физический и геометрический смысл производной

Геометрический и физический
смысл производной
Геометрический смысл производной
Пример: Найти уравнение касательной и нормали для функции f(x)=x2 в
точке x0 = 3.
Решение:
𝑦 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 − уравнение касательной
1
𝑦 = 𝑓 𝑥0 − ′
𝑥 − 𝑥0 −уравнение нормали
𝑓 𝑥0
𝑓 𝑥0 = 𝑓 3 = 32 = 9
𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥
𝑓 ′ 𝑥0 = 2 ∙ 3 = 6
𝑦к = 9 + 6 ∙ 𝑥 − 3 = 9 + 6𝑥 − 18 = 6𝑥 − 9
1
1
1
1
1
𝑦н = 9 − ∙ 𝑥 − 3 = 9 − 𝑥 + = − 𝑥 − 9
6
6
2
6
2
Ответ:
10.06.2024
𝑦к = 6𝑥 − 9
1
1
𝑦н = − 𝑥 + 9 .
6
2
Физический (механический) смысл производной
Пример: Точка движется прямолинейно по закону
S(t) = 2 t ³ - 3 t. Вычислите скорость движения точки:
а) в момент времени t;
б) в момент времени t=2с.
Решение:
а)
v(t )  s(t )  (2t  3t )  2  3t  3 1  6t  3
3
2
2
v
(
2
)

6

2
 3  21( м / c)
б)
Ответ: V(t)=6t2-3; V(2)=21 м/с
2
Физический (механический) смысл производной
Пример: Материальная точка движется
по закону 9
2
S (t )  t  7t  6 (м).
Найти
2
В какой момент времени (с) скорость
точки будет равна 12,8 м/c ?
Решение:
S’(t)  V(t)
Найти
S (t )  9t  7  V (t ) V (t )  12,8
9t  7  12,8
9t  19,8 t = 2,2 (с).
Физический (механический) смысл производной
Пример: Материальная точка движется прямолинейно по
закону х(t)=t³- 4t²
Найдите скорость и ускорение в момент времени t=5с.
Решение:
v(t )  ( x(t ))  3t 2  4  2t  3t 2  8t
v(5)  3  5  8  5  75  40  35( м / с)
2
2

a(t )  (v(t ))  (3t  8t )  6t  8
a(5)  6  5  8  22( м / с )
2
Ответ: V(5)=35 м/c; a(5)=22 м/с2
Физический (механический) смысл производной
x(t )  (t 1)3 , где t  0;10
1. Найти среднюю скорость движения на указанном отрезке
𝑥(10) − 𝑥(0)
𝜐𝑐𝑝 =
10 − 0
2. Найти
93мгновенную
− (−1)3 скорость
730 в момент времени t=3 сек.
=
=
=
73
м
с
2
𝜐(𝑡) = 𝑥′(𝑡) =10
3(𝑡 − 1)
10
𝜐мгн = 𝜐(3) = 3(3 − 1)2 = 3 ⋅ 4 = 12 м с
3. Найти ускорение при t=3 сек
a(t )   ' (t )  6(t  1)
Ответ: Vср=73 м/с;
a(3)  12 м 2
V(3)=12 м/c; a(3)=12 м/с2
с
S, км
B
45
III
C
Физический (механический) смысл
производной
Определите среднюю скорость
движения
на каждом из
четырех участков :
II
IV
A
10
I
D
0
1
3
𝐼: 𝑉ср =
10 − 0 10
=
= 10 км ч
1−0
1
𝐼𝐼: 𝑉ср =
45 − 10 35
=
= 17.5 км ч
3−1
2
3,5
8
𝐼𝐼𝐼: 𝑉ср =
45 − 45
0
=
= 0 км ч
3,5 − 3 0,5
𝐼𝑉: 𝑉ср =
45 − 0
45
=
= 10 км ч
8 − 3.5 4.5
t, ч
Физический (механический) смысл производной
Пример: Две материальные
точки
движутся
прямолинейно
по законам s1(t) = 1 - 6t + 2,5t 2 и
s2(t) = -3+ 2t + 0,5t 2. Определить в какой момент времени
скорости их
будут равны.
Решение:
1) V1 (t )  (2.5t 2  6t  1)'  5t  6
(формула нахождения скорости движения 1 тела )
2) V2 (t )  (0.5t 2  2t  3)'  t  2
(формула нахождения скорости движения 2 тела )
подсказка
v(t )  S (t )
3) по условию в момент времени t 0
их скорости равны, т.е.
5t 0  6  t 0  2
t0  2
Ответ: при t0 = 2 с.
Физический (механический) смысл производной
Задача по химии
Пример: Пусть количество вещества, вступившего в
химическую реакцию задается зависимостью р( t ) = t 2/2 +
3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3
секунды.
РЕШЕНИЕ:
1) v( t ) = p`( t ) = t + 3,
2) v(3) = p`(3) = 3 + 3 = 6 (моль/сек)
подсказка
v(t )  Р(t )
Ответ: 6 моль / сек
Физический (механический) смысл производной
Пример: Тело, подброшенное вверх движется
по закону s(t) = 4+ 8t – 5t 2 . Найдите:
1) скорость тела в начальный момент времени;
2) наибольшую высоту подъёма тела.
РЕШЕНИЕ:
1) v (t) = s’(t) = 8 – 10t - скорость тела;
2) t= 0, v(0) = s’(0) = 8 м/с – скорость тела в
начальный момент времени
подсказка
v(t )  S (t )
3) s (0,8)= 4+ 8·0,8 – 5· 0,64
=7,2 м – максимальная
высота броска тела.
Ответ: 8 м/с ; 7,2 м.
УСТНО!
Задача по физике
Точка движется прямолинейно по закону
S (t) = t3 – 2t2.
Выберите какой из формул задается скорость
движения точки в момент времени t.
S (t )  v(t )
1) 3t2 – 2; 2) t2 – 4t; 3)3t2 – 4t; 4) t4 – 2t3
Ответ: 3
УСТНО!
Задача по экономике
Объем продукции V цеха в течение дня
зависит от времени по
V(t) = -5/3t3+15/2t2+50t+70.
Вычислите производительность труда П(t).
V (t )  П (t ).
Ответ: П(t) = -5t2+15t+50
Домашнее задание
1. Тело движется прямолинейно по закону 𝑠 𝑡 = 3 + 3𝑡 + 2𝑡 2 (м).
Определите его скорость и ускорение в момент времени t = 5 с.
2. Тело, массой 0,5кг движется прямолинейно по закону 𝑠 𝑡 = 4 − 2𝑡 +
3𝑡 2 (м). Найдите кинетическую энергию тела через 4 с после начала
движения, а также значение силы F , действующей на тело.
3. Напишите уравнение касательной и уравнение нормали к графику
функции 𝑓 𝑥 = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥 − 2 в точке 𝑥0 = −2.
10.06.2024
13