логарифмическая функция

«Я старался,
насколько мог и
умел, отделаться от
трудности и скуки
вычислений,
докучность которых
обычно отпугивает
весьма многих от
изучения
математики»
Джон Непер
(Шотландия, 17 век)
Логарифмом положительно числа b по
положительному и отличному от 1
основанию а называют показатель
степени, в которую нужно возвести число
а, чтобы получить число b.
log b  c, a  0, b  0 a  1
a
ac  b
log a a  c
c
a
loga c
c
log a 1  0
Устная работа
Вычислить:
log981= 2
log416= 2
log91=
0
log99= 1
log 0.30.0081= 4
2
log2 18
 18
3
5
log 5
8  125
log9 25
2
log1 16
0.5
4
4
Задание:
остроумная алгебраическая головоломка,
которой развлекались участники
одного съезда физиков в Одессе. Некоторым
учащимся на дом предлагалось творческое
задание: число 3, целое и положительное,
изобразить с помощью трех двоек и
математических символов.
3   log 2 log 2
5   log 2 log 2
2
2
Что представляют собой
представленные выражения?
Решите показательные уравнения с помощью
выражения переменной х через переменную у
Логарифмическая функция
а – заданное
число, а>0,
а≠1
Холодные числа, внешне сухие формулы
математики полны внутренней красоты и
жара сконцентрированной в них мысли.
А.Д.Александров
Логарифмическая
функция
Использование свойств
логарифмической функции для
выполнения заданий с логарифмами
Сравнивать
выражения
Выполнять
преобразования
выражений
Находить
значения
выражений
Выполнять
логарифмирование и
потенцирование
выражений
Решать
логарифмические
уравнения
Строить графики
логарифмических
функций
Решать
логарифмические
неравенства
Определение логарифмической
функции
• Функцию, заданную формулой
y = loga x
(где а > 0 и а ≠ 1), называют
логарифмической функцией с
основанием а.
Из указанных функций запишите
логарифмическую:
Построить графики функций:
y = log x
y = log x
2
1/2
Построим график функции у=log2x
у
• у=log2x
х
3
у
2
8
4
2
1
1/2
1/4
1/8
log28=3
log24=2
log22=1
1
0
1
log21=0
log21/2=-1
3
4
-1
log21/4=-2
-2
log21/8=-3
2
Вычислите по графику
log23
х8
График функции y = 2x
y
yx
y  log x
2
y  2x
1
x
Построим график функции у=log1/2x
• у=log1/2x
х
у
8
-3
4
-2
2
-1
1
0
1/2 1
1/4 2
1/8
3
1 x
График функции y  ( )
2
y  log0. 5x
y
yx
1 x
y( )
2
1
x
y  log0. 5x
Графики логарифмической функции
в общем виде
4
2
y  log a x, a  1
-5
5
y  log a x, 0  a  1
-2
-4
Свойства функции:
y = logа x
a>1
1. Область определения: (0; +∞);
2. Множество значений: (-∞, +∞);
y
0 1
x
3. Возрастает на
промежутке (0; +∞ );
4. Не является ни четной,
ни нечетной;
5. Не ограничена сверху, не
ограничена снизу
(неограниченная);
6. Не имеет ни
наибольшего, ни
наименьшего значений;
7. Непрерывна;
8. Выпукла вверх;
9. у>0 при х>1, у<0 при
0<х<1.
Свойства функции:
y = logа x
y
0<a<1
0 1
x
1. Область определения:
(0; +∞);
2. Множество значений:
(-∞, +∞);
3. Убывает на (0; +∞ );
4. Не является ни четной, ни
нечетной;
5. Не ограничена сверху, не
ограничена
снизу
(неограниченная);
6. Нет ни наибольшего, ни
наименьшего значений;
7. Непрерывна;
1. Выпукла вниз;
• у<0 при х>1, у>0 при 0<х<1.
Основные свойства логарифмической функции
№
a>1
1
Область определения х= (0, + ∞)
2
Множество значений у= (- ∞, + ∞);
3
0<a<1
возрастает на (0, + ∞)
убывает на (0, + ∞)
4
не ограничена сверху, не ограничена снизу
5
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значений
6
непрерывна
7
не является ни чётной, ни нечётной;
8
выпукла вверх
выпукла вниз
Укажите какие из данных функции убывающие,
а какие возрастающие:
• у=log4x;
• у=log0,6x;
• у=log1/3x;
• у=log12x;
• у=log8/7x;
• у=lnx;
• у=lgx;
Определите, какие из перечисленных ниже
функций являются возрастающими, а какие
убывающими
• 1) y = log 5 x;
• 2) y = log¼ x;
• 3) y = log0,2 x;
• 4) y = log1,3 (2x+5);
• 5) y = ln (x+2)
• 6) y = lg (8x-27)
Найдите график функции:
y = log0,2 x
Используя свойства логарифмической функции,
сравнить:
1. log 5 7 и log 5 1
2. log 2 0,5 и log 2 0,09
3. log 0,5 20 и log0,59
4. log¼ 5 и log¼ 3
5. log¼ 0,1 и log¼ 4
6. lg 13 и lg 8
7. ln 0,6 и ln 2
Проверка:
1. log 5 7 > log 5 1
2. log 2 0,5 > log 2 0,09
3. log 0,5 20<log0,59
4. log¼ 5 < log¼ 3
5. log¼ 0,1 > log¼ 4
6. lg 13>lg 8
7. ln 0,6 < ln 2
Логарифмическая комедия
математический софизм
«2>3»
1 1
  очевидно
4 8
2
1  1
   
 2  2
2
3
1
1


lg   lg 
 2
 2
3
1
1
2  lg    3  lg  
2
2
2  3  неверно!!!
1. Найдите область определения
функции:
1) у = log0,3 х
Ответы
(0; +∞)
2) у = log2 (х-1)
(1;+∞)
3) у = log3 (3-х)
(-∞; 3)
2. При каких значениях х имеет
смысл функция:
1) у = log3
2
х
х≠0
2) у = log5 (-х)
x<0
3) у = lg │х│
х≠0
3. Какие из функций являются
возрастающими?
а) у =log5 х
б)
в) у = logπ х
г)
4. Укажите рисунок, на котором
изображен график функции
а
б
в
г
5. Какие точки принадлежат
графику функции
А
В
С(5;-1)
6. Сравните числа:
7. Установите знак выражения:
<0
<0
Преобразование графиков функции:
y=log2x+2
y
1
1 2
3 4 5 6 7 8 9 10
x
Преобразование графиков функции:
y=log2(x+2)
y
1
1 2
3 4 5 6 7 8 9 10
x
Преобразование графиков функций:
y=log0.5(x+3)
y=-log0.5(x+3)
y
1
1 2
3 4 5 6 7 8 9 10
x
Постройте графики функций у = log3 (x-3) и
у = log3 x+3
Постройте графики функций:
y  log 3 x
x
1/9
1/3
1
3
9
y = log3 x
37
«Верите ли вы, что…»
1. Показательная и логарифмическая функции
взаимно обратные функции
2. Графики показательной у=ах и
логарифмической функций симметричны
относительно прямой у = х.
3. Область определения логарифмической
функции
– вся числовая прямая
4. Область значений логарифмической функции
промежуток (0, +∞)
5. Монотонность логарифмической функции
зависит от основания логарифма
«Верите ли вы, что…»
6. Не каждый график логарифмической функции
проходит через точку с координатами (1; 0)
7. Логарифмическая кривая это та же экспонента,
только по-другому расположенная в
координатной плоскости.
8. Выпуклость логарифмической функции не
зависит от основания логарифма.
9. Логарифмическая функция не является ни
чётной, ни нечётной.
10.Логарифмическая функция имеет наибольшее
значение и не имеет наименьшего значения при
а > 1 и наоборот при 0 < a < 1
Известно завещание знаменитого американского
государственного деятеля Бенджамина Франклина. Вот
отрывок из него: «Препоручаю 1000 фунтов стерлингов
бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то
должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут
давать их с процентами, по 5 на сто в год, в заем молодым
ремесленникам. Сумма эта через сто лет возвысится до 131000
фунтов стерлингов. Я желаю тогда 100000 фунтов были
употреблены на постройку общественных зданий, остальные
же 31000 фунтов отданы в проценты на 100 лет…». Оставляя
всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы.
Математический расчет это подтверждает
х  10001,05
100
Вычисления с помощью логарифма
х  10001,05
100
18.04.2024
lg х  lg( 1000 1,05 )
100
lg х  lg 1000  lg 1,05
lg х  3  100 lg 1,05
100
lg х  5,1
lg х  3  100  0,021
x  131000
42
Подведение итога урока.
• Что нового вы узнали.
• Какие затруднения у вас были.
• На какой балл вы оцените усвоение нового
материала по пятибалльной шкале.
• Физики шутят: “ Математика – царица всех
наук, но служанка физики”. Так пошутить
могут и музыканты, и биологи, и психологи
и др. А это еще раз подтверждает
правильность слов Карла Маркса
“ Наука только тогда достигает
совершенства, когда ей удается
пользоваться математикой”.
Значимость логарифмов
«С точки зрения вычислительной
практики, изобретение логарифмов по
важности можно смело поставить рядом с
другим, более древним великим
изобретением индусов – нашей десятичной
системой нумерации.»
Успенский Я. В.,
русский математик
Найти наименьшее и набольшее значении
функции на заданном промежутке:
y=lgx x  [1;1000]
y
x
Постройте схематично графики функций
у= log3х и у= log5х