o v o k l o k sh o k l o v %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% e lk e n o n i k l k li h n h n s s ЕГЭ 2024 .o o . Решения задач o o v v o o k e k e l l n n o i o l k li k n h Содержание n h s o s o . . o o v v o Часть 1 . . . . .k . . . . . . . . . . . .e . . . . . . . . . . . l.ko . . . . . . . . 2 e e l n o n o . . . . . . . . . .li. . . . . . . . . . . h.k. . . . . . . . . . n12lin i №13. Уравнение k l n s o sh on №14. Стереометрия . . . . . .o..o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .o.. 16 v v №15.eНеравенство . . . .ko. . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . l.ko. . . 17 n Экономическая .ko. l. . . . . . . . . . .li.n. . . . . . . . . . h.ko. . . . . 21 n i №16. l n№17. Планиметрия s.h. . . . . . . . . . ..o.n. . . . . . . . . . . s. . . . . . . 25 .o o . o o o v v v o o №18. Параметр . . . . . . . . . . .ko. . . . . . . . . . . e. . . . . . . . . . . l27 k k e l l n o n o i №19. Олимпиадная . . . . . . .ko. . . . . . . . . . . .li. . . . . . . . . . .h.k 37 l n h n s s o o . . o o v v o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l k h n h n h s s s .o .o o o v v o o k e e l lk n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s o s o . . .o o v vo o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 1 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . Часть 1 o v vo o o k e e l lk восток) №1.1 (Дальний n n o i o l равен 52 . k равен 56 , угол CAD li в окружность. УголshABD k Четырехугольник ABCD вписан n n h o s o . . Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. o v vo o o k e k e l e l n n o n i l k li ko li n h n h n s o s o o . . o v vo o o k k e l e l n o n o i k l k li n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l Ответ h n h n s s o o 108 . o o. v v o Решение o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l k h n h n h ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = ∠ABD + ∠CAD = 56 + 52 = 108 s s s .o .o o o v v o o k e e l lk n n o i o l k li k №1.2 h (Дальний восток) n h n s s .o периметр В четырёхугольник ABCD.o вписана окружность, AB = 13, CD = 9. Найдите o o v четырёхугольника ABCD.ov o k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s o s o . . .o o v vo o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o Ответ v v o k 44lko e e l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh Решение o . . o o v v AD + BC = AB + CD o o k e k e l e l n AD + BC = 22 n o i o l k li P = 44 k n h n h s s .o .o o o v v o o 2 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o ◦ %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% ◦ ◦ ◦ ◦ o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . o v vo o o k e e l lk восток) n №1.3 (Дальний n o i o l равен 60 . k равен 47 , угол ABC li в окружность. УголshABD k n n h Четырехугольник ABCD вписан o s o . . o Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. v vo o o k e k e l e l n n o n i l k li ko li n h n h n s o s o o . . o v vo o o k k e l e l n o n o i k l k li n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l Ответ h n h n s s o o . 13 o o. v v o o Решение k k e l k e l l n o n o i o i k l k l k h n h n h s ∠CAD s .o = ∠CBD = ∠ABC s− ∠ABD = 60 − 47vo=.o13 . o v o o k e k e l l n n o i o l k li k n №2.1 h (Дальний восток) h n s ⃗a − 12⃗b. s .o .o−1). Найдите длину вектора Даны векторы ⃗a(17; 0) и ⃗b(1; o o v v o o k Ответ e k e l e l n n o n i o l k li k li 13 n h n h n s o s o . . Решение .o o v равна voвектора ⃗a − 12⃗b равны (5; 12). Значит, его длина ⃗a(17; 0) и ⃗b(1; −1). Тогда координаты o o k e l e lk √ n o n o √ i i k k⃗a − 12⃗b = 5 + 12 =nl13 = 13. l n h h n s o s o o . . . o o o v v v o o o №2.2 (Дальний восток) k k e l k e l l n o n⃗a = (1; 2), ⃗b = (3; −6) иk⃗co= (4; −3). Найдите значение i i k l l ⃗ ko Даны векторы выражения (⃗ a + b) · h ⃗c. n h n s s o o . . o Ответ o v v o 28 ko k e e l l n o n o i o i k l k l k Решение n nтогда ⃗a + ⃗b = (1 + 3; 2 −sh6) = (4; −4). sh o sh ⃗a = (1; 2), ⃗b = (3; −6), o . . o o v v o o k e k e l (⃗a + ⃗n b)e= (4; −4), ⃗c = (4; −3), ol n i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 3 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o ◦ %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% ◦ 2 2 2 ◦ ◦ ◦ o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . значит o vo (⃗a + ⃗b) · ⃗c = 4 · 4 + (−4) · (−3) = 16 + 12ko=v28. o e e l lk n n o i o l k li k n h n h s o s (Дальний восток) .o №3.1 . o v6, BC = 5, AA = 4. vo В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D известно, что AB = o o k e k e e l Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки o A,l B, C, D, A , B . n n n i l k li ko li n h n h n s o s o o . . o v vo o o k k e l e l n o n o i k l k li n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l h n h n s s o o . Ответo. o v v o 60ko k k e l e l l n o n o i oРешение i k l k l k h n h n h s s s Искомый объем равен параллелепипеда .o ABCDA B C D , .o половине объема прямоугольного o o v следовательно, онvравен o o k e e l lk n n o i o 1 li 1 l k V = n · AB · BC · AA = · 6 · h 5k · 4 = 60. n h 2 s s .o .o2 o o v v o o k e k e l e №3.2 (Дальний восток) l n n o n i o k = 9, BC = 7, AA =n6.l li B C D известно, что kпараллелепипеде ABCDA li В прямоугольном AB h n h n s o s o . . вершинами которого являются точки A, B, C, B . .o Найдите объем многогранника, o v vo o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k Ответ n n sh sh o sh 63 o . . o o v v o Решение ko k e e l e l n n o i o Многогранник, объем которого необходимо найти, является l выk треугольной пирамидой, li k n h n h сота которой s равна BB , а основание .o ABC. .o представляет собойs прямоугольный треугольник o o v v o o 4 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 1 1 1 1 1 1 1 1 1 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . Следовательно, этот объем равен o v vo o o k e e 1 1 1l lk V = 1 · BB n n o · · AB · BC = · 6 · · 9 · 7 = 63. i o l k 3 li 2 3 hk 2 n n h s o s o . . o v vo o o k e k e l e l n n o №4.1 (Дальний восток) n i l k вопрос по теме «Меli в 15 из них встречается ko по физике всего 25 билетов, li В сборнике билетов n h n h n o ханика». Найдитеs вероятность того, чтоo.oв случайно выбранном наsэкзамене билете школьнику .o o v v o o не достанется вопроса по теме «Механика». k k e l e l n o n o i k l k li Ответ n h n h n s o s o o . 0,4 . . o o o v v v o o o Решение e k k e l k l l o n количество билетовkoи количество билетовliпоn теме «Механика», hзначит, Мы знаем общее o i k l n s можем найти количество билетов НЕsh по теме «Механика»: on o . . o o v v o o 25 − 15 = 10.k k e l k e l l n o n o i o i k l k l k h n h n h Нас устроит любой попавшийся билет из этих 10: s s s .o .o o o v P (Билет НЕ по теме «Механика») = 10 =ko2 v= 0,4. o e e 25ol 5 lk n n i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o №5.1 (Дальний восток) k e k e l e l n n o n i o Помещение освещается фонарём с тремя lлампами. Вероятность перегорания одной лампыl i k k li в течение nне h n h n года равна 0,9. Найдите вероятность того, что в течение sгода хотя бы одна лампа o s o o . . o o. перегорит. v v o o k k e l e l Ответ n o n o i i k l k l 0,271 n h n h n s o s o o . . . Решение o o o v v v o то есть что все eлампы перегорят: lko o Найдём вероятность противоположного события, k k e l l n o n o i i k l k l ko n sh 0,9 sh· 0,9 · 0,9 = 0,729. .on o . o o v v o o искомая вероятностьeравна Тогда k e k l l n o n o i o i k l k l k n n 1 − 0,729 s=h0,271. sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 5 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 1 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% B1 ABC o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o .o №6.1 (Дальнийo.восток) o v v уравнения √4x − 23 = 3. o Найдите корень o k e k e l l n n o i o l Ответk k li n h n h s o o 8 s . . o v vo Решение o o k e k e l e l n n o n i l k l−i 23 = 9 ko li 4x n h n h n s o s o o . . 4x = 32 o v vo x = 8 o o k k e l e l n o n o i k l k li n h n h n s o s o o . . . o o o №6.2 (Дальний восток) v v v o o o Найдите кореньeуравнения 1 = 81. k k e l k l l n o n o 3 i o i k l k l h n h Ответ on s s o . . o 0,4 o v v o o k k e l k e l Решение l n o n o i o i k l k l k h n h n h s s=3 s 3 .o .o o o v v −5x + 6 = 4 o o k e e l lk n n x = 0,4 o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v №7.1 (Дальний восток) o o k e k √ l 23π e√ 23π e l n n o Найдите значение выражения 4 − 4 . 3 cos 3 sin n i o l k k li 12li 12 n h n h n s o s o Ответ . . .o o v 6 vo o o k e l e lk Решение n o n o i i k k угла cos 2x = cos xn−l sin x. Тогда lформуле косинуса двойного n h h По n s o s o o . . . o o √ o v v √ √ √ √ √ v 23π 23π 23π π 3 o o 4 3 cos e − 4 3 sin = 4 k3ocos = 4 3 cos = e4 3 · = 6. k l k l l 12 12 6 6 2 n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 6 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 5x−6 4 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% −5x+6 2 2 2 2 2 2 o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o .o №8.1 (Дальнийo.восток) o vточки −4; −2; 2; 5. В какой v o На рисунке oизображен график функции y = f (x) и отмечены k e l эту точку. ine lkзначение производнойinнаибольшее? o из этих точек В ответеkукажите o l l k n h n h s o s o . . o v vo o o k e k e l e l n n o n i l k li ko li n h n h n s o s o o . . o v vo o o k k e l e l n o n o i k l k li n h n h n s o s o o . . . o o o Ответ v v v o o o 5 k k e l k e l l n o n o i o k l Решение li k h убыn h производная положительна, n s s o o На промежутках возрастания функции на промежутках . o производной в точках на проo. v вания —vотрицательна, следовательно, нужно сравнитьoзначение o возрастания — в точках k k e l k e l межутках x = −4 и x = 5. l n o oкоэффициенту касательной, i проведенной к hk oЗначение производнойliвnx = x равно угловому l k k n h n s s положительных значений o shграфику функции в точке o . . x , следовательно, среди оно больше в той o o касательной больше. Если провести касательные v v точке, где угол наклона к данному графику в o o k e k e l l n точках x = −4 и x = 5, то угол наклона касательной в точке x = 5 будет больше, следовательно, n o i o l li будет больше. shk kпроизводной в этой точке n n h и значение s .o .o o o v v o o №9.1 (Дальний восток) k e k со скоростью v =n30e м/с, начал торможение l e l n o n Автомобиль, движущийся с постоянным ускоi o l k li k li n h at n h n s путь S = v t − 2 .o(м). o a = 4 м/cs. За t секунд после начала торможения он прошёл . .o рением o начала торможения, если известно, что за oэтоvoвремя Определите время, прошедшее с момента v o дайте в секундах. e k k l e автомобиль проехал 112 метров. Ответ l n o n o k li k li n h n h Ответ n s o s o o . . .7 o o o v v v o o o Решение e k k e l k l l n автомобиль пройдёт o n время t, прошедшееkотo момента начала торможения, i i k l Найдём, за какое l ko h n n s sh o 112 метров: .o . o t = 7, o v v o0 ⇒ o 30t − 2t = 112 ⇒ t − 15t + 56 = k e k e l l n o t = 8. n o i o i k l k l k on он пройдёт через sh sh Так как через t = 15.on= 7,5 секунд автомобильshостановится, то 112oметров . o2 v v o 7 секунд после начала торможения. o k e e l e lk n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 7 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 0 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 0 0 2 2 0 2 2 o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №10.1 (Дальний восток) o v тот же забор — за 36 часов. vo o Один малярoможет покрасить забор за 45 часов, а второй маляр k e e l lk n o За сколько oчасов маляры покрасятin такой же забор, работая вместе? i l k l k n h n h s o s o Ответ . . o v 20 vo o o k e k e l e l n Решение n o n i l ko красит 1 забора,nаliвторой маляр краситsh1k забора. li За час первыйshмаляр n n 45 36 o .o .o o 1 o 1 1 v + v= забора. Вместе за час они красят o o 45 k36 20 k e 1 : 1 = 20 часов.ol e l n n o Таким образом, для покраски забора малярам понадобится i k l k li 20 n h n h n s o s o o . . . o o o №11.1 (Дальний восток) v v v o f (x) = a . Найдитеe значение f (−2). lko o На рисунке изображён график функцииkвида k e l l n o n oy i o i k l k l h n h n s s o o . o o. v v o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l k h n h n h s 1 s s .o .o o o v x v 0 1 o o k e e l lk n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o k e k e l e l n n o n i o l k li k li Ответ n h n h n s o s o . . .o o 16 v vo o o k Решение e l e lk n o n o i i k проходит l точку (−1; 4), через которую k в уравнение функции Найдем l основание a, подставив n h n h n s o s o o . график: . . o o o 1 v v v f (−1) = 4 ⇔ a = 4 ⇔ a = o o o k 4 e k l k e l l o n o оно имеет вид lin i Значит, мы восстановили уравнение функции, k k l ko n n sh sh o o . . 1 o o f (x) = v v o 4 o k e k e l l n o n o i o i k l k l k Тогда имеем: n h s n sh o sh o 1 . . f (−2) = = 16 o o v 4 v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 8 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% x −1 x −2 o v o k l o k sh o k l o v %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №11.2 (Дальний восток) o v значение x, при котором vo o На рисунке oизображён график функции f (x) = kx + b. Найдите k e e l lk n n o выполнено o f (x) = −13,5. i l k li k n h n h s o s o y . . o v vo o o k e k e l e l n n o n i l k li ko li n h n h n s o s o o . . o 1 v vo o o k x k 0 1 e l e l n o n o i k l k li n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l n n sh sh o Ответ .o . o o v −7 v o o k k e l k e l l n o n o i oРешение i k l k l k h n h n h Определим коэффициенты k и b. Найдём k как тангенс угла наклона прямой: s s s .o .o o o v v ∆y 4 − (−3) 7 o o k = = = = 1,75 k e e l lk ∆x 3 − (−1) 4 n n o i o l k li k n h n h s s найти b, подставим одну Чтобы с уже найденным o из точек прямой в уравнение .o коэффици. o o v ентом k. Подставим точку (3; v 4) : o o k e k e l e l n n o n i o l k k4 = 1,75 · 3 + b ⇔ n4l=i 5,25 + b ⇔ b = s−1,25 li n h h n o s o . . .o o Значит, функция имеет вид v vo o o k l e lk f (x) = 1,75x − 1,25ine o n o i k l l уравнение на x : shk n h n Имеем n s o o o . . . o o o v v v o f (x) = −13,5 ⇔ 1,75x − 1,25 = −13,5 o ⇔ 7x − 5 = −54e ⇔ x = −7 o k k l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 9 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №11.3 (Дальний восток) o v значение f (2). vo o На рисунке o изображён график функции вида f (x) = a . Найдите k e e l lk n n o i o l k y li k n h n h s o s o . . o v vo o o k e k e l e l n n o n i l k li ko li n h n h n s o s o o . . 1 o v vo 0 1 o o x k k e l e l n o n o i k l k li n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k Ответ l h n h n s s o o 25 . . o o v v Решение o o k k e l k e l l n o n в уравнение функции o точку (1; 5), черезli которую проходит hk oНайдем основание a, подставив i k l k n h n s s o shграфик: o . . f (1) = 5 o o v v o o a =5 k e k e l l n n o i o l k li k a=5 n h n h s s .o .o функцию, она имеет вид Значит, мы восстановили o нашу o v v o o k e k e l e l n f (x)in =5 . o n i o l k l k li n h n h n s o s o . . .o Тогда o v vof (2) = 5 = 25. o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . №12.1 (Дальний восток) o o o v v v o o+ 24x − 2 · x . o Найдите точку максимума k k e l k функции y = l15 e l n o n o i i k l k l ko Ответ n h n sh s o o . . 64 o o v v o o Решение k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh3√x o sh o y = 24 − . . o o v v o o Тогда решим уравнение k e k e l e l n n o i o k y = 0 ⇒ 24n−li3√x = 0 ⇒ √x =sh8k ⇒ x = 64. onl h s . .o o o v v o o 10 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o x %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 1 x 2 3 2 ′ ′ o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . o v vo o o k e l lk восток) ine n №12.2 (Дальний o i o l l y = ln(x − 9) − s10xhk+ 12. k точку максимума функции n n h Найдите o s o . . o Ответ v vo o o k e k e 9,1 l e l n n o n i l k li li Решение shko n h n n s далее будем рассматривать o o o . . Заметим, что данная функция определена при x > 9, поэтому o v vo o o ее на промежутке (9; +∞). k k e l e l n o n Вычислим производную: o i k k li 1 nl n h h n s − 10 f (x) = o s o o . . x− 9 . o o o Далее найдем нули производной: v v v o o o k k e l k e l l n o n o1 i o i k l k l h h x − 9 − 10 = 0 ⇒.onx = 9,1 f (x) = 0 ⇒ n s s o . o o v v o Единственная критическая точка — это x = 9,1, в этой точке производная меняет знак. o k k e l k e l l n o n является ли x = 9,1 kточкой o максимума, нужноli определить знаки hk Для o того чтобы определить, i l k n h s s o shпроизводной при x <.o9,1nи x > 9,1. . o x = 9,1 является точкой Если x > 9,1, тоof (x) < 0, если x < 9,1, то f (x) > 0. Значит, точка v v o максимума, такko меняет знак с «+» на «−» k при проходе слева направо. e e l l как в ней производная n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s o s o . . .o o v vo o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 11 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o ′ ′ ′ %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% ′ o v o k l o k sh o k l o v %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №13. Уравнение o v vo o o k e l lk восток) ine №13.1 (Дальний n o i o l k l − π) = 0. k уравнение sin 2x −nsin(x a) Решите n h h s o s o . 7π . o б) Укажите корни этого o vуравнения, принадлежащие отрезку 2 ; 5π k.ov o e k e l e l Ответ n n o n i l k li kok ∈ Z li а) πk; ± 2π +s2πk, n h n h n s o o o . 3 . o v 14π vo o б) 4π; ; 5π. o k k e 3 l e l n o n o i Решение k l k li n h n h n s o s o а) o . . . o o − π) = 0 o v sin 2x − sin(x v v o ox + sin x = 0 o k k e l k e l 2 sin x cos l n o n o i o i k l k l h h x(2 cos x + 1) = 0 .on sin n s s o o o. sin x = 0 v v o o k e l k e 1lk l n o n cos x = k −o i o i k l l k 2 h n h n h s s s .o .o x = πk, k ∈ Z o o v v o 2π o k e x = ± + 2πk, k ∈ Z e l lk n 3 n o i o k Для этого отметим наnl ней дугу, li k корни на тригонометрической h n h б) Отберем окружности. s s o .o . 7π o o соответствующую отрезку v ; 5π , концы этой дуги и лежащие на ней точки v серий из пункта 2 o o k e k e l e l а). n n o n i o l k li k li n h n h n s 14π o o s . . .o o v v3o o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o 5π 4π o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o 7π o v v o o 2 k e k e l l n o n o i o i k l k l k 7π 14π n 2 ; 5π лежат точки sh sh 4π; 3 ; 5π. .on sh Следовательно, на .отрезке o o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 12 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №13.2 (Дальний восток) o vo 2 sin x + 3√3 sin π + x + 4 = 0. kov a) Решите уравнение o e e 2 l lk корни этого уравнения, n n o б) Укажите принадлежащие отрезку [?; ?] . i o l k li k n h n h s o s o Ответ . . o o 5π v + 2πk, k ∈ Z ov а) ± o k e 6 k e l e l n n o n i l k li ko li Решение n h n h n s o а) s o o . π . √ o 2 sin xvo + 3 3 sin +x +4=0 v o 2 o k k e l e √ l n o n o i 3 cos x + 4 = 0 2 − 2 cos x + 3 k l k li n h √ n h n s o s 2 cos x − 3 3 cos.ox − 6 = 0 o . . o o √ vo √ v v o 2 cos x + 3 o cos x − 2 3 = 0 o k k e l k e l √ l n o n ocos x = − 3 i o i k l k l h n h n s s 2 o o . √ o o. cos x = 2 3 v v o o k k e l k e 5π l l n o n x=± + 2πk,o k ∈ Z i o i k l k l 6 k h n h n h s s s .o .o o o v v o o k e e l lk n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s o s o . . .o o v vo o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 13 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 2 2 2 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 2 o v o k l o k sh o k l o v %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №13.3 (Дальний восток) o v vo cos π + 2x = √2 sin x. o а) Решите уравнение o k e e 2 l lk n n o i o k −3π; − 3π2 . nl li принадлежащиеsотрезку k корни этого уравнения, б) Укажите h n h o s o . . o o Ответ v v o o 3π k e e l e а) πk; ± + 2πk, klk∈ Z n n o n i o 4 l k li k li n h n h n s o s 11π . o o . . б) −3π; −2π; − o o 4 v v o o Решение k e l e lk n o o i а)lin k k √ nl n h h n s 2 sin x − sin 2x = o s o o . . . o o √ o v v v −2 sin x cos o o x =√ 2 sin x o k k e l k e l l o n −2 sin xocos x − 2 sin x = 0 lin o i k k l √ h n h n s −ssin x(2 cos x + 2) = 0 .o o o o. v v sin x = 0 o o k e l k e √lk l n o n o2 i o i k l k l k cos x = − h n h n h s 2 s o s . .o o o x = πk, k ∈ Z v v o o k e e 3π l lk n n x = ± + 2πk, k ∈ Z o i o l k li 4 k n h n h s s корни на тригонометрической o .oна ней дугу, б) Отберем окружности. Для этого отметим o. o 3π v точки серий из o соответствующую отрезкуov−3π; − , концы этой дуги и лежащие на ней k e k 2 e l e l n n o n i o l k li k li пункта а). n h n h n s o s o . . .o 3π o v vo − 2 o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v −3π −2π v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o 11π v v − o o 4 k e k e l l n o n o i o i k l k l k h n h n s s 3π 11π o sh Следовательно, на .отрезке o . −3π; − лежат точки −3π; −2π; − o . o 2 v4 v o o k e e l e lk n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 14 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №13.4 (Дальний восток) o v vo sin 2x + 2 sin x = 0. o а) Решите уравнение o k e e l lk все его корни, принадлежащие n n o . б) Найдите отрезку −2π; − i o l k li k n h n h s o s o Ответ . . o o π v а) πk; − + πk, k ∈ Z ov o k e 4 k e l e l n n o n i l k li ko li б) −π; − 5π ; −2π n h n h n s o o 4 s o . . o Решение v vo o o k k e a) l e l n o n o i k sin 2x + 2 sin x =l 0 k li n h n h n s o s o o . 2 sin x cos x + 2.sin x=0 . o o o v v v o 2 sin x(cosox + sin x) = 0 o k k e l k e l l n o n o i o i k l 2 sinkx = 0, l h h n ⇔ on s s o . cos x + sin x = 0 o o. v v o o k k e sin x = 0,e l k l l n o ⇔ ⇔ n− cos x, | : cos x(т.к. coskxo= 0 не явл. решением)li o i k l k sin x = h n h n h s s .o x = πk, k ∈ Z, s x = πk, k ∈ Z,vo.o o v ⇔ ⇔ o π o e k x = − +lkπk, k ∈ Z tg x = −1e l n n o 4 i o i k l k l n h n h б) Отберём на промежутке −2π; − . s o s корни с помощью.oтригонометрической окружности . o o v v o o 3π k e k e l − e l n n o 2 n i o 5π i l k l k li − n h n h n 4 s o s o . . .o o v vo o o k e l e lk −π −2π n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o− π i i k l k l ko n n sh sh 2 o o . . o o v i h v 5π π o o Следовательно, на отрезкеe −2π; − лежат точкиlk−π; −2π; − . e k l 2 4 n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 15 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 2 π 2 2 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 2 π 2 o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №14. Стереометрия o v vo o o k e l lk восток) ine №14.1 (Дальний n o i o l k l SABC стороныshоснования k В правильной треугольной пирамиде ABC равны n 12, а боковые n h oИзвестно, что s o . . рёбра — 25. На рёбрах AB, AC, и SA отмечены точки F, E и K соответственно. o v vo o AE = AF = 10, AK = 15.o k e k e l e l 5 n n o n i k пирамиды SABC. nl li составляет 12 от объёма koобъём пирамиды KAEF li a) Докажите,sчто h n h n s o o o б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KEF. . . o v vo o Ответ o k √ e l e57 lk n o б) i10 n o i k l k l n h n h n s o s Решение o o . . . o o и F E = 10. Заметим, что o a) △ABC ∼ △AEF, тогда AEF равносторонний v v v o o o k k e l k e l l n o n FE 5o S 25 i o i k l k l = ⇒ = . h n BCsh 6 S 36 on s o . o o. ∼ △ASH, следовательно, v v △AKK o o k k e l k e l l n o n i o 15ko 3 KK i k l l k = = . h n h n h s SH s25 5 s .o .o o o v v Тогда o o k e 1 e l lk n S · KK n o i o V 5 i =3 l l k =hk . n n h 1 12 s S · SH s .o .oV o 3 o v v o o k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s o s o . . .o o v vo o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n 1 n o i o i l k AC l k 6 n h 2 n h s б) Найдём s cos ∠KAE = AS .o= 25 . .o o o v v o o 16 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o AEF ABC 1 1 AEF %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% KAEF SABC ABC 1 o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s 253 ⇒ KE = √253..o o . По теореме косинусов для △AKE : KE = o o √ v v Так как △KAE o = △KAF, то KF e= KE = 253. AE = 10lkизoпункта а). e k l n n o Пусть Po— середина EF. Тогда iEP = P F = 5. i l √ k l k √ 1 n h n h = KP Найдём из △KP E: KP = 2s 57. Тогда S o·F E = 10 57. s KP по теореме Пифагора o . . 2 o v vo o o k e k e l e l n n o n i l k li ko li n h n h n s o s o o №15. Неравенство . . o v vo o o k k e l e №15.1 (Дальний восток) ol n o n i k l li неравенство: shk n h Решите n n s o o . 49 − 6 · 7 + 3 6 · 7.o− 39 . o + o ⩽ 7 + 5. o v v 7 −5 7 −7 v o o o k k e l k e l l n o Ответ n o i o i k l k l h n h n (−∞; 0] ∪ (log 5; 1) s s o o . o o. Решение v v o o t = 7 . Неравенствоeпримет вид: k k e l k Пусть l l n o n o i o i k l k l k h n h n h s t − 6t + 3 6t − 39 s o ⩽t+5 s +. .o o o −7 v (t − 6t + 3)(t − 7) + (6t − 39)(t − 5) −t −(tk5+ov5)(t −t 5)(t o − 7) k e l ⩽ 0 ne l n o (t − 5)(t − 7) i o i l k l k n h s − t + 7t + 25t − 175.o⩽ 0 sht − 7t − 6t + 42t + 3t.o−n21 + 6t − 30t − 39t + 195 o (t − 5)(t − 7) o v v o o t− 1 k e k e l ⩽ 0. e l n n o (t − 5)(t − 7) n i o l k li k li n h n h n s o s неравенство методом o . . Решим полученное интервалов: .o o v vo o o k − lk + − e+ l e n o n o i i k l7 k 1 l t n h 5 n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o Тогда решением eнеравенства будет совокупность: k k e l k l l n o o n i i k l k l ko t⩽1 h7 ⩽ 1 ⇔ x ⩽ 0.on n sh ⇔s o . 5<t<7 5<7 <7 logvo5 < x < 1. o v o o k e k e l l n o n o Таким образом, получим ответ: x ∈ (−∞; 0] ∪ (log 5; 1). i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 17 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 2 KF E x x x x x x 7 x 2 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 2 3 2 2 2 3 x x 7 7 2 o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №15.2 (Предположительно дв) o v vo o Решите неравенство: o k e l lk 1ne n o i o l li 9 + log x − 2 ⩽ 4 logshkx. k log n n h o s o . . o o Ответ v v o o k (0; 1) ∪ (1; 9] ∪ [81; +∞) e k e l e l n n o n i l k li li Решение shko n h n n s o o o . . Запишем ОДЗ неравенства: o v vo o o k k e l e x l> 0 n o n o i k l ∪ (1; +∞). kx ̸= 1 li n h n h n ⇔ x ∈ (0; 1) s o s o o . . . o o log 9 ̸= 0 o v v v o o o k k e l k e l l n на ОДЗ 1 =kolog x = log x = 1 log lix,nа log x = log x = h1 klogo x. o По свойствам логарифма i l n h n s4 log s9 2.o o . Тогда неравенство примет вид: o o v v o o k k e l k e l 1 1 l n o n 2 log x + log x −k2o⩽ 4 log x. i o i k l l k h n h n h s s s Пусть t = log x, тогда:.o .o o o v v 3 1 o o t − 2 ⩽ t · 4 k e l lk 2e 4 n n o i o l li 6t − 8 ⩽ t shk k n n h s .o .o o o v t − 6t + 8 ⩾ 0 v o o k e k e l e l n n o (t − 2)(t − 4) ⩾ 0. n i o l k li k li n h n h n s o s получим: o . . .o По методу интервалов o o v v o o k + + − e l e lk n o n o i i k l t k l 2 4 n n h h n s o s o o . . . o o o v v v t⩽2 log x ⩽ log 3 x ⩽ 9 o o o ⇔ ⇔ k k e l k e l l o t⩾4 logox ⩾ log 3 x ⩾ 81.in n i k l k l ko n nполучим x ∈ (0; 1) ∪ (1;s9]h ∪ [81; +∞). sh o С учётом ОДЗ o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 18 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 2 81 3 x x 32 9 3 x 3 2 3 3 3 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 2 2 2 2 3 3 3 3 4 81 34 3 o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №15.3 (Предположительно дв) o v vo o Решите неравенство: o k e l lk 9 − 6n · 3e + 4 6 · 3 − 51 n o i o + ⩽ 3 + 5. i l k 3l − 5 3 − 9 hk n n h s o s o . . o Ответ o v v o o (−∞; 1] ∪ (log 5; 2) k e k e l e l n n o n i l k li li Решение shko n h n n s o o o . Пусть t = 3 . Неравенство примет вид: . o v vo o o k t − 6t + k e 4 + 6t − 51 ⩽ t + 5 ol e l n n o i −9 k k− 9) + (6t − 51)(t − 5)n−tl−(t5+ 5)(t −t 5)(t li n h h n s (t − 6t + 4)(t − 9) o s o o . . ⩽ 0 . o o 9) o (t − 5)(tv− v v o o + 255 − t + 9t + 25te− 225 o k t e − 15t + 58t − 36 + 6t −lk 81t l k l ⩽0 n o n o− 5)(t − 9) i o (t i k l k l h n2(t − 3) h n s s o o . o (t − 5)(t − 9) ⩽ 0. o. v v o o k k e l k e l l n o Решим полученное неравенство методом интервалов: n o i o i k l k l k h n h n h s s + s − + .o .o − o o vt v o o 3 5 9 k e e l lk n n o i o l li совокупность: shk k n n h Тогда решением неравенства будет o s o . . o o v v o x⩽1 tk ⩽o3 3 ⩽3 k e e l l e ⇔ ⇔ n n o n i o l k 5 < t < 9 3 n<l3i < 3 log 5 < xsh<k2. li n h n o s o . . .o Таким образом, получим o ответ: x ∈ (−∞; v vo 1] ∪ (log 5; 2). o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 19 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o x x x x x x 3 x 2 2 2 2 3 2 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 3 x log3 5 1 x 2 3 3 o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №15.4 (Красноярский край) o v vo o Решите неравенство o k e e lk 1ol 2 · 3 · 3 − 19 n n i o 3 − l li 8 − 9 − 5 · 3 + 6 ⩽s3hk− 3 . k n n h o s o . . o Ответ v vo o o k e k e l e l n n o n i l k li ko li n h n h n s o s o o . . o v vo o o k k e l e l n o n o i k l k li n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l h n h n s s o o . o o. v v o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l k h n h n h s s s .o .o o o v v o o k e e l lk n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s o s o . . .o o v vo o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 20 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o x x x %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% x x o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №16. Экономическая o v vo o o k e l lk восток) ine №16.1 (Дальний n o i o l k 2020 года планируетсяnlвзять кредит в банкеsнаhkсумму 419 375 рублей. В июле Условия его n h o s o . . возврата таковы: o o v vувеличивается — каждый январь долг на 20% по сравнению с концомko предыдущего года; o e k e l e l n n o — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. n i o i l k l kбудет li Сколько рублей n h n h n выплачено банку, если известно, что кредит s будет полностью погашен o s o o четырьмя равными . . o платежами (то есть v vo за четыре года)? o o k k e l e Ответ l n o n o i k l k li 000 648 n h n h n s o s o o . . . o o o Решение v v v o o руб. сумму кредита, eза x руб. — ежегодный плаo Составим таблицу, обозначив за S = 419375 k k l k e l l n начисления процентов. o o увеличивается долг lпосле i o теж, а за k = 1l+in = 1,2 — во сколькоhkраз k h n n s s o o . o o. v v o o Год Долгe в руб. Долг в kруб. Платёж в руб. k e l k l l n o n o i o доliначисления после начисления k l k k h n h n h s sпроцентов s o процентов .o . o o 1v S kS v x o o k x e e kS − x k S − kx l lk2 n n o i o l k k 3 k S − kx −lxi k S − k x − kx x n h n h s 4 k S − k x.−o kx − x k S − k x − k xs− kx .o x o o v v года кредит погашен, то o o Так как в конце четвертого k e k e l e l n n o n i o i l k l k li n h n h n s k S − kox − k x − kx = x. o s . . .o o v vo вида: Это уравнение преобразуется в уравнение o o k e l e lk n o n o i i k k x(k + k + k + 1) n=lk S l n h h n s o s o o . . . o k − 1vo o v v = k S x o o k −ko 1 k e l k e l l n 0,2 o nk − 1 o0,2 i i k l k l ko x =n Sk = 419375 · 1,2 h· n · 1,0736 = 162000. sh s 1,2 − 1 = 419375 · 2,0736 k −1 o o . . o значит, сумма выплат составила o что за четыре года банку выплачено 4x рублей, v Заметим, v o oрублей. k e k e l 648 000 l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 21 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 20 100 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 2 2 3 3 2 2 4 4 3 3 3 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №16.2 (Дальний восток) o v Условия его возврата vo взять кредит в банке на сумму 545 000koрублей. В июле планируется o e e l lk n n o таковы: i o i l k l k n h n h — каждый на 40% по сравнению с концом предыдущего s o года; s январь долг увеличивается o . . o o года необходимо выплатить одним платежом — с февраля по июнь каждого v часть долга. v o o k полностью погашенne Сколько рублей будет выплачено банку, еслиeизвестно, что кредит будет k l e l n o n i o (то есть за три года)? i l i k тремя равными платежами l k l n h n s o sh o on . . Ответ o v vo 1 029 000 o o k k e l e l n o n o i Решение k l k li таблицу, обозначив n h n h n s o Составим за S = 545000 руб. сумму кредита, за x руб. — ежегодный плаs o o . . . o o oтеж, а за k = 1 + = 1,4 — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов. v v v o o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l h n в руб. h Долг в руб. .oПлатёж n s s Год Долг в руб. o o o. до начисления после начисления v v o o k k e l k процентов процентов e l l n o n S o i o i k l k l k 1 kS x h n h n h s s s 2.o kS − x k S − kx x .o o o v v 3 k S − kx − x k S − k x − kx x o o k e k e l l n n o i Так какkвoконце третьего года кредит будет погашен, то l k li n h n h s .o .o k S − k x − kx = x.s o o v v o o k e k e l e l n Это уравнение преобразуется в уравнение вида: n o n i o l k li k li n h n h n s o s o . . .o o x(k + k + 1) = k S v vo o o k k − 1 l e lk x k − 1 = k S ine o n o i k l k l n h n h n s o s o k − 1 0,4 0,4 o . . 545000 · 2,744 · = 343000. . x = Sk = 545000 · 1,4 · = o o o v k − 1 1,4 − 1 1,744 v v o o3x рублей, значит, сумма, o Заметим, что за eтри года банку заплатили k k e l k l выплаченная банку, l n o o i k l k linрублей. ko составила 1 029n000 n sh sh o o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 22 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 40 100 2 3 2 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 2 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №16.3 (Дальний восток) o v 800 тысяч рублей. Условия vo o В июле 2026oгода планируется взять кредит на 3 года в размере k e k e l lтаковы: n n o сго возврата i o i l k l k n h n h — вsянваре 2027 и 2028 годов долг будет возрастать sна 10% по сравнению с o концом предыo . . o o дущего года; v v o o k — в январе 2029 года долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего e k e l e l n n o n i o i l i k года; l k l n h долга. n s o shиюнь каждого года необходимо o — с февраля по выплатить часть on . . oдолжен oдолжны v Платежи в 2027, 2028 и 2029 годах быть равными; к июлю 2029 года долг v o o k k e l e быть выплачен полностью. l n кредита. o n сумму всех платежей o после полного погашения i i k l k l Найдите n n h n sh o s o o . . . o o o Ответ v v v o o o 990 000 рублей e k k e l k l l n o n o i o k l k Решение li h n за x руб. — ежегодный h 800000 руб. сумму кредита, n s s o o Составим таблицу, обозначив за S = пла. . o o v v два года долг увеличивался в 1 + = k1,1o раза, а в третий — в 1e+ = 1,2 раза. теж. В первые o k l k e l l n o n o i o i k l k l k h n h n h s s в руб. Платёж в.oруб. s Год .o Долг в руб. Долг o o v v до начисления после начисления o o k e k l l процентовne процентов n o i o l k x li k n h 1 Sn 1,1S h s s .o .o− x 2 1,1S 1,1 S − 1,1x x o o v v S − 2,1x 1,2(1,1 S − 2,1x) o o 3 1,1 x k e k e l e l n n o n i o l k li погашен, то года кредит будет k li Так как в концеshтретьего n h n n s o o . . .o o v vo S − 2,1x) = x 1,2(1,1 o o k l e lkуравнение вида: ine o n o Этоiуравнение преобразуется в k l k l n h n h n s o s o o . .1,2 · 2,1x . o o o 1,2 · 1,1 S = x + v v v o o o k k e l k e l l 3,52x n o n o = 1,2 · 1,1 S i i k l k l ko h = 12 · 11 · 80000.=on330000. n 1,2 · 1,1 · s 800000 sh o x= . 3,52 32 vo o v o значит, сумма, выплаченная o что за три года eбанку заплатили 3x рублей, Заметим, банку, k e k l l n o n o i o k l составила 990 000 рублей. li k k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 23 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 20 100 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 10 100 2 2 2 2 2 2 2 o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №16.4 (Дальний восток) o v177 120 рублей. Условия его vo o В июле 2026oгода планируется взять кредит в банке на сумму k e e l lk n n o возврата таковы: i o i l k l k n h n h — каждый на 25% по сравнению с концом предыдущего s o года; s январь долг увеличивается o . . o o года необходимо выплатить одним платежом — с февраля по июнь каждого v часть долга. v o o k полностью погашенne Сколько рублей будет выплачено банку, еслиeизвестно, что кредит будет k l e l n o n i o i l i k четырьмя равными kплатежами (то есть за четыре года)? l l n h n s o sh o on . . Ответ o v vo 300 000 o o k k e l e l n o n o i Решение k l k li таблицу, обозначив n h n h n s o Составим за S = 177120 руб. сумму кредита, за x руб. — ежегодный плаs o o . . . o o oтеж, а за k = 1 + = 45 — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов. v v v o o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l h Долг в руб. .on Платёж в руб. sh n s Год Долг в руб. o o o. v до начисления после начисления v o o k k e l k e l процентов процентов l n o nS o i o i k l k l k 1 kS x h n h n h s sk S − kx s .ox .o kS − x 2 o o v x 3ov k S − kx − x k S − k x − kx o k e lk4 k S − k x − kxi−nxe k S − k x − k x −kkxol n x i o l l k n h n h s в конце четвертого.года Так как o кредит погашен, то s .o o o v v o o k e k k S−k x−k e x − kx = x. l e l n n o n i o i l k lвида: k li Это уравнениеsпреобразуется n h n h n в уравнение s o o . . .o o o v v o o x(k + k + k + 1) = k S k e l e lk n o n o i i k l k k −1 l n h h = koSn x n s o s o . k − 1 . . o o o v v v 5 4 5 k − 1 5 1 o o · · o x = Sk k − 1 =e 177120 · 4 · = 177120 = 177120 · · = 75000. lk k e k l l 4 5 −4 −1 o n 4 369 o n i i k l k l ko h 000 n выплат составилаs300 n за четыре банку выплачено Заметим, o что sh 4x рублей, значит,.oсумма . o рублей. vo v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 24 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 25 100 2 3 3 2 4 4 3 3 2 3 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 2 2 2 2 4 4 4 1 4 4 4 4 4 54 44 4 4 3 4 4 4 o v o k l o k sh o k l o v %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №17. Планиметрия o v vo o o k e l lk восток) ine №17.1 (Дальний n o i o l и AD. Изk l k — вписанный пятиугольник. ABCDE M — точка пересечения диагоналей BE n h n h s o s o . . вестно, что BCDM — параллелограмм. o v vo o а) Докажите, что две oстороны пятиугольника равны. k e k e l e l n n o б) Найдите AB, если известно, что BE = 12, BC = 5, AD = 9. n i l k li ko li n h n h n s o s o Ответ o . . o v б) 10 vo o o k k e l e l Решение n o n o i k l k liТак как BCDM — параллелограмм, n h n h а) то CD ∥ BM. n s o s o o . . . o окружность ⇒ EBCD — равнобед-ovo o Тогда EBCD — трапеция, вокруг которойoописана v v o ренная трапеция e⇒ DE = BC. k k e l k l l n o n o i o i k l k l h n h n s s .o .o o o v v o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l k h n h n h s s s .o .o o o v v o o k e e l lk n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s o s o . . .o o v vo o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n h n sh s o o . . б) Аналогично трапеция и AB = CD. o o пункту а) получаем, что ABCD — равнобедренная v v o Так oкак DM = BC = 5, то AM = AD − DM = 9 − k 5 = 4. e k e l l n o n i o Пусть AB = BM = CDli= x. Так как AM · M D k=oBM · M E, получаем уравнение: k l k n sh o sh 4 · 5 = x · (12 − x) .o⇒n x = 2 и x = 10. sh . o равны 5, 5 и 10, что не o x = 2, то M E = 10. В △M DE стороны будут Заметим, что если v v o o k e возможно по неравенству треугольника.e k l e l n n o i o l k Тогда получаем k AB = 10. nli n h h s s .o .o o o v v o o 25 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №17.2 (Дальний восток) o v пересекает описанную vo окружности треугольника ABC. BO kвторично o O — центр вписанной o e e l lk n n o окружностьoтреугольника ABC в точке P. i i l k l k n h n h а) Докажите, что ∠P OA = o ∠P AO. s o s . . o o б) Найдите площадь треугольника AP C, если известно, что радиус его описанной окружноv v o o k сти равен 8, а ∠ABC =lk60 . e e l e n n o n i l k li li Ответ√ shko n h n n s o o o . . б) 16 3 o o v v o o Решение k k e l Введем e l n o n o i а)lТак как O — центр вписанной в △ABC окружности, то AO и BO — биссектрисы. i k l k n h n h n s o обозначения: ∠BAO = α, ∠ABO = β. Следовательно, по теореме о внешнем угле имеем: s o o . . . o o o v v v o o=α+β o ∠AOP k k e l k e l l n o n o i o i k l k l h nна одну и ту же дугу. sСледоваh Углы β o =n∠CBP = ∠CAP как вписанные, опирающиеся s o . . o тельно, vo v o o k k ∠P AO = α + β = l∠AOP e l k e l n o n o i oЧто и требовалось доказать. i k l k l k h n h n h s s s .o .o o o v v o o k e e l lk n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s o s o . . .o o v vo o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o б) Так как ABCP — вписанный четырёхугольник, то ∠AP C = 180 − ∠ABC = 180 − 60 = o k e k e l l n o n o 120o. i i k l k l k nтеореме синусов для sh n угла ABC, то ∠ABP sh = ∠P BC = 30 . По o sh Так как BP — биссектриса o . . треугольника AP C, oу которого описанная окружность совпадает v с oописанной окружностью v o o найдём P C = AP e= 2R sin ∠ACP = 2R sinlk∠ABP = 2 · 8 · 1 = 8. eТогда треугольника ABC, k e l 2 in o o i√n √ l k 1 nl 3 1 hk n h S = sAP · P C sin ∠AP C = ·o8 · = 16 3. s .o 2 2. 2 o o v v o o 26 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% ◦ ◦ ◦ ◦ AP C 2 ◦ ◦ o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №18. Параметр o v vo o o k e l lk восток) ine №18.1 (Дальний n o i o k система уравненийnl l a, при каждом из которых k все значения параметра Найдите h n h s o s o . . o v vo (x − 3)(y + 3x − 9) = |x − 3| o o k e k e l e l n n o n i y = x + a li l k ko li n h n h n s o s o o . . имеет ровно четыре различных решения. o o v v o o Ответ k k e l e l n o n o i a∈ k l li (−7; −3) ∪ (−3; 1) shk n h n n s o o o . . Решение . o o получим o Подставив второе уравнение системы в первое, v v v o o o k k e l k e l l o n o + a − 9) = |x − 3| lin o i k k l (x − 3)(4x h n h n s s o o . o o. уравнение с модулем равносильно совокупности v v Полученное o o k k e l k e l l ( n o n (x − 3)(4x + a − 9 −ko(x − 3) ) = 0 i o i k l l k h n h n h s s .o .o (x − 3 ⩾ 0 s o o v v (x − 3)(4x + a − 9 + (x − 3) ) = 0ko o e e l lk n o x − 3in <0 i o l k l k n h n h ( s o s o . . (x − 3)(x − 10x + 18 − a) = 0 o o (1) v v x ⩾ 3 o o k e k ( e l e l n n o n i o l k k (x − 3)(x −n2xli+ a) = 0 li (2) h n h n s o s x<3 o . . .o o o v v o o Тогда исходная система имеет четыре решения в одном из нижеследующих случаев. k e l e 1. Система (1) имеетoтри lk решения и системаi(2) n o n Случай имеет одно решение. i k l k l 2. Система (1) имеет n h n h n s o Случай два решения и система (2) имеет два решения. s o o . . Рассмотрим эти случаи по отдельности. vo. o o v v o o o k k e l k e l l n o n o i k l k Случай 1. li ko nимеет три решения, если sh уравнение x − 10x +.o18n− a = 0 имеет два корняshи оба o Cистема .(1) o o 3. v v корня больше o o f (x) = x − 10xe+ 18 − a. Тогда имеем систему: k e k l l Обозначим n o n o i o i k l k l k h n ha) > 0 n s s o sh o . D = 4(7 + . o o v v 10 o o x = >3 k e k e l 2 e l n n o i o l k li f (3) > 0 k n h n h s s .o .o o o v v o o 27 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 3 3 2 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 2 2 2 2 2 в o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o .o Отсюда имеем o. o v v o a ∈ (−7; −3) o k e e l lk n n o i o kиз условий а) или б). nl li если выполнено одно k (2) имеет одно решение, Система h n h s s а) Уравнение x −2x+a = 0.o имеет один корень и этот корень меньше 3. Тогда.o o имеем систему: o v v o o k e k e D = 4(1 − l a) = 0 e l n n o n i l k l2i < 3 ko li x = n h n h n s o s o o 2 . . o v vo o Отсюда имеем o k k e l e l n o n a = 1 o i k l k li n h n h n s o o o . б) Уравнение x − 2x + as= 0 имеет два корня и.эти корни находятся по разные стороны от 3 . o3. Обозначим g(x) = x − 2x + a. Тогда имеемovo oлибо один корень равен 3, а другой корень левее v v o o систему: k k e l k e l l n o n o 4(1 − a) > 0 i o i k l k l D = h n h n s s .o .o g(3) < 0 o o v v o o k e l g(3) = 0 lk k e l n o n o3 i o i k l k l k x = 2h< h n n h s s2 o s o . . o o Отсюда имеемv v o o k e a ⩽ −3 e l lk n n o i o l k k множества (−7; −3)nиli(−∞; −3] ∪ {1}, получим n h Пересекая h s s .o .o o o v v o a ∈ (−7; −3) o k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s o s o . . .o Случай 2. o v vo o Система (1) имеет два решения, o если уравнение x − 10x + 18 − a = 0 имеет один корень и k e при этом меньший l находится e больше 3, либо еслиoэто lk уравнение имеет дваinкорня, o n этот корень i k l kверно, так как если уравнение l или совпадает c 3. Это n h n h n левее 3 x − 10x + 18 − a = 0 имеет 2 s o s o o . . параболы, то есть правее 10 = 5 > 3, а vo . то больший из них находится правее вершины o o корня, v v o 2 o o k k e значит является решением системы (1). l k e l l n o n o i i k l k Отсюда имеем l ko n h n sh o as∈ {−7} ∪ [−3; +∞) .o . o o v v o o (2) имеет два решения, Система если уравнение x −k2x + a = 0 имеет два корня и оба корня e k e l l n o n o i o 3. меньше i k l k l k n sh sh o sh Отсюда имеем .on . o o a ∈ (−3; 1) v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 28 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 2 в 2 2 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% в 2 2 2 o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s 1), получим o o . . Пересекая множества {−7} ∪ [−3; +∞) и (−3; o v vo o o k e e l lk n a ∈ (−3; 1) n o i o l k li k n h n h s 2, получим окончательно o s o . . Тогда, объединив значения параметра из случаев 1 и o v vo o o k e k e l e l n a ∈ (−7; −3) ∪ (−3; 1) n o n i l k li ko li n h n h n s o s o o . . o v vo o o k k e l e l №18.2 (Не проверено) n o n o i k k a уравнение nl li каких значениях параметра n h При h n s o s o o . . . o o o v v v 2a(x + 1) − o o|x + 1| + 1 = 0 e o k k l k e l l n o n o i o i k l k l имеет четыре различных корня? h h n n s s o o . o Ответ o.1 v v o k a k∈o 0; k e l e l l 8 n o n o i oРешение i k l k l k h n h n h s s Сделав замену |x +.o1| = t, получим уравнение,s почти всегда квадратное, .o кроме случая a = 0, o o v v o при котором оноoвырождается в линейное: k e e l lk n n o i o l li 2at − t + 1 = 0 (∗)shk k n n h s .o .o o o v v каждого фиксированного t определим, какоеkколичество o Исследуем замену, то есть o для решений e k e l e l n n o относительно переменной x мы получим, делая обратную замену: n i o l k li k li n h n h n s o s два корня x; .o . • при t > 0 имеем .o o o v v o o • при te= 0 имеем один кореньlk x; k e l n o n o i i k l k x. l n h • nпри t < 0 не имеем корней n h s o s o o . . . Так как уравнение (∗) может иметь максимумvдва o o o корня t, то наибольшее количество корней ov v o o исходного уравненияe — четыре, что и требуется. k k e l k l l n o n k и li (∗) является квадратным ko вариант: уравнение li единственный подходящий ko Следовательно, h n h n s s .o имеет два корня, .o причем положительных. o o v записать в системе: v Это oобеспечивается следующими условиями, которыеoнужно k e k e l l n o n o i o i k l • a ̸= 0, так как уравнение (∗) — квадратное; k l k n n sh sh o sh • D = 1 − 8a > 0, так o . . o o как уравнение имеет два корня t; v v o o k положительно; ne k e l e l • > 0, так как для двух положительных корней произведение n o i o i l k l k n h n h s положительна. .o • >s 0, так как для двух положительных корней сумма o . o o v v o o 29 e k e k l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 2 2 1 2a 1 2a o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s получаем .o o . Решая эти неравенства и пересекая их решения, o o v v o o k e k e l 1 l n n o a ∈ 0; i o l k li k 8 n h n h s o s o . . o v vo o o k e k e l e l n n o n №18.3 (Дальний восток) i l k уравнений li из которых система ko параметра a, приnкаждом li Найдите все значения n h h n s o s o o . . o o v v o o (x + 3x + y − 4) (x − y + 4) ⩾ 0 k e l e lk n o n o i k k ax − y − 2a + 3 = 0 nl li n h h n s o s x ⩽ 0 o o . . . o o o v v v o o o имеет хотя бы одно k k e l k e l решение. l n o n o i o i k l k l h n h n Ответ s s o o . o a ∈ [−1; o.+∞) v v o o k k e l k e Решение l l n o n o i oРассмотрим первое неравенство: i l k (x + 3x + y h −k4) (x−y +4) ⩾ 0. Пустьnyl (x) = −x −3x+4 — hk n s o b s shуравнение параболы .сoветвями . = −1,5, y = y (x ) = 6,25. Пусть y (x) = x + 4 — вниз, x = − o oТогда неравенство равносильно: 2a v v o линейная функция. o k e k e l l n n o i o l k li k n h (y − y (x))(y − y (x)) ⩽ 0. n h s s .o .o o o v лежать «выше» vбудут такие области, каждая точка которых будет Решением этого неравенства o o k e kордината больше, чемneна графике) и «ниже»oдругого l e l n одного из графиков (т.е. (т.е. ордината n i o l k функций y (x), y (x). li на одном из графиков k или же точка лежит li меньше, чем на графике), n h n h n s o o . . .o Учитывая условиеs x ⩽ 0, изобразим vграфики o y (x) и y (x) в плоскости xOy, предварительно o v o o отыскав точки пересечения их графиков: k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n y (x) = y (x) s o s o o . . x+4 . o o o −x − 3x + 4 = v v v o o4x = 0 o k k e l k e x l+ l n o n o i i k l k l ko + 4) = 0 n n sh shx(x o o . . o x = 0 o v v o o k e k e l y=4 l n o n o i o i k l k l k n h x = s−4 n sh o sh o . . o y = 0. o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 30 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 2 2 2 1 0 1 0 2 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 0 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 o v o k l o k sh o k l o v %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . y o v vo o o k e e l lk n o i o I lin l k k n h n h s o s o 4 II . . o v vo o o k e k e l e l n n o n i l −4 k li ko li n h n h n sx o s o o . . III o v vo o o k k e l e l n o n o i k l IV k li n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l h n h включая их границы. n s Как видно, подходят области II иsIV, o o . o o. второе уравнение системы: Рассмотрим v v o o k k e l k e l l n o n o3 = 0 i o ax − y − 2a + i k l k l k h n h n h s s y = ax s − 2a + 3 .o .o o o v v y = a(x − 2) + 3. o o k e e l lk n n o i o l k коэффициентом a. nРассмотрим li точку (2; 3), с угловым kпрямых, проходящих через Это пучок h n h s s .o .o некоторые случаи. o o v v y (x). 1) Случай касания с параболой o o k e k y = −x − 3x + n4 e l e l n o n i o l k решение ⇔ квадратное li имеет единственное kсистема li Условие касания: n h n h n s o − 2) +3 o . . .o уравнение −x − 3xs + 4 = a(x −y2)=+a(x3vимеет o o единственное решение. v o o k e D = 0. Тогда квадратное уравнение x lk+ x(a + 3) − 2a − 1 = 0 имеет l e n o n o i i Найдем l дискриминант: Dsh=k(a + 3) − 4 · 1 · (−2a −n1)l =a +a 3+ 14a + 13 = (ash+k13)(a + 1) = 0 on n .oОтсюда получаем a = −13 с точкой касанияvox.o= − 2 = 5 > 0 или a = −1 с точкой vo. o vкасания x = − a + 3 = −1 < 0. o o o k k e l k e l l 2n n условия x ⩽ 0. ko o при несоблюдении i Заметим, чтоliпри a = −13 касание происходит l k ko n sh sh точку (−4; 0). .on 2) Случай прохождения прямой через o . o o v v o o e y(−4) = 0 ⇔ 0 = −6a + 3lk ⇔ a = 0,5. k e l n o n o i o i k l k l k n при всех a количествоshрешений в системе: .on sh sh Теперь проанализируем o . o o v v o • при a < −1:oрешений нет; k e e l e lk n n o i o l k li k −1: единственное решение; • при ah= n h n s s .o .o o o v v o o 31 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 1 2 2 2 2 2 0 0 o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s .o .o бесконечное множествоs решений; • при a ∈ (−1;o 0,5): o v v o o k e e l • при a =lk0,5: единственное решение; n n o i o l k li k n h n h • при s a > 0,5: бесконечное.oмножество решений, т.к.s при таких a графикoy.o= a(x − 2) + 3 всегда будет пересекаться v IV области, vo с графиком функции y (x) = −x −3x+4 наkoгранцие o e k e имея таким образом общий отрезок или луч с этой областью. l e l n n o n i l ko решение получаетсяnliпри a ∈ [−1; +∞). shk li Итого, хотя быshодно n n o o o . . o o v v o o №18.4 (Предположительно дальний восток) k k e l e l n o n o i Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений k l k li n h n h n s o s o o . . . o 2x + 2ay + o o a−3=0 v v v o o o k x|y| +lk e l k e 2x − 3 = 0 l n o n o i o i k l k l h n h n s имеет ровно два различных решения. s o o . o o. v v Ответ o o1 k k e l e l alk= n o n o i o 3 i k l k l k h n h n h Решение s s o s . .o o o v v 2x + 2ay + a − 3 = 0 o o k e e l lk n n o i o l li x|y| + 2x − 3 = 0 shk k n n h s .o .o 2x + 2ay = 3 − a o o v v o o k e 2x + x|y| = 3 k e l e l n n o n i o i l k k li 2x + 2ayn=l 2x + x|y| − a n h h n s s .o .o = 3 .o o 2x +ox|y| v v o o k l e lk 2ay = x|y| − a ine o n o i k k x|y| = 3 − 2x nl l n h h n s o s o o . . . o o o v v 2ay = 3 − 2x − a v o o o k k e l k e l 3 l |y| = n o n o x −2 i i k l k l ko n sh sh прямых, прох. через.onт. M (1,5; −0,5)) o a(2y + 1) = 3 − 2x, (пучок . o o 3 v v o o |y| = x − 2, (*)e k e k l n o in ol i o k l k l k y ⩾ nII n 03 — линия I sh y < 0 3 — линия sh o sh (*) .o . y = − + 2 o o y = x − 2 v v x o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 32 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 1 2 o v o k l o k sh o k l o v %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . y o v vo o o k e e l lk n n o i o l k li k n h n h s o s o I . . o v vo o o k e k e l e l n n o n i l k li A(1; 1) ko li n h 1 n h n s o s o o . . o 1,5 v vo o o x 1 k k e −0,5) l M (1,5; e l n o n o i k l k li n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o II i o i k l k l h n h n s s o o . o o. v v o o k k e l k e l l n o o i oУсловия касания: lin k l k k h n h n h s a(2y + 1)s= 3 − 2x o s . .o o 3 o y = − 2 v v o o x k e e l lk n n o 1 решение: i o l k li 6 k n h n h s .o .o a x −4 + 1 = 3 − 2xs o o v v o 6 o k e a −3 =3− 2x, (x ̸= 0) k e l e l n x n o n i o l k li= 3x − 2x k li n h n h n a(6 − 3x) s o s o . . .o o 2xvo − 3x − 3xa + 6a = 0 v o o k l e lk2x − 3(1 + a)x + 6a =in0e o n o i k k D = 9(1 + a) − 48anl= 0 l n h h n s o s o o . . . o 9 + 18a + 9a o − 48a = 0 o v v v o o o k 9a −lk 30a + 9 = 0 e l k e l n o n o− 10a + 3 = 0 i i k l k l ko 3a n n sh sh√ .o o . 3 o 5 ± 4 vo 5 ± 25 − 9 v 1 a = = = o o 3 3lk e k e l n o 3 n o i o i k l k l k n n 1) a = 3, x = 3 —shне подходит sh o sh o . . 1 o o v 2) a = , x = 1 v o 3 o k e k e l e l n n o 1o i l k li При a = k : (2 решения) n h n h 3 s s .o .o o o v v o o 33 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 2 2 2 2 2 2 2 o v o k l o k sh o k l o v %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . o v vo 2y + 1 = 9 − 6x o o k e e l lk n n o 2y = 8 − 6x i o l k li k n h n h y = 4 − 3x s o s o . . o v vo A(1; 1) — точка касания o o k e k e l e l n n o n i l k li ko li n h n h n s o s o o . . o v vo o o k k e l e l n o n o i k l k li n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l h n h n s s o o . o o. v v o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l k h n h n h s s s .o .o o o v v o o k e e l lk n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s o s o . . .o o v vo o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 34 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №18.5 (Сибирь) o v vo o Найдите всеoзначения параметра a, при каждом из которых система уравнений k e e l lk n n o i o l li x + y = a shk k n n h o s o . . o |y| = |x − 2x| v vo o o k e k e l e l n n o имеет ровно два различных решения. n i l k li ko li n h n h n s o s 9 o Ответ o . . o 1 o v v a ∈ −∞; − ∪ ; +∞ o o 4 4 k k e l e l n o n o Решение i k l k уравнения в плоскости li n h n h n s Рассмотрим график каждого xOy. o s o o . . . o с угловым коэффициентом −1 и свободнымovo o 1) x + y = a ⇔ y = −x + a — линейная функция v v o прямых, параллельных o a, то есть при всех ea это уравнение задаёт семейство k графику функции k e l k l l n o n o i o y = −x. i k l k l h n h n s .|xo − 2x| ⇔ y = (x − 2x)s ⇔ y = x − 2x .vo.o 2) |y| = o v y = −x + 2xo o k k e l k e l l Данное уравнение задаёт две параболы, симметричные друг другу относительно оси абсцисс, n o n o i o i k l k l k h n h которые пересекаются при y = 0 в точках x = 0 и x = 2. n h s s s Изобразим график.oвторого уравнения с указанием .o графика первого случаев пересечения o o v v o o уравнения с ним. k e e l lk n n o i o l k li y k n h n h s s .o .o o o v v o o k e k II e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s o s IV o . . .o o v vo o o k e l e lk 1 n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . x o o 1 o v v v o o o k I k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o o III k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o с графиком уравнения Случай I: касание y = −x + 2x, которое происходит тогда, и только k k e l e l ne n + a ⇔ x − 3x + a k=o0 имеет единственноеliрешение тогда, когдаko уравнение −x + 2x = li−x n h n s ⇔ D = 9 s−h4a = 0 ⇔ a = . o o . o o. v v o o 35 e k e k l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 2 2 2 2 2 2 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 2 2 2 9 4 2 o v o k l o k sh o k l o v e lk e n o n i k l k li h n h n s s (2; 0): y(2) = 0 ⇔ −2.+o a = 0 ⇔ a = 2. o . Случай II: прохождение прямой через точку o o v v Случай III: o прохождение прямой через точку (0; 0): y(0) = k 0o ⇔ −0 + a = 0 ⇔ a = 0.e k e l l nи только n o происходит тогда, Случай o IV: касание с графикомiуравнения y = x − 2x,kкоторое i l l k n решение h уравнение x − .2xon= −x + a ⇔ x − x s−ha = 0 имеет единственное тогда, sкогда o . o . ⇔ D = 1 + 4a = 0 ⇔ a = −vo v o o решений при всех a:e k Рассмотрим количество e k l e l n n o n i l li с графиком y = −xsh+k2x); ko (2 точки пересечения li • a < − 1 : 2 решения n n h n o s o o . 4 . o o v v 1 o o k • a =e − : 3 решения (2 точки пересечения с графиком y = −x + 2x и точка касания с k e l l 4 n o n k li ko lyi = x − 2x); n h n h n s o s o o . . 1 . o o с каждой из парабол); o • − 4 < a < 0: 4 решения (по 2 точки пересечения v v v o o o k k e l k e l l n но точка (0; 0) — общая); o • a = 0: 3 решения n (по 2 точки пересечения o с каждой из парабол, i o i k l k l n2: 4 решения (по 2 точкиshпересечения с каждой.oизn парабол); sh o • 0 < a .< o o v v o k •lkao= 2: 3 решения (по 2 точки пересечения с каждой из парабол, но точкаe (2; 0) — общая); k l e l n o n o i o i k l k l k 9 h n h n h s • 2 < a < : 4 решения (по 2 точки пересечения с каждой из парабол); s s .o 4 .o o o v 9 o ov (2 точки пересечения k с графиком y = x − 2x и точка касанияe с y = • a = : 3lkрешения e l 4o n n o i i l k l −x +k2x); n h n s o sh9 o . . пересечения с графиком y = x − 2x); vo o • a > : 2 решения (2 точки v 4 o o k e k e l e l n n o n 1 9 i o l li − 4 ∪ 4 ; +∞ shk kполучится при a ∈ −∞; li Итого, 2 решения n n h n o s o . . .o o v vo o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 36 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o 2 2 2 1 4 2 2 2 %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% 2 2 2 o v o k l o k sh o k l o v %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №19. Олимпиадная o v vo o o k e l lk восток) ine №19.1 (Дальний n o i o l k лежат 4 камня по 5nкгl и 13 камней по 14 кг.shИхk разделили на две кучки. На столе n h o s o . . а) Может ли разность масс двух этих кучек камней быть равна 6 кг? o v voэтих кучек быть равны? o б) Могут ли массы двух o k e k e l e l n n o в) Какая наименьшая положительная разность масс может быть у двух этих кучек камней? n i l k li ko li n h n h n s o s o Ответ o . . o v а) Да, может vo o o k k e l e б) Нет, не могут l n o n o i k l k в)li4 кг n h n h n s o s o o . . . o o o Решение v v v o o а) Если в первойe кучке 4 камня по 5 кгlkoи 6 камней по 14 кг, тоe масса кучки будет равна k l k l o n кучке только 7 камней o по 14 кг, а ее массаlinравна 98. Тогда их разность o 104 кг. Тогда воliвторой k k h n h n s равна 104 −o98 = 6 кг. s o . o кучке 4 − a камней по 5 кг. Пусть o. в первой кучке a камней по 5 кг, тогда во второй б) Пусть v v o o кучке b камней по 14e кг, тогда во второй кучке k k e в первой 13 − b камней по 14 кг. l k l l n o n o i oЗначит, должно выполняться i k l k l k h n h n h s s .o 5a + 14b − (5(4 − a)s + 14(13 − b)) = 0 vo.o o v o o e k 10ae+ 28b − 20 − 182 = 0 lk l n n o i o l li 10a + 28b = 202 shk k n n h s .o .o 5a + 14b = 101 o o v v o o k e k· 7 + 3, то есть даёт остаток e e l n Заметим, что 101 =o14 3 по модулю 1 ol n n i l k li k li Значит, такое невозможно. n h n h n s s o .o .o в) Надо найти минимум выраженияo|2. (5a + 14b − 101)| при 0 ⩽ a ⩽ 4, 0 ⩽ b ⩽ 13. o v v достигается при b = 7 и равен 6. o o Если a = 0, то минимум выражения k l e lk достигается приibn=e 7 и равен 4. o o Еслиina = 1, то минимум выражения k l k l a = 2, то минимум sвыражения n h n h n s Если достигается при b = 6 и равен 10. o o o . . при b = 6 и равен 4. . Если a = 3, то минимум выражения достигается o o o v v v o o при b = 6 и равенe 6. o Если a = 4, то минимум k выражения достигается k l k e l l n в случае, если в первой o n минимальная разностьko равна 4. Достигаетсяliона i k Таким образом, l ko n будет равна 103 кг. Тогда nпо 5 кг и 7 камней поsh14 кг, тогда масса кучки sh во o o кучке 1 камень . . oравна 99. Тогда их разность равна o 3 камня по 5 кг и 6 камней по 14 кг, а ее масса v второй кучке v o o k e e l 103 −lk 99 = 4 кг. n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 37 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o o v o k l o k sh o k l o v %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №19.2 (Слив от поступашек) o v цифр. voразличных натуральных чисел с одинаковойkoсуммой Дано несколько o e e быть равна 2025? ol lkли сумма трех таких iчисел n n а) Может i o l k l k n h n h б) Может чисел быть равна 19999? s o s ли сумма двух таких o . . o o в) Найдите наименьшееvнатуральное число, которое представимо в видеvсуммы пяти таких o o k чисел. e k e l e l n n o n i l k li li Ответ shko n h n n s o o o . . а) Да, может o v vo б) Нет, не может o o k k e l e l в) 110 n o n o i k l k li n h n h n s o Решение s o o . . . o o o а) Да, может. Пример: 2001 + 21 + 3 = 2025. v v v o oхотя бы одно из чиселe должно быть больше или o б) Для того,чтобы k k сумма равнялась 19999, l k e l l nef gs, где a, b, c, d, e, f,kg,os — n одно из чисел будетkиметь o вид 1abcd, а второе i o равно 10000. Тогда i l l n n sh sh o цифры от 0.oдо 9. . o сложении этих двух чисел не будет o сумма двух цифр не может равняться 19, тоoпри v v Так как o через разряд. e k k e l k l l перехода n o i oТогда e = 9 − a, f = 9 l−inb, g = 9 − c, s = 9 − d.hko k l k h n n h s s Сумма цифр первого .o .o числа: 1 + a + b + c + sd o o v числа: (9 − a) + (9 − b) + (9 − c) + (9 −kd)ov= 36 − a − b − c − d e Сумма цифрoвторого e l lk n n o i o i l k l k 1 + an+ b + c + d = 36 − a − b h −c−d n s o sh o . o o. 2a + 2b + 2c + 2d = 35 v v o o kуравнение не имеет ne Так как левая частьlk уравнения делится на 2,e а правая нет, то данное l e n o n i o i l i k l k целых решений. l n h nне может быть 19999. s h o o . Следовательно,s сумма двух таких чисел . .on o o v 9. Так в) Покажем, что разность чиселov с одной и той же суммой цифр равна минимум o k e цифр одинакова, то oиlkостатки при деленииiнаne9 одинаковы =⇒ еслиolодно число как сумма n i kЕсли числа не l k в виде 9y + z, тоnразность l в виде 9x + z, sаhвторое n представимо равна 9(x − y). h n s o o o . . то x ̸= y =⇒ разность не меньше 9. vo. равны, o o a + a + 36 2a · 5 + 36 · 5 ov v o сумма S = e ·5 = = o Пусть меньшее изeчисел равно a. Тогда минимальная k k 2 2 olk l l n n o 90 =⇒ чем больше сумма чисел.li i a, тем больше минимальная k k l ko 5a +Пусть h n h n s a =o1, тогда все числа должны быть с суммой цифр 1, а это числа вида 1, 10, 100, s o . . o o Тогда минимальная сумма при a = 1 будет 11111. 1000, 10000. v v o oa = 2, то доступны числа Если 2, 11, 20, 101, 110. В kэтом случае минимальная e сумма 244. k e l l n o n o i o i k Если a = 3, то минимальные числа с суммой цифр 3 — это 3, 12, 21, 30, l102 =⇒ S = 168 k l k n40 =⇒ S = 110. sh h 4 — это 4, 13, 22,.31, n числа с суммойsцифр o sh Если a = 4, то минимальные o . o o v Если a ⩾ 5, то Sv = 5a + 90 ⩾ 5 · 5 + 90 = 115. o o для S = 110 при ae= 4. Для больших a сумма k будет не меньшеn115, e а k l e Нашли пример l n o i o l которое k натуральное число, li 110. Значит наименьшее k a показали, что S больше для меньших n h n h s s .o .o o o v v o o 38 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o o v o k l o k sh o k l o v %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% e lk e n o n i k l k li h n h n s s суммой цифр —.это o 110. o . представимо в виде суммы пяти чисел с одинаковой o v vo o o k e e l lk n n o i o l k li k n h n h s o s o . . o v vo o o k e k e l e l n n o n i l k li ko li n h n h n s o s o o . . o v vo o o k k e l e l n o n o i k l k li n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l h n h n s s o o . o o. v v o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l k h n h n h s s s .o .o o o v v o o k e e l lk n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s o s o . . .o o v vo o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 39 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o o v o k l o k sh o k l o v %bb7adca327733a43aad5adfecbc7edc7% e lk e n o n i k l k li h n h n s s o o . . №19.3 (Дальний восток) o vнаполнены сахарным песком. vo по 20 или по 40 тонн, 40% всех контейнеров o Есть контейнеры o k e l 50% от общей массы? lkли масса контейнеровinс eсахарным песком составлять n o а) Может i o l k l k n h n h б) Может с сахарным песком составлять 60% от общей s o массы? s ли масса контейнеров o . . o o в) Какое минимальное vколичество в процентах может составлять массаv контейнеров с саo o k харным песком от общей массы? e k e l e l n n o n i l k li li Ответ shko n h n n s o o o . . а) Да, может o v vo б) Нет, не может o o k k e l l в) ne n o o i k l k li n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l h n h n s s o o . o o. v v o o k k e l k e l l n o n o i o i k l k l k h n h n h s s s .o .o o o v v o o k e e l lk n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s o s o . . .o o v vo o o k e l e lk n o n o i i k l k l n h n h n s o s o o . . . o o o v v v o o o k k e l k e l l n o n o i i k l k l ko n n sh sh o o . . o o v v o o k e k e l l n o n o i o i k l k l k n n sh sh o sh o . . o o v v o o k e k e l e l n n o i o l k li k n h n h s s .o .o o o v v o o 40 k e k e l e l n n o n i o l k li k li n h n h n s s o .o .o