корреляционный анализ детерминированных сигналов

Задание 1. Элементы корреляционного анализа детерминированных
сигналов
В табл. 1.2 и 1.3 заданы варианты и подварианты импульсного сигнала.
Требуется:
а) вычислить АКФ и построить график функции K(τ)
Введем обозначение b- сдвиг по t сигнала вправо или влево относительно
своей копии, тогда АКФ вещественного сигнала s(t) с конечной энергией
𝜏
определяется выражением (𝜏и = = 0,5 ∗ 10−3 с длительность одиночного
прямоугольного импульса):
4
+∞
𝐾(𝑏) = ∫ 𝑠(𝑡)𝑠(𝑡 − 𝑏)𝑑𝑡
−∞
Вычислим АКФ для b = 0:
+∞
+∞
+
𝜏
2
𝐾(0) = ∫ 𝑠(𝑡)𝑠(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑠 2 (𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑈 2 𝑑𝑡 =
−∞
−∞
𝜏
− +𝜏и
2
𝜏
2
−
𝜏
2
= ∫ (−𝑈)2 𝑑𝑡 + ∫ (−𝑈)2 𝑑𝑡 = 2𝑈 2 𝜏и
−
𝜏
2
𝜏
−𝜏
2 и
𝐾(0) = 2 ∙ 22 ∙ 0.5 ∙ 10−3 = 4 ∙ 10−3 В2 ∙ с ,
т.е. максимальное значение АКФ К(0) равно полной энергии сигнала s(t).
Так как АКФ обладает свойством четности, то интеграл от произведения
сигнала на его двинутую копию вправо или влево дает один и тот же результат:
2𝑈 2 (𝜏и − |𝑏|), |𝑏| ≤ 𝜏и
𝐾(𝑏) = {
|𝑏| > 𝜏и
0,
3
  2 10
U  2
s ( t) 
( U) if
U if

4

2
t 
t 

4

2
0 otherwise

2

K ( b )  
s ( t)  s ( t  b ) d t




2
410
210
3
3
K( b)
0
3
 210
3
3
3
4
 210  1.510  110  510
0
b
4
510
110
3
1.510
3
210
3
2
б) рассчитать энергетический спектр импульса |𝑆̇(𝑓)| с помощью АКФ
По определению энергетический спектр сигнала связан с АКФ как:
+∞
2
|𝑆̇(𝑓)| = ∫ 𝐾(𝜏)𝑒 −𝑗𝜔𝜏 𝑑𝜏
−∞
где τ- сдвиг по времени. В нашем случае введено обозначение τ = b- сдвиг по
t сигнала вправо или влево относительно своей копии. АКФ сигнала получен
выше:
2𝑈 2 (𝜏и − |𝑏|), |𝑏| ≤ 𝜏и
𝐾(𝑏) = {
|𝑏| > 𝜏и
0,
Тогда, энергетический спектр, рассчитанный с помощью АКФ, на
интервале от 0 до 𝜏и :
𝜏и
𝜏и
2
|𝑆̇(𝑓)| = ∫ 2𝑈 2 (𝜏и − 𝑏)𝑒 −𝑗𝜔𝑏 𝑑𝑏 = 2𝑈 2 ∫ (𝜏и − 𝑏)𝑒 −𝑗𝜔𝑏 𝑑𝑏 =
0
0
𝑒 −𝑗𝜔𝜏и − 1 𝜏и
= 2𝑈 [
+ ]
(𝑗𝜔)2
𝑗𝜔
2
Энергетический спектр сигнала, представлен на рисунке.
6
410
6
310
Sk (  )
6
210
6
110
0
4
 1.9210
 1.4410
4
 9.610
3
3
 4.810
0

4.810
3
3
9.610
4
1.4410
4
1.9210
Задание 2. Дискретизация непрерывных сигналов
В табл. 1.2 и 1.3 заданы варианты и подварианты импульсного сигнала.
Требуется:
а) вычислить максимальную частоту
(воспользоваться энергетическим критерием)
fmax
в
спектре
сигнала
за максимальную частоту fmax в спектре сигнала можно принять ширину
центрального лепестка спектра сигнала
fmax = Δf = 2*103 Гц
б) определить интервал дискретизации (Найквиста)
На основании теоремы Котельникова непрерывный сигнал S(t), спектр
которого не содержит частот выше fmax, полностью определяется дискретной
последовательностью своих мгновенных значений, отсчитываемых через
интервалы времени:
∆𝑡 =
1
1
=
= 0.25 ∙ 10−3 𝑐
3
2𝑓𝑚𝑎𝑥 2 ∙ 2 ∙ 10
в) построить график дискретизированного сигнала, если за
дискретизирующую систему функций принята последовательность дельтаимпульсов δ(t):
( t) 
1 if t
0
0 otherwise
3
t  0.25 10
с - интервал дискретизации;
t 
 


 t 
2 2
2
s ( t) 

( U) if
U if
2

t 
t 
4

4
- исходный сигнал

2
0 otherwise
2
s( t )
 1.510
3
 110
3
 510
4
4
3
510
0
3
110
1.510
2
t
Математическая модель дискретного сигнала:
 l
sd ( t)  


k   l

( ( t  k  t ) )  s ( t), где дискретизирующая последовательность δ-


импульсов:
2
1.75
1.5
l
1.25
( ( t  k  t ) ) 1
0.75
k  l
0.5
0.25
0
3
 110

3
110
0
t
3
2
1
sd( t )
3
 110
4
 7.510
4
 510
4
 2.510
10
2
3
t
4
2.510
510
4
4
7.510
110
3
г) определить спектр 𝑆д̇ (𝑓) дискретизированного в соответствие с п. “в”
сигнала. Построить диаграмму спектральной плотности |𝑆д̇ (𝑓)|.
Спектр дискретизированного сигнала имеет вид:
+∞
1
𝑆д̇ (𝑓) =
∑ 𝑆̇ (𝑓 − 𝑘 ∙ 𝑓д )
∆𝑡
𝑘=−∞
или
+∞
1
𝑆д̇ (𝜔) =
∑ 𝑆̇ (𝜔 − 𝑘 ∙ 𝜔д )
∆𝑡
𝑘=−∞
1
2∙𝜋
где 𝑆̇(𝑓) или 𝑆д̇ (𝜔)- спектр непрерывного сигнала, 𝑓д =
или 𝜔д = ∆𝑡
частота дискретизации.
∆𝑡
Для заданного сигнала спектр имеет вид:
𝜔𝜏
𝜏 sin ( 8 )
3𝜏
𝑆̇(𝜔) = −𝑗 ∙ 𝑠0 ∙
∙
sin
(𝜔
)
2 𝜔𝜏
8
8
3
1.510
SP( w)
3
110
4
510
0
4
 210
4
 110
0
4
110
210
4
w
Диаграмма спектральной плотности энергии сигнала показывает, как энергия
сигнала распределяется с частотой (максимум энергии сигнала сосредоточен
в «центральном лепестке» спектра).
Спектр дискретизированного сигнала представляет собой сумму сдвинутых
«копий» спектра исходного сигнала с шагом сдвига, равным частоте
дискретизации.
ωv = 2*π/τи = 1,257*10-4 с-1- ширина центрального лепестка спектра (можно
рассчитать через длительность импульса τи = τ/4, либо по диаграмме
спектральной плотность и энергии выше)
fv = ωv/(2π) = 2*103 Гц
Тогда интервал дискретизации:
tn = 1/(2*fv) = 2.5*10-4 с
И циклическая частота дискретизации:
ωb = 2* ωv = 2.513*104 с-1
Спектр дискретизированного сигнала:
Sd ( w) 
1
tn
1000


n   1000
SP w  n  2


tn 

8
6
Sd( w) 4
2
0
5
 110
4
 510
0
w
4
510
5
110
Задание 3. Амплитудно-модулированное колебание
Задано АМК в виде гармонического сигнала, промодулированного
периодической последовательностью видеоимпульсов с прямоугольной
огибающей.
Длительность радиоимпульса τи, период повторения T1 и амплитуду сигнала
ΔU в интервале между импульсами возьмите из табл.3.7 в соответствии со
своим номером варианта, а значение частоты заполнения f0 и амплитуду
радиоимпульсов Um- из табл.3.8 в соответствии с номером подварианта.
Модуляция осуществляется для эффективной передачи относительно
низкочастотного сигнала с помощью радиоволн по каналам связи.
Требуется:
а) записать аналитическое выражение АМК:
Аналитическое выражение для АМК определяем с помощью графика АМК
выше:
UАМК(t) = A(t)∙cos(ω0t)
Um = 10 В
ΔU = 0 В
A ( t) 
Um if

2

t 
2
U otherwise
0  2   f0
f0 = 500 МГц = 500∙106 Гц – частота заполнения
ω0 = 3,142∙109 с-1
UАМК(t) = A(t)∙cos(3,142∙109 t)
б) определить практическую ширину спектра (2Δfпр);
так как сигнал промодулирован прямоугольным импульсом, то практическая
ширина спектра определяется как:
2∆𝜔пр = 2∆𝜔эф
∆𝜔пр =
2𝜋
𝜏и
=
2𝜋
30∙10−6
= 0,209 ∙ 106 с-1
2∆𝜔пр = 0,419 ∙ 106 с-1
в) построить спектральную диаграмму АМК
Т1 = 100 мкс = 100∙10-6 с
частота следования импульсов
𝜔1 =
2𝜋
Т1
=
2𝜋
100∙10−6
= 6,28 ∙ 104 с-1
скважность
𝑇
100∙10−6
𝜏и
30∙10−6
𝑞= 1=
= 3,33
При модулировании сигнал можно записать как:
𝑛𝜋
𝑠𝑖𝑛
(
𝑈𝑚
𝑈𝑚
𝑞)
UАМК (t) =
cos(𝜔0 𝑡) +
cos(𝜔0 + 𝑛𝜔1 )𝑡 +
∑
𝑛𝜋
𝑞
𝑞
𝑛=1
𝑞
∞
∞ 𝑠𝑖𝑛 (𝑛𝜋 )
𝑈𝑚
𝑞
+
cos(𝜔0 − 𝑛𝜔1 )𝑡
∑
𝑛𝜋
𝑞
𝑛=1
𝑞
Построим спектральную диаграмму АМК на основе записи UАМК (t).
n  15 15
Um
A ( n ) 
if n
q
Um
q
0
sin 

n  

 q  otherwise
n 
q
4
3
A( n) 2
1
 10
0
n
(n- номера гармоник, n = 0 соответствует несущей частоте 𝜔0 )
10
Задание 4. Частотно-модулированное колебание
Задано ЧМК с модуляцией одним гармоническим сигналом.
Аналитическую запись ЧМК возьмите из табл. 3.11 в соответствии со своим
номером варианта, а значение средней частоты f0 и амплитуды колебания Um–
из табл. 3.12 в соответствии с номером подварианта.
Требуется:
а) определить недостающие параметры ЧМК: F- частоту модулирующего
сигнала;
u(t) = Um∙cos[ω0t-3cos(2π∙103t)+π/6], В
по заданию Ω = 2𝜋𝐹 = 2𝜋 ∙ 103 , получаем 𝐹 =
Ω
2𝜋
= 103 Гц.
Мгновенное значение ЧМК определяется формулой:
s(t) = Sm∙cos[ω0∙t+m∙cos(Ω∙t)+θo],
где Sm- амплитуда несущего колебания, ω0- несущая частота, Ω- частота
модулирующего сигнала, m- индекс модуляции
б) fmax– максимальную мгновенную частоту; fmin– минимальную мгновенную
частоту; Δf– девиацию частоты;
по заданию f0 = 250 МГц = 250∙106 Гц,
𝑚=
∆𝑓
𝐹
= 3,
Получаем
Δf = m∙F = 3∙103 Гц
fmax = f0 + Δf = 250003∙103 Гц
fmin = f0 - Δf = 249997∙103 Гц
в) записать аналитическое выражение для мгновенной частоты ЧМК (f(t));
по заданию мгновенная фаза:
Ψ(t) = ω0t - 3cos(2π∙103t) + π/6
тогда:
𝑓(𝑡) =
1 𝑑Ψ(𝑡)
2𝜋
𝑑𝑡
= 𝑓0 + Δ𝑓𝑠𝑖𝑛(Ω𝑡) = 250 ∙ 106 + 3 ∙ 103 sin(2𝜋 ∙ 103 𝑡) Гц
д) определить практическую ширину спектра (2Δfпр);
определяется по формуле:
2Δωпр = 2(m + 1)Ω = 2(3 + 1)∙ 2π∙103 = 5.027∙104 c-1
е) построить спектральную диаграмму ЧМК;
для построения спектральной диаграммы ЧМК используем таблицу П.9.1
«Функции Бесселя» приложения и отбрасываем все функции Бесселя с
номерами выше m+1, так как значения функции Бесселя быстро убывают при
n ≥ m+1.
 0.132 
 0.309 
 0.486 
 0.339 


Jb   0.26 - матрица значений функции Бесселя для m = 3
 0.339 


 0.486 
 0.309 
 0.132 
Амплитуды несущей и боковых частот определяются как:
|𝑆н | = 𝑆𝑜 |𝐽𝑜 (𝑚)|, |𝑆𝑛 | = 𝑆𝑜 |𝐽𝑛 (𝑚)|
 1.32 
 3.09 
 4.86 
 3.39 


Su   2.6  В - матрица амплитуд несущей и боковых составляющих
 3.39 


 4.86 
 3.09 
 1.32 
Спектр ЧМК:
6
4
Su
2
0
4
2
0
2
4
nc
(nc- номера гармоник, nc = 0 соответствует несущей частоте ω0)