Вариант 9

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Балаковский инженерно-технологический институт –
филиал НИЯУ МИФИ
МАТЕМАТИКА
Методические указания к выполнению контрольной работы 2
для студентов направлений ХМТН, ТПЭН, ИФСТ
заочной формы обучения
Одобрено
редакционно-издательским советом
Балаковского инженерно-технологического
института
Балаково 2019
Введение
Изучение математики для инженерно-технических направлений и
специальностей ставит следующие цели: ознакомить студентов с основами
математического аппарата, необходимого для решения теоретических и
практических
инженерно-технических
задач;
привить
навыки
самостоятельного изучения учебной литературы по математике; развить
логическое
мышление
и
исследования
прикладных
выработать
вопросов,
а
навыки
также
математического
научить
составлять
математические модели инженерных задач.
Методические указания направлены на развитие общих компетенций
студентов
и
способствуют
дальнейшему
формированию
профессиональных компетенций.
Методические указания к выполнению,
оформлению и сдаче контрольной работы
При
выполнении
контрольных
работ
необходимо
строго
придерживаться указанных ниже правил:
1. Студент должен выполнить контрольную работу по варианту, номер
которого совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки или
студенческого билета.
2. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клетку
чернилами любого цвета, кроме красного.
3. На титульном листе разборчиво пишутся фамилия и инициалы студента,
учебный номер (шифр), название дисциплины, номер контрольной работы,
название учебного заведения.
4. В работу включаются все задачи, указанные в задании, строго по своему
варианту. Контрольные работы, содержащие лишь часть задания, а также
задачи не своего варианта, не засчитываются и возвращаются студенту.
2
5. Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров,
указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
6. Перед решением каждой задачи следует полностью записать ее условие.
В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку,
следует,
переписывая
условие
задачи,
заменить
общие
данные
конкретными соответствующего номера.
7. Решения задач излагать подробно и записывать аккуратно, объясняя все
действия и делая необходимые чертежи.
8. После получения проверенной работы (как незачтенной, так и
зачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и
недочеты.
9. Рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце
тетради несколько чистых листов для всех исправлений и дополнений в
соответствии с указаниями преподавателя.
Содержание контрольной работы 2 и примеры выполнения задач
Темы контрольной работы 2
1. Неопределенные интегралы.
2. Определенные интегралы.
3. Функции многих переменных.
4. Дифференциальные уравнения.
Основные теоретические сведения контрольной работы 2
1. Неопределенным интегралом функции f(x) называется выражение вида
 f ( x)dx  F ( x)  c ,
если F ( x)  f ( x) .
Функция F(x) называется первообразной для f(x).
Основные свойства интегралов: (k – константа)
1. k f (x)dx k  f (x)dx ,
3
(1)
2.  f ( x)  g ( x)dx  f ( x)dx  g ( x)dx ,
3. dF( x)  F ( x) C ,




4.  f ( x)dx  f ( x) , d  f ( x)dx  f ( x)dx ,
5. Если  f (x)dx F (x) C , то  f (x b)dx F (x b) C ,
1
6. Если  f (x)dx F (x) C , то  f (ax)dx F (ax) C ,
a
1
7. Если  f (x)dx F (x) C , то  f (axb)dx F (axb) C .
a
Таблица интегралов:
n
 x dx
xn1
 c,
n 1 ,
(n  1)
 dx  x  c ,
dx
 x ln x  c ,
ax
a dx ln a  c ,
x
x
e dxe c ,
sin xdx  cos x  c ,
cos xdx sin x  c ,

dx
 ctgx  c ,
2
sin x
 shxdx  chx  c ,
chxdx  shx  c ,

dx
 cthx  c ,
2
sh x
dx
1
x
 2 2  a arctg a  c ,
a x



dx
x
arcsin  c ,
a
a x
2
2
x

dx
tgx  c ,
2
cos x
dx
thx  c ,
2
ch x
dx
x a
2
2
ln x  x2  a2  c ,
dx
1 xa
 2 2  2a ln x  a  c .
x a
При интегрировании наиболее часто используются следующие методы:
а) Формула интегрирования по частям:
4
 udv uv   vdu .
(3)
Выражение dv выбирается так, чтобы его интегрирование не вызывало
затруднений. За u принимается функция, дифференцирование которой
приводит к ее упрощению.
б) Интегрирование методом замены переменной производится по формуле:
 f ( ( х))( х)dх 
замена: t  ( x),
  f (t)dt  F (t) C  F ( ( x)) C .
тогда dt (t )dt
(4)
В результате замены должен получиться табличный интеграл или легко
сводящийся к табличному.
2. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла
имеет вид:
b
b
 f ( x)dx F ( x) a  F (b)  F (a) ,
(5)
a
где F ( x)  f ( x) и первообразная F (x) непрерывна на отрезке a,b.
Геометрический
смысл
y
определенного интеграла:
y=f(х)
Определенный интеграл численно
равен
площади
криволинейной
трапеции, ограниченной прямыми

O
х=а, х=в, у=0 и частью графика
функции
у=f(x),
a
b
Рис.1. Геометрический смысл
определенного интеграла
f ( x)  0
если
x
(рис.1).
3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (I рода)
определяются следующим образом:

b
а
b   a
b
b

a   a
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx ,
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx ,
5
(6)

b

b   a
a  
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx .
Несобственные интегралы от неограниченных функций (II рода)
определяются следующим образом:
b
b 
а
 0 a
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx ,
(7)
если функция y  f (x) имеет разрыв II рода в точке x  b ;
b
b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx ,
а
 0 a 
(8)
если функция y  f (x) имеет разрыв II рода в точке x  a ;
b
 c 


,
f
(
x
)
dx

f
(
x
)
dx

f
(
x
)
dx
lim  



 0  a
а
c 

b
(9)
если функция y  f (x) имеет разрыв II рода во внутренней точке с  a, b  .
Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует
конечный предел в правой части равенств. В противном случае
несобственный интеграл называется расходящимся.
4. Частной производной первого порядка функции двух переменных
z=f(x,y) по аргументу x называется предел
 f
f ( x  x, y )  f ( x, y )
 lim x .
x
x0
x0 x
lim
(10)
z
Обозначение zx , .
x
Отыскание частной производной
z
x
сводится к дифференцированию
функции одной переменной, полученной при фиксировании аргумента y.
Частной производной первого порядка функции двух переменных
z=f(x,y) по аргументу у называется предел
6
 f
f ( x, y  y)  f ( x, y)
 lim y .
y
y 0
y 0 y
lim
(11)
z
Обозначение zy , .
y
Отыскание частной производной
z
сводится к дифференцированию
y
функции одной переменной, полученной при фиксировании аргумента х.
5. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение
вида:
F ( x, y, y )  0
(12)
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка
называется
функция
y   ( x, C ) , которая при любом значении
произвольной постоянной С является решением данного уравнения.
Решения,
получающиеся
из
общего
решения
y   ( x, C )
при
определенном значении произвольной постоянной С, называют частными.
Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным
условиям у=у0 при х=х0 (другая запись: y x x  y0 ), называется задачей
0
Коши.
6. Уравнение вида
y   А( x) y  B( x)
(13)
называется линейным дифференциальным уравнением.
Линейное дифференциальное уравнение можно интегрировать методом
Бернулли
с помощью замены
y  UV , где U, V – две неизвестные
функции от х.
7. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
(ЛНДУ) с постоянными коэффициентами имеет вид
a0 y   a1 y   a2 y  f ( x) ,
7
(14)
где a0 , a1 , a2 – числа, причем
a0  0 . Если
f ( x)  0 , то уравнение
называется однородным, если f ( x)  0 – неоднородным.
Квадратное уравнение
a0 k 2  a1k  a2  0
называется
характеристическим
уравнением
(15)
однородного
дифференциального уравнения a0 y   a1 y   a2 y  0 .
Как известно, D  a1  4a0 a2 – дискриминант квадратного уравнения.
2
Возможны следующие случаи:
а) Если D>0, то общим решением уравнения a0 y   a1 y   a2 y  0 является
функция
k x
k x
y  С1e 1  C2 e 2 ,
(16)
где k1 , k 2 – корни характеристического уравнения.
б) Если D=0, то общим решением является функция
y  С1e kx  хC 2 e kx ,
(17)
где k – корень характеристического уравнения.
в) Если D<0, то общим решением является функция
y  ex (С1 cos x  C2 sin x) ,
где
(18)
k1    i , k 2    i – комплексные корни характеристического
уравнения.
8. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами основывается на

следующей теореме: Если y - некоторое частное решение неоднородного
уравнения
a0 y   a1 y   a2 y  f ( x)
и Y – общее решение соответствующего однородного уравнения
8
a0 y   a1 y   a2 y  0 ,
то общее решение неоднородного уравнения имеет вид
y  y  Y .
Укажем
правило
нахождения
(19)
частного
решения
неоднородного
уравнения по виду правой части f(x):
x
а) Если f ( x)  Pn ( x)  e , то частное решение находят в виде
y   x r Qn ( x)  ex ,
(20)
где r – число, равное кратности  , как корня характеристического
уравнения a0 k  a1k  a2  0 ; Qn ( x)  A0  A1 x  ...  An x
2
n
– многочлен
степени n, записанный с неопределенными коэффициентами A0 , A1 ,..., An .
x
б) Если f ( x)  e ( Pn ( x)соsx  Qm ( x) sin x) ,
где Pn (x) , Qm (x) – многочлены степени n и m соответственно,  и  –
действительные числа, то частное решение находят в виде
y   x r ex ( М l ( x) cos x  N l ( x) sin x),
(21)
где r – число, равное кратности   i , как корня характеристического
уравнения a0 k  a1k  a2  0 ; M l (x) ,
2
N l (x) – многочлены степени
l=max(n,m) с неопределенными коэффициентами.
Примеры выполнения задач контрольной работы
Пример 1. Найти  (7 x  3) 3 dx.
Р е ш е н и е. Применяем метод непосредственного интегрирования –
первую формулу таблицы интегралов и
седьмое свойство интегралов.
Получаем:

3
5
1 2
2
(7 x 3)3 dx  (7 х 3) 2 dx  (7 x 3) 2 C 
(7 x 3)5 C.
75
35
Проверка проводится дифференцированием:
9

2 5
 2

5
(
7
x

3
)

C

(7 x  3) 3  7  (7 x  3) 3 .

 
 35
 35 2
Пример 2. Найти 
ln x dx
.
x
Р е ш е н и е. Применяем метод замены переменных
3

t  ln x
ln x dx
t2
2

t
dt

C 
ln 3 x  C.
dx 
3
x
3
dt 
x
2
Пример 3. Найти  arctgxdx.
Р е ш е н и е. Применим метод интегрирования по частям.
Положим u=arctgx, dv=dx, тогда du 
dx
1 x2
, v=x.
Используя формулу (3), имеем
 arctgxdx xarctgx  
Пример 4. Найти 
xdx
1 d (1 x )
1

xarctgx


xarctgx

ln(1 x2 )  C.

2
2
2
2
1 x
1 x
2
2 x2  5 x  8
dx.
( x2  2)( x 1)
Р е ш е н и е. Подынтегральная рациональная дробь является правильной и
она разлагается на элементарные дроби:
2 x2  5 x  8 Mx  N A


.
( x2  2)( x 1) x2  2 x 1
Освобождаясь от знаменателей в обеих частях этого равенства
приравнивая
числители,
получаем
тождество
для
и
вычисления
неопределенных коэффициентов M, N и A:
2х2-5х+8=Мх(х+1)+N(х+1)+Ах2+2А.
Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение
получим, полагая х=-1 (корень знаменателя подынтегральной функции).
Два других получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях х в обеих частях тождества, например, при х2 и при х0:
10
х=-1: 15=А+2А,
х2 : 2=М+А,
х0 : 8=N+2А.
Решение этой системы: А=5, М=-3, N=-2.
Таким образом, получаем
 3x  2 5 
2 x2  5 x  8
xdx
dx
dx
dx   2

dx 3 2  2 2  5 x 1 
 2
x

1
( x  2)( x 1)
x 2
x 2
 x 2

3
x
  ln( x2  2)  2arctg
 5 ln x 1  C .
2
2
Пример 5. Вычислить несобственный интеграл или показать его

dx
;
x
2
расходимость:
1) 
2
dx
.
x 1
1
2) 
Р е ш е н и е. 1. Первый интеграл является несобственным интегралом с
бесконечным верхним пределом интегрирования. Согласно определению,
имеем:
 dx
b
1
1 1
1 1 1
 lim     lim       lim   .
 2 blim

2
 2 x
b x 
b b 2 
b b 2 2
2 x
2
b dx
Следовательно, данный интеграл сходится.
2.
Второй
интеграл
является
неограниченной функции f ( x) 
несобственным
интегралом
от
1
, которая терпит бесконечный разрыв
x 1
в нижнем пределе при х= 1. Согласно определению, получаем:
2
dx
ln x 1  lim
ln 1ln  lim
ln   ,
 x 1  0 x 1 lim
0

0

0
1
1
1
2 dx
2
 lim 
т.е. этот несобственный интеграл расходится.
Пример 6. Найти общее решение уравнения xy y  x cosx и частное
2
решение, удовлетворяющее начальному условию y 2  0 .
Р е ш е н и е. Уравнение является линейным дифференциальным
уравнением (ЛДУ) первого порядка. Решим его методом Бернулли.
11
Сначала делаем замену
y  UV , y  U V  V U . Подставляем в уравнение,
предварительно разделив левую и правую части на х:
U V  V U  UV
1
 x cos x .
x
Группируем 2-е и 3-е слагаемые:
1

U V  V U  UV   x cos x ,
x

выносим общий множитель:
1

U V  U V   V   x cos x .
x

Получаем систему уравнений:
1
 
V  V  0
.
x

U V  x cos x
Находим функцию V, решая уравнение V   V
1
 0:
x
dV
1
dV dx
dV
dx
V  0 ,


 0, 
 0 , ln V  ln x  ln c ,
dx
x
V
V
x
x
ln V  ln x  ln c , V  cx , V  c1 x .
Из всего семейства функций выбираем V  x (при c1  1).
Находим функцию U, решая уравнение U V  x cos x :
U х  x cos x , U   cos x ,
dU
 cos x , dU  cos x dx ,  dU   cos x dx ,
dx
U  sin x  c .
Итак, получили общее решение ЛДУ:
y  (sin x  c) x .
Для нахождения частного решения подставляем значения x 
общее решение:
12

2
, y0 в
0  (sin

2
 C1 ) 

2
 C1  1  0  C1  1 .
Значит, y  (sin x  1)  x – частное решение неоднородного уравнения.
Пример 7. Найти общее решение уравнения y3 y10 y  xe 2 x и частное
решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0)  1 12 , y (0)  1 8 .
Р е ш е н и е. Рассмотрим однородное уравнение
y   3 y   10 y  0 .
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
k 2  3k  10  0 ,
откуда k1  5 , k1  2 .
Следовательно,
уоо  C1e 5 x  C2 e 2 x
– общее решение однородного уравнения. Частное решение неоднородного
уравнения будем искать в виде
yчн  ( Ax  B)e 2 x .
  Ae 2 x  2( Ax  B)e 2 x  (2 Ax  A  2 B)e 2 x ;
yчн
Имеем
  2 Ae 2 x  2(2 Ax  A  2 B)e 2 x  (4 Ax  4 A  4 B)e 2 x .
yчн
Подставим эти выражения в уравнение:
(4 Ax  4 A  4 B)e 2 x  3(2 Ax  A  2 B)e 2 x  10( Ax  B)e 2 x  xe 2 x .
Так как e
2 x
 0 , то 4 Ax  4 A  4B  6 Ax  3 A  6B  10 Aх  10 B  x ,
 12 Ax  A  12 B  x ,
 12 A  1
 A  1 12 ,
 A  12 B  0  B  1 12 A  1 144 .
Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
yчн  (1 12 x  1 144 )e 2 x  1 144 (1  12 x)e 2 x ,
а общее решение неоднородного уравнения имеет вид:
13
yон  C1e 5 x  C2 e 2 x  1 144 (1  12 x)e 2 x .
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным
y (0)  1 12 .
условиям:
Следовательно,
С1  С2  1 144  1 12  С1  С2  11 144 ,


  5C1e 5 x  2C2 e 2 x  1 144   12e 2 x  (1  12 x)(2)e 2 x 
yчн
 5C1e 5 x  2C2 e 2 x  1 144 e 2 x (24 x  14) ,
y (0)  1 8   5C1  2C2  1 144 (14)  1 8   5C1  2C2  1 144 .
Решив систему
С1  С 2  11 144
,


5
C

2
C


1
144

1
2
получаем
C1 
17
13
.
, C2 
836
504
Итак, частное решение имеет вид:
y
13 5 x 17 2 x
1
e 
e 
(1  12 x)e 2 x .
504
836
144
Пример 8. Найти частные производные
u
u u u
функции
, ,
x y z
x
z
 4y2z  .
y
x
Р е ш е н и е. Считая функцию u функцией только одной переменной х, а
переменные у и z рассматривая как постоянные, находим
u 1 z
  .
x y x 2
Аналогично, считая u функцией только у, а затем – только z, получаем
u
1
 4y2  .
z
x
u
x
  2  8 yz ,
y
y
14
Задания к контрольной работе 2
I. Найти частные производные первого порядка.
1. z=cos(х3y)+х2+y;
2. z=arcsin(4хy)+х2y;
3. z=tg(3х3-2)+8y;
4. z=3xy-4y;
5. z=5х3+2yх2+e2xy;
6. z=cos(х3-6)+9у-4;
7. z=ln(3хy5)-yх2-25;
8. z=ctg(х+4y2)-4хy-8;
9. z=arctg(х-y)+хy-8;
10. z=e2x-y sin(3y).
II. Найти неопределенные и определенные интегралы.
xdx
11. а) 
7 x
2
x  18dx ;
в)  3  x cos xdx;
x  4dx ;
в)  x ln 1  3x dx;
x  23dx ;
в)  xe
б) 
x  12dx ;
в)  arctg 4xdx;
б) 
x  19dx ;
3
в)  x ln xdx;
б) 
;
x 2  4 x  12

4
sin x  cosx
3 dx ;
(cos
x

sin
x
)
0
г) 
dx
;
2 x 
sin  
5
12. а) 
б) 
x 2  2x  8
x3  1
dx ;
г)  4
2
0 ( x  4 x  2)
1
13. а) 
dx
5 x
2
б) 
;
x  x  20
2
7 x
dx;

2tgx
dx ;
2
0 cos x
4
г) 
dx
;
5x  3
14. а) 
x2  x  6
1  ln 3 x
dx ;
г) 
x
1
e
15. а)  sin 2  3x dx;
2
2
x
0
1  x4
г) 
x  2 x  15
2
dx ;
15
16. а)  e
x
2
4
б) 
dx;
5 x  6dx ;
в)  x sin 5 xdx;
x 2  4 x  12

2 sin x  x cos x
г) 
( x sin x) 3

dx ;
4
17. а) 
dx
;
7  4x 2
б) 
5 x  7 dx ;
в)  (2 x  5) sin xdx;
x 2  x  20
2arctgx  x
dx ;
1  x2
0
1
г) 
18. а) 
dx
;
cos 2 2 x 
1
2 2 arcsin x  x
г) 
1 x
0
2
5 xdx
;
x  x6
в) 
б) 
5 x  2dx ;
 x
в)  arcsin dx;
3
1
2
dx ;
19. а)  cos  4 dx;
x
3
ln xdx
;
x
б) 

x  2x  8
2
x
г)  xe dx ;
0
20. а) 
dx
3 ( 2х  1 )2
e
б) 
;
5х  1
x 2  2x  15
3x
в)  xe dx ;
dx;
2
г)  ln xdx .
1
III. Вычислить несобственный интеграл или показать его расходимость.
1
21. 
0

dx
1 x
2
,
dx
24.  4
,
x

2
14
27. 
dx
0 4x
2
1
0

25. 
x  1
3
1
dx
2
0 9x  1
e
2
26. 
,
0
dx
(3 x  2)d
28.  3
,
x
0
29.  e

16
3
,
x ln x
0
8
,
dx
23. 
dx ,
0


22.  e
5 x
x
2
xdx ,
,
4
30. 
5
dx
3
x  54
.
Найти
IV.
частные
решения
дифференциальных
удовлетворяющие начальным условиям.
31. 1) ysin x  y cos x 1
y0  0 ,
2) y   5 y   6 y  2 cos x
32. 1) y   y sin x  e
 cos x
sin 2 x
2
2) y   2 y   5 y  x  1
33. 1) y  
x0   2 ;
y(0)  3 ,
y (0)  1 2 ;
y0  3 ,
x0   2 ;
y(0)  3 , y (0)  1 5 ;
2y
 x2
x
y0  1 ,
x0  3 ;
y(0)  3 ,
y (0)  4 3 ;
y0  2 ,
x0  0 ;
2) y   2 y   10 y   sin 2 x
y (0)  0 ,
y (0)  3 4 ;
35. 1) (1  x ) y   2 xy  (1  x )
y0  5 ,
x0  2 ;
y(0)  3 ,
y (0)  9 ;
y0  1 ,
x0   ;
y(0)  1 4 ,
y (0)  0 ;
y0  0 ,
x0  e ;
y (0)  1,
y (0)  1 ;
y0  4 ,
x0  0 ;
y (0)  1,
y (0)  3 ;
39. 1) y  cos x  2 y sin x  2
y0  3 ,
x0  0 ;
2) y   9 y   36e
y (0)  0 ,
y (0)  0 ;
2
2) y   4 y   4 y   x  3x
34. 1)
y  y 
ex
1 x2
2
2 2
2) y   4 y   3 y  e
5x
36. 1) xy   2 y  x cos x
3
2) y   4 y  sin 2 x  1
3
2
37. 1) y x ln x  y  3x ln x
2) y   y   e
x
38. 1) y   2 xy  xe
 x2
2
2) y   6 y   9 y  9 x  12 x  2
3x
17
уравнений,
3y
 x 3e x
x
y0  e ,
x0  1 ;
2) y   2 y   8 y  3 sin x
y(0)  1 ,
y (0)   3 2 .
40. 1) y  
Таблица вариантов
Вариант
Контрольная работа 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Литература
Основная
1. Демидович, Б.П. Дифференциальные уравнения: учеб.пособие / Б.П.
Демидович, В.П. Моденов. – Санкт-Петербург: Лань, 2019. – 280 с.
2.
Фихтенгольц,
Г.М.
Курс
дифференциального
и
интегрального
исчисления. В 3-х тт. Том 2: учебник / Г.М. Фихтенгольц. – СанктПетербург: Лань, 2019. – 800 с.
3. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб.
пособие / Г.Н. Берман. – Санкт-Петербург: Лань, 2019. – 492 с.
Дополнительная
18
4. Данко, Д. П.
Высшая математика в упражнениях и задачах:
учеб.пособие для вузов / Д. П. Данко, Данко П. Е. [и др.]. – 7-е изд., испр . –
Москва: М.: АСТ: Мир и Образование, 2014. – 816 с.
5. Письменный, Д. Т.
Конспект лекций по высшей математике: полный
курс / Д. Т. Письменный. – 11 изд. – Москва: Айрис-пресс, 2013. – 608 с.
6. Запорожец, Г.И. Руководство к решению задач по математическому
анализу: Учебное пособие. – 6-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань»,
2014. – 464 с.
Содержание
Введение…………………………………………………………………..……2
Методические указания к выполнению, оформлению и сдаче контрольной
работы….……………………………………………………………………......2
Содержание контрольной работы и примеры выполнения задач……..……3
Задания к контрольной работе...……………………………………………..14
Таблица вариантов……………………………………………………………18
Литература ………………………………………..…....……………………..18
Содержание……………………………………………………………………19
19