образец огэ по математике

Основной государственный экзамен
Математика.
1 / 12
Яг
уб
ов
.Р
Ф
Образец РЕАЛЬНОГО варианта
ОГЭ по МАТЕМАТИКЕ
от сайта ЯГУБОВ.РФ
9 июня 2023
Инструкция по выполнению работы
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 25
заданий. Часть 1 содержит 19 заданий, часть 2 содержит 6 заданий с
развёрнутым ответом.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа
55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 7 и 13 запишите в бланк ответов №1 в виде одной
цифры, которая соответствует номеру правильного ответа.
Для остальных заданий части 1 ответом является число или
последовательность цифр. Ответ запишите в поле ответа в тексте работы, а
затем перенесите в бланк ответов №1. Если получилась обыкновенная дробь,
ответ запишите в виде десятичной.
Решения заданий части 2 и ответы к ним запишите на бланке ответов №2.
Задания можно выполнять в любом порядке. Текст задания переписывать не
надо, необходимо только указать его номер.
Все бланки заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается
использование гелевой или капиллярной ручки.
Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с тех заданий,
которые вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим
заданиям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся
выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время, Вы
сможете вернуться к пропущенным заданиям.
При выполнении части 1 все необходимые вычисления, преобразования
выполняйте в черновике. Записи в черновике, а также в тексте контрольных
измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.
Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте
работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем
внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.
При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными
материалами, выданными вместе с вариантом КИМ, и линейкой.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее
количество баллов.
Для прохождения аттестационного порога необходимо набрать не менее 8
баллов, из которых не менее 2 баллов должны быть получены за решение
заданий по геометрии (задания 15–19, 23–25).
После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в
бланках ответов №1 и №2 был записан под правильным номером.
В конце КИМ предлагаются справочные материалы.
Желаем успеха!
Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях
9 июня 2023
www.Yagubov.RU
2 / 12
Ответами к заданиям 1–19 являются число или последовательность цифр,
которые следует записать в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Если ответом
является последовательность цифр, то запишите её без пробелов, запятых
и других дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной
клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.
уб
ов
.Р
Ф
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.
Яг
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная,
д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет
прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные
ворота.
При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот
находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом. Напротив
жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня,
к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри
(огород отмечен на плане цифрой 6).
Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной
плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка,
вымощенная такой же плиткой.
К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях
Основной государственный экзамен
1
3 / 12
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они
обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите
последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
Объекты
Цифры
сарай
жилой дом
теплица
баня
Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя
ближайшими точками по прямой) в метрах.
уб
ов
.Р
Ф
2
Математика.
Ответ: ___________________________.
3
Сколько процентов площади всего участка занимает гараж?
Ответ: ___________________________.
4
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько
упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?
Ответ: ___________________________.
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления.
Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на
оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа,
электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Прочее
Нагреватель
оборудование
(котёл)
и монтаж
Средн.
расход газа/
средн.
потребл.
мощность
Стоимость
газа/электроэнер
гии
28 000 руб.
16 540 руб.
1,1 куб. м/ч
4,8 руб./куб.м
22 000 руб.
14 444 руб.
5,8 кВт
4,4 руб./(кВт⋅ч )
Яг
5
Газовое
отопление
Электр.
отопление
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через
сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа
вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки
и установки газового и электрического оборудования?
Ответ: ___________________________.
Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях
9 июня 2023
6
www.Yagubov.RU
Найдите значение выражения
4 / 12
6 4
: .
5 11
Ответ: ___________________________.
На координатной прямой отмечены числа p, q и r. Какая из разностей
q  p, q  r , r  p положительна? В ответе укажите номер правильного
варианта.
уб
ов
.Р
Ф
7
1)
2)
3) r  p
4) невозможно определить
q p
qr
Ответ:
8
Найдите значение выражения
 19  2  19  2  .
Ответ: ___________________________.
9
Решите уравнение 7 x 2  42 x .
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший
из корней.
Ответ: ___________________________.
На экзамене 20 билетов, Роман не выучил 1 из них. Найдите вероятность того,
что ему попадётся выученный билет.
Ответ: ___________________________.
Яг
10
Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях
Основной государственный экзамен
5 / 12
На рисунках изображены графики функций вида y  kx  b . Установите
соответствие между знаками коэффициентов k и b с графиками функций.
КОЭФФИЦЕНТЫ
А) k  0, b  0
Б)
ГРАФИКИ
1)
2)
k  0, b  0
В) k  0, b  0
3)
уб
ов
.Р
Ф
11
Математика.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
12
А Б В
d1d2 sin α
,
2
где d1 и d 2 — длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между
диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d1 ,
2
если d 2  7, sin α  , S  4 .
7
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S 
Ответ: ___________________________.
Укажите решение неравенства  3  x  4 x  7 .
Яг
13
  ;  0,8
2)   ;  2 
1)
  2;   
4)   0,8;   
3)
Ответ:
14
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут.
При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 7° С.
Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 5 минут после
начала проведения опыта, если его начальная температура составляла  7 ° С.
Ответ: ___________________________.
Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях
9 июня 2023
15
www.Yagubov.RU
6 / 12
В треугольнике два угла равны 38° и 89°. Найдите
третий его угол. Ответ дайте в градусах.
Ответ: ___________________________.
Радиус окружности, описанной около равностороннего
треугольника, равен 9 3 . Найдите длину стороны этого
треугольника.
уб
ов
.Р
Ф
16
Ответ: ___________________________.
17
Высота
равнобедренной
трапеции,
проведённой
из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 8 и
18. Найдите длину основания BC.
Ответ: ___________________________.
18
На клетчатой бумаге с размером клетки
изображён ромб. Найдите его площадь.
1×1
Ответ: ___________________________.
Какое из следующих утверждений верно?
1) Диагонали параллелограмма равны.
Яг
19
2)
Площадь ромба равна произведению его стороны на
проведенную к этой стороне.
высоту,
3) Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно
двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники
равны.
Ответ:
Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с
инструкцией по выполнению работы. Проверьте, чтобы каждый ответ
был записан в строке с номером соответствующего задания.
Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях
Основной государственный экзамен
Математика.
7 / 12
Часть 2
При выполнении заданий 20–25 используйте отдельный лист. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите
чётко и разборчиво.
Решите уравнение x3  3x 2  16 x  48.
21
Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км,
затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если
скорость течения реки равна 5 км/ч.
22
уб
ов
.Р
Ф
20
Постройте график функции
y  x2  2x  3 .
Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь
с прямой, параллельной оси абсцисс?
23
24
равны
21
и
28.
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD  8.
Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна
540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Яг
25
Катеты
прямоугольного
треугольника
Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером
соответствующего задания.
АВТОРЫ И СОСТАВИТЕЛИ:
№ 1–25 – Ягубов Р.Б. и другие.
ОФОРМЛЕНИЕ:
Рязанов Н.А. (БФУ им. И. Канта).
ПУБЛИКАЦИЯ:
Ягубова Т.Д. (МГТУ им. Н.Э. Баумана).
Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях
9 июня 2023
www.Yagubov.RU
8 / 12
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
АЛГЕБРА
 Формула корней квадратного уравнения:
x
b D
2
, где D  b  4ac .
2a
 Если квадратный трехчлен ax  bx  c имеет два корня x 1 и x 2 , то
2
ax  bx  c  a  x  x 1  x  x 2  ;
уб
ов
.Р
Ф
2
2
если квадратный трехчлен ax  bx  c имеет единственный корень x 0 , то
ax  bx  c  a  x  x 0  .
2
2
 Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением y  ax 2  bx  c :
x0  
b
.
2a
 Формула n -го члена арифметической прогрессии  a n  , первый член
которой равен a 1 и разность равна d :
a n  a 1  d  n  1 .
 Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
 a1  a n n
Sn 
.
2
 Формула n -го члена геометрической прогрессии b n , первый член которой
равен b 1 , а знаменатель равен q :
n 1
b n  b1  q
 Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:
 q  1 b .
S 
Яг
n
1
n
q 1
 Формула сокращённого умножения:
 a  b  2  a 2  2ab  b 2
 a  b  2  a 2  2ab  b 2
2
2
a  b   a  b  a  b 
Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях
Основной государственный экзамен
Математика.
9 / 12
 Свойства арифметического квадратного корня:
ab  a  b при a  0 , b  0;
a
a
при a  0 , b  0.

b
b
 Свойства степени при a  0 , b  0
n
1
a  n;
a
n
m
nm
a a  a
;
n
уб
ов
.Р
Ф
nm
a
a
;
m
a
  a ;
a
n m
nm
 ab  n  a n  b n ;
 
a
b
n

n
a
.
n
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
100
400
900
1600
2500
3600
4900
6400
8100
1
121
441
961
1681
2601
3721
5041
6561
8281
Яг
Десятки
Таблица квадратов двузначных чисел
2
144
484
1024
1764
2704
3844
5184
6724
8464
Единицы
4
5
196
225
576
625
1156
1225
1936
2025
2916
3025
4096
4225
5476
5625
7056
7225
8836
9025
3
169
529
1089
1849
2809
3969
5329
6889
8649
6
256
676
1296
2116
3136
4356
5776
7396
9216
7
289
729
1369
2209
3249
4489
5929
7569
9409
=
Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях
8
324
784
1444
2304
3364
4624
6084
7744
9604
9
361
841
1521
2401
3481
4761
6241
7921
9801
9 июня 2023
www.Yagubov.RU
10 / 12
ГЕОМЕТРИЯ
Сумма углов выпуклого n -угольника равна 180  n  2  .
Средняя линия треугольника и трапеции
B
MN — ср. лин.
MN || AC
M
M
N
AC
MN 
2
A
A
C
B
C
N
уб
ов
.Р
Ф
D
BC || AD
MN — ср. лин.
MN || AD
BC  AD
MN 
2
Описанная и вписанная окружности правильного треугольника
a 3
3
2
a 3
S
4
R
h
r
a
a 3
6
a 3
h
2
r
Для треугольника ABC со сторонами AB  c ,
AC  b , BC  a :
a
b
c


 2R ,
sin A sin B sin C
где R — радиус описанной окружности.
Для треугольника ABC со сторонами AB  c ,
AC  b , BC  a :
Яг
R
a
r
2
2
2
c  a  b  2ab cos C .
Длина окружности C  2πr
Площадь круга S  πr
2
Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях
Основной государственный экзамен
Математика.
11 / 12
Площади фигур
Параллелограмм
b
g
Треугольник
S  aha
S  ab sin g
ha
b
1
ah
2 a
1
S  ab sin g
2
S
ha
g
a
a
Ромб
уб
ов
.Р
Ф
Трапеция
b
ab
S
h
2
h
d 1 , d 2 – диагонали
1
S  d 1d 2
2
d1
d2
a
Прямоугольный треугольник
a
c
b
cosα 
c
a
tg α 
b
sin α 
c
a
α
b
2
2
Теорема Пифагора: a  b  c
2
2
2
Основное тригонометрическое тождество: sin α  cos α  1
Яг
Некоторые значения тригонометрических функций
α
градусы
0
sin α
0
cosα
1
tgα
0
30
45
60
90
180
270
360
1
2
3
2
3
3
2
2
2
2
3
2
1
2
1
0
1
0
0
1
0
1
1
3
—
0
—
0
Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях