Введение
Гладкая функция, или непрерывно дифференцируемая функция, — функция,
имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень
часто
под гладкими функциями
подразумевают
непрерывные производные всех порядков.
функции,
имеющие
Параграф 1. Необходимые понятия, термины, обозначения и факты
Гладкая функция, или непрерывно дифференцируемая функция, – функция,
имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень
часто
под
гладкими
функциями
подразумевают
функции,
имеющие
непрерывные производные всех порядков.
Функциональные свойства – способность выполнять основные функции.
Равномерная сходимость
Пусть 𝑋 – произвольное множество, 𝑌 = (𝑌, 𝑑) – метрическое
пространство, 𝑓𝑛: 𝑋 → 𝑌, 𝑛 = 1,2,… – последовательность функций.
Говорят, что последовательность 𝑓𝑛 равномерно сходится к функции 𝑓: 𝑋
→ 𝑌, если для любого
существует такой номер 𝑁𝜀, что для всех
номеров 𝑛 > 𝑁𝜀 и всех точек 𝑥 𝑋 выполняется неравенство:
|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| <
Теорема Вейерштрасса – Стоуна – утверждение о возможности
представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте
пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций
особого класса – алгебры Стоуна. Например, пусть 𝑓 – непрерывная функция,
определенная на отрезке [𝑎, 𝑏]. Тогда для любого > 0 существует такой
многочлен 𝑝 с вещественными коэффициентами, что для всех 𝑥 из [𝑎, 𝑏]
одновременно выполнено условие |𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥)| < . Если 𝑓(𝑥) непрерывна
на круге (периодична), то утверждение верно и для тригонометрических
многочленов. Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но
тогда коэффициенты полинома 𝑝 следует считать комплексными числами.
Норма
–
функционал,
заданный
на
векторном
пространстве
и
обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.
Нормированное векторное пространство – векторное пространство с
заданной на нем нормой. Если выражаться более точно, то для векторного
пространства 𝑋 над полем 𝐾 задано отображение из
𝑋 в 𝐾, такое что
выполняется следующие свойства для любых 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 и 𝜆 ∈ 𝐾:
• ‖𝑥‖ ≥ 0, ‖𝑥‖ = 0 ⇒ 𝑥 = 0 (положительная
определенность);
• ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ (неравенство треугольника);
‖𝜆𝑥‖ = ‖𝜆‖ ∙ ‖𝑥‖ (однородность).
Банахово пространство – нормированное векторное пространство, полное
по метрике, порождённой нормой.
Плотное множество – подмножество пространства, точками которого
можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего
пространства. Формально говоря, 𝐴 плотно в 𝑋, если всякая окрестность любой
точки 𝑥 из 𝑋 содержит элемент из 𝐴.
1.7 Формула Тейлора.
Определение.
Многочленом Тейлора называется степени 𝑛 функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑐
называется многочлен вида:
𝑃𝑛
𝑛
1!
2!
𝑛!
Свойство многочлена Тейлора.
В точке 𝑐 совпадают значения функции и её многочлена Тейлора, а также
значения их первых 𝑛 производных, то есть:
𝑃𝑛(𝑐) = 𝑓(𝑐),𝑃𝑛′(𝑐) = 𝑓′(𝑐), … , 𝑃𝑛(𝑛)(𝑐) = 𝑓(𝑛)(𝑐).
Теорема (формула Тейлора).
Пусть функция 𝑓(𝑥) определена на интервале (𝑎, 𝑏) и имеет в точке 𝑐 ∈
(𝑎, 𝑏) производные до порядка 𝑛 включительно. Тогда ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)
справедлива формула Тейлора 𝑛-ого порядка:
𝑓
𝑛!𝑟𝑛
где 𝑟𝑛 – остаточный член формулы Тейлора.
Формы записи остаточного члена:
1) Форма Пеано
𝑟𝑛 = 𝑜((𝑥 − 𝑐)𝑛),𝑥 → 𝑐
2) Форма Лагранжа
𝑓
𝑟𝑛 = (𝑛 +1 1)!
(𝑛+1)(𝑐 + 𝜃(𝑥 − 𝑐))(𝑥 − 𝑐)𝑛+1, 0 < 𝜃 < 1
3) Интегральная форма
𝑥
𝑟𝑛
𝑑𝑡
𝑎
Формулу Тейлора можно переписать в виде:
𝑓(𝑥) = 𝑃𝑛(𝑥) + 𝑟𝑛 Отбросив
остаточный член, получим:
𝑓(𝑥) ≈ 𝑃𝑛(𝑥)
Неравенство Маркова
Пусть неотрицательная случайная величина 𝑋: Ω → ℝ+определена на
вероятностном пространстве (Ω, ℱ, ℙ), и её математическое ожидание 𝔼𝑋
конечно.
Тогда:
𝔼𝑋
ℙ(𝑋 ≥ 𝑎) ≤
𝑎
где 𝑎 > 0.
Интерполяционный многочлен Лагранжа – многочлен минимальной
степени, принимающий данные значения в данном наборе точек.
Например, для 𝑛 + 1 пар чисел (𝑥0, 𝑦0), (𝑥1, 𝑦1), … , (𝑥𝑛, 𝑦𝑛), где все 𝑥𝑗
различны, существует единственный многочлен 𝐿(𝑥) степени не более 𝑛,
для которого 𝐿(𝑥𝑗) = 𝑦𝑗. В простейшем случае (𝑛 = 1) – это линейный
многочлен, график которого – прямая, проходящая через две заданные
точки.
Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:
𝑛
𝐿(𝑥) = ∑ 𝑦𝑖𝑙𝑖(𝑥)
𝑖=0
где базисные полиномы определяются по формуле:
𝑛
𝑥 − 𝑥𝑗
𝑙𝑖(𝑥) =
⋯
∏
∙
𝑥 − 𝑥0
𝑥 − 𝑥𝑖−1
𝑥 − 𝑥𝑖+1
𝑥 − 𝑥𝑛
=
⋯
𝑥𝑖 − 𝑥𝑗
𝑥𝑖 − 𝑥0
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1
𝑥𝑖 − 𝑥𝑛
𝑗=0,𝑗≠𝑖
𝑙𝑖(𝑥) обладают следующими свойствами:
Являются многочленами степени 𝑛;
• 𝑙𝑖(𝑥𝑖) = 1;
• 𝑙𝑖(𝑥𝑗) = 0 при 𝑗 ≠ 𝑖
Отсюда следует, что 𝐿(𝑥), как линейная комбинация 𝑙𝑖(𝑥), может иметь
степень не больше 𝑛, и 𝐿(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖.
В математике под узлами Чебышёва понимают корни многочлена Чебышёва
первого
рода.
Они
часто
используются
в
качестве
узлов
при
полиномиальной интерполяции, так как позволяют снизить влияние
феномена Рунге. Например, для натурального числа 𝑛 узлы Чебышёва на
отрезке [−1,1] задаются формулой:
2𝑘−1
𝑥𝑘 = cos (
2𝑛 𝜋), 𝑘 = 1, … , 𝑛.
Эти корни многочлена Чебышёва первого рода степени 𝑛. Для получения
узлов на произвольном отрезке [𝑎, 𝑏] можно применить аффинное
преобразование отрезков:
𝑥𝑘 = 21 (𝑎 + 𝑏) + (𝑏 − 𝑎)cos (2
𝑘2𝑛−1 𝜋), 𝑘 = 1, … , 𝑛.
Параграф 2. Основные функциональные свойства точечных гладких
функций
Рассмотрим основные функциональные свойства пространства 𝐶{𝑚; 𝑡0},
наиболее интересные с точки зрения функционального анализа.
2.1 Справедлива следующая теорема 1 (аналог теоремы Вейерштрасса). Для
любой функции 𝜑 ∈ 𝐶{𝑚; 𝑡0} и для всякого > 0 найдется такой
алгебраический полином 𝑄(𝑡), что имеет место неравенство: ‖𝜑 − 𝑄‖𝐶{𝑚;0}
<
(1)
Доказательство. Так как 𝑇𝜑 = Ф ∈ 𝐶, то по теореме Вейерштрасса для
любого > 0 существует алгебраический полином 𝐺(𝑡) такой, что ‖Ф
− 𝐺‖𝐶 < . Следовательно, полином
𝑄(𝑡) = 𝑡𝑚𝐺
Является искомым. Действительно, в силу
‖𝜑‖𝐶{𝑚;𝑡0} ≡ ‖𝑇𝜑‖𝐶
где оператор (назовем его «характеристическим» оператором класса
𝐶{𝑚; 𝑡0}) 𝑇𝜑 ≡ (𝑇𝑚𝜑)(𝑡) = Ф(𝑡) ставит в соответствие функциям 𝜑 ∈ 𝐶{𝑚;
𝑡0} функции Ф ∈ 𝐶, причем Ф(𝑡0) ≡ lim Ф(𝑡). Ясно, что функция 𝜑(𝑡)
𝑡→𝑡0
принадлежит классу 𝐶{𝑚; 𝑡0} тогда и только тогда, когда она имеет вид
𝜑
𝑖,
(4)
где Ф = 𝑇𝜑 ∈ 𝐶, 𝑎𝑖 = 𝜑{𝑖} (𝑡0)⁄𝑖! (𝑖 = 0, 𝑚 − 1). В силу (4) ясно также, что по
норме (3) пространство 𝐶{𝑚; 𝑡0} – полное. В силу (3) и (4) имеем
‖𝜑 − 𝑄‖𝐶{𝑚;0} = ‖𝑡𝑚[Ф(𝑡) − 𝐺(𝑡)]‖𝐶{𝑚;0} = ‖Ф − 𝐺‖𝐶 <
(5)
Теорема доказана.
Следствие. Пространство 𝐶{𝑚; 𝑡0} в метрике порожденной нормой (3),
сепарабельно.
Имеет место
Лемма 1. Банахово пространство 𝐶{𝑚; 𝑡0} с нормой (3) нормально вложено в
пространства 𝐶{𝑚 − 𝑗; 0} (𝑗 = 1, 𝑚).
Доказательство. Покажем, что 𝐶{𝑚; 0} вложено в 𝐶{𝑚 − 𝑗; 0} (𝑗 = 1, 𝑚) с
константой вложения, не превышающей единицы. Имеем
𝑚−𝑗−1 ‖𝜑‖𝐶{𝑚−𝑗;0}
≡ max |(𝑇𝑚−𝑗𝜑)(𝑡)| +
∑ |𝜑{𝑖}(0)| ≤
−1≤𝑡≤1
𝑖=0
𝑚−1
≤ max [|(𝑇𝜑)(𝑡)| +
𝑚−𝑗−1
∑ |𝜑{𝑖}(0) 𝑡𝑖−𝑚+𝑗⁄𝑖!|] +
∑ |𝜑{𝑖}(0)| ≤
𝑡
𝑖=𝑚−𝑗
≤ ‖𝑇𝜑‖𝐶
𝑖=0
‖𝜑‖𝐶{𝑚;0} (𝑗 = 1, 𝑚).
(6)
Кроме того, в силу теоремы 1 множество 𝐻 алгебраических полиномов
плотно в пространстве 𝐶{𝑚 − 𝑗; 0}, следовательно, 𝐶{𝑚; 0} ⊃ 𝐻 также плотно
в 𝐶{𝑚 − 𝑗; 0} (𝑗 = 1, 𝑚). Требуемое доказано.
Обозначим через 𝐶(𝑚) = 𝐶(𝑚)[−1,1] банахово пространство 𝑚 раз
непрерывно дифференцируемых на [−1,1] функций с нормой ‖𝜑‖𝐶
‖𝜑(𝑖)‖𝐶.
(7)
Лемма 2. Пространство 𝐶(𝑚) в норме (7) нормально вложено в банахово
пространство 𝐶{𝑚; 0}.
Доказательство. Пусть 𝜑 ∈ 𝐶(𝑚). С помощью формулы Тейлора находим
|
𝑚!
𝐶
Тогда из соотношений (3), (8) и (7) следует, что
‖𝜑‖𝐶{𝑚;0} ≤ ‖𝜑(𝑚)‖𝐶 + ∑𝑚𝑖=−01‖𝜑(𝑖)‖𝐶 ≡ ‖𝜑‖𝐶(𝑚).
(9)
Из неравенства (9) и теоремы 1 следует требуемое утверждение. Пусть
П = П𝑛: 𝐶{𝑚; 0} → 𝐻𝑛 – линейный оператор, отображающий
пространство 𝐶{𝑚; 0} в подпространство 𝐻𝑛 ⊂ 𝐶{𝑚; 0} алгебраических
полиномов степени 𝑛. Тогда справедлив следующий факт:
Лемма 3. Пусть 𝑚 = 0,1,2, … – произвольное фиксированное целое число.
Тогда для любых 𝑛 = 1,2,… верна оценка (здесь и далее 𝑒𝑖 (𝑖 = 1,2,… ) –
вполне определенные положительные константы, значение которых не
зависит от 𝑛).
‖П‖𝐶{𝑚;0} = ‖П‖𝐶{𝑚;0}→𝐶{𝑚;0} ≤ 𝑒1𝑛2𝑚‖П‖𝐶.
(10)
Доказательство. Используя соотношения (9), (7), неравенство Маркова и
лемму 1 при 𝑗 = 𝑚, последовательно находим
𝑚
𝑚
‖П𝜑‖𝐶{𝑚;0} ≤ ∑‖(П𝜑)(𝑖)‖𝐶 ≤ ∑ 𝑛2𝑖‖П𝜑‖𝐶 ≤ 𝑒1𝑛2𝑚‖П‖𝐶‖𝜑‖𝐶 ≤
𝑖=0
𝑖=0
≤ 𝑒1𝑛2𝑚‖П‖𝐶‖𝜑‖𝐶{𝑚;0}.
(11)
Из условия (11) следует неравенство (10).
Следствие. Пусть П – интерполяционный полиноминальный оператор
Лагранжа по узлам Чебышёва первого (или второго) рода. В этом случае
имеет место оценка
‖П‖𝐶{𝑚;0} ≤ 𝑒2𝑛2𝑚 ln 𝑛 (𝑛 = 2,3, … ).
(12)
2.2 Критерий компактности в пространстве 𝐶{𝑚; 0} устанавливает следующее
утверждение.
Теорема 2. Множество 𝑀 ⊂ 𝐶{𝑚; 0} относительно компактно в пространстве
𝐶{𝑚; 0} тогда и только тогда, когда выполнены условия:
(i) Множество 𝑀 ограничено;
(ii) Семейство 𝑇(𝑀) непрерывных на [−1,1] функций равностепенно
непрерывно.
Примечание 1. При 𝑚 = 0 имеем
𝐶{0,0} ≡ 𝐶[−1,1], 𝑇(𝑀) = 𝑀.
(13)
Следовательно, полученный выше критерий в случае 𝑚 = 0 совпадает с
критерием компактности в пространстве 𝐶[−1,1].
Пример 1. Рассмотрим оператор Г𝑚:
𝐶(1) →
𝐶{𝑚;
0}, задаваемый
соотношением
𝑚−1
Г𝑚𝜑 ≡ [𝑎(𝑡) − ∑ 𝑎{𝑖}(0) 𝑡𝑖⁄𝑖!] 𝜑(𝑡) (𝜑 ∈ 𝐶(1))
(14)
𝑖=0
где 𝑎 ∈ 𝐶{𝑚; 0} – некоторая заданная функция.
Очевидно, что Г𝑚 является линейным ограниченным оператором из 𝐶(1) в
𝐶{𝑚; 0}, то есть Г𝑚 ∈ 𝑍(𝐶(1), 𝐶{𝑚; 0}), причем
‖Г𝑚‖𝐶(1)→𝐶{𝑚;0} ≤ ‖𝑎‖𝐶{𝑚;0}
(15)
На основании теоремы 2 можно показать, что для оператора Г𝑚 имеет место
быть более сильное утверждение. А именно: оператор Г𝑚: 𝐶(1) → 𝐶{𝑚; 0}
вполне непрерывен.
Действительно, пусть 𝐹 – некоторое ограниченное множество в пространстве
𝐶(1), то есть ‖𝜑‖𝐶(1) ≤ 𝑒3 (𝜑 ∈ 𝐹). Ясно, что множество Г𝑚(𝐹) ограничено в
пространстве 𝐶{𝑚; 0}. Проверим выполнение условия (ii) теоремы 2 для
семейства 𝑇𝑜Г𝑚(𝐹) непрерывных на [−1,1] функций. Для любого > 0 и
всякого элемента 𝜑 ∈ 𝐹 имеем
|(𝑇Г𝑚𝜑)(𝑡1) − (𝑇Г𝑚𝜑)(𝑡2)| = |(𝑇𝑎)(𝑡1)𝜑(𝑡1) − (𝑇𝑎)(𝑡2)𝜑(𝑡2)| ≤≤ |𝜑(𝑡1)| ∙
|(𝑇𝑎)(𝑡1) − (𝑇𝑎)(𝑡2)| + |(𝑇𝑎)(𝑡2)| ∙ |𝜑(𝑡1) − 𝜑(𝑡2)| ≤≤ ‖𝜑‖𝐶 ∙
‖𝜑′‖𝐶 ∙ |𝑡1 − 𝑡2| ≤ 𝑒3 ∙ ,
+ ‖𝑎‖𝐶{𝑚;0} ∙
(16)
Как только |𝑡
.
Таким образом, множество Г𝑚(𝐹) относительно компактно в пространстве
𝐶{𝑚; 0}; следовательно, оператор Г𝑚 непрерывен.
Так же, можно установить полную непрерывность оператора другим
способом: Г1: 𝐶(1) → 𝐶{1; 0}, затем она используется при доказательстве
нётеровости некоторого дифференциального оператора.
Заключение
В данном реферате была доказана теорема теорема 1 (аналог
теоремы Вейерштрасса), а также были доказаны следующие леммы:
Лемма 1. Банахово пространство 𝐶{𝑚; 𝑡0} с нормой (3) нормально
вложено в пространства 𝐶{𝑚 − 𝑗; 0} (𝑗 = 1, 𝑚).
Лемма 2. Пространство 𝐶(𝑚) в норме (7) нормально вложено в
банахово пространство 𝐶{𝑚; 0}.
Лемма 3. Пусть 𝑚 = 0,1,2, … – произвольное фиксированное целое
число. Тогда для любых 𝑛 = 1,2,… верна оценка (здесь и далее 𝑒𝑖 (𝑖 = 1,2,…
) – вполне определенные положительные константы, значение которых не
зависит от 𝑛).
Список используемой литературы
1. Габбасов, Н.С. Методы решения интегральных уравнений Фредгольма в
пространствах обобщенных функций. – Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 2006.
– 176 с.
2. Бородихин В.М. Высшая математика. Учебное пособие. – Новосибирск:
Изд-во Н ГТУ, 2006. – 196 с.
3. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. —
Москва:
Изд-во Наука, 1986. — 304 с.
4. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по
математическому анализу: Учебник для университетов и пред. вузов. —
Москва: Изд-во Высшая школа, 1999. — 656 с.
5. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для
инженеров и учащихся вузов. Москва: Изд-во Наука, 1981. — 544 с.
6. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций
полиномами. — Москва: Изд-во Наука, 1977. — 512 с.
