Практическая работа №8 по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» 1. При автоматической прессовке болванок 2/3 их общего числа не имеют зазубрин. Найти вероятность того, что из 450 взятых наудачу болванок число болванок без зазубрин заключено между 280 и 320. Решение 𝑛 = 450 2 𝑝= 3 2 1 𝑞 =1− = 3 3 𝑚1 = 280 𝑚2 = 320 2 1 𝑛𝑝𝑞 = 450 ∙ ∙ = 100 3 3 𝑛𝑝𝑞 > 10 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) ≈ Ф(х2 ) − Ф(х1 ) 2 𝑚1 − 𝑛𝑝 280 − 450 ∙ 3 𝑥1 = = = −2 𝑛𝑝𝑞 √ √450 ∙ 2 ∙ 1 3 3 2 𝑚2 − 𝑛𝑝 320 − 450 ∙ 3 𝑥2 = = =2 √𝑛𝑝𝑞 2 1 √450 ∙ ∙ 3 3 Ф(х2 ) = Ф(2) ≈ 0,4772 Ф(х1 ) = Ф(−2) = −Ф(2) ≈ −0,4772 𝑃450 (280 ≤ 𝑚 ≤ 320) ≈ Ф(х2 ) − Ф(х1 ) ≈ Ф(2) − (−Ф(2)) ≈ 0,4772 + 0,4772 ≈ 𝟎, 𝟗𝟓𝟒𝟒 2. Штамповка клемм для соединительных пластин дает 20 % брака. Определить вероятность наличия от 100 до 125 клемм, не соответствующих стандарту, в партии из 600 клемм. Решение 𝑛 = 600 1 𝑝= 5 1 4 𝑞 =1−𝑝 =1− = 5 5 𝑚1 = 100 𝑚2 = 125 1 4 𝑛𝑝𝑞 = 600 ∙ ∙ = 96 5 5 𝑛𝑝𝑞 > 10 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) ≈ Ф(х2 ) − Ф(х1 ) 1 𝑚1 − 𝑛𝑝 100 − 600 ∙ 5 𝑥1 = = = −2,04 √𝑛𝑝𝑞 1 4 √600 ∙ ∙ 5 5 1 𝑚2 − 𝑛𝑝 125 − 600 ∙ 5 𝑥2 = = = 2,55 √𝑛𝑝𝑞 1 4 √600 ∙ ∙ 5 5 Ф(х2 ) = Ф(0,51) ≈ 0,1950 Ф(х1 ) = Ф(−2,04) = −Ф(2,04) ≈ −0,4793 𝑃600 (100 ≤ 𝑚 ≤ 125) ≈ Ф(х2 ) − Ф(х1 ) ≈ Ф(0,51) − (−Ф(2,04)) ≈ 0,1950 + 0,4793 ≈ 𝟎, 𝟔𝟕𝟒𝟑 3. На поле посеяно 1500 семян. Найти вероятность того, что всходы дадут 1200 семян, если вероятность того, что зерно взойдет, равна 0,9. Решение 𝑛 = 1500 𝑚 = 1200 𝑝 = 0,9 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,9 = 0,1 𝑛𝑝𝑞 = 1500 ∙ 0,9 ∙ 0,1 = 135 𝑛𝑝𝑞 > 10 1 𝑃𝑛 (𝑚) ≈ ∙ 𝜑(𝑥) √𝑛𝑝𝑞 𝑚 − 𝑛𝑝 1200 − 1500 ∙ 0,9 𝑥= = = −12,91 √1500 ∙ 0,9 ∙ 0,1 √𝑛𝑝𝑞 Т.к. 𝑥 > 5, то 𝜑(𝑥) = 0 1 𝑃1500 (1200) ≈ ∙0=𝟎 √1500 ∙ 0,9 ∙ 0,1 4. В лаборатории из партии семян, имеющих всхожесть 90 %, высеяно 600 семян. Найти вероятность того, что число семян, давших всходы, не менее 520 и не более 570. Решение 𝑛 = 600 𝑝 = 0,9 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,9 = 0,1 𝑚1 = 520 𝑚2 = 570 𝑛𝑝𝑞 = 600 ∙ 0,9 ∙ 0,1 = 54 𝑛𝑝𝑞 > 10 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) ≈ Ф(х2 ) − Ф(х1 ) 𝑚1 − 𝑛𝑝 520 − 600 ∙ 0,9 𝑥1 = = = −2,72 √600 ∙ 0,9 ∙ 0,1 √𝑛𝑝𝑞 𝑚2 − 𝑛𝑝 570 − 600 ∙ 0,9 𝑥2 = = = 4,08 600 ∙ 0,9 ∙ 0,1 𝑛𝑝𝑞 √ √ Ф(х2 ) = Ф(4,08) ≈ 0,4999 Ф(х1 ) = Ф(−2,72) = −Ф(2,72) ≈ −0,4767 𝑃600 (520 ≤ 𝑚 ≤ 570) ≈ Ф(х2 ) − Ф(х1 ) ≈ Ф(4,08) − (−Ф(2,72)) ≈ 0,4999 + 0,4767 ≈0,9766 5. Из партии, в которой доля первосортных деталей равна 0,8, отобрано 60. Определить вероятность того, что 30 среди отобранных окажутся деталями первого сорта. Решение 𝑛 = 60 𝑚 = 30 𝑝 = 0,8 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,8 = 0,2 𝑛𝑝𝑞 = 60 ∙ 0,8 ∙ 0,2 = 9,6 𝑃𝑛 (𝑚) ≈ 1 ∙ 𝜑(𝑥) √𝑛𝑝𝑞 𝑚 − 𝑛𝑝 30 − 60 ∙ 0,8 𝑥= = = −5,81 60 ∙ 0,8 ∙ 0,2 𝑛𝑝𝑞 √ √ Т.к 𝑥 > 5, то 𝜑(𝑥) = 0 𝑃60 (30) = 1 ∙0=𝟎 √60 ∙ 0,8 ∙ 0,2 6. Средний процент нарушений кинескопов у телевизоров в течение гарантийного срока равен 12 %. Вычислить вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров более 36 выдержат гарантийный срок. Решение 𝑛 = 46 𝑞 = 0,12 𝑝 = 1 − 𝑞 = 1 − 0,12 = 0,88 𝑚1 = 37 𝑚2 = 46 𝑛𝑝𝑞 = 46 ∙ 0,88 ∙ 0,12 = 4,8576 7. Стрелок сделал 30 выстрелов с вероятностью попадания при отдельном выстреле 0,3. Найти вероятность того, что при этом будет 8 попаданий. Решение 𝑛 = 30 𝑚=8 𝑝 = 0,3 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,3 = 0,7 𝑛𝑝𝑞 = 30 ∙ 0,3 ∙ 0,7 = 6,3 𝑛𝑝𝑞 < 10 Т.к. 𝑛𝑝𝑞 < 10, воспользуемся формулой Бернулли: 𝑃𝑛 (𝑚) = 𝐶𝑛𝑚 ∙ 𝑝𝑚 ∙ 𝑞 𝑛−𝑚 30! 8 𝑃30 (8) = 𝐶30 ∙ 0,38 ∙ 0,730−8 = ∙ 0,38 ∙ 0,722 ≈ 𝟎, 𝟏𝟓𝟎𝟏 8! ∙ 22! 8. В некотором пруду 80 % рыбы составляют карпы. Какова вероятность того, что из 9 выловленных 2 рыбы окажутся карпами? Решение 𝑝 = 0,8 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,8 = 0,2 𝑛=9 𝑚=2 𝑛𝑝𝑞 = 9 ∙ 0,8 ∙ 0,2 = 1,44 Удобно воспользоваться формулой Бернулли: 𝑃𝑛 (𝑚) = 𝐶𝑛𝑚 ∙ 𝑝𝑚 ∙ 𝑞 𝑛−𝑚 9! 𝑃9 (2) = 𝐶92 ∙ 0,82 ∙ 0,29−2 = ∙ 0,82 ∙ 0,27 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟗 2! ∙ 7! 9. При установившемся технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 70 % продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что из тысячи выбранных изделий первосортных будет не менее 652 и не более 760? Решение 𝑛 = 1000 𝑝 = 0,7 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,7 = 0,3 𝑚1 = 652 𝑚2 = 760 𝑛𝑝𝑞 = 1000 ∙ 0,7 ∙ 0.3 = 210 𝑛𝑝𝑞 > 10 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) 𝑚1 − 𝑛𝑝 652 − 1000 ∙ 0,7 𝑥1 = = = −3,31 1000 ∙ 0,7 ∙ 0,3 𝑛𝑝𝑞 √ √ 𝑚2 − 𝑛𝑝 760 − 1000 ∙ 0,7 𝑥2 = = = 4,14 √1000 ∙ 0,7 ∙ 0,3 √𝑛𝑝𝑞 Ф(𝑥2 ) = Ф(4,14) = 0,4999 Ф(𝑥1 ) = Ф(−3,31) = −Ф(3,31) = −0,4995 𝑃1000 (652 ≤ 𝑚 ≤ 760) = Ф(4,14) − Ф(−3,31) = 0,4999 + 0,4995 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟒 10. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных гербом вверх, будет от 45 до 55? Решение 𝑛 = 100 1 𝑝= 2 1 1 𝑞 =1−𝑝 =1− = 2 2 𝑚1 = 45 𝑚2 = 55 1 1 𝑛𝑝𝑞 = 100 ∙ ∙ = 25 2 2 𝑛𝑝𝑞 > 10 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) 1 𝑚1 − 𝑛𝑝 45 − 100 ∙ 2 𝑥1 = = = −1 √𝑛𝑝𝑞 1 1 √100 ∙ ∙ 2 2 1 𝑚2 − 𝑛𝑝 55 − 100 ∙ 2 𝑥2 = = =1 √𝑛𝑝𝑞 1 1 √100 ∙ ∙ 2 2 Ф(𝑥2 ) = Ф(1) = 0,3413 Ф(𝑥1 ) = Ф(−1) = −Ф(1) = −0,3413 𝑃100 (45 ≤ 𝑚 ≤ 55) = Ф(1) − Ф(−1) = 0,3413 + 0,3413 = 𝟎, 𝟔𝟖𝟐𝟔 11. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян проросших будет от 790 до 830. Решение 𝑛 = 900 𝑝 = 0,9 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,9 = 0,1 𝑚1 = 790 𝑚2 = 830 𝑛𝑝𝑞 = 900 ∙ 0,9 ∙ 0,1 = 100 𝑛𝑝𝑞 > 10 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) 𝑚1 − 𝑛𝑝 790 − 900 ∙ 0,9 𝑥1 = = = −2,22 √900 ∙ 0,9 ∙ 0,1 √𝑛𝑝𝑞 𝑚2 − 𝑛𝑝 830 − 900 ∙ 0,9 𝑥2 = = = 0,4868 √900 ∙ 0,9 ∙ 0,1 √𝑛𝑝𝑞 Ф(𝑥2 ) = Ф(2,22) = 0,3413 Ф(𝑥1 ) = Ф(−2,22) = −Ф(2,22) = −0,4868 𝑃900 (790 ≤ 𝑚 ≤ 830) = Ф(2,22) − Ф(−2,22) = 0,4868 + 0,4868 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟑𝟔 12. Вероятность поражения стрелком мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз. Решение 𝑛 = 100 𝑝 = 0,75 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,75 = 0,25 𝑛𝑝𝑞 = 100 ∙ 0,75 ∙ 0,25 = 18,75 𝑛𝑝𝑞 > 10 а)𝑚1 = 70 𝑚2 = 80 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) 𝑚1 − 𝑛𝑝 70 − 100 ∙ 0,75 𝑥1 = = = −1,15 √100 ∙ 0,75 ∙ 0,25 √𝑛𝑝𝑞 𝑚2 − 𝑛𝑝 80 − 100 ∙ 0,75 𝑥2 = = = 1,15 √100 ∙ 0,75 ∙ 0,25 √𝑛𝑝𝑞 Ф(𝑥2 ) = Ф(1,15) = 0,3749 Ф(𝑥1 ) = Ф(−1,15) = −Ф(2,22) = −0,3749 𝑃100 (70 ≤ 𝑚 ≤ 80) = Ф(1,15) − Ф(−1,15) = 0,3749 + 0,3749 = 𝟎, 𝟕𝟒𝟗𝟖 б)𝑚1 = 0 𝑚2 = 70 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑚1 − 𝑛𝑝 √𝑛𝑝𝑞 𝑚2 − 𝑛𝑝 √𝑛𝑝𝑞 = = 0 − 100 ∙ 0,75 √100 ∙ 0,75 ∙ 0,25 70 − 100 ∙ 0,75 √100 ∙ 0,75 ∙ 0,25 = −17,32 = −1,15 Ф(𝑥2 ) = −Ф(1,15) = −0,3749 Ф(𝑥1 ) = Ф(−17,32) = −Ф(17,32) = −0,5 𝑃100 (0 ≤ 𝑚 ≤ 70) = Ф(1,15) − Ф(−17,32) = −0,3749 + 0,5 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟓𝟏 13. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что а) из 200 новорожденных будет 95 девочек; б) из 1000 новорожденных будет от 455 до 545 мальчиков. Решение 𝑝1 = 0,515 − Рождение мальника 𝑝2 = 1 − 𝑝1 = 1 − 0,515 = 0,485 − Рождение девочки а) 𝑛 = 200 𝑝 = 𝑝2 = 0,485 𝑞 = 1 − 𝑝2 = 1 − 0,485 = 0,515 𝑚 = 95 𝑛𝑝𝑞 = 200 ∙ 0,485 ∙ 0,515 = 49,955 𝑛𝑝𝑞 > 10 𝑥= 𝑚 − 𝑛𝑝 95 − 200 ∙ 0,485 = −0,28 √200 ∙ 0,485 ∙ 0,515 √𝑛𝑝𝑞 𝜑(𝑥) = 𝜑(−0,28) = 𝜑(0,28) = 0,3836 𝑃𝑛 (𝑚) = = 1 √𝑛𝑝𝑞 𝑃200 (95) = ∙ 𝜑(𝑥) 1 √200 ∙ 0,485 ∙ 0,515 ∙ 0,3836 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟒 б)𝑛 = 1000 𝑝 = 𝑝1 = 0,515 𝑞 = 𝑝2 = 0,485 𝑛𝑝𝑞 = 1000 ∙ 0,515 ∙ 0,485 = 249,775 𝑛𝑝𝑞 > 10 𝑚1 = 455 𝑚2 = 545 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) 𝑚1 − 𝑛𝑝 455 − 1000 ∙ 0,515 𝑥1 = = = −3,85 𝑛𝑝𝑞 √1000 ∙ 0,515 ∙ 0,485 √ 𝑚2 − 𝑛𝑝 545 − 1000 ∙ 0,515 𝑥2 = = = 1,9 √1000 ∙ 0,515 ∙ 0,485 √𝑛𝑝𝑞 Ф(𝑥2 ) = Ф(1,9) = 0,4713 Ф(𝑥1 ) = Ф(−3,85) = −Ф(3,85) = −0,4999 𝑃1000 (455 ≤ 𝑚 ≤ 545) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) = Ф(1,9) − Ф(−3,85) = = 0,4713 + 0,4999 = 0,9712 14. Известно, что в среднем 60 % от всего числа изготовляемых телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется: а) 6 аппаратов первого сорта, если партия содержит 10 аппаратов; б) 120 аппаратов первого сорта, если партия содержит 200 аппаратов? Решение а)𝑝 = 0,6 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,6 = 0,4 𝑛 = 10 𝑚=6 𝑛𝑝𝑞 = 10 ∙ 0,6 ∙ 0,4 = 2,4 𝑛𝑝𝑞 < 10 𝑃𝑛 (𝑚) = 1 ∙ 𝜑(𝑥) √𝑛𝑝𝑞 𝑚 − 𝑛𝑝 6 − 10 ∙ 0,6 𝑥= = =0 √10 ∙ 0,6 ∙ 0,4 √𝑛𝑝𝑞 𝜑(𝑥) = 𝜑(0) = 0,3989 𝑃10 (6) = 1 √10 ∙ 0,6 ∙ 0,4 ∙ 0,3989 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟕 б)𝑝 = 0,6 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,6 = 0,4 𝑛 = 200 𝑚 = 120 𝑛𝑝𝑞 = 200 ∙ 0,6 ∙ 0,4 = 48 𝑛𝑝𝑞 > 10 1 𝑃𝑛 (𝑚) = ∙ 𝜑(𝑥) √𝑛𝑝𝑞 𝑚 − 𝑛𝑝 120 − 200 ∙ 0,6 𝑥= = =0 √200 ∙ 0,6 ∙ 0,4 √𝑛𝑝𝑞 𝜑(𝑥) = 𝜑(0) = 0,3989 𝑃10 (6) = 1 √200 ∙ 0,6 ∙ 0,4 ∙ 0,3989 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟕 15. Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 50 % студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят: а) 180 студентов; б) не менее 180 студентов. Решение 𝑛 = 400 1 𝑝= 2 1 1 𝑞 =1−𝑝 =1− = 2 2 а) 𝑚 = 180 1 1 𝑛𝑝𝑞 = 400 ∙ ∙ = 100 2 2 𝑛𝑝𝑞 > 10 𝑃𝑛 (𝑚) = 1 √𝑛𝑝𝑞 ∙ 𝜑(𝑥) 1 2 = −2 𝑥= = √𝑛𝑝𝑞 √400 ∙ 1 ∙ 1 2 2 𝜑(𝑥) = 𝜑(−2) = 𝜑(2) = 0,054 𝑚 − 𝑛𝑝 𝑃400 (180) = 180 − 400 ∙ 1 √400 ∙ 1 ∙ 1 2 2 ∙ 0,054 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟒 б) 𝑚1 = 180 𝑚2 = 400 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) 1 2 = −2 𝑥1 = = √𝑛𝑝𝑞 √400 ∙ 1 ∙ 1 2 2 1 𝑚2 − 𝑛𝑝 400 − 400 ∙ 2 𝑥2 = = = 20 √𝑛𝑝𝑞 1 1 √400 ∙ ∙ 2 2 𝑚1 − 𝑛𝑝 180 − 400 ∙ Ф(𝑥2 ) = Ф(20) = 0,5 Ф(𝑥1 ) = Ф(−2) = −Ф(2) = −0,4772 𝑃400 (180 ≤ 𝑚 ≤ 400) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) = 0,5 + 0,4772 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟕𝟐 16. При обследовании уставных фондов банков выявлено, что пятая часть банков имеет уставной фонд свыше 100 млн. руб. Найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб.: а) не менее 300; б) от 300 до 400 включительно. Решение 𝑛 = 1800 1 𝑝= 5 1 4 𝑞 =1− = 5 5 1 4 𝑛𝑝𝑞 = 1800 ∙ ∙ = 288 5 5 𝑛𝑝𝑞 > 10 а) 𝑚1 = 300 𝑚2 = 1800 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) 1 5 = −3,54 𝑥1 = = √𝑛𝑝𝑞 √1800 ∙ 1 ∙ 4 5 5 1 𝑚2 − 𝑛𝑝 1800 − 1800 ∙ 5 𝑥2 = = = 84,85 √𝑛𝑝𝑞 1 4 √1800 ∙ ∙ 5 5 𝑚1 − 𝑛𝑝 300 − 1800 ∙ Ф(𝑥2 ) = Ф(84,85) = 0,5 Ф(𝑥1 ) = Ф(−3,54) = −Ф(3,54) = −0,4997 𝑃1800 (300 ≤ 𝑚 ≤ 1800) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) = 0,5 + 0,4992 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟐 б) 𝑚1 = 300 𝑚2 = 400 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) 1 5 = −3,54 𝑥1 = = √𝑛𝑝𝑞 √1800 ∙ 1 ∙ 4 5 5 1 𝑚2 − 𝑛𝑝 400 − 1800 ∙ 5 𝑥2 = = = 2,36 𝑛𝑝𝑞 √ √1800 ∙ 1 ∙ 4 5 5 300 − 1800 ∙ 𝑚1 − 𝑛𝑝 Ф(𝑥2 ) = Ф(2,36) = 0,4909 Ф(𝑥1 ) = Ф(−3,54) = −Ф(3,54) = −0,4997 𝑃1800 (300 ≤ 𝑚 ≤ 1800) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) = 0,4909 + 0,4992 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟎𝟏 17. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 750 покупателей не более 120 потребуют обувь этого размера. Решение 𝑛 = 750 𝑝 = 0,2 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,2 = 0,8 𝑚1 = 0 𝑚2 = 120 𝑛𝑝𝑞 = 750 ∙ 0,2 ∙ 0,8 = 120 𝑛𝑝𝑞 > 10 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑚1 − 𝑛𝑝 √𝑛𝑝𝑞 𝑚2 − 𝑛𝑝 √𝑛𝑝𝑞 = = 0 − 750 ∙ 0,2 √750 ∙ 0,2 ∙ 0,8 120 − 750 ∙ 0,2 √750 ∙ 0,2 ∙ 0,8 = −13,69 = −2,73 Ф(𝑥1 ) = Ф(−8,84) = −Ф(8,84) = −0,5 Ф(𝑥2 ) = Ф(−1,77) = −Ф(1,77) = −0,4969 𝑃750 (0 ≤ 𝑚 ≤ 120) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) = −0,4969 + 0,5 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 18. Предприятие имеет 2400 агрегатов. В каждый агрегат входит некоторая деталь, вероятность выхода, из строя которой за некоторое время равна 1/6. Исходя из этого, отдел снабжения заготовил за данное время 400 запасных деталей этого типа. Найти вероятность того, что такое количество запасных деталей обеспечит бесперебойную работу всех этих агрегатов в течение этого времени. Решение 𝑛 = 2400 1 𝑝= 6 1 5 𝑞 =1−𝑝 =1− = 6 6 𝑚1 = 400 𝑚2 = 2400 5 1 𝑛𝑝𝑞 = 2400 ∙ ∙ = 333,33 6 6 𝑛𝑝𝑞 > 10 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) 1 6 = −8,84 𝑥1 = = √2400 ∙ 0,2 ∙ 0,8 √𝑛𝑝𝑞 𝑚2 − 𝑛𝑝 120 − 750 ∙ 0,2 𝑥2 = = = −1,77 1800 ∙ 0,2 ∙ 0,8 𝑛𝑝𝑞 √ √ 𝑚1 − 𝑛𝑝 400 − 2400 ∙ Ф(𝑥1 ) = Ф(−8,84) = −Ф(8,84) = −0,5 Ф(𝑥2 ) = Ф(−1,77) = −Ф(1,77) = −0,4616 𝑃750 (0 ≤ 𝑚 ≤ 120) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) = −0,4616 + 0,5 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟖𝟒 19. Вероятность изделия быть бракованным равна 0,05. Сколько изделий надо взять, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9, среди них оказалось не менее 50 бракованных? Решение 𝑝 = 0,05 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,05 = 0,95 𝑚1 = 50 𝑚2 = 𝑛 𝑃𝑛 (50 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛) ≥ 0,9 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑚1 − 𝑛𝑝 √𝑛𝑝𝑞 𝑚2 − 𝑛𝑝 √𝑛𝑝𝑞 = = 50 − 𝑛 ∙ 0,05 √𝑛 ∙ 0,05 ∙ 0,95 𝑛 − 𝑛 ∙ 0,05 √𝑛 ∙ 0,05 ∙ 0,95 Примем значение 𝑛 = 50: 50 − 50 ∙ 0,05 Ф(𝑥2 ) = Ф ( ) = Ф(30,4) = 0,5 √50 ∙ 0,05 ∙ 0,95 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) Ф(х1 ) = Ф(𝑥2 ) − 𝑃𝑛 (50 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛) = 0,5 − 0,9 = −0,4 𝑥1 = −1,28 50 − 𝑛 ∙ 0,05 ≥ −1,28 √𝑛 ∙ 0,05 ∙ 0,95 𝑛 ≥ 𝟏𝟏𝟗𝟒 20. Вероятность того, что деталь стандартна, равна р = 0,9. Найти: а) с вероятностью 0,9545 границы, в которых заключена доля стандартных среди проверенных 900 деталей; б) вероятность того, что доля нестандартных деталей среди них заключена в пределах от 0,09 до 0,11. Решение 𝑝 = 0,9 𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,1 𝑛 = 900 𝑃𝑛 (𝑚) = 0,9545 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 𝑃𝑛 (𝑚) 𝑝∙𝑞 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 0,9545 𝑝∙𝑞 Ф (𝜀 ∙ √ 𝜀∙√ 𝑛 ) ≈ 0,47725 𝑝∙𝑞 𝑛 ≈ 1,97 𝑝∙𝑞 𝜀 ≈ 0,2 𝑚 − 𝑝| ≤ 𝜀 𝑛 𝒎 𝟎, 𝟖𝟖 ≤ ≤ 𝟎, 𝟗𝟐 𝒏 21. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04? Решение 𝑝 = 0,7 𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,3 𝑃𝑛 (𝑚) = 0,996 | 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 𝑃𝑛 (𝑚) 𝑝∙𝑞 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 0,996 𝑝∙𝑞 Ф (𝜀 ∙ √ 𝑛 ) ≈ 0,498 𝑝∙𝑞 Ф(𝑥) ≈ 0,498 𝑥 = 2,88 𝜀∙√ 𝑛 ≤ 2,88 𝑝∙𝑞 0,04 ∙ √ 𝑛 ≤ 2,88 0,7 ∙ 0,3 𝒏 ≈ 𝟏𝟎𝟖𝟗 22. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6. Найти: а) границы числа попаданий в мишень при 600 выстрелах, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,993; б) такое число выстрелов по мишени, при котором с вероятностью 0,993 можно ожидать, что отклонение частоты попаданий от вероятности 0,6 не превзойдет 0,03. Решение 𝑝 = 0,6 𝑞 = 1 − 𝑝 = 0,4 𝑛 = 600 а) 𝑃𝑛 (𝑚) = 0,993 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 𝑃𝑛 (𝑚) 𝑝∙𝑞 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 0,993 𝑝∙𝑞 Ф (𝜀 ∙ √ 𝜀∙√ 𝑛 ) ≈ 0,4965 𝑝∙𝑞 𝑛 ≈ 2,7 𝑝∙𝑞 50 ∙ 𝜀 ≈ 2,7 𝜀 ≈ 0,054 𝑚 − 𝑝| ≤ 𝜀 𝑛 𝟑𝟐𝟖 ≤ 𝒎 ≤ 𝟑𝟗𝟐 | б) 𝜀 = 0,03 𝑝 = 0,6 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,6 = 0,4 𝑃𝑛 (𝑚) = 0,993 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 𝑃𝑛 (𝑚) 𝑝∙𝑞 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 0,993 𝑝∙𝑞 Ф (𝜀 ∙ √ 𝜀∙√ 𝑛 ) ≈ 0,4965 𝑝∙𝑞 𝑛 ≈ 2,7 𝑝∙𝑞 𝒏 ≈ 𝟏𝟗𝟒𝟒 23. Мастерская по гарантийному ремонту телевизоров обслуживает 2000 абонентов. Вероятность того, что купленный телевизор потребует гарантийного ремонта, равна 0,3. Предполагая, что событие, вероятность которого 0,9973, достоверно, найти границы числа телевизоров, которые потребуют гарантийного ремонта. Решение 𝑛 = 2000 𝑝 = 0,3 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,3 = 0,7 𝑃𝑛 (𝑚) = 0,9973 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 𝑃𝑛 (𝑚) 𝑝∙𝑞 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 0,9973 𝑝∙𝑞 Ф (𝜀 ∙ √ 𝜀∙√ 𝑛 ) ≈ 0,49865 𝑝∙𝑞 𝑛 ≈3 𝑝∙𝑞 𝜀 ≈ 0,031 𝑚 − 𝑝| ≤ 𝜀 𝑛 𝟓𝟑𝟖 ≤ 𝒎 ≤ 𝟔𝟔𝟐 24. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях. Решение 𝑝 = 0,2 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,2 = 0,8 𝑃𝑛 (𝑚) = 0,9128 | 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 𝑃𝑛 (𝑚) 𝑝∙𝑞 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 0,9128 𝑝∙𝑞 Ф (𝜀 ∙ √ 𝜀∙√ 𝑛 ) ≈ 0,4564 𝑝∙𝑞 𝑛 ≈ 1,71 𝑝∙𝑞 𝜺 ≈ 𝟎, 𝟎𝟎𝟗𝟔𝟏𝟔 25. Проведено 700 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна 0,7. Найти вероятность того, что частота появления события окажется заключенной между 380 и 600. Решение 𝑛 = 700 𝑝 = 0,7 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,7 = 0,3 𝑚1 = 380 𝑚2 = 600 𝑛𝑝𝑞 = 700 ∙ 0,7 ∙ 0,3 = 147 𝑛𝑝𝑞 > 10 𝑃𝑛 (𝑚1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑚2 ) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑚1 − 𝑛𝑝 √𝑛𝑝𝑞 𝑚2 − 𝑛𝑝 √𝑛𝑝𝑞 = = 380 − 700 ∙ 0,7 √700 ∙ 0,7 ∙ 0,3 600 − 700 ∙ 0,7 √700 ∙ 0,7 ∙ 0,3 = −9,07 = 9,07 Ф(𝑥1 ) = Ф(−9,07) = −Ф(9,07) = −0,5 Ф(𝑥2 ) = Ф(9,07) = Ф(9,07) = 0,5 𝑃700 (380 ≤ 𝑚 ≤ 600) = Ф(𝑥2 ) − Ф(𝑥1 ) = 0,5 − (−0,5) = 𝟏 26. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий отклонение числа изделий первого сорта от наивероятнейшего числа не превысит по абсолютной величине 50, если вероятность появления изделия первого сорта равна 0,7. Решение 27. Вероятность попадания в мишень каждого из 700 выстрелов равна 0,4. Какое максимально возможное отклонение частоты от вероятности попадания при отдельном выстреле можно ожидать с вероятностью 0,997? Решение 𝑛 = 700 𝑝 = 0,4 𝑞 = 1 − 0,4 = 0,6 𝑃𝑛 (𝑚) = 0,997 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 𝑃𝑛 (𝑚) 𝑝∙𝑞 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 0,997 𝑝∙𝑞 Ф (𝜀 ∙ √ 𝜀∙√ 𝑛 ) ≈ 0,4985 𝑝∙𝑞 𝑛 ≈ 2,97 𝑝∙𝑞 𝜺 ≈ 𝟎, 𝟎𝟓𝟒𝟗 28. Сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты, чтобы с вероятностью 0,92 можно было ожидать отклонение частоты выпадения «герба» от теоретической вероятности 0,5 на абсолютную величину, меньшую, чем 0,01? Решение 1 𝑝=𝑞= 2 𝑃𝑛 (𝑚) = 0,92 𝜀 = 0,01 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 𝑃𝑛 (𝑚) 𝑝∙𝑞 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 0,92 𝑝∙𝑞 Ф (𝜀 ∙ √ 𝜀∙√ 𝑛 ) ≈ 0,46 𝑝∙𝑞 𝑛 ≈ 1,76 𝑝∙𝑞 𝒏 ≈ 𝟕𝟕𝟒𝟒 29. Вероятность появления успеха в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное , что бы с вероятностью 0,9876 абсолютная величина отклонения частоты появления успеха от его вероятности 0,8 не превысила . Решение 𝑛 = 400 𝑝 = 0,8 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,8 = 0,2 𝑃𝑛 (𝑚) = 0,9876 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 𝑃𝑛 (𝑚) 𝑝∙𝑞 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 0,9876 𝑝∙𝑞 Ф (𝜀 ∙ √ 𝜀∙√ 𝑛 ) ≈ 0,4938 𝑝∙𝑞 𝑛 ≈ 2,5 𝑝∙𝑞 𝜺 ≈ 𝟎, 𝟎𝟓 30. Найти приближенно границы, в которых число выпадения шестерки будет заключено с вероятностью 0,9973, если игральная кость брошена 80 раз. Решение 1 𝑝= 6 1 5 𝑞 =1−𝑝 =1− = 5 6 𝑛 = 80 𝑃𝑛 (𝑚) = 0,9973 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 𝑃𝑛 (𝑚) 𝑝∙𝑞 𝑛 2Ф (𝜀 ∙ √ ) ≈ 0,9973 𝑝∙𝑞 Ф (𝜀 ∙ √ 𝜀∙√ 𝜀≈ 𝑛 ) ≈ 0,865 𝑝∙𝑞 𝑛 ≈3 𝑝∙𝑞 1 8 𝑚 | − 𝑝| ≤ 𝜀 𝑛 𝟏𝟎 𝟕𝟎 ≤𝒎≤ 𝟑 𝟑
