Тема 2. Линейные неравенства 09-02-01. Линейное неравенство с двумя неизвестными Теория 2.1. Линейным неравенством с двумя неизвестными называется неравенство одного из следующих видов: ax by c 0 ax by c 0 ax by c 0 ax by c 0 где a , b , c – некоторые числа и x , y – неизвестные. Пара чисел ( x0 y0 ) называется решением неравенства ax by c 0 , если ax0 by0 c 0 — верное неравенство. Аналогично определяется решение линейного неравенства ax by c 0 . Два неравенства с двумя неизвестными называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Решить неравенство это значит найти множество всех его решений. Каждое решение ( x0 y0 ) неравенства ax by c 0 можно изобразить точкой координатной плоскости, имеющей абсциссу x0 и ординату y0 . Наша задача состоит в том, чтобы научиться изображать на плоскости множество всех решений любого линейного неравенства. 2.2. Подробно разберем, как на координатной плоскости изображаются решения линейного неравенства вида ax by c 0 Для этого по очереди рассмотрим шесть возможных случаев. Случай 1. Пусть a 0 , b 0 и c 0 , например, c 5 . В этом случае неравенство ax by c 0 запишется в виде 0 x 0 y 5 0 . Нетрудно понять, что любая пара чисел ( x0 y0 ) является решением этого неравенства, так как при подстановке получаем 5 0 — верное числовое неравенство. Поэтому множеством всех решений неравенства 0 x 0 y 5 0 является вся плоскость. Аналогичные рассуждения можно провести при любом значении c 0 и получить, что при a 0 , b 0 и c 0 множеством решений неравенства ax by c 0 является вся плоскость. Случай 2. Пусть a 0 , b 0 и c 0 , например, c 1 . В этом случае неравенство ax by c 0 запишется в виде 0 x 0 y 1 0 . При подстановке вместо неизвестных любой пары чисел ( x0 y0 ) получим 1 0 . Но это неверное числовое неравенство. Поэтому множество решений неравенства 0 x 0 y 1 0 пусто. Аналогичные рассуждения можно провести при любом значении c 0 и получить, что при a 0 , b 0 и c 0 множеством решений неравенства ax by c 0 является пустое множество. 2.3. Перейдем к случаям решения неравенства ax by c 0 при b 0 . Случай 3. Пусть b 0 , а числа a и c – произвольные. Например, пусть a 2 , b 3 , c 1 . Тогда неравенство имеет вид 2 x 3 y 1 0 . Перенесем слагаемые 2 x и 1 в неравенстве 2 x 3 y 1 0 в правую часть с противоположными знаками и получим равносильное неравенство 3 y 2 x 1 . Затем, разделив обе части полученного неравенства на число 3, большее 0, мы получим следующее неравенство, равносильное данному неравенству 2 x 3 y 1 0 : 1 2 y x (1) 3 3 Изобразим на координатной плоскости прямую l , заданную уравнением 1 2 y x 3 3 Координаты x и y всех точек этой прямой удовлетворяют неравенству (1), так как если y 23 x 13 , то тем более y 23 x 13 . Возьмем теперь на рисунке 1 произвольную точку A выше прямой l и проведем через нее прямую, перпендикулярную оси Ox . Она пересечет прямую l в некоторой точке B . Пусть точка A имеет координаты ( x0 y0 ) . Тогда точка B будет иметь координаты ( x0 y1 ) , причем y1 y0 . Поскольку точка B лежит на прямой l , то ее координаты ( x0 y1 ) удовлетворяют уравнению прямой l , то есть 1 2 y1 x0 3 3 Благодаря неравенству y0 y1 , получаем 1 2 y0 x0 3 3 Таким образом, координаты всех точек плоскости, лежащих выше прямой l и на самой прямой l , удовлетворяют неравенству (1), а значит, удовлетворяют и равносильному неравенству 2 x 3 y 1 0 . Возьмем теперь произвольную точку A( x0 y0 ) , лежащую ниже прямой l (рисунок 2). Аналогичные рассуждения показывают, что в этом случае выполняется неравенство 1 2 y0 x0 и поэтому координаты x0 y0 ) точки A удовлетворяют неравенству 3 3 2 x 3 y 1 0 , а значит, не удовлетворяют неравенству (1) и равносильному ему неравенству 2 x 3 y 1 0 . Итак, множество решений ( x0 y0 ) неравенства 2 x 3 y 1 0 есть полуплоскость, состоящая из точек графика линейной функции y 23 x 13 и всех точек, лежащих выше этого графика (рисунок 3). Аналогичные рассуждения можно провести при любом положительном значении b и получить, что при b 0 множеством решений неравенства ax by c 0 является полуплоскость, состоящая из точек графика линейной функции y ba x bc и всех точек, лежащих выше этого графика (предполагается, что положительное направление оси ординат на чертеже идет вверх). 2.4. Разберем очередной случай при решении неравенства ax by c 0 . Случай 4. Пусть b 0 , а числа a и c – произвольны. Например, пусть a 2 , b 2 , c 1 . Тогда неравенство имеет вид 2 x 2 y 1 0 . Умножив обе части неравенства на число -1, получим равносильное неравенство 2x 2 y 1 0 . Этому неравенству не удовлетворяют такие пары чисел ( x0 y0 ) , для которых 2 x0 2 y0 1 0 , то есть все решения неравенства 2 x 2 y 1 0 . Неравенства такого вида рассматривались в предыдущем пункте. Поэтому для представления решений неравенства 2x 2 y 1 0 нужно рассмотреть уравнение 2 x 2 y 1 0 , выразить y как функцию от x в виде y 12 x , построить прямую m — график этой функции (рисунок 4) и рассмотреть часть координатной плоскости, которая расположена выше прямой m . При этом решениями неравенства 2 x 2 y 1 0 будут все точки заштрихованной на рисунке 5 полуплоскости за исключением ее границы. Теперь для получения решений неравенства 2 x 2 y 1 0 нужно из всех точек плоскости удалить те, которые являются решениями неравенства 2 x 2 y 1 0 , то есть удалить точки, полученные на рисунке 5. Оставшиеся точки изображены на рисунке 6, которые и представляют все решения неравенства 2 x 2 y 1 0 , а значит и все решения начального равносильного ему неравенства 2 x 2 y 1 0 . Итак, множество решений ( x0 y0 ) неравенства 2 x 2 y 1 0 есть полуплоскость, состоящая из точек графика линейной функции y 12 x и всех точек, лежащих ниже этого графика (рисунок 6). Аналогичные рассуждения можно провести при любом отрицательном значении b и получить, что при b 0 множеством решений неравенства ax by c 0 является полуплоскость, состоящая из точек графика линейной функции y ba x bc и всех точек, лежащих ниже этого графика. 2.5. Перейдем к случаям решения неравенства ax by c 0 при b 0 и a 0 . Случай 5. Пусть b 0 , a 0 и c –произвольное число. Например, пусть a 4 , b 0 , c 5 . Тогда неравенство имеет вид 4 x 0 y 5 0 . Обе части неравенства 4 x 5 0 можно разделить на число 4 с сохранением знака неравенства. Прибавив затем к обеим частям неравенства число 54 , получим x 54 . Мы видим, что множество решений неравенства 4 x 5 0 изображается правой полуплоскостью, ограниченной прямой x 54 (рисунок 7). Случай 6. Пусть b 0 и a 0 . Тогда неравенство ax c 0 аналогично преобразуется к равносильному неравенству x ac , и множество решений неравенства изображается левой полуплоскостью относительно прямой x ac (рисунок 8). Вопрос. Как изображается множество решений неравенства 0 x 5 y 3 0 ? 2.6. Итак, при a 0 или b 0 множество решений любого из неравенств вида ax by c 0 ax by c 0 ax by c 0 ax by c 0 изображается полуплоскостью, ограниченной прямой с уравнением ax by c 0 . В случае нестрогих неравенств эта прямая содержится в множестве решений, а в случае строгих неравенств — исключается из множества решений. Есть простой способ определения нужной полуплоскости при решении линейного неравенства с двумя неизвестными. Продемонстрируем его на примерах. Пример 1. Решим неравенство x 2 y 2 0 . Запишем уравнение x 2 y 2 0 . Выразим y 1 12 x . Построим график линейной функции y 1 12 x (рисунок 9). Теперь возьмем произвольную точку, не лежащую на прямой y 1 12 x , например, точку (0;0). При подстановке ее координат в начальное неравенство получим 0 2 0 2 0 . Это неверное неравенство, а значит точка O(0 0) не входит в множество решений неравенства x 2 y 2 0 . Отсюда делаем вывод, что множеством решений данного неравенства является полуплоскость с границей y 1 12 x , которая не содержит точку O(0 0) (рисунок 10). Так как неравенство нестрогое, то граница полуплоскости включается в множество его решений. Пример 2. Решим неравенство x y 2 0 . Запишем уравнение x y 2 0 . Выразим y x 2 . Построим график функции y x 2 (рисунок 11). Так как пара координат точки O(0 0) является решением неравенства x y 2 0 , то множеством решений данного неравенства является содержащая точку O(0 0) полуплоскость с границей y x 2 за исключением самой границы. Мы для простоты выбирали точку O(0 0) , и ее координаты подставляли в левую часть неравенства и проверяли истинность неравенства при этих значениях. Можно было взять любую точку, не лежащую на прямой, и провести аналогичные рассуждения как в примере 1, так и в примере 2. 2.7.** Решим систему неравенств 2 x y 1 x 2 y 2 x 2 y 3 Сначала решим каждое неравенство в отдельности, а затем найдем пересечение полуплоскостей, изображающих множества решений данных неравенств. Первое неравенство равносильно неравенству y 2 x 1 , второе — неравенству y 12 x 1 и третье — неравенству y 12 x 1 . Строим прямые y 2 x 1 , y 12 x 1 и y 12 x 1. Берем нижнюю полуплоскость относительно первой прямой y 2 x 1 , нижнюю полуплоскость относительно второй прямой y 12 x 1 и верхнюю полуплоскость относительно третьей прямой y 12 x 1. Пересечением этих полуплоскостей является плоский треугольник, изображенный на рисунке 12. Этот треугольник и служит изображением множества решений данной системы. Контрольные вопросы 1. Что называют решением линейного неравенства с двумя неизвестными? 2. Что значит решить неравенство ax by c 0 ? 3. Какие неравенства с двумя неизвестными называются равносильными? 4. Каков вид может иметь множество решений неравенства ax by c 0 при a 0 и b 0? 5. Как изображается на координатной плоскости множество решений неравенства ax by c 0 при a 0 или b 0 ? 6.** Как решить систему линейных неравенств с двумя неизвестными? Задачи и упражнения 1. Решить уравнение и изобразите множество его решений на координатной плоскости: а) 2 x 3 y 1 ; б) x 12 y 2 ; в) x y x y ; г) 6 x 5 y 1 0 ; д) 1 . 2. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной плоскости: а) y 12 x 32 ; б) y 23 ; в) x 2 y 3 ; г) 5 x y 3x 2 ; д) 6 x 7 y 11 x 3 y 6 ; x 2 y 3 е) ( x 1)2 ( y 2)2 ( x 2)2 ( y 3)2 . 3.** Изобразите на плоскости множество решений системы неравенств: 2 x 3 y 13 0 x y 6 0 4 x y 19 0 4.** Покажите, что следующая система неравенств несовместна, то есть не имеет ни одного решения: 2 x 3 y 13 0 x y 6 0 4 x y 19 0 5.** Изобразите множество решений системы неравенств: x 0 y 0 x y 1 0 y x 6. ** Составьте систему неравенств, множество решений которой изображалось бы плоским треугольником с вершинами: а) (-1;0), (0;1), (1;0); б) (-1;4), (3;1), (-3;-2). 7. ** Составьте систему неравенств, множество решений которой изображалось бы: а) отрезком оси Ox с абсциссами от 0 до 1; б) интервалом оси Oy с ординатами от -3 до 2; в) полуинтервалом оси Ox с абсциссами из (1;3]. 8. ** Докажите, что если две точки A и B координатной плоскости принадлежат множеству M решений некоторой системы линейных неравенств a1 x b1 y c1 0 a x b y c 0 n n n Ответы и указания Задача 3 . Изобразите на плоскости множество решений системы неравенств: 2 x 3 y 13 0 x y 6 0 4 x y 19 0 Указание. Получается внутренность треугольника с вершинами A(1 5) , B(51) и C (7 9) . Для проверки можно рассмотреть точку (2 5) , расположенную внутри этого треугольника, и показать, что координаты этой точки удовлетворяют всем неравенствам системы. Задача 4 . Покажите, что следующая система неравенств несовместна, то есть не имеет ни одного решения: 2 x 3 y 13 0 x y 6 0 4 x y 19 0 Указание. Геометрически это можно пояснить следующим образом. Если изобразить прямые x y 6 0 и 4 x y 19 0 , то множество решений системы из двух неравенств x y 6 0 , 4 x y 19 0 в виде выпуклого плоского угла, ограниченного лучами этих прямых. Если затем изобразить полуплоскость 2 x 3 y 13 0 , то можно увидеть, что полученный ранее плоский угол целиком расположен в другой полуплоскости, ограниченной прямой 2 x 3 y 13 0 . Задача 5 . Изобразите множество решений системы неравенств: x 0 y 0 x y 1 0 y x Указание. Получается плоский угол между положительным лучом оси Ox и биссектрисой первого координатного угла, включая лучи. Задача 6 . Составьте систему неравенств, множество решений которой изображалось бы плоским треугольником с вершинами: а) (1 0) (01) (1 0) ; б) (1 4) (31) (32) . Указание. Сначала нужно составить уравнения прямых, проходящих через пары вершин, а затем для каждой из прямых определить полуплоскость, в которой расположен треугольник. В результате получится: y 0 x 2 y 1 а) ( y x) 1 б) 3x 4 y 13 ( x y ) 1 3x y 7 Задача 7 . Составьте систему неравенств, множество решений которой изображалось бы: а) отрезком оси Ox с абсциссами от 0 до 1 ; б) интервалом оси Oy с ординатами от 3 до 2 ; в) полуинтервалом (1 3] оси Ox . y 0 x 0 y 0 Указание. а) б) в) 0 x 1 3 y 2 1 x 3 Задача 8 . Докажите, что если две точки A и B координатной плоскости принадлежат множеству M решений некоторой системы линейных неравенств a1 x b1 y c1 0 a x b y c 0 n n n то все точки отрезка AB принадлежат этому же множеству, то есть докажите, что M - выпуклое множество. Указание. Пусть A(m n) , B ( p q ) и C m t ( p m) n (t (q n) , где t [01] — любая точка отрезка AB . Для каждого 1 k n при подстановке в выражение ak x bk y ck z координат точки C вместо x и y получаем: ak (m t ( p m)) bk (n t (q n)) ck (1 t )(ak m bk n ck ) t (ak m bk n ck ) (1 t )0 t 0 0 что и требовалось доказать.