Для того, чтобы связать свитер, хозяйке нужно 400 граммов

Вариант № 2794205
1. B 1 № 26637. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов
он может купить букет Маше на день рождения?
2. B 2 № 77345. Только 94% из 27 500 выпускников города правильно решили задачу B1.
Сколько человек правильно решили задачу В1?
3. B 3 № 28764. На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все
дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, какого числа количество посетителей сайта РИА Новости впервые приняло наибольшее значение.
4. B 4 № 26687. Для того, чтобы связать свитер, хозяйке нужно 400 граммов шерсти синего
цвета. Можно купить синюю пряжу по цене 60 рублей за 50 г, а можно купить неокрашенную
пряжу по цене 50 рублей за 50 г и окрасить ее. Один пакетик краски стоит 10 рублей и рассчитан
на окраску 200 г пряжи. Какой вариант покупки дешевле? В ответ напишите, сколько рублей будет
стоить эта покупка.
5. B 5 № 27666.
Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O(0; 0) и A(6; 8), с осью абсцисс.
6. B 6 № 320188. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно
набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся
выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и
проигрыша одинаковы и равны 0,4.
7. B 7 № 102379.
Решите уравнение
.
8. B 8 № 27339.
В треугольнике
угол
равен 90°, высота
равна
. Найдите
.
9. B 9 № 27497. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых
точек, входящих в эти промежутки.
20,
10. B 10 № 245382.
Найдите квадрат расстояния между
вершинами и
многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
11. B 11 № 26755. Найдите значение выражения
.
12. B 12 № 42837. В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону
, где
— начальная масса изотопа, (мин) — прошедшее от начального момента время, — период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее
в начальный момент времени
мг изотопа , период полураспада которого
мин. В
течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 47 мг?
13. B 13 № 77154.
Найдите объем параллелепипеда
, если объем треугольной пирамиды
равен 3.
14. B 14 № 99616. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор
за 12 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая
втроем?
15. B 15 № 77495. Найдите наименьшее значение функции
на от-
резке
.
16. C 1 № 485996. а) Решите уравнение
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
17. C 2 № 484558. В прямоугольном параллелепипеде
ребер
Найдите объем пирамиды
ребре
причем
18.
C 3 № 484580. Решите
если
заданы длины
— точка на
неравен-
ство
19. C 4 № 484610. В треугольнике
Точка D лежит на прямой BCпричем
. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.
20. C 5 № 484642. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет
а) ровно четыре решения,
б) ровно 8 решений.
21. C 6 № 485958. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Решения
↑ Задание 1 № 26637 тип B1 (решено неверно или не решено)
На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить
букет
Маше
на
день
рождения?
Решение.
Разделим 500 на 30:
.
Ване хватает денег на 16 тюльпанов, но цветов должно быть нечетное число. Следовательно,
Ваня может купить букет из 15 тюльпанов.
О т в е т : 15.
↑ Задание 2 № 77345 тип B2 (решено неверно или не решено)
Только 94% из 27 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу В1?
Решение.
Правильно решили задачу 27 500 0,94 = 25 850 учеников.
О т в е т : 25 850.
↑ Задание 3 № 28764 тип B3 (решено неверно или не решено)
На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей
сайта за данный день. Определите по диаграмме, какого числа количество посетителей сайта РИА
Новости впервые приняло наибольшее значение.
Решение.
Из графика видно, что 12 числа количество посетителей сайта РИА Новости было наибольшим за указанный период (см. рисунок).
О т в е т : 12.
Ваш ответ: нет ответа. Правильный ответ: 12
Обсудить ВКонтакте
Сообщить об ошибке
↑ Задание 4 № 26687 тип B4 (решено неверно или не решено)
Для того, чтобы связать свитер, хозяйке нужно 400 граммов шерсти синего цвета. Можно купить синюю пряжу по цене 60 рублей за 50 г, а можно купить неокрашенную пряжу по цене
50 рублей за 50 г и окрасить ее. Один пакетик краски стоит 10 рублей и рассчитан на окраску 200 г
пряжи. Какой вариант покупки дешевле? В ответ напишите, сколько рублей будет стоить эта покупка.
Решение.
Один моток пряжи весит 50 г, поэтому на свитер нужно 400:50 = 8 мотков. Рассмотрим различные варианты.
Если покупать готовую пряжу синего цвета, то стоимость свитера будет 60 8 = 480 руб.
На неокрашенную пряжу нужно потратить 50 8 = 400 руб. Но на окраску пряжи потребуется
2 пакетика по 10 руб., то есть еще 20 руб. Итого на свитер из самостоятельно окрашенной пряжи
потратится 420 руб.
Второй вариант дешевле, чем первый.
О т в е т : 420.
↑ Задание 5 № 27666 тип B5 (решено неверно или не решено)
точки O(0;
0)
Решение.
Если опустить из точки
угольник. Длина
Найдите косинус
и A(6;
8),
угла
наклона отрезка,
с
осью
перпендикуляр на ось абсцисс, то получится прямоугольный тре-
.
Тогда получается, что
.
О т в е т : 0,6.
соединяющего
абсцисс.
↑ Задание 6 № 320188 тип B6 (решено неверно или не решено)
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4
очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если
проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг
соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и
равны
0,4.
Решение.
Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти
события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:
О т в е т : 0,32.
↑ Задание 7 № 102379 тип B7 (решено неверно или не решено)
Решите уравнение
.
Решение.
Возведем в квадрат:
О т в е т : 10.
↑ Задание 8 № 27339 тип B8 (решено неверно или не решено)
В треугольнике
угол
равен 90°, высота
равна 20,
дите
Решение.
Углы
и
. Най.
равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.
.
Ответ: 0,6.
↑ Задание 9 № 27497 тип B9 (решено неверно или не решено)
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4).
Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в
эти промежутки.
Решение.
Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее
производная положительна, то есть интервалам (−7; −5,5), (−2,5; 4). Данные интервалы содержат
целые точки –6, –2, –1, 0, 1, 2, 3. Их сумма равна –3.
О т в е т : –3.
↑ Задание 10 № 245382 тип B10 (решено неверно или не решено)
ми и
мые.
Найдите квадрат расстояния между вершинамногогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника пря-
Решение.
По теореме Пифагора
О т в е т : 6.
↑ Задание 11 № 26755 тип B11 (решено неверно или не решено)
Найдите
значение
выражения
.
Решение.
Используем формулу синуса двойного угла
:
.
О т в е т : 6.
↑ Задание 12 № 42837 тип B12 (решено неверно или не решено)
В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону
,
где
— начальная масса изотопа, (мин) — прошедшее от начального момента время, — период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент
времени
мг изотопа , период полураспада которого
мин. В течение скольких
минут
масса
изотопа
будет
не
меньше
47 мг?
Решение.
Задача сводится к решению неравенства
ров
мг и
мин:
при заданных значениях парамет-
мин.
Таким образом, масса радиоактивного изотопа будет не меньше 47 мг в течение 6 минут.
О т в е т : 6.
↑ Задание 13 № 77154 тип B13 (решено неверно или не решено)
да
,
если
Решение.
Объем параллелепипеда равен
объем
, где
Найдите
объем
треугольной
пирамиды
– площадь основания,
параллелепиперавен
3.
– высота. Объем пира-
миды равен
, где
– площадь основания пирамиды, по построению равная половине
площади основания параллелепипеда. Тогда объем параллелепипеда в 6 раз больше объема пирамиды
.
О т в е т : 18.
↑ Задание 14 № 99616 тип B14 (решено неверно или не решено)
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
Решение.
Обозначим выполняемую мальчиками работу по покраске забора за 1. Пусть за
,
,
часов Игорь, Паша и Володя, соответственно, покрасят забор, работая самостоятельно. Игорь
и Паша красят забор за 9 часов:
Паша и Володя красят этот же забор за
часов:
,
а Володя и Игорь — за 18 часов:
Получаем систему уравнений:
Просуммируем левые и правые части данных трех уравнений, получим:
О т в е т : 8.
Приведём ещё одно решение.
За один час Игорь и Паша красят забор за 1/9 забора, Паша и Володя красят 1/12 забора, а Володя и Игорь — за 1/18 забора. Работая вместе, за один час два Игоря, Паши и Володи покрасили
бы:
забора.
Тем самым, они могли бы покрасить один забор за 4 часа. Поскольку каждый из мальчиков
был учтен два раза, в реальности Игорь, Паша и Володя могут покрасить забор за 8 часов.
Примечание Дмитрия Гущина.
Заметим, что за 36 часов Игорь и Паша могут покрасить 4 забора, Паша и Володя — 3 забора,
а Володя и Игорь — 2 забора. Работая вместе, за 36 часов они могли бы покрасить 9 заборов. Сле-
довательно, один забор два Игоря, два Паши и два Володи могут покрасить за 4 часа. Поэтому, работая втроем, Игорь, Паша и Володя покрасят забор за 8 часов.
↑ Задание 15 № 77495 тип B15 (решено неверно или не решено)
Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
.
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Функция может принимать наименьшее значение в точках
или
. Найдем их:
,
.
Поскольку
, наименьшее из найденных чисел равно 18.
О т в е т : 18.
Задание С1 № 485996
Критерии оценивания выполнения задания
Верно решено уравнение и произведен отбор корней
Баллы
2
Верно решено уравнение, но не произведен или не обоснован отбор корней, принадле1
жащих данному отрезку, или верно указаны все корни, принадлежащие данному
отрезку, но решение простейших тригонометрических уравнений не доведено до конца
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
а) Решите уравнение
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Преобразуем уравнение:
Получаем:
да
или
Отсю-
или
б) С помощью числовой окружности отберем корни на отрезке
Это
числа
О т в е т : а)
б)
Ваша оценка (баллов):
Гость 26.04.2012 09:39:
Здравствуйте. При решении уравнения sin x = -1/2. По первой формуле x1=arcsin(-1/2)+2Пn вопросов нет, а с нахождением второго корня есть вопрос: x2= П-arcsin(-1/2)+2Пn, значит, x2=
7П/6+2Пn? Заранее благодарен!
Служба поддержки:
Серии 7п/6 + 2пk и −5п/6 + 2пk одинаковы. Для того, чтобы отбирать корни, нам удобнее второе
представление.
Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке
Задание С2 № 484558
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен
1
неверный ответ или решение не закончено
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
В
ребер
ребре
прямоугольном
параллелепипеде
Найдите объем пирамиды
заданы
длины
если
— точка на
причем
Решение.
Заметим, что
Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в
основании, равна половине произведения катетов:
Основание пирамиды лежит в плоскости
поэтому высотой пирамиды будет являться
перпендикуляр, опущенный из точки
на эту плоскость. Опустим перпендикуляр
на прямую
Поскольку
и
в силу того, что
отрезок
является высотой пирамиды:
Треугольник
подобен треугольнику
значит,
Ответ: 50.
Ваша оценка (баллов):
Гость 18.05.2012 20:14:
Здравствуйте, высота пирамиды, объем которой нам необходимо найти, из данного решения является отрезком
де
но ведь данный отрезок не имеет никакого отношения к пирами-
Служба поддержки:
Отрезок
является перпендикуляром, опущенным из вершины пирамиды на плоскость ее
основания. Это высота пирамиды.
Ильяс Латыпов (Ульяновск) 14.12.2012 22:31:
Служба поддержки права!
Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке
Задание С3 № 484580
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
3
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного только конченым числом точек
2
Полученный ответ неверен, но решение содержит переход от исходного неравенства к
1
верным рациональным неравенствам
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
3
Решите неравенство
Решение.
Пусть
Очевидно
что
, тогда неравенство принимает вид:
поэтому
то
поэтому больше никаких ограничений на
есть
Заметим
также,
не возникает.
Получаем:
.
Тогда
Ответ:
.
Ваша оценка (баллов):
Гость 17.08.2013 18:05:
У меня почему-то возникает еще одно доп условие (кроме ОДЗ), когда я решаю неравенство с
двумя модулями. Первый открываем сразу, как отрицательный, так как
, а вот второй
модуль, как я считаю, надо рассматривать двумя случаями, ведь при
модуль будет больше
ноля. Один у вас представлен — это когда
мы открываем как отрицательный. Если же
открыть его как положительный будет еще одно условие
Константин Лавров (Санкт-Петербург):
В этой задаче, никакого второго случая не возникает так как
выражения отрицательны и снимаются однозначно.
Обсудить ВКонтакте Сообщить об ошибке
и оба подмодульных
Задание С4 № 484610
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный
ответ
3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное
значение искомой величины
2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой
получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
3
В треугольнике
Точка D лежит на прямой BC причем
. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются
стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.
Решение.
Пусть
,
,
собами периметры треугольников
Откуда получаем:
. Используя свойства касательных, подсчитаем разными спо-
Аналогично,
Тогда
Возможны два случая:
1. Точка
лежит на отрезке
Тогда
значит
2. Точка D лежит вне отрезка
Ответ:
Тогда
значит
или
Ваша оценка (баллов):
Обсудить ВКонтакте
Сообщить об ошибке
Задание С5 № 484642
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
4
3
2
1
0
Максимальный балл
Найдите
ний
все
4
значения
параметра а,
имеет
при
каждом
из
которых
система
уравне-
а) ровно четыре решения,
б) ровно 8 решений.
Решение.
Преобразуем данную систему:
Сделав замену переменной
, получаем систему
Заметим, что количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы. Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oty.
График первого уравнения — ромб, диагонали которого, равные 24 и 10, лежат соответственно на осях х и Ot, а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом
(см. рисунок).
Графики уравнений системы имеют ровно четыре общих точки, и, следовательно, система
имеет ровно четыре решения, тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо
ее радиус удовлетворяет соотношению
, где
— половины меньшей и большей диагоналей ромба соответственно. Радиус вписанной в ромб окружности
равен высоте прямоугольного треугольника с катетами, равными 5 и 12, откуда
Таким образом, система имеет 4 ровно решения, если
да
или
отку-
или
Графики
вию
имеют
8
где
общих
точек,
если
радиус
окружности
— радиус окружности, вписанной в ромб. Тогда
удовлетворяет
усло-
откуда
О т в е т : а)
б)
Ваша оценка (баллов):
Обсудить ВКонтакте
Сообщить об ошибке
Задание С6 № 485958
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Верно выполнены: а), б), в)
4
Верно выполнены б) и один пункт из двух: а), в)
3
Верно выполнено б) или а) и в)
2
Верно выполнен один пункт из двух: а), в)
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
4
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно
1512 и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Решение.
Случай
а).
Пусть
число,
ние
ществует.
числа
где
по
—
натуральное
— искомые члены прогрессии. Их произведение равно
но уравне-
не имеет натуральных решений. Итак, необходимой прогрессии из 5 чисел не су-
Случай б). Пусть прогрессия состоит из четырех членов
число равно
условию
Поскольку
имеем:
а пятое натуральное
что невозможно для на-
туральных
и поскольку разложение числа 1512 не содержит четвертых степеней простых
сомножителей отличных от 1. Заметим однако, что знаменатель прогрессии может не быть натуральным числом и исследуем этот случай. Пусть
— несократимая дробь,
Тогда
что невозможно, так как разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1.
Случай в). Пусть прогрессия состоит из трех членов
а четвертое и пятое натуральные
числа равны и Тогда
Положим в этом равенстве
полагая
получим один из требуемых наборов чисел: 3, 6, 12, 7, 1.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
Ваша оценка (баллов):
Далее,