проводимости и число дырок в валентной зоне. При этом в идеальном
кристалле число образовавшихся электронов проводимости равно числу
появившихся дырок. Эти электроны и дырки являются носителями тока.
Удельная проводимость
пропорциональна концентрации носителей n (см.
(12.2)). Следовательно, удельная проводимость полупроводников будет расти с
температурой.
Распределение
электронов
по
уровням зоны проводимости и валентной
зоны описывается функцией Ферми –
Дирака
f(E)
(11.4),
причем
у
полупроводников
с
собственной
проводимостью уровень Ферми EF с
большой
точностью
расположен
посредине запрещенной зоны. На рис.
13.10 график f(E) изображен рядом с
энергетической схемой полупроводника.
Из рис. 13.10 видно, что для
электронов, находящихся у «дна» зоны
проводимости, выполняется равенство:
Рис. 13.10
E EF
Если
E зап
2
kT , то e ( E E F ) / kT
E зап
e 2 kT
E зап
.
2
(13.2)
1 , что обычно и имеет
место. Тогда мы имеем дело с «хвостом» функции f(E) (11.5); учитывая (13.2),
получим:
f ( E) e
E EF
kT
e
E зап
2 kT
.
(13.3)
Концентрация электронов проводимости n (и равная ей концентрация
дырок) будет пропорциональна f(E), а так как проводимость
пропорциональна концентрации, то для нее, с учетом (13.3), имеем:
~ f (E) e
E зап
2 kT
.
Переходя от пропорциональности к равенству, получим формулу
зависимости собственной проводимости полупроводников от температуры:
(T )
0e
E зап
2 kT
,
(13.4)
здесь 0 – постоянная величина, имеющая размерность проводимости.
Из полученной формулы видно, что собственная проводимость
полупроводников экспоненциально быстро растет с температурой.
Изучая на опыте зависимость (Т), можно найти экспериментальное
значение ширины запрещенной зоны Eзап.
В полупроводниках и диэлектриках электроны могут перейти из валентной
зоны в зону проводимости за счет поглощения фотонов, энергия которых
достаточна для обеспечения такого перехода. Энергия фотона , как известно,
равна h . Значит, необходимым условием внутреннего фотоэффекта является
неравенство:
hν ΔE зап .
В результате внутреннего фотоэффекта возникает собственная
фотопроводимость. Измеряя граничную частоту кр (или соответствующую
ей длину волны кр = с/ кр), т. е. определяя красную границу внутреннего
фотоэффекта, можно найти ширину запрещенной зоны полупроводника или
диэлектрика:
E зап
h кр
h
c
кр
.
(13.5)
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 13
1. При объединении атомов в кристалл их энергетические уровни,
вследствие принципа Паули, превращаются в систему очень близко
расположенных подуровней – разрешенные энергетические зоны. Разрешенные
зоны могут быть разделены запрещенными зонами, электрон не может иметь
энергию, лежащую в пределах запрещенной зоны.
2. Если самая верхняя – валентная – зона заполнена наполовину, то она
является зоной проводимости. Такие кристаллы относятся к металлам. Все
металлы хорошо проводят электрический ток.
3. Если валентная зона заполнена полностью, а следующая за ней
разрешенная зона отделена от валентной широкой запрещенной зоной
( Езап 10 эВ), то такой кристалл будет диэлектриком. Диэлектрики почти не
проводят электрический ток.
4. 4 Полупроводники имеют зонную схему, похожую на зонную схему
диэлектриков, но ширина запрещенной зоны у них мала ( Езап 3 эВ). Поэтому
при нагревании часть электронов переходит из валентной зоны в свободную
зону, которая и является у полупроводников зоной проводимости.
Проводимость беспримесных полупроводников экспоненциально растет с
ростом температуры. Такая проводимость называется собственной
проводимостью полупроводников.
5. Если электроны в полупроводниках переходят из валентной зоны в зону
проводимости за счет поглощения фотонов с энергией h
Eзап, то возникает
собственная фотопроводимость. Это явление называется внутренним
фотоэффектом.
14. ПРИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ. ДОНОРНЫЕ
ПРИМЕСИ, ПОЛУПРОВОДНИКИ N-ТИПА. АКЦЕПТОРНЫЕ
ПРИМЕСИ, ПОЛУПРОВОДНИК Р-ТИПА. ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫЙ
ПЕРЕХОД, ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЙ ДИОД.
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЙ ТРИОД (ТРАНЗИСТОР)
14.1. Примесная проводимость полупроводников
Некоторые примеси весьма существенно влияют на электрические
свойства полупроводников. Так, добавление в кремний ( Si) бора (B) в
количестве одного атома на 105 атомов кремния увеличивает проводимость при
комнатной температуре в тысячу раз по сравнению с чистым кремнием.
Донорные примеси, полупроводники n-типа
Для четырехвалентных полупроводников германия (Ge) и кремния (Si)
донорными примесями являются атомы пятивалентных элементов, таких,
как фосфор (P), мышьяк (As), сурьма (Sb). Название «донор» происходит от
лат. donare – дарить. Каждый атом донорной примеси поставляет один электрон.
Примесный полупроводник, в котором носителями заряда являются электроны,
заряд которых отрицателен, называется полупроводником n-типа (от лат.
negativ – отрицательный).
На рис. 14.1, а) изображена схема кристаллической решетки германия
(Ge), в которой на месте одного из атомов решетки помещен атом фосфора
(P), у которого пять валентных электронов. Четыре из них образуют
ковалентные связи с соседними атомами германия, а пятый, донорный,
удерживается у положительного иона фосфора слабым кулоновским
притяжением, наподобие электрона в атоме водорода.
На рис. 14.1, б, изображена энергетическая зонная схема полупроводника
с донорной примесью.
На энергетической схеме присутствие донорного электрона изображают,
размещая его энергетический уровень на расстоянии Ed от дна зоны
проводимости. Для того, чтобы этот электрон перешел в зону проводимости
ему, нужно сообщить энергию Ed.
Энергию связи донорного электрона с ионным остатком Ed можно
оценить, пользуясь результатами, полученными для атома водорода,
полученными ранее. Как известно из (4.9), (8.3), энергия связи электрона в
основном состоянии атома водорода:
E1
me 4
1
(4
0)
2
2
2
.
(14.1)
б)
a)
Рис. 14.1
В полупроводнике следует учесть
– диэлектрическую проницаемость
2
2
среды, для этого надо e заменить на e / . Для германия = 15,8. Кроме того,
масса электрона при его движении в кристалле заменяется на m* –
эффективную массу, для электронов в германии m* 0,1 m. Величина E1 у
атома водорода, как известно, равна -13,6 эВ. Следовательно, энергия связи
донорного электрона:
Ed
0,1me 4
1
4
2
0
2
1
2 2
E1
0,1
2
0,006 эВ .
(14.2)
Соответствующая оценка для кремния дает Ed 0,02 эВ.
При таких значениях энергии связи для перевода электрона с донорного
уровня в зону проводимости достаточно энергии теплового движения kT при
комнатных и даже более низких температурах. Так, при Ed = 0,006 эВ
достаточно уже температуры T 70 K (или около -200 С), чтобы kT сравнялось
с Ed. Это значит, что при комнатных температурах все электроны с донорных
уровней перейдут в зону проводимости: произойдет полная ионизация доноров.
Вследствие полной ионизации доноров, примесная проводимость не будет
зависеть от температуры, а будет определяться только концентрацией
примесных атомов.
14.2. Акцепторные примеси. Полупроводники p-типа
Акцепторными примесями для германия и кремния являются атомы
трехвалентных элементов, таких, как бор (B), алюминий (Al), галлий (Ga),
индий (In).
Название «акцептор» происходит от лат. acceptor – приемник. Каждый атом
акцептора забирает из валентной зоны один электрон, создавая в валентной
зоне носитель заряда – дырку. Такой примесный полупроводник, в котором
носителями
заряда
являются
положительные
дырки,
называется
полупроводником p-типа (от лат. positiv – положительный).
На рис. 14.2, а изображена схема кристаллической решетки германия (Ge)
в которой на месте одного из атомов германия помещен атом бора (B), у
которого три валентных электрона. На рис. 14.2, б, изображена энергетическая
зонная схема полупроводника с акцепторной примесью.
Рис. 14.2
Трехвалентных электронов, которые имеет атом бора, окажется
недостаточно для образования ковалентных связей с четырьмя соседями: одна
из связей окажется лишь с одним электроном, полученным от атома германия.
На эту незаполненную связь от соседних атомов германия переходит электрон,
образуя положительно заряженную дырку на своем прежнем месте, и атом бора,
в результате, становится отрицательным ионом. Эта дырка будет связана с
отрицательным ионом бора примерно так же, как донорный электрон связан с
положительным ионом.
На энергетической схеме (рис. 14.2, б) вакантный уровень (с дыркой на
нем) мы должны разместить недалеко от «потолка» валентной зоны, его энергия
выше «потолка» валентной зоны на величину Ea. За счет теплового движения
электрон из валентной зоны может перейти на акцепторный уровень, создав
свободную дырку в валентной зоне. На пространственной схеме (рис. 14.2, а)
этому процессу соответствует возможность удаления положительной дырки от
отрицательного иона бора на сколь угодно большое расстояние: происходит
ионизация акцептора и переход дырки из связанного состояния в свободное.
Для оценки энергии связи дырки Ea (она же – энергия ионизации
акцептора) можно использовать те же соображения, что применялись для
оценки энергии связи донорного электрона в предыдущем параграфе. Для бора
в германии величина Ea
0,01 эВ. Так как энергия Ea невелика, то при
комнатной температуре kT > Ea и все акцепторы будут ионизированы. Таким
образом, как и в случае электронной проводимости, дырочная проводимость
вследствие ионизации акцепторов не будет зависеть от температуры, а
будет определяться только концентрацией примесных атомов.
14.3. Электронно-дырочный переход. Полупроводниковый диод
Создадим контакт из двух полупроводников, один из которых p-типа, а
другой n-типа, как это изображено на рис. 14.3. Такой контакт называют
электронно-дырочным переходом, или p-n переходом.
Предположим
для
удобства
рассмотрения,
что
контакт
создан
приведением в соприкосновение двух
образцов полупроводника: p и n типа. В
первый момент обе части созданного
перехода будут электрически нейтральны.
В материале p-типа имеются свободные
дырки, причем их концентрация равна
Рис. 14.3
концентрации
отрицательно
ионизированных примесных акцепторных атомов. В материале n-типа, справа
от перехода, имеются свободные электроны. Их концентрация равна
концентрации положительно заряженных примесных донорных атомов.
Кроме примесных носителей, в полупроводнике всегда присутствует
некоторое количество собственных носителей. Их концентрация при комнатной
температуре мала по сравнению с концентрацией примесных носителей,
поэтому их называют неосновными носителями.
Таким образом, в p-области концентрация дырок велика, а в n-области
мала. С электронами дело обстоит наоборот, их концентрация велика в nобласти, а в p-области мала. За счет различия концентраций возникают
диффузионные потоки (см. ч. 4, лекция № 6, § 3).
Дырки из p-области будут двигаться в n-область, одновременно электроны
из n-области будут диффундировать в область p.
Возникшие потоки зарядов приведут к нарушению электрической
нейтральности. В p-области останутся нескомпенсированные отрицательно
заряженные ионы акцепторных атомов. В n-области будет избыток
положительно заряженных ионов донорных атомов. В результате образуется
двойной слой разноименных зарядов, которые создадут электрическое поле,
направленное от n-области к p-области, как это изображено на рис. 14.4.
Возникшее поле будет препятствовать диффузионным потокам.
Установится равновесное распределение носителей в области p-n перехода. В
области двойного электрического слоя электроны и дырки, двигаясь навстречу
друг другу, рекомбинируют, в результате p-n переход оказывается обедненным
носителями, проводимость его становится маленькой.
Полупроводниковый диод – прибор,
обладающий
способностью
хорошо
пропускать
через
себя
ток
одного
направления и плохо – противоположного
направления.
Полупроводниковый
диод
представляет собой полупроводниковую
пластину с двумя областями различной
проводимости: электронной (n-типа) и
дырочной (p-типа). Между ними возникает
p-n переход, который и обладает
односторонней проводимостью.
Подадим на p-n переход разность
потенциалов
(рис. 14.5).
На рис. 14.5, а) p-n переход, смещенный
Рис. 14.4
в обратном направлении (к области p подан
отрицательный потенциал, к n области – положительный), ток через переход
почти отсутствует. На рис. 14.5, б p-n переход смещен в прямом направлении (к
области p подан положительный потенциал, к области n – отрицательный), в
этом случае ток резко растет с ростом разности потенциалов на p-n переходе.
Происходит это по следующим причинам.
Рис. 14.5
Если отрицательный полюс источника напряжения соединен с p-областью,
а положительный с n-областью (рис. 14.5, а), то высота потенциального барьера
для основных носителей возрастет. Иными словами, усилится электрическое
поле, препятствующее движению основных носителей через p-n переход. В
этом случае под действием внешнего поля через переход смогут двигаться
только неосновные носители (на рис. 14.5, а), в n-области изображена дырка,
которая может «скатиться» с «потенциальной горки»). Следовательно, через p-n
переход при обратном смещении будет течь только слабый ток неосновных
носителей.
Теперь соединим положительный полюс источника с р-областью, а
отрицательный – с n-областью
В этом случае внешнее поле будет направлено в сторону,
противоположную полю двойного электрического слоя. Величина
потенциального барьера будет меньше, чем при отсутствии внешнего поля. При
достаточно большой положительной внешней разности потенциалов барьер
превратится в «горку» для основных носителей. Дырки из p-области будут под
действием внешнего поля переходить в область n, а электроны из n-области – в
область p. Возникает ток основных носителей через p-n переход, он будет
экспоненциально возрастать с ростом положительной разности потенциалов.
Зависимость тока от напряжения
(разности потенциалов) называют вольтамперной
характеристикой
для
полупроводникового
диода.
Вольтамперная характеристика изображена на
рис. 14.6.
При отрицательном напряжении течет
очень
маленький
ток
неосновных
носителей. Если отрицательное напряжение
больше чем Uпр – возникает электрический
пробой, через переход течет большой
отрицательный ток.
Рис. 14.6
14.4. Полупроводниковый триод (транзистор)
Полупроводниковый триод, или транзистор, – это электронный прибор,
предназначенный
для
усиления,
генерирования
и
преобразования
электрических сигналов. Состоит он из двух p-n переходов, созданных в одном
кристалле.
В зависимости от чередования переходов, различают p-n-p и n-p-n
транзисторы. Средняя часть триода называется базой. Толщина ее должна быть,
по возможности, меньше. Области с противоположным типом проводимости,
прилегающие к базе, называют эмиттером и коллектором. Конструктивно
коллектор имеет больший объем, чем эмиттер.
Рассмотрим принцип работы транзистора на примере схемы,
изображенной на рис. 14.7 (схема с общей базой).
На переход «эмиттер –
база» подается небольшое
постоянное смещение Uэ в
прямом
направлении
и
усиливаемый
переменный
сигнал. Переход «база –
коллектор»
смещается
в
обратном
направлении,
значительно большем, чем Uэ
напряжением Uк. При таких
смещениях
сопротивление
перехода «эмиттер – база»
Рис. 14.7
невелико,
сопротивление
перехода «база – коллектор» велико. Это позволяет взять в качестве нагрузки
большое сопротивление Rвых.
На рис. 14.8 изображены графики потенциала в зависимости от координаты
x в направлении, перпендикулярном плоскостям p-n и n-p переходов (рис.
14.7).
В случае отсутствия смещения
двойной электрический слой, как мы
узнали выше, препятствует движению
основных
носителей
через
p-n
переход. При прямом смещении
x
перехода «эмиттер – база» величина
«барьера» уменьшается и «барьер»
может превратиться в «горку», с
которой будут «скатываться» основные
носители (см. рис. 14.5, б).
Так, дырки из эмиттера (у нас – pобласть) будут в большом количестве
переходить в область базы (n-область в
нашем случае). Если база достаточно
Рис. 14.8
тонкая, то большая часть пришедших
из эмиттера дырок за счет диффузии дойдет до перехода «база – коллектор», не
успев рекомбинировать. А здесь для них, дырок, приготовлена потенциальная
«горка», с которой они «скатываются» в область коллектора. У хорошего
транзистора до 99% (и больше) основных носителей, вышедших из эмиттера,
доходят до области коллектора. Можно считать, что ток коллектора Iк примерно
равен току эммиттера Iэ. При изменении тока эмиттера, вызванном входным
сигналом, настолько же изменится и ток коллектора. При этом мощность
выходного сигнала будет больше, чем у входного, так как разность потенциалов
на переходе «база – коллектор» больше, чем на переходе «эмиттер – база», а
электрическая мощность, как известно, равна произведению тока на
напряжение:
P IU.
Таким образом, рассмотренная нами схема с общей базой усиливает сигнал
по мощности.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 14
1. Атомы пятивалентных элементов, таких, как фосфор (Р), мышьяк (As),
сурьма (Sb), добавленные в кристаллическую решетку четырехвалентных
полупроводников германия (Ge) или кремния (Si), называются донорными
примесями.
2. Каждый атом донорной примеси может поставить в зону проводимости
один электрон. Полупроводник с донорной примесью называется
полупроводником n-типа, так как носителями заряда в этом случае являются
электроны, заряд которых отрицателен (от лат. negativ – отрицательный).
3. Энергия связи донорного электрона с ионным остатком ~ 10 -2 эВ,
поэтому при комнатных температурах все донорные электроны переходят в
зону проводимости (полная ионизация доноров). Вследствие этого примесная
электронная проводимость не зависит от температуры, а определяется только
концентрацией доноров.
4. Атомы трехвалентных элементов, таких, как бор (В), алюминий (Al),
галлий (Ga), индий (In), добавленные в кристаллическую решетку
четырехвалентных полупроводников германия (Ge) и кремния (Si), называются
акцепторными примесями.
5. Каждый атом акцептора может забрать из валентной зоны один
электрон, создавая в ней носитель положительного заряда – дырку. Такой
примесный полупроводник называется полупроводником р-типа (от лат. positiv
– положительный).
6. Энергия, необходимая для ионизации акцептора невелика (~10-2 эВ),
поэтому уже при комнатных температурах все акцепторы будут ионизированы.
Вследствие этого, дырочная проводимость не будет зависеть от температуры, а
определяется только концентрацией акцепторов.
7. Контакт из двух примесных полупроводников с разным типом
проводимости называется
p-n-переходом. Такой переход обладает
односторонней проводимостью. На основе свойств p-n перехода работает
полупроводниковый диод.
8. Прибор, состоящий из двух p-n переходов, созданных в одном
кристалле, называется полупроводниковым триодом, или транзистором.
Транзистор используется для усиления, генерирования и преобразования
электрических сигналов.
15. ОСНОВЫ ФИЗИКИ ЛАЗЕРОВ
15.1. Вводные сведения
Лазер (оптический квантовый генератор) – устройство, генерирующее
когерентные электромагнитные волны за счет вынужденного испускания света
активной средой, находящейся в оптическом резонаторе.
Термин «лазер» происходит от первых букв английского названия этого
устройства: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiаtion – усиление
света за счет вынужденного испускания излучения.
Первые квантовые генераторы были созданы в 1953 г. советскими
физиками Н.Г. Басовым и А.М. Прохоровым и независимо от них американским
ученым Таунсом. Всем троим в 1964 г. за эти работы присуждена Нобелевская
премия по физике. Квантовые генераторы, созданные Басовым, Прохоровым и
Таунсом, работали в микроволновом диапазоне, и их английское название
«мазер» образовано по тому же принципу, что и термин «лазер», только вместо
слова Light (свет) используется слово Microwave (микроволновое излучение).
Первый квантовый генератор, работающий в оптическом диапазоне, –
рубиновый лазер – был создан в 1960 г. Т. Мейманом (США).
Лазер содержит три основных компонента:
1. активная среда, в которой создают инверсию населенности;
2. система накачки – устройство для создания инверсии населенности;
3. устройство положительной обратной связи – оптический резонатор.
Главными процессами, приводящими к лазерному излучению,
являются:
1. вынужденное излучение;
2. положительная обратная связь.
15.2. Вынужденное (стимулированное) излучение
В соответствии со вторым постулатом Бора, излучение испускается или
поглощается в виде квантов энергии  при переходе электрона в атоме из
одного стационарного состояния в другое. При этом:

En
Em .
Если E n E m – атом поглощает фотон  , при E n E m атом излучает
фотон.
А. Эйнштейн в 1916 г. показал, что этих двух процессов недостаточно для
установления состояния равновесия между излучением и веществом. Он
высказал идею о существовании вынужденного излучения.
Вынужденное излучение возникает, если на атом, находящийся в
возбужденном состоянии, например, с энергией E 2 , воздействует фотон с
E 2 E1 ( E1 – энергия основного
частотой, удовлетворяющей условию: 
состояния). В этом случае с определенной вероятностью атом переходит из
состояния E 2 в основное состояние E1 и излучает еще один фотон с энергией

E2
E1 . При одинаковой интенсивности излучения вероятность
единичного акта вынужденного излучения равна вероятности перехода атома из
состояния E1 в состояние E 2 , происходящего за счет поглощения фотона  .
На рис. 15.1 схематически изображены процессы: а) спонтанного излучения, б)
вынужденного излучения и в) поглощения фотонов.
Рис. 15.1
Фотон вынужденного излучения по своим характеристикам тождественен
фотону, вызывающему вынужденное излучение: он имеет те же самые частоту,
фазу, поляризацию и направление распространения. На волновом языке можно
сказать, что вынужденное излучение приводит к увеличению амплитуды
электромагнитной волны без изменения ее частоты, фазы, поляризации и
направления распространения. Следовательно, вынужденное излучение строго
когерентно с вынуждающим излучением.
15.3. Состояние с инверсией населенности
Пусть, для простоты рассуждений, атомы среды могут находиться только в
двух энергетических состояниях: E1 и E 2 . Числа атомов N1 и N 2 ,
находящихся в этих состояниях, в условиях термодинамического равновесия
определяются распределением Максвелла – Больцмана (см. ч. 4, (2.14)). Их
отношение дается следующей формулой:
N2
N1
e
E 2 E1
kT
1.
Как отмечено выше, вероятность единичного акта вынужденного
испускания фотона равна вероятности поглощения такого же фотона. Поэтому,
при одинаковой интенсивности излучения, полная вероятность поглощения
будет пропорциональна N1 , а полная вероятность вынужденного
испускания – пропорциональна N 2 . В равновесных условиях N 2 N1 , и
поэтому процесс поглощения будет преобладать над процессом вынужденного
испускания: вещество будет поглощать электромагнитные волны.
Если создать каким-либо образом в активной среде неравновесное
состояние с N 2 N1 – состояние с инверсией населенности – то процесс
вынужденного испускания будет преобладать над процессом поглощения.
Схематически этот процесс изображен на рис. 15.2.
Рис. 15.2
Появившийся за счет спонтанного излучения фотон с энергией

E 2 E1 «размножается» за счет последовательных процессов
вынужденного излучения. Возникает вспышка света, интенсивность которой
зависит от размеров активной среды вдоль направления движения фотонов. Эта
вспышка света называется сверхлюминисценцией.
15.4. Оптический резонатор
Для превращения сверхлюминисценции в генерацию лазерного излучения
необходимо наличие положительной обратной связи, осуществляемой за счет
оптического резонатора. Простейший оптический резонатор состоит из двух
плоских зеркал, расположенных параллельно друг другу (рис. 15.3).
Между этими зеркалами расположена активная среда, находящаяся в
состоянии с инверсией населенности.
Рис. 15.3
Фотоны, испущенные под углом к оси резонатора, порождают лишь
короткие вспышки сверхлюминисценции. Фотоны, испущенные вдоль оси
резонатора, многократно проходят через активную среду за счет отражений от
зеркал. При этом они вызывают вынужденное излучение, которое увеличивает
интенсивность световой волны. В наиболее благоприятных условиях находятся
те фотоны, для которых выполняются условия возникновения стоячих волн.
Стоячие электромагнитные волны в оптическом резонаторе возникают при
выполнении условия, аналогичного условию возникновения стоячих волн в
струне, закрепленной с двух концов (ч. 3, лекция № 6, § 5), т. е.:
l
n
n ,
2
здесь l – расстояние между зеркалами; n – целое число; n – резонансная
длина волны.
В оптическом резонаторе l >> , поэтому целое число n принимает
большие значения. При этом в пределах естественной ширины спектральной
линии оказываются несколько резонансных длин волн – несколько мод
оптического резонатора. Эту ситуацию иллюстрирует рис. 15.4, где
изображена зависимость интенсивности излучения I от частоты для активной
среды, находящейся в оптическом резонаторе.
Существуют способы выделения одной из мод и подавления остальных.
Такой
одномодовый
режим
генерации
позволяет
достичь
наивысшей
когерентности
излучения.
Таким
образом,
оптический резонатор
формирует
лазерное
излучение,
направленное строго по
оси
резонатора
и
обладающее
высокой
степенью
Рис. 15.4
когерентности.
Для того, чтобы выпустить лазерное излучение из резонатора, одно из
зеркал делают полупрозрачным.
15.5. Способы создания инверсии населенности
Процесс создания инверсии населенности называется накачкой. В
зависимости от структуры активной среды, используются различные виды
накачки.
В твердых телах и жидкостях используют оптическую накачку. В этом
случае для создания инверсии населенности активной среды необходимо, по
крайней мере, три энергетических уровня атомов или молекул активной среды.
Такая трехуровневая схема накачки была реализована в первом твердотельном
лазере, созданном в 1960 г. Т. Мейманом (США). Активной средой в этом лазере
являлся кристалл рубина, отполированные торцы которого служили зеркалами
оптического резонатора. Один торец покрывался непрозрачным слоем серебра,
слой серебра на другом торце пропускал 8% упавшей на него энергии.
Рубин представляет собой окись алюминия ( Al 2O3 ), в которой
(0,03 0,05)% атомов алюминия заменены трехвалентными ионами хрома
Cr 3 .
На рис. 15.5 изображена энергетическая схема иона хрома, который и
является основным элементом активной среды.
Рис. 15.5
Перевод электронов с уровня E1 на уровни широкой полосы E 3 (накачка)
осуществляется за счет интенсивного облучения рубина некогерентным светом
мощной импульсной лампы. В возбужденном состоянии E 3 ионы хрома
проводят около 10 7 с, а затем отдают часть энергии колебаниям решетки, и
электроны ионов хрома без излучения света переходят на уровень E 2 .
Этот уровень метастабильный, так как время жизни иона хрома в
состоянии E 2 порядка 10 3 с, что на четыре порядка (т.е. в десять тысяч раз)
больше времени жизни в состоянии E 3 . Большое время жизни электрона на
уровне E 2 позволяет перевести достаточное число ионов хрома в это
состояние. Для создания инверсии населенности необходимо, чтобы число
ионов хрома в состоянии E 2 было больше, чем в основном состоянии E1 , т. е.
требуется возбудить больше половины ионов хрома.
На рис. 15.6 изображена четырехуровневая система.
Ее преимущество перед трехуровневой системой состоит в том, что E 3 –
нижний рабочий уровень лазерного перехода – расположен выше основного
уровня E1 . По этой причине в условиях термодинамического равновесия он
может быть населен, в соответствии с распределением Максвелла – Больцмана,
значительно слабее, чем уровень E1 . Здесь состояние с инверсией
населенности достигается, когда населенность метастабильного уровня E 2
больше населенности нижнего рабочего уровня E 3 .
Таким образом, на основном уровне может оставаться больше половины
атомов.
Наиболее эффективным
четырехуровневым
ионом
является трехвалентный ион
неодима Nd 3 , вводимый в
состав специальных сортов
стекла.
Оптическую
накачку
применяют,
главным
образом, в твердотельных
лазерах и лазерах на
стеклах,
активированных
Рис. 15.6
неодимом.
В газовых лазерах более эффективны другие методы накачки:
электрический разряд, химические реакции, тепловая накачка в
газодинамических лазерах.
В полупроводниковых лазерах важнейшим способом накачки является
инжекция носителей через p-n переход. В отличие от лазеров других типов, в
полупроводниковом лазере используются излучательные квантовые переходы
между энергетическими зонами: зоной проводимости и валентной зоной
полупроводникового диода.
Генерация лазерного излучения возникает в слое, примыкающем к p-n
переходу при пропускании через диод большого прямого тока. Плотность тока,
3
2
7
2
соответствующего началу генерации, обычно порядка 10 A / см 10 A / м .
Оптическим резонатором в полупроводниковом лазере служат две
плоскопараллельные
грани,
расположенные
перпендикулярно
плоскости p-n перехода. Коэффициент
отражения этих граней около 30%.
Схема такого лазера изображена на
рис. 15.7.
В полупроводниковых лазерах с
электронной накачкой для создания
инверсии населенности используют
пучок электронов с энергией
104 105 эВ.
Рис.15.7
При замедлении этих электронов за
счет ионизации в полупроводнике образуются избыточные носители заряда.
15.6. Виды лазеров и их применение
По режиму работы лазеры можно разделить на импульсные и
непрерывного действия. По виду активной среды лазеры делятся на газовые,
жидкостные, полупроводниковые и твердотельные. По способу накачки
различают: лазеры с оптической накачкой, газоразрядные лазеры, химические
лазеры, ижекционные лазеры и лазеры с электронной накачкой.
Для всех лазеров характерны следующие особенности излучения:
1) большая временная и пространственная когерентность. Время
когерент-ности
составляет 10 3 с, что соответствует длине когерентности
l c
105 м;
~ 10 11 м ;
2) строгая монохроматичность:
3) большая плотность потока энергии;
2
4
4) очень малое угловое расхождение в пучке (от 5 10 радиан до 4 10
радиан).
Коэффициент полезного действия лазеров изменяется от 0,01% (для гелийнеонового лазера) до 75% (для лазера на стекле с неодимом).
Мощность непрерывного излучения лазеров изменяется от 10
3
Вт (гелий-
5
неоновый лазер) до 10 Вт (газодинамический лазер на CO 2 ). Мощность
импульсного излучения изменяется от 10 Вт (полупроводниковые лазеры) до
1013 Вт (лазеры на стекле с неодимом).
Особенности лазерного излучения находят самое разнообразное
применение. Способность лазера концентрировать световую энергию в
пространстве, времени и узком спектральном интервале может быть
использована двояко:
1) нерезонансное воздействие мощных световых потоков на вещество в
непрерывном и импульсном режимах (лазерная обработка материалов),
использование мощных лазеров для решения проблемы термоядерного синтеза;
2) резонансное воздействие на атомы, молекулы и молекулярные
комплексы, вызывающие процессы фотодиссоциации, фотоионизации,
фотохимические реакции.
Нерезонансное, тепловое воздействие лазерного излучения, используемое в
лазерной технологии обработки материалов, упрощает операцию получения
отверстий в твердых, хрупких, тугоплавких материалах. Например, лазерная
технология эффективна при изготовлении алмазных фильер – рабочего
инструмента машин для волочения проволоки: через отверстие в фильере
протягивается обрабатываемый материал. Лазерная технология используется
для резки материала, нанесения рисунка на его поверхность, образования
нужного микрорельефа на ней. Лазерная сварка позволяет соединить металлы и
сплавы, не свариваемые обычным способом.
В частности, в медицине (хирургии) лазерный луч в ряде случаев с
успехом используется в качестве хирургического скальпеля. В офтальмологии
лазерным лучом прикрепляют отслоившуюся сетчатку глаза. Отметим, что в
медицине используют и резонансное воздействие лазерного луча на ткани
организма, в частности, маломощное излучение гелий-неонового лазера.
Механизмы такого воздействия пока в деталях не изучены, предполагается, что
его необычно высокая эффективность при очень малой мощности излучения
(десятки милливатт) объясняется цепными фотохимическими реакциями,
возникающими под воздействием лазерного излучения.
Применение лазеров в спектроскопии резко повысило возможность
традиционных методов, кроме того, позволило создать методы, основанные на
принципиально
новых
физических
принципах.
Чувствительность
спектроскопических методов доведена до предельного уровня, ограниченного
регистрацией единичных атомов и молекул. Методы лазерной спектроскопии
используются в лазерной химии, лазерном разделении изотопов.
Лазеры широко применяют в измерительной технике. Например,
лазерные интерферометры на гелий-неоновых лазерах позволяют с большой
точностью производить юстировочные и нивелировочные работы. Широко
используются лазерные светодальномеры и даже лазерные рулетки на
портативных полупроводниковых лазерах.
Применения лазеров столь обширны, что здесь невозможно даже их простое
перечисление, кроме того, область применения лазеров постоянно расширяется.
С появлением лазеров связано рождение таких новых разделов физики, как
нелинейная оптика и голография.
Нелинейная оптика исследует распространение мощных световых пучков
в твердых телах, жидкостях и газах и их взаимодействия с веществом.
Напряженности электрического поля в мощных лазерных пучках сравнимы или
даже превышают внутриатомные поля. Это приводит к возникновению новых
оптических эффектов и существенно меняет характер уже известных явлений. В
частности, в 1969 г. была обнаружена самофокусировка света: мощный
световой пучок, распространяясь в среде, не испытывает дифракционной
расходимости, а, напротив, самопроизвольно сжимается.
Голография (от греческого holos – весь, полный, grapho – пишу) – способ
записи и восстановления волнового поля, основанный на регистрации
интерференционной картины, которая образована волной, отраженной
предметом, освещаемым источником света (предметная волна), и когерентной с
ней волной, идущей непосредственно от источника света (опорная волна).
Зарегистрированная интерференционная картина называется голограммой.
Голограмма, освещенная опорной волной, создает такое же амплитуднофазовое пространственное распределение волнового поля, которое создавала
при записи предметная волна. Таким образом, голограмма, за счет дифракции
опорной волны на записанной в ней интерференционной картине, преобразует
опорную волну в копию предметной.
Основы голографии были заложены в 1948 г. английским физиком Д.
Габором, венгром по происхождению. Экспериментальное воплощение и
дальнейшая разработка этого способа стали возможными лишь после появления
источников света высокой степени когерентности – лазеров.
Схемы записи и воспроизведения голографического изображения показаны
на рис. 15.8.
а) запись голограммы;
Рис. 15.8
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 15
1. Лазер, или оптический квантовый генератор, – это устройство,
генерирующее когерентные электромагнитные волны за счет вынужденного
испускания света активной средой, находящейся в оптическом резонаторе.
2. Вынужденное излучение возникает, если на атом, находящийся в
возбужденном состоянии с энергией Е2, воздействует фотон с частотой,
E 2 E1 , где Е1 – энергия основного
удовлетворяющей условию: 
состояния. Вынужденное излучение строго когерентно с вынуждающим
излучением.
3. Если на уровне Е2 находится больше электронов, чем на уровне Е1, то
такое состояние активной среды называют состоянием с инверсией
населенности. В этом случае процесс вынужденного излучения будет
преобладать над процессом поглощения света.
4. Для возникновения лазерного излучения необходимо наличие
положительной обратной связи, осуществляемой за счет оптического
резонатора. Простейший оптический резонатор состоит из двух плоских
зеркал, параллельных друг другу. Активная среда в состоянии с инверсией
населенности расположена между этими зеркалами.
5. Процесс создания инверсии населенности называется накачкой.
Существуют различные виды накачки. В твердых телах и жидкостях
используют оптическую накачку. В этом случае для создания инверсии
населенности необходимо, по крайней мере, три энергетических уровня атомов
активной среды.
6. Для всех лазеров характерны следующие особенности излучения:
1) большая временная и пространственная когерентность (время
когерентности
10-3 с, что соответствует длине когерентности l = с
= 105
м);
2) строгая монохроматичность:
10-11 м;
3) большая плотность потока энергии;
4) очень малое угловое расхождение (от 5 10-4 радиан до 4 10-2 радиан).
7. Особенности лазерного излучения находят самое разнообразное
применение. Используется как нерезонансное воздействие мощных лазерных
пучков на вещество, так и резонансное воздействие на атомы и молекулы,
вызывающие различные фотостимулированные реакции.
8. С появлением лазеров стало возможным экспериментальное
воплощение и дальнейшая разработка голографии. Голография – это способ
записи и восстановления волнового поля, основанный на регистрации
интерференционной картины, которая образована волной, отраженной
предметом, освещаемым источником света (предметная волна), и когерентной с
ней волной, идущей непосредственно от источника света (опорная волна).
ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
16. РАЗМЕР, СОСТАВ И ЗАРЯД АТОМНОГО ЯДРА. МАССОВОЕ И
ЗАРЯДОВОЕ ЧИСЛО ДЕФЕКТ МАСС И ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ
АТОМНОГО ЯДРА. ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ
16.1. Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое
число
Атомное ядро было открыто английским физиком Э. Резерфордом в 1911 г. в
опытах по рассеянию -частиц при прохождении их через вещество. Схема
этого опыта была приведена нами в лекции №1 (рис. 1.1), там же было дано его
краткое описание. Опыт Резерфорда послужил нам в первой лекции отправной
точкой для обсуждения планетарной модели атома и проблемы нестабильности
атома в этой модели. Теперь же нас будет интересовать само ядро.
Ядро – центральная массивная часть атома, состоящая из протонов и
нейтронов. В ядре сосредоточена почти вся масса атома (более 99,95%).
Размеры ядер порядка 10-15
10-14 м. Ядра имеют положительный заряд,
кратный элементарному заряду е:
qя Z e .
(16.1)
Целое число Z называется зарядовым числом. Оно совпадает с порядковым
номером элемента в периодической системе элементов (см. лекцию № 9, § 2).
Ядро состоит из протонов и нейтронов (ниже мы уточним это
утверждение).
Термин «протон» (от греческого protos – первый) был введен Резерфордом
в начале 1920-х гг. Протон обозначают символом «р», он имеет следующие
характеристики.
Протон – одна из двух стабильных элементарных частиц (другой
стабильной частицей является электрон).
Масса протона:
mp
1,672614 10 27 кг 938,28 МэВ 1836me ,
(16.2)
здесь mе – масса электрона.
В ядерной физике и в физике элементарных частиц массы принято
выражать в единицах энергии, умножая их значение в системе СИ на квадрат
2
скорости света с , в соответствии с релятивистской формулой, связывающей
2
массу частицы с ее энергией покоя (см. ч. 1, (12.7)): W0 m c .
Так, масса частицы, равная 1 МэВ (точнее – 1 Мэв/с2), в системе СИ будет
равна:
1 МэВ
эВ
Дж
=106 2 1,6 10 13
1,78 10 30 кг .
2
2
(16.3)
с
с
8 м
3 10
с
Выраженная в МэВ масса электрона равна:
mе = 0,511 МэВ.
(16.4)
Заряд протона равен элементарному:
q p e 1,6021892 10 19 Кл .
(16.5)
Протон имеет спин s = 1/2 и, следовательно, подчиняется принципу
запрета Паули (см. лекцию № 9, § 1).
Протон обладает собственным магнитным моментом:
2,79 Я ,
(16.6)
Р
здесь
Я
e
2mР
5,05 10 27 A м 2 .
(16.7)
– единица измерения магнитного момента, называемая ядерным
магнетоном. (Сравните с магнетоном Бора, введенным в ч. 2 формулой (13.19),
там в формуле, аналогичной (16.7) на месте mр стояла масса электрона mе,
значит, ядерный магнетон в 1 836 раз (см. (16.2)) меньше магнетона Бора.)
Магнитный момент протона примерно в 660 раз меньше магнитного момента
электрона.
Нейтрон был открыт в 1932 г. английским физиком Д. Чедвиком –
учеником Резерфорда. Обозначение нейтрона – символ «n». Электрический
заряд нейтрона равен нулю.
Масса нейтрона:
mn 1,6749543 10 27 кг 939,57 МэВ 1838,6me .
(16.8)
Так как масса нейтрона больше массы протона, то он нестабилен и
распадается в свободном состоянии по схеме:
n
p e
~ν
,
(16.9)
здесь e – обозначение электрона;
~ν – символ, обозначающий антинейтрино.
Время, за которое распадается половина первоначального количества
нейтронов (период полураспада) Т1/2 12 минут.
Нейтрон, как и протон, имеет спин s = 1/2 и поэтому подчиняется
принципу запрета Паули.
Несмотря на свою электрическую нейтральность, нейтрон обладает
собственным магнитным моментом.
1,91 я .
(16.10)
n
Знак «–» указывает на то, что магнитный момент направлен против
механического (спинового). Уже этот факт говорит о наличии внутренней
структуры у нейтрона.
Отношение магнитного момента протона к магнитному моменту нейтрона
с большой точностью равно 3/2. Объяснение этому было дано на основе
представления о кварковой структуре протона и нейтрона.
Протонно-нейтронная модель атомного ядра была предложена в 1932 г.
советским физиком Д. Иваненко после открытия нейтрона. Затем эта модель
была развита немецким физиком В. Гейзенбергом.
Протоны и нейтроны получили общее название нуклонов, т. е. ядерных
части. Отметим, что в ядре нейтрон является стабильной частицей.
Общее число нуклонов в ядре означается буквой А и называется
массовым числом ядра.
Число нейтронов в ядре обозначают буквой N. Если учесть, что число
протонов в ядре (зарядовое число) обозначается буквой Z, то для числа
нейтронов имеем:
N A Z.
(16.11)
По современным представлениям, протоны и нейтроны состоят из
кварков и глюонов и атомное ядро – сложная система, состоящая из большого
количества кварков, глюонных и мезонных полей, взаимодействующих друг
с другом. Задача последовательного теоретического описания атомного ядра
ставится в рамках квантовой хромодинамики. Однако в силу своей сложности
эта задача пока не решена.
При описании атомного ядра и ядерных реакций, происходящих при
небольших энергиях ( 1 ГэВ на нуклон) можно с хорошей точностью считать,
что ядро состоит из вполне определенного числа нуклонов, движущихся с
2 2
нерелятивистскими скоростями (v /c ~ 0,1).
Размер ядра довольно точно определяется формулой:
r 1,3 10 15 A1/3 n 1,3 A1/3 Ф ,
(16.12)
здесь Ф – ферми – единица длины в ядерной физике, равная 10-15 м.
Для обозначения ядер применяют следующий символ:
A
Z
X,
(16.13)
здесь Х – химический символ данного элемента в таблице Менделеева; А
– массовое число; Z – зарядовое число.
Ядра с одинаковыми Z, но разными А называются изотопами.
Химические свойства элементов определяются валентными электронами.
У изотопов числа электронов одинаковы, значит по своим химическим
свойствам атомы изотопов совершенно одинаковы.
Большинство химических элементов имеет по нескольку стабильных
изотопов. Например, у водорода три изотопа:
1
1
H – обычный водород, или протий;
2
1H
2
1D – дейтерий;
3
1H
3
1T – тритий.
Обычный водород и дейтерий стабильны, тритий – радиоактивен, его
период полураспада Т1/2 = 12,35 года.
16.2. Дефект массы и энергия связи атомного ядра. Ядерные силы
Как показывает опыт, масса ядра mя меньше, чем суммарная масса
входящих в состав ядра нуклонов. Объяснение этому факту дает релятивистская
механика на основе формулы, связывающей массу тела с его энергией покоя Wо
(см. ч. 1, (12.7а), (12.10)). Для энергии покоя ядра Wо имеем:
W0
mя c2 .
W0
Zm p
A
Δ
Zmp
A Z mn
(16.14)
С другой стороны, рассматривая ядро как систему нуклонов для Wо на
основе формулы (12.14) из ч. 1. имеем:
Z mn c2
Wсв .
(16.15)
В квадратных скобках формулы (16.15) стоит суммарная масса нуклонов
ядра, находящихся в свободном, не связанном состоянии. Из (16.14) и (16.15)
для энергии связи Wсв получим:
Wсв
Zmp A Z m n m я c 2 .
(16.16)
В фигурных скобках формулы (16.16) стоит разница между суммарной
массой свободных нуклонов ядра и массой самого ядра. Величина эта
называется дефектом массы ядра и обозначается греческой буквой ,
следовательно:
mя .
(16.17)
Из формул (16.16) и (16.17) следует, что энергия связи Wсв и дефект массы
связаны простой формулой:
Wсв Δ c2 .
(16.18)
Энергия связи имеет простой смысл: это та энергия, которую необходимо
затратить, чтобы разделить ядро на составляющие его нуклоны и удалить
нуклоны друг от друга на такое расстояние, где они не взаимодействуют друг
с другом.
Отношение энергии связи Wсв к числу нуклонов в ядре А называется
удельной энергией связи. Этой величиной удобно характеризовать
устойчивость ядер. На рис. 16.1 приведен график зависимости удельной
энергии связи Wсв/А от числа нуклонов в ядре.
Для легких ядер удельная энергия связи резко возрастает с ростом А,
2
4
например, для дейтерия 1 H она равна 1,1 МэВ/нуклон, а уже для гелия 2 He
составляет 7,1 МэВ/нуклон. Для ядер с массовыми числами А от 50 до 60
Wуд
Рис. 16.1
удельная энергия связи максимальна и составляет 8,7 МэВ/нуклон. С ростом А
удельная энергия связи немного уменьшается. Это объясняется возрастающей
ролью кулоновского отталкивания для ядер с большим числом протонов. Для
урана (А = 235 или А = 238) удельная энергия связи составляет 7,5 МэВ/нуклон.
Из графика зависимости удельной энергии связи от массового числа
следует, что энергетически выгодны два процесса:
1) слияние (синтез) легких ядер в одно ядро;
2) деление тяжелых ядер на несколько более легких ядер.
Так, например, в реакции слияния двух ядер дейтерия в ядро гелия
выделяется энергия, равная 24 МэВ.
Деление ядра с массовым числом А = 240 (Wсв/А = 7,5 МэВ/нуклон) на
два ядра с А = 120 (Wсв/А = 8,5 МэВ/нуклон) привело бы к высвобождению
энергии:
W = (8,5 - 7,5) 240 = 240 МэВ.
Для сравнения, при сжигании угля в химической реакции:
C O2
CO2 5 эВ
(16.19)
выделяется всего 5 Эв энергии, что на 6-7 порядков меньше, чем в ядерных
реакциях.
Какие же силы удерживают нуклоны вместе, сдерживая кулоновское
отталкивание протонов в ядре? Ядерное взаимодействие между нуклонами
получило название сильного взаимодействия. Сам термин «сильное»
означает, что это взаимодействие сильней кулоновского.
Ядерные силы имеют следующие особенности.
1. Они короткодействующие. Радиус действия ядерных сил притяжения
порядка 10-15 м. На расстояниях примерно 0,5 10-15 м притяжение сменяется
быстро растущим отталкиванием.
2. Ядерные силы не зависят от заряда нуклона, т. е. взаимодействие
протона с протоном, нейтрона с нейтроном и протона с нейтроном одинаково.
3. Ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов. Так, в ядре
дейтерия – дейтроне – нейтрон и протон имеют спины, направленные в одну
сторону. При противоположных спинах нейтрон с протоном отталкиваются.
4. Ядерные силы не являются центральными. В частности, это следует из
их зависимости от ориентации спинов.
5. Ядерные силы обладают свойством насыщения, т. е. каждый нуклон в
ядре может взаимодействовать с ограниченным числом соседей. Это свойство
отмечалось при анализе графика зависимости удельной энергии связи от
массового числа А. Из-за насыщения ядерных сил объемы ядер
пропорциональны А – числу нуклонов в ядре (это следует из формулы (16.12)).
Современная теория сильного взаимодействия – квантовая хромодинамика
– пока далека от завершения. Однако, для многих задач ядерной физики вполне
удовлетворительные результаты дает описание взаимодействия нуклонов,
представляемых как элементарные объекты, посредством обмена
мезонами.
+
о
Существуют
, - и
– мезоны. Два первых заряжены, модули их
зарядов равны элементарному заряду е. Масса заряженных
-мезонов
о
одинакова и равна 273mе (140 МэВ). Масса -мезона равна 264mе (135 МэВ).
+
Спины всех трех -мезонов равны нулю. Время жизни - и -мезонов 2,6 10о
8
с, -мезона – 0,8 10-16 с. Мезоны, как и протон с нейтроном, относятся к
адронам, т. е. к частицам, участвующим в сильном взаимодействии. Но, в
отличие от протона и нейтрона, мезоны не несут барионного заряда, который
сохраняется в ядерных реакциях. Поэтому протон и нейтрон относят к
барионам, а мезоны не являются барионами.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 16
1. Ядро – центральная массивная часть атома, где сосредоточено более
99,95% массы атома.
2. Ядро имеет положительный заряд qЯ, кратный элементарному заряду е
(см. (16.1)):
qя Z e ,
где Z – зарядовое число.
3. Ядро состоит из протонов и нейтронов. Протон имеет положительный
заряд, нейтрон не имеет заряда.
4. Масса протона mP в 1836 раз больше массы электрона. Масса
нейтрона mn чуть больше, она в 1839 раз больше массы электрона. Поэтому
протон стабилен, а нейтрон распадается на протон, электрон и антинейтрино, в
среднеv, за время, равное 12 минутам.
5. Для обозначения ядер применяют следующий символ:
A
Z
X,
где Х – химический символ данного элемента в таблице Менделеева;
А – массовое число (общее число протонов и нейтронов – нуклонов – в ядре);
Z – зарядовое число.
6. Масса ядра mЯ меньше, чем суммарная масса протонов и нейтронов,
составляющих ядро. Разница называется дефектом массы (см. (16.17):
Δ
Zmp A Z mn mя ,
где А – массовое число – общее число протонов и нейтронов (нуклонов) в
ядре.
7. Энергией связи Wсв называется та энергия, которую необходимо
затратить, чтобы разделить ядро на составляющие ядро нуклоны. Она равна
(см. (16.18)):
Wсв
Δ c2 .
8. Отношение энергии связи Wсв к числу нуклонов в ядре А называется
удельной энергией связи.
9. Удельная энергия связи минимальна для легких ядер (1,1 МэВ/нуклон
для дейтерия), затем резко растет с ростом массового числа А. Для ядер с А от
50 до 60 удельная энергия связи максимальна (8,7 МэВ/нуклон), затем, с ростом
А удельная энергия связи немного убывает. Для урана с А = 238 она равна 7,5
МэВ/нуклон.
10. Нуклоны удерживаются в ядре вместе за счет сильного
взаимодействия. Радиус его действия ~ 10-15 м.
11. Энергетически выгодны два процесса:
1) слияние (синтез) легких ядер в одно ядро;
2) деление тяжелых ядер.
12. Современная теория сильного взаимодействия – квантовая
хромодинамика – пока далека от завершения. В первом приближении можно
считать, что сильное взаимодействие нуклонов в ядре возникает за счет обмена
-мезонами.
17. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ ОТКРЫТИЯ ДЕЛЕНИЯ ЯДЕР
УРАНА. ЦЕПНАЯ ЯДЕРНАЯ РЕАКЦИЯ. ЯДЕРНАЯ БОМБА.
ЯДЕРНЫЙ РЕАКТОР. РЕАКЦИЯ СИНТЕЗА АТОМНЫХ ЯДЕР.
ПРОБЛЕМА УПРАВЛЯЕМЫХ ТЕРМОЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
17.1. Некоторые сведения из истории открытия деления ядра урана
После открытия нейтрона физики получили в свое распоряжение частицу,
способную, ввиду отсутствия заряда, проникать в любые, в том числе и
тяжелые, ядра. Исследования воздействия нейтронов на ядра, главным образом
тяжелых элементов, велись в широких масштабах. Итальянский физик Э.
Ферми в 1934 г. начинает опыты по бомбардировке различных ядер нейтронами
и получает радиоактивные изотопы. В ходе этих исследований он делает важное
открытие: эффективность воздействия нейтронов значительно увеличивается,
если между источником нейтронов и облучаемым веществом поместить
замедлитель нейтронов. Облучая нейтронами уран, Ферми получает
трансурановые элементы: нептуний и плутоний. Вскоре после сообщения
Ферми о трансурановых элементах, немецкая исследовательница Ида Ноддак
опубликовала в «Химическом журнале» статью, в которой выдвинула смелую
гипотезу о том, что под действием нейтрона ядро урана может разделиться на
несколько больших осколков, которые не являются соседями урана в таблице
Менделеева. Однако эта идея показалась неправдоподобной, Ферми счел
предположение Ноддак абсурдным. В 1938 г. Ирен Кюри вместе с югославом
Павлом Савичем заметила, что в уране, облученном нейтронами, присутствует
лантан, элемент с массовым числом А = 139. В том же году эти опыты были
повторены немецкими учеными Отто Ганом и Фрицем Штрассманом. Статья
Гана и Штрассмана была опубликована в январе 1939 г. под заглавием «О
доказательстве возникновения щелочноземельных металлов при облучении
урана нейтронами и их свойствах». Еще до опубликования статьи Ган прислал
своей бывшей сотруднице Лизе Мейтнер письмо с изложением своих
результатов. Мейтнер, будучи еврейкой немецкого происхождения,
эмигрировала после захвата Австрии Гитлером в Стокгольм. В это время к ней
на рождественские каникулы приехал ее племянник Отто Фриш, работавший
раньше в институте кайзера Вильгельма и эмигрировавший в Данию. Фриш и
Мейтнер объяснили результаты Гана и Штрассмана: при попадании нейтрона
ядро урана делится на два осколка, приобретающие под действием
электростатического отталкивания энергию около 200 МэВ, что как раз
составляло энергию, связанную с дефектом массы. 16 января 1939 г. они
опубликовали статью, в которой впервые был употреблен термин «деление».
Чрезвычайную важность этого нового типа ядерной реакции сразу понял
Фредерик Жолио-Кюри. 8 марта 1939 г. он опубликовал заметку, в которой
сообщил об испускании нейтронов при делении ядра урана. Теперь встал со
всей силой вопрос о цепной реакции деления и о возможности получения
оружия фантастически огромной разрушительной силы: 1 сентября 1939 г.
нападением нацистской Германии на Польшу началась вторая мировая война.
17.2. Цепная ядерная реакция. Ядерная бомба
После открытия деления ядер урана У. Зинн и Л. Сциллард, а также Г.Н.
Флеров показали, что при делении ядра урана вылетает больше одного
нейтрона. Дальнейшие исследования показали, что при этом образуется два
осколка деления с массовыми числами А от 90 до 150, всего образуется около
80 различных видов осколков. Чаще всего образуются осколки, массы которых
относятся как 2 : 3. Большинство нейтронов испускается за время меньшее, чем
10-14 с, но часть (около 0,75%) нейтронов испускается с запаздыванием от 0,05 с
до 1 мин. В среднем при каждом делении ядра урана выделяется 2,5 нейтрона.
238
Природный уран содержит практически два изотопа: 92 U (99,29%) и
235
92 U (0,71%).
Ядро урана
238
92
U делится под действием только быстрых
235
нейтронов с энергией больше 1 МэВ. Ядро 92 U делится под действием
нейтронов любых энергий, особенно эффективно деление идет под действием
235
медленных, тепловых нейтронов. Вероятность деления ядра 92 U тепловым
238
нейтроном в 200 раз выше, чем вероятность деления 92 U быстрым нейтроном.
Энергии вылетающих нейтронов лежат в интервале от 0.1 МэВ до 14 МэВ.
Казалось бы возможной цепная реакция в природном уране за счет деления
238
92 U быстрыми нейтронами. Однако за счет потерь энергии нейтронами при
неупругих столкновениях с ядрами и за счет поглощения нейтрона ядром
238
92
Uс
239
образованием 92 U цепная реакция на природном уране развиваться не
может. Цепная реакция деления урана может быть осуществлена двумя
235
способами: либо в чистом 92 U взрывным образом, либо в ядерном реакторе.
Химически оба изотопа урана совершенно неразличимы, поэтому задача
235
выделения изотопа 92 U из природного урана очень сложна. Тем не менее, эта
задача была решена.
Для осуществления ядерного взрыва в результате ядерной цепной
235
реакции необходимо, чтобы масса делящегося вещества ( 92 U либо плутония
239
94
P ) превысила критическую массу mкр. Для 235
92 U при сферической форме
239
ядерного заряда mкр = 50 кг, при этом радиус сферы Rкр = 8,5 см. Для 94 P mкр =
11 кг. До взрыва система должна быть подкритична, т. е. массы частей заряда
должны быть меньше критической.
Рис. 17.1
Чтобы вызвать взрыв, надо очень быстро соединить части заряда в единое
целое и таким образом перевести систему в надкритическое состояние. Обычно
для сближения частей ядерного заряда используют химическое взрывчатое
вещество. На рис. 17.1 изображена схема ядерной бомбы: 1 – делящееся
239
235
вещество ( 92 U , либо 94 P ), 2 – химическое взрывчатое вещество, 3 – оболочка
бомбы. Цепная реакция в ядерной бомбе идет на быстрых нейтронах. Обычно
успевает прореагировать небольшая часть ядерного заряда, но даже если
235
прореагирует 1 кг 92 U , то выделяется энергия, эквивалентная взрыву 20 000
тонн тротила.
Взрывы примерно такой энергии произвели американцы над японскими
городами Хиросима (6 августа 1945 г.) и Нагасаки (9 августа 1945 г.). При этом
было убито и ранено более 200 000 жителей этих городов.
17.3. Ядерный реактор
Ядерный реактор – это содержащая ядерное горючее установка, в которой
осуществляется управляемая ядерная реакция.
В качестве делящегося вещества в реакторах используют природный (либо
235
слегка обогащенный изотопом 92 U ) уран. Для возбуждения цепной реакции в
природном уране используется замедление нейтронов при их столкновениях с
2
легкими ядрами ( 1 H – в тяжелой воде или
ядра
235
92 U
12
6 C – графит). Вероятность деления
тепловыми нейтронами примерно в 200 раз больше, чем
вероятность поглощения нейтрона ядром
238
92 U .
Однако, при делении ядер
235
92 U тепловыми нейтронами рождаются нейтроны быстрые, которые прежде
238
чем замедлиться, могут поглотиться. Вероятность захвата нейтрона ядром 92 U
достигает очень больших значений в определенных узких интервалах энергий
(около
7 эВ). В однородной смеси ядерного горючего с поглотителем вероятность
поглощения нейтронов слишком велика, и цепная реакция не может
осуществиться. Эту трудность обходят, располагая уран в замедлителе
дискретно, в виде блоков, образующих правильную решетку (рис. 17.2).
В
такой
среде
поглощение
нейтронов резко уменьшается, так как
нейтроны опасной для поглощения
энергии могут не попасть в уран, а,
замедляясь,
«уйти»
из
опасного
интервала энергий.
Рис. 17.2
Режим работы реактора выбирают таким образом, чтобы цепная реакция
развивалась только при участии запаздывающих нейтронов. Так как
запаздывание составляет время около минуты, то реакция может быть хорошо
регулируемой. Регулирующие стержни (рис. 17.2) содержат элементы, хорошо
поглощающие нейтроны (кадмий или бор). Введение стержней в реактор
уменьшает коэффициент размножения нейтронов, выведение – увеличивает.
Регулирование производится автоматически.
Выделяющаяся в реакторе тепловая энергия может использоваться для
выработки электрогенератором электрической энергии. Схема такой ядерной
электростанции изображена на рис. 17.3.
Рис. 17.3
17.4. Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых
термоядерных реакций
Как уже отмечалось в § 2 настоящей лекции, при реакции ядерного синтеза
(слияния) легких атомных ядер выделяется очень большое количество энергии.
Но для того, чтобы произошло слияние атомных ядер, их необходимо
сблизить на расстояние порядка 10-13 м, после чего процесс слияния происходит
с заметной вероятностью. Отметим, что расстояние 10-13 м все еще значительно
больше расстояния, на котором начинают действовать ядерные силы
притяжения.
На рис. 17.4 изображен примерный график зависимости потенциальной
энергии взаимодействия двух ядер. На этом рисунке W – относительная
кинетическая энергия ядер. Как видно из рисунка, она меньше потенциального
барьера, который возникает за счет кулоновского отталкивания двух ядер.
Пройти «под барьером» и попасть в глубокую потенциальную яму,
возникающую за счет действия ядерных сил притяжения, налетающее ядро
может из-за корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц (см. лекцию № 6).
Волновая функция
налетающего ядра в
области потенциального барьера хотя и
убывает, но если барьер не очень велик,
значение волновой функции за барьером будет
заметно отлично от нуля. Как известно,
2
Ψ r dV
dw – вероятности обнаружить
микрочастицу в объеме dV. Значит, будет
отлична от нуля вероятность обнаружить
частицу за потенциальным барьером, в области
ямы.
Этот
эффект
называется
«тунелированием».
Именно
наличие
тунелирования дает вероятность ядрам начать
Рис. 17.4
слияние, начиная с расстояний 10-13 м.
«Классическая» частица для попадания в яму должна была бы иметь энергию
не меньше высоты потенциального барьера и подходить к своей «партнерше»
на расстояние ~ 10-15 м, где начинают действовать ядерные силы.
Определим W – энергию ядер, необходимую для сближения на расстояние
-13
10 м. Как известно из электростатики (см. ч. 2, (3.3)), потенциальная энергия
взаимодействия двух точечных зарядов дается формулой:
Wп
9 109
q1q 2 .
r
Для двух ядер дейтерия, например, q1 = q2 = e = 1,6 10-19 Кл. При r = 10-13
м имеем:
Wп
9 1,6
9 10
2
10 38
10 13
2,3 10 15 Дж 1,4 104 эВ 14 кэВ.
Сообщить ядрам такую энергию можно, разогрев вещество до очень
высокой температуры. Температуру оценим, приравнивая эту энергию к
средней энергии теплового движения, равную (3/2)kT, где k = 1,38 10-23 Дж/К:
3
kT
2
2,3 10 15 , Дж .
откуда
2 2,3 10 15
T
108 K.
23
3 1,38 10
В земных условиях реакции синтеза легких ядер впервые были
реализованы в виде термоядерного взрыва (в так называемой водородной
бомбе). Высокая температура, необходимая для протекания реакции синтеза в
водородной бомбе, создается за счет взрыва ядерной бомбы, служащей в
водородной бомбе детонатором, «поджигателем» термоядерного взрыва. В
водородной бомбе используются реакции синтеза:
2
3
4
1
(17.1)
1D
1T
2H
0 n 17,6 МэВ ,
2
1D
1
0n
2
1D
6
3 Li
3
1T
4
2 He
p
4 МэВ,
3
1T
4,8  МэВ .
(17.2)
(17.3)
3
В реакциях (17.2) и (17.3) образуется дорогостоящий тритий 1T , который
и вступает в реакцию с дейтерием (17.1). Образующиеся в реакциях (17.1)
238
нейтроны имеют энергию 14 МэВ, поэтому могут вызывать деление ядер 92 U ,
который составляет более 99% природного урана. Для усиления энергии
взрыва, бомбу окружают оболочкой из природного урана. Энергия взрыва
термоядерных бомб на 2-3 порядка выше, чем ядерных и составляет от 100 000
до 1 000 000 тонн тротила.
Управляемый термоядерный синтез, проходящий в регулируемых
условиях, пока еще не реализован.
Наиболее перспективной реакцией для управляемого термоядерного
синтеза является реакция (17.1), так как она протекает с наибольшей скоростью.
При температурах Т ~ 108 К, необходимых для протекания реакции
синтеза, вещество ионизируется: ядра и электроны уже не связаны друг с
другом: вещество переходит в состояние полностью ионизированной плазмы.
Основная проблема состоит в том, как удержать горячую плазму в зоне
реакции. Одним из основных направлений решения этой проблемы является
создание установок, в которых плазма удерживается с помощью магнитного
поля. Эту идею в 1950 г. высказали советские ученые И.Е. Тамм и А.Д. Сахаров.
Она реализуется различными способами, но наибольшие усилия были
затрачены на создание устройств, которые получили название «ТОКОМАК».
Это название является сокращением от полного названия: «тороидальная
камера с магнитными катушками». В настоящее время работы на токомаках
переходят из фазы чисто физических исследований в фазу создания
экспериментального термоядерного реактора. Существует международный
проект, который предполагалось осуществить к 2003 г. и который должен
служить экспериментальной моделью будущей электростанции с реакцией
синтеза на основе токомака.
В заключение отметим, что системы с магнитным удержанием плазмы – не
единственный путь к реализации управляемой реакции синтеза. С 1964 г.
начались исследования в области управляемого термоядерного синтеза с
применением лазерного нагрева. При этом термоядерное горючее имеет вид
небольших крупинок, диаметром несколько миллиметров, состоящих из
дейтерий-тритиевого льда. Лазерное излучение фокусируется на этой мишени и
разогревает ее до термоядерных температур. Работа подобного реактора может
осуществляться только в импульсном режиме. Пока эти исследования далеки до
завершения.
Исключительная важность для всего человечества решения проблемы
управляемой термоядерной реакции состоит в том, что запасы традиционных
источников энергии (нефть, газ, уголь) стремительно истощаются, и
управляемые термоядерные реакции должны стать основой энергетики
будущего.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 17
1. При попадании нейтрона ядро урана делится на два примерно равных
по массе осколка. При этом в среднем испускается 2,5 нейтрона.
238
235
2. Природный уран содержит два изотопа: 92 U (99,29%) и 92 U (0,71%).
238
3. Ядро урана 92 U делится под действием только быстрых нейтронов с
энергией больше 1 МэВ.
235
4. Ядро 92 U делится под действием нейтронов любых энергий, особенно
эффективно деление идет под действием медленных, тепловых нейтронов.
235
5. Цепная реакция деления урана возможна либо в чистом 92 U взрывным
способом, либо в ядерном реакторе, где ядерным топливом служит или
235
природный уран, или слегка обогащенный изотопом 92 U .
6. Для реализации реакции синтеза легких атомных ядер их необходимо
сблизить на расстояние ~ 10-13 м.
Сообщить ядрам энергию, достаточную для такого сближения, можно,
разогрев вещество до температур ~ 108 К.
7. В земных условиях реакции синтеза легких ядер первые были
реализованы в виде термоядерного взрыва. При этом высокая температура,
необходимая для синтеза ядер дейтерия и трития, создается за счет взрыва
ядерной бомбы.
8. Управляемый термоядерный синтез пока еще не реализован. Одним из
основных направлений решения проблемы управляемого термоядерного
синтеза является создание установок, где полностью ионизированное вещество
– плазма – удерживается при Т ~ 108 К с помощью магнитного поля.
9. Исключительная важность для всего человечества решения проблемы
управляемого термоядерного синтеза объясняется быстрым истощением
традиционных источников энергии (нефть, газ, уголь).
18. РАДИОАКТИВНОСТЬ, ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ. ЗАКОНЫ
РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
РАДИОАКТИВНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ. МЕТОДЫ
РЕГИСТРАЦИИ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ
18.1. Радиоактивность. Историческое введение
Радиоактивностью называют свойства атомных ядер самопроизвольно
изменять свой состав (заряд Z и массовое число А) путем испускания
элементарных частиц или других атомных ядер.
Явление радиоактивности было открыто в 1896 г. французским физиком
А. Беккерелем, который обнаружил спонтанное испускание солями урана
неизвестного излучения. Это излучение действовало на фотопластинку,
ионизовало воздух, вызывало люминесценцию ряда веществ. В 1899 г. Э.
Резерфорд электрическим методом показал, что излучение урана состоит, по
крайней мере, из двух компонент. Одну, сильно поглощаемую, Резерфорд назвал
-излучением, другую, слабо поглощаемую, он назвал -излучением. В 1900 г.
Викар открыл сильно проникающее радиоактивное излучение, которое стали
называть -излучением. Дальнейшие исследования Беккереля, Резерфорда и
супругов Пьера и Марии Кюри позволили установить физическую природу
радиоактивных излучений: -излучение представляет из себя ядра атомов
гелия, -излучение является потоком электронов, а -лучи есть не что иное, как
очень коротковолновое электромагнитное излучение.
В 1934 г. Фредерик Жолио и Ирен Кюри открыли радиоактивный распад с
излучением позитронов. Позитрон является античастицей электрона, в
отличие от электрона, он имеет положительный заряд. В 1932 г. эта частица
была теоретически предсказана П. Дираком, и в 1932 г. открыта К.Д.
Андерсеном в космических лучах.
В 1940 г. советскими физиками Г.Н. Флеровым и К.А. Петержаком был
открыт новый тип радиоактивности – спонтанное деление ядер: делящееся
ядро распадается на два осколка сравнимой массы с испусканием нейтронов и
-квантов. В 1982 г. С. Хофманом (ФРГ) наблюдалась протонная
151
радиоактивность при распаде короткоживущего изотопа лютеция 71Lu . Затем, в
14
1984 г. Х. Роуз и Г. Джонс открывают спонтанное испускание ядер 6 C ядрами
радия. В дальнейшем был обнаружен спонтанный распад других ядер с
38
вылетом 24
10 He и 12Mg . За работы, связанные с открытием и исследованием
радиоактивности, присуждено более десяти Нобелевских премий по физике и
химии, в том числе: А. Беккерелю, Пьеру и Марии Кюри, Э. Резерфорду, Ирен и
Фредерику Жоли-Кюри.
18.2. Закон радиоактивного распада
Закон радиоактивного распада дает зависимость N(t) – числа
радиоактивных ядер – от времени. Поскольку отдельные радиоактивные ядра
распадаются независимо друг от друга, можно считать, что число ядер dN,
распадавшихся в среднем за интервал времени от t до t + dt, пропорционально
числу ядер N(t), имеющихся в момент времени t, и промежутку времени dt:
dN
λN(t)dt ,
(18.1)
здесь – постоянная радиоактивного распада. Знак «минус» указывает
на то, что число ядер уменьшается.
Поделим правую и левую части (17.1) на N(t) и проинтегрируем:
dN
N(t)
λdt;
dN
N(t)
N(t)
ln
N0
λ dt;
λt
или
N(t)
N 0 e λt ,
N расп
N0
(18.2)
здесь Nо – начальное число радиоактивных ядер (при t = 0). Формула (18.2)
и выражает собой закон радиоактивного распада.
Для того, чтобы узнать количество распадавшихся за время t ядер Nрасп,
надо от начального числа ядер Nо отнять N(t) – число ядер, имеющихся в
момент времени t. Учитывая (18.2), имеем:
N(t)
N 0 1 e λt .
(18.3)
Периодом полураспада Т1/2 называется время, за которое распадается
половина первоначального количества ядер. Из (18.2) для t = T имеем:
No
2
N 0 e λT1/2 ,
откуда:
T1/2
ln2 .
λ
(18.4)
Период полураспада для различных радиоактивных ядер имеет разное
значение, изменяющееся в очень широких пределах: от 3 10-7 с до 5 1015 лет.
Активностью а радиоактивного вещества называется число распадов в
единицу времени. Пусть за время dt распадается dNрасп ядер. Тогда из (17.3)
имеем для активности:
a
dN расп
dt
λN 0 e λt
λN ,
(18.5)
в последнем равенстве мы учли формулу (18.2).
Выражая из формулы (17.4) постоянную распада
через период
полураспада Т1/2, равенство (17.5) для активности радиоактивного вещества
можно записать в следующем виде:
a
dN расп
dt
Nln2 .
T1/2
(18.6)
Единицей активности в системе СИ является беккерель (Бк), равный
одному распаду в секунду. Используется также и внесистемная единица
активности – кюри (Ки), равная 3,7 1010 распадов в секунду.
Возникающие в результате радиоактивного распада ядра часто тоже
оказываются радиоактивными. В результате возникает целый ряд
радиоактивных превращений, заканчивающихся стабильным элементом. В
настоящее время обнаружено четыре радиоактивных ряда: ряды, начинающиеся
с тория
232
90
238
Tn и двух изотопов урана 235
92 U и 92 U, заканчиваются стабильными
изотопами свинца
208
82
235
Pb для тория ( 207
и
82 Pb для 92U
Pb для 258
92U ). Ряд
208
92
237
209
нептуния 93 Np заканчивается стабильным ядром висмута 83 Bi.
Радиоактивность существующих в природе ядер называется естественной.
Радиоактивность ядер, полученных посредством ядерных реакций, называется
искусственной. Процесс радиоактивного превращения и в том, и в другом
случае подчиняется одним и тем же законам.
18.3. Взаимодействие радиоактивного излучения с веществом
Человек с помощью своих органов чувств не способен обнаружить
радиоактивное излучение. Поэтому важной задачей является изучение
особенностей взаимодействия различных радиоактивных излучений с
веществом, выяснение их влияния на человеческий организм и разработка
приборов, способных регистрировать такие излучения.
Быстрые заряженные частицы в веществе взаимодействуют с
электронными оболочками и ядрами атомов. Электрон атома вещества в
результате взаимодействия с быстрой заряженной частицей получает
дополнительную энергию. В результате, атом либо переходит в возбужденное
состояние, либо ионизуется.
При прохождении вблизи атомного ядра быстрая заряженная частица
движется с ускорением, вызванным кулоновским взаимодействием с ядром, в
результате чего испускаются кванты рентгеновского тормозного излучения.
Возможно и неупругое соударение заряженных частиц с атомными ядрами.
Обладающие большой массой (по сравнению с -частицами) -частицы при
столкновениях с электронами атомов вещества почти не испытывают
отклонения и в веществе движутся почти прямолинейно. Их пробеги в веществе
малы. Так, -частицы с энергией 4 МэВ в воздухе могут пролететь около 2,5 см,
а в воде – сотые доли миллиметра.
Проникающая способность -частиц больше. Так, при энергии 2 МэВ от
потока -частиц защищает слой алюминия толщиной 3,5 мм. Плотная одежда
может поглотить значительную часть -частиц и совсем не пропустит частицы. Однако, при попадании радиоактивных веществ внутрь человеческого
тела с пищей, водой, воздухом
и
излучения могут причинить человеку
серьезный вред.
Нейтроны не имеют электрического заряда и поэтому не взаимодействуют
с электронными оболочками атомов. При столкновениях с ядрами они могут
выбивать из них заряженные частицы, которые ионизируют и возбуждают
атомы среды. При радиационном захвате тепловых нейтронов ядрами водорода
1
1
H человеческого организма они превращаются в ядра дейтерия
2
1
H с
испусканием -квантов, с энергией 2,23 МэВ, которые вносят существенный
вклад в облучение организма. Установлено, что -кванты взаимодействуют, в
основном, с электронными оболочками атомов, вызывая либо фотоэффект,
либо, передавая часть своей энергии и импульса электронам, претерпевают так
называемое комптоновское рассеяние. При энергии -квантов большей, чем
удвоенная энергия покоя электрона, может проходить рождение электронпозитронных пар. Пути пробега нейтронов и -квантов в воздухе измеряются
сотнями метров, в веществе – десятками сантиметров и даже метрами, в
зависимости от плотности вещества и энергии -квантов и нейтронов. По этой
причине потоки -квантов и нейтронов представляют для человека наибольшую
опасность.
Поглощенная доза ионизирующего излучения D является универсальной
мерой воздействия любого вида излучения на вещество. Она равна отношению
энергии W, переданной веществу, к массе вещества m, т. е.:
D
W
.
m
(18.7)
В системе СИ единицей поглощенной дозы является грей (Гр):
1 Гр
1 Дж
.
1 кг
Мощностью дозы Р называется отношение дозы излучения ко времени
облучения t, т. е.:
P
D
.
t
(18.8)
Единицей мощности дозы в системе СИ является грей в секунду.
Относительная биологическая эффективность К характеризует
различие биологического действия различных видов излучений при одинаковой
дозе. Для рентгеновского и -излучения относительная биологическая
эффективность К = 1, для тепловых нейтронов К = 3, для нейтронов с энергией
0,5 МэВ К = 10, для -частиц К = 20.
Эквивалентная доза Н определяется как произведение поглощенной дозы
D на относительную биологическую эффективность К:
H D K.
(18.9)
Единицей эквивалентной дозы в системе СИ является зиверт (Зв). 1 Зв
равен эквивалентной дозе, при которой поглощенная доза равна 1 Гр и К = 1.
Экспозиционная доза DЭ характеризует ионизирующее действие
излучения на воздух. Она определяется как отношение суммарного заряда Q
всех ионов одного знака, созданных в воздухе вторичными частицами
(электронами и позитронами), к массе воздуха m:
DЭ
Q
.
m
(18.10)
Экспозиционная доза в системе СИ измеряется в Кл/кг.
Распространенной внесистемной единицей экспозиционной дозы является
рентген (Р).
1 Р = 2,58 10-4 Кл/кг.
(18.11)
3
При экспозиционной дозе 1 Р в 1 см сухого воздуха образуется 2 109 пар
ионов.
Смертельная доза -излучения для человека равна 6 Гр. При массе
человека m = 70 кг из определения дозы (18.7) для выделившейся в организме
человека энергии имеем:
W mD 70 кг 6 Гр 420 Дж .
Это ничтожная энергия. Так, вода массой mВ = 10 г, нагретая до
температуры 46 С (на t = 10 С выше температуры тела) передает организму
человека при ее потреблении точно такую же энергию. Действительно:
Q
cm BΔt
4,2 103
Дж
10 2 кг 10 К
кг К
420 Дж,
здесь с = 4,2 103 Дж/(к К) – удельная теплоемкость воды. Из этих оценок
ясно, что не тепловое воздействие ионизирующего излучения является
причиной гибели человека. Живой организм – очень сложная,
высокоупорядоченная система. Ионизирующее облучение разрушает сложные
молекулы живого организма, нарушая его нормальное функционирование. При
эквивалентной дозе 0,5 – 1 Зв начинаются нарушения в кроветворной системе
человека. При эквивалентных дозах облучения всего тела 3 – 5 Зв около
половины облученных умирает в течение 1 – 2 месяцев. При дозах 10 – 50 Зв
смерть наступает через 1 – 2 недели.
Предельно допустимой дозой облучения для лиц, профессионально
связанных с использованием источников радиации, является 50 мЗв за год. В
качестве предельно допустимой дозы систематического облучения населения
установлена эквивалентная доза 5 мЗв за год. За счет естественного
радиационного фона доза облучения составляет около 2 мЗв за год.
18.4. Методы регистрации ионизирующих излучений
Быстрые заряженные частицы, проходя через вещество, оставляют за
собой след ионизированных и возбужденных атомов. Нейтроны и -кванты,
взаимодействуя с ядрами и атомами, создают вторичные быстрые заряженные
частицы. По ионизационным следам вторичных частиц могут быть обнаружены
первичные частицы – нейтроны и -кванты.
Приборы, регистрирующие ионизирующее излучение, делятся на две
группы. Приборы первой группы регистрируют факт пролета частицы и в
некоторых случаях позволяют судить о ее энергии. Ко второй группе относятся
трековые приборы, позволяющие наблюдать траектории частицы – треки.
К первой группе относятся: сцинтиляционные счетчики, черенковские
счетчики,
ионизационные
камеры
и
газоразрядные
счетчики,
полупроводниковые счетчики.
Ко второй группе относятся: камера Вильсона и ее разновидность –
диффузионная камера, пузырьковая камера, искровая камера, эмульсионная
камера.
Сцинтиляционный счетчик регистрирует частицу по световым
вспышкам, которые возникают при ее пролете. Вспышки света возникают, когда
возбужденные быстрой частицей атомы возвращаются в нормальное состояние.
Эти вспышки преобразуются фотоэлектронным умножителем в электрический
сигнал, который регистрируется электронной аппаратурой. Так как
интенсивность световой вспышки пропорциональна энергии первичной
частицы, то с помощью сцинтиляционного счетчика можно измерять энергию
регистрируемой частицы.
Черенковский счетчик регистрирует частицу по излучению Вавилова –
Черенкова, которое она создает, проходя через вещество. Это излучение
возникает, если скорость частицы больше фазовой скорости света в среде.
Одной из особенностей этого излучения является то, что оно распространяется
лишь вдоль образующих конуса, ось которого совпадает с направлением
скорости частицы. Угол
между направлением распространения излучения и
вектором скорости частицы определяется соотношением:
cosΘ
c/n
v
c ,
nv
(18.12)
где с – скорость света в вакууме; n – показатель преломления рабочего
вещества счетчика; v – скорость частицы.
Измерив угол , мы можем определить скорость частицы v из формулы
(18.12).
Ионизационная камера используется для измерения доз ионизирующих
излучений. Она представляет собой цилиндрический конденсатор, между
электродами которого находится воздух или другой газ. Регистрируемая частица
ионизирует этот газ. Напряжение на электродах подбирают так, чтобы на них
попадали все образовавшиеся ионы. Сила ионизационного тока
пропорциональна мощности дозы излучения (18.8).
Газоразрядный счетчик конструктивно похож на ионизационную камеру,
но в нем напряжение на электродах достаточно высокое для вторичной
ионизации газа, вызываемой столкновениями первичных ионов с атомами или
молекулами газа.
Полупроводниковый счетчик – это детектор частиц, основным
элементом которого является полупроводниковый диод (см. лекцию № 14, § 3).
На него подается запирающее напряжение, при отсутствии излучения ток через
диод не течет. Быстрая заряженная частица, проходя через область p-n
перехода, порождает электроны и дырки. В результате возникает импульс тока,
пропорциональный количеству порожденных носителей тока.
Камера Вильсона является самым первым трековым прибором. Она была
создана в 1912 г. англичанином Ч. Вильсоном. След ионов, оставляемых
заряженной частицей, становится видимым, благодаря конденсации
пересыщенных паров какой-либо жидкости. По характеру и форме этих треков
из тумана можно судить о типах частиц, прошедших через камеру. В 1927 г.
советский ученый Д.В. Скобельцын поместил камеру Вильсона в магнитное
поле. Это значительно расширило возможности прибора: по искривлению
траектории можно определить знак заряда. Если известны заряд и масса
частицы, то по радиусу кривизны трека можно определить энергию частицы.
Пузырьковая камера была изобретена в 1952 г. американцем Глезером.
Она похожа на камеру Вильсона, но рабочим веществом в ней является
перегретая жидкость. При прохождении быстрой заряженной частицы вдоль ее
траектории образуются пузырьки пара. Преимуществом пузырьковой камеры
перед камерой Вильсона является значительно большая плотность рабочего
вещества, в результате чего эффективность взаимодействия с ним
регистрируемых частиц значительно возрастает.
Искровая камера была сконструирована в 1957 г. Т. Краншоу и де Биром.
Она состоит из системы плоских, параллельных друг другу электродов, которые
через один электрически соединяются друг с другом. Между этими группами
электродов в момент пролета частицы подается высокое напряжение. В
результате траектория частицы будет отмечена цепочкой искр. Запуск камеры
производится автоматически, по сигналу дополнительных сцинтиляционных
счетчиков.
Эмульсионная камера была предложена в 1927 г. советскими физиками
Л.В. Мысовским и А.П. Ждановым. Как мы знаем, действие быстрых
заряженных частиц на фотопластинку позволило А. Беккерелю открыть
радиоактивность. Недостаток фотопластинки – маленькая толщина
эмульсионного слоя. В эмульсионных камерах облучению подвергаются
толстые пачки, составленные из отдельных слоев фотоэмульсии. Преимущество
этого метода перед камерой Вильсона и даже пузырьковой камерой – в большей
плотности эмульсии. Поэтому фотоэмульсии применяют для изучения частиц
очень высоких энергий.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 18
1. Радиоактивностью называют свойства атомных ядер самопроизвольно
изменять свой состав (заряд z и массовое число А) путем испускания
элементарных частиц или других атомных ядер.
2. Чаще всего наблюдается испускание , и -излучений:
4
-излучение – это ядра гелия 2 He;
-излучение – это поток электронов;
-излучение – это очень коротковолновое электромагнитное излучение.
3. Закон радиоактивного распада дает зависимость N(t) – числа
радиоактивных ядер от времени (см. (18.2)):
N(t)
N0e λt ,
здесь N0 – начальное число ядер;
– постоянная радиоактивного распада.
4. Периодом полураспада Т1/2 называется время, за которое распадается
половина первоначального количества ядер. Период полураспада связан с
постоянной распада формулой (18.4):
T1/2
ln2
.
λ
5. Активностью А называется число распадов в единицу времени (см.
(18.5)):
a
dN(t)
dt
λN(t).
Единица активности в системе СИ – беккерель (Бк). 1 Бк = 1 распад в
секунду. Внесистемная единица активности – кюри (Ки). 1 Ки = 3,7 1010
распадов в секунду.
6. Поглощенная доза D равна отношению энергии W, переданной
веществу ионизирующим излучением, к массе вещества (см. (18.7)):
D
W
.
m
В системе СИ единицей поглощенной дозы является грей (Гр).1 Гр = 1
Дж/1 кг.
7. Эквивалентная доза H определяется как произведение поглощенной
дозы на относительную биологическую эффективность К (см. (18.9)):
H D K.
Для -излучения К = 1, для тепловых нейтронов К = 3, для -частиц К =
20. Единицей эквивалентной дозы в системе СИ является зиверт (Зв). 1 Зв
равен эквивалентной дозе, при которой поглощенная доза равна 1 Гр и К = 1.
8. Естественный радиационный фон дает человеку дозу облучения 2 мЗв
за год. В качестве предельно допустимой дозы систематического облучения
населения установлена эквивалентная доза 5 мЗв за год. При эквивалентной
дозе 0,5 – 1 Зв начинаются нарушения в кроветворной системе человека. При
эквивалентной дозе 3 – Зв около половины обученных умирает в течение 1 – 2
месяцев.
9. Экспозиционная доза DЭ характеризует ионизирующее действие
излучения на воздух:
DЭ
Q
,
m
где Q – суммарный заряд всех ионов одного знака; m – масса воздуха (см.
(18.10)).
В системе СИ [DЭ] = Кл/кг. Внесистемная единица экспозиционной дозы –
рентген (Р). 1 Р = 2,58 10-4 Кл/кг.
10. Приборы, регистрирующие ионизирующее излучение, делятся на две
группы: приборы, регистрирующие факт пролета частицы, и трековые приборы,
позволяющие наблюдать траектории частицы – треки.
СПИСОК И КРАТКАЯ АННОТАЦИЯУЧЕБНЫХ КОМПЬЮТЕРНЫХ
ПРОГРАММ ПО ФИЗИКЕ, РАЗРАБОТАННЫХ НА КАФЕДРЕ ФИЗИКИ
СГГА
1. Пушка (PUSHKA.EXE) – программа, в которой разобрана задача
движения в однородном поле тяжести тела, брошенного под углом к горизонту.
Имеет несколько уровней подсказки. Оценка, выставляемая программой
студенту, зависит от правильности введенного в компьютер численного ответа,
от времени, затраченного на решение задачи, и от обращения к подсказкам.
2. Эйлер (EJLER.EXE) – программа, позволяющая проводить
сравнительное изучение на простейшей задаче о движении тела, брошенного
под углом к горизонту, трех простейших численных методов решения
дифференциального уравнения движения. Во второй части программы одним из
выбранных численных методов решается задача о движении в вязкой среде
тела, брошенного под углом к горизонту.
3. Поле (FIELD.EXE) – программа строит на экране компьютера силовые
линии электрического поля произвольной системы электрических зарядов.
Число зарядов в системе – от 1 до 20, величина заряда от –5 до +5 условных
единиц.
4. Магнетрон (MAGNETRON.EXE) – программа, моделирующая
движение электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях в
пространстве между катодом и анодом цилиндрического магнетрона.
5. Ангармонические колебания (ANHARMON.EXE) – программа по
изучению ангармонических колебаний математического маятника.
6. Диаграмма (DIAGRAM.EXE) – программа, иллюстрирующая
соответствие между векторной диаграммой колебания и его графиком.
7. Колебания (OSCILL.EXE) – программа строит графики смещения
скорости и ускорения колебательного движения. Программа также строит
график результирующего колебания при сложении двух колебаний одного
направления.
8. Сложение колебаний (SUMMA.EXE) – программа, иллюстрирующая
сложение гармонических колебаний:
11. а) одного направления;
12. б) взаимно перпендикулярных направлений.
9. Затухающие колебания (RELAX.EXE) – программа по изучению
затухающих колебаний.
10. Вынужденные колебания (WINCOL.EXE) – программа, моделирующая
переходный режим вынужденных колебаний затухающего гармонического
осцилятора, находящегося под действием внешней гармонической силы при
произвольных начальных условиях.
11. Оптика (OPTIC.EXE) – программа, иллюстрирующая законы отражения
и преломления, а также поляризацию света при отражении и преломлении.
12. Кольца Ньютона (NEWTON.EXE) – компьютерная имитация натурной
лабораторной работы по изучению колец Ньютона.
13. Распределение Максвелла (MAXWELL.EXE) – программа по изучению
распределения Максвелла.
14. Распределение Больцмана (BOLC.EXE) – программа по изучению
распределения Больцмана.
15. Дуализм частиц (DUAL.EXE) – программа по изучению
корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц. В работе воспроизводится
классический мысленный эксперимент по дифракции одиночных электронов на
одной или двух щелях.
16. Ферми (FERMI.EXE) – программа, позволяющая проанализировать
температурную зависимость функции Ферми – Дирака, плотности тока
насыщения при термоэлектронной эмиссии и выполнить компьютерный
эксперимент, имитирующий работу двухэлектродной лампы, по результатам
которого определить работу выхода электрона из металла и константу
Ричардсона.
17. Бозе (BOSE.EXE) – программа по изученю статистики Бозе –
Энштейна.
18. Распределение Планка (PLANCK3.EXE) – компьютерная программа,
строящая графики распределения Планка в диапазоне температур от 1 650 до
6 000 К.
19. Призма (PRIZMA.EXE) – программа обработки результатов измерений
в лабораторной работе по изучению дисперсии света.
20. Метод наименьших квадратов (MNK3.EXE) – компьютерная программа
по обработке методом наименьших квадратов результатов лабораторных работ
(кольца Хайдингера, кольца Ньютона).
21. Свойства фотонов (FOTON.EXE) – комплекс содержит три
компьютерные лабораторные работы. В первой имитируется опыт по изучению
внешнего фотоэффекта. Во второй и третьей имитируются опыты с
полупрозрачным зеркалом и непрозрачными зеркалами, которые позволяют
изучить корпускулярно-волновой дуализм фотона.