Семестровая работа по дисциплине
«Дополнительные главы алгебры»
на тему:
«Диофантовы уравнения»
1
Понятие проектно-исследовательской деятельности школьника.
В современной образовательной системе учение больше не рассматривается
как простая трансляция знаний от педагога к учащимся. Обучение выступает
как сотрудничество — совместная работа учителя и учеников в ходе
овладения учащимися знаниями и приобретения опыта решения проблем.
Активной позиции учащегося в учении приводит к изменению
представлений о характере взаимодействия ученика с педагогом и
одноклассниками.
Проектно-исследовательская деятельность учащихся является одним из
методов развивающего обучения, направлена на выработку самостоятельных
исследовательских умений, таких как постановка проблемы, сбор
и обработка информации, проведение экспериментов, анализ полученных
результатов, а также способствует развитию творческих
способностей и логического мышления, объединяет знания, полученные в
ходе учебного процесса и приобщает к жизненно важным проблемам.
Организация проектной и исследовательской деятельности обучающихся в
образовательных учреждениях требует грамотного научно-обоснованного
подхода. Важно учитывать, что данными видами деятельности должна
управлять инициативная группа педагогов-единомышленников, обладающих
определенным уровнем подговки, а также владеющих технологией
проектирования. Перед тем, как начать рассуждать о роли проектноисследовательской деятельности школьника в современном образовании,
приведу ряд определений.
Проектно-исследовательская деятельность — деятельность по
проектированию собственного исследования, предполагающая выделение
целей и задач, выделение принципов отбора методик, планирование хода
исследования, определение ожидаемых результатов, оценка реализуемости
исследования, определение необходимых ресурсов.
Цель проектно-исследовательской деятельности:
Создание условий для формирования у учащихся функционального навыка
исследования как универсального способа освоения действительности,
активизации личностной позиции учащегося в образовательном процессе на
основе приобретения субъективно новых знаний, развития творческой
личности, ее самоопределения и самореализации, достижения учащимися
метапредметных результатов освоения основной образовательной программы
основного общего образования.
Проектно-исследовательская деятельность в рамках учебного процесса
призвана: учить учащихся четко определять цель, описывать основные шаги
2
по достижению поставленной цели, подбирать методы и формы работы по
теме исследования; формировать навыки сбора и обработки информации,
материалов (учащийся должен уметь выбрать нужную информацию и
правильно ее использовать); развивать умения анализировать (креативное и
критическое мышление); формировать и развивать умения составлять
письменный отчет о самостоятельной работе над проектом (составлять план
работы, презентовать четко информацию, оформлять сноски, иметь понятие
о библиографии); способствовать формированию позитивного отношения к
работе, активной жизненной позиции (учащийся должен проявлять
инициативу, энтузиазм, стараться выполнить работу в срок в соответствии с
установленным планом и графиком работы); интенсифицировать освоения
знаний по базовым предметам, способствовать формированию системы
межпредметной интеграции и целостной картины мира; способствовать
формированию и развитию коммуникативной компетенции учащихся как
одного из факторов их успешной социализации в будущем.
Проектное обучение рассматривается как дидактическая система. Метод
проектов является компонентом системы, как педагогическая технология,
которая предусматривает не только интеграцию знаний, но и применение
актуализированных знаний, приобретение новых. О проектном обучении
можно говорить только тогда, когда метод проектов является основным в
процессе обучения, а остальные методы являются вспомогательными.
Проектная деятельность учащихся - компонент проектного обучения,
связанного с выявлением и удовлетворением потребностей учащихся
посредством проектирования и создания идеального или материального
продукта, обладающего объективной или субъективной новизной. Она
представляет собой творческую работу по решению практической задачи,
цели и содержание которой определяются учащимися и осуществляются ими
в процессе теоретической проработки и практической реализации при
участии учителя.
Проектная деятельность решает ряд важных педагогических задач:
● учит применять базовые знания и умения, усвоенные на учебных занятиях,
для поиска и решения социальных, семейных, личных проблем;
стимулирует самостоятельную познавательную деятельность детей;
● стирает грани между школьными дисциплинами, тем самым приближает
учебный процесс к реальной жизни;
● привлекает детей к социальной деятельности, которая обеспечивает
формирование различных качеств, профессиональных интересов.
3
Проектная деятельность успешно сочетается с исследовательской
деятельностью. Реализация исследовательского метода обучения
обеспечивает выработку новых знаний. Отличительная особенность
исследования от проектирования прослеживается в том, что исследование не
предполагает создание какого-либо планируемого объекта, модели или
прототипа. Результат проекта всегда известен заблаговременно, а результат
исследования не известен.
К общим характеристикам исследовательской и проектной деятельности
следует отнести характеристики организационно - управленческого плана.
Целеполагание, формулировку задач, которые следует решить; выбор средств
и методов, адекватных поставленным целям; планирование, определение
последовательности и сроков работ; собственно проведение проектных работ
или исследования; оформление результатов работ в соответствии с замыслом
проекта или целями исследования; представление результатов.
4
Введение
Станет ли кто в наше время отрицать настоятельную необходимость самого
широкого распространения и популяризации математических знаний?
Первоначальные математические познания должны входить с самых ранних
лет в наше образование и воспитание.
Алгебра – один из больших разделов математики. Она возникла как наука об
уравнениях в связи с потребностями практики, в результате поиска общих
приемов однотипных задач.
Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве
практических и научных задач, где какую – то величину нельзя
непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается
найти эту величину благодаря уравнениям.
Диофантовы уравнения – это уравнения в целых числах. В качестве примера
может послужить задача о размере рубля монетами разных достоинств.
Решение уравнений в целых числах – очень увлекательная задача.
Это один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный
математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений.
Давайте разберемся, откуда взялось понятие «диофантовы уравнения».
Диофант Александрийский — древнегреческий математик, живший
предположительно в III веке н.э. О подробностях его жизни практически
ничего не известно. Его «Арифметика» стала поворотным пунктом в
развитии алгебры и теории чисел. Именно здесь произошёл окончательный
отказ от геометрической алгебры. В начале своего труда Диофант поместил
краткое введение, ставшее первым изложением основ алгебры. В нём
строится поле рациональных чисел и вводится буквенная символика. Там же
формулируются правила действий с многочленами и уравнениями. Труды
Диофанта имели фундаментальное значение для развития алгебры и теории
чисел. С именем этого учёного связано появление и развитие алгебраической
геометрии.
5
Диофантовы уравнения
Теория
Линейным диофантовым уравнением с двумя неизвестными называется
уравнение вида:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐,
где 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ и (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 1.
Решением уравнения 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ и (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 11, называется
пара целых чисел, при подстановке которых в уравнение 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
получается верное числовое равенство.
Теорема
Диофантово уравнение 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 разрешено в целых числах ⟺ (𝑎, 𝑏) = 1.
Доказательство.
Необходимость. Предположим, что (𝑎, 𝑏) = 𝑑 > 1 и докажем, что
диофантово уравнение 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 неразрешимо в целых числах.
Предположим, что существуют 𝑥0 , 𝑦0 ∈ ℤ, что 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 = 𝑐 , то есть (𝑥0 , 𝑦0 )
– решение 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐. Очевидно, что из (𝑎, 𝑏) = 𝑑 > 1 и 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 = 𝑐
получается, что с делится на d, то есть d – общий делитель чисел (𝑎, 𝑏, 𝑐).
1
Следовательно, ∗ 𝑑 = 1, а это противоречие.
𝑑
Достаточность. Пусть (𝑎, 𝑏) = 1, тогда по критерию НОДа: существует
𝑥′, 𝑦′ ∈ ℤ, что 1 = 𝑎𝑥′ + 𝑏𝑦′. Домножим обе части равенства на c, получим
𝑎(𝑐𝑥 ′ ) + 𝑏(𝑐𝑦 ′ ) = 𝑐. Следовательно, 𝑐𝑥′, 𝑐𝑦′ − целые решения уравнения 𝑎𝑥 +
𝑏𝑦 = 𝑐. Обозначим их через (𝑥0 , 𝑦0 ). Тем самым, доказано, что если (𝑎, 𝑏) =
1, то диафантово уравнение 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 имеет целое решение (𝑥0 , 𝑦0 ).
Покажем, как найти все целые решения этого уравнения:
−𝑎𝑥
Если 𝑐 = 0, имеем 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0, следовательно, 𝑦 =
. Но по условию
𝑏
𝑦 ∈ ℤ и (𝑎, 𝑏) = 1, отсюда −𝑎𝑥 делится на 𝑏 и (𝑎, 𝑏) = 1.
Следовательно, по свойству взаимно простых чисел, существует 𝑡 ∈ 𝑍,
что 𝑥 = 𝑏𝑡. Отсюда 𝑦 = −𝑎𝑡. Таким образом, целыми решениями
𝑥 = 𝑏𝑡
такого однородного уравнения является: {
, 𝑡 ∈ ℤ.
𝑦 = −𝑎𝑡
2) Если 𝑐 ≠ 0, имеем 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 и уравнение 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 разрешимо в
целых числах. Существуют 𝑥0 , 𝑦0 ∈ Z, что 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 = 𝑐. Вычтем из
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 уравнение 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 = 𝑐, получим
3) 𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0 ) = 0, а данное уравнение совпадает с типом
уравнения, рассмотренным в пункте 1.
1)
6
Таким образом, пара (𝑥 − 𝑥0 , 𝑦 − 𝑦0 ) - решение уравнения
𝑎(𝑥 − 𝑥0 ) + +𝑏(𝑦 − 𝑦0 ) = 0. Отсюда, согласно случаю 1, имеем:
𝑥 − 𝑥0 = 𝑏𝑡,
𝑡 ∈ 𝑍.
{
𝑦 − 𝑦0 = −𝑎𝑡;
7
Примеры решений
Пример 1.
Найти все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 91.
Воспользуемся методом разложения на множители.
Запишем условие задачи в виде уравнения 𝑥 2 − 𝑦 2 = 91
Воспользуемся формулой разности квадратов:
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = 91
Число 91 можно разложить на множители восемью способами:
91 = 91∙1 = 7∙13 = 13∙7 = 91∙1 = -1 ∙ (-91) = -7 ∙ (-13) = -13 ∙ (-7) = -91 ∙ (-1)
Заметим, что 𝑥 − 𝑦 < 𝑥 + 𝑦. Приведем пример решения системы для чисел
1 и 91:
𝑥−𝑦 =1
2𝑥 = 92
𝑥 = 46
⟺{
⟺ {
{
𝑥−𝑦 =1
𝑦 = 45
𝑥 + 𝑦 = 91
Аналогично для остальных множителей.
Получаем восемь различных пар (𝑥; 𝑦):
(46,45); (46,-45); (-46,45); (-46,-45); (10,3); (10,-3); (-10,3); (-10,-3).
Пример 2.
Решить уравнение в целых числах:
𝑥 3 − 𝑦 3 = 91
Разложим правую часть уравнения на множители:
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) = 91
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 3𝑥𝑦) = 91
(𝑥 − 𝑦)((𝑥 − 𝑦)2 + 3𝑥𝑦) = 91
Как писалось выше, число 91 можно разложить на множители восемью
способами:
91 = 91∙1 = 7∙13 = 13∙7 = 91∙1 = -1 ∙ (-91) = -7 ∙ (-13) = -13 ∙ (-7) = -91 ∙ (-1)
Аналогично примеру 1 приведем решение для множителей 1 и 91:
8
𝑥−𝑦=1
{
(𝑥 − 𝑦)2 + 3𝑥𝑦 = 91
Решив системe, получим: первая система имеет решения (6;5), (-5;-6). Решая
остальные системы, убедимся, что некоторые системы решения не дают, а
некоторые дают решение (4;-3), (3:-4).
Пример 3.
Доказать, что уравнение
(x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 = 30
не имеет решений в целых числах.
Разложим левую часть уравнения на множители и обе
части уравнения разделим на 3, в результате получим
уравнение:
(x − y)(y − z)(z − x) = 10.
Делителями 10 являются числа ±1, ± 2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма
сомножителей левой части уравнения (x − y)(y − z)(z − x) = 10
равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества
делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0.
Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Пример 4.
Найти все пары простых чисел x и y, удовлетворяющих
уравнению:
x2 − 2y2 = 1.
Перепишем исходное уравнение в виде
x2 = 1 + 2y2, значит, x – нечетное число.
Приведем исходное уравнение к виду
(x − 1)(x + 1) = 2y2
Заметим, что числа (x – 1) и (x + 1) − четные, а из (x − 1)(x + 1) = 2y2
следует, что y − четное. Значит, y = 2 (это единственное простое четное
число). Тогда x = 3.
9
Пример 5.
Найти натуральные x и y, такие что 117x – 79y = 17, для которых x + y
имеет наименьшее значение.
Имеем 117 = 79 ∙ 1 + 38.
Перепишем данное уравнение в виде
79(x – y) + 38x = 17.
Обозначим x – y = u, тогда уравнение примет вид
79u + 38x = 17.
Проведем цепочку преобразований.
Так как 79 = 2 ∙ 38 + 3, то 38 ∙ (2u + x) + 3u = 17.
Обозначим 2u + x = v, тогда получим
38v + 3u = 17. Так как 38 = 3 ∙ 12 + 2, то
3(12v + u) + 2v = 17
12v + u = w,
тогда 3w + 2v = 17,
так как 3 = 2 ∙ 1 + 1, то 2(w + v) + w = 17,
w + v = t,
2t + w = 17.
Последнее уравнение имеет решение w = 17 – 2t, t ∈ ℤ.
Теперь пойдем в обратном направлении: v = t − w = t − 17 + 2t = 3t – 17
u = w − 12v = 17 − 22t − 12(3t − 17) = 17 − 2t − 36t + 204 = 221 − 38t
x = v − 2u = 3t − 17 − 2(221 − 38t) = 3t − 17 − 442 + 76t = 79t – 459
y = x − u = 79t − 459 − 221 + 38t = 117t − 680.
Из условия x, y ∈ ℕ найдем t ≥ 6.
Видно, что x + y имеет наименьшее значение при t = 6. Значит, решением
будет (15; 22).
10
Список литературы
1. «О решении уравнений в целых числах», В.Серпинский, 1961г.
2. «Решение уравнений в целых числах», А. Гельфонд, 1978
3. «Методы решения диофантовых уравнений при подготовке
школьников к олимпиадам», Е.П. Гринько, А.Г. Головач
11
