Вероятность и статистика 10 класс Случайная величина и распределение вероятностей Простыми словами говоря, случайная величина – это величина, которая принимает различные значения в результате случайного эксперимента. Случайная величина является ключевым инструментом для анализа вероятностных явлений и позволяет нам описывать их с помощью математических моделей. Случайная величина – это функция, которая сопоставляет каждому элементарному исходу случайного эксперимента числовое значение. Давайте разберемся на примере игрального кубика! Предположим, мы бросаем кубик, у которого есть шесть граней, каждая из которых пронумерована и выпадает с равной вероятностью. Для описания поведения этого игрального кубика с позиции теории вероятности мы можем записать шесть событий: А1 – «выпала грань с числом 1» А2 – «выпала грань с числом 2» А3 – «выпала грань с числом 3» А4 – «выпала грань с числом 4» А5 – «выпала грань с числом 5» А6 – «выпала грань с числом 6» Соответственно, вероятность появления каждого этого события 1/6: Вся эта информация есть полное описание поведения игрального кубика с точки зрения теории вероятности. Ничего более мы сказать не можем. Если все эти шесть событий описывают поведение одного и того же объекта и, кроме того, связано с появлением чисел от 1 до 6, то эту информацию было бы более удобно обобщить и представить с единых позиций. Например, мы можем ввести некое событие Х, которое будет связано с появлением того или иного числа при бросании игрального кубика. То есть, все события А1, А2, А3, А4, А5 и А6 будут описываться одной величиной - Х. Именно эта величина в теории вероятности и называется случайной величиной. Случайные величины могут быть дискретными. Дискретная случайная величина принимает счётные значения. Мы могли наблюдать дискретные счётные величины при игре с игральным кубиком. Там случайная величина Х принимает счётные значения от 1 до 6 и никакие другие. В этом случае записать все возможные её значения можно в виде такой таблицы: Такая таблица называется рядом распределения. Случайные величины могут быть непрерывными. Непрерывная случайная величина может принимать любые значения в заданном диапазоне. Например, при стрельбе по мишени можно определять евклидовое расстояние между точкой попадания и центром мишени . Вот, например, по такой формуле: Распределением вероятностей или просто распределением случайной величины называется закон, который каждому значению случайной величины ставит в соответствие вероятность того, что величина примет это значение. Если, например, величина Х может принять значение 8, то нужно указать вероятность события «Х равно 8». Если величина Х может принять значение –4, то нужно указать вероятность события «Х равно –4». Такие события принято обозначать (Х = 8), (Х = – 4). Распределение вероятностей можно задать таблицей, графиком, диаграммой, формулами или даже словесным описанием. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СУММА ВСЕХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РАВНА ЕДИНИЦЕ. Объясняется это тем, что сумма вероятностей всех значений случайной величины равна сумме вероятностей всех элементарных событий. В жизни значения многих случайных величин изменяются непрерывно. Например, время безотказной работы гаджета может оказаться любым (положительным) числом. Также любым числом может оказаться вес наудачу взятого человека. Можно привести и другие примеры. Ещё раз повторюсь, что такие случайные величины называются непрерывными. Для непрерывных случайных величин распределение вероятностей между возможными значениями описывают с помощью функций. Задание 1. Известно, что в классе учащихся — 34 чел. Из них девочек — 16 чел. Какое количество значений может принимать случайная величина «число учеников, отсутствующих сегодня в классе»? Решение: Чтобы найти количество значений для числа отсутствующих учеников, давайте рассмотрим все возможные ситуации. Минимальное количество учеников, отсутствующих в классе, будет 0 (если все присутствуют). Максимальное количество будет 34 (если никто не присутствует). Таким образом, случайная величина "число учеников, отсутствующих сегодня в классе" может принимать значения от 0 до 34, включая обе граничные точки. Следовательно, количество значений, которые может принимать эта случайная величина, равно 35. Ответ: 35. Задание 2. Задай с помощью таблицы распределение вероятностей случайной величины X, равной числу орлов, выпавших при двух бросках монеты. Значение Вероятность 0 1 2 Ответ: Задание 2. Задай с помощью таблицы распределение вероятностей случайной величины X, равной числу орлов, выпавших при двух бросках монеты. Значение 0 1 2 Вероятность 0,25 0,5 0,25 Задание 3 (выполнить самостоятельно). В таблице построено распределение случайной величины «сумма очков при бросании двух игральных костей». Заполните недостающие ячейки (ответы запишите в виде десятичной дроби). Задание 4. В таблице дано распределение вероятностей некоторой случайной величины. Одна из вероятностей неизвестна. Найди её. Решение: Напоминаю основное свойство распределения: сумма всех вероятностей равна единице. Исходя из этого, мы от единицы должны отнять сумму всех вероятностей, то есть 1 – (0,12 + 0,24 + 0,13 + 0,27) = 0,24. Ответ: 0,24. Задание 5 (выполнить самостоятельно). В таблице дано распределение вероятностей некоторой случайной величины. Одна из вероятностей неизвестна. Найди её. Задание 6. Ответ: Задание 6. Задание 7. Распределение вероятностей случайной величины Х задано таблицей. Значение Х 0 0,5 1 1,5 2 Вероятность 0,15 0,11 0,08 0,5 0,25 Найдите вероятность события «Х < 1,5» Решение: 1) Выбираем значения Х, которые меньше 1,5. Получается, что у нас остаётся три значения: 0, 0,5 и 1. 2) 0,15 + 0,11 + 0,08 = 0,34. Ответ: 0,34. Задание 8 (выполнить самостоятельно). Распределение вероятностей случайной величины Х задано таблицей. Значение Х 0 0,5 1 1,5 2 Вероятность 0,05 0,24 0,1 0,15 0,46 Найдите вероятность события «Х > 1»
