Методика изучения главы «Рациональные дроби» в 8 классе Научно-исследовательская работа 2 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................................... 3 ЛОГИКО-ДИДАКТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГЛАВЫ «РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ» ... 5 I. Цели изучения главы «Рациональные дроби» .............................................................. 5 II. Математический анализ главы «Рациональные дроби» ............................................. 6 III. Логический анализ главы «Рациональные дроби» .................................................... 7 IV. Дидактический анализ главы «Рациональные дроби» .............................................. 9 КОНСПЕКТЫ И ФРАГМЕНТЫ УРОКОВ .......... Ошибка! Закладка не определена. 3 ВВЕДЕНИЕ I. Актуальность темы исследования Актуальность темы исследования заключается в том, что рациональные дроби являются важным элементом математического образования. Умение работать с рациональными дробями необходимо не только для изучения других тем в курсах алгебры средней и старшей школы, но также эти знания применяются в различных областях науки, техники и экономики: например, при решении задач финансового планирования, а также в химии и физике для выражения соотношений между различными величинами. Изучение рациональных дробей в 8 классе представляет собой сложный этап в обучении математике, требующий от учеников серьезной подготовки и понимания основных понятий и алгоритмов, а потому вызывает затруднения у многих учеников. Новые понятия в математике возникали постепенно, начиная с самых простых. Сначала люди стали использовать натуральные числа для подсчета предметов в повседневной практике. Затем понятие числа было расширено и стали рассматривать целые числа – к ним относятся все натуральные числа, число нуль и целые отрицательные числа. После этого понятие числа получило дальнейшее развитие и стали изучаться рациональные числа, к которым относятся все целые числа и все дроби (как положительные, так и отрицательные). Разумеется, обобщение понятия числа происходило таким образом, что более сложный объект включал в себя более простой. При этом также обобщались и расширялись правила действий с числами. Аналогично обстоит дело и с алгебраическими выражениями. Сначала рассматриваются самые простые объекты – числа, переменные и их степени. Затем изучаются их более сложные образования – одночлены. Потом переходят к рассмотрению алгебраических сумм одночленов – многочленам. И, наконец, изучаются рациональные дроби. В этой главе обнаруживается полная аналогия в действиях с обыкновенными дробями и рациональными дробями. Это находит отражение и в математических 4 терминах. Часто многочлены называют целыми выражениями, рациональные дроби − дробными выражениями. Любое числовое выражение после выполнения всех действий принимает конкретное числовое значение – рациональное число (в частности, оно может оказаться и натуральным числом, и целым числом, и дробью). Точно так же любое рациональное выражение после выполнения преобразований принимает вид рациональной дроби (опять же, в частности, может получиться число, одночлен или многочлен). Умение выполнять преобразования с рациональными дробями предполагает наличие у учащихся прочных знаний и умений по таким темам, как «Арифметические действия с числовыми дробями», «Алгебраические выражения», «Одночлены и многочлены», «Разложение многочлена на множители», изученным ранее. Эта тема завершает систематическое изучение тождественных преобразований рациональных выражений, начатое в 7-м классе. Материал этой главы расширяется после изучения арифметических квадратных корней, разложения квадратного трёхчлена на множители и введения целого отрицательного показателя степени, применяется для изучения уравнений, неравенств и функций, содержащих рациональные дроби. Сложность данной темы и ее важность для развития метапредметных умений у учащихся требуют внимательного подхода к ее изучению. Поэтому разработка эффективной методики может помочь учителям повысить качество обучения, а ученикам лучше понять материал. II. Гипотеза: Если на достаточно высоком методическом уровне осуществить изучение главы «Рациональные дроби», то это способствует наиболее полному, глубокому и осознанному изучению не только этой главы, но и главы «Действительные числа». 5 ЛОГИКО-ДИДАКТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГЛАВЫ «РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ» Глава «Рациональные дроби» открывает курс алгебры 8-го класса. На изучение главы в среднем отводится 21 ч. I. Цели изучения главы «Рациональные дроби» 1. Общеобразовательные: формирование понятий «рациональное выражение», «целое рациональное выражение», «дробное рациональное выражение», «рациональная дробь»; формирование понятия «область допустимых значений переменной рационального выражения»; формирование понятий «основное свойство рациональной дроби», «приведение рациональной дроби к заданному знаменателю», «сокращение рациональной дроби»; формирование понятий «сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями», «сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями», «представление рациональной дроби в виде суммы дробей», «умножение рациональных дробей», «возведение рациональной дроби в степень», «деление рациональных дробей», «преобразование рациональных выражений». 2. Познавательные: формирование УД: подведение под понятие, выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию, самостоятельное формулирование целей, выбор наиболее эффективных способов решения задач; 3. Развивающие: формирование грамотной устной и письменной математической речи; дальнейшее (объяснительной, экстраполяционной). формирование обобщающей, функций математического систематизирующей, языка эвристической, 6 II. Математический анализ главы «Рациональные дроби» В данной главе базисным материалом является: а) изучение основного свойства рациональной дроби; б) изучение арифметических операций над рациональными дробями. Поэтому нужно выделить следующие математические факты и довести их до уровня понимания и переноса в новые учебные ситуации: 1. Формирование алгоритма нахождения области допустимых значений переменной рационального выражения. 2. Применение основного свойства дроби для приведения рациональных дробей к заданному знаменателю и сокращения рациональных дробей. 3. Формирование алгоритмов сложения (вычитания), умножения, возведения в степень, деления рациональных дробей. Все понятия в главе вводятся конкретно-индуктивным методом. Большой акцент учитель должен сделать на функциональный аспект при изучении понятий данной темы. Учащимся нужно чаще задавать вопрос «Какие значения может принимать переменная х в выражении?», а также его переформулировать «Найдите область допустимых значений переменной для данного выражения». 7 III. Логический анализ главы «Рациональные дроби» Глава «Рациональные дроби» в учебниках А. Г. Мордковича, Ю.Н. Макарычева, Г.В. Дорофеева структурирована практически одинаково. С этой темы начинается курс алгебры 8 класса. Во всех этих учебниках первые параграфы главы посвящены основным понятиям, рассмотрению основного свойства дроби, арифметическим операциям над рациональными дробями. Но есть и различия в логике изложения материала главы. В учебнике под ред. Мордковича А.Г. после преобразования рациональных выражений автор формирует у учащихся первые представления о решении рациональных уравнений, также в главу включено изучение степеней с отрицательным целым показателем. В учебнике под ред. Дорофеева Г.В. автор предлагает фактически то же самое, но в обратной последовательности: сначала идет изучение степени с целым показателем, а затем уже решение уравнений. Еще из отличий изложения материала в учебнике под ред. Дорофеева Г.В. от учебника под ред. Мордковича А.Г. – отсутствие явного определения области допустимых значений переменной и строго сформулированных алгоритмов. В учебнике под ред. Ю.Н. Макарычева (базовый уровень) после преобразования рациональных выражений в главе вводится также функция «Обратная пропорциональность» и ее график. Наиболее универсальным является изложение материала в учебнике под ред. Ю.Н. Макарычева (углубленный уровень) – глава завершается на преобразовании рациональных выражений. Проводя сравнительный анализ изложения материала главы в различных учебниках алгебры, приходим к выводу, что все авторы организуют материал индуктивно. Отметим также, что все авторы главным материалом выделяют изучение основного свойства дроби и арифметические операции над рациональными дробями. Приведем логику изложения материала главы «Рациональные дроби» по учебнику под ред. Ю.Н. Макарычева. 8 9 IV. Дидактический анализ главы «Рациональные дроби» При изучении главы имеют место следующие приемы учебной деятельности: работа с учебником; выполнение письменной работы; выполнение домашней работы; запоминание математических понятий; приемы тождественных преобразований выражений (упрощение выражений, разложение выражений на множители и др.). Выделяется два уровня изучения темы: А – уровень воспроизведения; В – уровень понимания. На уровне воспроизведения ученик знает основные понятия темы, алгоритм нахождения множества допустимых значений переменной рациональной дроби, основное свойство рациональной дроби; умеет находить значение дроби при заданном значении переменной; формулирует алгоритм сложения и вычитания рациональных дробей с одинаковыми/разными знаменателями; алгоритм умножения и деления рациональных дробей, возведение рациональной дроби в степень; приводит примеры в соответствии с определениями. На уровне понимания помимо знаний и умений уровня А добавляется умение решать рациональные уравнения; упрощать выражения, применяя формулы сокращенного умножения; доказывать тождества; развернуто обосновывать суждения; подбирать аргументы; формулировать выводы; приводить доказательства, примеры. В соответствии с уровнями составляются варианты различной сложности. Уровень А Уровень В На уровне воспроизведения должно быть сформировано такое качество как оперативность знаний, а на уровне понимания – осознанность и частично гибкость. 10
