Цепочки событий ШКОЛКОВО Нашли ошибку? Интенсив по теории вероятностей от «Школково» Конспект вебинара №2 1 Цепочки событий №2 Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежат 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется. Ответ 0,55 Решение 1 Изобразим все возможные последовательности событий с помощью дерева. пристрелянный 0,3 + 0,8 непристрелянный 0,7 − 0,2 + 0,3 2 3 0,7 4 %ac10e711481f55f6f4a1e4aaf9616f95% 1 − Всего возможны четыре элементарных исхода: 1. Джон схватил пристрелянный револьвер и попал; 2. Джон схватил пристрелянный револьвер и не попал; 3. Джон схватил непристрелянный револьвер и попал; 4. Джон схватил непристрелянный револьвер и не попал. Нам нужно найти вероятность события, что Джон промахнется, оно содержит элементарные исходы 2 и 4. Из 10 револьверов 3 пристрелянные, значит, Джон схватит пристрелянный револьвер с вероятностью 0,3, а непристрелянный — с вероятностью 0,7. Найдем вероятность исхода 2. Она равна произведению вероятностей на всех стрелках на пути к исходу 2, то есть P (2) = 0,3 · 0,2 = 0,06. По аналогичным соображениям вероятность исхода 4 равна P (4) = 0,7 · 0,7 = 0,49. Тогда вероятность события, что Джон промахнется, равна сумме вероятностей элементарных исходов, составляющих это событие: P (−) = P (2) + P (4) = 0,06 + 0,49 = 0,55. 1 Цепочки событий ШКОЛКОВО Нашли ошибку? №1 Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 40% этих стекол, вторая — 60%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Ответ 0,042 Решение Нарисуем дерево, как в предыдущей задаче. фабрика 1 0,4 + 0,97 1 фабрика 2 0,6 − 0,03 + 0,95 2 3 − 0,05 4 Нас интересуют исходы 2 и 4, когда стекло бракованное. Мы уже знаем, что вдоль цепочки событий вероятности можно умножать. Вероятность исхода 2 равна P (2) = 0,4 · 0,03 = 0,012. Вероятность исхода 4 равна P (4) = 0,6 · 0,05 = 0,03. %ac10e711481f55f6f4a1e4aaf9616f95% Тогда вероятность того, что случайно купленное стекло — бракованное, равна сумме вероятностей исходов 2 и 4: P (2 ∪ 4) = P (2) + P (4) = 0,012 + 0,03 = 0,042. №3 В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры? Ответ 0,22 Решение Из всех возможных элементарных исходов нам подходят два: • сначала взяли синий (b), затем красный (r) : (b; r) • сначала взяли красный (r), затем синий (b) : (r; b) 11 , так как мы выбираем флома25 6 стеры равновероятно. Вероятность взять красный при условии, что один синий уже взят, равна , потому что 24 из оставшихся 24 фломастеров 6 красных. Тогда вероятность первой цепочки равна Всего фломастеров 25. Вероятность первым взять синий фломастер равна P (b; r) = 11 6 · = 0,11. 25 24 6 Вероятность первым взять красный равна . Вероятность взять синий при условии, что один красный уже 25 11 взят, равна , потому что из оставшихся 24 фломастеров 11 синих. 24 2 Цепочки событий ШКОЛКОВО Нашли ошибку? Тогда вероятность второй цепочки равна P (r; b) = 6 11 · = 0,11. 25 24 Складывая вероятности этих элементарных исходов, получаем вероятность 0,22 того, что синий и красный фломастеры взяты в произвольном порядке. №4 Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть 7 разных принцесс из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придется купить еще одно или два шоколадных яйца? Ответ 0,51 Решение Нарисуем дерево: старая 0,7 новая 0,3 1 новая 0,3 старая 0,7 2 3 Если Маше пришлось купить всего еще одно яйцо, значит, в нем оказалась одна из трех принцесс, которых у Маши еще нет. Вероятность такого события равна 3 = 0,3. 10 %ac10e711481f55f6f4a1e4aaf9616f95% p1 = Если же Маше пришлось купить два яйца, значит, в первом ей не повезло — досталась одна из семи принцесс, которые у нее уже есть, а во втором оказалась одна из трех, которых у Маши нет. Вероятность такого события равна 7 3 p2 = · = 0,21. 10 10 События 1 и 2 несовместные, поэтому, сложив, получим искомую вероятность: p = p1 + p2 = 0,3 + 0,21 = 0,51. Решение через противоположное событие Найдем вероятность того, что в обоих шоколадных яйцах Маше попадутся старые принцессы. Вероятность такого события равна p3 = 0,7 · 0,7 = 0,49. Таким образом, вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придется купить еще одно или два шоколадных яйца, равна p = 1 − 0,49 = 0,51. №5 Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. 3 Цепочки событий ШКОЛКОВО Нашли ошибку? Ответ 0,0545 Решение Нарисуем дерево, как в предыдущей задаче. болен 0,05 + 0,9 не болен 0,95 − 0,1 + 0,01 2 3 1 − 0,99 4 Вероятность того, что пациент на самом деле болеет гепатитом (вероятность этого 0,05) и при этом тест будет положительный (вероятность этого 0,9), равна p1 = 0,05 · 0,9 = 0,045 Вероятность того, что пациент на самом деле не болеет гепатитом (вероятность этого 0,95) и при этом тест будет положительный (вероятность этого 0,01), равна p3 = 0,95 · 0,01 = 0,0095 Тогда суммарная вероятность положительного результата равна %ac10e711481f55f6f4a1e4aaf9616f95% p = p1 + p3 = 0,045 + 0,0095 = 0,0545 №6 Артем гуляет по парку. Он выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он выйдет к пруду или фонтану. Усадьба Детская площадка S A B Кафе Пруд C Сад камней D Фонтан Памятник Ответ 0,3125 4 Цепочки событий ШКОЛКОВО Нашли ошибку? Решение Первый перекресток на пути из точки S — точка A. По условию варианты выбора направления на перекрест1 ках равновероятны. В точке A есть 4 варианта, куда пойти, каждому варианту соответствует вероятность . 4 1 Тогда вероятность оказаться в точке B равна . Из точки B также ведут 4 пути, причем 2 из них ведут к 4 пруду, а остальные ведут к кафе или к детской площадке. Итого, из точки B невозможно попасть к фонтану, 2 1 а вероятность попасть к пруду равна = . Получаем, что вероятность попасть в одну из двух верхних точек 4 2 пруда равна 1 1 1 · = 4 2 8 1 1 Вероятность попасть в точку C из точки A равна . Далее с вероятностью Артем попадает к пруду, то 4 2 есть вероятность попасть в нижнюю точку пруда равна 1 1 1 · = 4 2 8 1 1 Вероятность попасть из точки C в точку D равна . Затем из точки D с вероятностью Артем попадет к 2 2 фонтану. Итого, к фонтану он попадет с вероятностью 1 1 1 1 · · = 4 2 2 16 Суммируя, получаем вероятность попасть в одну из точек пруда либо к фонтану: 1 5 1 1 + + = = 0,3125 8 8 16 16 %ac10e711481f55f6f4a1e4aaf9616f95% №7 При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем — 0,9. Какое минимальное количество выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,96? Ответ 3 Решение Если вероятность уничтожения цели будет не менее 0,96, то вероятность промаха менее 0,04. Тогда найдем, сколько выстрелов нужно сделать, чтобы вероятность промаха была менее 0,04. В этом случае нужно смотреть только цепочку из всех промахов. Вероятность промахнуться один раз равна 0,7 > 0,04. Вероятность промахнуться 2 раза подряд равна 0,7 · 0,1 = 0,07 > 0,04 Вероятность промахнуться 3 раза подряд равна 0,07 · 0,1 = 0,007 < 0,04 Значит, вероятность попасть хотя бы раз за 3 выстрела равна p = 1 − 0,007 = 0,993 > 0,96 Тогда нужно сделать не менее трех выстрелов. 5 Цепочки событий ШКОЛКОВО Нашли ошибку? №9 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. Из первого хозяйства 40% яиц — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. Ответ 0,75 Решение Нарисуем дерево: хоз. 1 x 0,4 Высш. хоз. 2 1−x 0,6 0,2 0,8 Не высш. Высш. Не высш. Пусть x — доля яиц, закупаемых у первого домашнего хозяйства. При этом мы знаем, что всего у агрофирмы доля яиц высшей категории равна 35%. Можем составить уравнение и найти x : 0,4x + 0,2(1 − x) = 0,35 0,4x + 0,2 − 0,2x = 0,35 0,2x = 0,15 %ac10e711481f55f6f4a1e4aaf9616f95% x = 0,75 №8 На фабрике керамической посуды 20% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефекта. Ответ округлите до сотых. Ответ 0,93 Решение Нарисуем дерево: деф. 0,2 нет деф. 0,8 В магазин 0,7 0,3 В помойку В магазин Доля поступивших в магазин тарелок равна 0,8 + 0,2 · 0,3 = 0,86. При этом доля тарелок без дефекта в магазине равна 0,8. Значит, вероятность того, что купленная в магазине 6 Цепочки событий ШКОЛКОВО тарелка будет без дефекта, равна p= Нашли ошибку? 0,8 40 = = 0,930... ≈ 0,93 0,86 43 Доля тарелок не всегда может быть понятна, поэтому иногда можно применять следующий лайфхак. Мы можем взять контрольную партию из 1000 тарелок и посмотреть, как они распределятся: 1000 деф. 200 нет деф. 800 В магазин 140 В помойку 60 В магазин %ac10e711481f55f6f4a1e4aaf9616f95% Таким образом, в магазине оказалось всего 860 тарелок, при этом 800 из них не имеют дефекта. Тогда искомая вероятность равна 800 40 p= = ≈ 0,93. 860 43 7
