1
Основные распределения в математической статистике
1. Гамма-функция Эйлера
В теории вероятностей мы изучали распределения случайных величин. В математической статистике
используются некоторые функции от случайных величин, которые являются также случайными величинами,
распределения которых нам понадобятся. Эти функции возникают при попытке рассчитать выборочные
характеристики по конечной выборке.
Перед рассмотрением этих распределений
Г(𝛼)
обратимся к гамма-функции, которая используется в
этих распределениях.
Гамма-функцией Эйлера называется функция
вида
∞
𝛤(𝛼) = ∫ 𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ,
0
Интеграл не берется в элементарных функциях, но
сходится при 𝛼 > 0.
𝛼
Свойства гамма-функции
1.
2.
3.
Рис. 1. График гамма-функции.
1
𝛤 ( ) = √𝜋.
2
𝛤(1) = 1.
∞
∞
𝛤(1) = ∫0 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = − ∫0 𝑒 −𝑥 𝑑(−𝑥) = −(𝑒 −∞ − 𝑒 0 ) = 1.
𝛤(𝛼 + 1) = 𝛼𝛤(𝛼).
∞
∞ 𝛼−1 −𝑥
𝑢 = 𝑥 𝛼 , 𝑑𝑢 = 𝛼𝑥 𝛼−1 𝑑𝑥,
𝛤(𝛼 + 1) = ∫0 𝑥 𝛼 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = {
}=⏟
−𝑒 −𝑥 𝑥 𝛼 |∞
𝑒 𝑑𝑥 = 𝛼 𝛤(𝛼).
0 + 𝛼 ∫0 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥, 𝑣 = −𝑒 −𝑥
=0
4.
𝛤(𝑛 + 1) = 𝑛!
𝛤(𝑛 + 1) = 𝑛𝛤(𝑛) = 𝑛(𝑛 − 1)𝛤(𝑛 − 1) = 𝑛(𝑛 − 1) ∙∙∙ 1𝛤(1) = 𝑛!
∞
Отсюда следует ∫0 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛!
График гамма-функции представлен на рис. 1.
2. Распределение Пирсона (закон хи-квадрат)
В дальнейшем будет использоваться словосочетание «степени свободы». Оно пришло из физики и
описывает движение объекта. Число степеней свободы определяется, как минимальное количество
независимых переменных, необходимых для полного описания движения объекта. Например, движение
материальной точки на плоскости обладает двумя степенями свободы, так как её состояние полностью
описывается двумя координатами, а движение – производными по времени от координат. Чтобы тело могло
попасть из одной точки плоскости в любую другую, требуется производить движение в общем случае по двум
независимым направлениям. Если движение по каждому направлению задается моторчиком, то их требуется
две штуки, каждый обеспечивает одну степень свободы. Полет самолета описывается шестью степенями
свободы: три степени свободы описывают положение самолета в пространстве, три другие – наклон (крен),
подъем (тангаж) и поворот (рысканье). В математической статистике число степеней свободы уже не имеет
такого наглядного представления и связывается с числом независимых наблюдений, хотя может быть в
некоторых случаях и не равно ему.
Пусть независимые наблюдения за случайной величиной 𝜉 дали набор случайных значений
{𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 }. Для удобства дальнейших рассуждений введем набор независимых случайных величин
{𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑛 }, Будем считать, что случайная величина 𝜉1 приняла значение 𝑥1 , случайная величина 𝜉2 –
значение 𝑥2 и так далее. Пусть независимые случайные наблюдения подчиняются стандартному нормальному
закону. Это означает, что 𝜉𝑖 ~𝑁(0; 1), где 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Введем функцию случайных величин как ∑𝑛𝑖=1 𝜉𝑖2 и
обозначим ее через 𝜒𝑛2 . Удобство введения 𝜉𝑖 вместо 𝑥𝑖 сделано для того, чтобы в дальнейшем не было
путаницы: мы будет рассматривать вероятность 𝑃(𝜒2𝑛 < 𝑥), где 𝑥 – это граница интервала для суммы
квадратов ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 , а не для значений отдельных наблюдений 𝑥𝑖 .
Введем распределение Пирсона.
Распределение Пирсона (𝑃𝑖𝑛 ) с n степенями свободы или χ2 -распределение непрерывное сосредоточенное на (0, ∞) распределение вероятностей случайной величины
2
𝜒𝑛2 = ∑𝑛𝑖=1 𝜉𝑖2 .
Рассмотрим алгоритм получения наблюдений случайной величины на примере с кубиком. Предположим,
мы бросили кубик в первый раз, зафиксировали выпавшую цифру, вычли из нее математическое ожидание и
разделили результат на среднее квадратическое отклонение, после чего получившееся значение возвели в
квадрат. Это первое наблюдение 𝜒21 = 𝜉21 . Производим второе наблюдение, повторяя арифметические действия.
Получим 𝜒22 = 𝜉21 + 𝜉22 и так далее. Проведя такие наблюдения 𝑛 раз, получим случайные величины
{𝜒12 , 𝜒22 , … , 𝜒𝑛2 }. Если все 𝜉𝑖 ~𝑁(0; 1), то все случайные величины 𝜒𝑖2 распределены по закону Пирсона.
Плотность распределения случайной величины 𝜒𝑛2 с n степенями свободы имеет вид
1
𝑛
∙ 𝑥2
𝑛
𝑝𝜒𝑛2 (𝑥) = {22 ∙ 𝛤 (𝑛)
𝑥
−1 −
𝑒 2,
𝑥 > 0,
2
0,
.
𝑥≤0
Закон хи-квадрат (закон Пирсона) был предложен английским статистиком Карлом Пирсоном в 1900
году.
Если случайные величины 𝜉𝑖 принадлежат нормальному распределению с математическим ожиданием
𝜉 −𝑎
𝑀𝜉𝑖 = 𝑎 и дисперсией 𝐷𝜉𝑖 = 𝜎 2 , т.е. 𝜉𝑖 ~𝑁(𝑎; 𝜎 2 ), то новые нормированные случайные величины 𝜂𝑖 = 𝑖𝜎 ,как
известно, будут подчиняться стандартному нормальному распределению 𝜂𝑖 ∈ 𝑁(0; 1) и, следовательно, их
сумма квадратов – распределению Пирсона.
Свойства распределения
1. Математическое ожидание 𝑀𝜒𝑛2 = 𝑛.
2. Дисперсия 𝐷𝜒𝑛2 = 2𝑛.
3. При большом числе степеней свободы распределение случайной величины 𝜒𝑛2 может быть приближено нормальным 𝜒𝑛2 → 𝜂~ 𝑁(𝑛, 2𝑛) в области 𝑥 > 0.
4. Распределение 𝑃𝑖𝑛 устойчиво относительно
суммирования, т.е.
𝑝𝜒𝑛2 (𝑥)
2
2
𝜒𝑘2 + 𝜒𝑚
= 𝜒𝑘+𝑚
.
График плотности распределения при разных значениях n представлен на рис. 2. Как видно из рисунка,
распределение 𝑃𝑖𝑛 не обладает ни четностью, ни какойлибо другой симметрией. Функция распределения
представляет собой интеграл, не берущийся в
элементарных функциях. Для нее составлена таблица
значений. Она может быть построена подобно таблице
Лапласа, но обычно строится иначе. В таблице для
каждого 𝑛 (число степеней свободы) указывается
вероятность 𝛼 (названная уровнем значимости) того,
что случайная величина 𝜒𝑛2 удовлетворяет соотношению
𝑛=1
𝑛=2
𝑛=3
𝑛=4
𝑛=5
𝑥
Рис.2. Плотность распределения Пирсона при разных n.
𝑃(𝜒𝑛2 ≥ 𝑥кр ) = 𝛼.
𝑥кр – критическое значение, которое случайная величина 𝜒𝑛2 превышает с фиксированной вероятностью 𝛼.
Такая форма представления удобна при проверке гипотез. Число степеней свободы в таблице ограничено в силу
асимптотической нормальности распределения.
Напомним, что таблица Лапласа устроена иначе. Вероятность того, что случайная величина 𝜉 меньше 𝑥
описывается функцией распределения 𝐹𝜉 (𝑥) и равна
2
𝐹𝜉 (𝑥) = 𝑃(𝜉 < 𝑥) = Ф(𝑥) =
2
𝑦
𝑥
𝑥 −𝑦
1
1
1
1
−
2 𝑑𝑦 =
𝑒
+
𝑒 2 𝑑𝑦 = 2 + Ф0 (𝑥) = 𝛾,
∫
∫
2
√2𝜋 −∞
√2𝜋 0
где Ф0 (𝑥) – функция Лапласа, 𝛾 – уровень надежности, причем 𝛾 + 𝛼 = 1. Это означает, что
𝛾
+
⏟
𝛼
= 1.
⏟
2 <𝑥 )
𝑃(𝜒𝑛
кр
2 ≥𝑥 )
𝑃(𝜒𝑛
кр
3
3. Распределение Стьюдента (t-распределение)
Пусть набор независимых случайных величин
делению: 𝜉𝑖 ~𝑁(0; 1), где 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛.
𝜉0 , 𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑛
подчиняется нормальному распре-
Распределение Стьюдента (𝑆𝑡𝑛 ) с n степенями свободы или 𝑡 −распределение –
непрерывное сосредоточенное на (−∞, ∞) распределение вероятностей случайной величины
𝑡𝑛 =
𝜉0
1
√ ∑𝑛
𝜉2
𝑛 𝑖=1 𝑖
.
Плотность распределения Стьюдента имеет вид
𝑝𝑡𝑛 (𝑥) =
𝑛+1
)
2
𝑛
𝛤( )√𝑛𝜋
2
𝛤(
𝑥2
−
(1 + 𝑛 )
𝑛+1
2
, где 𝑥 ∈ 𝑅.
Этот результат был получен английским статистиком В. Госсетом (псевдоним «Стьюдент») в 1908 году.
Свойства распределения.
𝜉~𝑁(0; 1)
𝑡𝑛 ~𝑆𝑡10
𝑡𝑛 ~𝑆𝑡3
𝑡𝑛 ~𝑆𝑡1
𝑝𝜉 (𝑥)
𝑝𝑡 (𝑥)
1. Математическое ожидание вследствие симметрии равно нулю, существует при 𝑛 ≥ 2.
𝑛
𝑛
2. Дисперсия 𝐷𝑡𝑛 = 𝑛−2, существует при 𝑛 > 2
3. При большом числе степеней свободы распределение случайной величины 𝑡𝑛 асимптотически
𝑛
𝑛
нормально 𝑡𝑛 ~𝑁 (0; 𝑛−2) → 𝑁(0; 1).
4. Распределение Стьюдента 𝑡𝑛 =
𝜉0
1
𝑛
2
√ ∑𝑛
𝑖=1 𝜉𝑖
𝑥
может
быть переписано с использованием распределения
𝜉
Пирсона, как 𝑡𝑛 = 10 .
Рис. 3. Плотность распределения Стьюдента
при разных n и сравнение с плотностью
стандартного нормального распределения.
2
√ 𝜒𝑛
𝑛
График плотности распределения Стьюдента при
разных значениях n представлен на рис. 3. Таблица
функции распределения Стьюдента для небольших значений 𝑛 (𝑛 ≤ 120) связывает значения вероятностей 𝛼
и соответствующих им критических точек 𝑥кр соотношениями 𝑃(𝑡𝑛 > 𝑥кр1 ) = 𝛼 для односторонней области
и 𝑃(|𝑡𝑛 | > 𝑥кр2 ) = 𝛼 для двусторонней области. Здесь 𝑥кр1 - значение, которое случайная величина 𝑡𝑛
превышает с фиксированной вероятностью 𝛼, 𝑥кр2 – значение, которое модуль случайной величины превышает
с фиксированной вероятностью 𝛼. Очевидно, что 𝑥кр2 > 𝑥кр1 .
4. Распределение Фишера-Снедекора (F-распределение)
Пусть 𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑛 и 𝜂1 , 𝜂2 , … , 𝜂𝑚 - наборы независимых случайных величин из нормальных совокуп2
ностей с параметрами (𝑎1 , 𝜎12 ) и (𝑎2 , 𝜎22 ), а 𝜒𝑛2 и 𝜒𝑚
– случайные величины, построенные по этим наборам в
𝜉𝑖 −𝑎1 𝜂𝑗 −𝑎2
, 𝜎 и распределенные по закону 𝜒 2 со степенями свободы n и m.
𝜎1
2
1 2
𝜒
𝑛 𝑛
Введем функцию этих случайных величин как 1 2 и обозначим ее через 𝑓𝑛,𝑚 .
𝜒𝑚
результате их нормировки типа
𝑚
Распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы n и m или F −распределение–
непрерывное сосредоточенное на (0, ∞) распределение вероятностей случайной величины
𝑓𝑛,𝑚 =
1 2
𝜒
𝑛 𝑛
1 2
𝜒
𝑚 𝑚
.
Плотность распределения Фишера-Снедекора имеет вид
𝑛 𝑚 𝑛
𝑛+𝑚
) 𝑛 2 𝑚 2 𝑥 2 −1
2
𝑛+𝑚
𝑛
𝑚
𝛤( )𝛤( ) (𝑛𝑥+𝑚) 2
2
2
𝛤(
𝑝𝑓𝑛,𝑚 (𝑥) = {
0,
при 𝑥 > 0
𝑥≤0
.
4
Свойства распределения.
2. Дисперсия 𝐷𝑓𝑛,𝑚 =
2
𝜉~𝑁 ൬1; ൰
𝑛
𝑓~𝐹(100; 1000)
𝑓~𝐹(100; 200)
𝑓~𝐹(50; 50)
𝑝𝜉 (𝑥)
𝑝𝑓 (𝑥)
𝑚
1. Мат. ожидание 𝑀𝑓𝑛,𝑚 = 𝑚−2, 𝑚 > 2.
2𝑚2 (𝑛+𝑚−2)
, 𝑚 > 4.
𝑛(𝑚−2)2 (𝑚−4)
𝑛,𝑚
На рис. 4 представлены графики функций
плотности распределения Фишера и нормального. Из
рисунка видно, что приближение распределения
Фишера-Снедекора нормальным распределением
достигается при весьма больших значениях 𝑚 (𝑚 ≫
𝑥
100) и ограниченных значениях 𝑛 для 𝑥 > 0. Следует
указать, что при 𝑥 ≤ 0 ветвь распределения Фишера
обнуляется, а ветвь нормального распределения
Рис.4. Приближение распределения Фишераотлична от нуля.
Снедекора к нормальному распределению.
𝐹 −распределение применяется в первую очередь, как распределение отношения двух выборочных дисперсий. Таблица критических точек 𝐹 −распределения связывает вероятности 𝛼 (уровни значимости) и соответствующие им критические точки 𝑥кр соотношением 𝑃(𝑓𝑛,𝑚 > 𝑥кр ) = 𝛼, причем в числитель ставится бо́ льшая исправленная дисперсия с числом степеней
свободы n.
Вопросы для повторения
1. Что называется гамма-функцией Эйлера?
2. Сформулировать определение распределения Пирсона.
3. Сформулировать определение распределения Стьюдента.
4. Сформулировать определение распределения Фишера-Снедекора.
5. При каком числе наблюдений распределение Стьюдента можно заменить на нормальное
распределение?
6. Какие требования предъявляются к случайным величинам 𝜉𝑖 , чтобы случайная величина𝜒𝑛2 = ∑𝑛𝑖=1 𝜉𝑖2
была распределена по закону Пирсона?
7. Что называется степенями свободы в математической статистике?
8. В чем отличие набора наблюдений {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 } и от набора случайных величин {𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑛 }?
9. Является ли случайная величина 𝜒𝑛2 размерной? Обосновать.
10. Является ли случайная величина 𝑡𝑛 размерной? Обосновать.
Примеры решения задач.
Задача 1. Пусть случайная величина 𝜉 имеет плотность гамма-распределения
1
𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥 , 𝑥 > 0,
Г(𝛼)
𝑝𝜉 (𝑥, 𝛼) = {
𝛼 > 0.
0, 𝑥 ≤ 0.
Найти математическое ожидание 𝑀𝜉.
∞
Решение. Математическое ожидание находится по формуле ∫−∞𝑥 𝑝𝜉 (𝑥, 𝛼)𝑑𝑥.
∞
1
1
∞
𝑀𝜉 = ∫0 𝑥 Г(𝛼) 𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = Г(𝛼) ∫0 𝑥 𝛼 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 =
Г(𝛼+1)
𝛼Г(𝛼)
= Г(𝛼) = 𝛼.
Г(𝛼)
Задача 2. Найти математическое ожидание случайной величины 𝜒𝑛2 , распределенной по закону Пирсона.
Решение. Математическое ожидание случайной величины, обозначаемой как 𝜒𝑛2 , равно
∞
∞
𝑀𝜒𝑛2 = ∫−∞𝑥 𝑝𝜉 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫0 𝑥 𝑛
1
𝑛
𝑛
𝑥
∙ 𝑥 2 −1 𝑒 −2 𝑑𝑥 =
𝑛
2 2 ∙𝛤( )
2
1
∞ 𝑥 2
−
𝑥
2 𝑑𝑥 .
𝑛 ∫0 ( ) 𝑒
2
𝛤( )
2
𝑥
Чтобы найти интеграл, введем новую переменную 2 = 𝑡. Тогда 𝑑𝑥 = 2𝑑𝑡 и интеграл преобразуется в интеграл
2
𝑛
𝛤( )
2
∞ 𝑛
∫0 𝑡 2 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 =
2
𝑛
2
𝛤( )
𝑛
𝛤 (2 + 1) =
2
𝑛
𝑛
𝑛 ∙ 𝛤 ( ) = 𝑛.
2
𝛤( ) 2
2
5
Задача 3. Случайная величина 𝜒𝑛2 распределена по закону Пирсона с числом степеней свободы 𝑛 = 2.
Найти интегрированием вероятность 𝑃(𝜒22 > 6). Проверить результат по таблице критических точек
распределения хи-квадрат.
Решение. Выясним вначале статистический смысл случайной величины 𝜒22 . Пусть имеем несколько серий
наблюдений из стандартного нормального распределения: 𝑥1 , 𝑥2 - первая серия наблюдений, 𝑦1 , 𝑦2 - вторая
серия, 𝑧1 , 𝑧2 - третья серия и так далее. Составим из них суммы квадратов ∑2𝑖=1 𝑥𝑖2 , ∑2𝑖=1 𝑦𝑖2 , ∑2𝑖=1 𝑧𝑖2 , … . Эти
суммы квадратов есть значения, которые принимает случайная величина, обозначаемая в научной литературе
как 𝜒22 . Как случайная величина, 𝜒22 имеет свой закон распределения, являющийся частным случаем
распределения Пирсона при числе наблюдений 𝑛 = 2.
Плотность распределения Пирсона при 𝑛 = 2 и 𝑥 > 0 имеет вид
𝑝𝜒𝑛2 (𝑥) =
2
𝑥
𝑥
1
1
∙ 𝑥 2−1 𝑒 −2 = 𝑒 −2 .
2∙𝛤(1)
2
Вероятность того, что случайная величина 𝜒22 превысит критическое значение шесть, равно
∞1
𝑥
∞
𝑥
𝑥
𝑥 ∞
1
𝑃(𝜒22 > 6) = ∫6 2 𝑒 −2 𝑑𝑥 = − ∫6 𝑒 −2 𝑑 (− 2) = − 𝑒 −2 | = 𝑒 3 ≈ 0,05.
6
Этот результат можно получить, используя таблицу критических точек распределения хи-квадрат. Для
числа степеней свободы 𝑛 = 2 находим критическую точку 𝑥крит. = 6,0. Для этой точки уровень значимости
равен 𝛼 = 0,05.
2
Задача 4. Случайная величина 𝜒10
распределена по закону Пирсона с числом степеней свободы (числом
независимых наблюдений) 𝑛 = 10. По таблице критических точек распределения хи-квадрат найти
критическую точку 𝑥крит. , если
2
1. 𝑃(𝜒10
> 𝑥крит. ) = 0,025.
2
2. 𝑃(𝜒10 > 𝑥крит. ) = 0,975
2
3. 𝑃(𝜒10
< 𝑥крит. ) = 0,975
Решение. 1. Для 𝑛 = 10 и уровня значимости 𝛼 = 0,025 критическая точка равна 𝑥крит. = 20,5, т.е.
2
𝑃(𝜒10 > 20,5) = 0,025
2
2. Для 𝑛 = 10 и уровня значимости 𝛼 = 0,975 критическая точка равна 𝑥крит. = 3,25, т.е. 𝑃(𝜒10
> 3,25) =
0,975.
3. 𝑃(𝜒22 < 𝑥крит. ) = 1 − 𝑃(𝜒22 > 𝑥крит. ) = 0,975. Тогда 𝑃(𝜒22 > 𝑥крит. ) = 0,025. По таблице распределения
2
хи-квадрат 𝑥крит. = 20,5, т.е. 𝑃(𝜒10
< 20,5) = 0,975.
Задача 5. Случайная величина 𝑡𝑛 имеет распределение Стьюдента с 𝑛 = 20. По таблице критических
точек распределения Стьюдента найти критическую точку 𝑥крит. , если
1. 𝑃(𝑡20 > 𝑥крит. ) = 0,05;
2. 𝑃(|𝑡20 | > 𝑥крит. ) = 0,05.
3. 𝑃(𝑡20 < 𝑥крит. ) = 0,95.
Решение. 1. Для 𝑛 = 20 и уровня значимости 𝛼 = 0,05
для односторонней критической области
критическая точка равна 𝑥крит. = 1,73.
2. Для 𝑛 = 20 и уровня значимости 𝛼 = 0,05 для двусторонней критической области критическая точка
равна 𝑥крит. = 2,09.
3. 𝑃(𝑡20 < 𝑥крит. ) = 1 − 𝑃(𝑡20 > 𝑥крит. ) = 0,95. Тогда 𝑃(𝑡20 > 𝑥крит. ) = 0,05. По таблице распределения
Стьюдента 𝑥крит. = 1,73, т.е. 𝑃(𝑡20 < 1,73) = 0,95.
Задача 6. Случайная величина 𝑓𝑛,𝑚 имеет распределение Фишера с 𝑛 = 10, 𝑚 = 15. По таблице
критических точек распределения Фишера найти критическую точку 𝑥крит. , если
1. 𝑃(𝑓10,15 > 𝑥крит. ) = 0,01.
2. 𝑃(𝑓10,15 < 𝑥крит. ) = 0,95
Решение. 1. Для 𝑛 = 10, 𝑚 = 15 и уровня значимости 𝛼 = 0,01 критическая точка равна 𝑥крит. = 3,80, т.е.
𝑃(𝑓10,15 > 3,80) = 0,01.
2. 𝑃(𝑓10,15 < 𝑥крит. ) = 1 − 𝑃(𝑓10,15 > 𝑥крит. ) = 0,95. Тогда 𝑃(𝑓10,15 > 𝑥крит. ) = 0,05. По таблице
распределения Фишера 𝑥крит. = 2,55, т.е. 𝑃(𝑓10,15 < 2,55) = 0,95.
6
Задачи для самостоятельного решения
Гамма-функция
a) 1;
б) 1;
в) 𝛼Г(𝛼);
г) 𝑛!
1.
Найти
а) 𝛤(1);
2.
Доказать, используя гамма-функцию, что ∫0 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛!
3.
Найти величину интеграла ∫0 𝑥 𝛼 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 при 𝛼 = 1,5.
4.
Пусть случайная величина 𝜉 имеет плотность гамма-распределения
𝐶𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥 , 𝑥 > 0,
𝑝𝜉 (𝑥, 𝛼) = {
𝛼 > 0.
0, 𝑥 ≤ 0.
Найти
а) константу C,
б) Вычислить методом моментов точечную оценку параметра 𝛼 распределения и исследовать
оценку на несмещенность.
5.
б) 𝛤(2);
в) 𝛤(𝛼 + 1);
г) 𝛤(𝑛 + 1).
∞
∞
Случайная величина 𝜉 имеет плотность гамма-распределения 𝑝𝜉 (𝑥) = {
Найти 𝑃{𝜉 < 1}.
3√𝜋
4
𝑥𝑒 −𝑥 , 𝑥 > 0,
.
0, 𝑥 ≤ 0
а)𝐶 =
1
;
Г(𝛼)
б)𝛼̂ = 𝑥̅ .
Оценка
несмещенная
𝑃{𝜉 < 1} =
2
1 − ≈ 0,26.
𝑒
Распределение Пирсона
𝑃(1 < 𝜒22 < 2) =
6.
Случайная величина 𝜒𝑛2 распределена по закону 𝜒 2 с числом степеней свободы 𝑛 = 2. Найти
интегрированием вероятность 𝑃(1 < 𝜒22 < 2).
7.
Найти интегрированием вероятность 𝑃(𝜒22 > 6).
Используя таблицу Пирсона для 𝑛 = 2 и уровня значимости 𝛼 = 0,05, убедиться, что
критическая точка распределения равна 6,0.
8.
Изобразить на числовой прямой промежутки (𝑀𝜒𝑛2 − √𝐷𝜒𝑛2 , 𝑀𝜒𝑛2 + √𝐷𝜒𝑛2 )для 𝑛 = 1; 2; 3.
9.
Случайные величины 𝜉 и 𝜂 распределены по закону 𝜒 2 с числом степеней свободы 𝑛 и 𝑚. Как
распределена сумма случайных величин 𝜉 + 𝜂?
2
𝜒𝑛+𝑚
.
10.
Найти оценку для числа степеней свободы 𝑟 распределения 𝜒𝑟2 . Исследовать полученную
оценку на несмещенность.
𝑟̂ = 𝑥̅ .
Оценка
несмещенная.
√𝑒−1
≈ 0,24.
𝑒
𝑃(𝜒22 > 6) = 0,05.
Распределение Стьюдента
11.
Пусть 𝜉0 , 𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑛 - независимые нормально распределенные случайные величины
1
𝜉
𝑛
𝜂
𝜉𝑖 ~𝑁(0, 𝜎 2 ) и 𝜂 = √ ∑𝑛𝑖=1 𝜉𝑖2 . Найти распределение случайной величины 𝛾 = 0 .
12.
Функция распределения Стьюдента при 𝑛 = 1 описывает распределение Коши. Найти
плотность этого распределения, его математическое ожидание и дисперсию.
13.
Случайная величина 𝑡𝑛 имеет распределение Стьюдента с 𝑛 = 1 . Найти интегрированием
вероятность
а) 𝑃(𝑡𝑛 < 1); б) 𝑃(|𝑡𝑛 | < 1).
Распределение
Стьюдента
𝑝𝜉 (𝑥) =
1
;
𝜋(1 + 𝑥 2 )
𝑀𝜉 и 𝐷𝜉
не существуют.
а) 0,75;
б) 0,5.
Найти интегрированием вероятность 𝑃(𝑡1 > 31,82).
14.
Используя таблицу Стьюдента для 𝑛 = 1 и уровня значимости 𝛼 = 0,01, убедиться, что
критическая точка распределения равна 31,82.
15.
Найти интегрированием вероятность 𝑃(|𝑡1 | > 6,31).
𝑃(𝑡1 > 31,82) = 0,01.
𝑃(𝑡1 > 6,31) = 0,1.
7
Используя таблицу Стьюдента для 𝑛 = 1 и уровня значимости 𝛼 = 0,1, убедиться, что
критическая точка распределения равна 6,31.
16.
Изобразить на числовой прямой промежутки (𝑀𝑡𝑛 − √𝐷𝑡𝑛 , 𝑀𝑡𝑛 + √𝐷𝑡𝑛 ) для 𝑛 = 3; 9.
17.
Выразить случайную величину Пирсона 𝜒𝑛2 как функцию случайной величины Стьюдента 𝑡𝑛 .
18.
Найти максимальное значение дисперсии в распределении Стьюдента.
19.
Найти точечную оценку для числа степеней свободы 𝑟 распределения Стьюдента при
неизвестном математическом ожидании.
𝑛2 𝜉02
𝑡𝑛2
𝑚𝑎𝑥𝐷𝑡𝑛 = 3 при
𝑛 = 3.
𝜒𝑛2 =
𝑟̂ =
2𝑆̂𝑛2 ,
.
̂
𝑆𝑛2 − 1
Распределение Фишера
Пусть 𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑛 и 𝜂1 , 𝜂2 , … , 𝜂𝑚 - независимые, нормально распределенные случайные
величины 𝜉𝑖 ∈ 𝑁(0; 1), 𝜂𝑗 ∈ 𝑁(0; 1).Найти закон распределения случайной величины 𝛾 =
1 𝑛
1
2
∑𝑖=1 𝜉𝑖2 ⁄ ∑𝑚
𝑗=1 𝜂𝑗 .
Распределение
Фишера
21.
Пусть случайная величина 𝜉 имеет распределение Стьюдента с 𝑛 степенями свободы. Какое
распределение имеет случайная величина 𝜂 = 𝜉 2 ?
Распределение
Фишера 𝑝𝑓1;𝑛
22.
Случайная величина 𝑓𝑛,𝑚 имеет распределение Фишера с n и m степенями свободы. Найти
1
распределение случайной величины 𝜏𝑛,𝑚 =
.
𝑝𝑓𝑚,𝑛
23.
Случайная величина 𝑓𝑛,𝑚 имеет распределение Фишера с n и m степенями свободы. Найти
распределение случайной величины 𝜏1,𝑚 = √𝑓1,𝑚 .
Распределение
Стьюдента
24.
Случайная величина 𝑓𝑛,𝑚 имеет распределение Фишера с 𝑛 = 1, 𝑚 = 1 . Найти
интегрированием вероятность 𝑃(0 < 𝑓𝑛,𝑚 < 3).
20.
𝑛
𝑚
𝑓𝑛,𝑚
2
.
3
8
Таблица 1. Значения функции Лапласа Ф0 (𝑥) =
1
2
𝑥 −𝑡
∫ 𝑒 2 𝑑𝑡
√2𝜋 0
𝑥
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
Ф0 (𝑥)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
𝑥
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
Ф0 (𝑥)
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
𝑥
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
Ф0 (𝑥)
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
𝑥
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
Ф0 (𝑥)
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
𝑥
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1.35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
Ф0 (𝑥)
0,3962
0,3980
0,3997
04015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
𝑥
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
Ф0 (𝑥)
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0.4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
𝑥
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
Ф0 (𝑥)
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
𝑥
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
Ф0 (𝑥)
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
9
Таблица 2. Критические точки распределения хи-квадрат.
Уровень значимости 𝛼
Число
степеней
свободы
0,01
0,025
0,05
0,95
0,975
0,99
1
6,6
5,0
3,8
0,0039
0,00098
0,00016
2
9,2
7,4
6,0
0,103
0,051
0,020
3
11,3
9,4
7,8
0,352
0,216
0,115
4
13,3
10,1
9,5
0,711
0,484
0,297
5
15,1
12,8
11,1
1,15
0,831
0,554
6
16,8
14,4
12,6
1,64
1,24
0,872
7
18,5
16,0
14.1
2,17
1,69
1,24
8
20,1
17,5
15,5
2,73
2,18
1,65
9
21,7
19,0
16,9
3,33
2,70
2,09
10
23,2
20,5
18,3
3,94
3,25
2,56
11
24,7
21,9
19,7
4,57
3,82
3,05
12
26,2
23,3
21,0
5,23
4,40
3,57
13
27,7
24,7
22,4
5,89
5,01
4,11
14
29,1
26,1
23,7
6,57
5,63
4,66
15
30,6
27,5
25,0
7,26
6,26
5,23
16
32,0
28,8
26,3
7,96
6,91
5,8!
17
33,4,
30,2
27,6
8,67
7,56
6,41
18
34,8
31,5
28,9
9,39
8,23
7,01
19
36,2
32,9
30,1
10,1
8,91
7,63
20
37,6
34,2
31,4
10,9
9,59
8,26
21
38,9
35,5
32,7
11,6
10,3
8,90
22
40,3
36,8
33,9
12,3
11,0
9,54
23
41,6
38,1
35,2
13,1
11,7
10,2
24
43,0
39,4
36,4
13,8
12,4
10,9
25
44,3
40,6
37,7
14,6
13,1
11,5
26
45,6
41,9
38,9
15,4
13,8
12,2
27
47,0
43,2
40,1
16,2
14,6
12,9
28
48,3
44,5
41,3
16,9
15,3
13,6
29
49,6
45,7
42,6
17,7
16,0
14,3
30
50,9
47,0
43,8
18,5
16,8
15,0
10
Таблица 3. Критические точки распределения Стьюдента
Число
степеней
свободы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
Число
степеней
свободы
Уровень значимости 𝛼
(двусторонняя критическая область)
0,2
0,1
0,05
0,02
0,01 0,002 0,001
3,08
6,31
12,7 31,82 63,7 318,3 637,0
1,89
2,92
4,30
6,97
9,92 22,33 31,6
1,64
2,35
3,18
4,54
5,84 10,22 12,9
1,53
2,13
2,78
3,75
4,60
7,17
8,61
1,48
2,01
2,57
3,37
4,03
5,89
6,86
1,44
1,94
2,45
3,14
3,71
5,21
5,96
1,42
1,89
2,36
3,00
3,50
4,79
5,40
1,40
1,86
2,31
2,90
3,36
4,50
5,04
1,38
1,83
2,26
2,82
3,25
4,30
4,78
1,37
1,81
2,23
2,76
3,17
4,14
4,59
1,36
1,80
2,20
2,72
3,11
4,03
4,44
1,36
1,78
2,18
2,68
3,05
3,93
4,32
1,35
1,77
2,16
2,65
3,01
3,85
4,22
1,34
1,76
2,14
2,62
2,98
3,79
4,14
1,34
1,75
2,13
2,60
2,95
3,73
4,07
1,34
1,75
2,12
2,58
2,92
3,69
4,01
1,33
1,74
2,11
2,57
2,90
3,65
3,95
1,33
1,73
2,10
2,55
2,88
3,61
3,92
1,33
1,73
2,09
2,54
2,86
3,58
3,88
1,33
1,73
2,09
2,53
2,85
3,55
3,85
1,32
1,72
2,08
2,52
2,83
3,53
3,82
1,32
1,72
2,07
2,51
2,82
3,51
3,79
1,32
1,71
2,07
2,50
2.81
3,49
3,77
1,32
1,71
2,06
2,49
2,80
3,47
3,74
1,32
1,71
2,06
2,49
2,79
3,45
3,72
1,32
1,71
2,06
2,48
2,78
3,44
3,71
1,31
1,71
2,05
2,47
2,77
3,42
3,69
1,31
1,70
2,05
2,46
2,76
3,40
3,66
1,31
1,70
2,05
2,46
2,76
3,40
3,66
1,31
1,70
2,04
2,46
2,75
3,39
3,65
1,30
1,68
2,02
2.42
2,70
3,31
3,55
1,30
1,67
2,00
2,39
2,66
3,23
3,46
1,29
1,66
1,98
2,36
2,62
3,17
3,37
1,28
1,65
1,96
2,33
2,58
3,09
3,29
0,1
0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005
Уровень значимости 𝛼
(односторонняя критическая область)
11
Таблица 4. Критические точки распределения Фишера—Снедекора
𝑛— число степеней свободы в числителе,
𝑚— число степеней свободы в знаменателе.
Уровень значимости 𝛼 = 0,01
𝑛
𝑚
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4052
98,49
34,12
21,20
16,26
13,74
12,25
11,26
10,56
10,04
9,86
9,33
9,07
8,86
8,68
8,53
8,40
4999
99,01
30,81
18,00
13,27
10,92
9,55
8,65
8,02
7,56
7,20
6,93
6,70
6,51
6,36
6,23
6,11
5403
90,17
29,46
16,69
12,06
9,78
8,45
7,59
6,99
6,55
6,22
5,95
5,74
5,56
5,42
5,29
5,18
5625
99,25
28,71
15,98
11,39
9,15
7,85
7,01
6,42
5,99
5,67
5,41
5,20
5,03
4,89
4,77
4,67
5764
99,33
28,24
15,52
10,97
8,75
7,46
6,63
6,06
5,64
5,32
5,06
4,86
4,69
4,56
4,44
4,34
5889
99,30
27,91
15,21
10,67
8,47
7,19
6,37
5,80
5,39
5,07
4,82
4,62
4,46
4,32
4,20
4,10
5928
99,34
27,67
14,98
10,45
8,26
7,00
6,19
5,62
5,21
4,88
4,65
4,44
4,28
4,14
4,03
3,93
5981
99,36
27,49
14,80
10,27
8,10
6, 84
6,03
5,47
5,06
4,74
4,50
4,30
4,14
4,00
3,89
3,79
6022
99,36
27,34
14,66
10,15
7,98
6, 71
5,91
5,35
4,95
4,63
4,39
4,19
4,03
3,89
3,78
3,68
6056
99,40
27,23
14,54
10,05
7,87
6,62
5,82
5,26
4,85
4,54
4,30
4,10
3,94
3,80
3,69
3,59
6082
99,41
27,13
14,45
9,96
7,79
6,54
5,74
5,18
4,78
4,46
4,22
4,02
3,86
3,73
3,61
3,52
6106
99,42
27,05
14,37
9,89
7,72
6,47
5,67
5,11
4,71
4,40
4,16
3,96
3,80
3,67
3,55
3,45
Уровень значимости 𝛼 = 0,05
𝑛
𝑚
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
161
18,51
10,13
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
4,49
4,45
200
19,00
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,88
3,80
3,74
3,68
3,63
3,59
216
19,16
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
225
19,25
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
230
19,30
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,20
3,11
3,02
2,96
2,90
2,85
2,81
234
19,33
8,94
6,16
4.95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
237
19,36
8,88
6,09
4,88
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
3,01
2,92
2,84
2,77
2,70
2,66
2,62
239
19,37
8,84
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
241
19,38
8,81
6,00
4,78
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
2,90
2,80
2,72
2,65
2,59
2,54
2,50
242
19,39
8,78
5,96
4,74
4,06
3,63
3,34
3,13
2,97
2,86
2,76
2,67
2,60
2,55
2,49
2,45
243
19,40
8,76
5,93
4,70
4,03
3,60
3,31
3,10
2,94
2,82
2,72
2,63
2,56
2,51
2,45
2,41
244
19,41
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38