73613-36329

§1. Множество действительных чисел и его свойства.
A, B, C - множества.
 - пустое множество.
a, b, c - элементы множества.
a  A - принадлежность.
N  Z  Q  R - вхождение одного множества в другое.


p
 r  , p  Z,q  N 
q


 - "для любого"  a  N a  0 
 - "существует, найдется"  ! - единственность 
!1  N
 - "или"  a  b 
 - "и"
 - "если, то"
 - "эквиваленция","необходимо и достаточно"
Свойства действительных чисел :
I (аксиомы сложения)
Опр.1 a, b  R !a  b - сумма элементов a и b. Операция
нахождения суммы называется сложением.
1. a, b  R a  b  b  a - коммутативность
2. a, b, c  R (a  b)  c  a  (b  c) - ассоциативность
3. 0  R a  R a  0  0
4. a  0  R ( a ) a  ( a )  0
Сл.1 0  R - единственный
. 0  R  0  R
I3
I1
I3
0  0  0  0  0  0  !0  R .
II . (аксиомы умножения)
Опр.2 a, b  R !a  b - произведение элементов a и b.
Операция нахождения произведения - умножение.
1. a, b  R a  b  b  a - коммутативность
2. a, b, c  R (a  b)  c  a  (b  c) - ассоциативность
3. 1  0  R a  R a  1  a. Сл. !1  R
4. a  0  1 - обратный для a - a  1  1
a
a
III . (связь сложения и умножения)
1. a, b  R (a  b)  c  a  c  b  c - дистрибутивность
IV .(аксиомы порядка)
Опр.3 a  R (a  0)  ( a  0)  ( a  0)
Если a  0, то ( a )  0
1. (a  0)  (b  0)  a  b  0
2. (a  0)  (b  0)  a  b  0
Опр.4 a, b  R a  b  a  b  0
V . (аксиомы непрерывности)
Опр.5 Отрезком  a, b  с концами A, B на множестве R
называют мн-во точек, удовлетв. условию a  c  b
(интервал (a, b), полуинтервал (a, b  )
Опр.6 Система отрезков  an , bn  , n  1, 2,3... называется
вложенной, т.е  a1 , b1    a2 , b2   ...   an , bn  , если:
a1  a2  ...  an  ...  ...  bn  ...  b2  b1
1. Система вложенных отрезков мн-ва R имеет точку,
общую всем этим отрезкам.
Опр.7 Система отрезков  an , bn  - стягивающаяся, т.е
величина (bn  an )  0, если   0 n n  n bn  an  
Т. Кантера (о непрерывности мн-ва R). Вложенная
система стягивающихся отрезков мн-ва R имеет общую,
единственную точку для всех этих отрезков.
. I1 c   an , bn  , n  1, 2,... Пусть d  c, d   an , bn  , d  c
  d  c  0, n n  n bn  an   , d  c  bn  an ,
d  c    d  c  0, d  c  c - единственный .
Опр.8 R, элементы которого удовлетворяют аксиомам
I  V групп называется мн-вом действ. чисел, а элементы
этого множества - действ. числами.
Опр.9 Иррациональным числов называется действ.
число, которое не является рациональным. Обозн: T .
Q  T  R, Q  T  , R  R  {, }  (, )
a  R a  , a  R a  ,    .
§2. Модуль действ. числа и его свойства.
Опр.1 Модулем a  R ( a ) называется наибольшее a и  a
(1) a  max{a, a}
a, если a  0
(2) a  
 a, если a  0
(3) a - расстояние от начала координат до точки изобр.
число. a   a
Св.1 a  b  a  b .
.  a  a ,  b  b ,  ( a  b)  a  b  a  b  a  b .
Св.2 Если a  0, b  0 или a  0, b  0  ab  ab. Если
a  0, b  0 или a  0, b  0  ab   ab.
Св.3 a  b  a  b  a  b .
св.1
. a  b  a  (b)  a  b  a  b .
Св.4 a  c (c  0)  c  a  c
. a  0  a  c, a  0   a  c, a  c  a  c  a  c.
§3. Функция (отображение). Действительные функции.
Действительные переменные и их простейшие свойства.
Опр.1 Если каждому элементу x из мн-ва X ставится в
соответствие по некоторому правилу и закону f ! y  Y
y  f ( x), то говорят что на множестве X определена ф-ия
y  f ( x) или задано отображение f : X  Y .
y - образ элемента x (x - прообраз). X  D( y ) - ООФ.
Способы задания функций:
1. алгебраический(аналитический): y  1 .
x
sin x, если x  0


2. кусочно-аналитический: y   2 x  1, если 0  x  1
1
, если 1  x  

 x 1
3. графический (нарисовать график, напр. y   x  )
Опр.2 f : X  Y называется инъективным, если разным
значениям x  X соответствуют разные y  Y .
Опр.3 f : X  Y называют сюрьективным, если
y  Y x y  f ( x).
Опр.4 f : X  Y называется биективным, если оно
одновременно инъективно и сюрьективно.
Опр.5 Если f : X  Y и g : Y  Z , то g f : X  Z композиция отображений или сложная функция.
Опр.6 Если f : X  Y - биекция, то f 1 : Y  X обратное отображение или обратная функция. Причем
f 1 f  1 ( f f 1  1)
Опр.7 Действительной функцией действ. переменного
x называется отображение из некоторого подмн-ва мн-ва
действ. чисел в некоторое другое мн-во этого подмн-ва.
X  D ( f ), f : R  X  Y  R, y  f ( x)
Опр.8 y  f ( x) монотонно возрастает(убывает) в своей
области определения, если
x1 , x2  D ( y ) x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x1 )  f ( x2 ) 
Опр.9 Числовое мн-во X - симметрично относительно
O, если x  X ( x)  X .
Опр.10 y  f ( x) определенная на сим. мн-ве X - четная
(нечетная), если: f ( x)  f ( x) (f (  x)   f ( x))
Т.1 Сумма двух четных функций - функция четная, сумма
четной и нечетной функций - функция нечетная.
. Пусть f ( x), g ( x) - четные ф-ии. Рассмотрим f ( x)  g ( x).
Т.к. f ( x)  f ( x) и g (  x)  g ( x), то складывая равенства
получим f (  x)  g (  x)  f ( x)  g ( x).
Т.е. f ( x)  g ( x) - четная .
Т.2 Произведение двух четных и двух нечетных функций
- функция четная, произведение четной и нечетной - функция нечетная. (Доказывается аналогично)
Опр.11. X называется ограниченным мн-вом если есть
отрезок полностью содержащий это множество.
Опр.12 y  f ( x) - ограниченная, если ее Y - огр. мн-во.
§4. Числовые последовательности. Предел числовой
числовой последовательности. Число е.
Опр.1 Отображение f : N  R называется числовой
последовательностью(ЧП). n  xn (xn - общий член ЧП)
ЧП ограничена снизу x1 .
Опр.2 ЧП  xn  называется монотонно убывающей
(возрастающей), если n  N xn  xn 1  xn  xn 1  .
Опр.3 Окрестностью точки a радиуса r  0 на числовой
прямой наз-ся интервал с центром в этой точке. Обозн:
U (a, r )  (a  r , a  r ). Проколотая окр-ть: U (a, r ) 
 (a  r , a )  (a, a  r ).
Опр.4 a  lim xn :   0 N ( ) n  N  xn  a   .
x 
Опр.5 Последовательность, имеющая предел наз-ся
сходящаяся.
Сходящиеся числовые последовательности обладают
свойствами:
Т.1 Если последовательность сходится, то она имеет
только один предел.
Т.2 Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
n
Последовательность xn  1  1
- сходится и
n
n
lim 1  1
 e (число Бернулли).
n
x 




§5. Предел функции в точке. Свойства функций,
имеющих предел в точке. Предел на бесконечности.
Бесконечные пределы.
Пусть задана f ( x) и x  U ( x0 , r )
Опр.1 Число A наз-ся пределом функции в т. x0 , если:
  0  ( )  0 x  U ( x0 ,  )  f ( x)  A   .
§7. Арифметические операции над пределами.
Утв.1 Если f ( x)  C , то lim f ( x)  C.
x  x0
Т.1 Если f ( x) имеет lim f ( x)  A, а g ( x) - lim g ( x)  B, то
x  x0
x  x0
lim ( f ( x)  g ( x))  A  B.
x  x0
. Т.к. lim f ( x)  A, то x  U ( x0 , 1 ) f ( x)  A   ( x),
x  x0
lim  ( x)  0.
U ( x0 ,  )  0  x  x0   .
Т.1 Если f ( x) имеем предел в точке, то он единственный.
BA
. lim f ( x)  A  lim f ( x)  B   B  A    
0
x  x0
x  x0
2
BA
1 ( )  0 x  U ( x0 , 1 )  f ( x)  A 
и
2
BA
 2 ( )  0 x  U ( x0 ,  2 )  f ( x)  B 
.
2
A B
A B
  min{1 , 2 }, x  U ( x0 ,  ),
 f ( x) 
.
2
2
Получили противоречие .
Т.2 Если ф-ия f ( x) имеет предел в точке x0 , то f ( x) - ограничена в некоторой проколотой окрестности этой
точки.
 lim  f ( x)  g ( x)   A  B .
. Пусть lim f ( x)  A. Тогда   1  ( )  0 x  U ( x0 ,  )
 A  B  B ( x )  A ( x )   ( x)   ( x)  A  B    x), где
 ( x) - б.м. в т. x0 . Т.е. lim  f ( x)  g ( x)   A  B .

 

x  x0
 f ( x)  A  1
x  x0
Т.к. lim g ( x)  B, то x  U ( x0 ,  2 ) g ( x)  B   ( x ),
x  x0
lim b( x)  0.   min{1 ,  2 }  x  U ( x0 ,  ) f ( x)  g ( x) 
x  x0
 A  B   ( x), где  ( x)   ( x)   ( x), lim  ( x)  0 
x  x0

x  x0

Т.2 Если lim f ( x)  A  lim g ( x)  B 

x  x0

x  x0
lim  f ( x)  g ( x)   A  B .
x  x0
. f ( x)  A   ( x), g ( x)  B   ( x),
f ( x)  g ( x)  ( A  f ( x))  ( B   ( x)) 
бесконечно малая
x  x0
A  1  f ( x)  A  1 - f ( x) - огр. в U ( x0 ,  ) .
Сл. Постоянную (С) можно выносить за знак предела:
lim Cf ( x)  C lim f ( x).
Т.3 Если lim f ( x)  A, A  0, то существует U ( x0 ,  ), где
Т.3 Если lim f ( x)  A  lim g ( x)  B  B  0
x  x0
ф-ия сохраняет знак своего предела.
. Пусть A  0, тогда   A  0  ( )  0 x  U ( x0 ,  ) 
2
f ( x)  A  A  f ( x)  A  A  A  0.
2
2
2
Пусть A  0, тогда    A  0  ( )  0 x  U ( x0 ,  ) 
2
f ( x)  A   A  f ( x)  A  A  A  0 .
2
2
2
Т.4 Если y  f ( x) имеет lim f ( x)  y0 , а z  g ( y ) x  x0
lim g ( y )  z0 , то для z  g ( f ( x)) lim g ( f ( x))  z0 .
y  y0
x  x0
Опр.2 Число A называется пределом на бесконечности,
если lim f ( x)  A :   0 M ( )  0 x x  M 
x 
 f ( x)  A   .
Опр.3 Предел lim f ( x)   наз-ся бесконечным, если
x  x0

x  x0
x  x0
x  x0

f ( x) A
 .
x  x0 g ( x )
B
1
.
- ограничена в U ( x0 ,  ),
g ( x)
B
B

 0  ( )  x  U ( x0 ,  )  g ( x)  B 
.
2
2
B
B
1
2
 g ( x)  B  B  g ( x) ,

, g ( x) 
,
2
g ( x)
B
2
1
f ( x) A
- ограничена в U ( x0 ,  ),
 
g ( x)
g ( x) B
( A   ( x))  B  A  ( B   ( x))


g ( x)  B
 lim
бесконечно малая
x  x0
M  0  ( M )  0 x  U ( x0 ,  )  f ( x)  M .
Опр.4 Бесконечный предел на бесконечности: ээ....
уу...аааа...на лекциях не давали.
1

 ( x)  B   (c)  A  . Следовательно, по критерию
g ( x)  B
f ( x) A
lim

.
x  x0 g ( x )
B
§6. Бесконечно малые в точке функции и их свойства.
Необходимые и достаточные условия существования
Опр.  ( x) - бесконечно малая (б.м.) ф-ия в точке x0 , если:
§8. Предельный переход в неравенствах.
lim  ( x)  0 :   0  ( )  0 x  U ( x0 ,  )   ( x)   .
x  x0
Т.1 Сумма двух б.м. в точке x0 ф-ий - ф-ия б.м. в точке x0 .
(методом матем. индукции теорема распространяется на
любое конечное число слагаемых).

 



Т.1 Если lim f ( x)  A  lim g ( x)  B  A  B , то U ( x0 ,  )
x  x0
x  x0
где f ( x)  g ( x).
. В силу непрерывности мн-ва R : A  C  B.
  C  A  0, 1 ( )  0 x  U ( x0 , 1 )  f ( x)  A  C  A
 f ( x)  A  C  A, f ( x)  C ,
. Пусть lim  ( x)  0  lim  ( x)  0 , тогда пусть
  B  C  0,  2 ( )  0 x  U ( x0 ,  2 )  g ( x)  B  B  C


1 ( )  0 x  U ( x0 , 1 )   ( x)  2
 g ( x)  B  ( B  C ), g ( x)  C ,   min{1 ,  2 }, x  U ( x0 ,  )
 f ( x)  C  g ( x) .
x  x0
x  x0
 0
 2 ( )  0 x  U ( x0 ,  2 )   ( x)  

2

   min{1 ,  2 } x  U ( x0 ,  )   ( x)   ( x)   ( x) 
  ( x)        lim  ( x)   ( x)   0 .
2
2
x  x0
Т.2 Произведение функции б.м. на функцию ограниченную
в точке x0 - функция б.м. в точке x0 .
. Пусть  ( x) - б.м. в точке x0 функция, а f ( x) - огран.
Тогда для f ( x) : M  0 x  U ( x0 , 1 )  f ( x)  M , а для
 ( x) :   0  2 ( )  0 x  U ( x0 ,  2 )   ( x)   M ,
  min{1 ,  2 }, x  U ( x0 ,  ). Пусть g ( x)   ( x) f ( x), тогда
g ( x)   ( x) f ( x)   ( x) f ( x)  
M   
M
 g ( x) - б.м. в точке x0 .
Т.3 Произведение любого числа б.м. функций в точке x0 функция б.м. в этой точке.
Т.4 (критерий существования предела функции в точке)


lim f ( x)  A   x  U ( x0 ,  )  f ( x)  A   ( x)  , где
x  x0


 ( x) - б.м функция.
. 1.(необходимость)
Пусть lim f ( x)  A :   0  ( )  0 x  U ( x0 ,  ) 
x  x0
 f ( x)  A   ,  ( x)  f ( x)  A, f ( x)  A   ( x),
lim  ( x)  0.
x  x0
2.(достаточность)
Пусть x  U ( x0 ,  )  f ( x)  A   ( x)  lim  ( x)  0,
x  x0
 ( x)   ,  ( x)  f ( x)  A, f ( x)  A    lim f ( x)  A.
x  x0
.
Т.2 Если x  U ( x0 ,  )  f ( x)  g ( x)   ( x)  

 

 lim f ( x)  lim  ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  lim  ( x) .
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
. Пусть lim f ( x)  lim g ( x). Тогда   0  1 ,  2 ,
x  x0
x  x0
  min{1 ,  2 }, x  U ( x0 ,  ), f ( x)  A   ,  ( x)  A   .
A    f ( x)  g ( x)   ( x)  A    A    g ( x)  A   
 lim g ( x)  A .
x  x0
Т.3 (о предельном переходе в неравенствах)
Если lim f ( x)  A, lim g ( x)  B, то:
x  x0
x  x0
1)если f ( x)  g ( x), то A  B, 2)если f ( x )  g ( x ), то A  B,
3)если f ( x)  B, то A  B, 4) если f ( x)  B, то A  B.
Т.1
. 1) Пусть A  B  f ( x)  g ( x) - противоречие.
Т.1
2) Пусть A  B  f ( x)  g ( x) - противоречие.
3) B  g ( x), 4) B  g ( x) .
§9. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное
условия существования предела в точке.
Пусть f ( x) определена в U ( x0 ,  ).
Опр.1 Число A  lim f ( x) наз-ся правым односторонним
§12. Непрерывность функции в точке. Свойства функций,
непрерывных в точке.
Пусть задана f ( x) D( y ), x0  D( y ).
Опр.1 f ( x) - непрерывна в точке x0 если lim f ( x )  f ( x0 ), т.е.
пределом (x  x0 ), если:
  0  ( )  0 x x0  x  x0    f ( x)  A   .
Опр.2 Число A  lim f ( x) наз-ся левым односторонним
  0  ( )  0 x  U ( x0 ,  )  f ( x)  f ( x0 )   .
Опр.2 f ( x) - непрерывна на мн-ве X , если она непрерывна
в каждой точке этого множества.
Т.1 Если функции f ( x) и g ( x) - непрерывны в т. x0 и g ( x )  0,
то непрерывны следующие функции.
f ( x)
1) f ( x)  g ( x), 2) f ( x)  g ( x), 3)
.
g ( x)
. 1)  ( x)  f ( x)  g ( x), lim  ( x)  lim  f ( x)  g ( x )  
x  x0 
x  x0 
пределом (x  x0 ), если:
  0  ( )  0 x x0    x  x0  f ( x)  A   .
Т.(необходимое и достаточное условие существования
предела функции в точке)
 lim f ( x)  A   lim f ( x)  lim f ( x)  A
x  x0
x  x0 
x  x0
x  x0
x  x0
2)  ( x)  g ( x)  f ( x), lim  ( x)  lim g ( x)  f ( x) 
x  x0
x  x0
x  x0
 lim g ( x)  lim f ( x)  g ( x0 )  f ( x0 )   ( x0 ).
 f ( x)  A   .
x  x0
x  x0
f ( x0 )
f ( x)
f ( x)
, lim  ( x)  lim

  ( x0 ) .
x  x0 g ( x )
g ( x) x  x0
g ( x0 )
Т.2 (о непрерывности сложной функции)
Если y  f ( x) - непрерывна в точке x0 , z  g ( y ) - непрерывна в точке y0  f ( x0 ), то функция
z  g ( f ( x))   ( x) - непрерывна в точке x0 .
3)  ( x) 

 x0    x  x0  f ( x )  A  
0  x  x0    


 x0  x  x0    f ( x )  A  
 lim f ( x)  lim f ( x)  A.
x  x0 
2) достаточность


lim  ( x)  g ( f ( x0 ))  lim g ( f ( x))  g lim f ( x) .
Пусть lim f ( x)  lim f ( x)  A. Пусть   0, тогда
x  x0 
x  x0
lim f ( x)  lim g ( x)  f ( x0 )  g ( x0 )   ( x0 ).
x  x0 
. 1)необходимость
Пусть lim f ( x)  A :   0  ( )  0 x 0  x  x0  
x  x0 
x  x0
x  x0
x  x0 
x  x0
x  x0
. Пусть   0, z  g ( x) - непрерывна в точке y0  f ( x0 ),
тогда  ( )  0 y y  y0    g ( y )  g ( y0 )   . А т.к.
y  f ( x) - непрерывна в точке x0    0 ,
 ( )  0 x x  x0    f ( x)  f ( x0 )   
 g ( f ( x))  g ( f ( x0 ))   . Следовательно z  g ( f ( x)) - непрерывна в точке x0 .
1 ( )  0 x x0  x  x0  1  f ( x)  A  
 2 ( )  0 x x0   2  x  x0  f ( x)  A  
  min{1 ,  2 }, 0  x  x0    f ( x)  A   ,
lim f ( x)  A .
x  x0
§10. Первый замечательный предел.
§13 Классификация точек разрыва функции одной
переменной.
Пусть задана f ( x) и x0  D( f ).
Опр.1 Ф-ия f ( x) называется разрывной в точке x0 , если
она не является в этой точке непрерывой. Т.е. lim  f ( x0 ).
x  x0
Опр.2 Точка x0 - точка разрыва 1-го рода ф-ии f ( x), если:
а)  lim f ( x)  A, A  f ( x0 ) - точка устранимого разрыва.
x  x0
б)  lim f ( x)  lim f ( x) - точка неустранимого разрыва.
x  x0 
x  x0 
h( x0 )  lim f ( x)  lim f ( x) - скачок функции в точке x0 .
x  x0 
x  x0 
Опр.3 Точка x0 - точка разрыва 2-го рода, если lim f ( x)
x  x0 
или lim f ( x) не существует или бесконечен.
x  x0 
Т. (о первом замечательном пределе).
sin x
Существует lim
 0.
x 0
x

. 1) 0  x 
, S OBA  S OBA  S OCA ,
2
S OBA  1 OA  BK  1 R 2 sin x, S OBA  1 R 2 x,
2
2
2
S OCA  1 R 2 tg x  sin x  x  tg x  1  x
 1

2
sin x
cos x
 cos x  sin x  1, lim 1  1,
x
x 0 
lim cos x  1:   0,  ( )  0 0  x    cos x  1   
x 0 
 1  cos x    sin x
  2 ,
lim 1  1
x 0 
 lim
lim cos x  1
x 0 
x 0 
2
  , sin x  x   , x 
2
2
2
2
2 ,
sin x
 1.
x
 a ,b 
t   x,
sin(t )
sin t
2) -   x  0, lim 
 lim
 lim
 1 (2)
2
x 0 
t 0 
t  0  t 0 t
t
sin x
Из (1) и (2) следует, что lim
1 .
x 0
x
Другие замечательные пределы:
tg x
arcsin
arctg x
lim
 1, lim
 1, lim
1
x 0 x
x 0
x 0
x
x
§11. Второй замечательный предел и связанные с ним
пределы.

Т. (1 ) Существует предел lim 1  1
x 
  e (1) - второй
x
x
замечательный предел.
Сл.1 (1 ) lim 1  x  x  e
1
x 0
 0  lim
Сл.2 0
log a 1  x 
x 0
x

ln 1  x 
1
 lim
 1.
x 0
ln a
x
(2) - третий замечательный предел
 0
Сл.3 0
lim
x 0
ax 1
 ln a
x
 lim
x 0
ex  1
 1.
x
четвертый замечательный предел
1  x   1

Сл.4 lim
x 0
x
§14. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Опр.1 y  f ( x) - непрерывна на  a, b  , если она непрерына
в каждой точке  a, b  , в т.a - непр. справа, в т.b - слева.
Т.1 Если f ( x) - непрерывна на  a, b  и f (a )  f (b)  0, то
c   a, b  f (c)  0.
Т.2 (первая теорема Вейерштрасса)
Если f ( x) - непрерывна на  a, b  , то она на этом отрезке
ограничена. A, B ( A  B ) x   a, b   A  f ( x)  B.
Т.3 (вторая теорема Вейештрасса)
Непрерывная на  a, b  ф-ия достигает на этом отрезке своих
верхних и нижних граней, которые наз-ся соответсвенно
наибольшее и наименьшее значения функции на  a, b  .
Обозн: inf f ( x)  A, sup f ( x)  B.
   пятый замечательный предел.
 a ,b 
 ,   a, b  A  f ( )  min f ( x), B  f ( )  max f ( x).
 a ,b 
 a ,b 
. По Т.2 f ( x) - ограничена на  a, b  , т.е.
A, B ( A  B ) x   a, b   A  f ( x)  B.
1
Пусть f ( x)  B. Рассмотрим  ( x) 
 0.  ( x) B  f ( x)
- непрерывна на  a, b  .
1
B1  0 x   a, b   ( x)  B1 ,
 B1 (B1  0),
B  f ( x)
B  f ( x)  1 , f ( x)  B  1  B - противоречие (B B1
B1
не верхняя часть. Следовательно, f ( x) достигает своей
верхней грани B, т.е.    a, b  f ( )  B  max f ( x) .
0, B 
§15. Обратная функция и ее непрерывность.
Т. Если f ( x) :
1) определена на  a, b  , f ( a )  c, f (b)  d ,
2) монотонно возрастает(убывает) на  a, b  
 f (a )  f ( x)  f (b)  f (b)  f ( x)  f (a )  ,
3) непрерывна на  a, b  ,
то на  c, d  определена обратная функция f 1 ( y ),
монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная
на  c, d  .
§1. Определение производной. Геометрический и
механический смысл производной.
Задача 1. Написать уравнение касательной к графику функции
y  f ( x) в точке M 0 ( x0 , y0 ), y  f ( x0 ).
MM 0 K   , M 1 M 0 K   , x  x0  x, y  y0  y.
Опр.1 Предельное положение секущей M 0 M при x  0
называется касательной к кривой y  f ( x) в точке x0 .
Рассмотрим M 0 KM . MK  y  y0  y, M 0 K  x.
y
y
tg  
 tg   k , k  tg   lim
(1).
x  0 x
0
x (x 
 )
y
Уравнение касательной: y  y0  lim
 x  x0  (2).
x  0 x
Задача 2. Тело движется прямолинейно S  s (t ) из точки A.
Найти мгновенную скорость тела в точке B.
В момент t0 тело находилось в точке A. В момент t - в т.B.
S
t  t0  t , s (t )  s (t0 )  S , vср 
,
t
S
vмгн  lim vср  lim
(3).
t  0
t  0 t
Пусть y  f ( x) - определена и непрерывна в окр. точки x.
Дадим x приращение x, так чтобы x  x  U ( x,  ).
y  f ( x  x)  f ( x) - приращение функции в точке x.
Опр.2 Конечный предел отношения приращения функции
к приращению аргумента при условии, что x  0, наз-ся
производной ф-ии f ( x) в точке x, а ф-ия - дифференцируемая
y dy
в точке x. lim

 y ( x).
x  0 x
dx
Т. Если y  f ( x) - дифференцируема в точке x0 , то она в
этой точке непрерывна.
y
tg   lim
 y ( x0 ).
x  0 x
Геометрический смысл производной:
Если y  f ( x) - дифференцируема в точке x0 , то к графику
функции в точке M 0 ( x0 , y0 ) ( y0  f ( x0 )) можно провести
касательную, угловой коэффициент которой будет равен
значению производной в точке x0 .
y  y0  y ( x0 )( x  x0 ) - ур-е касательной к кривой в т.M 0
1
 x  x0  - ур-е нормали к кривой в т.M 0
y ( x0 )
Механический смысл производной:
Производная - это скорость изменения функции в т.M 0 .
y  y0  
§2.Два определения дифференцируемой в точке
функции и их эквивалентность. Дифференциал
1-го порядка и его геометрический смысл.
Опр.1 Функция y  f ( x) - дифференцируема в точке x0 ,
если у нее в этой точке есть производная.
Опр.2 Функция y  f ( x) - дифференцируема в точке x0 ,
если ее приращение в этой точке можно представить
в виде: y  A  x   ( x0 , x)  x. A не зависит от x,
lim  ( x0 , x)  0 (б.м.).
x  0
Т. Определения 1, 2 о дифференцировании функции в
точке эквивалентны.
. 1) 1  2 
y
y
lim
 y ( x),
 y ( x0 )   ( x),
x  0 x
x
y  y ( x0 )  x   (x)  x, A  y ( x0 )  функция
дифференцируема в смысле опр.2
2)  2  1
y
y  A  x   (x )  x,
 A   (x ),
x
y
lim
 lim  A   (x)   A  y ( x0 ) - производная
x  0 x
x  0
существует, следовательно,
y  f ( x) - дифференцируема в смысле опр.1 .
Опр.3 Главная линейная относительно приращения
аргумента часть приращения дифференцируемой ф-ии
называют дифференциалом 1-го порядка или 1-м
дифференциалом этой функции.
y  A  x   (x )  x, A  y ( x0 ),
dy  A  x  y ( x0 )  x (2)
dx  x, dy  y ( x0 )  dx
MK  y, TK  y ( x0 )  x  dy.
Геометрический смысл дифференциала: дифференциал
функции - это приращение точек касательной и кривой
y  f ( x) в точке M 0 .
y  dy  d (x)  x , f ( x)  f ( x0 )  dy 
малое число
 f ( x)  f ( x0 )  dy (3)
(для приближенного вычисления значений функций).
§3. Производные основных
элементарных функций.
1) y  x n , n  Q.
Дадим x приращение x.
n


x 
n
y   x  x   x n  x n  1 
  1 ,

x



n
зам.
x n  1  x
 1 5-й
предел
x
y

  nx n 1 .
lim
 lim
x  0 x
x  0
x  x
x
2) y  log a x, a  0, a  1.
Дадим x приращение x.
x 

y  log a  x  x   log a x  log a 1 
,
x 

зам.
x 3-й
log
1

предел
a
y
1
x
lim
 lim

.
x  0 x
x  0
x  x
x ln a
x
x
3) y  a , a  0, a  1.
Дадим x приращение x.
y  a x x  a x  a x  a x  1 ,




a x  a x  1 предел x
y
 lim
 a ln a.
x x 0
x
4) y  sin x. Дадим x приращение x.
x 
x

y  sin  x  x   sin x  2 cos  x 
,
 sin
2 
2

1-й зам.

x

x
cos x 
sin
y
2
2 предел
lim
 lim
 cos x.
x  0 x
x  0
x
2
5) y  cos x. Дадим x приращение x.
x 
x

y  cos( x  x)  cos x  2sin  x 
,
 sin
2 
2


x

x
sin x 
sin
y
2
2
lim
  lim
  sin x.
x  0 x
x  0
x
2
4-й зам.
lim
x  0




§4. Правила дифференцирования.
Утв.1 Производная постоянной равна нулю:
f ( x)  C , y  f ( x  x)  f ( x)  C  C  0,
y
lim
 0  C  0
x  0 x
Т.1 Если u ( x) и v( x) дифференцируемы в точке x, то их
сумма и разность  u ( x)  v( x)   u   v  (1).
Т.2 Если u ( x) и v( x) дифференцируемы в точке x, то их
произведение  u ( x)  v( x)   u ' v  uv ' (2).
. Дадим x приращение x.
u ( x)  u , v( x)  v, u  u ( x  x)  u , u ( x  x)  u  u ,
v  v( x  x)  v, м( x  x )  v  v.
Рассмотрим z  u ( x)  v( x).
z  u ( x  x)  v( x  x)  u  v 
u  v  v  u  u  v  u  v  u  v.
z
v  u  u  v  u  v
u
(u  v)  lim
 lim
 lim

x  0 x
x  0
x  0 v
x
v
u  v


u lim
 lim
 u v  u v .
x  0 x
x  0
x
Т.3 Если u ( x) и v( x) дифференцируемы в точке x, то их
 u ( x)  u ' v  uv '
частно 
(3).
 
v2
 v( x) 
§5. Дифференцирование обратной и сложной функции.
Т.1 Если y  f ( x) монотонна и дифференцируема в окр-ти
точки x0 и ее производная y ( x0 )  0, то обратная функция
x  f 1 ( y ) дифференцируема в точке y0  f ( x0 ) и ее
1
производная x ( y0 ) 
(1).
y ( x0 )
. Дадим y0 приращение y.
x  x( x0  x)  x( y0 ),
x
1
1
x ( y0 )  lim
 lim

.
y  0 y
x  0 y
y ( x0 )
x
Т.2 (о дифференцировании сложной функции).
Если y  f ( x) дифференцируема в точке x0 , а ф-ия z  g ( y )
дифференцируема в точке y0  f ( x0 ), то сложная функция
z  g  f ( x)  дифференцируема в точке x0 и ее производная
z ( x0 )  g ( y0 )  y ( x0 ) (2).
. Дадим x0 приращение x. Тогда y получит приращение
y  f ( x0  x)  f ( x0 )  y  y0 , а z  g ( y ) - приращение
z  g ( y0  y )  g ( y0 ),
 z y 
z
z ( x0 )  lim
 lim 

  z ( y0 )  y ( x0 ) .
x  0 x
x  0 y x


§6. Метод логарифмического дифференцирования.
v x
y  u ( x)   . Прологарифмируем обе части, получим:
ln y  v( x) ln u ( x). Продифференцируем равенство:
1
1
 y   v ( x)  ln u ( x)  v( x)
 u ( x),
y
u ( x)


v( x)
y   y  v '( x)  ln u ( x) 
 u ( x)  ,
u ( x)



v( x)
v x 
y '  u ( x)    v '( x)  ln u ( x) 
 u ( x)  .
u ( x)


§7. Производные высших порядков. Бином Ньютона.
Опр.1 Второй производной или производной 2-го порядка
ф-ии y  f ( x) наз-ся производная ее первой производной.
dy
d2y
n
n 1 
y    y   , y    y   , y    y   или y  
, y  
.
dx
dx 2
1) y  a x ,
n
y   a x ln a, y   a x ln 2 a, ... , y    a x ln n a
2) y  ln x,
1
1
1 2
1 2  3
4
y   , y    2 , y   3 , y    
, ... ,
x
x
x
x2
n 1
 1  n  1!
n
y  
xn
3) y  sin x,




 

y   cos x  sin   x  , y   cos   x   sin  2   x  ,
2

2

 2

 

n
... , y    sin  n   x 
 2

4) y  cos x,
 

n
Аналогично пункту 3 получаем: y    cos  n   x 
 2

Опр.2 Биномом Ньютона называет n-ая степень
n
двучлена:  x  a  .
n
 x  a   x n  A1 x n 1  A2 x n 2  ...  Ak x n k  ...  An 1 x  An
Продифференцируем обе части равенства:
n 1
n  x  a   nx n 1  A1  n  1 x n  2  A2  n  2  x n 3  ... 
 Ak  n  k  x n  k 1  ...  An 1 .
Еще раз продифференцируем обе части неравенства:
n2
n  n  1 x  a   n  n  1 x n  2  A1  n  1 n  2  x x 3  ...
...   n  k  n  k  1 Ak x n  k  2  ...  2 An  2 .
Дифференцируя равенство k -ый раз, получим:
nk
n  n  1 ...  n  k  1 x  a 
 n  n  1 ...  n  k  1 x n  k 
 A1  n  1 n  2  ...  n  k  2  x n  k 1  ...  Ak  n  k  !
n-ое дифференцирование:
n !  n ! An ,
a n  An , na n 1  An 1 , n  n  1  a n  2  2 An  2 ,...,
n  n  1 ...  n  k  1 a n  k  Ak  n  k  !
n  n  1 ! n  2
An  an , An 1  na n 1 , An  2 
a ,
2
n  n  1 n  k  1 n  k
nk nk
Ak 
a , Ak  Cn a ,
 n  k !
n
n

1
...
n

k

1
n  n  1 ...  n  k  1

 
Cnn  k 
 Cnk 
,
n!
 n  k !
n
n 1
1
Cn 
 n  Cn ,
 n  1!
n
0 n 0
 x  a   Cn x a  Cnn 1 x n 1a1  ...  Cnk x n k a k  ...  Cnn x 0 a n


n
 x  a    Cnk x n k a k - бином Ньютона.
n
k 0
§8. Дифференцирование функций,
заданных параметрически.
Опр. Если функции x(t ) и y (t ) непрерывны на  ,   , ф-ия
x(t ) монотонна и имеет обратную ф-ию t ( x), то сложная
ф-ия F ( x)  y  t ( x)  наз-ся параметрически заданной ф-ией.
F ( x)  y  t ( x)  - параметрически заданная ф-ия.
 x  x(t )
(1) 
, t   , b 
 y  y( y)
Т. Если x(t ) и y (t ) дифференцируемы на некотором отрезке,
то параметрически заданная функция y  t ( x)  диф-ма
dy yt
и производная ее равна y x 

(2)
dx xt
dy
dy
dt  yt .
. y x 

dx dx
xt
dt

1  y  1
   y x  x  y xt  t x   y x t    t   
y xx
xt  xt t xt
y   x   x   y 
 tt t 3 tt t (3)
 xt 
§9. Основные теоремы дифференциального
исчисления.
п.1 Теоремы Ролля и Коши
Т.1 (Ролля)
Если y  f ( x) : 1) определена и непрерна на  a, b  ,
2) дифференцируема на  a, b  , 3) f ( a)  f (b), то
найдется точка с на  a, b  такая, что f (c)  0.
Т.2 (Коши)
Если f ( x) и g ( x) :
1) определены и непрерывна на  a, b  ,
2) дифференцируемы на  a, b  , 3) g ( x)  0 на  a, b  ,
то существует точка c   a, b  , такая, что
f (b)  f (a )
f (c)
справедлива формула:

(1)
g (b)  g (a ) g (c)
п.2 Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл.
Т. Если f ( x) определена и непрерывна на  a, b  и
дифференцируема на  a, b  , то существует точка c,
такая, что справедливо:
f (b)  f (a )  f (c)   b  a  (2)
. Рассм. вспомогательную ф-ию F ( x)  f ( x)   x.
F ( x) - определена и непрерывна на  a, b  .
F ( x) - диф. на  a, b  , как разность диф. функций и
F ( x)  f ( x)  . Подберем  так, чтобы F (a )  F (b)
F (a )  f (a )   a  F (b)  f (b)   b,
f (b)  f (a )
  b  a   f (b)  f (a ),  
.
ba
При найденном  для ф-ии F ( x) выполнены все
условия теоремы Ролля и по ней существует т.c,
в которой F (c)  0, т.е. f (c)    0,   f (c).
f (b)  f (a )
 f (c) .
ba
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
KB
f (b)  f (a )
C  c, f (c)  , tg  

 f (c)
AK
ba
§10. Условия постоянства и монотонности функций
на интервале.
Т.1 Если f ( x) - диф. на  a, b  и f ( x)  0 на  a, b  , то
f ( x)  const ( f ( x) - постоянная)
. Пусть x1  x2 и x1 , x2   a, b  . Тогда на  x1 , x2  выполнены
все условия Т. Лагранжа, т.е существует точка c   x1 , x2 
 f ( x2 )  f ( x1 )  f (c)  x2  x1  , f (c)  0  f ( x2 )  f  x1  ,
т.е. f ( x)  const .
Т.2 (условие возрастания (убывания) функции на интервале)
Если f ( x) - диф. на  a, b  и f ( x)  0  f ( x)  0  , то f ( x)
возрастает (убывает) на  a, b  .
. (убывание)
Пусть x1 , x2 - прозвольные точки принадлежащие  a, b  и
x1  x2 . По условию f ( x)  0 x   a, b  , тогда на  x1 , x2  для
f ( x) выполнены все условия Т. Лагранжа. Следовательно,
f ( x2 )  f ( x1 )  f (c)  x2  x1   0, где c   x1 , x2  
f ( x2 )  f ( x1 ). Т.е f ( x) убывает на  a, b  по определению .
§11. Экстремум функции. Необходимые и достаточные
условия экстремума.
Пусть задана y  f ( x) и x0 - внутренняя точка области
определения.
Опр.1 В точке x0 функция f ( x) имеет максимум(минимум)
при условии, что x  U ( x0 ,  ) f ( x)  f ( x0 )  f ( x)  f ( x0 ) 
Максимум и минимум  экстремум
Т.1 (необходимое условие экстремума)
Если y  f ( x) имеет экстремум в точку x0 , то f ( x0 )  0
или не существует.
Опр.2 Точки, в которых f ( x)  0 или не существует,
называются критическими (станционарными,
подозрительными) по экстремуму.
Т.2 (1-ое достаточное условие экстремума)
Пусть y  f ( x) - диф. в окрестности критической по
экстрему точке, кроме может быть самой этой точки.
Тогда: 1) если при переходе черех точку x0 f ( x) меняет
знак, то в точке x0 есть экстремум, а именно:
а) максимум, если при x  x0 f ( x)  0 и при x  x0
f ( x)  0,
б) минимум, если при x  x0 f ( x)  0 и при x  x0
f ( x)  0.
. 1) (минимум) Пусть при переходе через x0 f ( x)
меняет знак  / , тогда по т. Лагранжа:
x  c  x0 , f (c)  0  f ( x0 )  f ( x)  f (c)  x0  x   0
Значит f ( x0 )  f ( x),
x0  c  x, f '(c)  0  f ( x)  f ( x0 )  f (c)  x  x0   0
Значит f ( x)  f ( x0 ). Следовательно по опр.1 в т.x0
есть экстремум, а именно минимум.
2) Пусть при переходе через т.x0 f ( x)  0 постоянно,
т.е x  U ( x0 ,  ) f ( x)  0. Тогда по т. Лагранжа:
x  c  x0 , f ( x0 )  f ( x)  f (c)  x0  x   0  f ( x0 )  f ( x),
x0  c  x, f ( x)  f ( x0 )  f (c)  x  x0   0  f ( x)  f ( x0 ).
Следовательно по опр.1 экстремума в т.x0 НЕТ .
Т.3 (2-ое достаточное условие экстремума)
Если y  f ( x) имеет f ( x) и f ( x) в U ( x0 ,  ) и f ( x)  0, то
1) если f ( x0 )  0, то в т.x0 - минимум,
2) если f ( x0 )  0, то в т.x0 - максимум.
§12. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке.
Пусть y  f ( x) - непрерывна на  a, b  , тогда по 2-ой
теореме Вейерштрасса у нее есть на этом отрезке
наибольшее и наменьшее значения. Для нахождения
наибольшего и наименьшего значения необходимо:
1) найти критические по экстремуму точки из  a, b  ,
2) вычислить значения функции в критических
точках и на концах отрезка  a, b  ,
3) из полученных значений выбрать самое большое
и самое маленькое.
§13. Выпуклость и вогнутость графика функции.
Точка перегиба.
Пусть y  f ( x) - непрерывна  a, b  , a  x1  x2  b,
A  a, f (a )  , B  b, f (b)  , C  x1 , f ( x1 )  , D  x2 , f ( x2 )  .
y  f ( x1 )
x  x1
Уравнение CD :

,
f ( x2 )  f ( x1 ) x2  x1
 x  x1  f ( x2 )  f ( x1 ) 
y
 f ( x1 ),
x2  x1
f ( x2 )  x  x1   f ( x1 )  x2  x 
y
,
x2  x1
f ( x2 )  x  x1   f ( x1 )  x2  x 
l ( x) 
(1)
x2  x1
Опр.1 На  x1 , x2  график ф-ии y  f ( x) имеет выпуклость
вверх (вниз), если x   x1 , x2  l ( x)  f ( x)  l ( x)  f ( x)  .
Т.1 Если ф-ия y  f ( x) имеет f ( x) и f ( x) на  a, b  и
f ( x)  0  f ( x)  0  , то на  a, b  ф-ия f ( x ) имеет
выпуклость вниз (вверх).
Опр.2 Точка x0 , при переходе через которую график ф-ии
y  f ( x) сменяет направление выпуклости, называется
точкой перегиба ф-ии f ( x), а точка M 0  x0 , f ( x0 )  - точкой
перегиба графика функции.
Т.2 (необходимое условие перегиба)
Если в точке x0 функция имеет перегиб, то f ( x)  0 или
не существует.
Опр.3 Точки, в которых f ( x)  0 или не существует
называются критическими по перегибу.
Т.3 (достаточное условие перегиба)
Для того чтобы в точке x0 , критической по перегибу, ф-ия
f ( x) имела перегиб, достаточно, чтобы при переходе через
эту точку f ( x) меняла знак. Если f ( x) знака не меняет,
значит в т.x0 перегиба НЕТ.
§14. Асимптоты графика функции. Полное
исследование функции и построение ее графика.
Опр.1 Прямая x  a называется вертикальной асимптотой
графика ф-ии y  f ( x), если хотя бы один из односторонних
пределов lim f ( x)   или lim f ( x)  .
xa 
xa 
Опр.2 Прямая y  kx  b - невертикальная асимптота графика
функции y  f ( x), если  ( x)  f ( x)   kx  b  - б.м. функция
при x  .
Т. Если y  kx  b - невертикальная асимптота графика ф-ии
f ( x)
y  f ( x), то k  lim
, b  lim  f ( x)  kx  (1).
x 
x 
x
Полное исследование функции и построение графика
проводится по следующей схеме:
1. Находим ООФ и вертикальные асимптоты.
2. Точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Четность, нечетность, периодичность функции.
4-5. Промежутки монотонности, выпуклости, экстремумы
и перегибы.
6. Невертикальные асимптоты графика функции.
7. Построение графика.
§15. Раскрытие неопределенностей.
Правила Лопиталя.
п.1 0 , первое правило Лопиталя .
0
Т.1 Если f ( x) и g ( x) :
1) определены и непрерывны на  a, b  ,
2) существует предел lim f ( x)  lim g ( x)  0,
xa 
xa 
3) g ( x)  0 на  a, b  ,
f ( x)
4) существует lim
 K,
x  a  g ( x )
f ( x)
тогда существует lim
 K.
x a g ( x)

п.2
, второе правило Лопиталя

Т.2 Если f ( x) и g ( x) :
1) определены и непрерывны на  a, b  ,
2) существует предел lim f ( x)  lim g ( x)  ,
xa 
xa 
3) g ( x)  0 на  a, b  ,

f ( x)
4) существует lim
 K,
x  a  g ( x )
f ( x)
тогда существует lim
 K.
x a g ( x)
п.3 Раскрытие неопределенностей 1 , 0 ,  0
g ( x)
g ( x)
lim  f ( x) 
, y   f ( x) 
,


§1. Первообразная и неопределенный интеграл.
Свойства неопределенного интеграла.
Опр.1 Диф. функция F ( x) называется первообразной для
ф-ии f ( x), если F ( x)  f ( x).
Т.1 1) Если ф-ия F ( x) - первообразная для f ( x), то ф-ия
F ( x)  C также является первообразной для f ( x).
2) Если F ( x) и  ( x) - первообразные для f ( x), то разность
F ( x)   ( x)  C (постоянная)
. 1)  F ( x)   f ( x),  F ( x)  C   f ( x)  F ( x)  C - первообразная для f ( x),
2) Пусть  ( x) - первообразная для f ( x)
 F ( x)  ( x)   f ( x)  f ( x)  0  по условию постоянства
функции это означает, что F ( x)   ( x)  C , F ( x)   ( x)  C
.
Опр.2 Множество всех первообразных функции f ( x) есть
неопределенный интеграл от этой функции.
Обозн:  f ( x) dx  F ( x )  X , F '( x)  f ( x) (1)
подынтегральное
выражение
Геометрический смысл неопределенного интеграла:


xa
ln y  g ( x) ln f ( x), lim ln y  K  lim  f ( x) 
 eK
xa
x a
Неопределенности вида   , 0   сводятся к
неопределенностям 0 или  с помощью
0

алгебраических преобразований.
g ( x)
Свойства неопределенных интегралов :
1. d  f ( x)dx  f ( x )dx
. По опр.1  f ( x)dx  F ( x)  C , где F ( x)  f ( x),
d  f ( x)dx  d  F ( x )  C   f ( x )dx .
2.  d  F ( x)   F ( x)  C
3.   f1 ( x)  f 2 ( x)  dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x )dx (2)
. Пусть  F1 ( x)   f1 ( x),  F2 ( x)   f 2 ( x), тогда
 f1 ( x)dx  F1 ( x)  C ,  f 2 ( x)dx  F2 ( x)  C ,
F1 ( x)  F2 ( x) - первообразная для f1 ( x)  f 2 ( x ).
По определению:
  f1 ( x)  f 2 ( x)  dx  F1 ( x)  F2 ( x)  C ,
 f ( x)dx   f ( x)dx  F ( x)  F ( x)   C  C  
1
2
1
2
   f1 ( x)  f 2 ( x)  dx   f1 ( x )dx   f 2 ( x)dx .
4.  Cf ( x)dx  C  f ( x ), C  const
(доказывается аналогично свойству 3).
§2. Таблица основных интегралов.
x n 1
dx
 C , n  1 2. 
 ln x  C
n 1
x
x
a
3.  a x dx 
 C ,  e x dx  e x  C
ln a
4.  sin xdx   cos x  C
5.  cos xdx  sin x  C
dx
dx
6. 
 tg x  C
7. 
  ctg x  C
2
cos x
sin 2 x
dx
x
dx
8. 
 arcsin  C , 
 arcsin x  C
a
a2  x2
1  x2
dx
1
x
dx
9.  2
 arctg  C , 
 arctg x  C
a
a  x2 a
1  x2
dx
1
xa
10.  2

ln
C
xa
x  a 2 2a
dx
2
11. 
 ln x  x  a 2  C
x2  a2
1
. 1. 1) x  0,  ln x  C    ln x  C   ,
x
1
2) x  0,  ln x  C    ln( x)  C   .
x
x
1
1
1
a2
1
1

9.  arctg  C   2 



a
a 1  x2 2 a2 a2  x2 a2  x2
a

a
11. 1) x  x 2  a 2  0,



1
2x
ln x  x 2  a 2  C 
1 

x  x2  a2 
2 x2  a2 
2
2
1
x a x
1



,
x  x2  a2
x2  a2
x2  a2
2
2
2) x  x  a  0,



1
2x
ln  x  x 2  a 2  C 
 1 

2 x2  a2 
 x  x2  a2 
1.  x n dx 
 
 
 



x

a

x
 1

1


x a
x a
x  x  a 
 
2
2
2
2
2
2
2
2
.
§3. Интегрирование по частям в неопределенном
интеграле.
Т. Если u ( x) и v( x) - диф. и существует интеграл  vdu ,
то существует интеграл  udv  uv   vdu
. По правилу дифференцирования произведения:
d  u  v   u  dv  v  du ,  d  u  v    udv   vdu ,
u  v   udv   vdu ,  udv  u  v   vdu .
Рекурентная формула:
1
n  2 x
u 2
, du  2
dx
dx
( x  a2 )
( x  a 2 ) n 1
In   2


2
 x  a  dv  dx, v  x
x
x 2 dx
x

 2n 


n
n 1
n
 x2  a2 
 x2  a2 
 x2  a2 
dx
dx
dx
2n 
 2na 2 
, I n 1  
,
n
n 1
n 1
 x2  a2 
 x2  a2 
 x2  a2 
I n 1 
x
2na 2  x 2  a 2 
n

2n  1
 I n (2)
2na 2
§4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Т. (о замене переменной)
Если F ( x) - первообразная ф-ии f ( x) на множестве X и
x   (t ) - дифференцируемая функция, значение которой
принадлежит мн-ву X , то ф-ия F ( (t )) - первобразная
для ф-ии f ( (t ))   (t ) и интеграл
 f ( (t ))   (t )dt   f ( x)dx ,
ф-ия x   (t ) называется подстановкой.
. Пусть  f ( x)dx  F ( x)  C. Покажем, что
 F ( (t ))   F ( (t ))   (t )  f ( (t ))   (t ),
 f ( (t ))   (t )dt  F ( (t ))  C  F ( x)  C   f ( x)dx .
§5 Интегрирование рациональных функций.
п.1 Интегрирование простейших рациональных функций.
Опр.1 Рациональной функцией называется отношение двух многочленов
P ( x)
f ( x)  m
, где Pm ( x) - многочлен степени m,
Qn ( x)
m
Pm  b0 x  b1 x m 1  ...  bm 1 x  bm , b0  0,
Qn ( x) - многочлен степени n с C  1 перед x n ,
Qn ( x)  x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an .
Если m  n, то f ( x) - неправильная рациональная функция, а если m  n,
то f ( x) - неправильная рациональная (дробно-рациональная) функция.
Опр.2 Простейшими рациональными функциями называются
правильные рациональные функции следующих видов:
A
A
I.
m  N  m  1
 A, a  R  II.
m 
xa
 x  a
2
Bx  C
Bx  C


p
III. 2
 q  0  IV.
 p, q, c  R,
m
4
x  px  q 

 x 2  px  q 
A
d ( x  a)
I. 
dx  A
 A ln x  a  C.
xa
xa
A
dx
d ( x  a)
A
II. 
dx

A
m
  x  a m  A  x  a m  1  m  x m1  C.
 x  a
p
p2
p2
III. Преобразуем x 2  px  q  x 2  2  x 
q

2
4
4
2
2
2
p
p
p
p
2
2
 x
q
, t  x
, a q
, x  px  q  t 2  a 2
2
4
2
4
B tp
C
2
Bx  C
 x  t  p , dx  dt   2
dx  
dt 
2
x  px  q
t 2  a2
Bp
C
tdt
dt
B
2 arctg t 
 B 2
 C  Bp   2
 ln  t 2  a 2  
2
2
a
a
t  a2
t  a2
C  Bp
x p
B
2  arctg
2  C.
C 1  ln  x 2  px  q  
2
2
2
q p
q p
4
4
B tp
C
2
Bx  C
tdt
IV. 
dx  
dt  B 
 c  Bp 
m
m
m
2
 x 2  px  q 
t 2  a2 
t 2  a2 
dt
B
dt
Bp
2
2

 ln  t  a   C 
0  далее
m
m
2  2
t 2  a2  2
t  a2 
используем рекурентную формулу и возвращаемся к подстановке.
п.2 Интегрирование правильных рациональных функций.
P ( x)
f ( x)  m
, m  n, Qn ( x)  x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an ,
Qn ( x)
a1 - кратности 1 , a2 - кратности  2 , 1   1i - кратности s1 .
s
Это означает, что Qn ( x) делится на  x 2  p1 x  q1  ,












1
 2   2 i - кратности s2 . Тогда Qn ( x) делится на  x 2  p2 x  q2  ,
1   2  1   2  n, тогда
s2
Qn ( x)   x  a1  1  x  a2  2  x 2  p1 x  q1 


s1
x  p x  q  .
s2
2
2
2
Т.1 Правильная рациональная функция вида
Pm ( x)
 x  a1   x  a2 
1


A2
2
1
2
1
Ps2 x  Ls2


2
1
2
B1

2
 ... 
s1
1
M s1 x  N s1
x 2  p1 x  q1


s2
2
B2
 x  a1   x  a2 
 x  a1 
x  p x  q 
2
A1
 ... 
1 1
M 1 x  N1
x  p x  q  x  p x  q 
s1
A1
 x  a1 
1
 ... 
 2 1
 x  a2 
P1 x  L1
x  p x  q 
2
2
1. ax 2  bx  c не имеет действительных корней.
() ax 2  bx  c  x a  t - 1-ая подстановка Эйлера.
ax 2  bx  c  ax 2  2 x at  t 2 , x b  2t a  t 2  c,

B 2
 x  a2 

 ... 
s2
, где A1 ,..., A1 , B1 ,..., B 2 , M 1 ,..., M s1 , N1 ,..., N s1 , P1 ,..., Ps2 ,
x 2  p2 x  q2
L1 ,..., Ls1 - неопределенные коэффициэнты (метод неопределенных
коэффициентов).
Т.2 Правильная рациональная функция имеет первообразные, которые
выражены через правильные рациональные функции, логарифмы и
арктангенсы.
п.3 Интегрирование неправильных рациональных функций
P ( x)
R ( x)
f ( x)  m
, m  n, f ( x)  f1 ( x)  m  n
,
Qn ( x)
Qn ( x)
прав. рац. ф-ия
Rm  n ( x)
 f ( x)dx   f ( x)dx   Q ( x) dx .
1
n
метод неопр. коэф.
п.4 Метод Остроградского
P ( x)
f ( x)  m
, m  n,
Qn ( x)
Qn ( x)   x  a1  1  x  a2  2  x 2  p1 x  q1 


1   2  s1  s2  n, 
s1
 x  p x  q  , где
s2
2
2
2
Pm ( x)
P ( x)
P2 ( x)
dx  1

dx (1) где
Qn ( x)
Q1 ( x)  Q2 ( x)
метод неопр. коэф.
Q1 ( x)   x  a1  1  x  a2  2  x 2  p1 x  q1   x 2  p2 x  q2 
Q ( x)
Q2 ( x)  n
, P1 ( x) и P2 ( x ) - многочлены в степени на 1 меньше
Q1 ( x)
чем Q1 ( x) и Q2 ( x) соответственно. Продифференцируем формулу (1):
 1
s1 1
 1
s2 1

Pm ( x) P1  Q1  PQ
1 1

.
2
Qn ( x)
 Q1 ( x) 
x

2
t c
2
b  2t a
, dx 

2bt  2t 2 a  2c a

b  2t a




2t b  2t a   t 2  c  2 a
2
dt ,
 b  2t a 
2
ax 2  bx  c 
at 2  c a
b  2t a
t 


bt  at 2  c a
dt 
, тогда  R x, ax 2  bx  c dx 
b  2t a
 t 2  c bt  at 2  c a  2bt  2t 2 a  2c a
  R 
,
dt
2

b  2t a
 b  2t a

b  2t a



2. ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2  , x1 , x2 - корни.
2

a  x  x1   x  x2  
2
 dx 
 R x, ax  bx  c dx   R  x,

 x  x1 



a  x  x2  
 dx.
  R  x,  x  x1 

x  x1 


a  x  x2  2 a  x  x2 
t
, t 
(  ) - 2-ая подстановка
x  x1
x  x1
x t 2  ax2
xt 2  x1t 2  ax  ax2 , x  t 2  a   x1t 2  ax2 , x  1 2
,
t a
x1t 2  ax2  x1t 2  ax1 a  x1  x2 
x  x1 

,
t2  a
t2  a
2
2
2 x1t  t  a   2t  x1t  ax2 
2ta  x2  x1 
dx 
dt 
dt ,
2
2
t 2  a 
t 2  a 

a  x  x2  
 R  x,  x  x1  x  x1  dx 


 x t 2  ax a x  x
 tx  x 
1
2
1
2
 2a   1 2
,
 t  22
dt - рациональное
2
 t a
 t  a 
t

a


выражение.


§8 Вычисление интегралов вида
Pn ( x)
 ax  bx  c dx
2
Pn ( x)

2



ax  b 
ax  b
R  x, n
.
 - рациональное выражение от x и n
cx  d 
cx  d

ax  b
ax  b
Подстановка t  n
 tn 
, ct n x  dt n  ax  b,
cx  d
cx  d
n

1
n
 dn  t  ct  a   cn  t n 1  b  dt n 
b  dt n
x n
, dx 
dt 
2
ct  a
 ct n  a 


 nt n 1 d  ct n  a   c  b  dt n 
 ct  a 
n
2
 dt  nt
n 1
 bc  ad 
 ct  a 
n
2
dt ,

 b  dt n  n 1 bc  ad
ax  b 
 R  x, n cx  d  dx  n  R  ct n  a , t  t ct n  a 2 dt.





R x, ax 2  bx  c
n 1
2
2
 - неизвестный коэффициент,
ax  b 
 R  x, cx  d  dx
n
dx
 ax  bx  c dx  P ( x)  ax  bx  c    ax  bx  c (1),
§6 Вычисление интегралов вида:
Pn 1 ( x) - многочлен степени  n  1 с неопр. коэффициентами.
Дифференцируем формулу, чтобы получить Pn ( x)
P ( x)  2ax  b 
Pn ( x)
 Pn1 ( x) ax 2  bx  c  n 1

ax 2  bx  c
2 ax 2  bx  c


,
ax 2  bx  c
2 Pn ( x)  2 Pn1 ( x)  ax 2  bx  c   Pn 1 ( x )  2ax  b   2 ,
xn
x n 1
...
(n  1) уравнения с (n  1) неизвестными ()
0
x
Решение системы уравнений () в (1), в которой
последний интеграл - табличный.
 §7. Интегрирование выражений вида
. Подстановка Эйлера.
§9 Интегрирование тригонометрических функций.
п.1 Вычисление  cos  x cos  xdx,  sin  x sin  xdx,
 sin  x cos  xdx
Преобразуем подынтегральные функции:
cos  x cos  x  1 cos  (   ) x   cos  (   ) x   ,
2
sin  x sin  x  1 cos  (   ) x   cos  (   ) x   ,
2
sin  x cos  x  1 sin  (   ) x   sin  (   ) x   ,
2
далее вычисления сводятся к табличным интегралам.
п.2 Вычисление  sin m x cos n xdx, m, n  Q
1) m  2k  1 (нечетное), тогда
m
n
2k
n
 sin x cos xdx   sin x sin x cos xdx 
t

cos x
k
  1  cos 2 x  cos n x sin xdx 
   1  t 2  t n dt
dt   sin xdx
2) n  2k  1 (нечетное), тогда  sin m x cos 2 k 1 dx 
рац. выражение
  sin x cos x cos xdx   1  sin x  sin x cos xdx 
t  sin x
k

 1  t 2  t m dt - рац. выражение от t
dt  cos xdx 
3) m  2k , n  2 s (четные), тогда
k
s
2k
2s
 sin x cos xdx  1 2k  s  1  cos 2 x  1  2 cos 2 x  dx, далее
см. п.1,2,3.
п.3 Вычисление  R  sin x, cos x  dx. Универсальная
тригонометрическая подстановка.
x
2dt
t  tg (), x  2 arctg t , dx 
,
2
1 t2
2 tg x
x
x
x
x
2  2t ,
sin x  2 sin cos  2 tg cos 2 
2
2
2
2 1  tg 2 x
1 t2
2
2
x
x
x  1 t

cos x  cos 2  sin 2  cos 2 x 1  tg 2  

2
2
2  1 t2

 2t 1  t 2  2dt
  R  sin x, cos x  dx   R 
,
.
2
2 
2
1 t 1 t 1 t
m
2k
k
2
m
§10. Определение интеграла по Риману. Ограниченность
интегрируемой функции.
Пусть f ( x) определена на  a, b . Разобьем  a, b  на частичные
отрезки с помощью точек деления.
Обозн. разбиения:  : a  x0  x1  ...  xk  ...  xn  b,
Длина k -го отрезка xk  xk 1  xk , k  0,1, 2,...,  n  1 ,
На каждом отрезке выберем точку Ck   xk , xk 1  , тогда
n 1
   f (Ck )xk  f (C0 )x0  f (C1 )x1  ...  f (Cn 1 )xn 1 ,
k 0
  max xk - диаметр разбиения  ,
k
Опр. Конечный предел интегральных сумм  при   0, не
зависящий ни от разбиения отрезка  a, b  на частичные
отрезки, ни от выбора точек Ck , называется определенным
интегралом от a до b ф-ии f ( x), а сама ф-ия - интегрируемой
b
на  a, b  . lim    f ( x) dx (2)
 0
a
Утв.1 Если ф-ия f ( x) интегрируема на  a, b  , то она на этом
отрезке ограничена.
Утв.2 Если f ( x) - неотрицательная и интегрируемая на  a, b  ,
b
то  f ( x)dx  S aABb (площади криволинейной трапеции,
a
ограниченной сверху графиком f ( x), снизу - осью абсцисс, и
прямыми x  a, x  b.
§11. Верхняя и нижняя интегральные суммы и их свойства.
Необходимые и достаточные условия интегрируемости
функции по Риману.
Пусть задана f ( x), x   a, b .
Разобьем  a, b   : a  x0  x1  ..  xk  ..xn  b,
Длина k  го отрезка xk  xk 1  xk ,
Обозначим mk : inf f ( x), M k : sup f ( x),
 xk , xk 1 
 xk , xk 1 
n 1

 s   mk xk

k 0
(1) 
n 1
S 
M k x


k 0

(1) - нижняя и верхняя интегр. суммы Дарбу,
n 1
Ck   xk , xk 1  , () s    S ,    f (Ck )  xk
k 0
Св.1 Если к фиксированному разбиению  добавить новые
точки, то нижняя сумма Дарбу может только увеличиться,
а верхняя только уменьшиться.
Св.2 Нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней, даже
если эти суммы отвечают разным разбиениям.
Добавим к  новые точки (  0),
s1 , s2 ,..., sn - монотонно возрастает, sn  Si ,
S1 , S 2 ,..., S n - монотонно убывает, S n  si ,
I  sup sn , I  inf S n , s  I  I  S   
Т. (необходимое и достаточное условие интегрируемости
функции по Риману)
Для того чтобы органиченная на  a, b  ф-ия f ( x) была
интегрируема на  a, b  по Риману необходимо и
b
достаточно: lim  S  s   0 lim s  lim S   f ( x) dx
 0
 0
 0
a
§12. Свойства неопределенного интеграла.
a
a
a
b
b
b
Св.1  f ( x)dx  0 Св.2  f ( x) dx    f ( x)dx
a
b
b
a
a
Св.3   f ( x)  g ( x)  dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a
b
b
a
a
Св.4  Cf ( x)dx  C  f ( x )dx (C - постоянная)
b
c
b
Св.5 если a  c  b, то  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
a
a
(аддитивность определенного интеграла)
b
b
a
a
c
Св.6 Если f ( x)  g ( x), то  f ( x)dx   g ( x)dx
Св.7 Если f ( x) - интегрируема на  a, b  , то f ( x) b
b
a
a
интегрируема на  a, b  , то  f ( x)d x   f ( x) dx
Св.8 Если f ( x) - интегр. на  a, b  и m  f ( x)  M , то
b
m  b  a    f ( x)dx  M  b  a 
a
Теорема о среднем для опр. интеграла.
§13. Интеграл с переменным верхним пределом и его
свойства. Основная формула интегрального исчисления.
Пусть f ( x) опр. и огран. на  a, b  . Возьмем xk так, что
a  x  b, на  a, x  - f ( x) интегрируема.
x
(1) F ( x)   f ( x)dx - интеграл с перем. верхний пределом
a
Св.1 Если f ( x) интегр. на  a, b  , то F ( x) - непр. на  a, b  .
. Зафикс. x   a, b  , дадим x приращение x,
x x
x
a
a
F ( x)  F ( x  x)  F ( x) 
 f ( x)dx   f ( x)dx 
x
x x
x
x x
a
x
a
x
x x
  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx 
 f ( x)dx,
 f ( x)dx  M x,
По усл. m  f ( x)  M (св.8), mx 
1
разделим на x :
x
x x
x x

x
f ( x) dx   , m    M ,
x
 f ( x)dx  x, F ( x)  x, x  0, F ( x)  0 
x
 F ( x) - непрер. в точке x .
Св.2 Если f ( x) - непр. на  a, b  , то F ( x) - диф. функция,
x

F ( x)  f ( x),   f ( x)dx   f ( x)
a

. Фикс. x, даем приращение x, F  x, m    M ,
по т. о среднем для непр. ф-ии f ( x) сущ. точка
c   x, x  x  , такая что   f (c )  f ( x )  f (c )x,
F
F ( x)  lim
 lim f (c)  f ( x),
x  0 x
x  0

x


  f ( x)dx   f ( x) .
a
x
Сл. Непр. на отрезке ф-ия f ( x) всегда имеет
первообразную, одной из которых является интеграл
с переменным верхним пределом.
Т. (Основная формула интегрального исчисления, ф.
Ньютона-Лейбница)
b
Если f ( x) - непр. на  a, b  , то  f ( x) dx   (b)   ( a),
a
где  ( x) - какая-нибудь первообразная f ( x),
b
 f ( x)dx  (b)  (a)  ( x)
b
a
(2)
a
x
.  ( x) - первообр. f ( x), F ( x)   f ( x)dx - первобр. f ( x)
a
x
b
a
a
 ( x)   f ( x)dx  C ,  (a )  C ,    f ( x) dx   ( a ),
b
 f ( x)dx  (b)  (a) .
a
§14. Интегрирование по частям в определенном
интеграле.
Т. Если u ( x) и v( x) - диф. на  a, b  , то
b
b
 udv   uv    vdu
b
a
a
a
§15. Замена переменной в определенном
интеграле.
Т. Если f ( x) - интегр. на  a, b  и x   (t ) - диф. на  ,   ,
где  ( )  a,  (  )  b, то
b
b
a
a
 f ( x)dx   f  (t )    (t )dt
§16. Вычисление площадей в прямоугольной
декартовой системе координат.
Рассм. плоскую фигуру ограниченную сверху графиком
ф-ии y  f ( x) - непр. на  a, b  , а снизу - y  g ( x ) непр. на  a, b  . Разобъем  a, b  :
 : a  x0  x1  ...  xk  ...  xn  b,
xk  xk 1  xk , k  0,1,...,  n  1 ,   max xk ,
k
mk  min f ( x), M k  max f ( x), mk  min g ( x),
 xk , xk 1 
 xk , xk 1 
 xk , xk 1 
M k  max g ( x).
 xk , xk 1 
Рассм. ступенчатую фигуру F из прямоугольников с осн.
xk и высотами hk  mk  M k .
n 1
n 1
n 1
F  ABCD, S ( F )    mk  M k  xk   mk xk   M k xk 
k 0
k 0
k 0
 s f  Sg ,
рассм. ступенчатую фигуру F1 из прямоугольников с осн.
xk и высотами hk  M k  mk .
n 1
S ( F1 )   x  M k  mk   S f  s g
k 0
Опр.1 Если lim S ( F )  lim S ( F1 ), то плоская фигура ABCD
 0
 0
называется квадрируемой, а общее значение этих пределов
называется площадью фигуры ABCD.
b
b
 0
 0
a
a
b
 0
 0
a
Из равенств () и (  )  фигура ABCD - квадрируемая и
b
площадь ее в дек. пр. с.к S    f ( x)  g ( x)  dx (2)
a
§17. Вычисление площадей в полярной системе
координат.
 x  r sin 
Формулы перехода из пол. в дек. с.к. 
,
 y  r cos 
Рассм. плоскую фигуру в пол. с.к. ограниченную 2-мя лучами и
графиком непр. на  a, b  функции r   (0     ). Разобъем
0  1  ...   k   k 1  ...   n  . Обозначим: mk  min r ( ),
k ,k 1 
M k  max r ( ). Рассмотрим круговые сектора, опирающиеся на
k ,k 1 
углы  k и ограниченные дугами окружности радиуса mk .
Площадь каждого кругового сектора Sсек  1 R 2 d ,
2
1 n 1
s   mk2   k - нижняя сумма Дарбу для ф-ии 1 r 2 ( ).
2
2 k 0
Рассмотрим круговые сектора, опирающиеся на углы  k и
ограниченные дугами окружности радиуса M k :
1 n 1
S   M k2  k - верхняя сумма Дарбу для ф-ии 1 r 2 ( ),
2
2 k 0
lim s  lim 1
 0
 0

n 1

m   1  r ( )d , lim S  1  r ( ) d  .
2
2
2

2
k
k 0
2
k
0
2
0
0

S 1
 r ( )d (1) - ф. для вычисления площади в пол. с.к
2
2
k 0
n 1
L
0
2
2
n 1
lim L  lim 
 0
2
 x (c)    y (c1 )   tk 
2
k 0
2

 x (t )    y (t )  dt
2
 x (t )    y (t )  dt (2)
l
2
2
2

Ф.(2) - длина кривой, заданной параметрически.
Если кривая задана в полярной с.к уравнением r  r ( ),
причем      , x  r cos   r ( ) cos  , y  r sin  
 r ( ) sin  , то:
x   r ( ) cos   r ( ) sin  , y   r ( ) sin   r ( ) cos  ,
2
2
2
 x     y     r ( )  cos 2   2r ( )  r ( ) cos  sin  

2
2
  r ( )  sin    r ( )  sin 2   2r ( )  r ( ) sin  cos  
2
2
2
  r ( )  cos    r ( )    r ( )  ,
b
l
 r ( )    r ( )  d (2)
2
2
a
Если кривая задана функцией y  f ( x), a  x  b, то

b
x  x
2
2
2
 l    x     y   dt   1   y   dx (3)

 y  f ( x)

a
§20. Площадь поверхности вращения.
Пусть кривая l , заданная параметрическими уравнениями
 x  x(t )
l:
, t   ,   вращается вокруг оси Ox . Площадь
 y  y (t )

поверхности вращения   2  y (t )dt , тогда:


  2  y (t )  x     y   dt (1) ф. поверхности вращения
2
2

Частные случаи:
b
x  x
2
а) l : 
, a  b  b,   2  y 1   y   dx (2)
 y  f ( x)
a
б) r  r ( ),    ,   , y  r sin   r ( ) sin  . Кривая
вращается вокруг полярной оси. Совместим дек. с пол. с.к.

и подставим y в (1):   2  r   sin  r 2   r   d  (3)
2
§18. Объем тела вращения.
Рассм. тело V , обладающее следующими свойствами:
1) расположено по одну сторону от плоскости 
2) в сечении тела плоскостями, параллельными пл-ти
 , лежат квадрируемые фигуры.
3) площадь сечения, проведенного на расстояние x от
пл-ти  , пл-тью парал.  - непр. ф-ия S ( x).
4) Если S ( x2 )  S ( x1 ), то проекция фигуры с площадью
S ( x2 ) на пл-ть  содержит проекцию фигуры с с
площадью S ( x1 ) на пл-ть  .
Опр.1 Пространственное тело, обладающее св-ми 1-4
называется регулярным.
Т.1 Регулярное тело кубируемое и объем го вычисляется
b
по формуле V   S ( x)dx, где S ( x) - площадь сечения,
a
проведенного на расстоянии x от пл-ти  ,
a - наименьшее расстояние от тела до пл-ти  ,
b - наибольшее расстояние от тела до пл-ти  .
Т.2 Если тело V получено вращением криволинейной
трапеции ограниченной сверху графиком ф-ии y  f ( x),
f ( x)  0, а снизу отрезком  a, b  вокруг оси Ox , то его
b
объем V     f ( x)  dx (2)
2
a
. Покажем, что тело V - регулярное.
2
x   a, b  , S ( x)   r 2    f ( x)   непр. ф-ия от x,
Все условия (1-4) выполнены  V - регулярное тело,
Тогда по ф.(1): y  f ( x), f ( x)  0, a  x  b,
b
V     f ( x)  dx .
2
a
Сл. Если криволинейная трапеция вращается вокруг Oy ,
то объем полученного тела вычисляется по формуле:
b
V  2  x  f ( x)dx (3)
a
2
 x (c)    y (c1 )   tk ,
k 0

lim S ( F1 )  lim S f  lim sg    f ( x)  f ( x)  dx (  )
 0
k 0
x
 xk    yk 
верхняя грань называется длиной кривой: sup  L  l
xk  xk 1  xk  x (c )  tk , c  tk , tk 1  ,
yk  yk 1  yk  y (c1 )  tk , c1  tk , tk 1  ,

  f ( x)  g ( x)  dx ()
n 1
Опр.1 Если множество длин, вписанных в кривую l ,
ограничены сверху, то кривая  l  - спрямляющаяся, а

a
b
n 1
длина кривой L   M k M k !  
 0
lim S ( F )  lim s f  lim S g   f ( x) dx   g ( x) dx 
 0
§19. Спрямляемая кривая и ее длина. Вычисление
длины кривой.
Рассм. кривую l заданную параметрическим уравнением:
 x  x(t )
, ограниченную   t   ,

 y  y (t )
Начало - A  x( ), y ( )  , конец - B  x(  ), y (  )  .
Предположим, что x (t ) и y (t ) - непрерывны. Разобьем
 :   t0  ...  tk  tk 1  ...  tn   , tk  tk 1  tk ,
xk  x  tk  , xk 1  x  tk 1  , xk  xk 1  xk ,
yk  y  tk  , yk 1  y  tk 1  , yk  yk 1  yk ,
впишем ломанную в кривую l ,   max tk ,

§21. Применение определенных интегралов к решению
физических задач.
п.1 Вычисление статических моментов и координат центра
тяжести плоских кривых.
Опр.1 Статическим моментом материальной точки отн-но
неперсекающей ее прямой называется произведение массы
этой точки на расстояние от точки до прямой: Sl  m  r
Опр.2 Статическим моментом системы матер. точек отн-но
k
прямой l наз-ся сумма  произведения масс этих точек на
i 1
расстояния.
k
 m  k  m  r  m  r  ...  m  r , S  1, m  l 
i 1
b
i
i
1
1
2
2
k
k
  1   y   dx, масса m  S - площадь, применим разбиение
2
a
 : a  x0  x1  ...  xk  ...  xn  b,
 xk , xk 1 
n 1
n 1
k 0
k 0
y ( xk )lk  S y  y ( xk 1 )lk ,  mk lk   S x   M k lk ,
n 1

n 1
 m l   y l   M l ,
k 0
k
k
k 1
k
k
k
k 0
S x   y 1   y   dx (1) - относительно Ox ,
2
a
b
S y   x 1   y   dx (1 ) - относительно Oy ,
2
a
 
b
l 
x 1   y   dx, y  1
2
a
b
l 
y 1   y   dy (2)
2
a
координаты центра тяжести
п.2 Статические моменты и координаты центра
m
1
S  x, y   1, S x  l  dy  y , S x  l  ydy  lm 2 ,
2
0
b
b
2
y 2 dx (1), S y   xydx (2), y  S  S x , x  S  S y ,
S
xydx , y  1
a
b
x 1
a
a
b
a
2S 
y 2 dx
a
п.3 Теорема Гульдина
C  x , y  , l  2 y , y  1
b
l 
y 1   y   dx,
2
a
b
2 yl  2  y 1   y   dx,   2 yl - 1-ая т. Гульдина
2
a
Т.1 Площадь поверхности, которая получается при вращении плоской прямой вокруг непересекающей ее прямой равна длине кривой на длину окружности которую
описывает центр тяжести кривой.
b
V    y 2 dx, y  1
a
b
2S 
a
b
y 2 dx, 2 yS    y 2 dx,
a
V  2 yS - 2-ая т. Гульдина
Т.2 Объем тела, которое получается при вращении
плоской фигуры вокруг непересекающей ее прямой произведение площади фигуры на длину окружн-ти,
которую описывает центр тяжести фигуры.
a
то он сходящийся и называется несобств. интегралом 1-го
рода. Если (1) бесконечен или не сущ. , то он расходится.
Если f ( x) опр. на  -, a  и интегр. на любом  a, b  , где
a
a
b  a, то  f ( x)dx  lim  f ( x)dx (2) - несобств. 1-го рода.
b 


0
b

0
(3)  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  lim  f ( x)dx 


b 
0
b
c
 lim  f ( x)dx  для сходимости необходима и достаточна
0
сходимость (1) и (2).
п.2 Несобств. интегралы 2 - го рода и их сходимость
Пусть f ( x) опр. на  a, b  , неогр. в точке b и огр. на любом
 a, c  где, c  b. Зададим   0 и рассмотрим  a, b   :
b 
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx (1) - несобств. 2-го рода.
0 
a
a
Если предел (1) сущ. и конечен, то интеграл сходится,
если предел (1) не сущ. или бесконечен, то - расходится.
Пусть f ( x) опр. на  a, b  и интегрируема на любом  c, b  ,
c  a и неогр. в точке a.
b
Опр.3 Центром тяжести плоской материальной фигуры
наз-ся точка c x, y такая, что если в этой точке сосредоточить всю массу плоской кривой, то статические моменты т. C относительно координат осей будут равны
стат-м моментам всей плоской кривой относительнно
тех же осей.
S x (c )  S x , S y (c )  S y , S x (c )  l  y , S y (c )  l  x,
Sx  1
b
b 
b
k
b
x 1

Опр.1  f ( x)dx  lim  f ( x)dx (1) . Если интеграл (1) конечен,
c 
mk  min f ( x), M k  max f ( x), mk  lk  S x  M k lk ,
 xk , xk 1 
§22. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.
п.1 Несобственные интегралы 1 - го рода и их сходимость
Пусть f ( x) опр. на луче  a,   и интегр. на любом  a, b  ,
где b  a.
b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx (2) - несобств. 2-го рода.
0 
a
a
Если предел (2) конечен, то интеграл сходится, если бесконечен или не сущ., то расходится.
Пусть f ( x) неогр. в точке c, причем a  c  b, тогда
несобств. интеграл 2-го рода от неогр. функции:
b
c
b 
b
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  lim  f ( x)dx 
a
a
c
0 
a
b
 lim  f ( x)dx (3)
 0 
c 
Для сходимости несобств. интеграла (3) необходима
и достаточна сходимость несобств. интегралов (1),(2).