Контрольная работа по комбинаторике Задача 1 Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если номер не начинается с нуля и в номере нет повторяющихся цифр? Решение. A107 – A96 = (10!/3!) – (9!/3!) =544320 Задача 2 В бригаде сварщиков двенадцать газосварщиков и семь электросварщиков. Для проведения работ на некотором объекте требуется пятеро газосварщиков и трое электросварщиков. Сколько возможных вариантов составить нужный набор сварщиков, если известно, что: a) любой газосварщик и любой электросварщик готовы работать в команде? Решение. Порядок не учитываем. Значит C125 * C73 = (12!/(7!*5!))*(7!/(4!*3!)) = 27720 b) газосварщик Андрей не хочет работать вместе с газосварщиком Мишей? Решение. Найдем число вариантов, когда сварщики Андрей и Миша работают вместе (будем рассматривать как единый блок), т.е. C114. Следовательно, эти газосварщики не работают вместе C125 – C114 вариантов. Варианты, когда газосварщик Андрей не работает вместе с газосварщиком Мишей, вычисляем по формуле (C125 – C114)* C73 = 16170 Задача 3 Сколько существует треугольников, длина сторон которых 5, 6, 7, 8, 9? Решение. В данных задачи указаны числа с учетом правила треугольника, т.е. каждая сторона меньше суммы двух других. Следовательно, любая комбинация их трех таких сторон образует треугольник. Задача требует вычислить число сочетаний из 5 элементов по 3 с повторениями: 𝐶53 = (5+3−1)! 3!∗(5−1)! = 35 Задача 4 Сколькими способами можно расположить в ряд две зеленые и четыре красные лампочки? Решение. Задача требует вычислить перестановки из 6 элементов с повторениями: P6 (2; 4) = 6!/(2!*4!) = 15 Задача 5 Из сотрудников лаборатории 5 человек должны выехать в командировку. Сколько может быть различных составов отъезжающей группы, если заведующий лабораторией и два ведущих специалиста одновременно уезжать не должны? Решение. Группы состоят только из рядовых сотрудников C175 = 6188; в группе заведующих лабораторией или один из ведущих специалистов и четыре рядовых сотрудника C174 *3 = 7140 составов; в группе заведующих лабораторией, один из ведущих специалистов и три рядовых сотрудника или два ведущих специалиста и три рядовых сотрудника C173 *3 = 2040 составов. Следовательно, 6188 + 7140 + 2040 = 15368 может быть различных составов отъезжающей группы. Решение.2 способ. Сотрудников лаборатории 5 человек из 20 можно отправить в командировку всего C205 = 15504 способами. По условию задачи нельзя отправить группы, в которых заведующий лабораторией и два ведущих специалиста одновременно и только два рядовых сотрудника, т.е. C172 =136 групп. Значит возможно отправить группы 15504 – 136 = 15368 способами.
