Sc
ho
o
Все ответы к заданиям 1-11 по условиям экзамена даются в виде
целого числа или десятичной дроби.
что нужно знать для успешного решения заданий первой части.
os
o
v
Задача 1. Простые уравнения
ГУ
х
Lo
m
on
Корень уравнения. Допустимые преобразования.
Линейные, квадратные, рациональные и иррациональные уравнения.
Для решения показательного уравнения необходимо привести его
к виду 𝑎𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) или к виду 𝑎𝑓 (𝑥) = 𝑏.
Для решения логарифмического уравнения необходимо привести
его к виду log𝑎 𝑓 (𝑥) = log𝑎 𝑔(𝑥) или к виду log𝑎 𝑓 (𝑥) = 𝑏.
Тригонометрические уравнения вида sin 𝑥 = 𝑎, cos 𝑥 = 𝑎, tg 𝑥 = 𝑎,
ctg 𝑥 = 𝑎, где 𝑎 – число, решаются с помощью таблицы значений тригонометрических функций для основных углов.
М
Задача 2. Теория вероятностей
ем
ат
ик
Теория вероятностей изучает случайные события.
Случайное, невозможное, достоверное события.
Элементарный исход. Вероятность наступления случайного со𝑛
бытия: 𝑃 (𝐴) = , где 𝑚 – общее число элементарных исходов, 𝑛 – число
𝑚
благоприятных исходов.
М
ат
Задача 3. Планиметрия
Треугольник: его стороны, углы. Теорема о сумме углов треугольника.
Внешний угол треугольника.
Медиана, биссектриса, высота, серединный перпендикуляр. Четыре
замечательные точки треугольника.
Равнобедренный треугольник. Его свойства и признаки.
Равносторонний (правильный) треугольник.
1
l
А.Н.Павликов
ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Первая часть
Шпаргалка
os
o
𝑏
𝑐
𝑎
=
=
= 2𝑅.
sin 𝛼
sin 𝛽
sin 𝛾
v
l
Sc
ho
o
Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников. Средняя
линия треугольника. Теорема Фалеса.
Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. Свойство медианы
прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник с углом 30∘ .
Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике.
Теорема синусов. В произвольном треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла постоянно и равно удвоенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника.
Lo
m
on
Теорема косинусов. В произвольном треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон этого треугольника минус
удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между
ними.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼.
М
ат
ем
ат
ик
М
ГУ
х
Формулы площади
𝑆 = 21 𝑎ℎ, где 𝑎 – сторона треугольника, ℎ – высота, опущенная на эту
сторону.
𝑆 = 21 𝑎𝑏 sin 𝛾, где 𝑎, 𝑏 – стороны треугольника, 𝛾 – угол между ними.
√︀
𝑆 = 𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – стороны треугольника, 𝑝 –
полупериметр.
𝑆 = 𝑝𝑟, где 𝑝 – полупериметр, 𝑟 – радиус вписанной окружности.
, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – стороны треугольника, 𝑅 – радиус описанной
𝑆 = 𝑎𝑏𝑐
4𝑅
окружности.
Четырехугольник: его стороны, углы. Теорема о сумме углов четырехугольника.
Параллелограмм. Определение, свойства и признаки.
Прямоугольник, ромб, квадрат. Определения, свойства и признаки.
Трапеция. Определение и свойства. Средняя линия трапеции. Равнобедренная трапеция. Определение и свойства.
Формулы площади параллелограмма
𝑆 = 𝑎ℎ, где 𝑎 – сторона параллелограмма, ℎ – высота, опущенная на
эту сторону.
𝑆 = 𝑎𝑏 sin 𝛾, где 𝑎, 𝑏 – стороны треугольника, 𝛾 – угол между ними.
𝑆 = 21 𝑑1 𝑑2 sin 𝛼, где 𝑑1 , 𝑑2 – диагонали параллелограмма, 𝛼 – угол
между ними.
Формулы площади ромба
2
Lo
m
on
os
o
v
l
Sc
ho
o
𝑆 = 𝑎ℎ, где 𝑎 – сторона ромба, ℎ – высота, опущенная на эту сторону.
𝑆 = 𝑎2 sin 𝛾, где 𝑎 – сторона ромба, 𝛾 – угол ромба.
𝑆 = 21 𝑑1 𝑑2 , где 𝑑1 , 𝑑2 – диагонали ромба.
Формула площади прямоугольника
𝑆 = 𝑎𝑏, где 𝑎, 𝑏 – стороны прямоугольника.
Формула площади квадрата
𝑆 = 𝑎2 , где 𝑎 – сторона квадрата.
Формула площади трапеции
· ℎ, где 𝑎, 𝑏 – основания трапеции, ℎ – высота трапеции.
𝑆 = 𝑎+𝑏
2
Окружность. Радиус, хорда, диаметр. Касательная и секущая. Вписанный и центральный угол. Свойства касательной. Угол между хордой
и касательной.
Площадь круга: 𝑆 = 𝜋𝑅2 , где 𝑅 – радиус окружности.
Длина окружности: 𝑆 = 2𝜋𝑅, где 𝑅 – радиус окружности.
Вписанная в треугольник и описанная около треугольника окружности. Их центры и радиусы.
Вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника
окружности. Критерии существоваия данных окружностей у четырехугольника.
ГУ
х
Задача 4. Преобразование выражений
М
ат
ем
ат
ик
М
Правила работы с дробями. Формулы сокращенного умножения. Арифметический корень и его свойства. Арифметический корень 𝑛-й степени
и его свойства.
Формулы для степепей. Во всех формулах 𝑎, 𝑏 > 0
𝑎1 = 𝑎
𝑎0 = 1
𝑎𝑥 · 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦
𝑎𝑥
= 𝑎𝑥−𝑦
𝑎𝑦
(𝑎𝑥 )𝑦 = (𝑎𝑦 )𝑥 = 𝑎𝑥·𝑦
1
𝑎𝑥
(𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥 · 𝑏𝑥
(︁ 𝑎 )︁𝑥 𝑎𝑥
= 𝑥
𝑏
𝑏
𝑎−𝑥 =
3
Логарифм, десятичный и натуральный логарифмы. Для логарифма
используется обозначение log𝑎 𝑏. По определению 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏.
Формулы. Во всех формулах 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦 > 0, 𝑎 ̸= 1, 𝑏 ̸= 1.
Sc
ho
o
l
log𝑎 1 = 0
log𝑎 𝑎 = 1
М
ат
ем
ат
ик
М
ГУ
х
Lo
m
on
os
o
v
log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦 = log𝑎 (𝑥 · 𝑦)
𝑥
log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦 = log𝑎
𝑦
𝑛 · log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑥𝑛
1
· log𝑎 𝑥 = log𝑎𝑛 𝑥
𝑛
log𝑏 𝑥
log𝑎 𝑥 =
log𝑏 𝑎
1
log𝑎 𝑏 =
log𝑏 𝑎
Значения тригонометрических функций для основных углов
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
2𝜋
3𝜋
5𝜋
радианы 0
𝜋
6
4
3
2
3
4
6
градусы 0 30 √
45 √
60 90 120
135
150 180
√
√
1
2
3
3
2
1
sin 𝑥
0
1
0
2
2
2
2
√
√
√2
√2
1
3
2
1
2
3
cos 𝑥
1
0
−
−
−
−1
2
2
2
2
√2
√2
√
√
3
3
tg 𝑥
0
1
3 – − 3
−1 −
0
3
3
√
√
√
√
3
3
ctg 𝑥
–
3
1
0 −
−1
− 3
–
3
3
Основные формулы тригонометрии.
sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1
sin 𝑥
tg 𝑥 =
cos 𝑥
cos 𝑥
ctg 𝑥 =
sin 𝑥
sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥
cos 2𝑥 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥 = 2 cos2 𝑥 − 1
Свойства тригонометрических функций.
sin 𝑥, tg 𝑥 и ctg 𝑥 – нечетные функции; cos 𝑥 – четная функция.
Функции sin 𝑥 и cos 𝑥 периодичны с периодом 2𝜋; aункции tg 𝑥 и ctg 𝑥
периодичны с периодом 𝜋.
4
Lo
m
on
os
o
v
Sc
ho
o
Многогранники: куб, параллелепипед, призма, пирамида. Круглые тела:
цилиндр, конус, шар. Определения и их элементы. Сечения многогранников и осевые сечения круглых тел.
Формулы объема и площади поверхности.
Тело
Объем 𝑆 боковой пов-ти 𝑆 полной пов-ти
Куб
𝑎3
4𝑎2
6𝑎2
Параллелепипед
𝑎𝑏𝑐
2(𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)
2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)
Призма
𝑆осн · ℎ
𝑃осн · ℎ
𝑆бок + 2 · 𝑆осн
1
1
𝑆осн · ℎ
𝑃осн ℎбок
Пирамида
𝑆бок + 𝑆осн
3
2
2
Цилиндр
𝜋𝑅 ℎ
2𝜋𝑅ℎ
2𝜋𝑅ℎ + 2𝜋𝑅2
1 2
Конус
𝜋𝑅 ℎ
𝜋𝑅𝑙
𝜋𝑅𝑙 + 𝜋𝑅2
3
4 3
𝜋𝑅
Шар
–
4𝜋𝑅2
3
l
Задача 5. Стереометрия
Задача 6. Производная
ик
М
ГУ
х
Производная. Физический и геометрический смысл производной.
Если прямая 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑚 является касательной к графику функции
𝑦 = 𝑓 (𝑥) в точке 𝐴(𝑥0 ; 𝑦0 ), то в точке касания значения двух функций
равны и значения производных двух функций также равны, то есть выполняются условия
{︃
𝑘𝑥0 + 𝑚 = 𝑓 (𝑥0 )
𝑘 = 𝑓 ′ (𝑥0 )
М
ат
ем
ат
Применение производной к исследованию функции. Промежутки возрастания и убывания функции. Точки экстремума функции.
Первообразная. Вычисление площади криволинейной трапеции.
Формула Ньютона–Лейбница. Если функция 𝑦 = 𝑓 (𝑥) непрерывна на отрезке [𝑎; 𝑏], то справедлива формула
∫︁ 𝑏
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎),
𝑎
где 𝐹 (𝑥) – первообразная для 𝑓 (𝑥).
5
Sc
ho
o
Текстовые задачи с готовой формулой сводятся к решению уравнения
или неравенства подстановкой в данную формулу значений переменных,
данных по условию задачи.
Задача 8. Текстовая задача
х
Lo
m
on
os
o
v
Во всех задачах на движение используется формула 𝑆 = 𝑣𝑡, где 𝑆 –
пройденное расстояние, 𝑣 – скорость, 𝑡 – время.
Типы задач: движение навстречу; вдогонку; по окружности; по воде;
на среднюю скорость; движение протяженных тел.
Задачи на раздельную работу являются аналогом задач на движение.
В задачах на совместную работу общая производительность равна сумме
производительностей всех работников (труб).
𝑚
, где 𝜈 – конВ задачах на концентрацию используется формула 𝜈 = 𝑀
центрация вещества, 𝑚 – масса вещества, 𝑀 – масса раствора. Ключевой
при решении таких задач является идея следить за «чистым» веществом.
ГУ
Задача 9. Функции и их графики
ат
ик
М
Ключевая идея решения любой задачи – найти столько точек на графике
функции, сколько неизвестных коэффициентов присутствуют в формуле, определяющей функцию. По выбранным точкам можно составить
систему линейных уравнений, решив которую найдем значения всех коэффициентов. Если использовать конкретные свойства функции, то задачу, как правило, можно упростить.
ем
Задача 10. Теоремы теории вероятностей
М
ат
Теория вероятностей изучает случайные события.
Противоположное событие, несовместные события, независимые события. Условная вероятность.
Теорема о противоположных событиях.
𝑝(𝐴) = 1 − 𝑝(𝐴).
6
l
Задача 7. Текстовая задача с практическим
содержанием
Теорема о несовместных событиях.
𝑝(𝐴или𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵).
Sc
ho
o
l
Теорема о совместных событиях.
𝑝(𝐴или𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵) − 𝑝(𝑎 ∩ 𝐵).
Теорема о независимых событиях.
os
o
v
𝑝(𝐴и𝐵) = 𝑝(𝐴) · 𝑝(𝐵).
Задача 11. Исследование функций
on
Таблица основных производных. Здесь 𝑎 > 0 и 𝐶 – константы
m
𝐶′ = 0
Lo
(𝑥𝑛 )′ = 𝑛𝑥𝑛−1
(𝑎𝑥 )′ = 𝑎𝑥 · ln 𝑎
х
(𝑒𝑥 )′ = 𝑒𝑥
М
ГУ
1
𝑥
′
(sin 𝑥) = cos 𝑥
(ln 𝑥)′ =
(cos 𝑥)′ = − sin 𝑥
М
ат
ем
ат
ик
1
cos 𝑥2
1
(ctg 𝑥)′ = −
sin 𝑥2
Правила дифференцирования. Здесь 𝑓 и 𝑔 – функции.
(tg 𝑥)′ =
(𝑓 + 𝑔)′ = 𝑓 ′ + 𝑔 ′
(𝑓 − 𝑔)′ = 𝑓 ′ − 𝑔 ′
(𝑓 · 𝑔)′ = 𝑓 ′ · 𝑔 + 𝑓 · 𝑔 ′
(︂ )︂′
𝑓
𝑓 ′ · 𝑔 − 𝑓 · 𝑔′
=
𝑔
𝑔2
(𝑓 (𝑔(𝑥)))′ = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥)) · 𝑔 ′ (𝑥)
7
