Реферат Построение двухфакторного эксперимента с использованием центрально-2

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Реферат
По дисциплине «Численные методы моделирования процессов
пластичного формирование»
На тему: Двухфакторный эксперимент
Выполнил: студентка группы СПФбзу-41
Проверил: доцент, к.т.н.
г. Ульяновск
1
Оглавление
Ст
Введение
3
1. История планирования эксперимента
4
2. Рототабельное планирование эксперимента
7
Заключение
12
Литература
13
2
Введение
Двухфакторный эксперимент – эксперимент, в котором два разных фактора
исследуют одновременно для определения их влияния на отклик.
Построение двухфакторного эксперимента с использованием центральнокомпозиционного рототабельного плана (ЦКРП)
Основан на изучение методики построения квадратичных моделей объектов
на основе планов второго порядка, теории композиционного планирования.
3
1.
История планирования эксперимента
Планирование эксперимента возникло в первой половине XX века из
потребности устранить или хотя бы уменьшить систематические ошибки в
сельскохозяйственных исследованиях путём рандомизации условий проведения
эксперимента. Процедура планирования оказалась направленной не только на
уменьшение дисперсии оцениваемых параметров, но также и на рандомизацию
относительно сопутствующих, спонтанно изменяющихся и неконтролируемых
переменных. В результате удалось избавиться от смещения в оценках.
С 1918 года Р. Фишер начал свою серию работ на Рочемстедской
агробиологической станции (англ.) в Англии. В 1935 году появилась его
монография «Design of Experiments», давшая название всему направлению. В
1942 году А. Кишен рассмотрел планирование эксперимента по латинским кубам,
которое явилось дальнейшим развитием теории латинских квадратов. Затем Р.
Фишер независимо опубликовал сведения об ортогональных гипер-греколатинских кубах и гипер-кубах. Вскоре после этого в 1946 году Р. Рао рассмотрел
их комбинаторные свойства. Дальнейшему развитию теории латинских квадратов
посвящены работы Х. Манна (1947—1950 годы).
Первое глубокое математическое исследование блок-схемы выполнено Р.
Боузом (англ.) в 1939 году. Вначале была разработана теория сбалансированных
неполноблочных планов (BIB-схемы). Затем Р. Бо́зе, К. Нер и Р. Рао обобщили эти
планы и разработали теорию частично сбалансированных неполноблочных планов
(РBIB-схемы). С тех пор изучению блок-схем уделяется большое внимание как со
стороны специалистов по планированию эксперимента (Ф. Йейтс, Г. Кокс, В.
Кокран (англ.), В. Федерер, К. Гульден, О. Кемптгорн и другие), так и со стороны
специалистов по комбинаторному анализу (Р. Бо́зе, Ф. Шимамото, В.
Клатсворси, С. Шрикханде (англ.), А. Гофман и др.).
Исследования Р. Фишера знаменуют начало первого этапа развития методов
планирования эксперимента. Фишер разработал метод факторного планирования.
Йейтс предложил для этого метода простую вычислительную схему. Факторное
4
планирование получило широкое распространение. Особенностью факторного
эксперимента является необходимость ставить сразу большое число опытов.
В 1945 г. Д. Финни ввел дробные реплики от факторного эксперимента. Это
позволило сократить число опытов и открыло дорогу техническим приложениям
планирования. Другая возможность сокращения необходимого числа опытов была
показана в 1946 г. Р. Плакеттом и Д. Берманом, которые ввели насыщенные
факторные планы (Метод Плакетта – Бермана).
Г. Хотеллинг в 1941 году предложил находить экстремум по
экспериментальным данным с использованием степенных разложений и градиента.
Следующим важным этапом было введение принципа последовательного шагового
экспериментирования. Этот принцип, высказанный в 1947 году М. Фридманом и Л.
Сэвиджем, позволил распространить на экспериментальное определение
экстремума — итерацию.
Чтобы построить современную теорию планирования эксперимента, не
хватало одного звена — формализации объекта исследования. Это звено появилось
в 1947 году, после создания Н. Винером теории кибернетики. Кибернетическое
понятие «черный ящик», играет в планировании важную роль.
В 1951 г. работой американских ученых Дж. Бокса и К. Уилсона начался
новый этап развития планирования эксперимента. В ней сформулирована и
доведена до практических рекомендаций идея последовательного
экспериментального определения оптимальных условий проведения процессов с
использованием оценки коэффициентов степенных разложений методом
наименьших квадратов, движение по градиенту и отыскание интерполяционного
полинома в области экстремума функции отклика (почти стационарной области).
В 1954—1955 гг. Дж. Бокс, а затем П. Юл показали, что планирование
эксперимента можно использовать при исследовании физико-химических
процессов, если априори высказаны одна или несколько возможных гипотез.
Направление получило развитие в работах Н. П. Клепикова, С. Н. Соколова и
В. В. Федорова в ядерной физике.
5
Третий этап развития теории планирования эксперимента начался в 1957 г.,
когда Бокс применил свой метод в промышленности. Этот метод стал называться
«эволюционным планированием». В 1958 году Г. Шеффе (англ.) предложил новый
метод планирования эксперимента для изучения физико-химических диаграмм
состав — свойство под названием «симплексной решетки».
6
2. Рототабельное планирование эксперимента
Более удачным, чем ортогональное планирование, является рототабельное
планирование
эксперимента,
при
котором
информационная
поверхность
приближается к сферической. Это достигается тем, что выбирая удаленные от
центра плана “звездные точки”, на осях координат, они дополняются информацией
из центра плана, равноточной во всех направлениях. Удельный вес этой информации
в общем объеме увеличивается, что достигается увеличением числа опытов в центре
плана. Таким образом, в ЦКРП число опытов в центре плана зависит от числа
учитываемых в эксперименте факторов. Это увеличивает количество опытов, но
дает возможность получать равноточную информацию. Для сокращения количества
опытов можно отказаться от постановки параллельных опытов для оценки
воспроизводимости, которая в этом случае может быть оценена по экспериментам в
центре плана.
Так же, как и в случае ортогонального плана, в качестве ядра плана может
быть использован полный 2n (для нашей лабораторной работы) или дробный 2n-p
факторный план.
Чтобы ЦКП второго порядка обладал свойствами рототабельности, значение
”звездного плеча” должно составлять:
𝛼 = 2𝑛/4
Число опытов n0 в центре плана выбирается из следующих соображений.
Выдвигается требование, чтобы информация о значении выходной переменной
оставалась неизменной (или почти неизменной) для точек внутри сферы единичного
радиуса с центром в центре плана. Иными словами, требуется, чтобы
информационный профиль рототабельного плана мало изменялся при значениях
радиуса сферы от 0 до 1. Планы, удовлетворяющие этому условию, называются
рототабельными униформ-планами. Оказывается, что униформ-план можно
получить, меняя число точек в центре рототабельного плана.
7
Подсчитанные значения звездного плеча α и число центральных опытов n0 в
зависимости от числа учитываемых факторов приведены в табл.1., N– это число
опытов, n – количество факторов.
Таблица 1. Параметры рототабельных центрально-композиционных планов
n
2
3
4
5
6
7

1,414
1,682
2,00
2,00
2,38
2,83
n0
5
6
7
8
9
14
N
13
20
31
52(32)
91(53)
163(92)
В табл.2 приведена матрица рототабельного центрально-композиционного
униформ-плана для n=2.
Таблица 2 Матрица рототабельного центрально-компазиционного униформплана для n=2
Система опытов
Опыты полного
факторного эксперимента
(ПФЭ)
Опыты в звездных точках
Опыты в центре плана
№
Х0
Х1
Х2
Х1 Х2
Х1 2
Х2 2
Yj
1
1
+1
+1
+1
+1
+1
Y1
2
1
-1
+1
-1
+1
+1
Y2
3
1
+1
-1
-1
+1
+1
Y3
4
1
-1
-1
+1
+1
+1
Y4
5
1
+
0
0
0
0
Y5
6
1
-
0
0
0
0
Y6
7
1
0
+
0
0
0
Y7
8
1
0
-
0
0
0
Y8
9
1
0
0
0
0
0
Y9
10
1
0
0
0
0
0
Y10
11
1
0
0
0
0
0
Y11
12
1
0
0
0
0
0
Y12
13
1
0
0
0
0
0
Y13
8
Обратим внимание на то, что в матрице центральная точка фигурирует n0 раз.
Это значит, что при вычислении оценок коэффициентов мы будем использовать
результат каждого параллельного измерения в центре плана, а не их среднее
значение. Параллельные опыты в центре плана позволяют рассчитать оценку
дисперсии ошибок наблюдений.
В общем случае, при наличии n0 точек в центре плана и повторении
эксперимента ν раз в каждой точке матрицы Х, оценка дисперсии единичного
эксперимента 𝑆𝑒 2 определяется по формуле:
𝑆𝑒 2 =
𝑆𝑒
𝜑2
где
2𝑛 +2𝑛
𝑆𝑒 = ∑
𝑣
∑
𝑗=1
𝑗
𝑛0
𝑗𝑖 2
(𝑦̃ − 𝑦̃ ) + ∑
𝑖=1
𝑦̃ 0 =
Здесь
𝑣
∑
𝑗=1
1
𝑛0𝑣
𝑛
(𝑦̃ 0 − 𝑦̃ 2 +2𝑛+𝑗,𝑖 )2
𝑖=1
𝑛
𝑣
∑𝑛0
̃ 2 +2𝑛+𝑗,𝑖
𝑗=1 ∑𝑖=1 𝑦
𝜑2 = (2𝑛−𝑝 + 2𝑛)(𝑣 − 1) + 𝑣𝑛0 − 1
Расчетные формулы для оценок коэффициентов и их дисперсий, удобные для
ручного расчета:
𝐴
𝑎̂𝑖 = {
𝑁
̃ − 22 1 ∑𝑛𝑖=1(𝑗𝑗𝑦̃) ] , 𝑖 = 0
[21 (𝑛 + 2)(𝑂𝑦)
2
𝑁
𝑎̃𝑛+1 =
(𝑖𝑦̃), 𝑖 = 1,2 … , 𝑛
𝑛
𝐴
{22 2 [(𝑛 + 2)1 − 𝑛](𝑖𝑖𝑦̃) + 22 2 (1 − 1 ) ∑ (𝑗𝑗𝑦̃)} − 21 1 (𝑂𝑦̃)},
𝑁
𝑗=1
𝑖 = 1,2 … , 𝑛
2 2
(𝑖𝑙𝑦̅), 𝑗 = 1,2 … , 𝑅 − 2𝑛 (коэфициент при 𝑥𝑖 𝑥𝑙 )
𝑎̃ 2𝑛+𝑗 =
𝑁 2
Здесь приняты значения
9
2𝑛 𝑁
1 = (2𝑛 +2𝑎2)2
𝑁
2 = (2𝑛 +2𝑎2)
𝐴=
1
21 [(𝑛+2)1 −𝑛]
Кроме того, введены обозначения:
̃𝑗
(𝑂𝑦̃) = ∑𝑁
𝑗=1 𝑦
𝑗 𝑗
̃
(𝑖𝑦̃) = ∑𝑁
𝑗=1 𝑥𝑖 𝑦
𝑁
(𝑖𝑙𝑦̃) = ∑
𝑗
𝑥𝑖 𝑥𝑗𝑖 𝑦̅ 𝑗
𝑗=1
Соответственно для дисперсий имеем следующие выражения:
𝐴
2 1 2 (𝑛 + 2)𝑠 2 , 𝑖 = 0
𝑁
2 2
𝑁
𝑆𝑖2 =
𝐴
𝑁
[(𝑛 + 1)1 − (𝑛 − 1)]22 𝑠 2 , 𝑖 = 𝑛 + 1, … 2𝑛
22 𝑠 2
{
𝑠 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
𝑁 2
𝑆 2 , 𝑖 = 2𝑛 + 1, … , 𝑅
В (ll) s2 – оценка дисперсии значения 𝑦̅ (дисперсии наблюдений) с числом степеней
свободы
𝜑2 = (2𝑛 + 2𝑛)(𝑣 − 1) + 𝑣𝑛0 − 1,
равная
𝑆2
𝑠2 = 𝑒
(12)
𝑣
Рассмотрим теперь методику проверки адекватности модели для случая, когда
используется рототабельный план. Сумма квадратов SD, характеризующая
неадекватность модели, в данном случае определяется выражением:
10
2𝑛 +2𝑛 ̅̅̅
𝑗
̃0 ̂0 2
̂𝑗 2
𝑆𝐷 = ∑13
9 𝑣𝑛𝑂 (𝑦 − 𝑦 ) + 𝑣 ∑𝑗=1 (𝑦 − 𝑦 )
Здесь ŷ1 - значения выходной переменной в точке плана x̂1 , y0̃ – среднее
значение зависимой переменной в центре плана (4), ν – число параллельных опытов
в точках плана. С суммой (13) связано число степеней свободы:
𝜑1 = 𝑁 − (1 + 𝑅) − (𝑛0 − 1) = 𝑁 − 𝑅 − 𝑛0
Сумма квадратов Se рассчитывается по формуле (3) с числом степеней
свободы (5). Модель считается адекватной при выбранном уровне значимости 1-Р,
если:
𝑆 /𝜑1
𝐹= 𝐷
𝑆𝑒 /𝜑2
< 𝐹кр
Где Fкр – критическое значение распределения Фишера, при уровне
значимости 1-Р и числах степеней свободы φ1и φ2
11
Заключение
Были рассмотрены теоретические сведения о построении двухфакторного
эксперимента с использованием центрально-композиционного рототабельного
плана (ЦКРП). Была составлена матрица ЦКРП, найдены значения оценки
дисперсии единичного эксперимента, оценки коэффициентов и их дисперсии, а
также проведена проверка адекватности модели по критерию Фишера.
12
Литература
1. Хартман, К., Лецкий, Э., Шефер, В. Планирование эксперимента в исследовании
технологических процессов.-М.Мир, 1977-552с.
2. Спирин Н.А.,. Лавров В.В. Методы планирования и обработки результатов
инженерного эксперемента.- ГОУ ВПО УГТУ-УПИ,2004-257с.
3. Муращенко, Д.Д. Планирование и организация экспериментов.- Изд-во
московского государственного университета леса-2009-150с.
13