1. Математический анализ
1 вопрос
Точные верхняя и нижняя грани множества, принцип вложенных отрезков.
Верхняя точная грань:
Нижняя точная грань:
Принцип
вложенных
отрезков.
2 вопрос
Свойства
сходящихся
последовательностей
(единственность
предела,
ограниченность последовательности, имеющей предел, отделимость от нуля).
Свойства:
Единственность:
Ограниченность:
Отделимость от нуля:
утверждение, что если lim x_n != 0, то существует номер N, такой что при n>N x_n !=0
3 вопрос
Фундаментальная числовая последовательность. Критерий Коши сходимости
числовой последовательности (с доказательством).
Фундаментальная последовательность (условие Коши):
Критерий Коши сходимости последовательности:
4 вопрос
Второй замечательный предел и следствия (с доказательством).
Второй замечательный предел:
Следствие 1:
Следствие 2:
Следствие 3:
Следствие 4:
Следствие 5:
5 Вопрос
Напишите два равносильных определения предела функции y=f(x) (по Коши и по
Гейне).
Предел функции по Коши:
Предел функции по Гейне:
6 вопрос
Напишите три равносильных определения функции y=f(x), непрерывной в точке
x=𝑥0:
- определение на языке пределов;
- определение на языке «𝜀 − 𝛿»;
- определение на языке приращений
7 вопрос
Непрерывность функции на отрезке. Теоремы Больцано-Коши (о нулях, о
промежуточных значениях).
Функция непрерывная на множестве:
Первая теорема Больцано-Коши:
Вторая теорема Больцано-Коши:
8 вопрос
Теоремы Вейерштрасса (об ограниченности, о достижении точных граней) (с
доказательством)
Первая теорема Вейерштрасса:
Вторая теорема Вейерштрасса:
9 вопрос
Теорема о пределе промежуточной функции (теорема «о двух милиционерах»).
Первый замечательный предел и следствия (с доказательством).
Теорема о пределе промежуточной функции
Первый замечательный предел:
Следствие 1:
Следствие 2:
Следствие 3:
Следствие 4:
10 вопрос
Бесконечно малые функции, их свойства. Приведите примеры.
Бесконечно малая функция:
Свойства:
Примеры:
11 вопрос
Напишите определение функции y=f(x), дифференцируемой в точке x=𝑥0.
12 вопрос
Напишите определение производной функции y=f(x) в точке x=𝑥0.
Дайте геометрическую иллюстрацию производной.
В чём заключается геометрический смысл производной? Свойства производной
Смысл:
Свойства:
13 вопрос
Теоремы о связи дифференцируемости с существованием конечной производной
и
с
непрерывностью
(с
доказательством).
Основные
правила
дифференцируемости (производные суммы, разности, произведения, частного).
Основные правила дифференцируемости (производные суммы, разности,
произведения, частного):
14 вопрос
Сформулируйте
и
докажите
теорему
Лагранжа
иллюстрацией). Напишите формулу конечных приращений
(с
геометрической
15 вопрос
Сформулируйте и докажите теорему Ферма
16 вопрос
Сформулируйте и докажите теорему Ролля
17 вопрос
Сформулируйте и докажите теорему Коши
18 вопрос
Напишите определение точки локального экстремума функции y=f(x) и
определение её локального экстремума.
19 вопрос
Сформулируйте и докажите необходимое условие локального экстремума
функции y=f(x).
20 вопрос
Сформулируйте и докажите I-е достаточное условие локального экстремума
функции y=f(x).
21 вопрос
Сформулируйте II-е достаточное условие локального экстремума функции
y=f(x).
22 вопрос
Дифференциал функции. Теорема о связи производной и дифференциала.
23 вопрос
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
24 вопрос
Вывести пять стандартных разложений функций по формуле
Маклорена
25 вопрос
Определение определённого интеграла. Определение неопределенного
интеграла
26 вопрос
Ограниченность интегрируемой функции (с доказательством)
27 вопрос
Свойства определенного интеграла (с доказательством)
2 Ангем
1 Напишите общее уравнение поверхности в декартовой прямоугольной системе
координат.
2 Напишите общее уравнение поверхности 2-го порядка в декартовой
прямоугольной системе координат.
3 Напишите каноническое уравнение эллипсоида. Сделайте чертёж.
4 Напишите каноническое уравнение гиперболического параболоида. Сделайте
чертёж.
3 Алгебра
1 Напишите определение линейно независимой системы векторов. Напишите
определение линейно зависимой системы векторов. Словами и кванторами.
2 Напишите два равносильных определения ранга матрицы. Какие два
способа вычисления ранга матрицы вы знаете?
Ранг матрицы - это максимальное число линейно независимых строк
(столбцов) в матрице.
Ранг матрицы - это размерность линейной оболочки ее строк
(столбцов).
Метод миноров: построить все возможные миноры заданного порядка
в матрице и посчитать количество ненулевых миноров. Ранг матрицы будет
равен наибольшему порядку минора, не равному нулю.
Метод элементарных преобразований
3
Напишите
пространства.
определение
ортонормированного
базиса
векторного
4 Напишите формулу для вычисления скалярного произведения двух
векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе {𝑖;̅𝑗;̅𝑘̅}.
5 Напишите формулу алгебраического дополнения к элементу определителя
и объясните все входящие в неё величины.
8 Напишите определение базиса линейного пространства
9 Напишите определение евклидова пространства с аксиомами скалярного
произведения
10 Сформулируйте аксиомы нормы. Напишите формулу для вычисления
нормы вектора
Норма вектора в обычном понимании - это его модуль, она же длина вектора,
она же абсолютное значение. Сравниваются как обычные числа.
норма это когда ты значения вектора
в квадрат возводишь
скаладываешь и берешь под корень)
11 Дать определение собственного значения и собственного вектора
линейного оператора. Доказать теорему о линейной
независимости
собственных векторов линейного оператора, соответствующих попарно
различным собственным значениям
12 Сформулировать определение самосопряженного линейного оператора.
Сформулировать свойства собственных значений и собственных векторов
самосопряженного
ортогональности
линейного
собственных
оператора.
векторов
Доказать
теорему
самосопряженного
оператора, соответствующих различным собственным значениям
об
линейного
13 Дать определение квадратичной формы, привести матричную и
векторную формы ее записи. Доказать теорему о связи между матрицами
одной и той же квадратичной формы в различных базисах
14 Дайте
определение
положительно определенной
и отрицательно
определенной квадратичной формы. Сформулируйте критерий Сильвестра
знакопостоянства квадратичной формы
15 Дайте определение ранга квадратичной формы. Сформулируйте закон
инерции квадратичных форм
16) Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля
17) Найдите все корни уравнения 𝑥 4 = 1. Ответ проверьте
Что за кринж
18) Задача на нахождение матрицы линейного оператора
