Применение теории дифференциальных уравнений к исследованию динамики предприятий

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования.
«Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина»
Институт: математики, естествознания и техники
Кафедра: математики и методики её преподавания
Применение теории дифференциальных уравнений к исследованию
динамики предприятий
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
обучающегося 4 курса
по направлению подготовки бакалавриата
01.03.02 Прикладная математика и информатика
направленность (профиль) Компьютерное моделирование экономических
процессов
очной формы обучения
Третьяковой Екатерины Сергеевны
Руководитель:
Мельников Роман Анатольевич,
(канд. педагогических наук, доцент)
___________________
(подпись обучающегося)
___________________
(подпись руководителя)
Елец – 2022
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................................................................................... 3
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ ............................................................................ 6
1.1.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений ................................................................... 6
1.1.1.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах ......................................................... 8
1.1.2.
Дифференциальные уравнения высших порядков ........................................................................ 9
1.2.
Основные понятия экономической теории ........................................................................................... 10
1.3.
Некоторые математические модели на основе теории дифференциальных уравнений ................... 14
1.3.1.
Модель естественного роста .......................................................................................................... 14
1.3.2.
Логистический рост ........................................................................................................................ 15
1.3.3.
Неоклассические модели экономического роста ......................................................................... 20
1.3.4.
Модель Кейгана .............................................................................................................................. 23
ВЫВОД ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ ............................................................................................................................ 25
ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ
ДИНАМИКИ МАЛЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ ..................................................................................................... 26
2.1. Применение простейших дифференциальных уравнений к решению задач с экономическим
содержанием ......................................................................................................................................................... 26
2.1.1. Вычислить производительность труда в момент t0 ............................................................................. 26
2.1.2. Составить модель естественного роста выпуска продукции ............................................................. 26
2.1.3. Вычислить траекторию динамики инфляции ...................................................................................... 27
2.2. Общий вид дифференциального уравнения, описывающего динамику функционирования малого
предприятия .......................................................................................................................................................... 28
2.3.Прогнозирование динамики развития предприятия средствами дифференциальных уравнений .......... 30
2.3.1. Задача о функции спроса ....................................................................................................................... 32
2.3.2. Задача о динамике прибыли предприятия ........................................................................................... 34
2.3.3. Задача о рекламе..................................................................................................................................... 35
2.3.4. Задача о движении фондов .................................................................................................................... 36
ВЫВОД ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ ............................................................................................................................ 38
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................................................................ 39
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ..................................................................................... 41
ВВЕДЕНИЕ
Для планирования поведения сложных динамических экономических
процессов
с
течением
времени
наиболее
удобно
использовать
математические методы. Некоторые процессы на малом промежутке
времени, или же в виду их малого количества прямых или обратных связей
можно прогнозировать методами математической статистики – с помощью
рядов, распределения или выборки и анализа контрольной группы. Однако
для процессов макроэкономики или прогнозирования динамики предприятия
удобнее использовать аппарат дифференциальных уравнений.
Актуальность
имитационном
данной
темы
моделировании,
может
которое
быть
отображена
использует
как
в
аппарат
дифференциальных уравнений в своем программном обеспечении для
расчета и построения графиков динамики, так и в математическом
моделировании движения средств предприятия с течением времени. Так,
например, чтобы исследовать динамику установления уравновешенной цены
на рынке одного товара, используется дифференциальные уравнения. При
изучении конкретных математических, экономических и других задач, часто
создавались методы их решений через дифференциальные уравнения.
Процессы, протекающие с изменением времени, в различных областях науки
изучаются с помощью дифференциальных уравнений, к таким процессам
относится исследование динамики роста национального дохода, отношения
темпов прироста потребления и технологических темпов национального
дохода к динамике воспроизводства, и так далее. Таким образом,
подчеркивается тесная связь теории дифференциальных уравнений с
возможностью её приложения к математическим моделям в экономике.
Данная тема работы была выбрана благодаря широкому спектру
применения дифференциальных уравнений, а также их адаптивности,
позволяющие описать любой процесс, изменяющийся с течением времени не
только из-за внешних влияний, но и под воздействием обратных связей.
3
Основой
для
написания
данной
работы
послужила
систематизация
знаний
по
теория
дифференциальных уравнений.
Цель
работы:
применению
дифференциальных уравнений для решения задач по построению моделей
экономического развития.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие
задачи:
1)
систематизировать знания по теории дифференциальных уравнений;
2)
изучить методы и приёмы решения разных типов дифференциальных
уравнений;
3)
применить аппарат дифференциальных уравнений к построению
математических моделей экономических процессов.
Объект исследования: микроэкономические процессы, отображающие
развитие предприятия.
Предмет исследования: применение дифференциальных уравнений к
изучению динамики предприятия.
Методы исследования:
1) анализ научной и методической литературы;
2) систематизация знаний и теоретическое обобщение;
3) установление аналогий между разными прикладными задачами;
4) решение практических задач.
Практическая значимость:
1) Работа может быть полезна для расширения использования аппарата
дифференциальных уравнений в имитационном моделировании;
2) Работа может быть использована студентами математических и
экономических специальностей для установления меж предметных связей
учебных дисциплин.
Работа содержит введение, две главы, заключение, расположенные на
___ страницах, а также список использованных источников, включающий
_____ наименования.
4
По теме ВКР имеется публикация: статья «Применение теории
дифференциальных уравнений к исследованию динамики предприятий» в
сборнике «Школа молодых ученых: материалы областного профильного
семинара по проблемам естественных наук» 2020 года выпуска.
5
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
1.1.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Одним из возможных определений дифференциального уравнения
является соотношение
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦 (𝑛) ) = 𝐶
(1.1)
связывающее значения независимой переменной x, функцию 𝑦 = 𝑦(𝑥) и её
производные до некоторого порядка 𝑛 ≥ 1. [Филиппов, С.] А порядок
старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком
уравнения.
Уравнением с частными производными является функция, зависящая
от нескольких переменных и включающая в себя собственные частные
производные.
Решением уравнения (1.1) называется функция, определенная на
некотором
интервале,
имеющая
производные
до
порядка
n
и
удовлетворяющая этому уравнению.
Поскольку дифференциальные уравнения могут иметь не единственное
решение, есть несколько видов их представления.
Общее решение – это функция, которая имеет представление в виде
𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) или 𝐹(𝑦, 𝑥, 𝐶) = 0 и имеет одну константу.
Частное решение – это функция, которая на конкретном интервале
(𝛼, 𝛽) при подстановке в уравнение (1.1) обращает его в верное тождество на
данном промежутке.
Пусть дано уравнение:
𝑦′ = (𝑥 − 𝑦)2 + 1.
Его общим решением будет
𝑦=𝑥−
1
𝑥+𝐶
,
где C – произвольная константа. А частным решением:
6
𝑦 = 𝑥.
К этим выводам можно прийти, если выполнить подстановку 𝑢 = 𝑥 −
𝑦, продифференцировать уравнение по x и выполнить преобразования.
Геометрический смысл уравнения 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) может быть определен
как значение производной y' решения, проходящего через точку (x, y) в
области D, где определена функция f, найденная через уравнение 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦)
[Филиппов]. Поскольку 𝑦′ = tan 𝛼, где α – угол наклона касательной к
кривой, проходящей через эту точку, то уравнение 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) определяет в
области D поле направлений.
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦)
{
𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0
Уравнение
вида
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦)
(1.2)
называется
обыкновенным
дифференциальным уравнением первого порядка. 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 – начальное
условие. А система уравнений (1.2) – задачей Коши.
График решения y = y(x) для обыкновенного дифференциального
уравнения первого порядка называется интегральной кривой.
𝑦′ = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦)
(1.3)
Уравнение вида (1.3) называется уравнением с разделяющимися
переменными.
Однородное уравнение, это функция f(x, y), которая для любого 𝑡 ∈ 𝑅
выполняет 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡 𝑚 𝑓(𝑥, 𝑦). То есть является однородной функцией
нулевого измерения.
𝑦′ + 𝑎(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥)
(1.4)
Уравнение (1.4) представляет собой общий вид линейного уравнения
первого порядка. Соответствующее ему линейное однородное уравнение:
𝑑𝑦
+ 𝑎(𝑥)𝑦 = 0
𝑑𝑥
𝑦′ + 𝑎(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥)𝑦 𝛾
(1.5)
Общий вид уравнения Бернулли представлен (1.5), где γ – любое
вещественное число, а функции a(x), b(x) – непрерывны на промежутке (α, β).
7
Случаи γ = 1 и γ = 0 исключаются, поскольку в этих значениях уравнение
(1.4) становится однородным (неоднородным) линейным уравнением.
1.1.1.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называют
уравнения первого порядка, при условии, что его левую часть можно
представить дифференциалом некоторой функции 𝐹(𝑥, 𝑦).
𝑑𝑢 = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
Тогда функция u – потенциал уравнения
𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
Который определяется с точностью до прибавления произвольной
постоянной. И если он известен, то общий интеграл уравнения принимает
вид:
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝐶
Так как, если 𝑦 = 𝜑(𝑥) — решение дифференциального уравнения на
(a, b), 𝑥0 , 𝑥1 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝜑(𝑥0 ) = 𝑦0 , 𝜑(𝑥1 ) = 𝑦1 , то
(𝑥1 ,𝑦1 )
𝑢(𝑥1 , 𝑦1 ) − 𝑢(𝑥0 , 𝑦0 ) =
∫
𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 =
(𝑥0 ,𝑦0 )
𝑥1
= ∫ (𝑃(𝑥, 𝜑(𝑥)) + 𝑄(𝑥, 𝜑(𝑥))𝜑′(𝑥)) = 0
𝑥0
В результате, потенциал уравнения вдоль фиксированной интегральной
кривой не изменяется.
Пусть P и Q непрерывно дифференцируемы в области D. При
существовании потенциала u в области D выполняется тождество:
𝜕𝑃(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑄(𝑥, 𝑦)
≡
𝜕𝑦
𝜕𝑥
8
(𝑥,𝑦)
И криволинейный интеграл ∫(𝑥 ,𝑦 ) 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 не зависит от выбора
0
0
способа интегрирования, так что функцию F(x, y) можно восстановить по
любой из формул:
𝑥
𝑦
𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑥0
𝑦0
𝑦
𝑥
𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
𝑦0
𝑥0
При этом, нижние пределы x0 и y0 являются произвольными до тех пор,
пока точка (x0, y0) принадлежит области определения функций P и Q.
1.1.2.
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальное уравнение, порядок которого больше единицы
(n>1), определяется как дифференциальное уравнение высшего (или n-го)
порядка.
Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка может быть
представлено следующим образом:
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦 (𝑛) ) = 0,
𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛−1) ).
Где F – функция определенная и непрерывная в некоторой области 𝐺 ⊆
Rn+2 (n ≥ 1) зависящая от y(n),f – функция определенная и непрерывная в
некоторой области 𝐷 ⊆ Rn+1 (𝑛 ≥ 1), x – независимая переменная, y –
требуемая функция.
Для данной функции задача Коши будет являться нахождением
(𝑛−1)
решения y(x), такого что 𝑥 ∈ (𝛼, 𝛽), 𝑦0 , 𝑦′0 , … , 𝑦0
𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 ,
– определенные числа:
(𝑛−1)
𝑦′(𝑥0 ) = 𝑦′0 , … , 𝑦 (𝑛−1) = 𝑦0
Общее решение ОДУ N-го порядка имеет вид функции
y = (x,C1,C2,…,Cn), удовлетворяющей условиям:
9
1) при любых допустимых значениях C1,C2,…,Cn, эта функция будет
решением дифференциального уравнения;
2) при заданных начальных условиях можно подобрать значения
произвольных постоянных С1  𝐶10 , С2  𝐶20 ,…, С𝑛  𝐶𝑛0 при которых функция
(x,C1,C2,…,Cn) будет удовлетворять условиям.
Частное решение ОДУ N-го порядка получается из общего решения
при
конкретных
значениях
произвольных
постоянных
С1  𝐶10 , С2  𝐶20,…, С𝑛  𝐶𝑛0 .
1.2.
Основные понятия экономической теории
Для оценки экономической успешности предприятия используются
показатели результатов его деятельности. Их следует рассматривать
подробно, с характеристикой, отличиями и преимуществами использования
именно этих данных в различных ситуациях.
Существует два типа показателей:
1) объем деятельности за период;
2) финансовый результат деятельности организации, также обозначаемый
как прибыль. [Калинина]
Для измерения объема деятельности существует несколько измерений.
Это может быть как натуральные показатели (квадратные метры, литры,
единицы оборудования), так и нормо-часы, отражающие количество труда
вложенного в продукцию за период. Однако, универсальным измерителем
объема продукции являются денежные единицы.
3) Товарная продукция (ТП) – это объем продукции за период, с
завершенной обработкой, принятой службой технического контроля и
удовлетворяющая требованиям ГОСТ, ТУ или договору с заказчиком.
[Калинина]
Она соответствует понятию готовая продукция и удовлетворяет
следующим условиям:
10
1) является результатом деятельности данного предприятия (пример: при
перепродаже изделия, результатом деятельности будет услуга);
2) обработка завершена на данном предприятии;
3) предназначена для реализации вне предприятия. [Калинина]
Фактор товарной продукции определяет объем доведенной до
готовности и представленной к реализации продукции за период.
Валовая продукция (ВП) – это объем продукции, произведенной
предприятием, не зависящей от степени готовности.
Взаимосвязь между данными может быть рассчитана по формуле:
ВП = ТП + (НПк − НПн )
с обозначениями: ВП – валовая продукция, ТП – товарная продукция, НП –
остатки незавершенной продукции, а К и Н – индексы начала и конца
периода. [Калинина]
Реализованная продукция (РП) – количество продукции, реализованной
за период, можно определять по отгрузке или оплате. В случае, если
определением является отгрузка продукции, то взаимосвязь с товарной
продукцией (ТП) будет определяться по следующей формуле:
РП отгр = ТП + (ГПн − ГПк )
Где ГП – остатки готовой продукции, а индекс отрг указывает на то,
что это реализовано по отгрузке.
Динамика предприятия определяется через сравнение показателей
прошлых лет с нынешними. Данные, которые характеризуют прирост или
убыток, исчисляемый в натуральных единицах (рублях, кол-во сотрудников и
прочее),
являются
абсолютными
показателями.
Относительные
демонстрируют увеличение или уменьшение выраженные в процентах.
Абсолютные показатели по которым может проводиться анализ:
1) источники формирования собственных средств;
2) прибыль от продаж;
3) прибыль до налогообложения;
4) чистая прибыль;
11
5) краткосрочные кредиты и займы;
6) себестоимость продаж;
7) фондоотдача;
8) рентабельность основных фондов;
9) среднесписочная численность работников.
Или любой другой показатель, который требует анализа.
Относительный показатель динамики (ОПД) является отношением
текущих данных к предшествующим или базисным по тем же абсолютным
показателям. Данные расчеты выполняются для определения темпов роста,
прироста и прочих. В случае наличия данных за несколько периодов,
возможно как проведение сравнений с уровнем предыдущего временного
отрезка (цепные показатели динамики), так и с другими, принятыми за
базовые значения (базисные показатели динамики)
Пример: стоимость чистых активов предприятия АО «Энергия»
характеризуется следующими данными, взятыми из открытых источников:
Таб. 1.1 Стоимость чистых активов
предприятия АО «Энергия»
Дата
09.21
Стоимость, 949
06.21
03.21
12.20
849
1387
1306
млн. р
Рассчитаем относительные показатели динамики с переменными и
базисными показателями.
Таб. 1.2 Расчет относительных показателей динамики с переменными и
базисными показателями
Переменная база сравнения
Постоянная база сравнения
(цепные показатели)
(базисные показатели)
1387
∗ 100% ≈ 106,2%
1306
1387
∗ 100% ≈ 106,2%
1306
12
849
∗ 100% ≈ 61,2%
1387
949
∗ 100% ≈ 111,8%
849
Цепные
и
базисные
849
∗ 100% ≈ 65,0%
1306
949
∗ 100% ≈ 72,7%
1306
показатели
взаимосвязаны
между
собой:
произведение всех ОПД с переменной базой сравнения равно ОПД с
постоянной базой за исследуемый период.
В данном примере (после перевода из процентов в коэффициенты):
1,062 ∗ 0,612 ∗ 1,118 = 0,727 или 72,7%
Основными экономическими показателями деятельности предприятия
является набор абсолютных показателей, которые могут дать понятие об
эффективности работы организации. Они должны быть взаимосвязаны, а
также рассчитываться и анализироваться в динамике за период от трех до
пяти лет.
Метод анализа бывает сравнением, анализом динамики, а также
абсолютными и относительными отклонениями.
У коммерческих организаций, не зависимо от сферы деятельности,
имеется схожий набор показателей, хотя некоторые пункты могут
различаться названием. Информация для расчетов может браться как из
отчетности, так и расчетным путем. Некоторые показатели приведены в
таблице 1.3
Таб. 1.3 Источники некоторых показателей для анализа
1
Показатели
Источник показателя
Выручка
Отчет о финансовых
результатах Ф№2
2
Валовая прибыль
Отчет о финансовых
результатах Ф№2
3
Уровень валовой прибыли к выручке
П.2/П.1 * 100%
13
4
Среднегодовая стоимость основных
Бухгалтерский баланс
средств
(начало периода +
окончание периода)/2
5
Фондоотдача, руб./руб.
П.1/П.4
6
Рентабельность основных фондов
П.2/П.4 *100%
7
Расходы на оплату труда
Пояснения к
бухгалтерскому балансу
8
Чистая прибыль
Отчет о финансовых
результатах Ф№2
9
Рентабельность деятельности
1.3.
П.8/П.1 * 100%
Некоторые математические модели на основе теории
дифференциальных уравнений
1.3.1.
Модель естественного роста
Модель естественного роста является одной из моделей экономической
динамики, которая основана на теории дифференциальных уравнений. Она
может, как описываться уравнениями, в которых скорость роста выпуска
продукции прямо пропорциональна доходу, так и строить зависимость
предельного (маржинального) выпуска продукции от прибыли.
Определим y(t) как интенсивность выпуска продукции и предположим,
что цена товара p фиксирована, поскольку имеет место аксиома о
ненасыщаемости
потребителя,
согласно
которой
будет
продан
весь
выпущенный предприятием товар.
Обозначим 𝐼(𝑡) > 0 как чистые инвестиции. Если же 𝐼(𝑡) = 0, то
общие инвестиции равны амортизационным затратам, оставляя уровень
выпуска продукции неизменным. В случае, если 𝐼(𝑡) < 0, то снижается
уровень выпуска продукции вследствие уменьшения основных фондов В
результате можно сделать вывод, что I – возрастающая функция.
14
Пусть m – норма акселерации, α – норма чистых инвестиций, py – часть
дохода которая тратится на чистые инвестиции, тогда:
𝑚𝑦′ = 𝐼𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝐼 = 𝛼𝑝𝑦
𝛼𝑝
𝑦′ =
𝑦
𝑚
𝑦′ = 𝑘𝑦,
где 𝑘 =
𝛼𝑝
𝑚
𝑑𝑦
= 𝑘𝑑𝑡
𝑦
𝑙𝑛|𝑦| = 𝑘𝑡 + 𝑙𝑛|𝐶|
𝑦 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 .
Если 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0 , то из 𝑦 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 следует, что 𝐶 = 𝑦0 𝑒 −𝑘𝑡 или
𝑦 = 𝑦0 𝑒 𝑘(𝑡−𝑡0)
Уравнение естественного роста имеет вид:
𝑦′ = 𝑘𝑦
Данное уравнение применимо к описанию изменения роста цен при
постоянной инфляции, а также применимо к исследованиям этапов
экономической системы на ранних или ограниченных промежутках времени.
Логистический
1.3.2.
Логистический рост
рост
–
это
функция,
которая
характеризуется
увеличением роста до максимума, а после снижением на поздней стадии.
Данный график может применяться к росту популяции, поскольку она
ограничена ресурсами среды обитания, к коронавирусной динамике,
поскольку максимальный предел это число всех людей в мире, стране или
регионе.
Применительно к экономике эта функция может описывать модель
распространения рекламы, поскольку есть ограниченное число людей,
15
которые увидят данную информацию или предел времени, после которого
объявление будет не эффективным.
Позвольте
продемонстрировать
𝑑𝑝
Предположим, что p=p(y) – (
𝑑𝑦
выведение
данной
функции.
< 0) - функция, которая с увеличением
выпуска будет насыщать рынок и провоцировать падение цены. Из чего
можно вывести автономное дифференциальное уравнение:
𝑦′ = 𝑘𝑝(𝑦) ∗ 𝑦
𝑘 = 𝑙𝛼
𝑘 > 0, 𝑝 > 0, 𝑦 > 0
Как можно видеть, y(t) – возрастающая функция (y' > 0) и если
исследовать эту функцию на выпуклость по t, то получим функции:
𝑦′′ = 𝑘𝑦′ (
𝑦′′ = 𝑘𝑦′𝑝 (
𝑑𝑝
𝑦 + 𝑝)
𝑑𝑦
𝑑𝑝 𝑦
∗ + 1)
𝑑𝑦 𝑝
𝑦′′ = 𝑘𝑦′𝑝 (1 −
𝑒𝑦 (𝑝) =
1
|𝑒𝑦 |
)
𝑑𝑦 𝑝
∗
𝑑𝑝 𝑦
(1.6)
где функция (1.6) – эластичность спроса, и если спрос эластичен, то
функция спроса выпуклая (|𝑒𝑦 | > 1, 𝑦′′ > 0), а если спрос неэластичен, то
спрос – вогнутая функция (|𝑒𝑦 | < 1, 𝑦′′ < 0).
Если 𝑝(𝑦) = 𝑏 – 𝑎𝑦 (𝑎, 𝑏 > 0), то уравнение (1.6) примет вид:
𝑦′ = 𝑘(𝑏 − 𝑎)𝑦
который может проиллюстрировать график на рисунке (1.1)
16
Рис. 1.1.
Из данного уравнения можно вывести явное выражение для y(t).
𝑑𝑦
= 𝑘𝑑𝑡
𝑦(𝑏 − 𝑎𝑦)
𝑑𝑦 1
𝑎
( +
) = 𝑘𝑑𝑡
𝑏 𝑦 𝑏 − 𝑎𝑦
Если проинтегрировать данное соотношение, то получим следующую
функцию:
ln|𝑦| − ln|𝑏 − 𝑎𝑦| = 𝑘𝑏𝑡 + ln 𝐶
𝑦
= 𝐶𝑒 𝑘𝑏𝑡
𝑏 − 𝑎𝑦
отсюда можно получить следующее уравнение:
𝐶𝑏𝑒 𝑘𝑏𝑡
𝑦=
1 + 𝐶𝑎𝑒 𝑘𝑏𝑡
которое называется логистической кривой.
Её представление можно увидеть на графике, представленном в
рисунке (1.2).
Рис. 1.2.
17
Из этого графика видно, что при малом времени, логистический рост
похож на график естественного роста, но после точки перегиба, равной
𝑎
𝑏
𝑏
2𝑎
график (ln | | ,
), график меняет характер роста, темпы роста замедляются,
кривая стремится к асимптотической прямой. Эта асимптота является
стационарным решением логистической кривой. Для данной функции также
𝑏
есть решение при 𝑦 > , которое отображено на графике из рисунка (1.3). Но,
𝑎
поскольку p(y)<0 то данный график не имеет экономической интерпретации
и его можно не рассматривать.
Рис. 1.3.
Более реалистичная модель та, в которой скорость роста зависит от
доходов. Где издержки - это 𝐶(𝑦) = 𝛼𝑦 + 𝛽, с произвольными константами
(𝛼, 𝛽).
𝑦′ = 𝑘(𝑝(𝑦) ∗ 𝑦 − 𝛼𝑦 − 𝛽)
Примем p(y) = b-ay, и установим, что правая часть уравнения –
квадратный многочлен относительно y с отрицательным коэффициентом
перед квадратом. В результате получим три варианта решения многочлена:
1. D < 0, тогда y'<0. Это означает, что значение издержек приводит к
постоянному падению уровней производства, а в последствии к
банкротству. Это отображено в графике на рисунке 1.4.
18
Рис. 1.4.
𝑏
2. D = 0, тогда 𝑦′ ≤ 0 и одна стационарная кривая 𝑦 = 𝑦 ∗ ≤ .
𝑎
Решение представлено на графике из рисунка 1.5. Интегральные
кривые, к которым может быть применимо начальное условие y(t0) =
y0> y* будут асимптотически приближаться к y* на +∞. При этом
функции, которые удовлетворяют условию
y(t0)< y*, будут
асимптотически приближаться к y* на −∞.
Рис. 1.4.
3. D > 0, тогда есть несколько стационарных решений y=y1, y=y2
(0<y1<y2).При этом y'>0 при y1<y<y2 и y'<0 при y1>y>y2. Это можно
увидеть на рисунке 1.5.
19
Рис. 1.5.
Неоклассические модели экономического роста
1.3.3.
Для
исследования
рыночной
механизмом,
позволяющей
наилучшим
образом
системы
использовать
были
разработаны
с
все
саморегулирующимся
факторы
производства
неоклассические
модели
экономического роста. Они предполагают основным источником изменение
производственных возможностей в сторону увеличения. Исходя из этого,
главным фактором роста в простейших неоклассических моделях является
увеличение объема используемых ресурсов.
Одна из основных моделей – функция Кобба-Дугласа. Где объем
выпуска в экономике обозначен Y, объем труда – L, A – изменение в
технологиях производства, α – коэффициент окупаемости ресурса, а K объем капитала
𝑌 = 𝐴𝐾 𝛼 𝐿1−𝛼
Рассмотрим модель Роберта Солоу с производственной функцией
Кобба-Дугласа.
Пусть X – внутренний валовый продукт, C – конечное потребление, а I
– инвестиции.
𝑋 =𝐼+𝐶
1=
1 𝐶
+
𝑋 𝑋
20
В данном равенстве
1
𝑋
- доля производственного накопления, далее s.
𝐶
𝑋
– доля непроизводственного потребления, которую мы обозначим u и будем
считать постоянной величиной, поскольку поведение потребителя не
рассматривается в данном случае.
1=𝑠+𝑢
Уравнение динамики для объема фондов будет представлено в
следующем виде с включением нормы амортизации капитала, μ (0<μ<1):
𝐾′ = 𝐼 − 𝜇𝐾
Фондовооруженность обозначим как k(t) и будем вычислять по
формуле:
𝑘(𝑡) =
𝐾(𝑡)
𝐿(𝑡)
𝐾(𝑡) = 𝑘(𝑡)𝐿(𝑡)
𝐾′ = 𝑘′(𝑡)𝐿(𝑡) + 𝑘(𝑡)𝐿′(𝑡)
𝑘′𝐿 + 𝑘𝐿′ = 1 − 𝜇𝐾
𝐿′ 𝐼
= − 𝜇𝑘
𝐿 𝐿
Если численность населения растет с коэффициентом p > 0, то
𝑘′ + 𝑘
принимая во внимание модель естественного роста, описанную выше:
𝐿′ = 𝑝𝐿
𝑝=
𝐿′
𝐿
𝐼
− (𝜇 + 𝑝)𝑘
𝐿
Пусть x(t) – средняя производительность труда.
𝑘′ =
𝑥(𝑡) =
𝑋(𝑡)
𝐿(𝑡)
𝑘′ = 𝑠𝑥(𝑡) − (𝜇 + 𝑝)𝑘
Данное уравнение является результирующим для модели Солоу. Его
экономический смысл определяется как прирост капиталовооружености
одного работника равен соотношению фактически сделанных инвестиций
21
sx(t) и вложений, необходимых для сохранения достигнутого уровня k в
условиях прироста населения p и потери капитала μ.
Теперь, пусть a>0, α+β = 1, α,β>0 в производственной функции КоббаДугласа вида:
𝐹(𝐾, 𝐿) = 𝑎𝐾 𝛼 𝐿𝛽
𝑎𝐾 𝛼 𝐿𝛽
𝑥(𝑡) =
= 𝑎𝐾 𝛼 𝐿𝛽−1 = 𝑎𝐾 𝛼 𝐿𝛼 𝐿𝛽−1 = 𝑎𝑘 𝛼
𝐿
𝑘′ + (𝜇 + 𝑝)𝑘1−𝛼 = 𝑎𝑠𝑘 𝛼
Это уравнение Бернулли с γ = α.
𝑘′
+ (𝜇 + 𝑝)𝑘1−𝛼 = 𝑎𝑠
𝑘𝛼
𝑘′
Введем новую неизвестную функцию 𝑧 = 𝑘1−𝛼 = 𝑘𝛽 , 𝑧′ = 𝛽 𝛼 и
𝑘
получим линейное неоднородное уравнение.
𝑧′ + 𝛽(𝜇 + 𝑝)𝑧 = 𝑎𝑠𝛽
(1.7)
Соответствующее линейное однородное уравнение имеет вид:
𝑧′ = −(1 − 𝛼)(𝜇 + 𝑝)𝑧
А его общее решение:
𝑧 = 𝐷𝑒 −𝛽(𝜇+𝑝)𝑡
Где D – произвольная постоянная.
ЛНДУ
(1.7)
можно
решить
методом
вариации
произвольной
постоянной, приняв D = D(t):
𝐷′𝑒 −𝛽(𝜇+𝑝)𝑡 − 𝛽(𝜇 + 𝑝)𝐷𝑒 −𝛽(𝜇+𝑝)𝑡 + 𝛽(𝜇 + 𝑝)𝐷𝑒 −𝛽(𝜇+𝑝)𝑡 = 𝑎𝑠𝛽
𝐷′ = 𝑎𝑠𝛽𝑒 𝛽(𝜇+𝑝)𝑡
𝑎𝑠
𝐷=
𝑒 𝛽(𝜇+𝑝)𝑡 + 𝐻
(𝜇 + 𝑝)
Общее решение:
𝑧 = 𝐻𝑒 −𝛽(𝜇+𝑝)𝑡 +
𝑎𝑠
(𝜇 + 𝑝)
В этом случае
22
1
𝑎𝑠
𝛽
𝑘 = (𝐻𝑒 −𝛽(𝜇+𝑝)𝑡 +
) ,𝑘 = 0
(𝜇 + 𝑝)
𝑘(0) = 𝑘0 > 0
1
𝑎𝑠
𝛽
𝑘0 = (𝐻 +
)
(𝜇 + 𝑝)
𝑎𝑠
𝛽
𝐻 = 𝑘0 −
(𝜇 + 𝑝)
1
𝛽
𝛽
𝑘(𝑡) = (𝑘0 𝑒 −𝛽(𝜇+𝑝)𝑡 +
𝑎𝑠
(1 − 𝑒 −𝛽(𝜇+𝑝)𝑡 ))
(𝜇 + 𝑝)
Нужно отметить, что:
1
𝑎𝑠
𝛽
𝑙𝑖𝑚 𝑘(𝑡) = (
)
𝑡→+∞
(𝜇 + 𝑝)
Данная
модель
1.3.4.
Модель Кейгана
была
разработана
для
описания
процессов
гиперинфляции. Она предполагает, что единственный фактор спроса на
деньги –
инфляционные ожидания. Данное ожидание может быть
реализовано в экономике с постоянным выпуском, которая соответствует
отсутствию быстрого экономического роста.
𝑀 𝐷
𝑒
( ) = 𝑓(𝜋 𝑒 ) = 𝑒 −𝛼𝜋
𝑃
𝑀 𝐷
Пусть данное уравнение отображает спрос на деньги, где ( ) - спрос
𝑃
на реальные денежные запасы, 𝜋 𝑒 - ожидаемый рост инфляции, 𝛼 –
коэффициент эластичности спроса на деньги.
Также, нужно учитывать, что предполагается постоянный прирост
денежной массы. А правило пересмотра ожиданий задается в данной модели
следующим образом:
𝑑𝜋𝑒
𝑑𝑡
= 𝜋 𝑒 = 𝛽(𝜋 − 𝜋 𝑒 ), 𝛽 > 0
23
т.е ожидания могут корректироваться в зависимости от реального
темпа инфляции 𝜋. Коэффициент 𝛽 - показатель скорости пересмотра
ожиданий, так же называемый нервозностью экономических агентов.
𝑀 𝐷
𝑀 𝑆
𝑀
−𝛼𝜋𝑒
= ( ) =
( ) = 𝑒
𝑃
𝑃
𝑃
Данная функция описывает равновесие на денежном рынке. Именно из
неё мы выведем уравнение инфляции.
−𝛼𝜋 𝑒 = ln 𝑀 − ln 𝑃
−𝛼𝜋 𝑒 = 𝜃 – 𝜋
−𝛼𝜋 𝑒 = −𝛼𝛽(𝜃 – 𝜋)
𝜃 – 𝛼𝛽𝜋 𝑒
𝜋=
1 − 𝛼𝛽
Для выведения данной формулы инфляции мы прологарифмировали
функцию равновесия не денежном рынке, взяли производную по времени,
получили уравнение в темпах роста и использовали правило пересмотра
ожиданий.
𝜋=
– 𝛼𝛽
1 − 𝛼𝛽
𝜋𝑒 =
𝛽(𝜃 – 𝜋)
1 − 𝛼𝛽
Взяв производную по времени, мы получили ЛДУ, решение которого
имеет вид:
𝜋(𝑡) =
–𝛽
1−𝛼𝛽
𝜃 + (𝜋(0) − 𝜃 )𝑒
Теперь проанализируем данную модель в экономической плоскости. В
условии к построению было указано, что это высокоинфляционная
экономика, следовательно - 𝜋(0) > 𝜃.
Из уравнения видно, что при условии 𝛼𝛽 > 0, 𝜋(𝑡) → 𝜃. Что
означает: инфляция соответствует росту экономики когда параметры
эластичности спроса на деньги и скорость пересмотра ожиданий не слишком
высоки.
24
При условии 𝛼𝛽 > 1, 𝜋(𝑡) → ∞. То есть, либо агенты, участвующие в
макроэкономическом процессе (домохозяйства, государство, иностранные
активы и пр.) сильно меняют спрос на деньги при пересмотре ожиданий,
либо происходит резкая смена ожиданий. В данном состоянии экономика не
может прийти в равновесное состояние. При первом варианте развития
событий резкая смена спроса только увеличивает инфляцию. Во втором, с
ростом ожидания также увеличивается сама инфляция. В данной модели рост
инфляции продолжается, преобладая над стабилизацией денежной массы.
Такая экономика требует проведения мероприятий, направленных на
снижение нервозности агентов.
ВЫВОД ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ
В первой главе мы рассмотрели базисные теоретические понятия, как
дифференциальных уравнений, так и теории экономики и экономической
динамики.
Были
использованием
приведены
аппарата
примеры
математических
дифференциальных
уравнений
моделей
с
как
для
макроэкономических процессов, так и для решения рядовых процессов
предприятия.
25
ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ МАЛЫХ
ПРЕДПРИЯТИЙ
2.1. Применение простейших дифференциальных уравнений к решению
задач с экономическим содержанием
2.1.1. Вычислить производительность труда в момент t0
Пусть Q(t) – количество продукции, реализованной на момент времени
t. В этом случае прирост продукции вычисляется по формуле:
∆𝑄 = 𝑄(𝑡0 + ∆𝑡) − 𝑄(𝑡0 )
и средняя производительность труда:
𝑢ср =
∆𝑄
∆𝑡
Производительность труда – по определению – это предельное
значение средней производительности за период времени. Из этого следует
следующая функция:
∆𝑄
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑢(𝑡0 ) = lim 𝑢ср = lim
∆𝑡→0
Производительность труда в момент времени t0 – это рост объема
продукции в момент времени t0.
2.1.2. Составить модель естественного роста выпуска продукции
Пусть: C – произвольная постоянная,
P – фиксированная цена,
1/l – связь между приростом конечной продукции и объемом
инвестиции (норма акселерации),
Q(t) – количество продукции, реализованной на момент времени t,
PQ(t) – доход от реализации искомой продукции на момент времени t,
26
I(t) – расходы на инвестиции в производство реализуемой продукции,
m – норма инвестиции, которая является постоянной и удовлетворяет
условию: 0<m<1.
𝐼(𝑡) = 𝑚𝑃𝑄(𝑡)
Предположим, что рынок ненасыщаемый или продукция реализуется
полностью. В таком случае после расширения производства будет прирост
дохода, в следствии увеличении числа продукции будет рост скорости
выпуска, что называется акселерацией.
𝑄′ = 𝑙𝐼
𝑄′ = 𝑘𝑄
(2.1)
𝑘 = 𝑙𝑚𝑃
Проинтегрируем уравнение (2.1), как уравнение с разделяющими
переменными
𝑑𝑄
= 𝑘𝑄
𝑑𝑡
𝑑𝑄
= 𝑘𝑑𝑡
𝑄
𝑄 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡
После подстановки начального значения Q(t0) = Q0 в общее решение,
получим следующее решение, которое будет частным решением задачи
Коши для уравнения (2.2)
𝑄0 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡0
𝐶 = 𝑄0 𝑒 −𝑘𝑡0
𝑄 = 𝑄0 𝑒 𝑘(𝑡−𝑡0)
(2.2)
2.1.3. Вычислить траекторию динамики инфляции
Дано уравнение уровня инфляции. Где уровни – это ресурс или
процесс, вычисляемый на определенный момент времени t, а p – значение
инфляции.
27
𝑑𝑝
𝑝
= −
𝑑𝑡
2𝑡
Данное уравнение можно записать в другом виде, проинтегрировать и
найти решение.
2𝑡𝑑𝑝 + 𝑝𝑑𝑡 = 0
𝑑𝑝 𝑑𝑡
+ =0
𝑝 2𝑡
1
ln|𝑝| = − ln|𝑡| + ln 𝐶
2
1
𝑝 = 𝐶𝑡 − ⁄2
2.2. Общий вид дифференциального уравнения, описывающего
динамику функционирования малого предприятия
Предположим, что существует малое предприятия, удовлетворяющие
условиям:
1) его развитие происходит за счет прибыли и инвестиций;
2) основные
производственные
фонды
–
единственный
фактор,
лимитирующий выпуск продукции;
3) фондоотдача постоянна;
4) сумма налоговых отчислений формируется из налогов на прибыль и
налоговых обложений, зависящих от объема производства.
Для вывода данного уравнения, основанного на производственной
функции типа Леонтьева, являющейся однофакторной, необходимо ввести
некоторые обозначения. Пусть, выпуск продукции в текущий момент
времени t, будет обозначен как P(t). f – фондоотдача, а стоимость основных
производственных фондов – A(t). Удельную себестоимость выпуска
продукции – c, Mоб(t)- общая прибыль малого предприятия и Mоб(t) – чистая
прибыль малого предприятия после вычитания налоговых отчислений. N(t) –
налоговые отчисления. I(t) – внешние безвозмездные инвестиции.
28
Линейная производственная функция малого предприятия имеет вид:
𝑃(𝑡) = 𝑓 𝐴(𝑡)
Выражение для общей прибыли:
Моб (𝑡) = (1 − 𝑐)𝑃(𝑡)
А величина чистой прибыли:
𝑀(𝑡) = Моб (𝑡) − 𝑁(𝑡)
Сумма налоговых отчислений может быть представлена в виде:
𝑁(𝑡) = 𝜏1 𝑃(𝑡) + 𝜏2 𝑘(1 − 𝜀)𝑀(𝑡)𝑃(𝑡) = 𝑓 𝐴(𝑡)
где 𝜏1 , 𝜏2 - ставки налога на объем выпуска и прибыль соответственно, 𝜀
(0 ≤ 𝜀 ≤ 1) доля чистой прибыли на реинвестирования, а k (0 ≤ 𝑘 ≤ 1)
коэффициент доли
реинвестированной прибыли, не имеющей льгот по
налогообложению и статистически оцениваемый. [Гафурова]
Динамику прироста фондов за счет внутренних средств и внешних
инвестиций можно отобразить основным дифференциальным соотношением:
𝑑𝐴(𝑡)
= 𝜀𝑀(𝑡) + 𝐼(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇]
𝑑𝑡
После подстановки в формулу для вычисления чистой прибыли
уравнения суммы налоговых отчислений и линейной производственной
функции, получаем выражение для M(t).
𝑀(𝑡) =
1 − 𝑐 − 𝜏1
𝑃(𝑡)
1 + 𝜏2 𝑘(1 − 𝜀)
𝑑𝐴(𝑡)
= 𝑎̃𝑃(𝑡) + 𝐼(𝑡)
𝑑𝑡
(1 − 𝑐 − 𝜏1 )𝜀1
𝑎̃ =
1 + 𝜏2 𝑘(1 − 𝜀)
Для того чтобы получить неоднородное линейное дифференциальное
уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами нужно
подставить в формулу относительно A(t), уравнение, связывающие выпуск
продукции стоимость основных производственных фондов.
𝑑𝐴(𝑡)
𝑑𝑡
− 𝑎𝐴(𝑡) = 𝐼(𝑡), где 𝑎 = 𝑓𝑎̃
29
2.3.Прогнозирование динамики развития предприятия средствами
дифференциальных уравнений
Самым мощным и широко используемым средством математического
описания реальных процессов являются дифференциальные уравнения.
Данный
аппарат уравнений применяется для
систем, которые
характеризуются наличием более, чем нескольких десятков эндогенных
переменных с сотнями обратных связей. Некоторые из этих замкнутых
цепочек со временем становятся аддитивными, что делает результаты
прогнозирования методами линейной регрессии, не учитывающей данные
переменные, неэффективным, особенно в долгосрочной перспективе.
Конечно, можно описать динамику движений фондов предприятия
через методы математической статистики. Но как долго данный способ будет
прогнозировать корректное развитие фондов, если нужно будет учитывать не
только прямые инвестиции, но и реинвестиции, которые будут влиять на
прибыль, зависеть от доходов на следующий период? В определенный
момент в расчеты закрадется ошибка.
Немаловажное достоинство дифференциальных уравнений также в том,
что они позволяют построить простой и понятный график зависимости,
который даст возможность контролировать достоверность результатов.
Для того чтобы создать математическую модель предприятия,
необходимо предварительно построить когнитивную модель. Данная модель
визуально построит причинно следственные связи между сущностями,
описывающими систему внутри предприятия. На данном этапе определяются
важнейшие обратные связи, полярности и лаговые зависимости между
переменными.
Для балансирующей обратной связи (рис. 2.1) принято применять
обозначение B. В качестве примера можно привести зависимость между
ценой, спросом и предложением.
30
В момент времени t рост цен может привести к падению спроса, что
породит избыток предложения. В результате чего цена снизится в момент
времени t+1. В данной модели t- дни, часы и пр. быстрое время.
Спрос
Цена
Предложение
Рис. 2.1. Пример балансирующей обратной связи
Для усиливаемой обратной связи (рис. 2.2) обычно применяют
обозначение R. Данную связь можно продемонстрировать ростом числа
клиентов бренда.
В момент времени t рост новых клиентов приводит к росту количества
клиентов в момент t+1, что приводит к еще большему числу новых клиентов
следующий момент времени.
Новые
клиенты
в месяц
Количество
клиентов
Рис. 2.2. Пример усиливающейся обратной связи.
Единичная обратная связь – это обратная связь, при которой временной
лаг между значениями совпадает с шагом модельного времени. [Акопов]
31
В качестве результата этапа когнитивного моделирования будет
являться
карта
причинно-следственных
связей.
Так
же
называемая
когнитивной картой (рис. 2.3)
4
-
+
5
+
+
6
2
+
+
-
1
+
8
+
3
7
Рис.2.3. Пример когнитивной карты для предприятия
Где 1 – это количество фирм производителей, 2 – уровень прибыли, 3 –
объем производимой продукции, 4 – уровень конкуренции, 5 – цены на
продукцию, 6 – дефицит продукции. 7 – уровень потребительского дохода, а
8 – уровень спроса.
На рисунке можно заметить наличие одной усиливающей обратной
связи (2-7-8-6-5-2). Очевидно, что для увеличения прибыли предприятия
необходим рост цен на продукцию, который невозможен без увеличения
уровня потребительского дохода, что приводит к повышению спроса, и,
соответственно, дефициту продукции. Следовательно, для положительной
динамики дефицит продукции должен стремиться к нулю.
Основой для математической модели системной динамики являются
дифференциальные модели, которые представляют динамические процессы.
В такой модели предполагается, что функции строятся по когнитивной карте,
а дифференциальные уравнения пишутся в форме Коши первого рода.
2.3.1. Задача о функции спроса
32
Предположим, что по некоторой когнитивной карте спроса и
предложения на определенный товар удалось построить функции.
𝑑(𝑝) = 40 − 2𝑝 − 2𝑝′ − 𝑝′′,
𝑠(𝑝) = −5 + 3𝑝,
где d(p) – это функция спроса, s(p) – функция предложения. Проверим,
изменяется ли равновесная цена с течением времени и является ли она
устойчивой.
Поскольку, известно, что состояние рынка – равновесное, то спрос
равен предложению.
𝑑(𝑝) = 𝑠(𝑝)
40 − 2𝑝 − 2𝑝′ − 𝑝′′ = −5 + 3𝑝
с начальным условием:
𝑝(0) = 12,
𝑝′(0) = 1
Приведем подобные слагаемые.
𝑝′′ + 2𝑝′ + 5 𝑝 = 45
(2.3)
Характеристическое уравнение будет иметь вид:
𝑘 2 + 2𝑘 + 5 = 0
Корни данного уравнения: 𝑘1,2 = −1 ± 2𝑖.
Общее решение будет вычисляться по формуле:
𝑝̃(𝑡) = 𝑒 −𝑡 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠(2𝑡) + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛(2𝑡)),
где C1 и C2 – произвольные константы.
В
качестве частного
решения,
возьмем
постоянную
величину
устоявшейся цены, которую вычисляем из уравнения (2.1). Оно равно 9.
Таким образом, общее решение уравнения (2.1) имеет вид:
𝑝(𝑡) = 9 + 𝑒 −𝑡 (3𝑐𝑜𝑠(2𝑡) + 2𝑠𝑖𝑛(2𝑡))
Из данного решения можно сделать вывод, что равновесная цена
устойчива – поскольку 𝑝(𝑡) → 9, при 𝑡 → ∞. Графическое отображение
решения можно увидеть на графике (Рис. 2.4).
33
Рис. 2.4 Графическое решение Задачи о функции спроса
2.3.2. Задача о динамике прибыли предприятия
Пусть в некотором предприятии X динамика прибыли вычисляется по
формуле (2.2), нужно построить график прибыли данного предприятия.
Начальные условия заранее известны.
𝑦′′ − 8𝑦 + 16𝑦 = 0
𝑦(0) = 1
{
𝑦′(0) = 4
(2.4)
В таком случае, решение данной задачи будет выглядеть следующим
образом. Для начала нужно найти общее решение линейного однородного
уравнения.
𝑘 2 − 8𝑘 + 16 = 0
𝑘1 = 𝑘2 = 4
𝑦1 = 𝑒 4𝑥 , 𝑦2 = 𝑥𝑒 4𝑥
Общее решение будет иметь вид:
𝑦 = 𝐶1 𝑒 4𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 4𝑥
𝑦 = 𝑒 4𝑥 (𝐶1 + 𝑥𝐶2 )
(2.5)
Для того чтобы произвольные константы из уравнения (2.3) удовлетворяли
начальным условиям нужно решить систему из уравнения и его производной.
𝑦 = 𝑒 4𝑥 (𝐶1 + 𝑥𝐶2 )
{
𝑦′ = 𝑒 4𝑥 (4𝐶1 + 𝐶2 + 4𝑥𝐶2 )
Подставим значения из начальных условий.
1 = 𝑒 0 (𝐶1 + 0)
{
4 = 𝑒 0 (4𝐶1 + 𝐶2 + 0)
34
С1 = 1, С2 = 0
В таком случае, динамика прибыли предприятия X отображается в виде
графика функции 𝑦1 = 𝑒 4𝑥
2.3.3. Задача о рекламе
Пусть у некоторой фирмы есть продукция, реализация которой
проходит следующим образом. В момент времени t из числа потенциальных
покупателей N о ней знает только x из этого числа. Для ускорения сбыта
продукции руководство компании решило запустить рекламные объявления.
Нужно построить математическую модель для описания x(t) числа
покупателей, которые знают о продукции. При этом нужно учитывать, что
время отсчитывается с момента выхода рекламных объявлений, то есть когда
о товаре стало известно x0 (x0<N) числу потенциальных покупателей, таким
образом x(0) = x0.
Предположим, что после рекламы скорость роста числа людей
знающих о продукте пропорциональна числу потенциальных покупателей.
𝑑𝑥
= 𝑘𝑥(𝑁 − 𝑥)
𝑑𝑡
В
данном
уравнении
k>0,
и
является
коэффициентом
пропорциональности.
𝐶1 𝑁𝑒 𝑁𝑘𝑡
𝑥(𝑡) =
=
1 + 𝐶1 𝑒 𝑁𝑘𝑡
𝑁
𝑒 −𝑁𝑘𝑡
1+
𝐶1
35
Поскольку мы можем найти произвольную константу из начального
условия, что x(0) = x0, то можем получить изложенное ниже.
𝑥0
С1 =
𝑁 − 𝑥0
𝑥(𝑡) =
Из
чего
можно
𝑁
𝑁 − 𝑥0 −𝑁𝑘𝑡
1+
𝑒
𝑥0
сделать
вывод,
что
эффективность
рекламы
существенно падает с течением времени. Данный факт отображен на
графике:
Рис. 2.5 Динамика количества людей, узнающих о продукции из рекламы
2.3.4. Задача о движении фондов
Предположим, что есть некоторое предприятие, чья величина фондов
может быть обозначена через K, а коэффициент выбытия фондов – 𝜇.
Величина фондов может быть как в натуральном, так и в стоимостном
выражении. Пусть 𝜇𝐾 – это величина уменьшения фондов за год из-за
выбытия фондов. Если считать данные потери стабильными, то за период
времени ∆𝑡 уменьшаться на ∆𝑡 ∗ 𝜇𝐾.
Также, в данном предприятии, есть инвесторы. Обозначим инвестиции
как I, увеличение фондов в год, посредством инвестирования, 𝜌𝐼, где обе
переменные – константы. В таком случае, за период времени ∆𝑡 при
равномерном вложении средств фонды увеличатся на величину ∆𝑡 ∗ 𝜌𝐼.
Данное движение фондов можно выразить формулой.
𝐾(𝑡 + ∆𝑡) = 𝐾(𝑡) − 𝜇𝐾∆𝑡 + 𝜌𝐼∆𝑡
𝐾(𝑡 + ∆𝑡) − 𝐾(𝑡) + 𝜇𝐾∆𝑡 = 𝜌𝐼∆𝑡
36
∆𝐾
∆𝑡
+ 𝜇𝐾 = 𝜌𝐼
Примем ∆𝑡 → 0 и получим линейное неоднородное дифференциальное
уравнение вида:
𝑑𝐾
𝑑𝑡
+ 𝜇𝐾 = 𝜌𝐼
(2.6)
которое является математической моделью движения фондов данного
предприятия.
Найти решение данного ЛНДУ можно методом вариации произвольной
постоянной, включающей в себя три этапа.
Первое, нужное составить линейное однородное дифференциальное
уравнение, соответствующее (2.4) и найти его решение.
𝑑𝐾
𝑑𝑡
+ 𝜇𝐾 = 0
𝑑𝐾
= −𝜇𝐾
𝑑𝑡
𝑑𝐾
= −𝜇𝑑𝑡
𝐾
∫
𝑑𝐾
= − ∫ 𝜇𝑑𝑡 + ln 𝐶
𝐾
ln|K| = −𝜇𝑡 + ln 𝐶
Найдем решение общего интеграла ЛОДУ.
𝐾 = 𝑒 −𝜇𝑡+ln 𝐶 = 𝑒 −𝜇𝑡 𝑒 ln 𝐶
𝐾 = 𝐶𝑒 −𝜇𝑡
(2.7)
Второй этап решения ЛНДУ методом вариации произвольной
постоянной включает в себя решение ЛОДУ (2.5), где произвольная
постоянная была заменена неизвестной функцией z(t).
𝐾 = 𝑧(𝑡) ∗ 𝑒 −𝜇𝑡
𝐾′ = 𝑧′𝑒 −𝜇𝑡 − 𝜇𝑧𝑒 −𝜇𝑡
Подставим выражения K(t), K'(t) в исходное ЛНДУ (2.4).
𝑧′𝑒 −𝜇𝑡 − 𝜇𝑧𝑒 −𝜇𝑡 + 𝜇𝑧𝑒 −𝜇𝑡 = 𝜌𝐼
𝑧′𝑒 −𝜇𝑡 = 𝜌𝐼
37
𝑧′ = 𝜌𝐼𝑒 𝜇𝑡
Полученное уравнение является простейшим дифференциальным
уравнением.
Третий этап решения ЛНДУ методом вариации произвольной
постоянной – решение данного уравнения.
𝑧 = 𝜌𝐼 ∫ 𝑒 𝜇𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶1 =
𝐾 = 𝑧(𝑡)𝑒 −𝜇𝑡 = (
𝜌𝐼 𝜇𝑡
𝑒 + 𝐶1
𝜇
𝜌𝐼 𝜇𝑡
𝑒 + 𝐶1 ) 𝑒 −𝜇𝑡
𝜇
Искомая величина, а именно движение фондов, выражается через
зависимость, следующего вида:
𝐾(𝑡) =
где
𝜌𝐼
–
𝜌𝐼
+ 𝐶1 𝑒 −𝜇𝑡
𝜇
перемножение
констант,
обозначающее
количество
инвестиций в год, а коэффициент выбытия фондов – 𝜇.
ВЫВОД ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ
В практической части данной работы были выражены некоторые
экономические величины и процессы через простейшие дифференциальные
уравнения.
А
именно:
выведена
формула
траектории
инфляции,
производительность труда в определенный момент времени, а также
составлена модель естественного роста для выпуска продукции на основе
материалов изложенный в теоретической части работы.
Также был выведен общий вид дифференциального уравнения для
описания динамики функционирования малого предприятия, рассмотрены
этапы, предшествующие построению математической модели и решены
несколько экономических задач с помощью аппарата дифференциальных
уравнений.
38
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Дифференциальные уравнения – это важная
часть в различных
областях как математики, так и смежных наук. Данному факту есть простое,
но емкое объяснение: к данному аппарату сводится исследование задач,
которые имеют множественные связи между объектами, их изменениями с
течением времени или координат.
В экономике дифференциальные уравнения нашли применение при
моделировании динамики процессов.
Не смотря на то, что некоторые явления и зависимости можно
рассмотреть
с
помощью
математической
временных
статистики,
в
рядов
или
определенный
других
момент
аппаратов
количество
взаимосвязей превышает допустимый максимум и не позволяет достоверно и
широко провести анализ такими методами. Именно в таких ситуациях, когда
экономическая система становится сложно-динамической с сотнями прямых
и десятками обратных связей применяется аппарат дифференциальных
уравнений.
Данная работа демонстрирует как многообразие применения данного
аппарата в микроэкономике, так и его адаптивность. Одни и те же функции
могут как применяться к конкретному предприятию, так и описывать
абстрактные ситуации.
Решение поставленных задач можно наблюдать на протяжении всей
работы.
Информация
по
теории
дифференциальных
уравнений
была
систематизирована в первой главе.
Методы и приемы решений различных типов дифференциальных
уравнений изучались в пункте 3 первой главы, обозначенный как
«Некоторые
математические
модели
на
основе
дифференциальных
уравнений» и в параграфе 2 второй главы, названный «Общий вид
дифференциального уравнения, описывающий динамику функционирования
малого предприятия».
39
Применение
дифференциальные
уравнения
для
изучения
математических моделей экономики было отображено в различных задачах,
рассмотренных во второй главе.
Задача
Коши,
являющаяся
частным
случаем
аппарата
дифференциальных уравнений, нашла свое применение не только в
построении
математических
моделей,
но
и
при
имитационном
моделировании, реализуемом программными средствами. И именно данный
факт наиболее полно и ярко отражает актуальность использования
дифференциальных уравнений в экономической динамике.
Ведь основные программные обеспечения, созданные на основе языка
R, C++ или любого из множества других, созданные для построения модели
динамики производства зачастую требуют не только сухих цифр, но и
взаимосвязи между ними. Которые наиболее полно отображает именно
аппарат дифференциальных уравнений.
40
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.
Абдрахманов В. Г. Уравнения математической физики: учебное
пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по
нематематическим направлениям подготовки и специальностям / В. Г.
Абдрахманов, Г. Т. Булгакова. - Москва : Изд-во МАИ, 2007. - 355 с.
2.
Акопов, А. С. Имитационное моделирование: учебник / А. С. Акопов.
— Москва : Издательство Юрайт, 2022. — 389 с.
3.
Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях / В.В.
Амелькин. – 2-е изд., доп. – Москва : Едиториал УРСС, 2003. – 208 с.
4.
Анкилов А.В. Высшая математика : учебное пособие / А.В. Анкилов,
П.А. Вельмисов, Ю. Решетников. – Ч. 1. – Ульяновск : УлГТУ, 2011. – 250 с.
5.
Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов : учебное
пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по
социально-экономическим направлениям и специальностям / А.М. Ахтямов.
– Изд. 2-е, испр. и доп. – Москва : Физматлит, 2008. – 464 с.
6.
Бондаренко
Ю.
В.
Математический
подход
к
формированию
компромиссной ставки налога на прибыль предприятия региона / Бондаренко
Ю. В, Макеева В. В, Бондаренко О. В. // Управление Строительством. – 2019
– 2(15), 114–119.
7.
Васенкова Е.К. математика для экономистов. Дифференциальные и
разностные уравнения: курс лекций / Е.К. Васенкова, Е.С. Волкова, И.Г.
Шандра. – Москва : Финансовая академия, 2003. – 116 с.
8.
Гамецкий А.Ф. Математическое моделирование макроэкономических
процессов / А.Ф. Гамецкий, Д.И. Соломон. – Кишинев : Еврика, 1997. – 318
с.
9.
Гафурова Э. А. Математическая модель динамики малых предприятий
с учетом эффектов памяти / Э. А. Гафурова, Ю. Л. Михайлов, Ю. В. Грушко,
Р. И. Паровик, И. А. Кашутина // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. – 2019
- 26:1, 46–53.
41
10.
Гераськин
М.
И.
Экономико-математическое
моделирование
современных промышленных комплексов / Гераськин М. И., Гришанов Г. М.
- Самара : Изд-во СамНЦ РАН, 2016. - 191 с.
11.
Глызин С. Д. Практикум по курсу обыкновенных дифференциальных
уравнений : учебное пособие / С. Д. Глызин, А. О. Толбей - Ярославль :
Ярославский гос. ун-т им. П. Г. Демидова, 2011. - 67 с.
12.
Демидович Б. П. Дифференциальные уравнения : учебное пособие / Б.
П. Демидович, В. П. Моденов. - Изд. 3-е, стер. - Санкт-Петербург [и др.] :
Лань, 2008. – 275с
13.
Ерофеенко
В.Т.
Уравнения
с
частными
производными
и
математические модели в экономике: Курс лекций / В.Т. Ерофеенко, И.С.
Козловская. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : УРСС, 2004. – 244 с.
14.
Журавлев
С.Г.
Дифференциальные
уравнения:
Сборник
задач:
Примеры и задачи экономики, экологии и других социальных наук: Учебное
пособие для вузов / С.Г. Журавлев, В.В. Аниковский. – Москва :
издательство «Экзамен», 2005. – 128 с.
15.
Математический анализ в экономических расчетах : учебное пособие /
А. Ф. Зубков [и др.]; — Пенза : Изд-во Пензенской гос. технологической
академии, 2008. — 240 с
16.
Ильягуева М. А. Математические и инструментальные методы
моделирования
операций
в
управлении
развитием
промышленного
предприятия / М. А. Ильягуева. - СПб. : изд-во Политехника, 2005
(Махачкала : ООО Деловой Мир). - 217 с.
17.
Экономика и анализ деятельности промышленного предприятия: учеб.
пособие / Н. Е. Калинина, Н. А. Кузнецова, О. С. Норкина, М. А. Прилуцкая,
Л. М. Типнер, Е. В. Черепанова. — Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2016
— 124 с.
18.
Комплексный экономический анализ предприятия : учебник / А. П.
Калинина, Н. В. Войтоловского, И. И. Мазуровой. - Москва [и др.] : Питер,
2012. - 569 с.
42
19.
Дифференциальные и разностные уравнения: Учебник / В.А. Калягин,
О.Р. Козырев, А.А. Куркин, Н.С. Петрухин. – Нижний Новгород : Нижегор.
гос. техн. ун-т., 2002. – 202 с.
20.
Коврижных А.Ю. Дифференциальные и разностные уравнения: учеб.
пособие / А.Ю. Коврижных, О.О. Коврижных. – Екатеринбург : Изд-во
Уральского университета, 2014. – 148 с.
21.
Красс М.С. Математика в экономике. Математические методы и
модели: учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – Москва : Финансы и
статистика, 2007. – 544 с.
22.
Красс М.С. Моделирование эколого-экономических систем: учебное
пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по
специальности 080116 "Математические методы в экономике" и другим
экономическим специальностям / М.С. Красс. – 2-е изд. – Москва : ИНФРАМ, 2013. – 271 с.
23.
Высшая математика для экономического бакалавриата : учебник и
практикум / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман. —
Москва: Изд-во Юрайт, 2012 — 909 с.
24.
Лагоша
Б.А.
Оптимальное
управление
в экономике:
теория
и
приложения: учебное пособие для студентов высших учебных заведений,
обучающихся
по
специальности
080116
"Математические
методы
в экономике" и другим экономическим специальностям / Б.А. Лагоша,
Т.Г. Апалькова. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : Финансы и статистика,
2008. – 219 с.
25.
Лебедев В.В. Математические модели динамических социально-
экономических процессов / В.В. Лебедев. – Москва : Государственная
академия управления, 1990. – 265 с.
26.
Макаров, А. П. Уравнения математической физики : Учебник / А. П.
Макаров . - Череповец : ГОУ ВПО ЧГУ, 2005. - 179 с.
27.
Минюк С.А. Дифференциальные уравнения и экономические модели /
С.А. Минюк, Берёзкина Н.С. – Минск : Вышэйшая школа, 2007. – 141 с.
43
28.
Найден И.В. Дифференциальные уравнения и их применение в
экономике. Учебно-методическое пособие по математике и математическому
анализу для студентов 1 курса ФЭМ, ФМФ и ФВМ / И.В. Найден. – Москва :
ВАВТ, 2012. – 30 с.
29.
Орлова
И.В.
Экономико-математические
методы
и
модели:
компьютерное моделирование: Учебное пособие / И.В. Орлов, В.А.
Половников – Москва: Вузовский учебник, 2007. – 365 с.
30.
Поташев, А. В. Интеграция математического моделирования и
инновационных подходов к обучению в образовании [Текст] : монография /
А. В. Поташев, Е. В. Поташева, Д. Ю. Сулейманова ; - Москва : Ruscience,
2016. - 95 с.
31.
Прасолов
А.В.
Динамические
модели
с
запаздыванием
и
их
приложения в экономике и инженерии : учебное пособие / А.В. Прасолов. –
Санкт-Петербург: Лань, 2010. – 192 с.
32.
Прасолов А.В. Математические методы экономической динамики:
учебное пособие / А.В. Прасолов. – Санкт-Петербург: Лань, 2008. – 349 с.
33.
Редькина Л.А. Применение методов математического анализа в
моделировании экономических процессов // Редькина Л.А. - Международный
студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.
34.
Симонов
П.М.
Экономико-математическое
моделирование
[Электронный ресурс]: учеб. пособие: в 2 ч. / П. М. Симонов. Перм. гос. нац.
исслед. ун-т. – Электрон. дан. – Пермь, 2019. – Ч. 1. – 3,45 Мб; 230 с. – Режим
доступа: ttp://www.psu.ru/files/docs/science/books/uchebnieposobiya/economikomatematicheskoe-modelirovanie-simonov-1.pdf
35.
Трояновский В. М. Математическое моделирование в менеджменте :
Учеб. пособие / В. М. Трояновский. - М. : Рус. деловая лит., 1999. – 234с.
36.
Филипов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений:
учебник / А.Ф. Филипов – 2-е испр. Изд – Москва : КомКнига, 2007 – 240 с.
44
37.
Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст] / Ф.
Хартман ; Пер. с англ. И. Х. Сабитова и Ю. В. Егорова ; Под ред. В. М.
Алексеева. - Москва : Мир, 1970. - 720 с
38.
Чернов, В.А. Теория экономического анализа: учебник / В.А. Чернов. –
Москва: Проспект, 2017. – 384 с
39.
Цвиркун А. Д. Математическое моделирование управления развитием
структур крупномасштабных систем [Текст] / А. Д. Цвиркун, А. В.
Карибский, С. Ю. Яковенко ; Институт проблем управления. - Москва :
Институт проблем управления, 1985. - 44 с.
40.
Шипачев, В. С. Сборник задач по высшей математике / В. С. Шипачев.
- М. : Высш. шк., 1994. - 191 с
41.
Щербаков С. М. Экономико-математическое моделирование интернет-
приложений [Текст] : монография / С. М. Щербаков ; - Ростов-на-Дону :
Ростовский гос. экономический ун-т (РИНХ), 2010. - 165 с.
42.
Ярославцев, А. М. Математическое моделирование и прогнозирование
при проведении экологического проектирования и ОВОС [Текст] / А. М.
Ярославцев, Ю. Л. Мешалкина, И. И. Васенев ; - Москва : Сам Полиграфист,
2015. - 115 с.
45