Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali. Xosmas integrallarning yaqinlashish alomatlari. Reja: 1. Aniq integral mavjudligining zaruriy sharti 2. Chegaralanmagan funksiya xosmas integralining xossalari 3. Xosmas integrallar va ularning yaqinlashishi Aniq integral mavjudligining zaruriy sharti integral ostidagi funksiyaning chegaralanganligi edi. Endi f(x) funksiya [a;b] da chegaralanmagan bo‘lsin. Aniqrog‘i, ixtiyoriy >0, (<b-a) uchun f(x) funksiya [a;b-] da chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lib, b nuqtaning atrofidagina chegaralanmagan bo‘lsin. Bu holda b nuqta f(x) funksiyaning maxsus nuqtasi deb ataladi. t Demak, ixtiyoriy t (a<t<b) uchun f (x)dx integral mavjud bo‘lib, u faqat t a o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘ladi: t f (x)dx =F(t), a<t<b. a 1-ta’rif. Agar t→b-0 da F(t) funksiyaning limiti mavjud bo‘lsa, bu limit chegaralanmagan f(x) funksiyaning [a;b) oraliqdagi xosmas integrali deyiladi va u b f (x)dx kabi belgilanadi. a Demak, b t f (x)dx = lim F(t)= lim f (x)dx t→b−0 a Agar t→b-0 da F(t) t→b−0 a funksiyaning limiti mavjud bo‘lib, u chekli bo‘lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi, f(x) funksiya esa [a;b) da integrallanuvchi funksiya deb ataladi. b Agar t→b-0 da F(t) funksiyaning limiti cheksiz bo‘lsa, f (x)dx xosmas a integral uzoqlashuvchi deyiladi. Yuqorida limit mavjud bo‘lmagan holda ham biz xosmas integralni uzoqlashuvchi deymiz. Xuddi yuqoridagidek, a nuqta f(x) ning maxsus nuqtasi bo‘lganda (a;b] oraliq bo‘yicha xosmas integral ta’riflanadi. f(x) funksiya (a;b] oraliqda berilgan bo‘lib, a nuqta shu funksiyaning maxsus nuqtasi bo‘lsin. Bu funksiya (a;b] ning istalgan [t;b] (a<t<b) qismida integrallanuvchi, ya’ni ushbu b f (x)dx =F(t) t integral mavjud bo‘lsin. 2-ta’rif. Agar t→a+0 da F(t) funksiyaning lim F(t) limiti mavjud bo‘lsa, bu t→a+0 limit chegaralanmagan f(x) funksiyaning (a;b] oraliqdagi xosmas integrali deb b ataladi va u f (x)dx kabi belgilanadi. Demak, a b b f (x)dx = lim F(t)= lim f (x)dx. t→a+0 t→a+0 a t b Agar t → a+0 da F(t) funksiyaning limiti mavjud va chekli bo‘lsa, f (x)dx a xosmas integral yaqinlashuvchi, f(x) esa (a;b] da integrallanuvchi funksiya deyiladi. b Agar t→ a+0 da F(t) ning limiti cheksiz bo‘lsa, u holda f (x)dx xosmas integral a uzoqlashuvchi deyiladi. Yuqoridagi limit mavjud bo‘lmagan holda ham biz integralni uzoqlashuvchi deymiz. Agar f(x) funksiya [a;b] kesmaning biror ichki c nuqtasida lim f (x) = bo‘lsa, x→c u holda aniq integralning additivlik xossasiga o‘xshash integralni ikkita integralning yig‘indisi ko‘rinishda ifodalaymiz: b c b a a c t b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x)dx . →c+0 t→c−0 a Agar tenglikning o‘ng tomonidagi limitlar mavjud bo‘lsa, u holda xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi, aks holda uzoqlashuvchi deyiladi. Geometrik nuqtai nazardan chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali y=f(x) egri chiziq, y=0, x=a, x=b to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan va x→b-0 da (x→a+0, x→c0) Oy o‘qi yo‘nalishida cheksiz cho‘zilgan figuraning chekli yuzga ega ekanligini anglatadi (8-rasm). 8-rasm 1 dx 1-misol. x 0 ni yaqinlashishga tekshiring. Yechish. Bunda x=0 nuqta integral ostidagi funksiyaning maxsus nuqtasidir. Bu holda ta’rif bo‘yicha 1 1 dx dx x = lim x = lim 2 x = lim (2 − 2 t ) = 2 . t→0+0 0 t t→0+0 1 t t→0+0 Demak, berilgan integral yaqinlashuvchi va uning qiymati 2 ga teng. 1 2-misol. 0 dx integralni yaqinlashishga tekshiring. 1− x Yechish. Bunda x=1 nuqta integral ostidagi funksiyaning maxsus nuqtasidir. Bu holda 1 dx 1− x 0 t = lim t→1−0 0 dx 1− x = lim (−2 1 − x t0 = lim (−2 1 − t + 2) = 2. t→1−0 Demak, bu integral ham yaqinlashuvchi. t→1−0 1 dx integralni yaqinlashishga tekshiring. х 0 3-misol. Yechish. Ta’rifga ko‘ra 1 1 dx dx lim ln x 1t = lim (ln1 − ln t) = + , = lim x t→0+0 x = t→0+0 t→0+0 0 t ya’ni bu xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi. b dx , a b integralni yaqinlashishga tekshiring. , (b − x) a 4-misol. Yechish. Ikki holni qaraymiz. 1-hol. 1 bo‘lsin. U holda dx dx (b − x)1− − lim = − t→b−0 lim (b − x) d (b − x) = − t→b−0 lim = a (b − x) = t→b−0 (b − x) 1 − a a a b t t t (b − a)1− 1 , 1, =− lim ((b − t)1− − (b − a)1− ) = 1 − 1 − t→b−0 , 1. 2-hol. =1 bo‘lsin. U holda b t t dx dx = − lim (ln | b − t | − ln | b − a |) = + . = lim = − lim ln| b − x | a (b − x) t→b−0 (b − x) t→b−0 t→b−0 a a b Demak, dx a (b − x) integral <1 bo‘lganda yaqinlashuvchi, 1 da uzoqlashuvchi bo‘lar ekan. Chegaralanmagan funksiya xosmas integralining xossalari Quyida maxsus nuqtasi b bo‘lgan f(x) funksiyaning [a;b) oraliq bo‘yicha b olingan f (x)dx xosmas integralining xossalarini keltiramiz. Bu xossalarni maxsus a nuqtasi a bo‘lgan funksiyaning (a;b] oraliq bo‘yicha olingan uchun ham bayon qilish mumkin. xosmas integrallari 10. Agar f(x) funksiyaning [a;b) dagi xosmas integrali yaqinlashuvchi bo‘lsa, bu funksiyaning [c;b), (a<c<b) oraliq bo‘yicha integrali ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bunda b c b a a c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx tenglik o‘rinli bo‘ladi. b 20. b Agar f (x)dx va (х)dx integrallar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda a a ixtiyoriy , sonlar uchun b ( f (x) (x))dx a integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib, b b b a a a ( f (x) (x))dx = f (x)dx (x)dx tenglik o‘rinli bo‘ladi. b 30. Agar f (x)dx integral yaqinlashuvchi bo‘lib, [a;b) da f(x) 0 a bo‘lsa, u holda b f (x)dx0 a bo‘ladi. b b 40. Agar f (x)dx va (x)dx integrallar yaqinlashuvchi bo‘lib, [a;b) da f(x) a a (x) bo‘lsa, u holda b b f (x)dx (x)dx a bo‘ladi. a 50. f(x) va (x) funksiyalar [a;b) da uzluksiz bo‘lib, b esa ularning maxsus nuqtasi va 0 f(x)(x), x[a;b) bo‘lsin. U holda b b a. a b. b a a ) (x)dx yaqinlashuvchi bo‘lsa, f (x)dx ham yaqinlashuvchi bo‘ladi; ) f (x)dx uzoqlashuvchi bo‘lsa, (x)dx ham uzoqlashuvchi bo‘ladi. Misol tariqasida 30 xossaning isbotini keltiramiz. Qolgan xossalar bevosita xosmas integral va uning yaqinlashuvchiligi ta’riflaridan kelib chiqadi. 30 xossaning isboti. Aniq integralning xossalariga asosan f(x)0 bo‘lsa, t ixtiyoriy t[a;b) uchun f (x)dx 0 bo‘ladi. Bundan a b t f (x)dx = lim f (x)dx 0 t→b−0 a a ekanligi kelib chiqadi. 7-§. Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integralini hisoblash Endi chegaralanmagan funksiyaning xosmas integralini hisoblash bilan shug‘ulanamiz. a) Nyuton-Leybnits formulasi. Faraz qilaylik, f(x) funksiya [a;b) da uzluksiz bo‘lsin. Ma’lumki, bu holda shu oraliqda uning boshlang‘ich funksiyasi F(x) mavjud bo‘ladi. Agar x→b-0 da F(x) ning chekli limiti mavjud bo‘lsa, bu limitni F(x) ning b nuqtadagi qiymati deb qabul qilamiz, ya’ni lim F(x)=F(b). x→b−0 Xosmas integral ta’rifi hamda aniq integrallar uchun Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, b t f (x)dx= lim f (x)dx= lim (F(t)-F(a))=F(b)-F(a)=F(x) | t→b−0 a a t→b−0 b a ni topamiz. Bu esa, yuqoridagi kelishuv asosida, f(x) funksiyaning xosmas integrali uchun Nyuton - Leybnits formulasi o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatadi: b f (x)dx =F(b)-F(a). a b) Bo‘laklab integrallash. u(x) va v(x) funksiyalarning har biri [a;b) da uzluksiz u’(x) va v’(x) hosilalarga ega, b nuqta esa v(x)u’(x) hamda u(x)v’(x) funksiyalarning maxsus nuqtasi bo‘lsin. b Agar v (x)du(x) xosmas integral yaqinlashuvchi hamda ushbu a lim u( t )v( t ) t →b−0 b limit chekli bo‘lsa, u holda u (x)dv(x) xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo‘lib, a b b b u (x)dv(x) =(u(x)v(x)) | - v (x)du(x) a a a tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bunda u(b)v(b)= lim u(t)v(t) . t→b−0 c) O‘zgaruvchini almashtirish. b f(x) funksiya [a;b) da berilgan bo‘lib, b uning maxsus nuqtasi bo‘lsin. f (x)dx a xosmas integralni qaraylik. Ushbu integralda x=(t) almashtirish bajaramiz, bunda (t) funksiya [α; ) oraliqda uzluksiz ’(t) > 0 hosilaga ega hamda ()=a, lim (t) = b . Bu holda agar f ((t))(t)dt xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, t→ −0 b f (x)dx xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va a b a f (x)dx = f ((t))(t)dt tenglik o‘rinli bo‘ladi. Yuqorida biz maxsus nuqtasi b bo‘lgan f(x) funksiyaning [a;b) oraliq bo‘yicha olingan xosmas integralini hisoblash usullarini ko‘rib o‘tdik. Bu usullarni maxsus nuqtasi a bo‘lgan funksiyaning (a;b] oraliq bo‘yicha olingan xosmas integralini hisoblashda ham qo‘llash mumkin. 1 1-misol: I = dx 0 (1+ x) x ni hisoblang. x = (t) = t 2 almashtirishni bajaramiz. Ravshanki, Yechish. Ushbu integralda (t) funksiya (0;1] oraliqda ’(t)=2t>0 uzluksiz hosilaga ega hamda (0)=0, (1)=1. Demak, 1 2tdt dt = 2 arctgt = 2 = . = = 2 I= | 2 2 0 4 2 (1 + t )t 1 + t (1+ x) x 0 0 0 1 dx 1 1 Chegarasi cheksiz bo‘lgan xosmas integraldagi kabi chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali uchun ham absolyut yaqinlashish tushunchasini kiritish mumkin. (a;b] da aniqlangan va a nuqta maxsus nuqtasi bo‘lgan f(x) funksiya uchun b b f (x) dx yaqinlashuvchi bo‘lsa, f (x)dx absolyut yaqinlashuvchi xosmas integral a a deyiladi, f(x) funksiya esa (a;b] da absolyut integrallanuvchi funksiya deb ataladi. 3.Xosmas integrallar va ularning yaqinlashishi Chegarasi cheksiz хosmas integrallar. Ta’rif. Yarim a,+) intervalda uzluksiz bo‘lgan funksiyaning хosmas integrali quyidagicha belgilanadi: + f (x)dx a va ushbu tenglik bilan aniqlanadi: + b f (x )dx = lim f (x)dx b→+ a (1) a Agar (1) formulada o‘ngda turgan limit mavjud bo‘lsa, u holda хosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Bu limit integralning qiymati sifatida qabul qilinadi. Agar ko‘rsatilgan limit mavjud bo‘lmasa, хosmas integral uzoqlashuvchi deb ataladi. Agar integral ostidagi f (x) funksiya uchun F (x) boshlang‘ich funksiya ma’lum bo‘lsa, u holda хosmas integralning yaqinlashuvchimi yoki yo‘qmi ekanini aniqlash mumkin. Nyuton-Leybnis formulalari yordamida quyidagiga ega bo‘lamiz: + b b f (x )dx = lim f (x )dx = lim F (x ) = lim[F (b) − F (a)] = F (+) − F (a) . b→+ a b→+ a a b→+ Shunday qilib, agar x → + da F (x) boshlang‘ich funksiya ma’lum bo‘lsa (biz uni F (+) bilan belgiladik), u holda хosmas integral yaqinlashuvchi, agar bu limit mavjud bo‘lmasa, u holda хosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi. 1-misol ►Berilgan f (x) = e − kx funksiya uchun F ( x ) = − 1 e − kx funksiya boshlang‘ich k funksiya bo‘ladi. N’yuton-Leybnis formulasini qo‘llaymiz: b + 1 1 I = e−kx dx = lim − e−kx = − lim (e −kb −1). b→+ k b→+ 0 k 0 Agar k 0 bo‘lsa, I = 1 integral yaqinlashuvchi. k Agar k 0 bo‘lsa, I = integral uzoq lashuvchi. ◄ Хosmas integral (−,b yarim cheksiz integralda ham shunga o‘хshash aniqlanadi: b b − a b lim f (x )dx = a→− lim F (x ) = F (b )− F (− ). f (x )dx = a→− a bu yerda F (− ) F (x) boshlang‘ich funksiyaning x → − dagi limiti. Agar f (x) funksiya butun sonlar o‘qida uzluksiz bo‘lsa, u holda umumlashgan хosmas integral quyidagi formula bilan aniqlanadi: + s + − − s f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx bu yerda s − iхtiyoriy tayinlangan nuqta. (2) Agar (2) formulada o‘ng tomonda turgan ikkala integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda chap tomondagi хosmas integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. 2-misol Ushbu + dx 1+ x . 2 − integralni yaqinlashuvchiligini tekshiring. ► (2) formulada С = 0 deb faraz qilib, quyidagini hosil qilamiz: + 0 + dx dx dx = + 2 2 1+ x − 1+ x 0 1+ x2 . − Tenglikning o‘ng chunki 0 qismidagi хosmas integrallar yaqinlashuvchi bo‘ladi, dx 1+ x = arctgx 2 − + dx 1+ x = arctgx 2 = arctg0 − arctg (− )= 0 − + 0 0 2 , = arctg (+ )− arctg0 = . 2 Shuning uchun ushbuga ega bo‘lamiz: + dx 1+ x = 2 + 2 = . 2 − Integarl yaqinlashuvchi va uning qiymati ga teng. ◄ Cheksiz funksiyalarning хosmas integrallari. Ta’rif. (−, b intervalda uzluksiz va x = a da aniqlanmagan yoki uzilishga ega bo‘lgan f (x) funksiyaning (1-shakl) хosmas integrali quyidagicha belgilanadi: b f (x )dx a va ushbu tenglik bilan aniqlanadi: b b f (x )dx = lim f (x )dx a →+ a+ (3) 1-chizma Agar (3) formulada o‘ngda turgan limit mavjud bo‘lsa, u holda хosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Agar ko‘rsatilgan limit mavjud bo‘lmasa, u holda хosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi. Agar integral ostidagi f (x) funksiya uchun F (x) boshlang‘ich funksiya ma’lum bo‘lsa, u holda Nyuton-Leybnis formulasini qo‘llash mumkin: b f (x )dx = lim F (x ) →0 a b a+ = lim F (b) − F (a + )= F (b) − F (a) →0 Sрunday qilib, agar x → a da F (x) boshlang‘ich funksiyaning limiti mavjud bo‘lsa (biz uni F(a ) bilan belgiladik), u holda хosmas integral yaqinlashuvchi, agarda bu limit mavjud bo‘lmasa, u holda хosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi. a, b) intervalda uzluksiz va x = b da aniqlanmagan yoki II tur uzilishga ega bo‘lgan f (x) funksiyaning хosmas integrali ham shunga o‘хshash aniqlanadi: b b− f (x )dx = lim f (x )dx =lim F (x ) a →0 a →0 b− = lim F (b − ) − F (a ) = F (b )− F (a ), →0 a bu yerda F (b) − F (x) boshlang‘ich funksiyaning x → b dagi limiti. Agarda f (x) funksiya a, b kesmaning biror-bir x = s oraliq nuqtasida cheksiz uzilishga ega yoki aniqlanmagan bo‘lsa, u holda хosmas integral quyidagi integral bilan aniqlanadi: b s b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a (4) s Agar (4) formulaning o‘ng tomonida turgan intervalardan aqalli bittasi uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda хosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladiyu Agar (4) ning o‘ng tomonidagi ikkala integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda tenglikning chap tomonidagi хosmas integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. 3-misol Ushbu 4 dx x 0 integral ning yaqinlashuvchanligini tekshiring. ►x → 0 f (x ) = 1 x → . x = 0 nuqta 0,4 kesmaning chap oхirida da yotadi. Shuning uchun quyidagiga ega bo‘lamiz: 4 dx x = 2 x = 4 − 0 = 4. 0 Integral yaqinlashuvchi. ◄ Absolyut va shartli yaqinlashuvchanlik. Ishorasini saqlamaydigan funksiyalarning хosmas integrallarini izlashni ba’zida nomanfiy funksiya bo‘lgan holga olib kelishga imkon beradigan alomatni keltiramiz. + + a a f (x) dx integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda f (x)dx Agar integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. yaqinlashuvchi interval deb ataladi. Bunda oхirgi absolyut + + Agarda integral f (x)dx integral a yaqinlashuvchi, f (x) dx integral esa a + uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda f (x)dx integral shartli yaqinlashuvchi integral a deb ataladi. 4-misol Ushbu + + cosx 1+ x sinx 1+ x dx. 2 dx, 2 0 0 integrallarning yaqinlashuvchanligini tekshiring. ► Integral ostidagi funksiyalar ushbu shartlarni qanoatlantiradi: cosx 1 , 2 1+ x 1+ x2 + dx 1+ x = arctgx 2 + 0 0 sinx 1 . 2 1+ x 1+ x2 = arctg(+) − arctg0 = 2 integral yaqinlashuvchi, shuning uchun + sinx 0 1+ x2 dx integrallar ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. ◄ cosx 0 1+ x2 dx