Заняття 1 КЧ та дії над ними 1) 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, алгебраїчна функція, де 𝑥, 𝑦 — дійсні числа; 𝑖 — уявна одиниця; 𝑖 = −1. 𝑥 = 𝑅 𝑧 — дійсне число комплексних чисел; 𝑦 = 𝐼 𝑧 — уявне число комплексних чисел. 𝑧̅ = 𝑥 − 𝑖𝑦 (у чому різниця з 𝑧?) 𝑧 =𝑧 ⇒ 𝑥 = 𝑥 ;𝑦 = 𝑦 ; 2) 𝑧 ⇒ зображуємо за допомогою полярної 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑦 𝑟 уявна вісь системи координат (𝑟; 𝜑), 𝜑 0 де 𝑟 = |𝑧|; 𝜑 = Arg 𝑧 модуль аргумент 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑦 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 = |див. мал.| = |𝑧| cos 𝜑 = 𝑥 𝑥 дійсна вісь = |𝑧| cos Arg 𝑧 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 = |𝑧| sin 𝜑 = |𝑧| sin Arg 𝑧 . |𝑧| = 𝑟 = |див. мал.| = tg Arg 𝑧 = tg 𝜑 = 𝑦 𝑥 з (1) ⇒ cos 𝜑 = cos sin 𝜑 = 𝑥 +𝑦 𝑥 = 𝑟 𝑦 = 𝑟 𝑥 𝑥 +𝑦 𝑦 𝑥 +𝑦 Arg 𝑧 визначається з точністю до доданка, кратного 2𝜋: Arg 𝑧 = arg 𝑧 + 2𝜋𝑘 (𝑘 = 0; ±1; ±2; … ), де arg 𝑧 — головне значення Arg 𝑧, визначене умовою: −𝜋 < arg 𝑧 ≤ 𝜋 1 𝑦 arctg , якщо 𝑥 > 0; ⎧ 𝑥 ⎪ 𝑦 ⎪ π + arctg , якщо 𝑥 < 0, 𝑦 ≥ 0; 𝑥 ⎪ 𝑦 arg 𝑧 = −𝜋 + arctg , якщо 𝑥 < 0, 𝑦 < 0; 𝑥 ⎨ 𝜋 ⎪ , якщо 𝑥 = 0; 𝑦 > 0; ⎪ 2 𝜋 ⎪ − , якщо 𝑥 = 0; 𝑦 < 0. ⎩ 2 𝑧 = 𝑧 ⇒ |𝑧 | = |𝑧 |; Arg 𝑧 = Arg 𝑧 + 2𝜋𝑛. (𝑛 = 0; ±1; ±2; … ). 3) Дії з КЧ. 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ; ①. 𝑧 +𝑧 = ②. 𝑧 −𝑧 = ③. 𝑧 ∙𝑧 = 𝑧 =𝑥 +𝑦 . 𝑧 ∙ 𝑧̅ = 𝑥 + 𝑦 = |2| . ④. 𝑧 𝑧 𝑧 = 𝑧 |𝑧 | 𝑧 ≠0 з (1) тр. ф. 4) 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑟 cos 𝜑 + 𝑖𝑟 sin 𝜑 = 𝑟 (cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑) ф-ла Ейлера Приклад 𝜋 𝜋 1 + 𝑖 = √2 cos + 𝑖 sin 4 4 𝑦 𝑖 𝜋 4 1 𝑥 2 𝑖 = 1 ∙ cos 𝜋 𝜋 + 𝑖 sin 2 2 розглянувши всі малюнки! 1 = 1 ∙ (cos 0 + 𝑖 sin 0) −3𝑖 = 3 cos − −2 = 2 ∙ (cos 𝜋 + 𝑖sinπ) 5) 𝑒 𝜋 𝜋 + 𝑖 sin − 2 2 = cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑 — формула Ейлера — показник функції 𝑧 = 𝑟𝑒 Приклад 1 + 𝑖 = √2𝑒 ; з 3) 𝑖=𝑒 ; −1 = 𝑒 . 𝑧 = 𝑟 (cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑) ⇒ 𝑧 = 𝑟 (cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin 𝜑), тобто |𝑧 | = |𝑧| , Arg (𝑧 ) = 𝑛Arg 𝑧 + 2𝑘𝜋, де 𝑘 = ∀ 𝜖 𝑧 (𝑘 = 0; ±1; ±2; … ). 6) Обчислити корінь 𝑛-ного ступеня з числа 𝑧 — означає: Знайти таке число 𝜔 = √𝑧, n-а ступінь якого = 𝑧. |𝜔| = |𝑧|; 𝑛Arg ω = Arg 𝑧 + 2𝜋𝑘 (𝑘 = 0; ±1; ±2; … ). Нехай 𝑧 = 𝑟 (cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑) 𝜌 = 𝑟; 𝜔 = 𝜌 (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) 𝑛𝜃 = 𝜑 + 2𝜋𝑘 (𝑘 = 0; ±1; ±2; … ) 𝜌 = √𝑟 𝜃= 𝜑 + 2𝜋𝑘 𝑛 3 Звідки: √𝑧 = 𝑟(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑) = √𝑟 cos 𝜑 + 2𝜋𝑘 𝜑 + 2𝜋𝑘 + 𝑖 sin 𝑛 𝑛 Приклад Обчислити √−8. −8 = 8 (cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋), звідкіля √−8 = √8 ∙ cos 𝜋 + 2𝜋𝑘 𝜋 + 2𝜋𝑘 + 𝑖 sin . 3 3 При 𝑘 = 0; 1; 2 отримаємо 1 + 𝑖 3; √−8 = −2; 1 − 𝑖√3. 4