Признаки равенства треугольников 7 класс В геометрии каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы. Приведенные ранее рассуждения о свойстве смежных и о равенстве вертикальных углов были доказательствами теорем, хотя мы их еще так не называли. Два треугольника называются равными, если один можно наложить на другой и они полностью совпадут. У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. Признаки равенства треугольников – это правила, по которым можно сделать вывод о равенстве треугольников. Признаки дают возможность устанавливать равенство двух треугольников, не производя фактического наложения одного из них на другой, а сравнивая только некоторые элементы треугольника. Первый признак А Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны С В С₁ А₁ В₁ Доказательство 1. Так как угол А = углу А₁ , то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А₁ , а стороны АВ и АС наложатся соответственно на В лучи А₁В₁ и А₁С₁ 2. Поскольку АВ = А₁В₁, АС=А₁С₁ , то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁ , а сторона АС – со А₁ стороной А₁С₁ А С С₁ В₁ Доказательство 3. В частности, совместятся точки В и В₁ , С и С₁ 4. Следовательно, совместятся стороны ВС и В₁С₁ . 5. Итак, треугольники АВС и АВС полностью совместятся, значит, они равны 6. Теорема доказана. В А С С₁ А₁ В₁ Второй признак А Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного В треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то А₁ такие треугольники равны. С С₁ В₁ Доказательство 1. Рассмотрим ∆АВС и ∆А₁В₁С₁ , у которых АВ=А₁В₁, угол А= углу А1, угол В = углу В1. Докажем, что ∆АВС= ∆А₁В₁С₁. 2. Наложим ∆АВС на ∆А₁В₁С₁, так, чтобы вершина А совместилась с вершиною А₁, сторона АВ совместилась с равной ей стороной А₁В₁, а вершины С и С₁ оказались по одну сторону от прямой А₁В₁. А С В С₁ А₁ В₁ Доказательство 1. Так как угол А= углу А₁ и угол В = углу В₁, то сторона АС наложится на луч А₁С₁, а сторона ВС- на луч В₁С₁. 2. Поэтому вершина С - общая точка сторон АС и ВС - окажется лежащей как на луче А₁С₁, так и В на луче В₁С₁ и, следовательно, совместятся с общей точкой этих лучей - вершиной С. 3. Значит совместятся стороны АС и А₁ А₁С₁, ВС и В₁С₁. Теорема доказана. А С С₁ В₁ Третий признак А Теорема: Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. С В С₁ А₁ В₁ Доказательство А 1. Приложим ∆АВС к ∆А₁В₁С₁ так, чтобы вершины А совместилась с А₁, В с В₁, а С и С₁ оказались по разные стороны от прямой А₁В₁. 2. Так как АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁ равны, то треугольники А₁С₁С и В₁С₁С – 1 С В равнобедренные. Следовательно, 3 угол 1 = 2, а угол 3 = 4 3. Поэтому угол АСВ = А₁С₁В₁. 4. Итак, АС = А₁С₁ , ВС = В₁С₁ , угол С = А₁ углу С₁ 5. Треугольники АВС И АВС равны по первому признаку равенства Теорема доказана А₁(А) С 2 С₁ 4 B₁(B) В₁ С₁ Задача № 1 Дано: АВСD – квадрат Докажите, что ∆АВD = ∆BCD D А C B Задача № 2 Дано: AB = AC, угол АСЕ = углу ABD Доказать : ∆АСЕ = ∆ABD E B А C D Задача № 3 Дано: Отрезки BЕ и AC точкой D делятся пополам. Доказать : угол AED= углу CBD C E А D B Спасибо за внимание!
