Must have формулы для планиметрии второй части

Признаки равнобедренной трапеции
Теорема Птолемея
Теорема Менелая
Чевиана
Чевиана - это любой отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположнойстороне. Частные
Пусть прямая пересекает произвольный треугольник ABC, причем C1 – точка ее
произведений противоположных сторон.
случаи чевианы: биссектрисса, медиана, высота.
пересечения со стороной AB, A1 – точка ее пересечения со стороной BC, и B1 – точка
ее пересечения с продолжением стороны AC.
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме
В
С
B
A
AВС =
K
2
BA
C
BK - чевиана
В
BC
D=
A
D
DC
3
C1
1
3
5
АС1
BA1
CB1
⋅
1
⋅
С1В
4
A1C
2
A1
С
B
A
=1
B1A
4
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
Лемма о площадях 1 - Без доказательства на ЕГЭ
6
Чевиана разбивает сторону треугольника на два отрезка, образуя при этом два треугольника.
D
В
С
Площади данных треугольников относятся, как:
B1
А
D
А
5
С
S1
6
0,5 • a • h
=
S2
AC ⋅ B
a
=
D = AB ⋅ CD + BC ⋅ AD
D = AC
B
b
0,5 • b • h
Тогда выполняется равенство:
Теорема косинусов
B
Теорема Чевы
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других
Пусть на прямых АВ, ВС и CA треугольника ABC отмечены точки C1, A1 и B1
сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между
соответственно. Для того, чтобы прямые AA1, BB1, CC1 пересекались в одной точке,
ними:
D
А
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная. Опять же, около равнобедренной
трапеции можно
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:
S1
S2
описать окружность.
a2
b2
2
A
h
A
C
l
a
=
=
c
b
=
b2
+ 2 a2 + 2 b2 + a2 c
c
2 ⋅
b ⋅ c ⋅ cosα
2 ⋅
a
2 ⋅
b ⋅ a ⋅ c
⋅ c ⋅ c
β
osγ
osβ
a
b
γ
α
c
C1
AB1
B1
CA1
B1C
⋅
A1B
BC1
Bl - чевиана
= 1
⋅
Дельтоид
C1A
Частный случай: чевиана оказалась медианой
Дельтоид - четырёхугольник, четыре стороны которого можно сгруппировать в
.
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
Равновеликие треугольники
C
B
— это треугольники, имеющие равные площади. То есть
медиана делит исходный треугольник на два треугольника с равными площадями (или
A1
е
дв
пары равных смежных сторон.
4. В равнобедренной трапеции одинаковые углы между диагоналями и основаниями.
Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны.
медиана делит площадь треугольника пополам).
C
В
Теорема Ван-Обеля
S1
Если прямые AP, BP, CP пересекают прямые BC, CA, AB, содержащие стороны
0,5 • a • h
=
S2
= 1
0,5 • a • h
треугольника ABC, соответственно в точках A1, B1 и C1, то имеет место равенство
S
1
=
1)
S
2
отношений направленных отрезков:
AB = A
B
A
D
BC = C
AC1
PA1
C1
D = ∠
2)
DBC = ∠
3)
CA
∠
4)
AC
ACB
D = ∠
A
BAC =
D
DB ∠
DC
B
D
А
+
B1C
C1B
S1
S2
и
A
P
Основные свойства равнобедренной трапеци
Теорема о биссектрисе угла
h
A
C
B
D
AB
AB1
=
B1
Дельтоид
D
B
AP
С
a
M
K
A1
C
a
Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла,
1. Высота (CP) равнобедренной трапеции, опущенная из вершины (C) на большее основание (A
то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.
на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (P
D), делит его
D) - равен полуразности
оснований:
M
Обобщённая теорема Фалеса
B
B
- медиана
K
Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки:
L
Лемма о площадях 2 - С доказательством на ЕГЭ
e
d
с
A3
A2
A1
M
Если на чевиане взять произвольную точку
A1А2
=
b
B1
B2
=
C
A
P
B3
S1
a
b
S2
S2
M
=
Справедлива обратная теорема: если точка равноудалена от сторон
неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе.
S3
S4
A
C
L
(или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие
a
e
A1
A3
Рассмотрим треугольник BC
а
A1А2
Если
A2А3
=
В1B2
A1А3
=
В2B3
Рассмотрим треугольник
,
тогда
c || d || e
В1B3
З
аметим:
S1
S3
B1
b
M
B2
=
S2
L
ML
C и чевиану
L
и чевиану C
AB и чевиану A
, выразим
S4
S1
:
S1
S2
S2
=
M
M
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
b
прямые параллельны.
Рассмотрим треугольник A
S3
, по лемме 1:
=
S2
=
, по лемме 1:
S4
S1
=
, по лемме 1:
a
S3
2. Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований
O
b
S4
S3
P
Касательная и секущая
Если прямые, пересекающие две другие прямые, отсекают на обеих из них равные
A2
2
R
B
В1B3
Обратная теорема Фалеса
d
D=
P
D - BC
M
, то она разделяет треугольник на 4
S1
с
A
A1А3
В2B3
В1B2
D
2
чевиану, относятся, как
A2А3
AP =
R
треугольника. Площади двух треугольников, не прилежащих к стороне, к которой провели
а
BC + A
M
ML
M
ML
(средней лини): h =
A
B
m
.
3. Если в равнобедренной диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:
2
SABCD = h .
B
B
O 2 O
A
=
B ⋅
O
C
a
=
b
S4
B3
C
Свойство биссектрисы
Рельсы Евклида
Секущие
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих
Площади двух треугольников равны, если у них общая сторона и равные высоты, как
сторон.
расстояние между двумя паралллельными прямыми.
Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точк
С
a
A2
SA1BC
= SA2BC
=
a
B
b
b
S2
m
В
4. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней линии
D
C
B
A
m
n
а
S1
,
выполняется равенство:
S1 = S2 тогда и только тогда, когда a ‖ BC.
A1
у𝐴
C
n
Р
АB ⋅ AC = A
D ⋅ AE
трапеции: AB = C
D = m.
5. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению
2
оснований трапеции: h
= BC
·
A
D.
А
Медиана в прямоугольном треугольнике
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих
E
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.
углов
А
b
c R - радиус описанной около треугольника где
=
=
= 2R
sinα sinγ sinβ
а
окружности.
Формула длины медианы
СM
β
AB
2
= 0,5 ⋅
2a
+ 2
b2
-
c2
=
2
М
Формула через две стороны и угол между ними :
R
a
M
Формула через три стороны:
M
= 0,5 ⋅
2 + b2
a
+ 2a⋅b⋅
cosα
b
А
ы
Формула Брахмагупт
γ
c
В
С
α
α
Помним
а
Признак вписанного четырёхугольника
Равные хорды
Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 1
В одном круге или в равных кругах равные дуги стягиваются равными хордами.
80°, то этот четырёх - угольник
C
А
B
α
?
ормулу Герона
так, вот
ормула площади вписанного в окружность четырехугольника со сторонами a, b,
O
- медиана (М
c
)
ы
b
с - сторона, к которой проведена медиана
a
D
C
Формула длины биссектрисы
а
L L
Длина биссектрисы через две стороны и угол, (
):
2ab
=
C + А = 1
Условие принадлежности четырёх точек одной окружности
A
DB =∠
ACB, то A, B, C,
L L
80 °
Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (
(
2)
A
p
):
=
a
∙
b - e
∙
p
- a)(
p c p
- b)(
-
)(
- d)
- полупериметр
c
d
/
α 2 α 2
лежат на одной окружности.
p
(
d
/
Вписанная окружность для квадрата
C
∙ cos α/
B
D + B = 1 80 °
D
S=
a+ b
A
D и C лежат по одну сторону от прямой AB и ∠
c и d:
B
a, b - боковые сторон
а
Если точки
Есть похожая, но для вписанного четырехугольника.
O
вписанный.
α
α
И
b
ф
ф
D
2. Если в прямоугольник можно вписать окружность, то он является квадратом. Тогда центр
b
окружности лежит на пересечении диагоналей.
D
a
L
B
A
Основные свойства ортоцентра
Ортоцентр - это точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.
Ортотреугольник или ортоцентрический треугольник - это треугольник, вершины которого являются основаниями
В
d
T
А
L
C
- биссектриса, отрезок, который делит угол ABC попола
а
a, b - стороны треугольник
А
.
высот данного треугольника
e
с - сторона, на которую опущена биссектрис
1 свойство ортоцентра
м
Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности.
а
C
d, e - отрезки, полученные делением биссектрисой стороны A
α - угол ABC, разделенный биссектрисой попола
Вписанная окружность
D
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных
M
C
B
Лемма о трезубце
сторон равны.
Н
м
Теорема о пересекающихся хордах
аоборот: если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него
Ц
T
Лемма о трезубце. Пусть биссектриса угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность
можно вписать окружность.
Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны.
ентр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов
O
четырехугольника.
A
B
⋅ B
O
= C
m
в точке
F L
, а
является центром вписанной окружности. Тогда
FL F
=
A=
F
O DO
H
⋅
B
b
Z
O
a+
c
A
=
=
P
A
a
; HZ ZD; MT TH
K = KP
K
C
D
C
H
C.
A
D
2 свойство ортоцентра
L
c=b+d
й
Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанно
й
B
окружности и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежаще
d
m
A
L LH
K
и
З
(4 замечательные точки трапеции)
1. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом. Тогда центр
Теорема: точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения
продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной линии.
B
, если
m
в точке
F L
, а
является центром вписанной окружности,
I—
B
центр вневписанной
Тогда
FL F
=
A =
F
C =
FI
.
P
B
O
L
C
B
A
- середина AC
окружности, касающейся стороны AC.
C
M
L
Обобщенная лемма о трезубце. Пусть биссектриса угла B треугольника ABC пересекает описанную
окружность
окружности лежит на пересечении диагоналей.
=
F
амечательное свойство трапеци
Вписанная окружность для ромба
стороне.
C
C
D
й
данно
около него
P
K
L
C
H
A
3 свойство ортоцентра
D
O
A
L LH
Если K
C
H
=
, если
L
- середина AC, то BK равно диаметру описанной окружности.
- ортоцентр.
Вневписанная окружность
Вневписанная окружность
— окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения
.
двух других его сторон
Радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне a, вычисляется по
ф
6 свойство ортоцентра
й
Радиусы описанно
ё
окружности, провед
I
нные к вершинам треугольника,
перпендикулярны соответствующим сторонам ортотреугольника. Ортотреугольник -
c
A
F
D
ормуле:
B
b
N
A
B
это треугольник
r
C
a
a
=
p
∆
S
-a
Δ
L
C
A1B1C1, вершины которого являются основаниями высот треугольника
ABC.
H
K
A
5 свойство ортоцентра
Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в 2 раза больше расстояния от центра
B
й
описанно
И
O
й
окружности до противолежаще
L LH L
стороны.
KB - диаметр, если K
=
и
- середина AC
ли более сложное и каноничное определение: При изогональном сопряжении ортоцентр
й
переходит в центр описанно
A1
окружности.
4 свойство ортоцентра
Угол между стороной и высотой, опущенных из одной вершины, равен углу между диаметром описанной
B
окружности и другой боковой стороной треугольника, выходящей из той же вершины треугольника.
7
Если A
фф
коэ
B
D и BE — высоты треугольника ABC, то
треугольник
С1
свойство ортоцентра
H
2
DEC подобен треугольнику ABC с
|cos ∠
ициентом
SDEC
S
ABC
=
|
С .
A
( os )2
c
C
C
D
CA
= |c
D
os ∠ С
B1
O
C
OE
= B
x
H
A
|
x
B
E
H/ OE || H
2,
B
СBK =
L
O
BA
C
L
C
C
E
A
K
H
L
A